cÀlcul de probabilitats exÀmens d’altres anys · cistella de bàsquet amb les següents...

CÀLCUL DE PROBABILITATS

EXÀMENS D’ALTRES ANYS

DIPLOMATURA D’ESTADÍSTICA

Lídia Montero Mercadé

Mónica Bécue Bertaut Departament Estadística i Investigació Operativa

Despatx C5 – 217 – Campus Nord

Setembre de 2.005

Diplomatura d’Estadística Assignatura Càlcul de Probabilitats Exàmens d’anys anteriors

Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2005-2006 pàg. 2



TAULA DE CONTINGUTS

1. EXÀMENS PARCIALS ___________________________________________________ 5

1.1 CURS 97-98 Q1_________________________________________________________ 7 1.2 CURS 98-99 Q1_________________________________________________________ 9 1.3 CURS 2000-2001 Q1____________________________________________________ 11 1.4 CURS 2001-2002 Q1 ____________________________________________________ 13 1.5 CURS 2002-2003 Q1 ____________________________________________________ 15 1.6 CURS 2003-2004 Q1____________________________________________________ 17 1.7 CURS 2004-2005 Q1____________________________________________________ 19

2. EXÀMENS FINALS (CONVOCATÒRIA ORDINÀRIA) ______________________ 21

2.1 CURS 1997-1998 Q1 ____________________________________________________ 23 2.2 CURS 1998-1999 Q1 ____________________________________________________ 27 2.3 CURS 2000-2001 Q1 ____________________________________________________ 31 2.4 CURS 2000-2001 Q1 ____________________________________________________ 37 2.5 CURS 2002-2003 Q1 ____________________________________________________ 43 2.6 CURS 2003-2004 Q1 ____________________________________________________ 50 2.7 CURS 2004-2005 Q1 ____________________________________________________ 55

3. EXÀMENS FINALS (CONVOCATÒRIA EXTRAORDINÀRIA) _______________ 61

3.1 CURS 1996-1997 Q1 ____________________________________________________ 63 3.2 CURS 1997-1998 Q1 ____________________________________________________ 67 3.3 CURS 1998- 1999 Q1____________________________________________________ 69 3.4 CURS 2000-2001 Q1____________________________________________________ 73 3.5 CURS 2001-2002 Q1____________________________________________________ 79 3.6 CURS 2002-2003 Q1____________________________________________________ 83 3.7 CURS 2003-2004 Q1____________________________________________________ 87 3.8 CURS 2004-2005 Q1____________________________________________________ 91



1. EXÀMENS PARCIALS



1.1 CURS 97-98 Q1 EXAMEN PARCIAL DE CÀLCUL DE PROBABILITATS (Data: 4/11/97 Lloc: Aula S03) Professor responsable: Lídia Montero Mercadé Localització: Edifici U D.421 Normativa de l’examen: NO ES PERMÉS DE DUR APUNTS. ES POT DUR CALCULADORA Durada de l’examen: 1h 30 min Sortida de notes: Abans 15/11 al taulell notes del Departament. Revisió de l’examen: El 15/11 a les 14 hores (D.421). Indispensable dur la correcció de l’examen.

Apartat 1 (4 Punts).

Una bossa conté 100 monedes, 25 d’elles amb una cara per ambdues bandes i les 75 restants perfectament normals (una cara i una creu) i equilibrades. S’extrau una moneda a l’atzar. Quina és la probabilitat de que sigui una moneda trucada si surt cara en 2 llençaments consecutius?

Resoldre la qüestió doblement: per arbre de probabilitats i pel Teorema de Bayes, tot indicant clarament els successos implicats i la informació a priori disponible.

P( “Moneda Trucada”/”2 Cares Consecutives”) = 0.5714


Amb els mateixos condicionants que l’apartat anterior, quina és la probabilitat de que sigui una moneda trucada si surt cara en 10 llençaments consecutius?

Emprar el Teorema de Bayes en la resolució, tot indicant clarament els successos implicats i la informació a priori disponible.

A: Moneda Trucada C: 10 Cares consecutives

P(A/C)= ( P(C/A)P(A) ) / P(C) = ¼ / 0.2507 = 0.9971

On P(C) = P(C/A)P(A)+ P(C/noA)P(noA) = 1x1/4 + ¾ x(1/2)^10= 0.2507


Descriure els valors i les lleis de probabilitat de la variable aleatòria discreta X definida com el número de cares obtingut en el llençament consecutiu dues vegades de la moneda triada a l’experiència anterior. Quina és l’esperança matemàtica de X?



Determineu clarament els valors de la v.a. X i la partició de Ω induïda.

Es faria l’arbre i d’aquí sortiria:

xi 0 1 2

P(X=xi) 3/16 6/16 7/16

E(X)= 3/16+6/16+2x7/16=23/16 = 1.4375



1.2 CURS 98-99 Q1 EXAMEN PARCIAL DE CÀLCUL DE PROBABILITATS (Data: 2/11/98 17:30 h. Lloc: Aula S03) EXAMEN PARCIAL DE CÀLCUL DE PROBABILITATS (Data: 2/11/98 17:30 h. Lloc: Aula S03)

Nom de lálumne: Professor responsable: Lídia Montero Mercadé Localització: Edifici U D.421 Normativa de l’examen: NO ES PERMÉS DE DUR APUNTS. ES POT DUR CALCULADORA RESPONGUEU A LÉSPAI RESERVAT Durada de l’examen: 1h 30 min Sortida de notes: Abans 20/11 al taulell notes del Departament. Revisió de l’examen: El 20/11 a les 14:30 hores (D.421).

Problema 1 (6 punts) Una ONG concentrada a millorar les atencions mèdiques a infants i mares a la zona dels Grans Llacs africans ha determinat en una mostra de gran tamany:

1. La probabilitat a priori de les afeccions més habituals entre pacients que habiten a àrees rurals sense distribució dáigua potable.

2. Les probabilitats de cada tipus dáfecció segons les característiques dels pacients en termes del seu génere i la edat (en 2 grups, fins a 20 anys i més grans de 20 anys).

Les dades anteriors es troben tabulades a la següent taula: TIPUS DE

MALALTIA Probabilitat

a priori Probabilitat de Génere Dona

Probabilitat dÉdat fins a 20 anys

M1 0,3 0,92 0,1 M2 0,175 0,7 0,6 M3 0,150 0,7 0,2 M4 0,060 0,6 0,35 M5 0,315 0,53 0,47

Quan un malalt visita la consulta local de l’ONG, el metge avalua les seves símptomes i pren nota de les característiques del pacient: génere i grup dédat, de manera que emet una diagnosi basada en la seva experiència i en la informació a priori, donada la limitació de mitjans per efectuar proves médiques exploratòries més detallades.


Quina és la probabilitat que si un pacient pateix la malaltia M1 sigui de génere Home? Quina és la probabilitat que si un pacient pateix la malaltia M1 tingui menys de 20 anys?

Quina és la probabilitat que si un pacient pateix la malaltia M1 sigui de génere Home i tingui menys de 20 anys?



Resposta Problema 1 Ap 1.

P(“Home”/M1)=1-P(“Dona”/M1)=1-0.92=0.08

P(“<20”/M1)=0.1

P( (“Home” ^ “<20”)/M1)=indep= P(“Home”/M1) P(“<20”/M1)=0.08x0.1=0.08

Apartat 2 (4 Punts)

Calculeu les probabilitats a posteriori dels tipus de malaltia M1 i M3 per una dona de més de 20 anys.

Resoldre la qüestió tot indicant clarament els successos implicats, les hipòtesis considerades i les probabilitats a priori en la notació triada per denotar els successos.

Resposta Problema 1 Ap 2.

S’assumeix independència entre les característiques de Gènere i Grup d’Edat.

P(M1/(“Dona”^”>20”))=P((“Dona”^”>20”)/M1) P(M1) / P(“Dona”^”>20”) = 0.92x0.9x0.3 / 0.4933 = 0.2484 / 0.4933 = 0.5036

P(“Dona”^”>20”) = 0.92x0.9x0.3+0.7x0.4x0.175+0.7x0.8x0.15+0.6x0.65x0.06+0.53x0.47x0.315 = 0.4933

P(M3/(“Dona”^”>20”))=P((“Dona”^”>20”)/M3) P(M3) / P(“Dona”^”>20”) = 0.7x0.8x0.150 / 0.4933 = 0.1703

Problema 2 (4 Punts).

Un submari dispara 3 torpeds contra un vaixell amb les següents probabilitats de donar en el blanc:

1. Pel primer torped 1/3. 2. Pels altres dos torpeds ½ si l´anterior va donar en el blanc i ¼ altrament.

Descriure els valors i les lleis de probabilitat de la variable aleatòria discreta X definida com el número d’impactes . Quina és l’esperança matemàtica de X i la seva variança?

Determineu clarament els valors de la v.a. X i la partició de Ω induïda.

Resposta Problema 2


xi 0 1 2 3

P(X=xi) 18/48 = 3/8 16/48 = 1/3 10/48 = 5/24 4/48 = 1/12

E(X)=1/3+2x5/24+3x1/12=24/24 = 1

V(X) = E(X2)-E(X) 2 = ( 1/3+4x5/24+9x1/12) -1 = 23/12-1=11/12



1.3 CURS 2000-2001 Q1 EXAMEN PARCIAL DE CÀLCUL DE PROBABILITATS (Data:. Lloc: Aula)

Nom de l´alumne: DNI: Professor responsable: Lídia Montero Mercadé Localització: Edifici U D.421 Normativa de l’examen: NO ES PERMÉS DE DUUR APUNTS. ES POT DUUR CALCULADORA RESPONGUEU A L´ESPAI RESERVAT Durada de l’examen: 1h 30 min Sortida de notes: Abans 20/11 al taulell notes del Departament. Revisió de l’examen: El 20/11 a les 14:15 hores (D.421).

Problema 1 (6 punts)

Un test d’intel.ligència per infants entre 1 i 2 anys consisteix en classificar 3 peces segons la seva forma. Les peces poden ser circulars (C), octogonals (O) o hexagonals (E). La distribució de peces, segons les diferents formes, que s’ha determinat òptima per treure les millors conclusions del test és:

circulars 50% octogonals 30% exagonals 20%

Un infant normal sòl establir uns errors en la classificació, que d’acord amb l’experiència dels experts és:

"quan és una peça ...": Probabilitat C O E

C 0.92 0.05 0.0

O 0.06 0.90 0.05

"... es classifica com ...":

E 0.02 0.05 0.95

A. Calcular la probabilitat que una peça classificada per un nen normal com un octògon ho sigui realment.

P(O|CO) = 0.90 0.30 / (0.90 0.30 + 0.06 0.50 + 0.05 0.20) = 0.871



B. ¿Quina és la probabilitat que una peça classificada per un nen normal com un hexàgon sigui en realitat una peça circular?

P(C|CE) = 0.02 0.50 / (0.95 0.20 + 0.02 0.50 + 0.05 0.30) = 0.0465

C. Quina és la probabilitat de classificar malament una peça?

P(Mal classificada) = 1-P(Ben classificada) = 1- (P(O y CO) + P(E y CE) + P(C y CC)) =

= 1- (0.90 0.30 + 0.92 0.50 + 0.95 0.20) = 1- 0.92 = 0.08 Problema 2 (4 Punts).

Un ximpance en un disseny d’experiments d’Etologia ha de llençar 3 pilotes a una cistella de bàsquet amb les següents probabilitats d’encertar el tir:

1. Pel primer tir ¼.

2. Pels altres dos tirs ½ si l´anterior va donar ser un encert i ¼ altrament.

• Descriure els valors i les lleis de probabilitat de la variable aleatòria discreta X definida com el número d’encerts en 3 tirades . Determineu clarament els valors de la v.a. X i la partició de Ω induïda.


xi 0 1 2 3

P(X=xi) 27/64 21/64 12/64 4/64

Quina és l’esperança matemàtica de X i la seva variança?

E(X)=21/64+2x12/64+3x4/64=57/64 = 0.89

V(X) = E(X2)-E(X) 2 = (21/64+4x12/64+9x4/64) -1 = 109/64 -57x57/64x64=0.9099



1.4 CURS 2001-2002 Q1 Cálculo de probabilidad- 6 de noviembre 2001 Problema 1 (2 puntos) El estudio descriptivo de los resultados de 857 niños a un test de inteligencia verbal proporciona, entre otros, los siguientes resultados:

0 10 2 0 30 4 0 50 60 70 80 90 10 0

verbal

Boxplot of verbal

Descripción numérica N Mean Median St Dev

verbal 857 40,38 34,00 30,04

Minimum Maximum Q1 Q3

verbal 1,00 99,00 13,00 64,50

Reporten sobre el boxplot los estadísticos (nombres y valor que toman) relacionados con su construcción

2. Indiquen los valores de :

la media

la mediana

la varianza

la desviación-tipo (también llamada desviación-típica o desviación estándar)

3. Indiquen si hay o no outliers, y expliquen cuál es el criterio que permite detectarlos.



Problema 2 (3 puntos) Una bossa conté 100 monedes, 25 d’elles amb una cara per ambdues bandes i les 75 restants perfectament normals (una cara i una creu) i equilibrades. S’extrau una moneda a l’atzar.

1. Quina és la probabilitat de que sigui una moneda trucada si surt cara en 2 llençaments consecutius? Resoldre la qüestió doblement: per arbre de probabilitats i pel Teorema de Bayes, tot indicant clarament els successos implicats i la informació a priori disponible.

2. Amb els mateixos condicionants que l’apartat anterior, quina és la probabilitat de que sigui una moneda trucada si surt cara en 10 llençaments consecutius? Emprar el Teorema de Bayes en la resolució, tot indicant clarament els successos implicats i la informació a priori disponible.

Problema 3 (2 puntos)

Se ha establecido que, en la población estudiada, 30% de las personas no son inmunizadas contra una determinada enfermedad. Se estudia el interés de un test y se comprueba que

• aplicado a personas no inmunizadas da negativo en 90% de los casos

• aplicado a personas inmunizadas da positivo en 80% de los casos

1. Al escoger al azar una persona en la población, ¿cuál es la probabilidad de que reaccione de forma positiva al test?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona esté inmunizada, sabiendo que reacciona positivamente al test?


Se tiran sucesivamente 3 dados. A cada tirada se asocia una variable aleatoria que toma el valor 0 si se observa un número par y el valor 1 si se observa un número impar. Se definen las variables:

X= suma de valores observados en la primera y segunda tirada

Y= suma de los valores observados en la segunda y tercera tirada.

Se pide calcular las funciones de probabilidad y de distribución de las variables X e Y.



1.5 CURS 2002-2003 Q1 Cálculo de Probabilidad Parcial. Noviembre 2002-11-06


Se está estudiando la edad de los padres de los 857 niños de quinto nivel de enseñanza básica de una determinada ciudad. En particular, se obtiene los resúmenes numéricos y el box-plot de dicha variable:

1 0 09 08 07 06 05 04 03 02 0

C 2 7

Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean

C27 857 44,615 38,000 42,463 19,488 0,666

Variable Minimum Maximum Q1 Q3

C27 24,000 99,000 35,000 44,000

1. Decidan si el mayor de los dos outliers es un valor erróneo. 2. ¿Cuanto vale la varianza de la variable “edad del padre”? 3. Utilicen la formula de cálculo de la media para recalcular la media sin el mayor de

los dos outliers

3.1 Problema 2 (5 puntos) Los visitantes a una exposición de fotografía son de tres tipos:

• con abono anual a los museos de la ciudad (10% de los visitantes) • con pase de una semana (30% de los visitantes) • con entrada para esta exposición La probabilidad de que un visitante compre al catálogo de la exposición es de 40% si el visitante es un abonado anual, es de 20% si el visitante tiene un pase semanal y sólo de 10% si se trata del tercer tipo de visitante

Se pide:

1. La probabilidad de que un visitante escogido al azar compre el catálogo



2. La probabilidad de que el visitante tenga un abono anual, dado que ha comprado el catálogo.

30 personas están visitando la exposición (estos visitantes han entrado de manera independiente y efectúan el recorrido de manera independiente). Se pide calcular:

3. a. La probabilidad de que ningún visitante compre el catálogo. b. La probabilidad que más de 5 visitantes compren el catálogo

3.2 Problema 3 (3 puntos) Se tiran simultáneamente 2 dados. Se nota X el número de caras pares obtenidas e Y el máximo de las cifras de las caras obtenidas.

