clases de conjugación kthulhu en grupos simples...

Clases de conjugacion kthulhu en grupos simplesesporadicos

Sergio Beltran Cubillos

CIEM - FaMAF - UNC

Seminario de Teorıa de Lie19 de octubre de 2020

Sergio Beltran Cubillos (FaMAF) Clases kthulhu en grupos esporadicos Seminario de Teorıa de Lie 1 / 31

Tabla de contenidos.

1 Preliminares

2 Resultados

3 Descenso a subgrupos maximales

4 Apendice


Primera seccion

Preliminares


1. Preliminares: Contexto.

Problema general: Clasificacion de algebras de Hopf punteadas H dedimension finita con G (H) ' G , sobre un cuerpo k algebraicamentecerrado y car(k) = 0.

Paso importante: Determinar los modulos de Yetter-Drinfled V sobre Gcon algebra de Nichols B(V ) de dimension finita.

Reduccion: Determinar las dimensiones de las algebras de NicholsB(X , q) asociadas a un pecio X y un 2−cociclo q.

Problema particular: Hallar criterios que dependan unicamente de laestructura de X para concluir que dimB(X , q) =∞ para todo q. En talcaso decimos que X colapsa.


1. Preliminares: Pecios.

Definicion.

Un pecio es una par (X ,B) donde X es un conjunto no vacıo yB : X × X → X es una operacion tal que

Para todo x , y , z ∈ X se tiene

x B (y B z) = (x B y) B (x B z),

La funcionφx : X → X : y 7→ x B y

es biyectiva para todo x ∈ X .


1. Preliminares: Ejemplos importantes.

Ejemplo.

Si A es un grupo abeliano y g ∈ Aut(A) entonces la operaciona B b = (id− g)(a) + g(b) define una estructura de pecio en A. El par(A,B) se conoce como pecio afın.

Ejemplo.

Sea G un grupo y O una de sus clases de conjugacion. Si definimosx B y = xyx−1 entonces (O,B) es un pecio.

Ejemplo.

Sean G un grupo y u ∈ Aut(G ). Las clases de conjugacion torcidas de Gson pecios con la operacion x Bu y = xu(yx−1). Estas clases pueden versecomo clases de conjugacion usuales en Aut(G ).


1. Preliminares: Tipo D.

Definicion. (AFGV1, 3.5)

Un pecio X es de tipo D si contiene un subpecio descomponibleY = R ∪ S junto con dos elementos r ∈ R y s ∈ S tales que

r B (s B (r B s)) 6= s.

Proposicion.

Una clase de conjugacion O en un grupo G es de tipo D si y solo si existenr , s ∈ O tales que

r y s no son conjugados en el subgrupo 〈r , s〉 que generan en G ,

(rs)2 6= (sr)2.


1. Preliminares: Tipo F.

Definicion. (ACGa1, 2.4)

Sea I4 = {1, 2, 3, 4}. Decimos que un pecio X es de tipo F si tiene unafamilia de subpecios {Ri : i ∈ I4} junto con cuatro elementos ri ∈ Ri talesque

Ri B Rj = Rj para todo i , j ∈ I4,

Ri ∩ Rj = ∅ si i 6= j ,

ri B rj 6= rj si i 6= j .

Proposicion.

Una clase de conjugacion O en un grupo G es de tipo F si y solo si existenr1, . . . , r4 ∈ O tales que

ri y rj no son conjugados en el subgrupo 〈r1, r2, r3, r4〉, para todoi 6= j ,

ri rj 6= rj ri .


1. Preliminares: Tipo C.


Decimos que un pecio X es de tipo C si contiene un subpeciodescomponible Y = R ∪ S y existen r ∈ R y s ∈ S tales que

r B s 6= s,

R = OInt(Y )r y S = OInt(Y )

s ,

mın {|R|, |S |} > 2 o max {|R|, |S |} > 4.

Proposicion.

Una clase de conjugacion O de un grupo G es de tipo C si y solo si existenun subgrupo H < G y dos elementos r , s ∈ H ∩ O tales que

rs 6= sr ,

OHr 6= OH

s ,

H = 〈OHr ,OH

s 〉,mın {|OH

r |, |OHs |} > 2 o max {|OH

r |, |OHs |} > 4.


