cÓnicas - home | universidad de granadaeaznar/alglin/apuntes/conicas.pdftenemos una circunferencia...

Enrique R. AznarDpto. de Álgebra

Página web personal

Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 1 de 52

Atrás

Pantalla grande/pequeña

Cerrar

CÓNICAS

¿Cómo son las curvas más simples?

1. Introducción 42. Historia primitiva 53. Historia moderna 74. Cónicas 10

Ejemplo 1 114.1. Ecuación reducida 11

Definición 1 11Ejemplo 2 12Ejemplo 3 15Teorema 1 17Lema 1 18Lema 2 18Ejemplo 4 19

5. La elipse 20Definición 2 21

http://www.ugr.es/

http://www.ugr.es/~algebra/


http://www.ugr.es/~decacien/

http://www.ugr.es/%7Edecacien



Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 2 de 52

Atrás


Cerrar

Ejemplo 5 215.1. Otra definición de elipse 235.2. La elipse en polares 24

Ejemplo 6 245.3. Elipses prolatas 25

Ejemplo 7 255.4. Excentricidades y aplanamientos 26

Ejemplo 8 27Ejemplo 9 28

5.5. La elipse en paramétricas 295.6. Otras paramétricas 305.7. Latitud geodésica 315.8. Cambios de parametrización 32

Ejemplo 10 345.9. Reflexión en la elipse 356. La parábola 376.1. Otra definición de parábola 38

Ejemplo 11 386.2. Reflexión en la parábola 396.3. Trayectoria balística 40

Ejemplo 12 427. la hipérbola 43

Ejemplo 13 44

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 3 de 52

Atrás


Cerrar

8. Otra definición de hipérbola 459. Definición unificada 46

Teorema 2 46Teorema 3 46Ejemplo 14 46

10. Bibliografía 4747

11. Ejercicios. 4712. Test de repaso. 49

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 4 de 52

Atrás


Cerrar

1. INTRODUCCIÓN

Todo alumno de ciencias conoce las curvas cuadráticas más simples

x

y

x2 − y2 = 1x

y

x

yy = x2 x2 + y2 = 1

x

y x2

a2 + y2

b2 = 1

a-a

b

-b

Incluida la elipse general x2

a2 + y2

b2 = 1.Esto es debido a que la geometría carte-siana del plano se introduce pronto enlos estudios secundarios y a que losdibujos anteriores son muy simétricos.Además, son fáciles de entender, re-conocer y recordar.

Desde hace siglos se sabe que todas las curvas cuadráticas se pueden reducira estas o bien al producto de 2 rectas secantes, paralelas o confundidas.

Más recientemente, se introducen las ecuaciones matriciales y los invari-antes, tres números que permiten clasificar entre estos tipos. Mas las rota-ciones y traslaciones del plano que realizan el cambio a la ecuación reducida.

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 5 de 52

Atrás


Cerrar

2. HISTORIA PRIMITIVA

El descubrimiento de las secciones cónicas estuvo íntimamente ligado a unode los tres problemas clásicos de la geometría griega, la duplicación del cuboo problema de Delos:

La peste se llevó una cuarta parte de la población ateniense y esa catástrofefue probablemente el origen del segundo problema. Se envió una delegaciónal oráculo de Apolo en Delos, para conjurar la peste. El oráculo contestóque era necesario duplicar el altar en forma de cubo dedicado a Apolo.

Se duplicaron las dimensiones del altar, pero eso no sirvió para detener lapeste, habían aumentado ocho veces su volumen en lugar de dos.

Hipocrátes de Chios (470-410 a.C.) demostró que se puede conseguir la du-plicación del cubo siempre que se pudiera encontrar curvas que cumplieran

2

x= x

y= y

1

Entonces x2 = 2y , y2 = x, y así x3 = 2y3, es decir, el cubo de lado x es eldoble del volumen de lado y.

En general, el problema de las dos medias proporcionales entre a y b consisteen hallar x e y, tales que

a

x= x

y= y

b

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 6 de 52

Atrás


Cerrar

Su resolución se reduce a hallar la intersección de la curva x2 = ay con x y =ab. Es así como aparecen lo que llamamos parábola e hipérbola equilátera.

Menecmo (380-320 a.C.) halló dichas curvas como secciones de un conocircular recto. Las secciones en aquellos tiempos sólo se consideraban per-pendiculares a la generatriz de conos circulares rectos (ortotoma), agudos(oxitoma) y obtusos (amblitoma).

El desarrollo de la teoría de cónicas debió de ser muy rápido pues ya haciafines del siglo IV a.C. existieron dos obras importantes. La primera es deAristeo, el Libro de los lugares sólidos1.

La segunda obra de interés, también perdida, fue de Euclides (325-265 a.C.)cuyo contenido debió de ser el que se encuentra en los cuatro primeros librosde las Cónicas de Apolonio, si bien menos general y menos sistemático. EsApolonio de Pérgamo (262-190 a.C.) quien da una formulación definitiva.

Cuando las curvas conocidas como secciones cónicas fueron descritas porApolonio, su clasificación se basaba en una cierta comparación de áreas.Pitágoras (580-495 a.C.) ya le había dado un significado técnico matemáticocomo la operación fundamental de su método, un sustituto geométrico de loque hoy llamaríamos álgebra.

1Lugares planos son los que dan lugar a rectas y círculos; lugares sólidos en los que apare-cen las cónicas por intersección de cilindros y conos con planos; lugares lineales son otrascurvas de orden superior no reducibles a las anteriores como la cuadratrix o la concoide.

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 7 de 52

Atrás


Cerrar

3. HISTORIA MODERNA

Apolonio les da su nombre definitivo Elipse (deficiencia), Hipérbola (avan-zar más allá, exceso) y Parábola (colocar al lado o comparar) que indicabaque no había deficiencia ni exceso.

Apolonio fue el primero en obtener todas las curvas a partir de las seccionesdel cono recto, variando el ángulo de inclinación del plano respecto al eje.

Dedujo una condición necesaria y suficiente en el plano para que un puntoesté situado en la curva, y en ese momento abandonó el cono y procedióa estudiar las cónicas por métodos planos exclusivamente y consigue en 8libros o secciones, una de las mejores obras de la matemática antigua.

O sea, se denomina sección cónica, o simplemente cónica, a todas las curvasintersección entre un cono y un plano. Si dicho plano no pasa por el vértice,se obtienen las cónicas irreducibles, elipse, parábola e hipérbola.

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 8 de 52

Atrás


Cerrar

Johannes Kepler (1571-1630) prefería considerar cinco tipos de cónicas2. Apartir de un par de rectas que se cortan, en la que los focos coinciden con elpunto de intersección, podemos pasar gradualmente por un conjunto infinitode hipérbolas, según uno de los focos va alejandose más y más del otro.

Cuando el segundo foco se haya alejado infinitamente, no tenemos ya unahipérbola con sus dos ramas sino una parábola. Según el foco móvil traspasael punto del infinito y se va acercando de nuevo por el otro lado, vamospasando por un conjunto de elipses, hasta que cuando los focos coincidentenemos una circunferencia como último tipo de cónica.

En 1609, Kepler enuncia sus dos primeras leyes astronómicas,

• Los planetas se mueven alrededor del Sol siguiendo órbitas elípticasuno de cuyos focos es el Sol.

• El radio vector que va del Sol a un planeta barre áreas iguales entiempos iguales.

René Descartes (1596-1650) sólo en un caso examina con detalle un lugargeométrico, y es en conexión con el problema del lugar de las tres y cuatrorectas de Pappus de Alejandría (290-350) del que obtiene Descartes la

y2 = ay −bx y + cx −d x2

ecuación general de una cónica que pasa por el origen de coordenadas.

2Incluye un par de rectas incidentes y el círculo.

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 9 de 52

Atrás


Cerrar

Descartes presenta condiciones sobre los coeficientes para que la cónica seados rectas, una parábola, una elipse o una hipérbola. Sabía que eligiendoadecuadamente tanto el origen de coordenadas como los ejes, podía reducirsela ecuación a la forma más sencilla, pero el hecho es que no da ninguna.