Determinar las funciones de probabilidad y de distribución de X y de Y



1.6 CURS 2003-2004 Q1 Cálculo de Probabilidad

11 Noviembre 2003. Hay 5 problemas y todos los problemas puntúan sobre 2.

Entregen cada problema en una hoja distinta

Problema 1

Se dispone de dos urnas con, cada una, cuatro bolas numeradas de 1 a 4. Se extrae una bola de cada urna; cada extracción es independiente de la otra. Se obtiene así un par de cifras.

1. ¿Cuál es el conjunto fundamental asociado a esta experiencia?. Den una representación gráfica de este conjunto.

2. Representen el suceso A = “Par de cifras cuya suma es igual a 5”. ¿Cuál es la probabilidad del acontecimiento A?

Problema 2

Se lanzan dos dados. Calculen la probabilidad de obtener al menos un “1” sabiendo que se han obtenido dos números distintos.

Problema 3

En una ciudad, hay 2 compañías de taxis. Una, con el 10% de los taxis, tiene taxis azules. La otra tiene los taxis verdes (90%). Una noche de niebla, un taxi choca con un coche aparcado y huye. Un testigo ha vista la escena. Se sabe que con las condiciones (niebla, de noche), un testigo acierta ver correctamente el color del taxi con probabilidad igual a 80%. El testigo que ha presenciado la escena declara que le taxi era azul. ¿Cuál es la probabilidad de que el taxi que ha chocado sea realmente azul?



Problema 4

Sea X una variable aleatoria cuya función de probabilidad viene dada por la siguiente tabla:

xi p(xi)

-2 0,30

-1 0,20

0 0,15

1 0,15

2 0,10

3 0,10

Se define la variable Y de la manera siguiente:

Y=0 si X>0

Y=1 si X≤0

Determinen la función de probabilidad de Y.

Problema 5.

Un laboratorio de productos agronómicos fabrica un test para detectar la presencia de una plaga en un determinado cultivo.

El laboratorio dice que:

• cuando la parcela a la cual se aplica el test está afectada por la plaga, entonces el test da positivo con una probabilidad igual a 0.99.

• cuando la parcela a la cual se aplica el test no está afectada por la plaga, entonces el test da negativo con una probabilidad igual a 0.98

Por otra parte, se sabe que la probabilidad de que una parcela esté afectada por la plaga es igual a 0.003

Se aplica el test a una parcela escogida al azar y da positivo ¿cuál es la probabilidad de que esté afectada por la plaga?

Se aplica el test a una parcela escogida al azar y da negativo ¿cuál es la probabilidad de que no esté afectada por la plaga?



1.7 CURS 2004-2005 Q1 Diplomatura de Estadística. Examen de Cálculo de probabilidad. 2 de Noviembre 2004 Entregar cada problema en una hoja separada Duración: 2h30. Notas: viernes 5 de noviembre, revisión: lunes 8 de noviembre, 18h


Se tienen dos dados, uno rojo y uno verde. Se tiran simultáneamente los dos dados. Se obtiene así un par de cifras.

3. ¿Cuál es el conjunto fundamental asociado a esta experiencia?. Dar una representación gráfica de este conjunto. ¿Es el conjunto fundamental equiprobable?

4. Representar los acontecimientos (=sucesos) A = “Par de cifras repetidas” , B = “Par de cifras cuya suma es igual a 8”, C=“Cara del dado rojo superior a cara del dado verde ”.

5. ¿Cuál es la probabilidad de los acontecimientos A, B y C?


Hay dos urnas, numeradas 1 y 2. Cada urna contiene 5 bolas rojas y 5 bolas negras. Se extraen al azar dos bolas de la primera urna y se reponen en la segunda urna.

Después, se extrae una bola de la segunda urna. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola negra en esta segunda extracción?


Un laberinto tiene 3 entradas: A, B y C. La probabilidad de que un visitante del laberinto entre por A es de 20%, de que entre por B es de 40% y de que entre por C de 40%. La probabilidad de encontrar la salida sin ayuda es de 60% si se entra por A, de 50% si se entra por B y de 40% si se entra por C.

Se pide:

4. La probabilidad de que un visitante salga sin ayuda.

5. La probabilidad de que el visitante haya entrado por A, dado que ha salido sin ayuda.

10 personas deciden visitar el laberinto. Estos visitantes entran de manera independiente y efectúan el recorrido de manera independiente.

3. Se pide calcular la probabilidad de que todos los visitantes salgan sin ayuda


Sea X el número de fallos que tiene una determinada máquina un día cualquiera. X se puede considerar como una variable aleatoria de ley:

xi p(xi)

0 0,60

1 0,20

2 0,10

3 0,05

4 0,03

5 0,01

6 0,01



a. Calculen la probabilidad de observar más de 3 fallos un día cualquiera

b. Calculen la probabilidad de observar entre 3 y 5 fallos un día cualquiera (3 y 5 incluidos)

c. Se define la variable Y=X+3, determinen la función de probabilidad de Y



2. EXÀMENS FINALS (CONVOCATÒRIA ORDINÀRIA)



2.1 CURS 1997-1998 Q1 DIPLOMATURA D’ESTADÍSTICA. CURS 97-98 Q1. EXAMEN FINAL DE CÀLCUL DE PROBABILITATS (Data: 11/1/98 Lloc: Aula S03) Professor responsable: Lídia Montero Mercadé Localització: Edifici U D.421 Normativa de l’examen: NO ES PERMÉS DE DUR APUNTS. ES POT DUR CALCULADORA I TAULES EST. Durada de l’examen: 3 hores Sortida de notes: Abans 23/1 al taulell notes del Departament. Revisió de l’examen: El 23/1 a les 15 hores (D.421). Indispensable dur la correcció de l’examen. Normes cumplimentació de l’examen:

Respongueu als espais reservats per aquest menester, els fulls quadriculats són exclussivament per càlculs i paper en brut.

NOM: DNI:

Problema 1 (2 Punts) Un alumne de la Diplomatura d’Estadística vol apendre a utilitzar les comandes de regressió lineal del paquet MINITAB, però no té massa ganes de buscar-se un arxiu de dades adhient per l’anàlisi de la relació lineal entre un parell de variables continues, aleshores defineix una columna C1 amb els valors de 0 a 15 i una altra columna C2 de 15 posicions amb els valors de la funció densitat de probabilitat d’una variable aleatòria exponencial de paràmetre λ = 1. A continuació, procedeix a una anàlisi de la relació entre les dues variables seguint les pautes de la pràctica de laboratori corresponent. El llistat dels resultats facilitats pel MINITAB es presenta tot seguit.

Identifiqueu sobre el llistat:

⇒ la mitjana i la variància de les dues variables implicades

⇒ el coeficient de correlació entre C1 i C2

⇒ el coeficient de determinació del model amb variable explicativa C1 i variable de resposta C2.

Es pot considerar que els residus del model estan ben distribuïts ?

Acceptarieu o rebutjarieu el model lineal entre C1 i C2 a la vista dels resultats de l’execució de la comanda REGRESS ?



MTB > SET C1 DATA> 0:15 DATA> END MTB > LET C2=EXP(-C1) MTB > Describe C1 C2. Descriptive Statistics Variable N Mean Median TrMean StDev SEMean C1 16 7.50 7.50 7.50 4.76 1.19 C2 16 0.0989 0.0006 0.0416 0.2582 0.0646 Variable Min Max Q1 Q3 C1 0.00 15.00 3.25 11.75 C2 0.0000 1.0000 0.0000 0.0419 MTB > Correlation C1 C2. Correlations (Pearson) Correlation of C1 and C2 = -0.593 MTB > Plot C2*C1; SUBC> Symbol.

151050

1.0

0.5

0.0

C 1

C2

1.00.50.0

15

10

5

0

C 2

C1

MTB > Plot C1*C2; SUBC> Symbol. MTB > Name c3 = 'RESI1' MTB > Regress C2 1 C1; SUBC> Constant; SUBC> Residuals 'RESI1'. Regression Analysis The regression equation is C2 = 0.340 - 0.0322 C1 Predictor Coef Stdev t-ratio p Constant 0.3403 0.1027 3.31 0.005 C1 -0.03219 0.01167 -2.76 0.015 s = 0.2151 R-sq = 35.2% R-sq(adj) = 30.6% Analysis of Variance SOURCE DF SS MS F p Regression 1 0.35228 0.35228 7.61 0.015 Error 14 0.64782 0.04627 Total 15 1.00010 Unusual Observations



Obs. C1 C2 Fit Stdev.Fit Residual St.Resid 1 0.0 1.0000 0.3403 0.1027 0.6597 3.49R R denotes an obs. with a large st. resid. MTB > Regress C1 1 C2; SUBC> Constant. Regression Analysis The regression equation is C1 = 8.58 - 10.9 C2 Predictor Coef Stdev t-ratio p Constant 8.582 1.066 8.05 0.000 C2 -10.943 3.966 -2.76 0.015 s = 3.966 R-sq = 35.2% R-sq(adj) = 30.6% Analysis of Variance SOURCE DF SS MS F p Regression 1 119.76 119.76 7.61 0.015 Error 14 220.24 15.73 Total 15 340.00 Unusual Observations Obs. C2 C1 Fit Stdev.Fit Residual St.Resid 1 1.00 0.000 -2.361 3.709 2.361 1.68 X X denotes an obs. whose X value gives it large influence. MTB > Stop.

151050

1.0

0.5

0.0

-0.5

C 1

C2

R-Squared=0.352Y=0.340289-3.22E-02X

R e g r e s s i o n P lo t

151050

0.70.6

0.50.40.3

0.20.10.0-0.1

-0.2

C1

RESI1

Problema 2 (4 Punts) Sigui X una variable aleatòria amb una funció de distribució de probabilitat:

( )F x

xx x

xx x

x

X =

≤< ≤< ≤< ≤

>

0 005 0 105 1 2

0 25 2 41 4

..

.

Respongueu als següents apartats en aquest mateix full.

1. Calculeu i dibuixeu la funció densitat de probabilitat de la variable aleatòria X.


26

2. Si se sap que x > 1, calculeu la probabilitat que x > 3.

3. Calculeu l’esperança matemàtica i la variància de la variable aleatòria X.

4. Sigui una nova variable aleatòria definida com Y X= +4 1. Calculeu la seva esperança matemàtica, la seva variància i la covariància i el coeficient de correlació lineal amb la variable aleatòria X.

Problema 3 (4 Punts) Una empresa A que es dedica als estudis de mercat té un volum de facturació mensual distribuit normalment amb un valor mig de 220 kEuros i desviació tipus de 20 kEuros (variable aleatòria X). L’empresa B, que es la competència de l’empresa A en el sector de sondejos sobre nous productes alimentaris, factura en promig mensualment 205 kEuros amb una desviació tipus de 20 kEuros (variable aleatòria Y) i també es pot considerar que la seva facturació mensual segueix una distribució normal. Els estudis de mercat tenen una demanda estacional i per tant no és d’estranyar que la facturació mensual de les dues empreses estigui correlacionada positivament amb una magnitud de 0,815. L’empresa A està desenvolupant una política agresiva de preus adreçada a l’eliminació de l’empresa B del sector, en un moment en que passa per una crisi directiva notable. Totes dues empreses necessiten de facturar com a mínim 200 kEuros mensuals per cubrir despeses i a més per satisfer els seus accionistes haurien d’obtenir beneficis durant més de 8 mesos l’any. Respongueu en l’espai reservat en el present full a les qüestions següents.

1. Calculeu la covariància entre les dues variables aleatòries que representen les facturacions mensuals de les dues empreses. Determineu a continuació la probabilitat que en un mes donat la diferència de facturació entre totes dues empreses superi la xifra dels 10 kEuros.

2. Si sabem que durant el passat mes l’empresa A va facturar més de 210 kEuros. Quina és la probabilitat que la facturació de B el passat mes estigui per sota dels 200 kEuros?

3. Quina és la probabilitat de que durant l’any en curs (12 mesos) els accionistes de l’empresa B acabin insatisfets de la seva inversió? Indicar clarament l’ús fet de les taules.

4. Se sap que l’empresa B ha començat amb mal peu l’any i la política de l’empresa A la perjudica enormement. Quina és la probabilitat que l’empresa B hagi d’arribar al setembre (inclòs) per haver cobert despeses durant 3 mesos?

5. Finalment, quin és el número de mesos que en 10 anys cap esperar que l’empresa B no obtingui beneficis? I quin és el número de mesos màxim que en 10 anys no obté beneficis amb un risc d’equivocar-nos del 5% ?


27

2.2 CURS 1998-1999 Q1

DIPLOMATURA D’ESTADÍSTICA. CURS 98-99 Q1. EXAMEN FINAL DE CÀLCUL DE PROBABILITATS (Data: 12/1/99 16:00 h. Lloc: Aula S02)

Nom de l´alumne: DNI: Professor responsable: Lídia Montero Mercadé Localització: Edifici U D.421 Normativa de l’examen: NO ES PREMÉS DE DUR APUNTS. ES POT DUR CALCULADORA RESPONGUEU A L´ESPAI RESERVAT Durada de l’examen: 3h 00 min Sortida de notes: Abans 20/1 al taulell notes del Departament. Revisió de l’examen: El 20/1 a les 14:30 hores (D.421).

Problema 1 (2 punts) MTB > Describe 'COUNTPP'.

Descriptive Statistics Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean

COUNTPP 153 2517 1940 2131 3035 245


COUNTPP 50 28860 910 3395

30000

20000

10000

0

CO

UNTP

P

1. Indiqueu la mitjana i la variança de la variable d’estudi. És simètrica la distribució dels valors de la variable?

Mitjana=2517, Variança=30352 i no és simètrica.


28

2. Indiqueu exactament quins són els límits dels bigotis del boxplot, és a dir el rang de valors de la variable d’estudi que no és anòmal.

Límit inferior: Q1 -3/2· (Q3 -Q1 )=90-1.5 * 2485= - 2817.5

Límit superior: Q3 -3/2· (Q3 -Q1 )=3395+1.5 * 2485=7122.5

Problema 2 (3 Punts) El nombre d’avaries del servidor KOLMOGOROV del Laboratori de Càlcul de la FME és de 1,5 avaries per setmana i pot considerar-se un procés poissonia.

1. Si la setmana passada no va haver-hi cap avaria, quina és la probabilitat de tenir-ne com a mínim 1 en el proper mes? Si la setmana passada van haver-hi 2 avaries, quina és la probabilitat de tenir-ne com a mínim 1 en el proper mes?

2. Si la setmana passada van haver-hi 2 avaries, quantes setmanes hauran de passar per tornar a tenir 2 avaries en una setmana amb una seguretat del 95%?

3. Un quatrimestre té 15 setmanes lectives, quina és la probabilitat de tenir alguna setmana amb 2 avaries durant el quatrimestre?

Resposta Problema 2

X: Nb. d’avaries per setmana ≈℘(λ = 1.5)

Y: Nb. d’avaries per mes ≈℘(λ = 1.5 * 4 = 6)

1) A: Tenir com a mínim una avaria en el proper mes.

P(A) P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 60!

1 0.002 0.9980

6= ≥ = − = = − = − =−e

Hi hagi hagut una avaria o no la setmana anterior no afecta al que passi el proper mes : hipòtesi poissoniana. En tots dos casos la probabilitat és P(A)=0.998

2) B: Tenir dues avaries en una setmana.

[ ]( )P(B) P X 2= = = =−152!

0 2512

1 5. ..e

Suposem un model binomial on cada experiència base és el tenir o no 2 avaries en una setmana.

Z: Nb. de setmanes per assolir una setmana amb 2 avaries ≈ G(p=0.251)

L’incògnita és k tal que P(Z≤ k) = 0.95


29

∑=

−−=≤k

1i

1ip)p(1k)P(Z = 1- (1-p)k=1- (1-0.251)k= 0.95.

K (1 - 0.95) (1 - 0.251)

setmanes=

=

lnln

11

3) W: Nb. de setmanes amb 2 avaries entre 15 ≈ B(n=15,p=0.251)

C: Alguna setmana amb dues avaries.

[ ]( ) [ ]( ) 0.9869(0.749)0.2510

1510WP10WPP(C) 0150 =⋅⋅

−=≤−=>= −

Problema 3 (2 Punts)

Una variable aleatòria contínua pren valors a l’interval [ ]1,1− .

