Resistencia de Materiales

PROFESOR:

GELACIO TAFUR ANZUALDO

NIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL PERU

Torsin

Contenido

Seccin 1 - Deformaciones en un rbol circular

Seccin 2 - Esfuerzos cortantes en barras circulares debido a torsin

Seccin 3 - Ejes estticamente indeterminados

Seccin 4 Relacin entre torsor, potencia y velocidad angular

Seccin 5 - Ecuaciones empleadas en barras no circulares

Seccin 6 - Resumen de ecuaciones

Deformaciones en un rbol circular

Un momento de torsin o par torsor es aquel que tiende a hacer

girar un miembro respecto a su eje longitudinal.

Su efecto es de inters primordial en el diseo de ejes de

transmisin, utilizados ampliamente en vehculos y maquinaria.

Se puede ilustrar qu ocurre fsicamente cuando un momento de

torsin se aplica a un eje circular hecho de un material muy elstico, como el

hule, por ejemplo.

Cuando se aplica el momento torsor, las secciones circulares se

mantienen como tales, experimentando una rotacin en el plano del

momento. Las lneas longitudinales se convierten en hlices que intersectan

siempre con el mismo ngulo a los crculos transversales.

Extraeremos a continuacin una porcin cilndrica y

consideraremos un pequeo elemento cuadrado que se encuentre en la

superficie de dicha porcin. Luego de aplicar el momento torsor, el elemento

diferencial considerado deja de ser cuadrado y se convierte en un rombo, tal

como se muestra.

Observemos la figura.

Si el ngulo g es muy pequeo, se puede establecer:

LAA g'

Donde:

AA es el arco que recorre elpunto A al deformarse la barra

debido a torsin.

es el ngulo de giro (enradianes) entre dos secciones

transversales separadas una

longitud L.

es el radio de la porcincilndrica considerada y

g es la deformacin cortante,medido en radianes.

Ley de Hooke para Torsin

De forma similar al caso de esfuerzos normales, existe tambin una relacin

proporcional entre las deformaciones cortantes que ocurren en el rango

elstico y los esfuerzos cortantes relativos a dichas deformaciones.

Matemticamente, podemos expresar dicha relacin como sigue:

Donde t es el esfuerzo cortante, g es la deformacin cortante y G es elmdulo de rigidez, que se puede relacionar con el modulo de elasticidad

(E) de la siguiente forma:

Siendo n el mdulo de Poisson.

gt G

)1(2

EG

Para realizar la deduccin de una expresin que nos permita hallar

la distribucin de esfuerzos cortantes en una seccin transversal debido a

un momento torsor aplicado en ella, asumiremos lo siguiente:

Las secciones circulares permanecen como tales.

Las secciones transversales se mantienen planas, sin alabearse.

Las lneas radiales permanecen rectas an despus de ladeformacin.

El eje est sometido a la accin de pares torsores.

Las deformaciones producidas ocurren en el rango elstico del material.

Esfuerzos cortantes en barras

circulares debido a torsin

Si recordamos la relacin de deformacin establecida anteriormente:

Notaremos que para una deformacin dada, los valores de y Lse mantienen constates, de forma que g vara linealmente con .

Podemos establecer entonces el valor mximo de la deformacin g :

Luego:

Y, finalmente:

L g

Lr maxg

gg

Lr

max

r

gg max

Recordando que la deformacin se realiza en el rango elstico del

material, podemos aplicar la ley de Hooke sobre la expresin y nos queda:

Aplicar la primera condicin de equilibrio nos aportar una

informacin que ya conocemos: la variacin del esfuerzo cortante es lineal

respecto al radio de la seccin. Estudiaremos entonces que sucede con la

segunda condicin de equilibrio:

Sacando de la integral los trminos constantes, nos queda:

r

tt max

dAr

T

t max

dArT 2max

t

Donde la integral resultante es una propiedad de rea conocida

como momento polar de inercia (J). Podemos rescribir entonces laexpresin de la forma:

Recordando que anteriormente se estableci que:

Sustituimos esto en la expresin anterior y nos queda:

Jr

T maxt

t

t

max

r

JT

t

)(2

1 41

4

2 rrJ Para un rbol circular hueco el momento

polar de inercia J es:

)(32

4

1

4

2 DDJ

Finalmente, obtenemos lo siguiente:

J

T t

Ntese que, para barras de

seccin circular, la variacin del

esfuerzo cortante es lineal respecto

al radio de la seccin.

