Formateo PCML.Couch III, Sistemas de Comunicaciones Digitales y Analgicos, 5 Ed., Seccin 3.3

Muestreo instantneo, cuantizacin y codificacin Relacin seal a ruido en el formateo Compresin silbica Transmisin de los caracteres PCM por un canal ruidoso Relacin seal a ruido en transmisin PCM

Introduccin

En este captulo, las seales y el ruido se describen en trminos de seales aleatorias. Se analizarn los siguientes aspectos del formateo PCM

La seal analgica (de voz) debe ser muestreada y cuantizada Parmetros relevantes en este proceso son la distorsin por

solapamiento de las componentes espectrales de frecuencia y el ruido de cuantizacin.

Para mitigar el efecto de distorsin por solapamiento se muestrea a tasas superiores a las establecidas por el criterio de Nyquist, para relajar las condiciones del filtro pasabajos.

El nmero de niveles de cuantizacin influye sobre el ruido de cuantizacin.

En transmisin de seales de voz se logra un considerable aumento en la relacin S/N mediante la compresin de las muestras (ley A y ).

El canal de transmisin ruidoso afecta la relacin seal a ruido en el extremo receptor.

Diagrama de bloques funcional de un sistema de telecomunicaciones digital

FormateoCodif. de Fuente

Formateo Inverso

Decodif. de

Fuente

Mux Codif. de LneaModulac.

de portadora

Tx

Sincronismo de Trama/Cuadro

Acceso al Medio de Tx

Ecualiz. de canal

Amplific. en FI y

selectivid.RxMux

Recuperacin de Sincronismo de Trama/Cuadro Detector

M-ario

Recuperacin de

Sincronismo

Informacin en bits Seal digital (smbolo)

Un sistema PCM con cuantizacin uniforme Un sistema de codificacin PCM puede representarse mediante el

siguiente diagrama de bloques. En este sistema, interesa por el momento poder establecer el efecto del

ruido de cuantizacin, es decir, se analizarn los bloques en color verde.

Conversin A/D

Repetidor/ Regenerador

Conversin A/D

Repetidor/ Regenerador

Fuente analgica

B

Pulso de muestreo natural p(t)

Destino S/N= ?

Ruido AWGN

Muestreo instantneo Sea x(t) la seal analgica limitada en frecuencia a la frecuencia mxima B. El

muestreo instantneo (de cresta plana) consiste en multiplicar la seal x(t) por un tren de impulsos y almacenar la muestra instantnea durante el ciclo de conversin.

>=

=

2021

)(

t

tt

tAtp

== )()()()()()()( sss kTtkTxtpkTttxtpts

Ts

s(t)

t

= )()()( ss kTtkTxtAts

=

= )()()()()()( s

ss kffXfsincT

AfSkTttxtAts

tiempo

Teorema de Muestreo, (Nyquist)

Para el muestreo instantneo con pulsos de techo plano, se debe filtrar y ecualizar para compensar el trmino sinc(f) que depende de f

No importando cul sea la tcnica de muestreo que se utilice, se produce distorsin si fs < 2B. (Teorema de Nyquist)

Para facilitar el filtraje se escoge fs > 1,22B en aplicaciones reales

Funcin sinc(x)

-0,4-0,2

00,20,40,60,8

11,2

0

,

0

0

,

2

0

,

4

0

,

6

0

,

8

1

,

0

1

,

2

1

,

4

1

,

6

1

,

8

2

,

0

2

,

2

2

,

4

2

,

6

2

,

8

3

,

0

x

B-B B-B

B-B

B-B

Digitalizacin de la seal de voz

Todas las conversaciones telefnicas en Chile se realizan digitalizando las seales de voz.

La tcnica bsica que se utiliza se denomina PCM (Pulse CodeModulation).

En el formato bsico, o canal B, la seal de voz se muestrea a una frecuencia de 8000 muestras por segundo.

Cada una de las muestras se codifica con 8 bits.

Luego, un canal B equivale a transmitir a 64 kb/s

La codificacin no es lineal, como se ver luego, debido a las propiedades estadsticas de las amplitudes de las muestras

PCM: muestreo, cuantizacin y codificacin El muestreo que se realiza en los codificadores PCM es,

invariablemente, el instantneo. Para convertir la muestra analgica en un cdigo digital es necesario

aproximar su valor real al ms cercano que se pueda obtener mediante la representacin binaria del conversor A/D usando la tcnica demuestreo instantneo.