1. Determineu la seva funció densitat de probabilitat sabent que el seu gràfic forma amb l’eix de les X un triangle isòsceles.

2. Calculeu la probabilitat [ ] [ ]( )31

912 <∩<= XXPp .

Resposta Problema 3

1)

½ Base * Altura =1 ½ 2 * k =1 ⇒ k=1

f (x)

0 x < -1x +1 -1 x < 01 x 0 x 1 0 x > 1

X =≤

− ≤ ≤

2) [ ] [ ] [ ] [ ]x x x x2 19

13

2 19

13

13< ∩ < ≡ < ≡ < <−

-1 -1/3 1/3 1

k fX (x)


30

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )P x F F 2 P 0 X 2 F F 0 2 F 0.513

13 X

13 X

13

13 X

13 X X

13

− −< < = − = ⋅ ≤ ≤ = ⋅ − = ⋅ − =59

( )F f (t) dt f (t) dt

0.5

(1 t) dt 0.5 t t2

0.5 13

118

0.5 518X

13 X X

1

0

0

213

13

= = + − = + −

= + −

= +−∞ −∫ ∫ ∫

124 34 0

13

Problema 4 (3 Punts) El diàmetre en micres dels hematies (glòbuls vermells) dels individus normals segueix una

( )22 2.0,5.7 == σµN .

1. Quina proporció d’individus té un diàmetre inferior a 8 micres? Quina proporció d’individus té un diàmetre entre 7 i 8 micres?

2. Calculeu el tercer quartil de la distribució.

3. Quants individus cal seleccionar a l’atzar per aconseguir-ne 3 amb un diàmetre d’hematies entre 7 i 8 micres amb una probabilitat del 90%? Indicar la llei i el procediment: no cal fer càlculs.

Resposta Problema 4

1) A: Diàmetre dels hematies inferior a 8µ

X: Diàmetre dels hematies en µ

P(A) P(X 8) P Z 8 7.50.2

P(Z 2.5) 0.9938= ≤ = ≤−

= ≤ =

B: Diàmetre dels hematies entre 7 i 8µ

P(B) P(7 X 8) P(X 8) P(X 7) P(Z 2.5) P(Z 2.5) P(Z 2.5)= ≤ ≤ = ≤ − ≤ = ≤ − ≤ − = − + ⋅ ≤ == − + ⋅ =

1 21 2 0 9938 0 9876. .

2) Busquem x0 tal que P(X ≤ x0 )=0.75

P(X x ) P Z x 7.50.2

0.75

P(Z z ) 0.75 z 0.675 z x 7.5

0.2 x z 0.2 7.5 7.6350

0

0 Taules 0

00

0 0≤ = ≤

−

=

≤ = → =

→ =

−→ = ⋅ + =

3) Procés binomial: selecció d’individus a l’atzar amb p=P(7≤X≤8) de diàmetre dels hematies (exponència base)

Y: Nb. d’individus seleccionats fins assolir-ne 3 satisfactoris.

Y és binomial negativa de paràmetres r=3 i p=0.9876

Busquem k tal que FY (k)=0.9= ∑= k3...i

Y (i)f on f (k)k 1r 1

p qYr k r=

−−

⋅ ⋅ −

Incrementarem k=3,4,5,6,... fins que FY (k)>0.9 i ens quedarem el menor k que ho satisfaci.


31

40-44 (4; 11,1%)

45-49 (4; 11,1%)

75-79 (4; 11,1%)

80+ (4; 11,1%)

60-64 (4; 11,1%)

65-69 (4; 11,1%)

70-74 (4; 11,1%)

50-54 (4; 11,1%)

55-59 (4; 11,1%)

Pie Chart of age

2.3 CURS 2000-2001 Q1 DIPLOMATURA D’ESTADÍSTICA. CURS 2000-2001 Q1. EXAMEN FINAL DE CÀLCUL DE PROBABILITATS (Data:12/1/2001 – 15h. Lloc: Aula S02)

Nom de l´alumne: DNI: Professor responsable: Lídia Montero Mercadé Localització: Edifici U D.421 Normativa de l’examen: NO ES PERMÉS DE DUUR APUNTS. ES POT DUUR CALCULADORA RESPONGUEU A L´ESPAI RESERVAT Nombre de problemes: Hi han 4 problemes, es fan dues entregues per separat Durada de l’examen: 2h 30 min Sortida de notes: Abans 17/1 als Taulells de Notes del Departament i FME.

Revisió de l’examen: El 17/1 a les 15 hores (D.421 PR.1 i 2 D.414 PR.3 i 4).

Problema 1 ( 1 punt) L’anàlisi estadístic univariant per la variable EDAT (age en anglès, num_edat variable quantitativa amb l’identificador de classe per cada grup d’edat) d’un col.lectiu de pacients implicats en un assaig clínic mostra les següents dades:

MTB > Describe 'num_edat'.

Descriptive Statistics: num_edat

Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean

num_edat 36 62,78 62,50 62,66 13,55 2,26


num_edat 42,50 85,00 52,50 72,50

MTB >

1. Considereu la distribució de l’edat simètrica?

Si, a la dreta i a l’esquerra de la mitjana el comportament és idèntic.

2. I uniforme?

Si, tots els grups mostren el mateix nombre d’ocurrències.


32

3. Dibuixeu el boxplot per ‘num_edat’, tot detallant les posicions concretes dels elements definidors .

(min, Q1, Med, Q3, max)=(42.5, 52.5, 62.5, 72.5, 85)

Tots els valors fora de l’interval tancat entre Q1-1.5(Q3-Q1) i Q3+1.5(Q3-Q1) són potencialment atípics ( possibles outliers): concretament els qui estan fora de [12.5, 102.5]. min max

+------+----------+ I----------| | |------------------I * +------+----------+ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ |<----- 1.5(Q3-Q1) ----->| | |<----- 1.5(Q3-Q1) ----->| | | | | | Q1 mediana Q3

Problema 2 ( 4 punts) El temps de transferència per INTERNET d’un fitxer de grandària x Mb segueix una variable normal d’esperança 0.4x segons i variança 0.1x segons2.

1. Si transferim molts fitxers de 5 Mb (independentment uns d’altres), quants d’ells trigaran més de 3 segons?

X: Temps de transmissió d’un fitxer de 5 Mb en segons – N(2, 0.7072)

Les freqüències després de gran nombre de repeticions tendeixen a probabilitats, llavors el succés A: Trigar més de 3 segons, es pot calcular com la probabilitat que el procès probabilista que modela la transmissió acompleixi la condició,

P(A)=P([X>3])=1- P([X≤ 3])=1-P([Z≤(3-2)/0.707]=1- P([Z≤1.41]=1-0.921=0.07927

2. Quina és la probabilitat en un moment donat que el temps de transferència d’un arxiu de 1 Mb superi els 0.5 segons si ja ha superat els 0.25 segons?

X: Temps de transmissió d’un fitxer de 1 Mb en segons – N(0.4, 0.3162)

Les freqüències després de gran nombre de repeticions tendeixen a probabilitats, llavors el succés A: “Trigar més de 0.5 segons” donada la realització del succés B “Ha superat els 0.25 segons”, es pot calcular a partir de la probabilitat que el procès probabilista que modela la transmissió acompleixi la condició,

P(A/B) = P([X>0.5]/[X>0.25])=

= P([X>0.5]∩[X>0.25])/ P([X>0.25])= P([X>0.5])/ P([X>0.25])=0.376/0.6826=

= 0.5508

P([X>0.25])= 1-P([X≤0.25])=1-P([Z≤(0.25-0.4)/0.316]=1- P([Z≤-0.475]=1-0.3174=0.6826

P([X>0.5])= 1-P([X≤0.5])=1-P([Z≤(0.5-0.4)/0.316]=1- P([Z≤0.316]=1-0.624=0.376

3. Suposeu que s’han de transferir 10 fitxers de 5 Mb cadascun. Quina és la probabilitat de que les 10 transferències juntes triguin més de 25 segons?


33

X: Temps de transmissió de 10 fitxers de xi Mb en segons – N(0.4*Σ xi, 0.1*Σ xi)

La suma de normals és normal amb mitjana suma de mitjanes i variança suma de variances si les v.a. sumades són estadísticament independents (com és el cas).

X’: Temps de transmissió de 10 fitxers de 5 Mb en seg – N(0.4*50, 0.1*50) ≡ N(20, 2.2362)

A: “Trigar en la transmissió de 10 arxius de xi Mb cadascun més de 25 seg”

P(A)=P([X>25])=1- P([X≤ 25])=1-P([Z≤(25-0.4*Σ xi)/ i1,...,10ix∑ =

Σ0.1 ]=

=1-P([Z≤(25-20)/2.236]=1- P([Z≤2.236]=1-0.9873=0.0127

4. Si juntem els 10 fitxers i formem un de 50 Mb, tenim una probabilitat menor de transferir el fitxer en més de 25 segons? Expliqueu en quins casos és preferible juntar els fitxers.

X: Temps de transmissió de 1 fitxer de 50Mb en segons – N(20, 2.2362)

A: “Trigar en la transmissió més de 25 seg”

P(A)=P([X>25])=1- P([X≤ 25])=1-P([Z≤(25-20)/2.236]=1- P([Z≤2.236]=1-0.9873=0.127

Probabilitat idèntica: no val la pena, la qual cosa no és de sentit comú.

5. Un de cada vuit fitxers d’una certa mida M és transferit en més de 5 segons. Trobeu el valor de M (hi ha solsament una solució).

X: Temps de transmissió de 1 fitxer de x Mb en segons – N(0.4x, 0.1x)

Trobar M=x tal que P([X>5])=1/8=0.125

P([X>5])=1- P([X≤ 5])=1-P([Z≤(5-0.4x)/ x10. ])=0.125

Valor z t.q. 1-P(Z≤z)=0.125 → P(Z≤z)=0.875 → per taules z=1.15

D’on cal trobar les solucions de l’equació de segon ordre i determinar la solució única adecuada per x a partir de l’equació :

(5-0.4x)/ x10. =1.15 → 0.4x+0.394 x -5=0 → solucions –0.4925±3.57 →

→ M=3.08 Mb

Problema 3 ( 2 punts) En la lotería, se gana con probabilidad 1/10.

1. El jugador “A” juega 20 veces. Sea X el número de jugadas ganadoras de “A” ¿Cuál es la ley de X, su esperanza, su varianza?

La variable X sigue una ley Binomial de parámetros n=20, p=0.1.

Por tanto E(x) = np=2, V(X) = np(1-p) =1.8

2. El jugador “B” decide jugar hasta ganar una vez. Sea Y el número de jugadas necesarias. ¿Cuál es la ley de Y, su esperanza, su varianza?


34

Para tener que efectuar exactamente k jugadas, el jugador B tiene que perder en (k-1) jugadas y ganar en la kesima.

Por tanto, la función de probabilidad de Y tiene la expresión: 1

109

101 −

⋅==

k

)kY(P

Se reconoce así distribución geométrica de parámetro p=1/10.

101==

p)X(E ; 2

1p

p)X(V −=

Problema 4 ( 3 punts) La compañía de aviación Vuelovol ofrece un vuelo Barcelona-Madera una vez a la semana. El avión utilizado tiene una capacidad de 380 plazas. Las condiciones de reservación son ventajosas para los clientes, y la tasa de anulación es de un 1%.

El número de reservas para el próximo vuelo es de 360 plazas.

1.)Determinar la ley que sigue el número de anulaciones para este próximo vuelo

Sea X la variable que cuenta el número de anulaciones para este próximo vuelo. X sigue una distribución Binomial de parámetros n=360 y p=0.01

2.) ¿Se podría aproximar esta ley mediante otra?. Justificar la aproximación propuesta e indicar cuál es el interés utilizar esta aproximación.

La distribución de X se puede aproximar por la distribución de Poisson de parámetro λ=360×0.01=3.6

Esta aproximación es válida porque n>30 y p pequeño, tal que np≤5

El interés de esta aproximación consiste en poder dar resultados aproximados con la sola utilización de las tablas. En este caso, para n=360, la aproximación es de muy buena calidad.

3.) Calcular la probabilidad de que se produzcan 5 anulaciones, y la de que se produzcan al menos 8 anulaciones para este próximo vuelo.

Para calcular las probabilidades pedidas, se considera que X sigue la ley de Poisson con λ=3.6, y se utilizan las tablas.

La probabilidad de que se produzcan exactamente 5 anulaciones es igual a:


35

P(X=5) = FX(5) –FX(4)=0.844-0.706=0.138

La probabilidad de que se produzcan exactamente al menos 8 anulaciones es igual a:

P(X≥8)=1-P(X≤7)=1-FX(7)=1-0.969=0.031


36


37


Nom de l´alumne: DNI: Professor responsable: Lídia Montero Mercadé

Localització: Edifici U D.421

Normativa de l’examen: NO ES PERMÉS DE DUUR APUNTS.

ES POT DUUR CALCULADORA

RESPONGUEU A L´ESPAI RESERVAT

Durada de l’examen: 2h 30 min

Sortida de notes: Abans 22/1 als Taulells de Notes del Departament i FME.

Revisió de l’examen: El 22/1 a les 15 hores (D.421 PR.1 i 2 D.414 PR.3).

Qüestions 1 a 10 (1 punt cadascuna) 1. Una finestreta d’un banc rep un promig de 10 clients por hora i pot considerar-se un procés

poissonià . Quina és la funció de probabilitat de Y, la variable aleatòria que modelitza el número de clients arribats en 6 hores i quin és el paràmetre que la caracteritza? Quina és la probabilitat que passin més de 15 minuts sense que arribi cap client a la finestreta?

a. Poisson de parametre 60 clients per 6 hores.

b. El temps entre arribades, Y, segueix una llei exponencial de parametre 10 client per hora o bé temps mig entre arribades 0.1 h-1 o 1 cada 6 minuts. La probabilitat demanada és P(Y>15) si s’expressen les dades en minuts o bé P(Y>0.25) si s’expressen en hores, en qualsevol cas la probabilitat és de 0.082, calculada per exemple en la proposta de temps expressat en hores ,

P(Y>0.25)=exp(-10x0.25)=0.082


38

2. Un grup de 100 jutges qualifiquen amb puntuacions de 1 a 20 la gravetat d’un cert delicte considerat socialment polèmic. Per cercar línies de consens, s’intenta definir un criteri estadístic que suprimeixi les postures més radicals. Indiqueu, entre els següents, quin podria ser vàlid i per què.

a. S’eliminen les puntuacions inferiors a la mitat de la mitjana o superiors a dues vegades

la mitjana.

b. S’eliminen les puntuacions superiors a la mitjana més una desviació tipus o inferiors a la mitjana menys una desviació tipus.

c. Es consideren només les puntuacions entre la mitjana i la mediana.

d. Es consideren només les puntuacions entre la mediana i la moda.

Solució és la B, considera la tendència central i la dispersió de la pròpia mostra per establir les qualificacions a considerar: considera la desviació tipus com una unitat de mesura de la dispersió de la pròpia mostra, que es calcula a partir de la mostra i no com l’opció A que només considera un criteri sobre la tendència central de les dades.

3. Siguin A,B i C successos pertanyents al conjunt fonamental d’una experiència aleatòria. Sabem que B és un succés inclòs al succés A, A i C són independents i els successos B i C són disjunts. A nivell de probabilitats, es sap que la probabilitat del complementari del succés unió entre A i C és igual a 0.48; la probabilitat del succés resultant de la unió dels successos B i C és 0.3 i la probabilitat del succés C és del doble que la probabilitat del succés B. Determineu la probabilitat del succés A unió B.

Segons les dades, AB ⊆ , ( ) ( ) ( )CPAPCAP =∩ i ( ) 0=∩ CBP al ser disjunts, ( ) ( )CAPCAP ∪−==∩ 1480. ,

( ) 30.=∪ CBP i ( ) ( )BPCP 2=

La incògnita és ( )BAP ∪ .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1030302 .. =→==−+=∩−+=∪ BPBPBPBPCBPCPBPCBP

( ) ( ) 202 .== BPCP

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 402020520 .... =→−+=−+=∪= APAPAPCPAPCPAPCAP

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 40.==−+=∩−+=∪ APBPBPAPBAPBPAPBAP

4. Es disposa de dues urnes que contenen boles blanques i negres. La primera conté 3 boles blanques i 2 boles negres; i la segona urna conté 1 bola blanca i 4 boles


39

negres. Es realitza una experiència aleatòria consistent en llençar una moneda trucada, de manera que si surt cara es tria a l’atzar una bola de la primera urna i si s’obté creu es tria a l’atzar una bola de la segona de les urnes. Si la probabilitat d’extreure una bola blanca és de 7/15, quina és la probabilitat d’obtenir creu en el llençament de la moneda trucada?

