coeficientes de filtrado

8/17/2019 Coeficientes de Filtrado

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Guzmán Ovalle Omar Gpe. Prospección Eléctrica TAREA 04 13/03/2012

COEFICIENTES DE FILTRADO INVERSO PARA EL CÁLCULO DE LAS CURVAS DERESISTIVIDADES APARENTES PARA UN MEDIO ESTRTIFICADO DE CAPASHORIZONTALES POR D.P. GHOSH.

Frecuencia Característica del Filtro Inverso de Resistividad.

Partiendo de la relación entre ρa(x) y T(y) en el dominio de la frecuencia está dada por:

Ecuación 1.Donde:

Son las transformadas al dominio de la frecuencia de nuestras funciones de resistividad

aparente ρa(x), la función transformada de resistividad T(y) y es la FrecuenciaCaracterística del Filtro de Resistividad, donde el símbolo nos denota reciprocidad entre las

transformadas de Fourier.

Si reescribimos la ecuación 1 en términos del factor que es la frecuencia característica

del filtro inverso. Entonces Sustituyendo nos queda que:

. Ecuación 2.

Tomando las transformadas de Fourier de las funciones de resistividad parciales y sucorrespondiente transformada de resistividad teórica conocida.

Coeficientes de Filtro Digital Inverso.Puesto que el método se aplica a los datos muestreados, la entrada al filtro estáprácticamente considerada como una suma de funciones Sinc. Como consecuencia, elespectro del filtro debe ser multiplicado por el espectro de la función Sinc, es decir, debe sercortada a la frecuencia de Nyquist. Esto lleva a una función de filtro en un dominio x (llamado«la respuesta del filtro Sinc») de un periodo determinado por un intervalo de muestreo usadopara muestrear la función de transformada, representada mediante:

Ecuación 3.

Donde: es la transformada de Fourier de la respuesta Sinc.

es la transformada de Fourier de la función Sinc.

La respuesta Sinc se puede recuperar por la aplicación de la transformada inversa deFourier.

En la siguiente tabla se muestran los valores muestreados de la respuesta para el arregloSchlumberger que constituyen 9 puntos filtrados y para el arreglo Wenner que constituyen 10puntos filtrados. Por conveniencia la respuesta ha sido tan muestreada que b0 se refiere al


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valor de respuesta en un punto abscisa desplazado a la izquierda de (por ejemplo enparte de la respuesta para, un factor de ln 1.05 para el arreglo Schlumberger y un factorLn 1.36 para el arreglo Wenner). Los otros coeficientes se definen a continuación conrespecto a b0 a una distancia constante de 1/3 Ln10.

Tabla 1. Coeficientes del filtro digitales inverso.

Para el arreglo Schlumberger.

Para el arreglo Wenner.

Relación Entre la Transformada de Resistividad y Distribución de Capas.

Para obtener la transformada de resistividad para un número cualquiera de capas nosbasamos en la determinación de la resistividad para dos capas que puede ser calculada conla siguiente expresión:

Ecuación 4.

Donde:, tiene la dimensión de la distancia.

Por tanto para la transformada de resistividad para un número cualquiera de capas puede serdeducida siguiendo una regla iterativa adaptada por Koefoed (1970).

Ecuación 5.

Donde:

es la transformada de resistividad de una sección de n capas.

es la transformada de resistividad de la misma sección de n capas con la capa superiorA removida.


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es la transformada de resistividad de una sección de 2 capas dada por (4), para elcaso especial kAB = -1.

Aplicándose (5) para una sección ABC ( 3 capas), queda la ecuación como:

Ecuación 6.Donde A es la capa superior, B es la capa intermedia y C es el subsustrato.

se da a partir de (4) como:

Ecuación 7.Sustituyendo (7) en (6) obtenemos:

Ecuación 8.

Procedimiento Práctico para la Obtención de la Curva de Resistividad Aparente.

a) Los valores muestreados de resistividad de la función de transformación son

obtenidos estimando como función de con ayuda de (4) y (5) y graficada en papelbilogarítmico. La función es muestreada para intervalos de 1/3 ln 10 para construir valores

muestreadosb) Los valores muestreados de resistividad son convolucionados con los coeficientes

filtrados b j ( Tabla 1), para construir algebraicamente la resistividad aparente

Ecuación 9.

Donde: Para el arreglo Schlumberger α=5, β=-3Para el arreglo Wennerr α=8, β=-1

Aplicación para obtener la gráfica:

i. Los coeficientes proporcionados en tabla anterior son graficados en papel

bilogarítmico cada b0, encontrándose a la izquierda de (el centro de operación de


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filtrado) por ln1.05 para el caso Schlumberger y por ln1.36 para el caso Wenner como ya semenciono.ii. El gráfico de transformación es ahora superpuesta en el de filtro con el 5º puntomuestreado (izquierdo) para el arreglo Schlumberger y para el 8º punto muestreado (derechade la gama) para el arreglo Wenner. Los puntos filtrados son trazados en el gráfico detransformación. Este procedimiento es cíclico, hasta el 3º punto extra para el arregloSchlumberger y primer punto extra para el arreglo Wenner. Los puntos se suman (la

contribución de los coeficientes negativos se deben restar) para dar los valores deresistividad aparente que corresponden a los valores de muestra de transformada.iii. La curva de resistividad aparente puede ser dibujada por la interpolación de losvalores de resistividad. Para mejorar la interpolación un segundo conjunto de valorestransformados se define entre el primer conjunto y la repetición de los pasos anteriormentemencionados. Esto daría los valores de resistividad a una distancia más cercana, es decir,1/6Ln 10≈0.38.

Con anterioridad existían métodos que relacionaban la integral de Stefanesco (1930), la cuales el producto de la función Kernel y la función Bessel. La primera utiliza series infinitas y seintegra término a término, al igual que por medio de la descomposición en series de

fracciones parciales en el caso especial de un conductor perfecto u sustratos resistivos, parala rápida convergencia de series los espesores deberían de ser múltiples.

El método estudiado en este artículo, difiere al no presentar restricción para el número decapas en la sección o para su espesor.

Este método toma en cuenta las siguientes consideraciones:1) El conocer la forma de la curva de resistividad aparente producida por la distribución delsubsuelo en relación con un estudio que trata de la cuestión de la detectabilidad de unacapa en el subsuelo.

2)Reconstrucción de la curva de resistividad aparente haciendo uso de los parámetrosobtenidos directamente de la interpretación del sondeo geoeléctrico realizado.

3) La facilidad de estimar gráficamente las curvas teóricas de resistividad.

4) Este método puede ser usado para la preparación de un catalogo de gráficas estándar.

5)El método es efectivo para organizaciones que cuentan con dispositivos de cálculoeléctrico de pequeña memoria.

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