Por otro lado, como se

estudi en el captulo anterior, el

esfuerzo cortante debe actuar

tambin en otro plano perpendicular

al de la seccin transversal para

conseguir el equilibrio del elemento

diferencial.

De forma similar al caso de

carga axial, podemos utilizar

expresiones referidas a estas

deformaciones para resolver casos

estticamente indeterminados.

Nos interesa entonces

determinar una expresin que

relacione el par torsor T con elngulo de giro entre secciones

transversales .

Ejes estticamente indeterminados

Como observamos anteriormente, un par torsor ejercido sobre una

barra produce una rotacin relativa entre secciones transversales que se

encuentren separadas por una longitud L.

Juntemos entonces las expresiones que conocemos. En primer

lugar, encontramos que podemos relacionar el ngulo con ladeformacin cortante g mediante la expresin:

En segundo lugar, tenemos la ley de Hooke:

Finalmente, la ecuacin que relaciona el par torsor con el esfuerzo

cortante, determinada recientemente:

Lr g

gt G

J

rT t

Si sustituimos las expresiones resultantes del despeje de g y ten la ley de Hooke, obtendremos:

Finalmente, para barras de seccin circular:

Esta ecuacin resulta de gran utilidad en casos donde las

condiciones de esttica resultan insuficientes para determinar las cargas en

distintos elementos de un sistema sometido a pares de torsin.

L

rG

J

rT

GJ

LT

Observemos el caso mostrado en

la figura.

En ella se presentan dos barras

solidarias, de seccin transversal circular,

empotradas en sus extremos y sometidas

a un par torsor T en su unin.

La condicin de equilibrio que

puede establecerse es la siguiente:

0 TTT CANotemos que tenemos una ecuacin y dos incgnitas (TA y TC).

Un segunda relacin se obtiene de las deformaciones debido a los pares

torsores. Para poder establecer esta relacin, es necesario primero definir

los pares torsores al que estn sometidos los segmentos AB y BC.

En primer lugar, estudiemos el tramo AB.

El torsor aplicado sobre este segmento se define

realizando un corte en la estructura justo antes del

punto donde se aplica el siguiente torsor. Queda

entonces:

0 ABA TT

Luego, aplicamos un procedimiento

similar para el siguiente tramo. Al realizar un

corte justo antes del punto de aplicacin del

siguiente torsor, obtenemos:

0 BCA TTT

ABA TT

ABC TTT

La condicin de deformacin que debe cumplirse es la siguiente:

Donde B/A es el ngulo que gira la seccin B respecto a la A yB/C es el ngulo que gira la seccin B respecto a la C. Ntese quedeben ser iguales; entonces:

Sustituyendo TAB y TBC, obtenemos la segunda ecuacin quenecesitamos para resolver el sistema:

CB

AB

BCBC

BCBC

ABAB

ABAB

GJ

LT

GJ

LT

BCBC

BCA

ABAB

ABA

GJ

LTT

GJ

LT

)()(

Relacin entre torsor, potencia y

velocidad angular

Como se mencion al principio de este captulo, el inters principal

de estudiar el fenmeno de torsin sobre barras circulares reside en que

stas se usan ampliamente como ejes para comunicar potencia, bien sea en

conjunto con poleas y correas con engranajes.