Siguin els successos:

C: Obtenir cara i per tant emprar l’urna 1

B: Obtenir bola blanca en l’extracció

Les dades diuen : ( ) 157=BP i la informació a priori inclosa en l’enunciat és

( )53

=CBP , ( )

51

=CBP , ( )

52

=CBP i ( )

54

=CBP , ARA BÉ ( ) ?=CP

( ) 157=BP no és una informació a priori, en la terminologia de Bayes, és el resultat del

Teorema de la Probabilitat Total:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1571 =−+=+= CPC

BPCPCBPCPC

BPCPCBPBP , ara incorporant

les dades a priori:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )32

1571

51

531 =→=−+=−+= xxxCPC

BPCPCBPBP

Ara sí, ( ) ( )31

3211 =−=−= CPCP .

5. Determineu la mediana i la mitjana de la variable aleatòria contínua descrita per la següent funció de densitat de probabilitat:

( )

≥=altrament

axxa

xf X

0

23

2

La mediana és 2a , doncs Med és el valor tal que

( ) ( ) 50.=∫=≤∞−

dttfMedXPMed

X .

La mitjana és [ ] ( ) ( ) aatadt

tatdttftX

aaX 22022 2

3

2

=−−=

−=∫=∫=Ε

+∞∞+∞+

∞−


40

6. Sigui X una variable aleatòria que segueix una distribució exponencial amb variança igual a 1/16. Es defineix una nova variable aleatòria Y com 232 XY += . Quina és l’esperança matemàtica de la variable aleatòria Y?

[ ] [ ] [ ]22 3232 XEXEY +=+=Ε

Ara bé , per les propietats de la variança i la informació addicional de la distribució de probabilitat de la variable original X:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]81

161221211

2

2

22222 ====

+=+=→−= XVXEXVXEXEXEXV

λλλ

[ ] [ ] [ ]8

1981323232 22 =+=+=+=Ε XEXEY

7. Les notes d’un examen d’Estadística es distribueixen normalment amb mitjana 6.8 i desviació tipus de 1.2 (són notes sobre 10). Calculeu la probabilitat que un estudiant triat a l’atzar obtingui una qualificació que no difereixi de la mitjana més de 0.5 punts. Quina seria la probabilitat anterior si sabéssim que la tria s’efectua entre els estudiants que han aprovat (han tret una nota superior o igual a 5)?

Sigui X la var. Aleatòria que modelitza la qualificació d’un estudiant, distribuïda normalment amb mitjana 6.8 i variança 1.22.

La probabilitat demanada primerament és P(6.3<X<7.3)=2P(Z<0.42)-1=2x0.6628-1=0.3256.

La probabilitat demanada en segon terme és ( ) ( )( )5

37365

3736>

<<=>

<<XP

XPX

XP .... .

Ara bé P(X>5)=1-P(Z<-1.5)= P(Z<1.5)=0.9332.

I a partir del resultat del primer apartat:

( ) 348909332032560

53736 .

.

... ==><<

XXP

8. La probabilitat que una determinada revista sigui comprada pels habitants d’una ciutat A és de 0.2. En la ciutat B, la probabilitat de comprar la revista és la mateixa. Es trien a l’atzar 15 ciutadans de A i 10 ciutadans de B. Quina és la probabilitat que en el conjunt dels dos grups de ciutadans no n’hi hagi cap que llegeixi la revista?

Sigui X v.a. Nombre de lectors entre els 15 ciutadans d’A i sigui Y la v.a. Nombre de lectors entre els 10 ciutadans de B. Ambdues v.a. són lleis binomials X és B(15,0.2) i Y és B(10,0.2). Sigui Z v.a. nombre de lectors entre els 25 ciutadans procedents d’A i B , Z=X+Y amb p=0.2 i les 2 v.a. són independents, per tant Z és B(25,0.2) i la probabilitat sol.licitada és P(Z=0)=0.825.


41

9. La longitud de peces fabricades per un taller mecànic segueix una distribució normal amb mitjana de 100 cm i variança de 64 cm2. Si la longitud d’una de les peces és inferior a 84 cm no es pot vendre i suposa una pèrdua per l’empresa de 5 Euros. Si la longitud està compresa entre els 84 i els 116 cm, el benefici per la venda és de 10 Euros i si finalment, la peça té una longitud superior a 116 cm, el benefici per la venda és de 6 Euros. Calculeu el benefici esperat per una peça fabricada ? I per una peça venuda?

Sigui Y:v.a. benefici per una peça fabricada Y té valors –5, 10 i 6.

Sigui W: v.a benefici per una peça fabricada i venuda, W té valors 10 i 6.

La primera pregunta té per resposta l’esperança matemàtica de la variable Y i per tant requereix de la funció de probabilitat de Y:

Y -5 10 6

probabilitat ( ) 02280284 .)( =−<=< ZPXP ( ) 95402211684 .)( =<<−=<< ZPXP

( ) 022802116 .)( =>=> ZPXP

El benefici esperat per peça fabricada és E(Y)=9.56775 Euros.

La segona pregunta requereix del càlcul de l’esperança matemàtica de W i per tant cal la funció de probabilitat de W:

W 10 6

probabilitat ( ) 980222

8411684 .)( =−>

<<−=><<

ZZPX

XP

( ) 0185102

284

116 .)( =−>>=>

>Z

ZPXXP

E(W)=9.9261

10. El nombre de sol.licituds diàries de prèstecs hipotecaris en una determinada oficina d’una entitat bancària és de 6 per dia. En el cas que les sol.licituds diàries segueixin una distribució de Poisson, quina és la probabilitat que en un dia es rebin més de 2 sol.licituds? Quina és la probabilitat que en un dia es rebin més de 2 sol.licituds, si el dia anterior se’n van rebre 5 de sol.licituds? Quin és el nombre de sol.licituds diàries que com a mínim es rebran amb una probabilitat del 90%?

X: v.a. nombre de sol.licituds diàries de prèstecs – Poisson(6)

La probabilitat demanada és P(X>2)=1-P(X<3)=0.938 i serà la mateixa independentment del que hagi el dia passat, doncs per hipòtesi poissoniana, les sol.licituds de prèstecs són estadísticament independents.


42

Es demana el valor x tal que P(X<x)<=0.9. P(X<=8)= 0.847237 i P(X<=9)= 0.916076. La resposta és per tant x=9 sol.licituds per dia.


43

2.5 CURS 2002-2003 Q1 DIPLOMATURA D’ESTADÍSTICA. CURS 2002-2003 Q1. EXAMEN FINAL DE CÀLCUL DE PROBABILITATS (Data:14/1/2003 – 15h. Lloc: Aula S02) Nom de l´alumne: DNI: Professor responsable: Lídia Montero Mercadé


Normativa de l’examen: NO ES PERMÉS DE DUR APUNTS.

ES POT DUR CALCULADORA I TAULES ESTAD.


Sortida de notes: Abans 20/1 al Taulell de Notes de la FME.

Revisió de l’examen: El 20/1 a les 12:30 hores (D.421).

Problema 1: Qüestions 1 a 3 (1 punt cadascuna)

1. Una finestreta d’un banc rep un promig de 10 clients por hora i pot considerar-se un procés poissonià . Quina és la funció de probabilitat de Y, la variable aleatòria que modelitza el número de clients arribats en 6 hores i quin és el paràmetre que la caracteritza? Quina és la probabilitat que passin més de 15 minuts sense que arribi cap client a la finestreta?

c. Poisson de parametre 60 clients per 6 hores.

d. El temps entre arribades, Y, segueix una llei exponencial de parametre 10 client per hora o bé temps mig entre arribades 0.1 h-1 o 1 cada 6 minuts. La probabilitat demanada és P(Y>15) si s’expressen les dades en minuts o bé P(Y>0.25) si s’expressen en hores, en qualsevol cas la probabilitat és de 0.082, calculada per exemple en la proposta de temps expressat en hores ,

P(Y>0.25)=exp(-10x0.25)=0.082

2. Es disposa de dues urnes que contenen boles blanques i negres. La primera conté 3 boles blanques i 2 boles negres; i la segona urna conté 1 bola blanca i 4 boles negres. Es realitza una experiència aleatòria consistent en llençar una moneda trucada, de manera que si surt cara es tria a l’atzar una bola de la primera urna i si s’obté creu es tria a l’atzar una bola de la segona de les urnes. Si la probabilitat d’extreure una bola blanca és de 7/15, quina és la probabilitat d’obtenir creu en el llençament de la moneda trucada?



44




( )53

=CBP , ( )

51

=CBP , ( )

52

=CBP i ( )

54


( ) 157=BP no és una informació a priori, en la terminologia de Bayes, és el resultat del

Teorema de la Probabilitat Total:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1571 =−+=+= CPC

BPCPCBPCPC

BPCPCBPBP , ara

incorporant les dades a priori:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )32

1571

51

531 =→=−+=−+= xxxCPC

BPCPCBPBP

Ara sí, ( ) ( )31

3211 =−=−= CPCP .

3. Les notes d’un examen d’Estadística es distribueixen normalment amb mitjana 6.8 i desviació tipus de 1.2 (són notes sobre 10). Calculeu la probabilitat que un estudiant triat a l’atzar obtingui una qualificació que no difereixi de la mitjana més de 0.5 punts. Quina seria la probabilitat anterior si sabéssim que la tria s’efectua entre els estudiants que han aprovat (han tret una nota superior o igual a 5)?

Sigui X la var. Aleatòria que modelitza la qualificació d’un estudiant, distribuïda normalment amb mitjana 6.8 i variança 1.22.

La probabilitat demanada primerament és P(6.3<X<7.3)=2P(Z<0.42)-1=2x0.6628-1=0.3256.

La probabilitat demanada en segon terme és

( ) ( )( )5

37365

3736>

<<=>

<<XP

XPX

XP .... .

Ara bé P(X>5)=1-P(Z<-1.5)= P(Z<1.5)=0.9332.

I a partir del resultat del primer apartat:

( ) 348909332032560

53736 .

.

... ==><<

XXP

Problema 2 (4 Punts):


45

Considerem el conjunt de tots els paquets de 3 bits que s’envien per una línia de comunicació ( Ω = 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111). Suposem que totes les seqüències no són equiprobables:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 15

115

215

3 ======== 101110011 ,100010001,111000 ΡΡΡΡΡΡΡΡ

Es defineixen dues variables aleatòries discretes X i Y. La variable X és la suma dels 3 bits i la variable Y és el número d’alternàncies en la secuencia de bits.

Per tant, els conjunts de valors de les variables descrites és X ∈ 0,1,2,3 i Y ∈ 0,1,2.

1. (1 punt) Determineu la funció de probabilitat conjunta de les dues variables aleatòries discretes X i Y.

2. (0.5 punts) Determineu les funcions de probabilitat marginals de les dues variables aleatòries discretes X i Y.

3. (0.5 punts)¿Són X i Y independents? Justifiqueu la resposta en termes estadístics.

4. (0.5 punts) Calculeu l’esperança matemàtica de X . Quina és la mitjana de Y?

5. (0.5 punts) Calculeu les variances de X i Y. 6. (1 punt) Calculeu Cov(X,Y) (emprant Cov(X,Y) = E(X*Y)-E(X)·E(Y)) i el coeficient de

correlació lineal ρX,Y.)

Solució

Resultats possibles, w X (suma) Y (#alternàncies)

000 0 0

001 1 1

010 1 2

011 2 1

100 1 1

101 2 2

110 2 1

111 3 0

Probabilitats conjuntes:

PYX X=0 X=1 X=2 X=3

Y=0 3/15 0 0 3/15 6/15


46

Y=1 0 4/15 2/15 0 6/15

Y=2 0 2/15 1/15 0 3/15

3/15 6/15 3/15 3/15 1

2. Tenim Py = [6/15, 6/15, 3/15 ] i Px = [3/15, 6/15, 3/15, 3/15]. Per exemple, P([X=0 , Y=0]) = 3/15 diferent de P([X=0]) •P([Y=0])= 3/15• 6/15, per tant X i Y no són independents.

3. E(X) = 3/15•0 + 6/15•1 + 3/15•2 + 3/15•3 = 21/15 = 7/5 =1.4.

E(Y) = 6/15•0 + 6/15•1 + 3/15•2 = 12/15=4/5=0.8.

5,6. E(X2) = 3/15•0 + 6/15•1 + 3/15•4 + 3/15•9 = 45/15 = 3.

E(Y2) = 6/15•0 + 6/15•1 + 3/15•4= 18/15 =6/5.

V(X) = E(X2) – E(X)2 = 3 – (7/5)2 = (75 – 49)/25 = 26/25=1.04.

V(Y) = E(Y2) – E(Y)2 = 6/5 – (4/5)2 =(30-16)/25= 14/25=0.56.

E(X•Y) = 6/15•0 + 4/15•1 + 2/15•2 + 2/15•2 + 1/15•4 = 16/15.

Cov(X,Y) = E(X•Y) – E(X)•E(Y) = 16/15– 7/5•4/5 = (80-84)/75= - 4/75=-0.05.

Ara el coeficient de correlació: ( ) ( ) 06550754

2514

2526

./,, −=−

==YX

YXCOVYXσσ

ρ

Problema 3 (3 Punts):

Uns pescadors a un riu de l’Amazònia pesquen els peixos amb una petita xarxa després d’haver distribuït un verí per adormir-los a l’aigua. A la xarxa només hi cap un exemplar; però, cada intent de captura d’un animal no sempre resulta exitòs. Els pescadors tenen molt clara la intuició de la probabilitat i saben que:

• En introduir la xarxa, tenen una probabilitat p=0.8 de capturar un peix.

• La pesca és molt abundant a la zona i per tant, la probabilitat p pot assumir-se constant al llarg de successius intents.

• L’èxit o fracàs a cada intent és independent del resultat d’intents anteriors.

Els pescadors venen in situ les seves captures. Respongueu a les següents preguntes tot justificant estadísticament les definicions i càlculs necessaris.

1. Si arriba un nen amb ganes de joc que qualifiquem com a client indecís i demana un pescador els peixos que pugui capturar en 8 intents, quina és la llei de probabilitat de la variable aleatòria, X, número de peixos comprats per un client indecís ? Quin


47

és el número esperat de peixos que s’endurà el client? Quina és la probabilitat que el client s’en vagi sense comprar cap peix?

X1 : Nb de peixos pescats en 8 intents ∼ B(8 , p=0.8)

[ ] 461 .=⋅= pnXΕ

[ ] 68801 105622080180

08

001

−==−⋅⋅

=== ..).(.)()( XPXP

2. Si arriba un client decidit que vol comprar 2 peixos, quina és la llei de probabilitat de la variable aleatòria, Y, número d’intents necessaris per part del pescador per satisfer la comanda del client?

X2 : nº d’intents fins aconseguir dos peixos ∼ Bn(r=2, p=0.8) (llei binomial negativa de paràmetres r=2 i p=0.8)

[ ] ( ) 6250122 .=

−=

pprXΕ

3. Els clients indecisos arriben a la vora del riu per la tarde segons una llei de Poisson de paràmetre 4 clients per hora i els clients decidits seguint una altra llei de Poisson, independent de l’anterior i de paràmetre 1 client per hora. Si entre les 16:00 i les 16:15 hores ha arribat un únic client que a més ha comprat dos peixos, quina és la probabilitat que sigui un client indecís (nen)?

4 clients per hora dels indecisos ∼℘(1) per 14 d’hora.

1 client per hora dels decidits ∼℘(0.25) per 14 d’hora.

De les 16 a 16:15 → client ha comprat 2 peixos.

A: client indecís B: comprar 2 peixos

( ) ( )00450

20100009180 .

..

)(

)(==

⋅=

BP

APABP

BAP

( ) ( ) ( ) 20101001150 51

54 ..)( =⋅+⋅== APA

BPP(A)ABPBP ⋅+

A priori : P( ) ) /A P(A= =4 5 1 5

( ) [ ] ( ) 1001150208028

2 621 ==⋅⋅

=== A

BPXP(ABP

.).(.)