Tras la Geometría de Descartes, publicada en francés y no en latín, De-beaune (1601-1652) en Notes brièves demuestra que las ecuaciones

y2 = x y +bx, y2 =−2d y +bx, y2 = bx −x2

representan respectivamente hipérbolas, parábolas y elipses.

En 1658, Jan de Witt uno de los miembros del grupo de Van Schooten3,reduce todas las ecuaciones de segundo grado en x e y a formas canónicas,por medio de rotaciones y traslaciones de los ejes.

De Witt sabía cómo reconocer cuándo tal ecuación representaba una elipse,cuándo una parábola y cuándo una hipérbola, según que el llamado discrim-inante fuera negativo, nulo o positivo.

Desde entonces, la utilidad y aplicaciones de las cónicas ha ido en aumento.Se usan para enfocar ondas, para el estudio del movimiento de tiro libre,describir órbitas, en topografía, para hacer puentes, etc.

3En 1649, Van Schooten traduce al latín la Geometría de Descartes que pronto adquiereun rápido desarrollo.

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 10 de 52

Atrás


Cerrar

4. CÓNICAS

Una cónica es el lugar geométrico de los puntos, (x, y) ∈ R2, del plano quesatisfacen una ecuación4 de segundo grado en dos variables:

a11x2 +a22 y2 +2a12x y +2a01x +2a02 y +a00 = 0

Esta puede ser expresada matricialmente

(1 x y

) ·a00 a01 a02

a01 a11 a12

a02 a12 a22

·1

xy

= 0

O sea, usando la matriz simétrica A =a00 a01 a02

a01 a11 a12

a02 a12 a22

y el vector X̄ =1

xy

se expresa la ecuación como X̄ t AX̄ = 0.

Pero también, llamando A00 =(

a11 a12

a12 a22

), B = (2a01,2a02) y X =

(xy

)se

expresa la ecuación de la cónica como

X t A00X + B X + a00 = 0

4Con algún coeficiente cuadrático distinto de cero.

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 11 de 52

Atrás


Cerrar

Ejemplo 1. La ecuación 7x2 − 2x y + 5y2 − 6x + 3y − 1 = 0 representa unacónica. Esta puede ser escrita matricialmente de dos maneras

(1 x y

) ·−1 −3 3/2−3 7 −13/2 −1 5

·1

xy

= 0

y también (x y

) ·( 7 −1−1 5

)·(

xy

)+ (−6, 3) ·

(xy

)−1 = 0

4.1. Ecuación reducida. Decimos que la ecuación de una cónica

X t A00X + B X + a00 = 0

Definición 1. Está en forma reducida si

• A00 es una matriz diagonal 2x2• Si λ= 0 es un valor propio de A00, o bien a01 = 0 o bien a02 = 0.• Si λ= 0 no es un valor propio de A00, además B = (0,0)

Como A00 es una matriz simétrica real siempre es diagonalizable por congruencia-semejanza. O sea, existe una matriz de cambio, P , ortogonal (P t = P−1) queademás se puede elegir con det(P ) > 0 y tal que

P t A00P = D =(λ1 00 λ2

)

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 12 de 52

Atrás


Cerrar

Si llamamos B ′ = BP , con el cambio X =(

xy

)= P

(x1

y1

)se transforma la

ecuación de la cónica en(x1 y1

) ·(λ1 00 λ2

)·(

x1

y1

)+ (

b′1, b′

2

) ·(x1

y1

)+a00 = 0

λ1x21 +λ2 y2

1 +b′1x1 +b′

2 y1 +a00 = 0

Si ambos autovalores λ1, λ2 son distintos de cero, se completan cuadrados,en x1, y1

λ1x21+b′

1x1 =λ1

[(x1 +

b′1

2λ1

)2

− b′21

4λ21

], λ2 y2

1+b′2 y1 =λ2

[(y1 +

b′2

2λ2

)2

− b′22

4λ22

]

y se obtiene la ecuación reducida λ1x22 +λ2 y2

2 = a

donde x2 = x1 + b′1

2λ1, y2 = y1 + b′

22λ2

, a = b′21

4λ1+ b′2

24λ2

−a00

En caso, de algún autovalor λ2 = 0, se completa sólo el otro cuadrado y se

obtiene la ecuación reducida λ1x22 +b′

2 y2 = a = b′21

4λ1−a00

Ejemplo 2. De la definición de parábola usada por Arquímedes de Siracusa(287-212 a.C.) se deduce que una parábola viene dada por las ecuacionesparamétricas {(λ+λ2, aλ2) ∈R2 : λ ∈R}. Para comprobarlo la reducimos:

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 13 de 52

Atrás


Cerrar

O sea, x =λ+λ2, y = aλ2 de donde

x =λ+ y

a=⇒

(x − y

a

)2=λ2 = y

a⇐⇒ x2 + y2

a2− 2x y

a− y

a= 0

a2x2 + y2 −2ax y −ay = 0

y matricialmente(x y

) ·( a2 −a−a 1

)·(

xy

)+ (0, −a) ·

(xy

)= 0

Si hallamos los autovalores de la matriz A00 =(

a2 −a−a 1

)obtenemos λ1 = 0,

λ2 = a2 +1. Si además calculamos sus autovectores, u1 = 1pa2+1

(1, a), u2 =1p

a2+1(−a,1) y los escribimos por columnas, nos proporcionan una matriz

de cambio ortogonal (xy

)= 1p

a2 +1

(1 −aa 1

)·(

x1

y1

)que nos transforma la ecuación de la cónica inicial en(

x1 y1) ·(0 0

0 a2 +1

)·(

x1

y1

)+ 1p

a2 +1

(−a2, −a) ·(x1

y1

)= 0

(a2 +1)y21 −

a2

pa2 +1

x1 − apa2 +1

y1 = 0

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 14 de 52

Atrás


Cerrar

Finalmente, completando cuadrados en y1 se llega a la ecuación reducida(y1 − a

2(a2 +1

)3/2

)2

= a2(a2 +1

)3/2

(x1 + 1

4(a2 +1

)3/2

)⇐⇒ y2

2 = bx2

con b = a2

(a2+1)3/2 , y2 = y1 − a2(a2+1)3/2 , x2 = x1 + 1

4(a2+1)3/2

Así, el nuevo origen es(

14(a2+1)3/2 ,− a

2(a2+1)3/2

)y hemos efectuado el cambio

de sistema de referencia(x2

y2

)= 1p

a2 +1

(1 a−a 1

)·(

xy

)+

( 14(a2+1)3/2

− a2(a2+1)3/2

)que en su forma matricial 3x3 es 1

x2

y2

=

1 0 01

4(a2+1)3/21p

a2+1ap

a2+1

− a2(a2+1)3/2 − ap

a2+11p

a2+1

·1

xy

para obtener la ecuación reducida de una parábola y2

2 = bx2.

Vemos que en todos los casos del parámetro, 0 6= a ∈ R, sale una parábola.En el caso, a = 0, la ecuación inicial se reduce a y2 = 0 que es una rectadoble (el eje X). Lo que llamamos, una cónica degenerada.

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 15 de 52

Atrás


Cerrar

Ejemplo 3. La ecuación 2x2 − 10x y + 2y2 + x + 3y + 6 = 0 representa unacónica. Esta puede ser escrita matricialmente como(

x y) ·( 2 −5

−5 2

)·(

xy

)+ (1, 3) ·

(xy

)+6 = 0

Si hallamos los autovalores de la matriz A00 =(

2 −5−5 2

)obtenemos λ1 = 7,

λ2 =−3. Si además calculamos sus autovectores, u1 = (−0.707107,0.707107),u2 = (−0.707107,−0.707107) y los escribimos por columnas, nos proporcio-nan una matriz de cambio ortogonal(

xy

)=

(−0.707107 −0.7071070.707107 −0.707107

)·(

x1

y1

)que nos transforma la ecuación de la cónica inicial en(

x1 y1) ·(7 0

0 −3

)·(

x1

y1

)+ (1.41421, −2.82843) ·

(x1

y1

)+6 = 0

7x21 −3y2

1 +1.41421x1 −2.82843y1 +6 = 0

Y completando cuadrados en x1, y1 se llega a la ecuación de una hipérbola

7(0.101015+x1)2 −3(0.471405+ y1)2 +6.59524 = 0

− (0.101015+x1)2

6.595247

+ (0.471405+ y1)2

6.595243

= 1 ⇐⇒ y22

2.19841− x2

2

0.942177= 1

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 16 de 52

Atrás


Cerrar

Finalmente, observamos que el cambio de sistema de referencia efectuadopara llegar a la hipérbola reducida, en su forma matricial 3x3 es 1

x2

y2

= 1 0 0

0.101015 −0.707107 −0.7071070.471405 0.707107 −0.707107

·1

xy

donde la matriz de cambio tiene determinante 1, lo que indica que la sub-

matriz(−0.707107 −0.707107

0.707107 −0.707107

)corresponde a una rotación.