1. Preliminares: Pecios kthulhu.


Decimos que un pecio X es kthulhu si no es de tipo D, ni F, ni C.

Teorema. (AFGV1, 3.6; ACGa1, 2.8; ACGa3, 2.9)

Si un pecio X no es kthulhu entonces colapsa.


1. Preliminares: Clasificacion de pecios simples.

Teorema. (AG,J)

Todo pecio simple pertenece a una de las siguientes cuatro familias:

a. Pecios afines simples,

b. Clases de conjugacion en grupos simples finitos no abelianos,

c. Clases de conjugacion torcidas en grupos simples finitos no abelianos,

d. Pecios homogeneos torcidos simples.


1. Preliminares: Planteamiento del problema.

Problema.

Determinar las clases de conjugacion (torcidas) kthulhu en los grupossimples esporadicos.

Los grupos simples finitos (no abelianos) se clasifican en tres familias y eltipo de sus clases de conjugacion fueron estudiados en los siguientestrabajos:

Los grupos alternados: [AFGV1], [F],

Los grupos de tipo Lie: Serie [ACGa1], [ACGa2], [ACGa3], etc.,

Los 27 grupos esporadicos: [AFGV2], [FV].


1. Preliminares: Colapso en grupos simples esporadicos.

Teorema. (AFGV2,FV)

Las clases de conjugacion de los grupos simples esporadicos colapsan, conla posible excepcion de las que se encuentran en la siguiente tabla:

Grupo Clases

Fi22 22A, 22B

B 46A, 46B

M 32A, 32B, 46A, 46B, 92A, 92B, 94A, 94B

Tabla: Clases con dimension de las algebras Nichols desconocida.


Segunda seccion

Resultados


2. Resultados: Clases que no son de tipo D.

Grupo Clases Grupo ClasesT 2A M11 8A, 8B, 11A, 11B

M12 11A, 11B M22 11A, 11BM23 23A, 23B M24 23A, 23BRu 29A, 29B Suz 3AHS 11A, 11B McL 11A, 11BCo1 3A Co2 2A, 23A, 23BCo3 23A, 23B J1 15A, 15B, 19A, 19B, 19CJ2 2A, 3A J3 5A, 5B, 19A, 19BJ4 29A, 43A, 43B, 43C Ly 37A, 37B, 67A, 67B, 67C

O ′N 31A, 31B Fi23 2AFi22 2A, 22A, 22B Fi ′24 29A, 29BB 2A, 46A, 46B, 47A, 47B

Tabla: Clases que no son de tipo D en grupos simples esporadicos [FV].


2. Resultados: Clases kthulhu.




Tabla: Clases kthulhu en grupos simples esporadicos [BF].


2. Resultados: Clases de tipo C.




Tabla: Clases de tipo C [BF].


2. Resultados: Clases torcidas que no son de tipo D.

Grupo ClasesAut(M22) 2BAut(HS) 2CAut(Fi22) 2DAut(J3) 34A, 34B

Aut(ON) 38A, 38B, 38CAut(McL) 22A, 22BAut(Fi ′24) 2C

Tabla: Clases torcidas que no son de tipo D en grupos simples esporadicos [FV].


2. Resultados: Clases torcidas kthulhu.

Grupo ClasesAut(M22) 2BAut(HS) 2CAut(Fi22) 2DAut(J3) 34A, 34B

Aut(ON) 38A, 38B, 38CAut(McL) 22A, 22BAut(Fi ′24) 2C

Tabla: Clases torcidas kthulhu en grupos simples esporadicos [BF].


Tercera seccion

Descenso a subgrupos maximales


3. Descenso a subgrupos maximales.

Lema. (FV, 2.4)

Sea G un grupo y O una de sus clases de conjugacion. Denotamos

M = {M : M es un subgrupo maximal de G tal que O ∩M 6= ∅}.

Supongamos que para todo M ∈M tenemos que O ∩M es una sola clasede conjugacion en M. Si O es una clase de tipo D entonces existe N ∈Mtal que O ∩ N es de tipo D.

Nota.

La propiedad analoga se cumple para las clases de tipo F y C.



El descenso a los subgrupos maximales.

Para probar que una clase O en un grupo G es kthulhu podemos procedercomo sigue:

Hallar las cadenas de subgrupos maximales tales que O ∩Mk 6= ∅

M1 ⊂ · · · ⊂ Mj−1 ⊂ Mj = G

comprobando que la clase O ∩Mk−1 no se separa en Mk .