El error de aproximacin se denomina error de cuantizacin. En ausencia de ruido de canal, este error de cuantizacin establecer la

relacin S/N Una de las caractersticas importantes de este error es que permite

establecer a priori, por diseo, la relacin seal a ruido en el extremo receptor, si el ruido de canal es tal que se cometen muy pocos errores en la recepcin de bits. Este aspecto ser un resultado importante que se obtendr al final de esta clase.

Conversin A/D

La mayora de los conversores anlogo/digitales que se usan hoy en da son del tipo de aproximacin sucesiva.

Las componentes bsicas que requiere un conversor A/D de aproximacin sucesiva son: un circuito de muestreo y un reloj, un comparador, un registro de carga paralela vaciado en serie (para la transmisin de los bits a la siguiente etapa del sistema de comunicaciones), un conversor D/A y una lgica de control para realizar las operaciones necesarias.

Un bloque bsico importante es el conversor D/A

Conversin D/A La base de funcionamiento del

conversor D/A es un transistor NPN que opera como fuente de corriente, cuya base es comandada por un circuito TTL.

La resistencia de emisor es la que fija el valor de la corriente que fluye hacia la carga.

Se usarn varios de estos transistores para generar un voltaje proporcional a los bits que ofrece una lgica digital.

En la siguiente lmina se ver aplicado este principio.

TTL output RL

VCC

Conversin D/A

En el circuito de la figura, si todas las entradas estn altas, el voltaje en RL ser 0. Si se fija en 0 V la entrada del bit menos significativo (lsb), entonces circular una corriente de VCC/R por la carga, aproximadamente.

En la medida que otras entradas sean llevadas a 0V, la corriente ser aumentada en 2(i-1)VCC/R, siendo i el bit que se haya puesto en 0.

MSB R/2(n-1) R/2(n-2) lsb R

RL

VCC

Para que exista correspondencia, basta que las entradas sean conectadas a inversores TTL

Conversores A/D

La mayora de los conversores que se utilizan hoy en da para codificar las seales analgicas de voz, audio y video son los de aproximacin sucesiva: toman la muestra, la almacenan y la compararan con la salida que se obtiene en el conversor D/A al fijar sucesivamente los bits de su registro en 1, desde el ms al menos significativo. Si la muestra resulta de mayor amplitud que el valor de prueba, entonces se mantiene el bit en 1, si resulta menor, se cambia su valor por un 0.

S&H Comparador

Conversor D/A Registro de n bits

Circuito contador

Escribe 1 si VoEscribe 0 si -Vo

+ -

Salida de n bits c/Ts [s]Ejemplo: ADC0804 (NS)

PCM: cuantizacin uniforme

Para un cuantizador PCM valen las siguientes consideraciones:

Se considera que la seal a ser cuantizada no presenta componente continua y alcanza una amplitud mxima equivalente al rango del ecualizador: Amx.

Se supone que existen M = 2n niveles de cuantizacin, siendo n el nmero de bits que se emplearn para la transmisin.

El bit ms significativo es el bit de signo. Se supone que la seal se distribuye uniformemente dentro del

intervalo de cuantizacin. Para una cuantizacin uniforme se supone que las amplitudes de la

seal se distribuyen probabilsticamente igual en todos los niveles (distribucin uniforme).

PCM: error cuadrtico medio en un intervalo de cuantizacin

Sea x un nivel de amplitud a cuantizarxi el valor aproximado mediante la cuantizacini el tamao del intervalo de cuantizacin asociado a xi

pi(x) la funcin de densidad de probabilidad de x condicionada a que x est en el rango cuyo valor medio es xi. Se supone que esta densidad es uniforme en el rango [ xi-i/2, xi+i/2]

Entonces xi - i/2 < x < xi + i/2La esperanza (condicional) del error ser

Amx

-Amx

t

Amplitud

ixi

qx

( ) ( ) ( )2 2

2 2E[( )| ] 0

i i i

i i i

x / /

i i i i i ix / /

x - x x x x p x dx p x zdz

+

= = =

( ) ( ) ( )2 2 2

22 2

2 2E[( ) | ]