Siempre es posible diagonalizar A00 con una rotación y con un cambio deorigen adicional, encontrar una matriz de cambio con determinante uno ycon la primera fila (1,0,0). O sea, diagonalizando la matriz A00 y despuéscompletando cuadrados siempre se llega a una de las nueve siguientes

Ecuaciones reducidas de una cónicaElipse real Elipse imaginaria Hipérbola

α2x2 +β2 y2 = c2 α2x2 +β2 y2 =−c2 α2x2 −β2 y2 =±c2

Rectas secantes Un punto Parábola

α2x2 −β2 y2 = 0 α2x2 +β2 y2 = 0 y2 = 2px

Rectas paralelas Rectas imaginarias Recta doble

y2 = c2 y2 =−c2 y2 = 0

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 17 de 52

Atrás


Cerrar

En realidad, el proceso constructivo anterior demuestra el siguiente

Teorema 1. La ecuación de cualquier cónica puede transformarse en unade las 9 reducidas mediante un cambio de sistema de referencia.

Además, el cambio de sistema de referencia

X̄ =1

xy

= 1 0 0

p10 p11 p12

p20 p21 p22

· 1

x2

y2

= P · X̄2

se puede elegir tal que la matriz P00 =(

p11 p12

p12 p22

)defina una rotación.

O sea, tal que P t00 = P−1

00 y det(P00) = 1.

Como consecuencia, si la ecuación de la cónica inicial es X̄ t AX̄ = 0.La ecuación de la reducida se obtiene sustituyendo

X̄ t AX̄ = X̄2tP t AP X̄2 = X̄2

tB X̄2 = 0

donde la matriz de la cónica reducida es

B = P t AP =1 p10 p20

0 p11 p21

0 p12 p22

·a00 a01 a02

a01 a11 a12

a02 a12 a22

· 1 0 0

p10 p11 p12

p20 p22 p22

Tomando determinantes, como |P t | = |P |, se obtiene

|B | = |P t | · |A| · |P | = |A| · |P |2 = |A| ·1 = |A|

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 18 de 52

Atrás


Cerrar

Hemos demostrado que los determinantes coinciden y por tanto que

Lema 1. El determinante de la matriz de una cónica es invariante respectoa cambios de sistema de referencia ortonormales.

Como B00 = P t00 A00P00, con P t

00 = P−100 , y siempre que se diagonaliza por

congruencia-semejanza se mantienen invariantes la traza y el determinantede la matriz

|A00| = |B00|, tr (A00) = tr (B00)

También, se tiene que

Lema 2. El determinante y la traza de la submatriz A00 de una cónica soninvariantes respecto a cambios de sistema de referencia. ortonormales.

Con estos 3 invariantes, es posible distinguir entre los 9 casos de cónicas

I1 = tr (A00) = a11 +a22, I2 = |A00| =∣∣∣∣ a11 a12

a12 a22

∣∣∣∣ , I3 = |A| =∣∣∣∣∣∣

a00 a01 a02

a01 a11 a12

a02 a12 a22

∣∣∣∣∣∣Por ejemplo, los 4 casos de rectas y el punto, verifican los 5 que |I3| = |A| = 0.Las llamamos Cónicas degeneradas. Además, se pueden distinguir

Si |I3| = |A| = 0

I2 = |A00| > 0 Un puntoI2 = |A00| < 0 Dos rectas secantesI2 = |A00| = 0 Dos rectas paraleleas

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 19 de 52

Atrás


Cerrar

Los 4 casos restantes, verifican los 4 que |I3| = |A| 6= 0. Las llamamosCónicas irreducibles o no degeneradas. Además, se pueden distinguir

Si |I3| = |A| 6= 0

I2 = |A00| > 0 Elipse

{I1I3 < 0 RealI1I3 > 0 Imaginaria

I2 = |A00| < 0 HipérbolaI2 = |A00| = 0 Parábola

Ejemplo 4. Las ecuaciones de la familia de cónicas5 del ejemplo 2

a2x2 + y2 −2ax y −ay = 0

se escriben matricialmente como

X̄ t AX̄ = (1 x y

) · 0 0 −a/2

0 a2 −a−a/2 −a 1

·1

xy

= 0

Si calculamos sus invariantes, |I3| = |A| = a4/4 e I2 = |A00| = 0. Obtenemosque son parábolas para cualquier valor del parámetro tal que a4/4 6= 0 ⇔a 6= 0, sin necesidad de conocer el tercer invariante I1 = a2 +1.

5De la definición de parábola usada por Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.).

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 20 de 52

Atrás


Cerrar

5. LA ELIPSE

Hay al menos 2 definiciones clásicas de elipse. La primera define:

Q

P = (x, y)

F2(c,0)F1(−c,0) Ox

y Una elipse como el lugar geo-métrico de los puntos, P = (x, y),tales que la suma de sus distan-cias a dos puntos fijos sea cons-tante |PF1|+ |PF2| = 2a.Los puntos fijos F1 y F2 son lla-mados focos y los situamos en eleje X , a distancia c = |F1F2|

2 delorigen O de coordenadas.Así, tenemos

|PF1|+ |PF2| =√

(x + c)2 + y2 +√

(x − c)2 + y2 = 2a

despejando√

(x − c)2 + y2 = 2a −√

(x + c)2 + y2 y elevando al cuadrado

x2 −2cx + c2 + y2 = 4a2 −4a√

(x + c)2 + y2 +x2 +2cx + c2 + y2

a√

(x + c)2 + y2 = a2 + cx ⇐⇒ a2(x2 +2cx + c2 + y2) = a4 +2a2cx + c2x2

simplificando el sumando repetido y trasponiendo nos queda

(a2 − c2)x2 +a2 y2 = a2(a2 − c2)

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 21 de 52

Atrás


Cerrar

y llamando b2 = a2 − c26 obtenemos la ecuación reducida de la elipse

b2x2 +a2 y2 = a2b2 ⇐⇒ x2

a2+ y2

b2= 1

Definición 2. Se define como primera excentricidad o simplemente excen-tricidad al número e =

√a2−b2

a2 =√

c2

a2 = ca < 1.

Si e = 1 ⇐⇒ c = a ⇐⇒ |PF1|+ |PF2| = 2a = 2c = |F1F2|, entonces no formantriángulo y el dibujo de la elipse degenera en un segmento del eje x.

En el otro extremo, si e = ca = 0 ⇐⇒ c = 0 ⇐⇒ b2 = a2. O sea, b = a y la

elipse se convierte en una circunferencia x2 + y2 = a2 centrada en el origen.Por tanto, cuanto e mas próxima a cero mas se parece a una circunferencia.

Por ejemplo, la superficie de la tierra se aproxima mucho a un elipsoide derevolución. De forma, que la intersección de un plano que pase por los dospolos da una elipse meridiana, cuya excentricidad está próxima a cero:

Ejemplo 5. Tomando el elipsoide WGS84, se tienen los parámetros

a = 6 378.137 km, b = 6 356.752 km, c =√

a2 −b2 = 521.854 km

Con estos datos, la excentricidad sale e = c/a = 0.0818192 y por tantoun meridiano terrestre se parece mucho a una circunferencia ligeramenteachatada por los polos.

6Por la desigualdad triangular, 2a = |PF1|+ |PF2| > |F1F2| = 2c ⇒ a2 > c2 ⇒ a2 − c2 > 0.