El trabajo mecnico desarrollado por fuerzas

F actuando tangencialmente a los elementos

dl del rbol circular de dimetro D=2r es:

FDdrdFFdldW )2()(2

La potencia mecnica P se define como:

dt

dWP

Entonces de la relacin anterior tenemos:

Tdt

dFD

dt

dWP

De donde:

TP T= par torsor= velocidad angular

En el diseo de estos sistemas, emplearemos dos relaciones

principalmente.

La primera, es la expresin matemtica que indica la potencia que

comunica un eje una polea:

Donde P es la potencia transmitida, es la velocidad angular y Tel torsor al que est sometido el eje, la polea el engranaje.

Tambin se utilizar la relacin de transmisin (m), que se definecomo la proporcin de velocidad torque que existe entre el sistema

conductor y el conducido:

La relacin de transmisin siempre debe ser mayor que la unidad.

Como la mayora de los sistemas de transmisin son reductores (es decir,

reducen la velocidad y aumentan el torque), se ha expresado de la forma

mostrada. En caso contrario, deben invertirse los trminos.

TP

conductor

conducido

conducido

conductor

T

Tm

La polea de la figura se une al eje en el que

va montada por medio de una chaveta de

1x1x6 cm. El eje tiene un dimetro de 5 cm y

la polea transmite una potencia de 15 HP,

girando a 120 rpm. Hallar el esfuerzo de

cortadura en la chaveta

wattHP

wattHPP 5,11032)

1

5,735(15

sradsrev

radrev/56,12)

60

min1)(

1

2(

min1

120

SOLUCIN:

La potencia y la velocidad angular la debemos

expresar en unidades que nos permitan

simplificaciones

El momento torsor es: Nmsrad

sNmPT 38,878

/56,12

/5,11032

Debido a que el sistema est en equilibrio:

Nm

Nm

r

TFFrT 6,35117

025,0

94,877

Esta fuerza actuando sobre la seccin recta de la chaveta el valor del

esfuerzo en esta seccin

La seccin recta de la chaveta tiene un rea de:

242 1066)6(1 mxcmcmcmA

Luego el esfuerzo ser:

MPamx

N

S

F5,58

106

5,3511724

t

MPa5,58t

EJEMPLO:

Para el eje cilndrico hueco que se muestra en la figura:

a) Cual es el mayor torque que puede aplicrsele si el esfuerzo cortante no

debe pasar de 120 MPa.

b) Cual es el valor mnimo correspondiente del esfuerzo cortante?

SOLUCIN:

a) comoJ

Tr

J

T maxt

t

De donde:

extr

JT

r

JT

)()( maxmax

max tt

m

mmPax

T030,0

)040.0()060,0(32

)10120( 446

max

kNmT 08,4max

b) El esfuerzo cortante mnimo lo podemos deducir del grfico siguiente:

max

2

1min

1

min

2

max tttt

r

r

rr

)120(03,0

02,0min MPa

m

mt

MPa80min t

EJEMPLO:

El eje vertical AD est unido a una base fija en

D y sometido a los torques indicados. Un hueco

de 44 mm de dimetro ha sido perforado en la

porcin CD del eje. Sabiendo que todo el eje

est hecho de acero con G = 80 GPa,

determine el ngulo de torsin en el extremo A.

SOLUCIN:

En el eje se diferencian tres porciones AB, BC y CD,

cada una de seccin uniforme y con torque interno

constante, adems el sistema est en equilibrio, luego:

Podemos hacer un corte entre A y B, entonces:

NmTTNm ABAB 2500250

Haciendo un corte entre B y C se tiene de modo similar

NmTTNmNm BCBC 225002000250

No hay torque aplicado en C entonces : NmTT BCCD 2250

El ngulo de torsin en A ser:

)(1

CD

CDCD

BC

BCBC

AB

ABAB

i

ii

J

LT

J

LT

J

LT

GGJ

LT

4444 )044,0()06,0(

32

)6,0)(2250(

)06,0(32

)2,0)(2250(

)03,0(32

)4,0)(250(

80

1

m

mNm

m

mNm

m

mNm

GPaA

22,2)2

360(0388,0

radradA

22,2A

Diseo de ejes de transmisin

El diseo de ejes de transmisin consiste bsicamente en

determinar el dimetro y material ms apropiados para el mismo, tomando en

cuenta principalmente tres factores:

- Que las deformaciones ocasionadas por torsin sean aceptables

segn los requerimientos del diseo.

