Matemática II

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Límites y Continuidad

2011 - II

Carlos Deudor Gomez

Objetivo general

• Desarrolla habilidades y estrategias de razonamiento para resolver problemas matemáticos con el apoyo del cálculo diferencial de una variable, aplicando sus conocimientos de manera creativa en su ámbito profesional.

• Aplica los conceptos del Cálculo diferencial de una variable en la modelación de situaciones reales, analizando e interpretando geométricamente y optimizando funciones.

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• Sílabo.

• Libro de texto: Material proporcionado por EPEL

• Aula Virtual - email: epel.mate@gmail.com

Información básica

3

Red de contenidos

FUNCIONES, LIMITES Y CONTINUIDAD

LA DERIVADA

APLICACIONES

INTEGRALES

4

• Evaluaciones:– Participación en clase.

– Aula Virtual - Evaluación online (enviada por correo).

– Tres evaluaciones (ninguno se anula).

– Uso de software (Derive).

5

Acuerdos• Puntualidad: Pasar lista

al inicio de clase.

• Salir antes del final de la sesión se le retira de la lista.

• 30% de inasistencia desaprueba el curso.

• Uso de celular.

• Comidas y bebidas.

• Momento de preguntas.

• Recuperaciones de notas. NO.

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Función real de variable real: ejemplo I

7

R

La fórmula f(x)=x2 relaciona dos variables reales

R

• 4• 5,29• 25

RecorridoDominio

• 2• 2,3• 5

f(x) = x2

f(2) = 4

f(2,3) = 5,29

f(5) = 25

Función real de variable real: ejemplo II

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– 1 1

Variable independiente Ley de asociación Variable dependiente

x f y = f(x) Dominio

D = [–1, 1] f(x) = 1 – x2 Recorrido

f([–1, 1]) = [0, 1]

Dominio

Recorrido

x

f(x) • (x, f(x))

Noción de límite

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Alguna vez ha estado Ud. en una playa de estacionamiento en el que puede “aproximarse” al automóvil de enfrente, pero no quiere tocarlo ni golpearlo. Esta noción de estar cada vez más cerca de algo, pero sin tocarlo, es muy importante en matemáticas y en la cual está involucrada el concepto de límite, en el que descansa el fundamento del cálculo.

Noción de límite

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Cuando una variable “se aproxima” a un valor particular, examinaremos el efecto que tiene sobre los valores de la funciòn.

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Gráfica de un acercamiento por derecha

Matemáticamente: x → 3+

Gráficamente:

Cuando x se aproxima a 3 por medio de valores mayores que el 3, se dice que x se aproxima a 3 por la derecha

3

5

x

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Gráfica de un acercamiento por izquierda

Matemáticamente: x → 3-

3

5Gráficamente:

Cuando x se aproxima a 3 por medio de valores menores que el 3, se dice que x se aproxima a 3 por la izquierda

x

13

Si realizamos ambas aproximaciones al mismo tiempo, obtenemos:

3

5

x x

14

5)(3

=−→

xfLímx

Observando los slides anteriores, se puede decir que si x tiende a 3 por la izquierda, la función tiende al valor de 5.

15

5)(3

=+→

xfLímx

Mientras que, si x tiende a 3 por la derecha, la función tiende al valor de 5.

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Nótese que para que el límite exista, cuando la variable tiende a un número “a” (en nuestro ejemplo a = 3) tanto por la izquierda como por la derecha, la función tiende a adoptar un único valor “L” (en nuestro ejemplo L = 5)

Condición para la existencia del límite

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¡ Importante !

No es lo mismo decir “ x es igual a tres” , que decir “ x tiende a tres ”

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¿qué ocurre con el valor de f(x)

cuando x → 3 ?

3

5

7

x x19

Condición para la existencia del límite

Nótese que cuando x tiende a 3 por la izquierda, la función tiende al valor de 5.

Mientras que si x tiende a 3 por derecha, la función tiende al valor de 7

En este caso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a 3, no existe

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Graficar:

2;24

)(2

≠−−= x

xx

xf

21

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x 1,88 1,90 1,99 --- 2,00 --- 2,01 2,10 2,12

f(x) 3,88 3,90 3,99 --- ? --- 4,01 4,10 4,12

2;2

4)(

2

≠−−= x

x

xxf

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• En ambos casos la información apunta a la misma conclusión: los valores de f(x) se aproxima a 4 cuando los valores de x se aproximan a 2. Este comportamiento se denota por:

4242

2

=

−−

→ xx

Limx

2x

4x)x(f

2

−−=Y se lee “ límite de la función en 2 es 4”

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Definición

• Una función f tiene límite L cuando x tiende a “a” por cualquier lado (derecha o izquierda); y se escribe:

LxfLimax

=→

)(

Si todos los valores f(x) para f se encuentran cerca de L para todos los valores de que se encuentran arbitrariamente cerca, pero que no son iguales a “a”.

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Conclusión

LxfLímax

=→

)( si y solo si :

LxfLímxfLímaxax

==+− →→

)()(

Nótese que para que el límite de una función (en un valor de x) exista, no es necesario que la función esté definida en este valor de x.

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Propiedades de los límites de funciones

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( ) ( ) .)(lim)(lim real, númeroun es Si 5. )(lim)( qxg

ax

xg

ax

q pxfxfp ax == →

→→

( ) .)(lim)(lim)()(lim 1. qpxgxfxgxfaxaxax

±=±=±→→→

( ) .)(lim)(lim)()(lim .3 qpxgxfxgxfaxaxax

⋅=⋅=⋅→→→

.)(lim

)(lim

)(

)(lim ,cero es no Si 4.

q

p

xg

xf

xg

xfq

ax

ax

ax==

→

→

→

Sean dos funciones tales que . qxgpxfaxax

==→→

)(limy )(lim)(y )( xgxf

2. Si k es un número real lim(k · f(x)) = k · lim f(x) = k · p

Calcule

( )52

1343lim +−

→xx

x

5lim 3

+→

xx

++

→ 1

2lim

4 x

xx

El peso en kilos de un niño t años después de su nacimiento está modelada por la ecuación:

a)¿Cuantos kilos tenia el niño al nacer?b)¿Cuál es el peso aproximado del niñocuando cumpla cinco años?c)¿Cuál es el peso aproximado del niñocuando cumpla diez años?

( )107

3875tP 2

2

+++=tt

t

( )

>−=<+

=1 si 27

1 si 2

1 si 32

x

xx

x

xx

f

( )xfx 1lim Calcule

→