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DefinicionesPrincipio de Invariancia

CorolariosEjemplos

SISTEMAS NO LINEALESPRINCIPIO DE INVARIANCIA - TEOREMA DE LASALLE

Prof. Virginia Mazzone - Prof. Mariana Suarez

1 Definiciones2 Principio de Invariancia3 Corolarios4 Ejemplos

Prof. Virginia Mazzone - Mariana Suarez SNL- Clase 2


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Definiciones

Sea x(t) una solucin de x= f (x)Un punto p es un punto lmite positivo de x(t) si existe unasecuencia{tn}, con tn cuando n , tal que x(tn) pcuando n .( un PE a.e.)El conjunto de todos los puntos lmites positivos de x(t) sedenomina el conjunto lmite positivo de x(t). ( un PE a.e. ,un ciclo lmite estable)Un conjunto M es un conjunto invariante con respecto ax= f (x) si

x(0) M x(t) M, t R.Un conjunto M es un conjunto invariante positivo si

x(0) M x(t) M, t 0.(PE, ciclos lmites, c)



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Decimos que x(t) tiende a M cuando t tiende a infinito sipara cada > 0, existe T > 0 tal que

dist(x(t),M)< t > T

donde dist(p,M) denota la distancia de un punto p a unconjunto M, esta es la mnima distancia de p a cualquierpunto de M, es decir

dist(p,M) = nfxM||p x||



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Teorema de LaSalle

LemaSi una solucin x(t) de x= f (x) es acotada y permanece en Dpara todo t 0, entonces su conjunto lmite positivo L+ es unconjunto invariante, no vaco y compacto. Adems,

x(t) L+ cuando t

TeoremaSea D un conjunto compacto que es invariante positivocon respecto a x= f (x). Sea V : D R una funcincontinuamente diferenciable tal que V (x) 0 en . Sea E elconjunto de todos los puntos de donde V (x) = 0. Sea M elmayor conjunto invariante en E. Entonces toda solucin quecomienza en tiende a M cuando t .



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A diferencia del Teorema de Lyapunov, el Teorema de LaSalleno requiere que V (x) sea definida positiva,el conjunto no est necesariamente ligado a laconstruccin de V (x).

En muchas aplicaciones la construccin de V (x) va agarantizar la existencia de un conjunto . En particular, sic = {x R|V (x) c} es acotado y V (x) 0 en c, entoncespodemos tomar =c.Cuando V (x)es definida positiva, c es acotado para c> 0suficientemente pequeo. Esto no es verdad en general si V (x)no es definida positiva (por ej. V (x) = (x1 x2)2, el conj. c noes acotado para ningn c). Si V (x) es radialmente no acotada,c es acotado para cualquier c, sea V (x) definida positiva o no.



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Corolarios

Corolario: Sea x= 0 un PE de x= f (x), Sea V : D R unafuncin continuamente diferenciable y definida positiva en undominio D que contiene al origen x= 0, y tal que V (x) 0 en D.Sea S= {x D|V (x) = 0} y supomgamos que ninguna solucin,excepto la trivial x(t) = 0, puede permanecer indefinidamenteen S. Entonces el origen es AE.

Corolario: Sea x= 0 un PE de x= f (x), Sea V : Rn R unafuncin continuamente diferenciable, radialmente no acotada ydefinida positiva, y tal que V (x) 0 en Rn. SeaS= {x Rn|V (x) = 0} y supomgamos que ninguna solucin,excepto la trivial x(t) = 0, puede permanecer indefinidamenteen S. Entonces el origen es GAE.



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Ejemplos

1 Ejemplo del pndulo con friccin2 Sea el sistema

x1 = x2x2 =g(x1)h(x2)

donde g y h son localmente Lipschitz y satisfacen

g(0) = 0 yg(y)> 0 y 6= 0,y (a,a)h(0) = 0 yh(y)> 0 y 6= 0,y (a,a)

3 Sea el sistema de primer orden

y= ay+u y la ley de control u=ky, k= y2 con > 0Prof. Virginia Mazzone - Mariana Suarez SNL- Clase 2

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