48


49


50

2.6 CURS 2003-2004 Q1 EXAMEN FINAL DE CÀLCUL DE PROBABILITATS

(Data:13/1/2004 – 15h. Lloc: Aula S02)

Nom de l´alumne: DNI: Professor responsable: Lídia Montero Mercadé Localització: Edifici U D.421 Normativa de l’examen: NO ES PERMÉS DE DUR APUNTS. ES POT DUR CALCULADORA RESPONGUEU A L´ESPAI RESERVAT Durada de l’examen: 2h 30 min Sortida de notes: Abans 20/1 al Taulell de Notes de la FME. Revisió de l’examen: El 20/1 a les 15 hores (D.421). Problema 1 (Ap. 1 a 4 0.5 punts i Ap. 5 0 punts, total 2 punts): En un procés de fabricació d’aparells d’aire condicionat hi han 3 robots que els produeixen emprant diferent tecnologia. La línia 1 produeix un 40% dels aparells i les altres dues línies el 30% cadascuna d’elles. Es sap que el 5% de les unitats produïdes per la línia 1 són defectuoses, el 6% de la línia 2 són defectuoses i el 4% dels aparells produïts per la línia 3 són defectuosos.

1. Es tria un aparell a l’atzar. Quina és la probabilitat que sigui defectuós?

Sigui D: el succés, l’aparell seleccionat és defectuós

Siguin Li : els successos, l’aparell és produit per la línea i=1, 2, 3.

Per tant P(L1)=0.4, P(L2) = 0.3, P(L3)=0.3,

P(D|L1)=0.05, P(D|L2)=0.06 i P(D|L3) = 0.04.

Pel Teorema de la Probabilitat Total,

( ) ( ) ( )

0.050.04*0.30.06*0.3 0.05 * 0.4 )|()()|()()|()(

)(

332211

321

=++=++=

∩+∩+∩=LDPLPLDPLPLDPLP

LDPLDPLDPDP

2. Es tria un aparell a l’atzar que resulta defectuós. Quina és la probabilitat que hagi estat fabricat per la línia 1? Pel teorema de Bayes

4.0050.002.0

05.0

)|()()|()()|()()|()(

)()()|(

332211

1111

===

++=

∩=

0.05 . 0.4

LDPLPLDPLPLDPLPLDPLP

DPDLPDLP

3. Es trien 10 aparells a l’atzar. Quina és la probabilitat que més d’un sigui defectuós? I quina és la probabilitat que entre 3 i 5 aparells siguin defectuosos?


51

Es seleccionen n=10 aparells, definim la variable N= Nombre d’aparells que són defectuosos d’entre els 10 seleccionats. N~ Binomial (n=10, p=0.05):

(i) Pr[N>1]=Pr[N 2≥ ]= 1-Pr[N ≤ 1]=1- ∑=

− =−=

1

0

10 0861.09139.0195.005.010

n

kkk

(ii) Pr[3 ≤ N ≤ 5]=Pr[N ≤ 5]-Pr[N ≤ 2]= 1- 0.9885=0.0115

Sigui X la v.a. que modelitza el temps de vida dels aparells no defectuosos, la qual segueix una llei exponencial de mitjana 10000h. Sigui Y la v.a. que modelitza el temps de vida dels aparells defectuosos, la qual segueix una llei exponencial de mitjana 500h. Sigui T la v.a que modelitza el temps de vida d’un aparell fabricat per alguna de les línies de producció.

4. Quina és la probabilitat que un aparell triat a l’atzar tingui una vida superior a les 1000 hores? T1 ~ Exponencial(α) amb E(T1)=1/α=10000 hores llavors α=0.00001

t-. et)Pr(T i 1)Pr( αα =>−=≤ tetT

T2 ~ Exponencial(β) amb E(T2)=1/β=500 hores i per tant β=0.002

t-t. et)Pr(Ty e)tTPr( ββ =>−=≤ 1

Usant el teorema de la probabilitat total es pot calcular el resultat demanat.

( ) [ ] [ ]( ) ( )

)(05.0)P(T 0.95 |)Pr(Bo|tTP P(Bo)

21 tTPtDefectuostTPDefectuos

tTDefectuosPtTBoPtTP

>+>=>+>=

=>∩+>∩=>

5. Es trien a l’atzar 7 aparells d’aire condicionat de la producció d’un dia determinat. Es desitja trobar un model probabilista pel temps de vida mínim fins que falla el primer aparell entre un grup de 7 aparells triats a l’atzar. Quin és aquest model? Quina és la probabilitat que el temps de vida mínim superi les 1000 hores?

Sigui Y la v.a. que modelitza el temps de vida mínim de 7 aparells triats a l’atzar. No calia saber-ho, però aquesta variable es pot demostrar que és el mínim de v.a. exponencial i també és exponencial amb un paràmetre relacionat amb la suma dels paràmetres de les exponencials que intervenen en la seva definició.

P[Y> 1000]=P[T1>1000, T2>1000 , T3>1000 , T4>1000 , T5>1000 , T6>1000 , T7>1000]

=P[T>1000]7= 0.94737=0.6846

9473.005.0e0.95 05.0e 0.95

)1000(05.0)1000(95.0) 1000(

20.1-

1000*002.01000*0.0001-21

=+=

+=

>+>=>

−

−

ee

TPTPTP


52

Problema 2 (2.5 Punts, 0.5 punts per apartat excepte el 3 que val 0):

Un servidor per Mineria de Dades ubicat en una xarxa local d’una gran empresa envia els missatges a serveis centrals en fraccions de 250 Kb. El temps que triga en transmetre 250 Kb pot considerar-se negligible, però com que la xarxa de comunicacions està molt saturada el temps entre dues transmissions consecutives no pots menystenir-se i pot comprovar-se segueix una llei exponencial amb esperança de 10 ms. Un estudi rigorós determina que inexplicablement els missatges tramesos des del servidor a serveis centrals tenen una grandària fixa de 25000 Kb.

1. Quina és la probabilitat que el temps entre 2 accessos a la xarxa per part del servidor sigui superior a 20 ms?

T: V.a. Temps entre transmissions consecutives, és exponencial de paràmetre 0.1.

P(T>=20) = e-20/10 = e-2 = 0,1353

2. Quina és la velocitat de transmissió del servidor expressada en bytes (per segon? Recordeu que 1 Kbyte són 1024 bytes.

E[T]=10ms 250Kb/10ms = (250*1024)/0,01 = 25600000 bytes /s

3. Quina és la probabilitat que el servidor guanyi l’accés a la xarxa local de comunicacions més de 2 vegades en un interval de temps inferior o igual a 20 milisegons?

N= nº de guanys d’accés ~ Poisson E[N] = 2 en un període de temps de 20ms P(N>=3) = 1- P(N=0) – P(N=1) – P(N=2) = 1-5 e-2 = 0,3233

4. Quin és el temps mig que trigarà en ésser tramès un missatge?

T= temps de transmissió d’un missatge ; T = T1 + T2 + ...+ T100;

E[T]= E[T1] + ... + E[T100] = 100 · 10 ms = 1000ms = 1s

5. Quina és la probabilitat que un missatge trigui més de 1,2 segons en ésser tramès?

T= temps de transmissió d’un missatge ; T = T1 + T2 + ...+ T100;

E[T]= E[T1] + ... + E[T100] = 100 · 10 ms = 1000ms = 1s

Var[T] = Var[T1] + .... + Var[T100] = 100 · 100 ms2 = 10.000 ms2.

Pel teorema central del límit: T ~ N(1s 0,1s)

P(T>1,2) ≈ P( z >= (1,2-1)/0,1 ) = P(z>=2) = 0,0228


53

6. Representeu gràficament la funció densitat de probabilitat de la variable aleatòria que modelitza el temps de transmissió d’un missatge, indicant clarament on es troba el valor de la seva esperança matemàtica i l’amplada de la seva desviació tipus.

Problema 3 (3 Punts – 0.5 punts per apartat): S’està comparant l’eficàcia de 2 fàrmacs immunodepressors en situacions de trasplantament en pacients d’una gran corporació hospitalària del nostre país i la seva relació amb el nombre de infeccions mensuals (baixa, mitjana, alta) detectades en els pacients durant el període d’hospitalització. Indiquem amb la variable aleatòria Y∈0,1 el fàrmac subministrat (Y(Fàrmac 1)=0, Y(Fàrmac 2)=1) i amb X∈1,2,3 les diferents taxes d’infeccions (X(baixa)=1, X(mitjana)=2, X(alta)=3). Es coneix el valor de les funcions de probabilitat de les X i Y i alguns dels valors de la funció de probabilitat condicionada PX|Y :

PX|Y Y=0 Y=1 X=1 ? 0.17 X=2 0.43 0.33 X=3 0.18 ?

PY 0.54 0.46 1. Construïu la taula amb la probabilitat conjunta de les 2 variables, justificant el procediment

seguit. PXY Y=0 Y=1 PX

X=1 0.39*0.54 = 0.2106 0.17 *0.46 = 0.0782 0.2888 X=2 0.43*0.54 = 0.2322 0.33*0.46 = 0.1518 0.3840 X=3 0.18*0.54 = 0.0972 0.5*0.46 = 0.23 0.3272

PY 0.54 0.46

PX|Y=y és una funció de probabilitat:


54

PX|Y=0(1) + 0.43 + 0.18 = 1 => PX|Y=0(1) = 0.39

0.17 + 0.33 + PX|Y=1(3) = 1 => PX|Y=1(3) = 0.50

PX|Y=y(x) = PXY(x,y) / PY(y) és a dir

2. Són independents X i Y? Justifiqueu la resposta. No, atés que s’observa que P X|Y=y(x) ≠ PX(x), per exemple:

PX|Y=0(1) = 0.39 ≠ PX(1) = 0.29

3. Calculeu les esperances de X i de Y. E[ X ] = 2.0384 i E[ Y ] = 0.46 .

4. Calculeu la covariança entre X i Y. COV[ X, Y ] = E[ XY ] – E[X]E[ Y ] = 1.0718 - 2.0384 x 0.46 = 0.1341

5. Calculeu el coeficient de correlació lineal entre X i Y. CORR[ X, Y ] = COV[ X,Y ] / (V[X]V[ Y ])1/2 = 0.3432 On V[X] = E[ X2 ] - E[ X ] 2 = 4.7696 – 2.03842 = 0.6145 i V[ Y ] = E[ Y2 ] - E[ Y ] 2 = 0.46 – 0.462 = 0.2484 .

6. Justifiqueu, en base als resultats dels apartats anteriors, quin és el fàrmac que recomanaríeu subministrar als pacients trasplantats. Podem usar com a indicador el valor esperat de les taxes d’infecció E[X|Y=y]. Atés que E[X|Y=0] = 1,79 < E[X|Y=1] = 2.33, recomanaríem subministrar el fàrmac 1.

E[X|Y=0] = 1*0.39+2*0.43+3*0.18 = 1,79

E[X|Y=1] = 1*0.17+2*0.33+3*0.50 = 2.33


55





ES POT DUR CALCULADORA

ES POT DUR TAULES ESTADÍSTIQUES


Sortida de notes: Abans 24/1 al Taulell de Notes de la FME.

Revisió de l’examen: El 24/1 a les 15 hores (D.421).

Problema 1 (Ap. 1 a 4 0.5 punts, total 3 punts): El dispositiu automàtic d’obertura d’una paracaigudes de càrrega ha estat dissenyat per portar a llindars acceptables els danys als materials llençats: només en el 9,18% dels llançaments els paracaigudes s’obren a una alçada que excedeixi els 240 metres i només en el 4,75% s’obren a una alçada inferior a 150 m. En termes generals, s’estableix que hi ha danys sobre la càrrega, independentment del tipus de material, si el paracaigudes s’obre a una alçada inferior a 100 m.

1. Un bon model probabilista és el normal Indiqueu acuradament els seus paràmetres amb les dades subministrades.

X : Alçada de llançament de la càrrega - N(200, 302)

2. Quina és la probabilitat de l’esdeveniment aleatori que hi hagi dany de càrrega en un llançament? I almenys en un de 5 paracaigudes llençats independentment? Useu N(200, 302) si no n’esteu segurs dels vostres càlculs a l’apartat 1.

Sigui p la probabilitat de dany de càrrega en un llançament, p = 0.0004=P(X<100)

Sigui Y: Danys de càrrega en 5 llançaments – B(5, p=0.0004)

Sigui A: Dany de càrrega en almenys 1 paracaigudes


56

P(A)=P(Y>=1)=1-P(Y=0)=0.001998

Se sap que un 30% dels paracaigudes que venen de fàbrica estan fora d’especificacions i requereixen d’algun petit ajust per tal que s’obrin convenientment al ser llençats fora de l’avió. Considereu una mostra aleatòria de 200 paracaigudes. Justifiqueu detalladament les lleis de probabilitat emprades per respondre a les preguntes formulades a continuació.

3. Calculeu quina és la probabilitat de l’esdeveniment aleatori que entre 55 i 70 paracaigudes requereixin d’un ajust? X: Nombre de paracaigudes fora especificacions entre 200

Pel TCL X és suma de 200. v.a. i.i.d Bernoulli p=0.3 i per tant X pot aproximar-se N(60, 42=6.482)

Sigui B: “l’esdeveniment aleatori que entre 55 i 70 paracaigudes requereixin d’un ajust”, llavors

P(B)=P(55<=X<=70)=P(X<70.5)-P(X<54.5)= - P(Z<=-0.85)+P(Z<1.62)=0.75

(no cal usar el refinament del càlcul de probabilitat per l’interval, doncs no s’ha vista a classe).

4. Quin és el nombre esperat de paracaigudes que cal examinar fins trobar-ne exactament 1 al que calgui fer algun ajust? Y : Nb paracaigudes examinats fins trobar-se r=1 fora d’especificacions és G(p=0.3)

E(Y)=1/p=3,33 -> 4.

5. Els operaris habituals saben que per trobar 5 paracaigudes als qui calgui fer algun ajust han d’examinar més de 15 paracaigudes, més concretament de l’ordre de 17. De sobte detecten que amb un promig de 10 paracaigudes examinats ja n’han detectat 5 de defectuosos. Què en podeu dir del procés de fabricació dels paracaigudes? Quantifiqueu la vostra resposta i argumenteu-la en termes estadístics.

Y : Nb paracaigudes examinats fins trobar-se r=5 fora d’especificacions és BN(r=5, p=0.3) i per tant, E(Y)=r/p=5x3,33=50/3 -> 17.

Si ara només cal examinar-ne 10 en promig, vol dir que els paracaigudes defectuosos són més freqüents, la fabricació empitjora i concretament E(Y’)=r/p’=10 implica que r/10=p’=0.5, és a dir que la probabilitat de fabricació d’un paracaigudes defectuós s’incrementa de 0.3 a 0.5.

6. Els avions de subministrament poden llençar, en condicions meteorològiques favorables, un promig de 45 paracaigudes cada mitja hora. Quina és la probabilitat que hi hagi un interval entre 2 llançaments consecutius de més de 2 minuts? Quina és la probabilitat que en el llançament de 200 paracaigudes revisats, hi hagi menys de 5 intervals entre llançaments espaiats més de 2 minuts ? T: Temps entre llançament – Exp(λ=1.5 paracaigudes per minut)


57

Sigui p : probabilitat que el temps entre llançaments superi els 2 minuts, p=P(T>2)=exp(-1.5x2)=0.0498.

Sigui Y: Nb. Paracaigudes entre n=200 en que s’han superat els 2 minuts entre llançaments – B(199, p=0.0498) aproximable per Y’- P(λ=9.91) o Y’- P(λ=10) per ús de taules.

Aquesta aproximació no és adequada del tot, perquè np(1-p) =9.42 supera 5 i per tant millor emprar una aproximació normal via Y’’- N(9.91, 9.42=3.072)

Es demana, P(Y<5) i pot aproximar-se per

P(Y’’<=5) = P(Z<=(5-9.91)/3.07) = 1-P(Z<=1.6) per taules=0.0548.

o

P(Y’’<=5.5) = P(Z<=(5.5-9.91)/3.07) ... per taules=0.075.