Probar que toda clase O′ = O ∩M1 es kthulhu.



Ejemplo.

Consideremos la clase O = 11A en el grupo de Mathieu G = M11.

Todas las cadenas de subgrupos maximales construidas con el metododel descenso tienen la misma forma H = Z11 o Z5 ⊂ L2(11) ⊂ M11

M11

L2(11) · · · · · · · · · L2(11)

H · · · H · · · H · · · H

��

��

HHHH

HH

��

@@@

��

@@@



Ejemplo.

Consideremos la clase O = 11A en el grupo de Mathieu G = M11.

Todas las cadenas de subgrupos maximales construidas con el metododel descenso tienen la misma forma

Z11 o Z5 ⊂ L2(11) ⊂ M11.

Las clases en Z11 o Z5 que tienen elementos de orden 11 son kthulhuporque los elementos de cada una de ellas no pueden cumplir lapropiedad de no conmutatividad.

Concluimos que 11A en M11 tambien es kthulhu.



Algunas cadenas de subgrupos maximales:

Z11 o Z5 ⊂ L2(11) ⊂ M11.

Z11 o Z5 ⊂ M ⊂ M12 donde M ' M11 o M ' L2(11).

Z11 o Z5 ⊂ L2(11) ⊂ M22.

Z23 o Z11 ⊂ M23.

Z23 o Z11 ⊂ M ⊂ M24 donde M ' M23 o M ' L2(23).

Z29 o Z14 ⊂ L2(29) ⊂ Ru.

Z11 o Z5 ⊂ L2(11) ⊂ M ⊂ HS donde M ' M11 o M ' M22.

Z11 o Z5 ⊂ L2(11) ⊂ M ⊂ McL donde M ' M11 o M ' M22.

Z23 o Z11 ⊂ M23 ⊂ Co2.



Z23 o Z11 ⊂ M23 ⊂ Co3.

Z19 o Z9 ⊂ J1.

Z19 o Z9 ⊂ L2(19) ⊂ J3.

Z29 o Z28 ⊂ J4.

Z43 o Z14 ⊂ J4.

Z37 o Z18 ⊂ Ly .

Z67 o Z22 ⊂ Ly .

Z31 o Z15 ⊂ L2(31) ⊂ O ′N.

Z29 o Z14 ⊂ Fi ′24.

Z47 o Z23 ⊂ B.



Gupo Clases Grupo ClasesM11 11A, 11B M12 11A, 11BM22 11A, 11B M23 23A, 23BM24 23A, 23B Ru 29A, 29BHS 11A, 11B McL 11A, 11BCo2 23A, 23B Co3 23A, 23BJ1 15A, 15B1, 19A, 19B, 19C J3 19A, 19BJ4 29A, 43A, 43B, 43C Ly 37A, 37B, 67A, 67B, 67C

O ′N 31A, 31B Fi22 22A, 22BFi ′24 29A, 29B B 46A, 46B, 47A, 47B

Tabla: Clases kthulhu en grupos simples esporadicos [BF].

1Las cadenas de subgrupos maximales para las clases en verde no estan enlas dos diapositivas anteriores.


Seccion

Cuarta seccion

Apendice


4. Apendice: Grupos sin clases de tipo F.

Teorema.

Los siguientes grupos simples esporadicos no tienen clases de tipo F:

Los grupos de Mathieu M11, M12, M22, M23, M24,

Los tres primeros grupos de Janko J1, J2, J3,

El grupo de Higman-Sims HS .

Nota.

Tecnica: Calculo computacional directo en GAP.


4. Apendice: Grupos con clases de tipo F.

Teorema.

Sea G uno de los grupos simples esporadicos He, Co3, McL, T . Sea Ouna clase de conjugacion en G . Entonces O es de tipo F si y solo si estaen la siguiente tabla:

Grupo Clases

He 4B, 4C, 8A, 10A

Co3 9A, 9B, 24A*

McL 5B, 9A, 9B

T 4B

Tabla: Clasificacion de las clases de tipo F en grupos esporadicos de orden bajo.


Referencias.

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J D. Joyce, Simple quandles, J. Algebra 79 2 (1982), 307–318.

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