- Que los esfuerzos producidos en el eje no sobrepasen los

esfuerzos admitidos en el diseo, segn el factor de seguridad con el que se

est trabajando.

- Que dimetro del eje no exceda demasiado el tamao necesario,

pues esto influye en los costos de produccin, en la geometra del diseo, en

el peso muerto del sistema, etc.

En la figura se muestra un

sistema conducido, donde un

conjunto correa-polea transmiten

potencia a una mquina a travs de

un eje.

La correa, debido a la

tensin a la que debe estar, ejerce

una fuerza vertical (Fv) sobre la

polea y a su vez sobre el eje,

adems de ejercer el torque para

producir movimiento en la mquina.

En este caso, como la polea se encuentra en voladizo, no es difcil

determinar que la seccin crtica es aquella adyacente al apoyo, en B. Note

que la fuerza vertical producir adicionalmente un momento flector sobre esta

seccin.

______________________________________________________________________________Universidad Nacional del Santa

Facultad de Ingeniera

Departamento Acadmico de Energa y Fsica

Al trasladar las cargas a la

seccin transversal crtica, observaremos

que sobre ella se encuentran aplicados una

fuerza cortante Fv, un momento torsor T, y

un momento flector M.

Tenemos entonces tres posibles

puntos crticos:

- El punto A, donde se generan

s(+) debido al momento flector y t debido

al torsor;

- El punto A, donde se generan s(-) debido al momento flector y tdebido al torsor;

- el punto B, donde se concentran los t debido al momento torsor ydebido a la fuerza cortante.

Ecuaciones empleadas en barras no

circulares

En algunas estructuras, podemos encontrarnos que existe un par

torsor aplicado sobre una viga de seccin transversal no circular.

La deduccin de las ecuaciones que describen la distribucin de

esfuerzos cortantes debido a torsin en estas barras no es sencilla. Nuestro

inters radica principalmente en conocer expresiones que permitan relacionar

las caractersticas geomtricas de la barra y el torque ejercido sobre ella, con

el esfuerzo cortante mximo que se produce y su respectiva deformacin.

Estas expresiones podemos hallarlas tabuladas; presentamos a

continuacin algunos ejemplos.

Seccin elptica

2max

2

ba

T

t

33

22

ba

ba

G

T

L

Seccin triangular equiltera

3max

20

a

Tt

43

80

aG

T

L

Seccin cuadrada

3max

8077,4

a

Tt

4

1124,7

aG

T

L

Resumen de ecuaciones

Ley de Hooke para torsin:

t: Esfuerzo cortante

G: Mdulo de Rigidez

g: Deformacin angular unitaria

E: Mdulo de elasticidad del material

n: Relacin de Poisson del material

gt G

)1(2

EG

Esfuerzo cortante en barras de seccin circular

debido a momento torsor

t: Esfuerzo cortante en el punto de inters de la seccin transversal

: distancia medida desde el centro hasta el punto de inters

J: Momento polar de inercia de la seccin transversal

J

T t

ngulo de giro en barras circulares sometidas a

momento torsor

: ngulo de giro de una seccin B respecto a una seccin AT: Par torsor al que est sometido la barra circular

J: Momento polar de inercia de la seccin transversal

G: Mdulo de rigidez del material

LAB: Longitud de la barra entre las secciones A y B

GJ

LT ABAB

/

Relaciones entre par torsor, potencia y

velocidad angular

: velocidad angular (radianes por unidad de tiempo)

T: Par torsor al que est sometido la barra circular

P: Potencia

m: relacin de transmisin

TP

conductor

conducido

conducido

conductor

T

Tm