cm -003 funciones rnar - problemas

8/16/2019 CM -003 Funciones RnaR - Problemas

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Cálculo Multivariado


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Contenido

1. Problemas 21.1. Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Planos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5. Máximos y mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6. Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11


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1Problemas

1.1. Límites

1. Encontrar los límites siguientes o demostrar que no existen.

a)ĺım

(x,y ) → (1 ,2)(5x3 −x

2 y2 )

b)ĺım

( x,y ) → (2 ,1)4 −xyx2 + 3 y2

c)

ĺım( x,y ) → (1 ,0)

ln 1 + y2

x2 + xy

d )

ĺım( x,y ) → (0 ,0)

x4 −4y2x2 + 2 y2

e)

ĺım(x,y ) → (0 , 0)

5y4 cos2 xx4 + y4

f )

ĺım( x,y ) → (0 ,0)

y2 sin2 xx4 + y4

g)ĺım

(x,y ) → (1 ,0)

xy −y(x −1)2 + y2

h)ĺım

( x,y ) → (0 ,0)

xy

x2 + y2i)

ĺım( x,y ) → (0 ,0)

x4 −y4x2 + y2

j)

ĺım( x,y ) → (0 ,0)

x2 yeyx4 + 4 y2


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1.2. DERIVADAS PARCIALES 3

k )

ĺım( x,y ) → (0 ,0)

x2 sin2 yx2 + 2 y2

l)

ĺım(x,y ) → (0 ,0)

x2 + y2

x2 + y2 + 1 −1m)

ĺım( x,y ) → (0 ,0)

xy 4

x2 + y8

n)ĺım

( x,y,z ) → ( π, 0 ,1 / 3)ey

z

tan( xz )

ñ)ĺım

( x,y,z ) → (0 ,0 ,0)

xy + yz x2 + y2 + z 2

o)

ĺım( x,y,z ) → (0 ,0 ,0)

xy + yz 2 + xz 2

x2 + y2 + z 4

1.2. Derivadas parciales2. Calcular las derivadas parciales de las siguientes funciones:

a) f (x, t ) = √ x ln tb) f (x, y ) = xyc) f (x, y ) = x

(x + y)2

d ) f (x, y ) = ax + bycx + dy

e) f (r, θ ) = sin( r cos θ)

f ) f (u, v ) = ev

u + v2

g) f (x, y ) = xy

h) F (x, y ) = y

x(t2 −1)dt

i) F (x, y ) = x

ycos(et )dt

j) F (x, y ) = y

x t3 + 1 dtk ) F (x, y ) =

y

x(2t + 1) dt +

x

y(2t −1)dt

l) w(x,y,z ) = zexyz

m) h(x ,y,z , t ) = x2 y cos(z/t )n) u(x ,y,z ) = xy/z

ñ) u = x21 + x22 + x23 + · · ·+ x2no) f (x, y ) = arctan( y/x )

p) f (x ,y,z ) = yx + y + z q) f (θ, φ) = eθ + φ cos(θ −φ)


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r ) u = ln( x/y ) −yexzs) f (x ,y,z ) = exy sin( xz )t ) h(x, y ) = ef ( x ) g ( y )

3. Encontrar ∂z/∂x,∂z/∂y .

a) x2 + 2 y2 + 3 z 2 = 1b) x2 −y2 + z 2 −2z = 4c) ez = xyz d ) yz + x ln y = z 2

e) z = f (x) + g(y) f ) z = f (x)g(y)g) z = f (x/y )h) z = f (x + y)i) z = f (xy )

4. Encontrar todas las segundas derivadas parciales de:

a) f (x, y ) = x3 y5 + 2 x4 yb) w = √ u2 + v2c) z = arctan x + y

1 −xyd ) f (x, y ) = sin 2 (mx + ny )

e) v = xyx −y

f ) v = exey

5. Encontrar los valores x, y tales que f x (x, y ) = 0 y f y (x, y ) = 0

a) f (x, y ) = x2 + xy + y2 −2x −2yb) f (x, y ) = x2 −xy + y2 −5x + yc) f (x, y ) = x2 + 4 xy + y2 −4x + 16 y + 3d ) f (x, y ) = x2 −xy + y2e) f (x, y ) = 1

x +

1y

+ xy

f ) f (x, y ) = ex 2 + xy + y 2

g) f (x, y ) = ln( x2 + y2 + 1)