Problema 2 (Ap. 1 a 6 0.5 punts, Total 3 punts):

La sala d’espera d’un especialista mèdic disposa únicament de 3 butaques de gran comoditat, un cop ocupades, els pacients que han arriben a la consulta i han de passar per la sala d’espera han d’esperar drets. Heu de suposar que si un pacient arriba a la sala d’espera i hi ha alguna butaca buida, hi seu. Sigui X el número de pacients a la sala d’espera. S’ha estudiat el comportament probabilista de la variable i ha donat com a resultat que és una variable X amb la següent funció de probabilitat:

PX(k) = (1–ρ)· ρk, per k=0, 1, 2, 3, ..., i ρ és un número positiu i menor que 1.

Definim la variable aleatòria Y com el número de butaques que estan lliures en un moment determinat. Respongueu a les següents preguntes.

1. Obtingueu la distribució de probabilitat de la variable Y. Detalleu clarament el procediment que us condueix a la resposta proposada.

2. Quin és el número esperat de butaques buides, suposant que ρ val ¾.

3. Calculeu la desviació estàndard de la variable aleatòria número de butaques buides, suposant que ρ val ¾.

4. Representeu gràficament la funció de probabilitat de Y, suposant que ρ val ½.

5. Representeu gràficament la funció de distribució de Y, suposant que ρ val ½.

6. Quin és el valor de ρ que correspon, sabent que la probabilitat de que com a màxim hi hagi una butaca ocupada és 0.36.


58

Solució:

1.

2. E(Y) = 0.140625 + 2·0.1875 + 3·0.25 = 1.265625

3. V(Y) = 0.140625 + 4·0.1875 + 9·0.25 – 1.2656252 = 1.5382

σY = 1.24

4 i 5.

y P(Y≤y) y P(Y=y)

(–∞, 0) 0 0 1/ 8

[0, 1) 1/8 1 1/ 8

[1, 2) ¼ 2 2/ 8

[2, 3) ½ 3 4/ 8

[3, +∞) 1

6. P(2 ó 3 butaques buides) = P(Y=2 ó Y=3) = (1–ρ)· (1+ρ) = 1–ρ2 = 0.36 → ρ = 0.8

Problema 3 (Ap. 1 a 4 0.5 punts, Total 4 punts):

Un professor dissenya un qüestionari breu que consta de dues parts. Sigui X el model probabilista pel numero de punts aconseguit en la primera part i sigui Y el model probabilista pel número de punts aconseguit en la segona part. Sigui la funció de probabilitat conjunta de les 2 variables:

X Y 0 5 10 15

0 0.02 0.06 0.02 0.1 0.20

5 0.04 0.15 a 0.1 0.49

10 0.01 0.15 0.14 0.01 0.31

0.07 0.36 0.36 0.21

y Si P(Y=y)

0 X>2 ρ 3

1 X=2 (1–ρ)· ρ2

2 X=1 (1–ρ)· ρ

3 X=0 1–ρ


59

1. Per quins valors de a, la taula anterior pot considerar-se una funció de probabilitat conjunta ben definida ? Anoteu les funcions de probabilitat marginals.

a = 0.2 . Les marginals estan a la taula.

2. Quina és l’esperança de X? I de Y? E(Y)=8.55 i E(X)=5.55.

3. Donat que un alumne va treure un 10 en la primera part, quina és la probabilitat que tregui un 5 a la segona part? P(Y=5/X=10)=P(X=10, Y=5)/P(X=10)=0.4839=0.15/0.31

4. Quina és la covariança de X i de Y? COV(X,Y)= E(XY)- E(X)E(Y)= 44.25 – 5.55x8.55 = -3.2025

V(X)=12.4475 V(Y)= 19.1475

R(X,Y)=-0.2074

5. Són estadísticament independents X i Y? No, per exemple pxy(0,0)=0.02 <> px(0)=0.20 i py(0)=0.07.

6. Si la qualificació enregistrada a les Actes de la Universitat és el número total de punts guanys en les dues parts, quines és la seva esperança? E(X+Y)= E(X)+ E(Y)=14,1.

7. Si la qualificació enregistrada a les Actes de la Universitat és el número total de punts guanys en les dues parts, quina és la seva variança?

V(X+Y)= V(X)+ V(Y)+2COV(X,Y)=12.4475+19.1475+2(-3.2025)=25.19=5.0192

8. Si qualificació enregistrada en Actes és el màxim de les dues qualificacions, quina és la qualificació esperada? Quina és la variança de la qualificació? Sigui Z=Max(X,Y), aleshores E(Z)=9.6 E(Z2)=105.5 i V(Z)=13.34 = 3.652.

Z 0 5 10 15

P(Z=z) 0.02 0.25 0.52 0.21


60


61

3. EXÀMENS FINALS (CONVOCATÒRIA EXTRAORDINÀRIA)


62


63

3.1 CURS 1996-1997 Q1 EXAMEN FINAL DE CÀLCUL DE PROBABILITATS (Data: Juliol de 97 Lloc: Aula S03) Professor responsable: Lídia Montero Mercadé Localització: Edifici U D.421 Normativa de l’examen: NO ES PERMÉS DE DUR APUNTS. ES POT DUR CALCULADORA I TAULES EST. Durada de l’examen: 2 hores 30 minuts Normes cumplimentació de l’examen:

Respongueu als espais reservats per aquest menester, els fulls quadriculats són exclussivament per càlculs i paper en brut.

NOM: DNI:

Problema 1 (2 Punts) Un alumne de la Diplomatura d’Estadística rescata un arxiu de dades de la xarxa INTERNET. Aquest arxiu exemplifica la funció densitat de probabilitat (var. de resposta, C2) de la variable anys d’experiència laboral al sector (var. explicativa, C1), en un col.lectiu de professionals de l’Estadística Aplicada al Canadà. A continuació, procedeix a una anàlisi de la llei de probabilitat de la variable, tot seguint les pautes de la pràctica de laboratori corresponent al Model Lineal. El llistat dels resultats facilitats pel MINITAB es presenta tot seguit.

Identifiqueu sobre el llistat:

⇒ la mitjana i la variància de les dues variables implicades

⇒ el coeficient de correlació entre C2 i C1

⇒ el coeficient de determinació del model amb variable explicativa C1 i variable de resposta C2.

Quina llei de probabilitat suggeririeu per la variable anys d’experiència laboral al sector estadístic? Respongueu en funció del que us suggereixi la representació gràfica.

Acceptarieu o rebutjarieu el model lineal entre C1 i C2 a la vista dels resultats de l’execució de la comanda REGRESS ?


64

MTB > Describe C1 C2. Descriptive Statistics Variable N Mean Median TrMean StDev SEMean C1 16 7.50 7.50 7.50 4.76 1.19 C2 16 0.0989 0.0006 0.0416 0.2582 0.0646 Variable Min Max Q1 Q3 C1 0.00 15.00 3.25 11.75 C2 0.0000 1.0000 0.0000 0.0419 MTB > Correlation C1 C2. Correlations (Pearson) Correlation of C1 and C2 = -0.593 MTB > Plot C2*C1; SUBC> Symbol.

151050

1.0

0.5

0.0

C 1

C2

1.00.50.0

15

10

5

0

C 2

C1

MTB > Regress C2 1 C1; SUBC> Constant; SUBC> Residuals 'RESI1'. Regression Analysis The regression equation is C2 = 0.340 - 0.0322 C1 Predictor Coef Stdev t-ratio p Constant 0.3403 0.1027 3.31 0.005 C1 -0.03219 0.01167 -2.76 0.015 s = 0.2151 R-sq = 35.2% R-sq(adj) = 30.6% Analysis of Variance SOURCE DF SS MS F p Regression 1 0.35228 0.35228 7.61 0.015 Error 14 0.64782 0.04627 Total 15 1.00010 Unusual Observations Obs. C1 C2 Fit Stdev.Fit Residual St.Resid 1 0.0 1.0000 0.3403 0.1027 0.6597 3.49R R denotes an obs. with a large st. resid. MTB > Stop.

151050

1.0

0.5

0.0

-0.5

C 1

C2

R-Squared=0.352Y=0.340289-3.22E-02X

R e g r e s s i o n P lo t

151050

0.70.6

0.50.40.3

0.20.10.0-0.1

-0.2

C1

RESI1



Problema 2 (4 Punts)

Sigui X una variable aleatòria contínua que modelitza el temps d’espera a la caixa d’un supermercat (en minuts) i que té per funció distribució:

( )F x

xx x

xx x

x

X =

≤< ≤< ≤< ≤

>

0 005 0 105 1 2

0 25 2 41 4

..

.

1. Dibuixeu la funció de distribució de la variable aleatòria X.

2. Calculeu (justificadament) l’expressió de la funció densitat de probabilitat de la variable aleatòria X. Dibuixeu-la.

3. Si se sap que x > 1, calculeu la probabilitat que x > 3.

4. Calculeu l’esperança matemàtica de la variable aleatòria X.

Problema 3 (4 Punts) Una màquina de fabricació de refrescos de moda, que es posen a la venda en un envàs de vidre transparent, ha d’omplenar cadascuna de les ampolles de refresc amb una certa quantitat de producte colorant que pot considerar-se distribuït segons una llei normal, de manera que el 33% de les ampolles omplenades contenen més de 81.76 g del producte colorant i només el 0.6% de les ampolles contenen un pes de producte colorant inferior a 69.96 g. Respongueu sota les anteriors premises als apartats següents en l’espai reservat per tal menester.

1. Quin són els paràmetres que defineixen la variable aleatòria X, quantitat de producte colorant per ampolla (en grams) ?

2. Quina és la probabilitat d’omplenar una ampolla amb un contingut de producte colorant superior a 80 g? Si no heu respòs l’apartat anterior, suposeu ( )X N≈ = =µ σ80 162, .

3. Si triem 10 ampolles a l’atzar, quina és la probabilitat que 5 ampolles continguin una quantitat superior a 80 g de producte colorant i 5 ampolles continguin una quantitat inferior a 80g de producte colorant? Justificar la formulació.

4. Si triem 100 ampolles a l’atzar, quina és la probabilitat de trobar-ne com a mínim 40 amb un contingut de producte colorant superior a 80 g? Justifiqueu la formulació i les aproximacions de càlcul que realitzeu.



3.2 CURS 1997-1998 Q1 DIPLOMATURA D’ESTADISTICA. CURS 97-98 Q1.

EXAMEN FINAL DE JULIOL DE CALCUL DE PROBABILITATS

(Data: 6 de Juliol de 1998)

Professor responsable: Lídia Montero Mercadé Localització: Edifici U D.421 Lloc i hora : S04 Edif. U a les 16 hores Normativa de l’examen: NO ES PERMÉS DE DUR APUNTS ES POT DUR CALCULADORA I TAULES ESTADISTIQUES RESPONGUEU CADA PROBLEMA A L’ESPAI INDICAT Durada de l’examen: 2 hores 30 minuts Sortida de Notes: 8 de Juliol al migdia, Taulell del Departament , 1er Pis Revisio d’examens: 9 de Juliol a les 18h (Despatx 421)

Problema 1 (3 punts) Considerar el siguiente segmento de un programa: i := 0

if (B) then

repeat S1 until (B1)

else

repeat S2 until (B2)

end if

Conviene aclarar:

• B, B1 y B2 son expresiones booleanas; B1 depende del cálculo realizado en el conjunto de instrucciones S1, y B2 depende igualmente de S2. Los resultados de las distintas iteraciones S1 (B1 verdad o falso) son independientes entre ellos. Lo mismo sucede para los resultados de las iteraciones S2 (B2 verdad o falso).

• Los bloques S1 y S2 incluyen ambos una instrucción i := i+1; las otras instrucciones no son comunes.

Asumir que P(B=cierto) = p, P(B1=cierto) = 3/5 y P(B2=cierto) = 2/5. Después de mucha experiencia, hemos llegado a la conclusión de que la probabilidad de ser i igual a 3 al final del segmento anterior es 3/25. Con estos datos, deducir estadísticamente cuál es el valor de p, explicando los pasos que se realicen.

Problema 2 (2 punts) Un alumne d’Estadística rescata un arxiu de dades de la xarxa INTERNET. Aquest arxiu exemplifica la funció densitat de probabilitat (var. de resposta, C2) de la variable anys d’experiència laboral al sector (var. explicativa, C1), en un col.lectiu de professionals de l’Estadística Aplicada al Canadà. A continuació, procedeix a una anàlisi de la llei de probabilitat de la variable, tot seguint les pautes de la pràctica de laboratori corresponent a la Regressio Lineal Simple. Alguns dels resultats facilitats pel MINITAB es presenten tot seguit. Indiqueu el valor de:

a) la mitjana i la variància de les dues variables implicades



b) el coeficient de correlació entre C2 i C1

MTB > Describe C1 C2. Descriptive Statistics Variable N Mean Median TrMean StDev SEMean C1 16 7.50 7.50 7.50 4.76 1.19 C2 16 0.0989 0.0006 0.0416 0.2582 0.0646 Variable Min Max Q1 Q3 C1 0.00 15.00 3.25 11.75 C2 0.0000 1.0000 0.0000 0.0419 MTB > Correlation C1 C2. Correlations (Pearson) Correlation of C1 and C2 = -0.593


La compañía de servicios de bolsa ABA pone a disposición de sus clientes un experto consultor que puede atender tres clientes cada día. El número n de clientes que desean ser atendidos sigue una ley de Poisson de media 2 por día. Cuando llegan más de tres clientes en un día, se desvían los clientes en exceso hacia otra compañía.

a) En un día dado, ¿Cuál es la probabilidad de tener que desviar clientes hacia otra compañía ? ¿Cuál es el número esperado de clientes por día?

b) ¿En cuánto debe aumentar la capacidad de la compañía para atender a todos los clientes al menos el 90% de los días?

c) ¿Cuál es el número esperado de clientes atendidos por ABA cada día?

La duración de la consulta hecha por un cliente sigue una distribución normal de media 3 horas, y desviación tipo 1 hora.

d) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente alargue su consulta más de 5 horas? ¿ De que tarde menos de 1h30mn?

e) Sabiendo que el cliente actualmente atendido lleva ya una hora de consulta, ¿Cuál es la probabilidad de que esté dos horas más?

NOTA: las preguntas d) y e) son totalmente independientes de las anteriores



3.3 CURS 1998- 1999 Q1 EXAMEN FINAL DE JULIOL DE CÀLCUL DE PROBABILITATS (Data: 7 de Juliol 1999 16:00 h. Lloc: Aula S04)

Nom de l´alumne: DNI: Professor responsable: Lídia Montero Mercadé Localització: Edifici U D.421 Normativa de l’examen: NO ES PERMÉS DE DUR APUNTS. ES POT DUR CALCULADORA RESPONGUEU A L´ESPAI RESERVAT Durada de l’examen: 3h 00 min Sortida de notes: Abans 12 de Juliol al taulell notes del Departament. Revisió de l’examen: El 12 de Juliol a les 12 h hores (D.421).

Problema 1 (4 punts) La variable aleatòria X té la següent funció de probabilitat:

ix 1 2 3 4 5 6

( ) ( )iXiX xfoxp 1/8 1/8 1/4 1/4 1/8 1/8

1. Determineu la funció de distribució de X i representar-la gràficament. Calculeu l’esperança i la

variança de X. Observació: Alguns dels següents apartats depenen d’aquest, revisar bé els càlculs. E(X)=3.5 E(X2 )=14.5 V(X)=2.25

2. Calculeu la probabilitat de que X prengui un valor al menys igual a 3 i estrictament inferior a 6.

85

81

41

416)XP(3 =++=<≤

3. Es defineix la variable Y= 2X+3. Calculeu l’esperança i la variança de Y. Y=2X+3 → E(Y)=7+3=10

V(Y)=4·V(X)=9 4. Calculeu la correlació i la covariança entre X i Y. ρ

ρ

X,Y

X,Y 2

cov(X,Y)4 V(X)

cov(X,Y)2 V(X)

cov(X,Y)4.5

cov(X,Y) 4.5=

=⋅

=⋅

=

⇒ =

1



5. Es defineix la variable Z = aX (a número real). Sabent que la covariança entre X i Z val 22.5,

determineu el valor de a. Z=aX V(X)=2.25

cov(X,aX)=a·cov(X,X)=a·V(X)=a·2.25 ⇒ a=10 ⇒ Z=10·X

6. Determineu la funció de probabilitat de la variable Y. Determineu la funció de probabilitat conjunta de Y i Z. Són Y i Z independents? Raoneu la resposta.