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 22 de 52

Atrás


Cerrar

En 1609, Johanes Kepler7 publicó su obra Astronomia Nova donde aparecensus 3 leyes del movimiento planetario con la elipse como protagonista:

• Cada planeta sigue una órbita elíptica con el sol en uno sus focos.• La línea sol-planeta, barre áreas iguales en tiempos iguales.• El cuadrado del periodo de revolución del planeta es proporcional al

cubo de la longitud del eje mayor de la órbita.

planeta a eMercurio 0.378 0.206

Venus 0.723 0.007Tierra 1 0.017Marte 1.881 0.093

Júpiter 11.857 0.048Saturno 29.42 0.056

Urano 83.75 0.046Neptuno 163.72 0.009

Plutón 2481 0.249

Basándose en las observaciones recopiladaspor Tycho Brahe, a quien sucedió en elcargo de matemático imperial de Rodolfo IIen Praga, pudo descubrir y comprobar susleyes. En 1679, Newton verificó su ley de lagravitación universal y dedujo teóricamentelas tres de Kepler.

Así, dos cuerpos sometidos a la ley inversadel cuadrado de la distancia deben describiruna órbita elíptica con el cuerpo mas grandeen uno de los focos.

Todas las excentricidades son pequeñas excepto las de Mercurio y Plutón. Elsemieje mayor a se mide en unidades astronómicas, 1 ua ' 150 millones km

71571-1630, matemático y astrónomo alemán.

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 23 de 52

Atrás


Cerrar

5.1. Otra definición de elipse. Se define también una elipse:

Rl

P = (x, y)

F (c,0)Ox

y

a2/c

θ

Como el lugar geométrico de lospuntos, P , tales que el cociente en-tre sus distancias a un punto y unarecta fijos es constante y menorque uno, |PF |

|Pl | = e < 1.El punto fijo F es un foco y larecta l directriz es perpendiculara la línea del semieje mayor a unadistancia a2/c del centro:

R2 = (x − c)2 + y2 = |PF |2 = e2|Pl |2 = e2(a2

c−x)2

x2 −2cx + c2 + y2 = e2(

a4

c2−2

a2

cx +x2

)sacando factor común

(1−e2)x2 + y2 = e2a4

c2− c2 +2

(c − e2a2

c

)x

como e2 = c2/a2 se tiene c − e2a2

c = c2−c2

c = 0 y e2a4

c2 = a2. Por tanto

(1−e2)x2 + y2 = a2 − c2 = b2 ⇐⇒ x2

b2

1−e2

+ y2

b2= 1 ⇐⇒ x2

a2+ y2

b2= 1

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 24 de 52

Atrás


Cerrar

5.2. La elipse en polares. Con el radio vector desde el foco R = |PF |, y elángulo θ, es fácil de obtener otra ecuación de la elipse reducida x2

a2 + y2

b2 = 1

R = |PF | = e|Pl | = e

(a2

c−x

)= e

(a2

c− (c +R cosθ)

)= e

(a2 − c2

c−R cosθ)

)como a2 − c2 = b2 y e = c/a, se tiene

R = eb2

c−Re cosθ = b2

a−Re cosθ⇐⇒ R(1+e cosθ) = b2

a

despejando se obtiene R = b2/a1+e cosθ la ecuación en polares8 de la elipse

Ejemplo 6. Escribe la ecuación de la órbita de Marte, sabiendo que tieneexcentricidad e = 0.093 y semieje mayor a = 2.28∗108 km.

Como e = c/a, se tiene c = e ∗a

c = 0.093∗2.28∗108 = 212 040 000 kmb =

pa2 − c2 = 83 803 570.33 km

b2/a = 30 802 800.0 km

Por tanto, la ecuación de la órbita de Marte es R = 30 802 800.01+0.093cosθ

8Si se elige el otro foco y la otra directriz, se obtiene R = b2/a1−e cosθ .

Si a < b, la ec. en polares sale R = a2/b1+e sinθ o bien R = a2/b

1−e sinθ

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 25 de 52

Atrás


Cerrar

5.3. Elipses prolatas. Todas las elipses vistas hasta aquí tienen el semiejemayor a lo largo del eje x, se llaman elipses oblatas. Pero la elipse x2

a2 + y2

b2 =1, con a < b, se llama prolata.

l

l ′

P = (x, y)

Q

F1 = (0,c)

F2 = (0,−c)

Ox

y

b2/c

b2/c

Su dibujo es alargado según el ejeY y puede definirse con cualquierade las dos directrices, situadas adistancia b2/c del eje X .La condición es que el cociente delas distancias coincida con la primeraexcentricidad

|PF1||Pl | = |PF2|

|Pl ′| = e < 1

y por tanto que sea menor que 1.

Ejemplo 7. Dada la elipse 9x2 +4y2 = 36, calcula sus semiejes y deduce sies oblata o prolata. Calcula su excentricidad y una ecuación en polares.

Si se divide por 36, se tiene 9x2

36 + 4y2

36 = 1 ⇐⇒ x2

22 + y2

32 = 1y como 2 < 3, el semieje mayor va a lo largo del eje Y .Por tanto la elipse es prolata y su excentricidad vale e =

p32−22

3 ' 0.746.Con el foco superior como origen, su ec. en polares es

R = 4/3

1+0.746sinθ= 1.33

1+0.746sinθ

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 26 de 52

Atrás


Cerrar

5.4. Excentricidades y aplanamientos. Hay 6 cantidades que miden comode grande es un semieje respecto al otro, en una elipse.

Tres se llaman excentricidades y otras 3 se llaman aplanamientos.

excentricidad e =p

a2−b2

a = ca sinα

2ª excentricidad e ′ =p

a2−b2

b = cb tanα

3ª excentricidad e" =√

a2−b2

a2+b2sinαp

2−sin2α

aplanamiento f = a−ba 1−cosα

2º aplanamiento f ′ = a−bb secα−1

3º aplanamiento n = a−ba+b = c

b1−cosα1+cosα

Estas 6 cantidades notienen unidad porque sonrazones o cocientes decantidades lineales.

Hay otra cantidad, α, quese mide en unidades deángulo y se llama excen-tricidad angular que sirvepara lo mismo.

aa

F1F2 Oc cbαα

x

y Como b2+c2 = a2, del dibujo de los 2 triángulosrectángulos, se obtienen las relaciones

sinα= c

a, cosα= b

a, tanα= c

b

Se puede especificar una elipse por a, b. O bien, por a o b con uno de los 6.Así, es frecuente dar una órbita por su semieje mayor a y su excentricidad e.También, a veces una elipse se da por a y su aplanamiento f .

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 27 de 52

Atrás


Cerrar

Un aplanamiento cero, f = a−ba = 0 significa que los ejes son iguales, resul-

tando un círculo caso límite de elipse.

En geodesia, es costumbre dar la elipse meridiana de la tierra por su semiejemayor9 y por el inverso de su aplanamiento. Pero, históricamente, hay masde un esferoide que aproxima la forma de la Tierra. Quizás, el mas usadohoy sea el World Geodetic System 1984, WGS84.

Ejemplo 8. Para el WGS84, la intersección de un plano que pase por losdos polos da una elipse meridiana,que queda determinada por su semiejemayor a = 6 378 137.0 metros y por 1/ f = 298.257223563.

Entonces, su aplanamiento es f = 1/298.257223563 = 0.00335281. Por tanto,

b = a −a ∗ f = 6 356 752.314 mc =

pa2 −b2 = 521 854. m

e = c/a = 0.0818192e ′ = c/b = 0.0820944

e" =√

a2−b2

a2+b2 = 0.057952

f ′ = a−bb = 0.00336409

n = (a −b)/(a +b) = 0.00167922

Con estos datos la excentricidad angular de la tierra sale muy pequeña

α= Ar cSi n(e) = 4.69314◦

9Que coincide con el radio ecuatorial.