12

i i i

i i i

x / /i

i i i i i ix / /

x - x x x x p x dx p x z dz

+

= = =

El error cuadrtico medio (condicional) del error de cuantizacin, en cambio, ser

PCM: error cuadrtico medio de cuantizacin

Si se define como pi la probabilidad (incondicional)deestar en el intervalo en cuestin xi - i/2 < x < xi + i/2

y descondicionando respecto de xi

Amx

-Amx

p(x)

Amplitud de x(t)

( )( )

2

2( ) ( )

donde es la fdp incondicional de x

i i

i i

x /

i ix /

p i p x dx p x

p x

+

=

( )

( )

22 2

2 2

E[ ] E E ( ) |12

12 12

i

iq i i

i

i

p ix - x x

p i

=

= =

= =

pi(x)

xi

se supone que p(xi) se distribuye

uniformemente en el rango xi + i/2

PCM: potencia de la seal

Para la seal consideremos primeramente que sta se distribuye uniformemente en el rango:

-Amx < x < Amx entonces:

y la potencia normalizada es

0)(][mx

mx

==

A

A

dxxpxxE

32)(]E[x])-E[(xPS

2mx

mx

222

mx

mx

mx

mx

AdxAxdxxpx

A

A

A

A

====

En cambio si se usa un tono (sinusoidal) como seal de prueba PS = Amx2/2.

En general se tendr que PSAmx2, lo cual puede anotarse como PS=dAmx2

Amx

-Amx

p(x)

Amplitud de x(t)

xi

p(x) = 1/2Amx

PCM: Relacin seal a ruido S/N

La potencia de ruido de cuantizacin es PNq = 2/12 La potencia de seal es PS = dAmx2

Si se usan n bits para codificar la seal, el ms significativo ser utilizado como bit de signo +.

Entonces Amx= 2n-1 ypor lo tanto PNq = Amx2/(1222(n-1)) = Amx2/(322n) Por lo cual:

nnddBPNPS

dPNPS

q

n

q

02,602,6)3(log10][

23

10

2

+=+=

=

PCM: Relacin seal a ruido S/N Ejemplo: para seales de voz la relacin seal a ruido para

comunicaciones telefnicas debe ser del orden de 36 dB. Si la seal de voz se distribuye uniformemente en amplitud

(lo cual no es cierto, como se ver a continuacin), entonces d = 1/3, y el nmero de bits requerido ser de

bitsnndBPNPS

PNPS

q

n

q

66

3602,6][

22

==

=

Un ejemplo prctico: grabacin de msica en CD Si se desea establecer un buen rango dinmico para msica grabada

codificada digitalmente se puede considerar que 90 dB de rango dinmico y una seal de informacin limitada a 15 kHz por canal podra ser equivalente a una transmisin FM buena.

Esto requiere de una codificacin de 15 b y una tasa de muestreo de 1,230 kHz = 36 kHz, o equivalentemente 540 kb/s.

Esto permitira grabar un canal durante 6508/0,54[s] = 160[min], sin capacidad de correccin de errores.

En cambio, la duracin de una grabacin estereofnica (2 canales) sera de 80 minutos.

Pregunta: si en la prctica se utiliza una frecuencia de muestreo de 44,1 kHz, codificacin Reed-Solomon para corregir rayaduras y huellas digitales (2:1) en el CD y se pueden grabar 2 canales (stereo) por unos 75 min.,

cuntos bits se requieren para codificar c/u de los dos canales? cul es la PS/PN resultante en cada canal, expresada en dB?

Ejemplos de Codificacin PCM Para ilustrar la tcnica, se escucharn diversos registros, grabados con diversas

frecuencias de muestreo y codificados con diversos grados de precisin (cuantizacin):

1. Frecuencia de muestreo, constante = 10000 muestras/seg. No bits de cuantizacin variable por muestra, = 12, 9, 4, 2, 1 [bit]. 2. 12 bits bits de cuantizacin/muestra, Frecuencia de muestreo variable = 10, 5, 2.5, 1.25 [kmuestras/segundo].