6. Vericar cuales de las siguientes funciones satisfacen las ecuaciones de Cauchy Riemann (ux = vy , uy = −vx ).a) u = x2 −y2 , v = 2 xyb) u = ex cos y, v = ex sin y

c) u = xx2 + y2

, v = −yx2 + y2

d ) u = 12

ln( x2 + y2 ), v = arctan yx

7. Vericar el teorema de Clairaut uxy = uyxa) u = x4 y3

−y4

b) u = exy sin yc) u = cos( x2 y)


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d ) u = ln( x + 2 y)

8. Calcular las derivadas parciales indicadas:

a) f xxx , f xyx ; f (x, y ) = x4 y3 −x3 yb) f yxy ; f (x, y ) = sin(2 x + 5 y)

c) f xyz ; f (x ,y,z ) = exyz2

d ) grst ; g(r,s, t ) = er sin( st )

e) ∂ 3 u

∂r 2 ∂θ; u = erθ sin θ

f ) ∂ 3 z

∂u∂v∂w; z = u√ v

−w

g) ∂ 3 w

∂z∂y∂x, ∂

3 w∂x 2 ∂y

; w = xy + 2 z

9. Vericar si las funciones siguientes satisfacen la ecuación de calor u t = α 2 uxx .

a) u = e− α2 k 2 t sin( kx )

b) u = e− t cos xα

c) u = e− t sin xα

10. Vericar si las funciones siguientes son solución de la ecuación de Laplace uxx + u yy = 0 .

a) u = x2 + y2

b) u = x2

−y2

c) u = x3 + 3 xy 2

d ) u = ln x2 + y2e) z = arctan y

x f ) u = sin x cosh y + cos x sinh y

g) z = 12

(ey −e− y )sin x

h) z = ex sin yi) u = e− x cos y −e

− y cos x

11. Vericar que las funciones siguientes son solución de la ecuación de Laplace en 3 dimensiones (llamadas funcionesharmónicas): uxx + yyy + uzz = 0

a) u = 1

x2 + y2 + z 2b) u = e√ m 2 + n 2 x cos my sin nz

12. Una función es biharmónica si cumple la ecuación ∂ 4 u

∂x 4 + 2

∂ 4 u∂x 2 ∂y 2

+ ∂ 4 u∂y 4

= 0 . Mostrar si las siguientesfunciones son biharmónicas.

a) u(x, y ) = x4 −3x2 y2b) u(x, y ) = xe x sin yc) u(x, y ) = y ln( x2 + y2 )

d ) u(x, y ) = xyx2 + y2

13. Mostrar cual de las siguientes funciones es solución de la ecuación de onda u tt = a2 uxxa) u = sin( x −at )


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b) u = ln( x + at )c) u = sin( kx )sin( akt ).d ) u = cos( x + at ) + sin( x −at )e) u = t/ (a2 t2 −x2 ). f ) u = ( x −at )6 + ( x + at )6 .g) u = sin( x −at ) + ln( x + at ).h) u(x, t ) = f (x + at ) + g(x −at ), si f, g son doblemente diferenciables.

14. La concentración molecularC (x, t ) de un líquido esta dada porC (x, t ) = t − 1/ 2 e− x2 /kt . Vericar si esta función

satisface la ecuación de difución unidimensional k

4

∂ 2 C

∂x2 =

∂C

∂t .

15. Sea f una función de x, y que satisface ∂f ∂x

= kf , con k constante, mostrar que f (x, y ) = g(y)ekx .

16. Si u = ea 1 x 1 + a 2 x 2 + ··· + a n x n , donde a21 + a22 + · · ·+ a2n = 1 , mostrar que ∂ 2 u∂x 21

+ ∂ 2 u∂x 22

+ · · ·+ ∂ 2 u∂x 2n

= u .