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 28 de 52

Atrás


Cerrar

A veces se da el eje mayor en vez del semieje. Así para la

Ejemplo 9. La órbita de la tierra se considera una elipse con eje mayor2a = 2.99∗108 km y excentricidad e = 0.017. Si calculamos sus semiejes

a = 2.99∗108/2 = 149 500 000.0 kmb =

pa2 −e2 ∗a2 = 149 478 395.69 km

c =p

a2 −b2 = 2 541 500.0 km

O sea, los semiejes a y b son casi iguales, aproximadamente 150 millones dekm. El semieje c no llega a 3 millones de km y es claramente inferior.

e ′ = c/b = 0.0170024570326

e" =√

a2−b2

a2+b2 = 0.01202168387821f = (a −b)/a = 0.000144510441634f ′ = a−b

b = 0.000144531327920n = (a −b)/(a +b) = 0.000072260442011

Como se observa, son muy pequeñas lo que indica que la órbita de la tierraes casi circular. Finalmente, la excentricidad angular de la órbita de latierra en grados decimales sale

α= Ar cSi n(e) = 0.974075◦

No llega a un grado sexagesimal, mientras que para la elipse meridiana dela tierra salía unos 4.7◦ lo que indica la órbita se aproxima mas a un círculo.

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 29 de 52

Atrás


Cerrar

5.5. La elipse en paramétricas. Si se considera, como es usual, la ecuación,x2

a2 + y2

b2 = 1, de una elipse respecto a un sist. de ref, centrado en el centro desimetría de la misma10. Una parametrización inmediata viene dada por

x = a cosβy = b sinβ

}=⇒ x2

a2+ y2

b2= cos2β+ sin2β= 1

P = (a cosβ,b sinβ)

x

y

a

b

a

βb sinβ

a cosβ

Las elipses son usadas no sóloen matemáticas sino en tam-bién es astronomía, ingeniería,geodesia, etc. En estos cam-pos, tienen diferentes nota-ciones, usan diferentes orígenesy diferentes ángulos.El nombre usado, en geodesiay astronomía, para el ánguloβ en esta parametrización eslatitud reducida, paramétricao anomalía excéntrica.

10Con los ejes coordenados según los correspondiente ejes de simetría de la elipse.

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 30 de 52

Atrás


Cerrar

5.6. Otras paramétricas. En geodesia y ciencias de la tierra, el centro dela elipse se toma como origen de unas coordenadas polares. En astronomía eingeniería uno de los focos de la elipse es tomado como centro de otras co-ordenadas polares. Así, se obtienen otras dos parametrizaciones de la elipse.

Los dos ángulos polares ϕ′ y θ se miden a izquierdas o contrario a las agujasdel reloj (sentido levógiro), que es el sentido positivo en matemáticas. Conel cero de estos ángulos cuando el radio vector correspondiente señala alsentido positivo del eje x11.

r R

P = (r cosϕ′,r sinϕ′) = (c +R cosθ,R sinθ)

FOx

y

a

b

x

y

cϕ′ θ

En la primera parametrización,el ángulo ϕ′ es llamado latitudgeocéntrica. En la segunda, elángulo θ es llamado anomalíaverdadera.El punto F es uno de los dosfocos de la elipse situados adistancia c =

pa2 −b2 del cen-

tro O de la elipse. Sus coorde-nadas son F = (c,0)

11Señala al perigeo en la órbita de un satélite o hacia el perihelio en la órbita de la tierra.

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 31 de 52

Atrás


Cerrar

5.7. Latitud geodésica. La parametrización más usada en geodesia y cien-cias de la tierra está basada en un cuarto ángulo que es el que forma la per-pendicular a la elipse en un punto con el eje X , llamado latitud geodésica12

del punto.

Derivando en la ecuación x2

a2 + y2

b2 = 1 se obtiene la pendiente de la normal

2xd x

a2+ 2yd y

b2= 0 =⇒ m = d y

d x=−b2

a2

x

y=⇒ tanϕ=− 1

m= a2

b2

y

x

Si despejamos, y = b2

a2 x tanϕ, sustituyendo en la ecuación de la elipse, seobtiene la parametrización en función de la latitud geodésica ϕx = a2 cosϕp

a2 cos2ϕ+b2 sin2ϕ= rN cosϕ =⇒ rN = a2p

a2 cos2ϕ+b2 sin2ϕ, y = b2

a2 rN sinϕ

rN

x P = (x, y

)FO x

y

a

b

ϕ

ϕ

Como√

a2 cos2ϕ+b2 sin2ϕ =a√

1−e2 sin2ϕ= b√

1+e ′2 cos2ϕ

Se obtienen otras dos parametriza-ciones con este ángulo.Una usa la excentricidad e y la otra lasegunda excentricidad e ′. Ambas sonusadas frecuentemente en geodesia.

12La latitud geodésica se mide fácilmente en un punto de la superficie de la tierra.

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 32 de 52

Atrás


Cerrar

5.8. Cambios de parametrización. Las 4 parametrizaciones usadas son

(a cosβ,b sinβ) = (r cosϕ′,r sinϕ′) =(rN cosϕ,

b2

a2rN sinϕ

)= (c+R cosθ,R sinθ)

están basadas en 4 ángulos que se detallan en el dibujo de x2

a2 + y2

b2 = 1, b < a

rN

r R

P = (x, y

)

FO x

y

a

b

ϕϕ′ θβ

Como√

a2 cos2ϕ+b2 sin2ϕ =a√

1−e2 sin2ϕ= b√

1+e ′2 cos2ϕ

Se obtienen otras dos parametriza-ciones con este ángulo.Una usa la excentricidad e y laotra la segunda excentricidad e ′.Ambas son usadas frecuentementeen geodesia.

De las definiciones de las latitudes reducida, geocéntrica y geodésica, se

x = a cosβ= r cosϕ′ = rN cosϕ

y = b sinβ= r sinϕ′ = b2

a2 rN sinϕ

}=⇒ y

x= b

atanβ= tanϕ′ = b2

a2tanϕ

tienen las relaciones entre los 3 primeros ángulos que permiten el cambio.

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 33 de 52

Atrás


Cerrar

Por otro lado, x = c +R cosθ =⇒ R cosθ = x −c = a cosβ−ae = a(cosβ−e)

R cosθ = a(cosβ−e)y = R sinθ = b sinβ

}=⇒ tanθ = R sinθ

R cosθ= b sinβ

a(cosβ−e)

que nos da la relación que permite el cambio con el cuarto ángulo.

También, como

r 2 cos2ϕ′

a2+r 2 sin2ϕ′

b2= 1 =⇒ r = 1√

cos2ϕ′a2 + sin2ϕ′

b2

= ab√b2 cos2ϕ′+a2 sin2ϕ′

La relación entre los distintos radio vectores se obtiene con el cambio entresus ángulos, conociendo las 3 ecuaciones polares de la elipse

R = b2/a1+e cosθ

r = abpb2 cos2ϕ′+a2 sin2ϕ′

rN = a2pa2 cos2ϕ+b2 sin2ϕ

Del dibujo se deduce que en general se tienen las desigualdades siguientesentre los ángulos y los radio vectores de un punto de la elipse

ϕ′ < β < ϕ < θ

R < r < rN

}Las comprobamos en el siguiente ejemplo

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 34 de 52

Atrás


Cerrar

Ejemplo 10. Conociendo la latitud de Granada, ϕ = 37.19◦. Calcula susotras 2 latitudes, su anomalía verdadera θ. Así como sus 3 radio vectores.

Con los datos del elipsoide WGS84, la elipse meridiana que pasa por Granadatiene como semiejes a ' 6 378.14 km, b ' 6 356.75 km y c ' 521.86 km yprimera excentricidad e ' 0.08182

Como para granada, se tiene la latitud geodésica ϕ= 37.19◦. Entonces

ϕ′ = arctan(

b2

a2 tan37.19◦)

= 37.0049◦

β = arctan(

ba tan37.19◦

)= 37.0974◦

θ = arctan b sinβa(cosβ−e) = 40.0248◦

y se cumplen las desigualdades ϕ′ <β<ϕ< θ.Finalmente, los radio vectores desde Granada son

R = b2/a1+e cosθ = 5 961.9 km

r = abpb2 cos2ϕ′+a2 sin2ϕ′ = 6 370.37 km

rN = a2pa2 cos2ϕ+b2 sin2ϕ

= 6 385.95 km

y también se cumplen las desigualdades R < r < rN

13.