Ejemplo de una seal de voz.

Se observa el registro de una seal de voz grabada. Ntese que la mayor energa est centrada en las vocales. Otro aspecto importante es la duracin promedio de una vocal, (30ms)

Si se realiza un zoom sobre la parte sealada en verde en el registro superior (la seal de la palabra Murcilago), se tendr la figura inferior.

Detalles de una seal de voz.

Ntese que muchos ciclos de la seal se repiten en forma casi idntica.El muestreo (c/125s) registra muchos valores en un ciclo.

Ntese que la mayora de los valores de amplitud de la seal se concentran en las inmediaciones del valor cero.

PCM: cuantizacin no-uniforme

La cuantizacin no-uniforme se usa en los codificadores PCM, ya que durante la mayor parte del tiempo los niveles de potencia de la voz son bajos y conviene tener una relacin S/N relativamente constante en una amplia gama dinmica de potencia.

Consiste en cuantizar con intervalos ms pequeos las seales de menor potencia, y con niveles ms espaciados las muestras de mayor energa de la seal. La distorsin de la seal se evita efectuando el proceso inverso en el extremo receptor. Es importante que se hayan desarrollado estndares para determinar el

tamao de los niveles de cuantizacin. Ley A : Se emplea en Europa y el resto del mundo Ley : Se emplea en EE.UU., Canad y Japn. El efecto de cuantizacin no uniforme se logra tambin amplificando

los niveles pequeos de seal y comprimiendo las muestras de mayor amplitud antes de presentar la muestra a un conversor A/D uniforme.

Compresin y Descompresin

A/D

DecodificacinPCM

A/D

CodificacinPCM

Muestreo

Compresin

Filtro pasa bajos

y(x)

x/xmax

A=87,560.8

A=50

A=2A=1

0.6

0.4

0.2

0.80.60.40.2

Ley A

y(x)

x/xmax

=255

=50

=5

=0

0.8

0.6

0.4

0.80.60.40.2

0.2

Ley

11)1ln()1ln(

)sgn()( ++= xxxxy

PCM: efectos de errores de Tx Cuando se transmite una informacin digital, a menudo se introducen

errores en la recepcin de los smbolos, debido al efecto del ruido. Evidentemente, el error que se introduce tiene significado diferente

segn sea la posicin del bit errado, dentro del caracter (agrupacin de los bits que representan una muestra de voz o de imagen codificada, o una letra de un texto, o el valor obtenido a la salida de un conversor A/D en aplicaciones de telemetra,etc.).

Por ejemplo, si se transmiten octetos codificados de seales de voz, si se produce un error en el msb, esto se traduce en un error de signo. En cambio, si es en el lsb, afecta slo al menor nivel de cuantizacin.

A continuacin se analizar el efecto del ruido de canal en la recepcin de una seal codificada en PCM con cuantizacin uniforme.

El anlisis se basa en poder expresar el valor medio esperado del error, y su varianza, dado que la varianza es una medida de la potencia del error registrado.

Representacin de los errores de canal en transmisin binaria Los errores de transmisin pueden ser representados

mediante un diagrama de transicin de smbolos recibidos. En una recepcin binaria es posible identificar diferentes

transiciones: PC(1/1)

PC(0/1)

PC(0/0)

PC(1/0)

1

0

PT(1)

PT(0)

PT(1)+ PT(0)=1 PC(1/1)+ PC(0/1)=1

1

0

PR(1)

PR(0)

PR(1)+ PR(0)=1

Pe = PRT(0,1) + PRT(1,0) = PC(0/1)PT(1) + PC(1/0)PT(0)

Obtencin de la probabilidad de error en canal binario simtrico

En un canal binario simtrico: PC(0/1) = PC(1/0) Entonces Pe = PC(0/1), no importando si se transmiten

ms 1s que 0s. Posteriormente se analizar como se pueden obtener los

errores de canal en funcin de la densidad espectral de potencia de ruido y la energa de la seal.