17. Vericar que la función z = ln( ex + ey ) es solución de la ecuación diferencial

∂z ∂x

+ ∂ z ∂y

= 1

y∂ 2 z ∂x 2

∂ 2 z ∂y 2 −

∂ 2 z ∂x∂y

2

= 0

18. Mostrar que u = xyx + y , cumple x2

∂ 2 u∂x 2 + 2 xy

∂ 2 u∂x∂y + y2

∂ 2 u∂y 2 = 0

19. Sea g una función dos veces diferenciable, y sea f (x, y ) = g(xy), mostrar que:

a) x ∂f ∂x −y

∂f ∂y

= 0 .

b) x2 ∂ 2 f

∂x 2 −y2 ∂

2 f ∂y 2

= 0

20. La temperatura en el punto (x, y ) sobre un metal plano esta dado por T (x, y ) = 60 / (1 + x2 + y2 ), donde T se mide en grados centígrados y x, y en metros. Encontrar la razón de cambio con respecto al punto (1, 2) en ladirección del eje x y y.

21. El total de resistencia R producido por tres conductores con resistencias R1 , R 2 , R 3 conectadas en un círcuito enparalelo esta dada por la fórmula: 1

R =

1

R1+

1

R 2+

1

R 3, encontrar ∂R

∂R 1.

22. Mostrar que la función de producción de Cobb-Douglas P = bLα K β satisface la ecuación: L ∂P ∂L

+ K ∂P ∂K

=(α + β )P .

23. Cobb y Douglas usaron la ecuación P (L, K ) = 1 ,01L0,75 K 0,25 , para modelar la economía americana de 1899 a1922, donde L la cantidad de trabajo y K es la cantidad de capital.

a) Calcular P L y P K .b) Calcular la productividad marginal de trabajo y productividad marginal de capital en el año 1920, cuando

L = 194 y K = 407 comparar con losvaloresL = 100 , K = 100 en el año 1899. Interpretar losresultados.c) En el año 1920 que podría beneciar más a la producción, incrementar la inversión de capital o incrementar

el gasto en empleos.

24. La ley de gas para una masa ja m de un gas ideal a temperatura absoluta T , presión P y volumen V es P V =mRT , donde R es la constante del gas. Mostrar que:

a) ∂P ∂V

∂V ∂T

∂T ∂P

= −1


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1.3. GRADIENTE 7

b) T ∂P ∂T

∂V ∂T

= mR

25. La energía cinética de un cuerpo de masa m y velocidad v es K = 12

mv 2 , mostrar que ∂K ∂m

∂ 2 K ∂v 2

= K .

1.3. Gradiente26. Encontrar

∇φ y |∇φ|, si φ = 2 xz 4 −x2 y, en el punto (2, −2, −1).

27. Encontrar el gradiente de f (x ,y,z ) = xy + yz + xz .

28. Encontrar∇φ

si: r = |r | = x2 + y2 + z 2a) φ = |r |.b) φ = ln |r |, r = ( x ,y,z ).c) φ = 1

|r |.

d ) φ = sin r .e) φ = er . f ) φ = r ln rg) φ = r sin r

h) φ = rsin r

i) φ = sin r

r j) φ = e1− r

2

29. Mostrar que:∇r

n = nr n − 2 r , donde r = |r |.30. Encontrar

∇|r |3 .31. Si φ = ( x2 + y2 + z 2 )e− √ x 2 + y 2 + z 2 , encontrar∇φ.32. Sea φ = 3 x2 z −y2 z 3 + 4 x3 y + 2 x −3y −5, encontrar∇2 φ.33. Encontrar

∇2 (ln r ).

34. Demostrar que∇

2 1r

= 0 .

35. Demostrar que∇

2 r n = n(n + 1) r n − 2 .

36. Para las siguientes funciones f : R3

→R , y g : R →R3

, hallar∇f , g′

y evaluar (f ◦g)′

(1) .a) f (x ,y,z ) = xz + yz + xy , g(t) = ( et , cos t, sin t).b) f (x ,y,z ) = exyz , g(t) = (6 t, 3t2 , t 3 ).c) f (x ,y,z ) = ( x2 + y2 + z 2 )log x2 + y2 + z 2 , g(t) = ( et , e

− t , t ).

37. Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones en los puntos indicados en las direcciones dadas.

a) f (x, y ) = x + 2 xy −3y2 , en (1, 2), con la dirección v = (3 / 5, 4/ 5).b) f (x, y ) = log x2 + y2 , en (1, 0) , con la dirección v = (2 / √ 5, 1/ √ 5).c) f (x, y ) = ex cos(πy ), en (0, −1), con la dirección v = −(1/ √ 5, 2/ √ 5).d ) f (x, y ) = xyz , en (1, 0, 1), con la dirección v = (1 , 0, −1).

38. Encontrar la dirección en la cual la derivada direccional de f (x, y ) = ye − xy en el punto (0, 2) tiene el valor 1.39. Suponga que

∇f (a, b) = (4 , 3), encontrar un vector unitario u de tal manera que:

a) Du f (a, b) = 0 .


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1.3. GRADIENTE 8

b) Du f (a, b) sea un máximo.c) Du f (a, b) sea un mínimo.

40. Sean f x , f y , f xy , f yx continuas y u, v vectores unitarios, mostrar que D u D vf = D vD u f .41. Se f (x, y ) = x2 −5/ 2y2 , dibuje el conjunto de puntos en el plano x, y para los cuales|∇f | = 10 .42. Sea u un vector unitario que parte del origen y θ el ángulo que forma con el eje x en sentido contrario de las

manecillas del reloj. Sea f diferenciable, mostrar que D u f = ∂f ∂x

cos θ + ∂ f ∂y

sin θ.

43. Cerca de una boya la profundidad de un lago es z = 200 + 0 ,02x2 −0,001y2 en las coordendas (x, y ) que estándadas en metros. Un pescador en un pequeño bote inicia en el punto (80, 60) y se mueve hacia la boya que está enel origen. ¿Es la agua bajo el bote cada vez más profunda o mas supercial? Explicar.

44. La temperatura en el punto (x, y ) de una placa metálica esT = xx2 + y2 , hallar la dirección de mayor crecimientode calor en el punto (3, 4) .

45. Considere una placa rectangular, donde la temperatura en el punto (x, y ) esá dada por T (x, y ) = 5 + 2 x2 + y2 .Determinar la dirección que un insecto seguiría empezando en el punto (4, 2), con el n de enfriarse lo másrápidamente posible.

46. La temperatura de una bola de metal es inversamente proporcional a la distancia al centro de la bola que está enel origen. La temperatura en el punto (1, 2, 2) es de 120 ◦ . Encontrar la razón de cambio de T en (1, 2, 2) en ladirección hacia el punto (2, 1, 3). Mostrar que para cualquier punto en la bola, la dirección de mayor crecimientoen temperatura esta dado por un vector que apunta hacia el origen.

47. La temperatura en el punto (x ,y,z ) está dada por la funciónT (x,y,z ) = 200 e− x2

− 3y 2 − 9z 2 , dondeT se mide engrados centígrados y x,y, z en metros. Encontrar la razón de cambio en el punto P = (2 , −1, 2) en la direcciónhacia en punto(3,

−3, 3). ¿Enqué dirección la temperatura crece másrápidamente desdeP ?. Encontrarel máximo

crecimiento de temperatura desde P .48. La temperatura en el punto (x, y ) de una placa metélica se modela mediante T (x, y ) = 400 e− ( x

2 + y ) / 2 , x, y ≥0.Hallar las direcciones, sobre la placa en el punto (3, 5) en las que no hay cambio de calor. Hallar la dirección demayor incremento de calor en el mismo punto.

49. Supongamos que sobre cierta región del espacio, el potencial eléctricoV está dado porV (x,y,z ) = 5 x2 −3xy +xyz . Encontrar la razón de cambio del potencial en el punto (3, 4, 5) en la dirección del vector (1, 1, −1). ¿En quédirección cambia más rápidamente V desde el punto P ?. ¿Cuál es la máxima taza de cambio desde el punto P ?50. La supercie de una montaña semodela mediante la ecuaciónh(x, y ) = 5000 −0,001x2−0,004y2 . Un montañistase encuentra en el punto (500, 300, 4390) . ¿En qué dirección debe moverse para ascender con la mayor rapidez?51. Suponga que está escalando una montaña cuya altura está dada por la ecuación z = 1000 −0,005x2 −0,01y2 ,donde x,y, z están en metros. Y está situado en el punto de coordenadas (60 , 40, 966) . El eje x positivo es el

este y el eje y positivo es el norte. Si usted camina hacia en sur, ¿comenzará o ascender o a descender? ¿Con querápidez? Si camina hacia en noroeste, ¿comenzará o ascender o a descender? ¿Con que rápidez? ¿En qué direcciónla montaña tiene la mayor pendiente? ¿Cuál es la taza de ascenso en esa dirección?