13R se mide desde un foco desplazado ecuatorialmente 521.86 km del centro, r se midedesde el centro de la tierra y rN desde un punto en el eje polar desplazado hacia el sur.

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 35 de 52

Atrás


Cerrar

5.9. Reflexión en la elipse. Como las parábolas las elipses tienen una in-teresante propiedad de reflexión que tiene consecuencias prácticas. Es elfundamento teórico de las galerías susurrantes y de la litotricia14.

P = (x, y

)

F1F2 O x

y

a

b

αα

Los ángulos formados entre losradio vectores desde los dos focosy la (tangente) elipse son igualesPara demostrarlo, primero sederiva en la ecuación de la elipse

x2

a2+ y2

b2= 1 =⇒ 2xd x

a2+ 2yd y

b2= 0

Por tanto, un vector tangente es

u = (d x,d y) = (a2 y,−b2x)

Calculando el producto escalar con F1P = (x − c, y), F2P = (x + c, y) se tiene

u ·F1P = a2 y(x − c)−xb2 y = (a2 −b2)x y − ca2 y = c y(cx −a2)u ·F2P = a2 y(x + c)−xb2 y = (a2 −b2)x y + ca2 y = c y(cx +a2)

}=⇒

14Litotricia extracorpórea por ondas de choque, LEC, es un tratamiento no invasivo queutiliza un pulso acústico para romper los cálculos renales y los biliares (piedras en la vejigao en el hígado). A partir de 1980, por la empresa alemana Dornier Medtech. En EstadosUnidos cerca del 70% de pacientes con cálculos renales, son tratados con el LEC.

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 36 de 52

Atrás


Cerrar

c y(cx −a2) = u ·F1P = ‖u‖‖F1P‖cosα1

c y(cx +a2) = u ·F2P = ‖u‖‖F2P‖cosα2

}=⇒ ‖u‖cosα1 = c y(cx −a2)/‖F1P‖

‖u‖cosα2 = c y(cx +a2)/‖F2P‖Para que los dos ángulos sean iguales deben serlo sus cosenos

cosα1 = cosα2 ⇐⇒ c y(cx −a2)/‖F1P‖ = c y(cx +a2)/‖F2P‖⇐⇒ (cx−a2)‖F2P‖ = (cx+a2)‖F1P‖⇐⇒ (cx−a2)2‖F2P‖2 = (cx+a2)2‖F1P‖2

pero

(cx −a2)2‖F2P‖2 = (c2x2 +a4 −2a2cx)(x2 + y2 + c2 +2cx) == (c2x2 +a4)(x2 + y2 + c2)−4a2c2x2 + (c2x2 +a4)2cx −2a2cx(x2 + y2 + c2)

y análogamente

(cx +a2)2‖F1P‖2 = (c2x2 +a4 +2a2cx)(x2 + y2 + c2 −2cx) == (c2x2 +a4)(x2 + y2 + c2)−4a2c2x2 − (c2x2 +a4)2cx +2a2cx(x2 + y2 + c2)

Luego para que sean iguales basta con la igualdad

(c2x2+a4)2cx−2a2cx(x2+ y2+c2) =−(c2x2+a4)2cx+2a2cx(x2+ y2+c2)

⇐⇒ (c2x2 +a4)4cx = 4a2cx(x2 + y2 + c2) ⇐⇒ c2x2 +a4 = a2(x2 + y2 + c2)

⇐⇒ a2(a2 − c2) = (a2 − c2)x2 +a2 y2 ⇐⇒ a2b2 = b2x2 +a2 y2

Ahora, dividiendo por a2b2 equivale a la ecuación de la elipse x2

a2 + y2

b2 = 1 yel resultado queda demostrado.

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 37 de 52

Atrás


Cerrar

6. LA PARÁBOLA

En 1591, Galileo demostró que la curva que describe un proyectil disparadoen el aire formando un ángulo con la horizontal es parte de una parábola.

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistande un punto fijo, el Foco, y una recta fija, l , la directriz.

(x, y)

F x

y

directriz

y

p

Como consecuencia, el punto medio entre elfoco y la directriz pertenece a la parábola yse le llama vértice de la misma.También, la perpendicular a la directriz porel vértice, es una recta de simetría de laparábola, llamado el eje de la parábola.Podemos obtener una ecuación reducida osencilla de la parábola, suponiendo los ejescoordenados como en el dibujo. Así, y = −pes la recta directriz y F = (0, p) es el foco.

Entonces, si P = (x, y) es un punto de la parábola, la condición para que Pesté en la parábola es

√x2 + (y −p)2 = |PF | = |Pl | = y +p. O sea,

x2 + y2 −2py +p2 = x2 + (y −p)2 = (y +p)2 = y2 +2py +p2

restando y2 +p2, despejando y llamando a = 1/4p, la ecuación queda

x2 = 4py ⇐⇒ y = ax2

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 38 de 52

Atrás


Cerrar

6.1. Otra definición de parábola. Si se intercambian los ejes, la condi-ción queda x = ay2. Cualquiera de las dos es una ecuación reducida de laparábola. El parámetro a puede ser negativo si la concavidad cambia.

x

y

P = (x, y)

Fθ

dire

ctri

z R

xp

Como el lugar geométrico de los puntos, P ,tales que el cociente entre sus distancias a unpunto, F , y una recta, l , fijos es constante eigual a uno, |PF |

|Pl | = e = 1.

R = |PF | = |Pl | = p +x = 2p +R cosθ

R(1−cosθ) = 2p ⇐⇒ R = 2p

1−cosθque es la ecuación de la parábola en polares.

La anterior parábola tiene su concavidad a la derecha, lo que concuerda conel hecho de que su radio vector R = 2p

1−cosθ se hace infinito cuando θ = 0.

Por tanto, si la parábola tiene su concavidad hacia la izquierda entonces suecuación en polares es R = 2|p|

1+cosθ ya que R se hace infinito cuando θ = 180◦.

Ejemplo 11. Halla el foco y la directriz de la parábola y2 +10x = 0. Hallasu ecuación en polares y sin dibujarla di hacia donde dirige su concavidad.

Basta despejar, y2 = −10x = 4px, luego la parábola es horizontal con p =−10/4 =−2.5. Por tanto, el foco es F = (−2.5,0). Como, x =−y2/10 < 0, suconcavidad es a la izquierda y su ecuación en polares es R = 2.5

1+cosθ

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 39 de 52

Atrás


Cerrar

6.2. Reflexión en la parábola. Como las elipses las parábolas tienen unainteresante propiedad de reflexión que tiene consecuencias prácticas. Es elfundamento teórico del diseño de algunos faros de automóvil, telescópiosreflectantes y puentes colgantes.

P = (x, y

)F x

y

directriz

α

α

Los ángulos formados entre el radio vectordesde el foco y la perpendicular a la directrizcon la (tangente) parábola son igualesPara demostrarlo, primero se deriva

x2 = 4py =⇒ 2xd x = 4pd y

Por tanto, un vector tangente es

u = (d x,d y) = (2p, x)

Calculando el producto escalar con F1P = (x, y −p), v = (0,1) se tiene

u ·F1P = 2px +x(y −p) = px +x y = ‖u‖‖F1P‖cosα1

u · v = x = ‖u‖cosα2

}=⇒

Para que los dos ángulos sean iguales deben serlo sus cosenos

(px +x y)/‖F1P‖ = ‖u‖cosα1 = ‖u‖cosα2 = x ⇐⇒px +x y = x‖F1P‖⇐⇒ (px +x y)2 = x2(x2 + y2 −2py +p2) ⇐⇒

p2x2+2px2 y+x2 y2 = x4+x2 y2−2px2 y+xp2 ⇐⇒ 4px2 y = x4 ⇐⇒ x2 = 4py

que es la ecuación de la parábola y el resultado queda demostrado.

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 40 de 52

Atrás


Cerrar

6.3. Trayectoria balística. La trayectoria balística es la trayectoria devuelo que sigue un proyectil sometido únicamente a su propia inercia y a lasfuerzas inherentes al medio en el que se desplaza, principalmente la fuerzagravitatoria.