Y=2X+3

yi f (yi )

5 1/8

7 1/8

9 1/4

11 1/4

13 1/8

15 1/8

No són estadísticament independents per construcció.


Una clínica usa plaques magnètiques de tres qualitats diferents, Q1, Q2 i Q3, determinat pel tipus de control de qualitat emprat pel fabricant. El control de qualitat efectuat sobre les plaques examina el número de partícules magnètiques per micra quadrada en la superfície de les plaques. El procés de producció no controla totalment la magnitud anterior que es distribueix aleatòriament com una llei normal, però de manera diferent a cada tipus de placa analitzat:

Tipus mitjana (NPM) desviació típica o estàndard (NPM) preu/unitat (ptes)

Q1 120 15 115

Q2 100 20 95

Q3 80 24 65

NPM s’entén com l’abreviatura de "Número de partícules magnètiques per micra quadrada", la unitat en que es mesura el criteri establert. El criteri de qualitat és mesurable per una unitat concreta i s´ha

5 7 9 11 13 15

10 1/8

20 1/8

30 1/4

40 1/4

50 1/8

ZY

0

0



determinat que per certes tasques dímportància no es seleccionaran unitats amb qualitat inferior a 100 NPM. En principi, és trien equiprobablement unitats del tipus Q1, Q2 i Q3, però només sáccepten les que compleixen l’anterior requisit, que abreuja com a R.:

1. Calculeu la probabilitat que una placa de tipus Q1 compleixi el requisit R. El mateix pels tipus Q2 i Q3.

R : “Qualitat mesurada d’un disquet superor o igual a 100“

Qi : Tipus de disquet i=1,..,3 qualitat mesurarda és Xi

−≤−=≤−=≥=

σii

iii

mXP1100)P(X1100)P(XQ

RP Z

Per tipus 1 a 3:

( ) ( )P RQ 1 P Z 100 120

151 P Z P Z 0.9088

1

43

43

= − ≤

−

= − ≤ = ≤ =−

P RQ2

= 05.

( )P RQ 1 P Z 100 80

241 P Z

36

= − ≤

−

= − ≤ =5 0 2023.

2. Després dún temps suficient s’hauran classificat un bon número de plaques. Calculeu en quines proporcions teòriques es trobaran representades en aquest volum que plaques els tipus Q1, Q2 i Q3.

A priori P(Q ) 1 / 3 per i 1,..,3

P RQ per l' apartat anterior

i

i

= =

P QR

P RQ P(Q )

P RQ P(Q )

P RQ

P RQ

P RQ

1.6111i i

i

jj

j

i

jj

i

=

⋅

⋅=

=

∑ ∑

P QR

0.90281.6111

0.56411

= =

P QR

0.51.6111

0.31032

= =



P QR

0.20231.6111

0.12563

= =

3. Quin és el cost mitjà d’una placa seleccionada?

Y : Cost d’una unitat inclosa seguint el procediment anterior

[ ]( )P Y 115 P QR 0.56411= =

=

[ ]( )P Y 95 P QR 0.31032= =

=

[ ]( )P Y 65 P QR 0.12563= =

=

[ ]E Y y P (y ) 115 0.5641 95 0.3103 65 0.1256 102.515i Y i= ⋅ = × + × + × =∑


Siguin X i Y variables aleatòries contínues. Si la covariança entre X i Y és igual a COV(X,Y)= 10.01, es demana pel valor de la covariança entre Y i X i per la independència o no de les variables. Indicar quina de les respostes és l’adequada.

A. No són independents estadísticament. COV(Y,X) = - 10.01.

B. No són independents estadísticament. COV(Y,X) = 10.01.

C. Són independents estadísticament. COV(Y,X) = - 10.01.

D. Són independents estadísticament. COV(Y,X) = 10.01.

Y PY (yi )

115 0.5641

95 0.3103

65 0.1256



3.4 CURS 2000-2001 Q1 EXAMEN FINAL DE CÀLCUL DE PROBABILITATS (Data: Juliol 2001 )







Sortida de notes: Taulells de Notes del Departament i FME.

Revisió de l’examen: Es fixarà a l’inici de l’examen: preneu nota

Problema 1 ( 2 punts)

Un alumne d’Estadística rescata un arxiu de dades de la xarxa INTERNET. Aquest arxiu exemplifica la funció densitat de probabilitat (var. de resposta, C2) de la variable anys d’experiència laboral al sector (var. explicativa, C1), en un col.lectiu de professionals de l’Estadística Aplicada al Canadà. A continuació, procedeix a una anàlisi de la llei de probabilitat de la variable, tot seguint les pautes de la pràctica de laboratori corresponent a la Regressio Lineal Simple. Alguns dels resultats facilitats pel MINITAB es presenten tot seguit. Indiqueu el valor de:

c) la mitjana i la variànça de les dues variables implicades

Mitjana de c1 7.5 i variança 4.762=22.6576

Mitjana de c2 0.0989 i variança 0.25822=0.066667

d) el coeficient de correlació entre C2 i C1

-0.593

MTB > Describe C1 C2. Descriptive Statistics Variable N Mean Median TrMean StDev SEMean C1 16 7.50 7.50 7.50 4.76 1.19 C2 16 0.0989 0.0006 0.0416 0.2582 0.0646 Variable Min Max Q1 Q3 C1 0.00 15.00 3.25 11.75 C2 0.0000 1.0000 0.0000 0.0419 MTB > Correlation C1 C2. Correlations (Pearson) Correlation of C1 and C2 = -0.593



Problema 2 ( 4 punts): Respongueu a cadascuna de les qüestions

1. Una finestreta d’un banc rep un promig de 10 clients por hora i pot considerar-se un procés poissonià . Quina és la funció de probabilitat de Y, la variable aleatòria que modelitza el número de clients arribats en 6 hores i quin és el paràmetre que la caracteritza?

El número de clients en 6 hores segueix una llei de Poisson de paràmetre λ=60 , P(Y=k)= exp(-60).60k/k!.

2. Sigui (X, Y) un vector aleatori de dimensió 2. Indiqueu quina de les següents afirmacions és falsa i perquè…

La matriu de variances i covariances és simètrica.

La matriu de correlacions coincideix amb la matriu de variances i covariances de les variables centrades.

El coeficient de correlació no depen de les unitats de mesura.

Si es multiplica X per 3 i Y per –2, la covariança queda multiplicada per –6 i el coeficient de correlació lineal a l’ésser adimensional, no pateix cap variació.

Solució D

El canvi de signe afecta a la relació lineal positiva/negativa de les 2 variables i per tant, sigui quin sigui el coeficient de correlació en magnitut absoluta no canviarà, però si en signe.

3. Sigui la funció de densitat de probabilitat conjunta d’un vector aleatori de dimensió 2, f(x, 12. y)=0.5(2x+3y2) definida per 0≤ x≤1, 0≤ y≤1. Calculeu P(0.1<Y<0.7 | X= 0.5).

0.471

4. Una cadena de muntatge d’electrodomèstics està constituïda per 2 etapes, cadascuna d’elles

distribuïda segons una llei exponencial amb una taxa de servei de 2c electrodomèstics cada 180 minuts. El temps total de muntatge està distribuït segons una llei …

Erlang de paràmetres k=2 i esperança matemàtica 3/c hores.

Problema 3 ( 4 punts): Un examen tipus test consta de n preguntes, amb k alternatives cadascuna d’elles. Es defineix la puntuació de la pregunta i com la variable aleatòria:

Xi 1 -1/(k-1) 0

Resposta correcta Resposta incorrecta No resposta



Per tant, la puntuació de l’examen és S= n1 - n2 /(k-1) on n1 és el nombre de respostes correctes i n2 és el nombre de respostes incorrectes. Les preguntes no contestades no influeixen en la puntuació. Un alumne tria el següent mètode per realitzar el test: per cada pregunta llença una moneda equilibrada i si surt cara no la contesta i si surt creu, contesta a l’atzar una de les k alternatives.

1. Determineu quina és la probabilitat de superar l’examen si s’aprova a partir de m punts. Suposeu que l’alumne respon independentment a les preguntes i que n és gran.

1-P(Z≤m(2(k-1)/n)1/2).

2. Determineu quina és la probabilitat de superar l’examen si s’aprova a partir de m=5 punts. Suposeu que l’alumne respon independentment a les preguntes amb k=4 i n=50 .

1-P(Z≤m(2(k-1)/n)1/2) =1- P(Z≤5(6/50)1/2) =1-P(Z≤1.732)=1- 0.9584=0.0416.

Proposta més didàctica d’enunciat Un examen tipus test consta de n preguntes, amb k alternatives cadascuna d’elles. Es defineix la puntuació de la pregunta i com la variable aleatòria:

Xi 1 -1/(k-1) 0

Resposta correcta Resposta incorrecta

No resposta

Les preguntes no contestades no influeixen en la puntuació.

Un individu tria el següent mètode per realitzar el test: per cada pregunta llença una moneda equilibrada i si surt cara no la contesta i si surt creu, contesta a l’atzar una de les k alternatives. Suposeu que l’individu respon independentment a les preguntes.

1. Determineu les funcions de probabilitat i de distribució de la variable aleatòria que modelitza la nota aportada per una pregunta individual.

Xi -1/(k-1) 0 1

pX (x) k21

21

− 21

k21

FX(x) k21

21

− k211−

1



Suposeu a partir d’ara que el nombre de preguntes que composa el test és 100 i que cadascuna d’elles disposa de 5 alternatives.

2. Detalleu acuradament la funció de distribució de la variable aleatòria que modelitza la nota aportada per una pregunta individual.

Xi -1/4 0 1

pX (x) 52

21

101

FX(x) 52

109 1

( )

≥

<≤

<≤−

−<

=

11

10109

041

52

410

x

x

x

x

xFX

3. Quina és l’esperança matemàtica de la variable aleatòria que modelitza la nota aportada per una pregunta individual? I la seva desviació tipus o estàndard?

L’esperança és 0 i la variança és 1/8, per tant la desviació tipus sol.licitada és 0.35355.

4. Justifiqueu la llei de la variable aleatòria puntuació resultant de l’exàmen. Indiqueu detalladament quins paràmetres la caracteritzen.

==→= ∑

=

= 225,0 2

100

1

σµNXS TCL

n

ii

5. Determineu quina és la probabilitat de superar l’examen si s’aprova a partir de 5 punts. Representeu gràficament la probabilitat demanada.

En general 1-P(Z≤m(2(k-1)/n)1/2). Particularitzant,

( ) ( ) ( ) 0787.021515 =≤−=≤−=≥ ZPSPSP , per tant la probabilitat d’aprovar és molt baixa.

Un procediment alternatiu de resolució podria consistir en respondre a l’atzar alguna de les 5 possibilitats, en aquest cas la variable aleatòria de puntuació individual seria:



Xi -1/4 1

pX (x) 54

51

FX(x) 54 1

L’esperança és 0 i la variança és 1/4, per la puntuació aportada per cadascuna de les preguntes individualment, el doble que la variança del procediment estàndard descrit a l’enunciat. La llei que modelitza la puntuació final de l’exàmen seria:

( )25,0 2100

1

==→= ∑=

=

σµNXS TCL

n

ii

i aleshores ( ) ( ) ( ) 1587.011515 =≤−=≤−=≥ ZPSPSP , per tant la probabilitat d’aprovar es veuria augmentada.



3.5 CURS 2001-2002 Q1 EXAMEN FINAL DE CÀLCUL DE PROBABILITATS (Data: Juliol 2001 )

Nom de l’alumne: DNI: Professor responsable: Lídia Montero Mercadé








Qüestions 1 a 10 (1 punt cadascuna)

(a) Disposem d’una matriu de dades amb N parcel.les rectangulars de terreny, amb mesura dels seus costats major i menor, considerant la columna dels costats majors com a dades i la columna dels costats menors com a freqüència. Què és la mitjana de les dades ponderades en aquest cas?

La mitjana multiplica per N és l’extensió total de les parcel.les.

(b) Siguin els successos A i B amb P(A)=0.2, P(B)=0.5 i la probabilitat del succés complementari de la unió de A i B és 0.1. Calculeu )( BAP ∩ .

La reposta és 0.3.

(c) Tres amics es reuneixen per resoldre problemes d’Estadística abans de l’examen. Es reparteixen els problemes de manera que l’individu A resol el 40% dels problemes, l’individu B resol el 30% dels problemes i els restants són adjudicats a l’individu C. Es sap que A s’equivoca en un 2% dels problemes que resol, B en un 6% i C en un 1%. Es tria un problema resolt a l’atzar i es comprova que està solucionat de manera errònia. Quina és la probabilitat que l’hagi resol l’individu C?

La resposta és 0.103.



(d) Sigui X una variable aleatòria caracteritzada per la següent funció de densitat de probabilitat:

( )

>

<<−

<<

=

kx

kxx

xx

xfX

0

525

10

5025

Determineu el valor de la constant k, per tal que la funció de densitat de X estigui ben definida.

L’únic valor possible és k=10.

(e) Sigui X una variable aleatòria amb distribució binomial de paràmetres n=4 i p =0.2. Determineu P(1<X<=3).


(f) El percentatge d’individus d’una població amb una renda anual superior als 20 milions de pessetes és del 0.04%. Determineu la probabilitat que entre 8000 individus triats a l’atzar de la població, n’hi hagin exactament 2 amb un nivell de renda anual superior als 20 milions de pessetes. Empreu pels càlculs els dos models probabilistes possibles i comproveu la coincidència dels seus resultats.

La resposta és 0.2087. El model probabilista bàsic és binomial B(8000,0.0004) i l’aproximació emprada habitualment és a través del model poissonià amb paràmetre 3.2.

(g) La vida en hores d’un article segueix una distribució exponencial de mitjana 2000 hores. Si un producte dura menys de 1000 hores l’empresa ha d’abonar al client 500 ptes, si dura entre 1000 i 3000 hores el client paga pel producte 300 ptes i si dura més de 3000 hores, el preu del producte és de 1000 ptes. Calculeu l’ingrés unitari esperat per la venda del producte.

La resposta és 141.37 ptes. Cal definir una variable Y ingressos en cada tipologia, determinant els seus valors i la probabilitat dels seus valors. La pregunta es respon calculant l’esperança matemàtica de l’esmentada variable.

Y -500 300 1000

Probabilitat 0.3935 0.3834 0.2231

(h) La renda dels individus d’un cert país es pot considerar representada per una variable amb mitjana de 1.500.000 ptes i desviació tipus de 100.000 ptes. Quina és la probabilitat que la renda mitjana d’un grup de 100 individus de la població, triats a l’atzar, sigui superior a 1.530.000 ptes? Justifiqueu estadísticament la resposta alhora de determinar el model probabilista a emprar.



La resposta és 0.00135. Cal emprar el Teorema Central del Límit per determinar la distribució aproximada de la mitjana de rendes de 100 individus de la població.

(i) La demanda d’un cert producte es comporta segons una llei normal de mitjana 3000 unitats i desviació tipus de 2000 unitats. Determineu la quantitat de producte que cal tenir disponible per poder satisfer la demanda amb una probabilitat del 97.5%.

La resposta és 33920 unitats.


(a) La matriu de variances i covariances és simètrica.

(b) La matriu de correlacions coincideix amb la matriu de variances i covariances de les variables centrades.

(c) El coeficient de correlació no depen de les unitats de mesura.

(d) Si es multiplica X per 3 i Y per –2, la covariança queda multiplicada per –6 i el coeficient de correlació lineal a l’ésser adimensional, no pateix cap variació.

La resposta falsa és la darrera (d), doncs el coeficient correlació canvia de signe.

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )YXrYVXVYXCOV

YVXVYXCOVYXr ,,

''','',' −=

−==

496



3.6 CURS 2002-2003 Q1 EXAMEN FINAL DE CÀLCUL DE PROBABILITATS (Data: Juliol 2003 ) Nom de l’alumne: DNI: Professor responsable: Lídia Montero Mercadé Localització: Edifici U D.421 Normativa de l’examen: NO ES PERMÉS DE DUUR APUNTS. ES POT DUUR CALCULADORA RESPONGUEU A L´ESPAI RESERVAT Durada de l’examen: 2h 30 min Sortida de notes: Taulells de Notes FME. Revisió de l’examen: Es fixarà a l’inici de l’examen: preneu nota

Qüestions 1 a 10 (1 punt cadascuna)

(j) Disposem d’una matriu de dades amb N parcel.les rectangulars de terreny, amb mesura dels seus costats major i menor, considerant la columna dels costats majors com a dades i la columna dels costats menors com a freqüència. Què és la mitjana de les dades ponderades en aquest cas?