52. Suponer que una montaña tiene forma de un paraboloide elípticoz −c−ax 2 −by2 , dondea, b y c son constantespositivas, x y y son las coordenadas este-oeste y norte-sur, y z es la altitud sobre el nivel del mar (x, y y z estánmedidas en metros). En el punto (1, 1), ¿En qué dirección está aumentando más rápido la altitud? Si se suelta unacanica en (1, 1), ¿ En qué dirección comenzará a rodar?

53. La segunda derivada direccional de f (x, y ) es D 2u f (x, y ) = D u (D u f (x, y )) . Si f (x, y ) = x3 + 5 x2 y + y3 yu = (3 / 5, 4/ 5) , calcular D 2u f (2, 1).

54. Siu = ( a, b) es un vector unitario yf tiene segundas derivadas parciales continuas, mostrar queD 2u f = f xx a2 +2f xy ab + f yy b2 .

55. De acuerdo con las leyes de Newton de gravitación, la fuerza que ejerce una partícula de masa m localizada en el

punto (x ,y,z ) por otra de masa M localizada en el origen, es F(x ,y,z ) = −GMm

r 3 r , donde r = ( x ,y,z ), |r | =r yG es la constante de gravitación universal. Demostrar que F es el gradiente de la funciónf (x ,y,z ) = GMm

r .


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1.4. PLANOS TANGENTES 9

1.4. Planos tangentes56. Encontrar la ecuación del plano tangente a la supercie dada en el punto indicado:

a) x2 + y2 + z 2 = 16 , en el punto (2, 3, √ 3).b) z = x

2

4 +

y2

4 , en el punto (2, 2, 2).

c) z = xe − 2y , (1, 0, 1).d ) z = 2 e3y cos2x; (π/ 3, 0, −1).e) z = x1/ 2 + y1/ 2 ; (1, 4, 3).

57. Determine todos los puntos sobre la superciez = x2

−2xy

−y2

−8x +4 y, donde el plano tangente es horizontal.

58. Demostrar que las superciesx2 + 4 y + z 2 = 0 yx2 + y2 + z 2 −6z + 7 = 0 son tangentes entre sí en (0, −1, 2).59. Determine un punto sobre la supercie x2 + 2 y2 + 3 z 2 = 12 , donde el plano tangente es perpendicular a la recta

con ecuaciones paramétricas x = 1 + 2 t, y = 3 + 8 t, z = 2 −6t .60. Encuentre los puntos sobre la superciex2 + 3 y2 + 4 z 2 −2xy = 16 en los cuales el plano tangente es paralelo a:

a) al plano xz .b) al plano yz .c) al plano xy .

61. En que puntos del paraboloide y = x2 + z 2 es su plano tangente paralelo al plano x + 2 y + 3 z = 1 .

62. Demuestre que la ecuación del plano tangente al elipsoide x2

a2 +

y2

b2 +

z 2

c2 = 1 en (x0 , y0 , z 0 ) se puede escribir

como x 0 x

a2 + y0 y

b2 + z 0 z

c2 = 1 .

63. Demuestre que la ecuación del plano tangente al hiperboloide x2

a2 +

y2

b2 −z 2

c2 = 1 en (x0 , y0 , z 0 ) se puede escribir

como x 0 xa2

+ y0 y

b2 − z 0 z

c2 = 1 .

64. Demuestre que la ecuación del plano tangente al paraboloide x2

a2 +

y2

b2 =

z c en (x0 , y0 , z 0 ) se puede escribir como

2x0 xa2

+ 2y0 y

b2 =

z 0 + z c

.