Si tan solo actúa la gravedad, la trayectoría balística es una parábola. Pero,la presencia de otras fuerzas, tales como la resistencia aerodinámica (atmós-fera), la fuerza de sustentación, la fuerza de Coriolis (efecto de la rotaciónterrestre), etc. hace que la trayectoria real sea algo diferente de una parábola.Utilizaremos las siguientes hipótesis que aproximan la realidad:

• El alcance del proyectil es pequeño para poder despreciar la cur-vatura de la superficie terrestre: Una única vertical.

• La altura que alcanza el proyectil es pequeña para poder despreciarla variación del campo gravitatorio con la altura: g constante.

• La velocidad del proyectil es suficientemente pequeña para poderdespreciar la resistencia del aire a su movimiento: Sólo gravedad.

• Sin el efecto de la rotación terrestre que tiende a desviar el proyectilhacia la derecha en el hemisferio Norte: Trayectoria plana.

Si se dispara el proyectil con velocidad inicial v0, formando un ángulo θ conla horizontal. Entonces, el vector velocidad inicial es ~v0 = (v0 cosθ, v0 sinθ)Donde el plano x, y coincide con el plano de la trayectoria definido por losvectores de la velocidad inicial y de la aceleración de la gravedad.

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 41 de 52

Atrás


Cerrar

Tenemos dos movimientos, uno horizontal y otro vertical combinados. Suponemosque el horizontal no está sometido a ninguna fuerza, mientras que el verticalestá sometido a la fuerza de la gravedad terrestre, g = 9.8m/s2.

Por tanto, el vector aceleración en cualquier instante será constante e igual a~a = (0,−g ). Si integramos este vector respecto al tiempo obtenemos el vectorvelocidad en el instante t que ya no es constante

~v(t ) = (v0 cosθ, v0 sinθ− g ∗ t

)Si volvemos a integrar, obtenemos el vector de posición del proyectil

~x(t ) =(x0 + v0t cosθ, y0 + v0t sinθ− g

2t 2

)=⇒ x = v0t cosθ

y = v0t sinθ− g2 t 2

}Tomando, x0 = 0, y0 = 0, el origen coincide con la posición de disparo y estasson las ecuaciones paramétricas de la trayectoria. Si eliminamos el tiempo,obtenemos la ecuación de la trayectoria que sale una parábola en el plano:

y = x tanθ− g

2v20 cos2θ

x2

Si ahora queremos hallar la distancia alcanzada por el proyectil, basta calcu-lar la distancia horizontal, x, cuando y = 0

0 = x

(tanθ− g

2v20 cos2θ

x

)=⇒

{x = 0

x = 2v20 sinθcosθ

g = v20 sin2θ

g

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 42 de 52

Atrás


Cerrar

Luego, la máxima distancia horizontal alcanzada es d = v20 sin2θ

g

Ejemplo 12. Halla la máxima distancia que puede alcanzar un proyectildisparado con velocidad inicial v0 = 100 m/s y el ángulo con el que consigue.Con ese disparo, también la máxima altura alcanzada.

Para hallar la máxima distancia, derivamos respecto a θ e igualamos a cero

d ′ = 2v20 cos2θ

g= 0 =⇒ 2θ = 90◦ =⇒ θ = 45◦

y con g ' 10 m/s2, la distancia alcanzada es d = 1002 sin90◦10 = 1000 metros

h = 500 m

Ox

y

θ = 45◦

y = x − x2

1000

d = 1000 m

Y la ecuación de la trayectoria es y = x tan45◦− 102∗1002 cos2 45◦ x2 = x − x2

1000Si derivamos e igualamos a cero hallamos la altura alcanzada.

y ′ = 1− x

500= 0 =⇒ x = 500 m

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 43 de 52

Atrás


Cerrar

7. LA HIPÉRBOLA

Hay al menos 2 definiciones clásicas de hipérbola. La primera define:

ac

P (x, y)

x

y

x2

a2 − y2

b2 = 1

F2F1

Una hipérbola como el lugar geométrico delos puntos, P = (x, y), tales que la diferenciade sus distancias a dos puntos fijos sea cons-tante |PF1|− |PF2| = 2a.Los puntos fijos F1 y F2 son llamados focos ylos situamos en el eje X , a distancia c = |F1F2|

2del origen O de coordenadas.Así, tenemos F1 = (−c,0), F2 = (c,0)Además, del dibujo a < c =⇒ 0 < c2 −a2 = b2

|PF1|−|PF2| =√

(x + c)2 + y2−√

(x − c)2 + y2 = 2a

despejando√

(x + c)2 + y2 = 2a +√

(x − c)2 + y2 y elevando al cuadrado

x2 +2cx + c2 + y2 = 4a2 +4a√

(x − c)2 + y2 +x2 −2cx + c2 + y2

a√

(x − c)2 + y2 = cx −a2 ⇐⇒ a2(x2 −2cx + c2 + y2) = c2x2 −2a2cx +a4

simplificando y trasponiendo nos queda la ecuación reducida de la hipérbola

(c2 −a2)x2 −a2 y2 = a2(c2 −a2) = a2b2 ⇐⇒ x2

a2− y2

b2= 1

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 44 de 52

Atrás


Cerrar

Las hipérbolas ocurren frecuentemente como grafos de ecuaciones en Química,Física, Biología y Economía15. Otra aplicación significativa se usó en la se-gunda guerra mundial para localizar barcos desde la costa16:

Dos estaciones A y B, distanciadas 2c km en la costa, trasmiten simultánea-mente señales de radio. Un barco situado en P, las recibe en tiempo diferentey un aparato convierte la diferencia de tiempo en diferencia de distancias|PA|− |PB | = 2a. Entonces, el barco se encuentra en una de las ramas de lahipérbola definida por los focos A y B , y semiejes c, a y b =

pc2 −a2.

Con algún dato mas, es posible localizar el barco de forma unívoca. Así

Ejemplo 13. Si un barco P está situado frente a B que dista 400 km de A yrecibe las señales de A con 1200 µs de retardo. Encuentra la ecuación de lahipérbola en la que se encuentra el barco y finalmente la distancia PB .

Px

y

BA

Suponemos la velocidad de las ondas 0.3 km/µs.Junto con el retardo del enunciado podemos cal-cular la diferencia, PA - PB = 0.3*1200 = 360 km=2a y por tanto a = 180. Como c = 400/2= 200,b =

pc2 −a2 = 87.178. Así, la ecuación de la

hipérbola es x2/1802 + y2/87.1782 = 1. Y para x = 200 =⇒ y = ±42.2222.Finalmente, el barco de encuentra a 42.2222 km desde B.

15Ley de Boyle, ley de Ohm, curvas de demanda y de suministros, etc.16En el LORAN: Long Range Navigation system.

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 45 de 52

Atrás


Cerrar

8. OTRA DEFINICIÓN DE HIPÉRBOLA

La segunda definición de hipérbola es la polar. Análoga a las vistas paraelipse y parábola. Pero hay una definición para cada rama de la hipérbola.

R

a2

cb2

c

c

P

x

yll ′

FF ′θ

Como el lugar geométrico de los puntos, P ,tales que el cociente entre sus distancias a unpunto y una recta fijos es constante y mayorque uno, |PF |

|Pl | = e > 1.El punto fijo F es un foco y la recta l direc-triz es perpendicular a la línea de los focosa una distancia a2/c del centro y d = b2/cdel foco. Ahora, |Pl | = d +R cosθ, |PF | = R.Entonces,

R = e|Pl | = e(d +R cosθ) ⇐⇒ R(1−e cosθ) = ed ⇐⇒ R = ed

1−e cosθ

Para la rama de la izquierda, con directriz l ′ y radio vector R ′ se tiene

R ′ = e|Pl ′| = e(d −R cosθ) ⇐⇒ R ′(1+e cosθ) = ed ⇐⇒ R ′ = ed

1+e cosθ

Por tanto, la misma hipérbola x2

a2 − y2

b2 = 1 tiene dos ecuaciones polares, unapara cada rama. Observamos, que en la hipérbola se tienen las relacionesc2 = a2 +b2 ⇐⇒ c = a2

c + b2

c , y también e = ca , ed = c

ab2

c = b2

a .

