Definicin funciones crecientes y decrecientesUna funcinfescrecientees un intervalo si para cualquier par de nmerosx1,x2del intervalo..Una fucinfesdecrecientees un intervalo si para cualquier par de nmerosx1,x2del intervalo,.Sea f una funcin continua con ecuaciny=f(x), definida en un intervalo[a,b]. La siguiente es la representacin grfica de f en el intervalo[a,b].En la grfica anterior puede observarse que la funcin f es:1.) Creciente en los intervalos(a,x3),(x5,x6)2.) Decreciente en los intervalos(x3,x5),(x6,b)Criterio de crecimiento y decrecimientoSeafuna funcin continua en el intervalo cerradoy derivable en el intervalo abierto.1. Sies creciente en2. Sies decreciente en3. Sies constante enEjemplo 1Determinemos los intervalos en que crece o decrece la funcin con ecuacinf(x) = 1 / 2(x2 4x+ 1).Para ello calculemos la primera derivada def:f'(x) =x 2.Comof'(x) > 0x 2 > 0, o sea six> 2, entonces f es creciente parax> 2.Comof'(x) < 0x 2 < 0, o sea six< 2, entonces f es decreciente parax< 2.En la grfica de la funcin puede observarse lo obtenido anteriormente.

Ejemplo 2Determinar los intervalos en que crece o decrece la funcin f con ecuacinf(x) = (x+ 1) / (x 1), con x 1.La derivada de f esf'(x) = 2 / (x 1)2.Como(x 1)2es mayor que cero para x en los Reales, x 1, y adems 2 < 0entoncesf'(x) < 0para todo x en los Reales (x 1), por lo que la funcin f es decreciente para x en los Reales, x 1 . La siguiente, es la grfica de dicha funcin:

Paridad de una funcinNo debe confundirse conFuncin paridad.Enmatemticas, se puede clasificar a las funciones segn suparidad. Las funciones pueden serpares,impareso no tener paridad. Aquellasfuncionesque poseen paridad satisfacen una serie de relaciones particulares desimetra, con respecto ainversas aditivas. Las funciones pares e impares son usadas en muchas reas delanlisis matemtico, especialmente en la teora de lasseries de potenciasyseries de Fourier. Deben su nombre a laparidadde las potencias de lasfunciones monmicasque coinciden y por tanto satisfacen las condiciones de paridad. As, la funcinxnes una funcin par sines un entero par o una funcin impar sines un entero impar.ndice[ocultar] 1Funciones pares 1.1Definicin formal 1.2Ejemplo 2Funciones impares 2.1Ejemplo 3Caractersticas 3.1Propiedades 3.2Series 4Vase tambin 5ReferenciasFunciones pares[editareditar cdigo]

Grfica de una funcin par.Unafuncin pares cualquier funcin que satisface la relaciny sixes deldominiodefentonces-xtambin.Desde un punto de vista geomtrico, una funcin par essimtricacon respecto al ejey, lo que quiere decir que sugrficano se altera luego de unareflexinsobre el ejey.Ejemplos de funciones pares son elvalor absoluto,x2,x4,cos(x), ycosh(x).Definicin formal[editareditar cdigo]El trminofuncin parsuele referirse a una clase especial de funciones de variable real: una funcines una funcin par si parase cumple la siguiente relacin:

La definicin anterior puede generalizarse a funciones sobre dominios ms generales. SiAes un conjunto con cierta estructura algebraica en la que existan inversos aditivos (por ejemplo, los nmeros complejosC), una funcin par sera toda funcin:

que cumpla:

La definicin de funcin par presupone que sientonces necesariamente, de no ser as no se podra definir.Ejemplo[editareditar cdigo]La funcin:

es par ya que para cualquier valor dexse cumple:

Demostrando que la funcin es par.Six=2, entonces:

Funciones impares[editareditar cdigo]

Grfica de una funcin imparUnafuncin impares cualquier funcin que satisface la relacin:

para todoxen eldominiodef.Desde un punto de vista geomtrico, una funcin impar posee una simetra rotacional con respecto al origen de coordenadas, lo que quiere decir que sugrficano se altera luego de unarotacinde 180 grados alrededor del origen.Ejemplos de funciones impares sonx,x3,seno(x),sinh(x), y laerf(x).Ejemplo[editareditar cdigo]La funcin:

tambin es impar, ya que:

en este caso la funcin no est definida en el punto.Si vemos la funcin:

Podemos ver que:

Y esta funcin si pasa por el punto (0,0).Caractersticas[editareditar cdigo]Nota: La paridad de una funcin no implica que sea diferenciable o continua.Propiedades[editareditar cdigo] La nica funcin que es tanto par e impar es lafuncin constanteque es idnticamente cero (o seaf(x) = 0 para todox). Lasumade una funcin par y una impar no es ni par ni impar, a menos de que una de las funciones sea el cero. La suma de dos funciones par es una funcin par, y todo mltiplo de una funcin par es una funcin par. La suma de dos funciones impares es una funcin impar, y todo mltiplo constante de una funcin impar es una funcin impar. Elproductode dos funciones pares es una funcin par. El producto de dos funciones impares es una funcin par. El producto de una funcin par y una funcin impar es una funcin impar. Elcocientede dos funciones pares es una funcin par. El cociente de dos funciones impares es una funcin par. El cociente de una funcin par y una funcin impar es una funcin impar. Laderivadade una funcin par es una funcin impar. La derivada de una funcin impar es una funcin par. Lacomposicinde dos funciones pares es una funcin par, y la composicin de dos funciones impares es una funcin impar. La composicin de una funcin par y una funcin impar es una funcin par. la composicin de toda funcin con una funcin par es par (pero no vice versa). Toda funcin definida sobre toda la lnea real puede descomponerse en la suma de una funcin par y una impar:

Laintegralde una funcin impar entre -A y +A es cero (donde A es finito, y la funcin no posee ninguna asntota vertical entre -A y A). La integral de una funcin par entre -A y +A es el doble de la integral entre 0 y +A (donde A es finito, y la funcin no posee ninguna asntota vertical entre -A y A).Series[editareditar cdigo] Laserie de Maclaurinde una funcin par se compone solo de trminos con potencias pares. La serie de Maclaurin de una funcin impar se compone solo de trminos con potencias impares. Laserie de Fourierde una funcin parperidicasolo incluye trminoscosenos. La serie de Fourier de una funcin impar peridica solo incluye trminossenos.Simetra respecto del eje de ordenadas. Funcin parUna funcin f es simtrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del dominio se verifica:f(x) = f(x)Las funciones simtricas respecto del eje de ordenadas reciben el nombre de funciones pares.

Simetra respecto al origen. Funcin imparUna funcin f es simtrica respecto al origen cuando para todo x del dominio se verifica:f(x) = f(x)Las funciones simtricas respecto al origen reciben el nombre de funciones impares.

funcin peridicaFuncin que repite el mismo valor a intervalos regulares de la variable.Una funcin f(x) es peridica si existe un nmero p tal que pueda hacer f(x+p) = f(x) para todas las x. Al menor nmero p se le llama perodo. Por ejemplo, y = sen (x) es una funcin peridica con un perodo de 2porque 2es el menor nmero p que hace que sen (x+p) = sen (x) para todas las x.