65. Se arma que dos supercies son ortogonales en el punto P si sus rectas normales son perpendiculares en P .Demostrar que las superciesF (x ,y,z ) = 0 yG(x,y,z ) = 0 son ortogonales enP si y solo siF x Gx + F y Gy +F z Gz = 0 en P .

66. Mostrar que el elipsoide 3x2 + 2 y2 + z 2 = 9 y la esfera x2 + y2 + z 2 −8x −6y −8z + 24 = 0 son tangentesen el punto (1, 1, 2) .

67. Mostrar que todo plano tangente al cono x2 + y2 = z 2 pasa a través del origen.68. Mostrar que toda linea normal a la esfera x2 + y2 + z 2 = r 2 pasa a través del centro de la esfera.

1.5. Máximos y mínimos69. Encontrar los máximos y mínimos locales y puntos silla de las siguientes funciones:

a) f (x, y ) = xyb) f (x, y ) = xy −2x −2y −x2 −y2c) f (x, y ) = xe − 2x

2− 2y 2

d ) f (x, y ) = xy + 1x +

1y

e) f (x, y ) = xx + y


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1.5. MÁXIMOS Y MÍNIMOS 10

f ) f (x, y ) = ex cos yg) f (x, y ) = y cos xh) f (x, y ) = ( x2 + y2 )ey

2− x 2

i) f (x, y ) = sin x sin y −π < x < π , −π < y < π j) f (x, y ) = ( x + 2 y)e− x

2− y 4

k ) f (x, y ) = ex − y

l) f (x, y ) = exy

m) f (x, y ) = ex2

− y 2

n) f (x, y ) = xe x sin yñ) f (x, y ) = sin x + sin yo) f (x, y ) = sin xy

p) f (x, y ) = 12 −x

2 + y2 e1 − x2

− y 2

70. Encontrar los puntos en el plano x + y + z = 1 cuya distancia es la más corta al punto (2, 0, −3).71. Encontrar los puntos en el plano x −2y + 3 z = 6 cuya distancia es la más corta al punto (0, 1, 1) .72. Encontrar los puntos en el cono z 2 = x2 + y2 que están más cerca al punto (4, 2, 0) .73. Encontrar los puntos de la supercie y2 = 9 + xz que están más cercas al origen.74. Determine el punto en el plano 2x + 4 y + 3 z = 12 que es más cercano al origen.75. Encontrar 3 números positivos cuya suma es 100 y cuyo producto es máximo.76. Encontrar 3 números positivos cuya suma es 12 y la suma de sus cuadrados es tan pequeña como sea posible.77. Encontrar el volumen máximo de una caja rectangular que este inscrita en una esfera de radio r .78. Encontrar las dimensiones de una caja rectangular cuyo volumen es 1000 cm 3 que tiene área supercial mínima.79. Encontrar el volumen máximo de una caja rectangular que se encunetra en el primer octante, con tres de sus caras

en los planos coordenados y uno de los vértices en el plano x + 2 y + 3 z = 6 .80. Encontrar las dimensiones de una caja rectangular con el volumen más grande posible y cuya área supercial total

es de 64cm 2 .81. Encontrar las dimensiones de una caja rectangular de máximo volumen y la suma de las longitudes de sus 12

aristas es una constate c.82. Una caja de cartón sin tapa tiene un volumen de 32000cm 3 . Encontrar las dimensiones que minimicen el cartón

usado.83. Si la longitud de la diagonal de una caja rectangular es L, cual es el mayor volumen posible.84. Una caja rectangular, cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados, si inscribe en el elipsoide 96x2 + 4 y2 +

4z 2 = 36 ¿Cuál es el mayor volumen posible para tal caja?85. Determinar la mínima distancia entre las rectas con ecuaciones paramétricas x = t, y = 2 t, z = t + 3 y x =

3s, y = s + 2 , z = 2 s −1.86. El volumen de un elipsoide x

2

a2 + y

2

b2 + z

2

c2 = 1 es V = 4

3πabc . Muestre que el elipsoide de mayor volumen que

satisface a + b + c = c, es una esfera.87. Encontrar el triángulo de área máxima que puede ser inscrito en un círculo.88. Ley de Hardy-Weinberg. Los tipos sanguíneos son genéticamente determinados por tres alelos A , B y O. (Alelo

es cualquiera de las posibles formas de mutación de un gen.) Una persona cuyo tipo sanguíneo es AA, BBu OO es homocigótica. Una persona cuyo tipo sanguíneo es AB , AO o BO es heterocigótica. La ley Hardy-Weinberg establece que la proporción P de individuos heterocigótica en cualquier población dada es P ( p, q, r ) =

