CÁLCULO DE PRIMITIVAS

I Una primitiva de una función es otra función que la tiene como derivada y esta definida en el mismo intervalo

(de forma que la primitiva sea continua en todo el intervalo y derivable en su interior).

Definición El conjunto de primitivas de una función f recibe el nombre de integral indefinida de f∫f (x)dx = {F(x) +C/C ∈ R} con F(x) tal que F′(x) = f (x) ∀ x ∈ (a, b).

� Las integrales inmediatas son derivadas en las que se ha aplicado la regla de la cadena:∫Der( f (x)) f ′(x)dx = Fun( f (x))

∫(n + 1) f (x)n f ′(x)dx = f (x)n+1

∫f ′(x)f (x)

dx = ln | f (x)|∫

e f (x) f ′(x)dx = e f (x)

I Algunas integrales se transforman en inmediatas sumando y restando una misma cantidad o multiplicando y

dividiendo por un mismo número.

� En el método de descomposición se descompone la integral lo más posible (propiedad distributiva)∫ [α f (x) + βg(x)

]dx = α

∫f (x)dx + β

∫g(x)dx

� En el método de cambio de variable se sustituye la variable x por otra variable t

� Forma directa t = g(x) =⇒∫

f (g(x))g′(x) dx =∫

f (t) dt (se puede aplicar a las inmediatas)

� Forma indirecta x = h(t) =⇒∫

f (x) dx =∫

f (h(t))h′(t) dt

� En el método de integración por partes se divide la integral derivando u e integrando dv∫udv = uv −

∫vdu

I “un día ví una vaca vestida de uniforme”.

I Hay que elegir u y dv de manera que la segunda sea fácilmente integrable.

. Para elegir u se utiliza la regla de los alpes:

funciones Arco

funciones Logarímicas

funciones Potencias y Polinomios

funciones Exponenciales

funciones Seno y coseno

I Se puede repetir el proceso hasta que aparece una integral inmediata.

. Si aparece la misma integral se determinar una ecuación y se despeja la integral.

I Algunas funciones se pueden integrar por partes tomando dv = dx

I Algunos cuadrados de funciones se integran por partes con la función actuando como u y como dv.

� En el método de descomposición en fracciones simples descomponemos los cocientes de polinomios como suma

de fracciones cuya integración es inmediata y que se integran dependiendo de su forma.

I Para poder descomponer en fracciones simples el grado del numerador tiene que ser menor que el grado

del denominador. Si no es así dividimos numerador entre denominador e integramos el cociente como un polinomio

aplicando el método de descomposición al resto de la división∫P(x)Q(x)

dx =∫

C(x)dx +∫

R(x)Q(x)

dx.

I La descomposición es una suma de fracciones simples con coeficientes genéricos que depende de cuáles son

las raices del denominador y cuyos coeficientes obtenemos sumandolas e identificando numeradores.

. A cada raíz simple le corresponde un factor (x − α) que da lugar a una fracción que resulta en logaritmo∫A

x − αdx = A ln|x − α| +C

. A cada raíz múltiple de multiplicidad m le corresponde un factor (x−α)m que da lugar a m fracciones la primera

de las cuales resulta en un logaritmo y el resto en potencias

A1

x − α,

A2

(x − α)2 , . . .Am

(x − α)m con∫

(x − α)−ndx =(x − α)−n+1

(−n + 1)(n , 1)

. A cada par de raíces complejas conjugadas le corresponde un polinomio irreducible de segundo grado ax2 +

bx + c que da lugar a una fracción que resulta en la suma de un logaritmo y una arcotangente

Mx + Nax2 + bx + c

=(ax2 + bx + c)′

ax2 + bx + c+

Aax2 + bx + c

Tipo logarítmico (el numerador es la derivada del denominador)∫(ax2 + bx + c)′

ax2 + bx + cdx = ln|ax2 + bx + c| +C

Tipo arcotangente (el numerador es una constante)∫A

ax2 + bx + cdx =

∫A

a[(x − α)2 + β2]dx =

Aaβ

arc tg(

x − αβ

)+C

� Hay integrales irracionales que se resuelven por cambios de variable que dependen de qué funciones aparecen

dentro del signo radical:

I Si aparecen q1√

(ax + b)p1 , . . . ,qn√

(ax + b)pn se realiza el cambio x = tq con q = m.c.m(q1, . . . , qn)

� Hay integrales trigonométricas que se resuelven por cambios de variable que dependen de qué funciones aparecen

y suele ser necesario utilizar fórmulas. En particular, se utiliza la fórmula fundamental de la trigonometría

sen2 x + cos2 x = 1

I (Cambios simples) Impar en seno t = cos x Impar en coseno t = sen x

� Cuando en una integral irracional aparece una raíz de la forma√

a2 − b2x2 se obtiene una integral trigonométrica al

realizar el cambio de variable x = ab cos t.

INTEGRALES DEFINIDAS� La integral definida de una función acotada en un intervalo [a, b]∫ b

af (x) dx

corresponde al área encerrada entre la curva y = f (x) y el eje OX desde a hasta

b (si f es positiva).

I La idea intuitiva es sumar las áreas f (x)dx de los rectángulos de altura

f (x) y base dx a lo largo del intervalo [a, b].

y=f HxL

a bdx

f HxL

I Se define para a > b como −∫ a

bf (x) dx y para a = b como cero.

I La integral definida es lineal, momótona y su intervalo de integración se puede descomponer.

I (Condición necesaria de integrabilidad) Si f es integrable en [a, b] entonces f está acotada en [a, b]

I (Condición suficiente de integrabilidad) Si f es continua en [a, b] entonces f es integrable en [a, b].

Proposición (Segundo teorema fundamental) Si f es integrable en [a, b] y G es una primitiva suya entonces

∫ b

af (x) dx = G(x)

]b

a= G(b) −G(a) (regla de Barrow)

INTEGRALES DOBLES

� La integral doble de una función acotada en un recinto∫ ∫R

f (x, y) dx dy

corresponde al volumen encerrado entre la superficie z = f (x, y) y el plano

OXY sobre el recinto R (si f es positiva).dx dy

f Hx,yL

z=f Hx,yL

a bc

d

I Intuitivamente es la suma de los volúmenes f (x, y)dxdy de los prisma de altura f (x, y) y base dx × dy.

I La integral doble permite calcular áreas considerando la función constante f (x, y) = 1 (la superficie está a una

altura 1 y el volumen coincide numéricamente con el área).

I La integral doble es lineal, momótona y su región de integración se puede descomponer.

I Si f es integrable entonces f está acotada (CN) y si es continua en D entonces es integrable en D (CS)Proposición (Teorema de Fubini) f integrable en un recinto D

� En el barrido vertical se fija la variable x y para cada valor se mira entre

que funciones varía la variable y

D = {(x, y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}∫ ∫D

f (x, y) dx dy =∫ b

a

(∫ g2(x)

g1(x)f (x, y) dy

)dx

� En el barrido horizontal se fija la variable y y para cada valor se mira

entre que funciones varía la variable x

D = {(x, y) ∈ R2/ c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}∫ ∫D

f (x, y) dx dy =∫ d

c

(∫ h2(y)

h1(y)f (x, y) dx

)dy

x=0

y=0

x+y=2

x

y

-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

x=0

y=0

x+y=2y x

-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.5

1.0

1.5

2.0