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 46 de 52

Atrás


Cerrar

9. DEFINICIÓN UNIFICADA

La definiciones polares anteriores, permiten una definición unificada:Si F es un punto fijo, llamado foco, l una recta fija, llamada directriz y 0 < eun número real positivo, llamado excentricidad. Entonces, tenemos que

Teorema 2. El conjunto de puntos P del plano, tales que |PF ||Pl | = e pertenecen

a la siguiente cónica no degenerada:

• Elipse si e < 1• Parábola si e = 1• Hipérbola si e > 1

Para cada cónica hay 4 posibles posiciones para la directriz17. Por tanto,

Teorema 3. Las siguientes ec. representan una cónica con excentricidad e

R = ed

1±e cosθo bien R = ed

1±e sinθLa cónica es una elipse si e < 1, parábola si e = 1 e hipérbola si e > 1.

Ejemplo 14. Identifica la cónica dada por R = 103−2cosθ . Encuentra su ex-

centricidad y su directriz.Como R = 10/3

1−2/3cosθ =⇒ e = 2/3 < 1, es una elipse. Como ed = 10/3 =⇒ d =10/2 = 5, y por el signo, la directriz está a 5 unidades del foco izquierdo.

17O bien, eligiendo la directriz o intercambiando los ejes.

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 47 de 52

Atrás


Cerrar

10. BIBLIOGRAFÍA

[1] Merino, L., Santos, E., Álgebra Lineal con métodos elementales, Univ. Granada, 1997.[2] Stewart, J., Calculus Early transcendentals, Thompson Learning Inc., 2008.

11. EJERCICIOS.

Ejercicio 1. Encuentra una parábola con vértice en (0,0) y foco (0,−2).

Ejercicio 2. Encuentra una hipérbola con vértices (±3,0) y focos (±5,0).

Ejercicio 3. Encuentra una elipse con vértices (±5,0) y focos (±2,0).

Ejercicio 4. Determina el tipo de curva representada por x2

k + y2

k−16 = 1, enlos siguientes casos: 1) k < 16, 2) k ∈ (0,16) y 3) k < 0. Muestra que lascurvas en los casos 1), 2) tienen los mismos focos.

Ejercicio 5. Clasifica la cónica x y + x + y + 1 = 0. Calcula su ecuaciónreducida, sus semiejes y excentricidad.

Ejercicio 6. Clasifica la cónica x2+y2+2x y+6p

2x−2p

2y+26 = 0. Calculasu ecuación reducida, sus semiejes y excentricidad.

Ejercicio 7. Identifica la cónica dada por R = 11−sinθ . Encuentra su excent-

ricidad y su directriz.

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 48 de 52

Atrás


Cerrar





Ejercicio 10. Identifica la cónica dada por R = 84+5cosθ . Encuentra su ex-

centricidad y su directriz.

Ejercicio 11. Identifica la cónica dada por R = 105−6sinθ . Encuentra su ex-


Ejercicio 12. Identifica la cónica dada por R = 34−8cosθ . Encuentra su ex-


Ejercicio 13. Identifica la cónica dada por R = 123−10cosθ . Encuentra su ex-


Ejercicio 14. Identifica la cónica dada por R = 32+2cosθ . Encuentra su ex-


Ejercicio 15. La nave Apolo XI estuvo en órbita alrededor de la luna aprox-imándose, en el perilunio, hasta 110 km. En el apolunio, estuvo a 314 km dela superficie de la luna. Si el radio de la luna esférica es 1728 km, encuentrauna ecuación de esta órbita con el centro de la luna ocupando un foco.

Ejercicio 16. El planeta Plutón sigue una órbita elíptica alrededor del sol.El eje mayor mide 1.18∗1010 km y el menor 1.14∗1010 km. Calcula aprox-imadamente la distancia recorrida por Plutón en una órbita completa.

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 49 de 52

Atrás


Cerrar

Ejercicio 17. La órbita de Júpiter tiene una excentricidad de 0.048 y su ejemayor es 1.56∗109 km. Encuentra una ecuación para esta órbita.

Ejercicio 18. La órbita del cometa Halley (visto en 1986, volverá a verseen 2062) es una elipse con excentricidad 0.97, su eje mayor mide 36.18 ua(1 ua ' 150∗106 km). Encuentra una ecuación para su órbita. ¿ Cuál es lamáxima distancia del sol ?

Ejercicio 19. El cometa Hale-Bopp, descubierto en 1995, sigue una órbitaelíptica con excentricidad 0.9951 y la longitud de su eje mayor es 365 ua.Encuentra la ecuación de su órbita. ¿ Cuál es la mínima distancia del sol ?

Ejercicio 20. El planeta Mercurio sigue una órbita elíptica con excentrici-dad 0.206. Se acerca al sol hasta 4.6∗107 km. Calcula su afelio.

12. TEST DE REPASO.

Para comenzar el cuestionario pulsa el botón de inicio.Cuando termines pulsa el botón de finalizar.Para marcar una respuesta coloca el ratón en la letra correspondiente y pulsael botón de la izquierda (del ratón).

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 50 de 52

Atrás


Cerrar

1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta?.(a) Hay sólo 3 cónicas irreducibles.(b) Un par de rectas secantes forman una cónica irreducible.(c) Por su ecuación reducida, hay 5 casos de cónicas degeneradas.(d) No existen las cónicas degeneradas.

2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Una recta doble es una cónica no degenerada.(b) Una cónica irreducible o degenerada es lo mismo.(c) Hay sólo 3 cónicas no degeneradas.(d) Por su ecuación reducida, hay 4 casos de cónicas irreducibles.

3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Una elipse siempre tiene un dibujo ovalado.(b) Una elipse tiene un único foco.(c) Una elipse puede no tener focos.(d) Una elipse puede ser imaginaria.

4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) En una elipse real la luz desde un foco se refleja hacia el otro foco.(b) Una elipse real no tiene ninguna propiedad de reflexión.

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 51 de 52

Atrás


Cerrar

(c) Las reflexiones en las elipses no tienen ninguna utilidad práctica.(d) En una elipse real la luz desde un foco se refleja hacia el propio foco.

5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Una elipse no se puede definir dando una excentricidad y un aplanamiento.(b) En una elipse se definen 3 excentricidades y 3 aplanamientos.(c) Un elipse no se puede definir dando una excentricidad y un semieje.(d) Un elipse no se puede definir dando un aplanamiento y un semieje.

6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Una elipse no se puede parametrizar.(b) Existen 4 latitudes en una elipse.(c) Existen al menos 4 ángulos que permiten parametrizar la elipse.(d) Existe sólo una latitud en una elipse.

7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Una parábola siempre tiene un dibujo ovalado.(b) Una parábola tiene una única directriz y dos focos.(c) Una elipse tiene una única directriz.(d) Una parábola tiene un único foco y una única directriz.

http://www.ugr.es/






Página de Abertura

Contenido

JJ II

J I

Página 52 de 52

Atrás


Cerrar

8. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Todas las parábolas tienen su concavidad hacia arriba.(b) Hay parábolas que no tienen ninguna propiedad de reflexión.(c) Las parábolas son útiles para el diseño de algunos objetos.(d) Las parábolas no tienen utilidad práctica.

9. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Las trayectorias balísticas pueden ser hiperbólicas.(b) Las hipérbolas que no tienen ninguna propiedad de reflexión.(c) Cantidades inversamente proporcionales definen una hipérbola.(d) Las hipérbolas tienen sólo un foco.

10. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Hay cónicas irreducibles reales que no tienen focos.(b) Hay cónicas irreducibles reales que no tienen excentricidad.(c) Hay cónicas irreducibles reales que no se expresan en polares.(d) Toda cónica irreducible real tiene al menos una directriz, un foco y

una excentricidad.

http://www.ugr.es/




cÓnicas - home | universidad de granadaeaznar/alglin/apuntes/conicas.pdftenemos una circunferencia...

Documents