2 pq + 2 pr + 2 qr , donde p representa el porcentaje de alelosA en la población,q representa el porcentaje de alelosB en la población y r representa el porcentaje de alelos O en la población. Utilizar el hecho de que para mostrarque la proporción máxima de individuos heterocigóticos en cualquier población es 2

3.


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1.6. LAGRANGE 11

89. Índice de diversidad de Shannon. Una forma de medir diversidad de especies es usar el índice de diversidad deShannon H . Si un hábitat consiste de tres especies, A, B y C , su índice de diversidad de Shannon es H =

−x ln x −y ln y −z ln z , donde x es el porcentaje de especies en el hábitat, y es el porcentaje de especies B enel hábitat y z es el porcentaje de especies C en el hábitat.a) Usar el hecho de x + y + z = 1 para demostrar que el valor máximo de H ocurre cuando x = y = z = 1

3.

b) Usar el resultado del inciso para demostrar que el valor máximo de H en este hábitat es de ln 3.

1.6. Lagrange90. Usar multiplicadores de lagrange para encontrar los máximos y mínimos de las siguientes funciones con sus

restricciones dadas.a) f (x, y ) = x2 + y2 ; xy = 1b) f (x, y ) = exy ; x3 + y3 = 16c) f (x ,y,z ) = x2 + y2 + z 2 ; x + y + z = 12d ) f (x ,y,z ) = xyz ; x2 + 2 y2 + 3 z 2 = 6e) f (x ,y,z ) = x2 y2 z 2 ; x2 + y2 + z 2 = 1 f ) f (x ,y,z ) = x2 + y2 + z 2 ; x4 + y4 + z 4 = 1g) f (x ,y,z , t ) = x + y + z + t ; x2 + y2 + z 2 + t2 = 1

91. Usar Lagrange para probar que el rectángulo con área máxima que tiene perímetro p es un cuadrado.92. Encontrar los volumenes máximo y mínimo de una caja rectangular cuya supercie es de1500cm 3 y cuya longitud

de todas sus aristas es 200cm .93. Un contenedor de carga (en forma de un sólido rectangular) debe tener un volumen de 480 pies cúbicos. La parte

inferior costará $5 por pie cuadrado para construir, y los lados y la parte superior costarán $3 por pie cuadradopara construcción. Usar los multiplicadores de Lagrange para encontrar las dimensiones del contenedor de estetamaño que tiene costo mínimo.

94. Utilizar multiplicadores de Lagrange para encontrar las dimensiones de un cilindro circular recto con volumen deV 0 unidades cúbicas y supercie mínima.

95. Determine la distancia mínima entre el origen y el plano x + 3 y −2z = 4 .96. Determine el volumen máximo de una caja rectangular cerrada con caras paralelas a los planos coordenados,

inscrita en el elipsoide x2

a2 +

y2

b2 +

z 2

c2 = 1 .

97. MaximizarP = 2 r (sin α2 +sin

β 2 +sin

γ 2 ) sujeto aα + β + γ = 2 π , esto es lo mismo que encontrar un triángulode máximo perímetro inscrito en un círculo de radio r .

98. Encontrar el área máxima de un triángulo rectángulo cuyo perímetro es 4.99. El proceso de Haber-Bosch produce amoniaco mediante una unión directa de nitrógeno e hidrógeno bajo condicio-

nes de presión P y temperatura constantes: N 2 + 3 H 2 →2NH 3 , Las presiones parciales x, y y z del hidrógeno,nitrógeno y amoniaco satisfacen x + y + z = P y la ley de equilibrio z 2 /xy 3 = k donde k es una constante. Lacantidad máxima de amoniaco ocurre cuando se obtiene la presión parcial máxima de este mismo. Determine elvalor máximo de z .

cm -003 funciones rnar - problemas

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