Si se envan n bits en sucesin, y la probabilidad de error en recepcin es Pe y si el error de un bit es independiente del precedente o del siguiente, entonces la probabilidad de recibirlos todos ellos correctamente estar dada por: P = (1- Pe)n 1- nPe, si Pe < 10-3

Pe = PRT(0,1) + PRT(1,0) = PC(0/1)PT(1) + PC(1/0)PT(0)

Efecto del error de canal

Supngase que se envan n bits codificados. Evidentemente, el error cometido ser diferente segn sea

la ubicacin del o de los bits recibidos con error. Si 2Amx es el rango total de la seal recibida, codificada

mediante M = 2n niveles, entonces el error de cuantizacini cometido por la recepcin de un bit errado en la posicin i, ser de magnitud Amx/2n -i.

As si el error se comete en msb, i = n, |n| = Amx Si el error se comete en el lsb, i = 1, |1| = Amx/2n -1

Ejemplo: n = 4, si el error se comete en el bit lsb, entonces |1| = Amx/23 = Amx/8 = 2Amax/16 = rango total/# niveles

Efecto del error de canal Si Pe es la probabilidad de cometer un error en la recepcin de un bit y

es independiente de su ubicacin, entonces asumiendo uno y ceroequiprobables, el error promedio de la muestra decodificada est dado por:

El error cuadrtico medio promedio que resulta debido al error los bits estar dado por

[ ]( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2e e2

1 121

2 2 2 2ee 2

0

1E P P sea 2

4 PE P 1 2 2 13 2

n ni i max n i

i in j nmx

mx nj

E A j n - i

AA

= =

=

= = = = =

[ ] ( ) ( )e e1 1

E P P bit i = 0 P P bit i = 1 0n n

i ii i

= =

= =

Efecto del error de canal En probabilidades se tiene que si dos variables aleatorias son sumadas, el

valor medio de la nueva variable aleatoria es igual a la suma de los valores medios.

Ahora, si las variables aleatorias son independientes, la varianza de la nueva variable aleatoria tambin es la suma

Combinando el error de cuantizacin (ver pag 17) con el error debido al canal, resulta:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

2 22 2e

2 2

22 2

e2

4 PE 2 13 2 3 2

E 4P 2 1 13 2

nmx mxz n n

nmxz n

A A

A

= +

= +

[ ] [ ] [ ][ ]( )2 2 2 2z

z x+y E E E

x, y indep. E x y

z x y

z E z = = +

= = +

Relacin S/N para PCM(considerando el ruido de cuantizacin y de canal)

Si se considera que la potencia de seal de un proceso de transmisin de una seal analgica, muestreada y codificada en PCM es PS = dA2mx, entonces la relacin S/N es

( )( )( )

( )

2

22

e2

2

2e

1 4P 2 13 2

3 2

1 4P 2 1

max

PCM nmaxn

n

nPCM

d APSPN A

dPSPN

= +

=+

Consideraciones relativas a la importancia relativa de errores.

En la relacin obtenida es posible establecer 2 cotas interesantes relacionadas con la cuantificacin de los errores derivados de la cuantizacin y del ruido en el canal.

Por ejemplo, se puede evaluar Pepara el caso en que la potencia asociada al error de cuantizacines preponderante (por ejemplo 10 veces la que se puede asociar al error causada por el ruido de canal) y viceversa.

( ) ( ){ }2

2 2e2

1 4 P 2 13 2

nm xz n

AE = +

Pe para efecto error canal

Sumario El muestreo de seales analgicas requiere que la frecuencia de muestreo tiene

que ser al menos el doble de la frecuencia de corte del filtro pasabajos de entrada.

La mayora de los conversores A/D utilizan el muestreo instantneo. La duracin del ciclo de conversin influye en la distorsin que puede experimentar la seal.

El error de cuantizacin es una fuente de ruido importante, pero manejable por diseo en enlaces digitales.

El ruido de canal es otra fuente de imprecisin en la recepcin de seales codificadas digitalmente.

Hay situaciones en que el efecto predominante en el deterioro de la relacin S/N es el ruido de canal, o bien, el ruido de cuantizacin. El experto en telecomunicaciones debe poder distinguir los 2 efectos y determinar si un sistema est operando adecuadamente.

Referencias: L.Couch: Sistemas de Comunicacin Digitales y Analgicos, 5 Ed, Seccin 3.3, Ejercicios 3.8 a 3.19