La mitjana multiplicada per N és l’extensió total de les parcel.les.

(k) Siguin els successos A i B amb P(A)=0.2, P(B)=0.5 i la probabilitat del succés complementari de la unió de A i B és 0.1. Calculeu )( BAP ∩ .

La reposta és 0.3.

(l) Tres amics es reuneixen per resoldre problemes d’Estadística abans de l’examen. Es reparteixen els problemes de manera que l’individu A resol el 40% dels problemes, l’individu B resol el 30% dels problemes i els restants són adjudicats a l’individu C. Es sap que A s’equivoca en un 2% dels problemes que resol, B en un 6% i C en un 1%. Es tria un problema resolt a l’atzar i es comprova que està solucionat de manera errònia. Quina és la probabilitat que l’hagi resol l’individu C?


(m) Sigui X una variable aleatòria caracteritzada per la següent funció de densitat de probabilitat:



( )

>

<<−

<<

=

kx

kxx

xx

xfX

0

525

10

5025



(n) Sigui X una variable aleatòria amb distribució binomial de paràmetres n=4 i p =0.2. Determineu P(1<X<=3).


(o) El percentatge d’individus d’una població amb una renda anual superior als 20 milions de pessetes és del 0.04%. Determineu la probabilitat que entre 8000 individus triats a l’atzar de la població, n’hi hagin exactament 2 amb un nivell de renda anual superior als 20 milions de pessetes. Empreu pels càlculs els dos models probabilistes possibles i comproveu la coincidència dels seus resultats.

La resposta és 0.2087. El model probabilista bàsic és binomial B(8000,0.0004) i l’aproximació emprada habitualment és a través del model poissonià amb paràmetre 3.2.

(p) La vida en hores d’un article segueix una distribució exponencial de mitjana 2000 hores. Si un producte dura menys de 1000 hores l’empresa ha d’abonar al client 500 ptes, si dura entre 1000 i 3000 hores el client paga pel producte 300 ptes i si dura més de 3000 hores, el preu del producte és de 1000 ptes. Calculeu l’ingrés unitari esperat per la venda del producte.

La resposta és 141.37 ptes. Cal definir una variable Y ingressos en cada tipologia, determinant els seus valors i la probabilitat dels seus valors. La pregunta es respon calculant l’esperança matemàtica de l’esmentada variable.

Y -500 300 1000

Probabilitat 0.3935 0.3834 0.2231

(q) La renda dels individus d’un cert país es pot considerar representada per una variable amb mitjana de 1.500.000 ptes i desviació tipus de 100.000 ptes. Quina és la probabilitat que la renda mitjana d’un grup de 100 individus de la població, triats a l’atzar, sigui superior a 1.530.000 ptes? Justifiqueu estadísticament la resposta alhora de determinar el model probabilista a emprar.

La resposta és 0.00135. Cal emprar el Teorema Central del Límit per determinar la distribució aproximada de la mitjana de rendes de 100 individus de la població.



(r) La demanda d’un cert producte es comporta segons una llei normal de mitjana 30000 unitats i desviació tipus de 2000 unitats. Determineu la quantitat de producte que cal tenir disponible per poder satisfer la demanda amb una probabilitat del 97.5%.



(e) La matriu de variances i covariances és simètrica.

(f) La matriu de correlacions coincideix amb la matriu de variances i covariances de les variables centrades.

(g) El coeficient de correlació no depen de les unitats de mesura.

(h) Si es multiplica X per 3 i Y per –2, la covariança queda multiplicada per –6 i el coeficient de correlació lineal a l’ésser adimensional, no pateix cap variació.

La resposta falsa és la darrera (d), doncs el coeficient correlació canvia de signe.

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )YXrYVXVYXCOV

YVXVYXCOVYXr ,,

''','',' −=

−==

496



3.7 CURS 2003-2004 Q1 DIPLOMATURA D’ESTADÍSTICA. CURS 2003-2004 Q1. EXAMEN FINAL DE CÀLCUL DE PROBABILITATS (Data: Juliol 2004 )

Nom de l’alumne: DNI: Professor responsable: Lídia Montero Mercadé








Qüestions (a) a (d ) (4 Punts - 1 punt cadascuna)

(s) Sigui X una variable aleatòria caracteritzada per la següent funció de densitat de probabilitat:

( )

>

<<−

<<

=

kx

kxx

xx

xfX

0

525

10

5025



(t) Sigui X una variable aleatòria amb distribució binomial de paràmetres n=4 i p =0.2. Determineu P(1<X<=3).


(u) Es disposa de dues urnes que contenen boles blanques i negres. La primera conté 3 boles blanques i 2 boles negres; i la segona urna conté 1 bola blanca i 4 boles negres. Es realitza una experiència aleatòria consistent en llençar una moneda trucada, de manera que si surt cara es tria a l’atzar una bola de la primera urna i si s’obté creu es tria a l’atzar una bola de la



segona de les urnes. Si la probabilitat d’extreure una bola blanca és de 7/15, quina és la probabilitat d’obtenir creu en el llençament de la moneda trucada?





( )53

=CBP , ( )

51

=CBP , ( )

52

=CBP i ( )

54


( ) 157=BP no és una informació a priori, en la terminologia de Bayes, és el resultat del Teorema de

la Probabilitat Total:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1571 =−+=+= CPC

BPCPCBPCPC

BPCPCBPBP , ara incorporant les

dades a priori:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )32

1571

51

531 =→=−+=−+= xxxCPC

BPCPCBPBP

Ara sí, ( ) ( )31

3211 =−=−= CPCP .

(v) La demanda d’un cert producte es comporta segons una llei normal de mitjana 30000 unitats i desviació tipus de 2000 unitats. Determineu la quantitat de producte que cal tenir disponible per poder satisfer la demanda amb una probabilitat del 97.5%.


Problema 2 (3 Punts) El nombre d’avaries del servidor KOLMOGOROV del Laboratori de Càlcul de la FME és de 1,5 avaries per setmana i pot considerar-se un procés poissonià.

4. Si la setmana passada no va haver-hi cap avaria, quina és la probabilitat de tenir-ne com a mínim 1 en el proper mes? Si la setmana passada van haver-hi 2 avaries, quina és la probabilitat de tenir-ne com a mínim 1 en el proper mes?

X: Nb. d’avaries per setmana ≈℘(λ = 1.5)

Y: Nb. d’avaries per mes ≈℘(λ = 1.5 * 4 = 6)

1) A: Tenir com a mínim una avaria en el proper mes.



P(A) P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 60!

1 0.002 0.9980

6= ≥ = − = = − = − =−e

5. Hi hagi hagut una avaria o no la setmana anterior no afecta al que passi el proper mes : hipòtesi poissoniana. En tots dos casos la probabilitat és P(A)=0.998Si la setmana passada van haver-hi 2 avaries, quantes setmanes hauran de passar per tornar a tenir 2 avaries en una setmana amb una seguretat del 95%?

B: Tenir dues avaries en una setmana.

[ ]( )P(B) P X 2= = = =−152!

0 2512

1 5. ..e

Suposem un model binomial on cada experiència base és el tenir o no 2 avaries en una setmana.

Z: Nb. de setmanes per assolir una setmana amb 2 avaries ≈ G(p=0.251)

L’incògnita és k tal que P(Z≤ k) = 0.95

∑=

−−=≤k

1i

1ip)p(1k)P(Z = 1- (1-p)k=1- (1-0.251)k= 0.95.

6. K (1 - 0.95) (1 - 0.251)

setmanes=

=

lnln

11 Un quatrimestre té 15 setmanes lectives, quina és la

probabilitat de tenir alguna setmana amb 2 avaries durant el quatrimestre?

W: Nb. de setmanes amb 2 avaries entre 15 ≈ B(n=15,p=0.251)

C: Alguna setmana amb dues avaries.

[ ]( ) [ ]( ) 0.9869(0.749)0.2510

1510WP10WPP(C) 0150 =⋅⋅

−=≤−=>= −

Problema 3 (3 Punts) El diàmetre en micres dels hematies (glòbuls vermells) dels individus normals segueix una

( )22 2.0,5.7 == σµN .

4. Quina proporció d’individus té un diàmetre inferior a 8 micres? Quina proporció d’individus té un diàmetre entre 7 i 8 micres?

A: Diàmetre dels hematies inferior a 8µ

X: Diàmetre dels hematies en µ

P(A) P(X 8) P Z 8 7.50.2

P(Z 2.5) 0.9938= ≤ = ≤−

= ≤ =

B: Diàmetre dels hematies entre 7 i 8µ

P(B) P(7 X 8) P(X 8) P(X 7) P(Z 2.5) P(Z 2.5) P(Z 2.5)= ≤ ≤ = ≤ − ≤ = ≤ − ≤ − = − + ⋅ ≤ == − + ⋅ =

1 21 2 0 9938 0 9876. .

5. Calculeu el tercer quartil de la distribució.



Busquem x0 tal que P(X ≤ x0 )=0.75

P(X x ) P Z x 7.50.2

0.75

P(Z z ) 0.75 z 0.675 z x 7.5

0.2 x z 0.2 7.5 7.6350

0

0 Taules 0

00

0 0≤ = ≤

−

=

≤ = → =

→ =

−→ = ⋅ + =

6. Quants individus cal seleccionar a l’atzar per aconseguir-ne 3 amb un diàmetre d’hematies entre 7 i 8 micres amb una probabilitat del 90%? Indicar la llei i el procediment: no cal fer càlculs.

Procés binomial: selecció d’individus a l’atzar amb p=P(7≤X≤8) de diàmetre dels hematies (exponència base)

Y: Nb. d’individus seleccionats fins assolir-ne 3 satisfactoris.

Y és binomial negativa de paràmetres r=3 i p=0.9876

Busquem k tal que FY (k)=0.9= ∑= k3...i

Y (i)f on f (k)k 1r 1

p qYr k r=

−−

⋅ ⋅ −

Incrementarem k=3,4,5,6,... fins que FY (k)>0.9 i ens quedarem el menor k que ho satisfaci.



3.8 CURS 2004-2005 Q1 DIPLOMATURA D’ESTADÍSTICA. CURS 2004-2005 Q1. EXAMEN EXTRAORDINARI DE CÀLCUL DE PROBABILITATS (Data:xx/7/2005 – 15h. Lloc: Aula XX)




ES POT DUR CALCULADORA



Sortida de notes: Abans XX/7 al Taulell de Notes de la FME.

Revisió de l’examen: El XX/7 a les 15 hores (D.421).

Problemes 1 a 10 (1 punt cadascun): 1. Un submarí dispara 3 torpedes contra un vaixell amb les següents probabilitat de fer diana:

pel primer torpede 1/3 i per la resta de torpedes ½ si l’anterior ha fet blanc i ¼ si l’anterior no ha fet blanc. Determineu i dibuixeu les funcions de probabilitat i de distribució de la variable aleatòria discreta “nombre d’impactes”.

X 0 1 2 3

P([X=x]) 9/24 8/24 5/24 2/24

F(x) 9/24 17/24 22/24 1

2. Siguin 2 successos A i B tals que P(A)=0.2. P(B)=0.6 i ( ) 2.0=∪ BAP . Són estadísticament independents ? Són disjunts ?

( ) ( ) 0)(2.0)(2.0)()()(11 =∩→=∩+=∩+−−=∪−=∪ BAPBAPBAPBPAPBAPBAP( ) ( ) ( ) 12.00 =≠∩= BPAPBAP . Per tant no són independents, però si que són disjunts o

mútuament excluents.

3. El 50% de la població activa catalana al 1994 es dedicava al sector serveis, el 12% a la construcció i el 3% al sector primari. La taxa d’atur al sector primari és del 10%, en el sector



industrial del 28%, en la construcció del 30% i en els serveis és del 18.6%. Quina és la probabilitat que un aturat triat a l’atzar pertanyi al sector industrial?

Sigui A: Estar aturat S: Serveis C: Construcció I: Industria P: Primari. A partir de les dades, les probabilitats respectives són 0.5, 0.12, 0.35 i 0.03. Es disposen de les probabilitats condicionades: P(A/S)=0.186, P(A/C)=0.3, P(A/I)=0.28 i P(A/P)=0.1. Per la fórmula de Bayes es pot calcular la probabilitat a posteriori demanada P(I/A)=0.4261.

4. Sigui X una variable aleatòria amb esperança matemàtica de valor 2 i moment d’ordre 2 igual a 8. Determineu la variança de la variable aleatòria Y=2X+5. VAR(X)=4 i VAR(Y)=VAR(2X+4)=VAR(2X)=4VAR(X)=16.

5. El percentatge d’individus de la població d’un cert país europeu que disposa d’una renda per càpita anual superior als 25000 € és del 0.04%. Determineu quina és la probabilitat que entre 8000 individus d’aquest país, ni hagi entre 3 i 5 amb el nivell de renda indicat.

X:Nb Individus amb renda superior als 25000€ - B(8000,0.0004).

L’ aproximació adequada és una v.a. de Poisson per X’ – P(3.2).

Es demana la probabilitat del succès A: Entre 3 i 5 individus al nivell de renda sup 25000 €.

P(A)=P([3<=X<=5])= P([3<=X’<=5])=FX’(5)-FX’ (2)= 0.8946 - 0.3799 = 0.5147.

6. El temps de vida en hores d’una component electrònica està distribuït exponencialment amb mitjana 4 dies. Una component es considerada defectuosa si dura menys de 200h . Si es trien a l’atzar 10 components, quina és la probabilitat de trobar-se exactament 5 de defectuoses?

La probabilitat del succés que una component sigui defectuosa es pot calcular a partir de la distribució de referència, X-Exp(1/96) i

P([X<200])=1-exp(-200/96)=1-0.125=0.875

Sigui Y: Nb Component defectuoses entre 10 – B(10, 0.875) i per tant el succés trobar-ne exactament 5 té una probabilitat calculable com,

P([Y=5])= ( ) 0039.0875.01875.05

10 5105 =−⋅

−

7. Per un determinat col.lectiu d’edat la probabilitat de morir d’una malaltia contagiosa és del 0.01. Indiqueu com determinarieu el nombre de persones d’aquest grup que poden ser exposades a la malaltia de manera que la probabilitat que no mori més d’una persona sigui com a mínim del 98%?



X: Nb de morts – B(n,0.01).

Es demana n tal que P([X<=1])>=0.98.

( ) ( ) ( ) nnn

F nnnnX

11100 99.001.099.099.001.01

99.001.00

1 −−− ⋅+=⋅

+⋅

=

Aniriem tantejant n=1,2,3,... fins que ( ) 98.01 ≥XF

8. La demanda d’un cert producte es comporta segons una llei normal de mitjana 30000 unitats i desviació típica de 2000 unitats. Determineu quina és la quantitat que cal disponar en stock per satisfer la demanda amb una probabilitat del 97.5%?

33920 unitats. 3392020003000096.1975.0)96.1( =→

−=→=< aaZP

9. Sigui X una variable aleatòria distribuïda normalment amb mitjana desconeguda i variança igual a 36. Es coneix que P([X<2.3])=0.3264. Determineu l’esperança matemàtica d’aquesta variable aleatòria. Primer cal centrar i reduir (tipificar) i buscar a les taules el valor z de la normal estàndard que dona una probabilitat acumulada de 0.3264 i que és -0.45,

56

3.245.0 =→−

=− µµ

10. Sigui un parell aleatori dicret definit per X: Nombre de cares obtingudes en el llençament de 3 monedes i Y: Diferència en valor absolut entre el nombre de cares i creus obtingudes en el llençament de 3 monedes. Construïu la funció de probabilitat conjunta de parell aleatori discret. Són estadísticament independents?

X | Y 1 3

0 0 1/8

1 3/8 0

2 3/8 0

3 0 1/8

No són estadísticament independents les 2 variables del parell, agafem per exemple X=0 i Y=1, la probabilitat conjunta val 0 i el producte de marginals seria 6/8 x 1/8, òbviament diferent de zero i per tant s’ha trobat un contraexemple.

cÀlcul de probabilitats exÀmens d’altres anys · cistella de bàsquet amb les següents...

Documents