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RAZONES Y PROPORCIONES
RAZN:
Una razn es el cociente entre dos cantidades de igual magnitud.
Si a, b , entonces
es una razn. Donde a recibe el nombre de antecedente y b
consecuente.
aes a bse expresa: a:b
Esta relacin indica cmo se encuentra a respecto a b.
EJEMPLOS:
La razn entre el nmero de personas que votan en Colombia es 6 a 15:
La razn entre el nmero de nios enfermos y el nmero total de nios es de 25 a 70:
La razn entre el nmero de profesores y estudiantes en un colegio es de 1 a 50:
Supongamos que un automvil recorre 180 Km por cada 6 galones de gasolina. Cul es el
rendimiento del automvil por galn de gasolina
El rendimiento del automvil es de 30km por galn de gasolina.
PROPORCION:
La igualdad de dos razones se llama proporcin.
Simblicamente:
es una proporcin, y se lee; a es abcomo ces a d.
En una proporcin, a y d son llamados extremos y c yd medios.
En toda proporcin el producto de los extremos es igual al producto de medios.
es una proporcin entonces,
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EJEMPLO:
En la proporcin
, se dice que a y b estn en proporcin 3 a 1, es decir a es el triple de de b.
EJEMPLO:
|Halla el valor de X en las siguientes proporciones
Solucin:
5x = 4(3)
5x = 12
Solucin:
3(x+1) = 2(x+2)
3x+3 = 2x+4
3x-2x = 43
x = 1
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TRINGULOS SEMEJANTES:
Se dice que dos tringulos son semejantes si sus ngulos son respectivamente iguales,y sus lados correspondientes son proporcionales.
El signo de semejanza es:
Si el tringulo ABC es semejante al tringulo EFG. Esto se escribe
Dos tringulos semejantes tienen la misma forma sin tener necesariamente la misma
magnitud.
Dos tringulos ABC y DEF son semejantes si satisfacen las condiciones siguientes.
Y
En el ejemplo
y
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0.8 = 0.8 = 0.8
Cuando dos tringulos son semejantes podemos incluir uno dentro del otro, as:
TEOREMA DE THALES:
Sivarias paralelas son cortadas por dos transversales, determinan en ella segmentos homlogosproporcionales
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EJERCICIOS
1. Las rectas a , b y c son paralelas . Hal la la longi tud de x.
2. Las rectas a , b son paralelas . Podemos af i rmar que c es paralela a las rectas a
y b?
S, porque se cumple el teorema de Thales .
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EL TEOREMA DE THALES EN UN TRINGULO
Dado un t r ingulo ABC, s i se t raza un segmento paralelo, B'C' , a uno de los lados
del t r iangulo, se obt iene ot ro t r ingulo AB'C' , cuyos lados son proporcionales a
los del t r ingulo ABC.
Hal lar las medidas de los segmentos a y b.
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CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRINGULOS
1) CRITERIO NGULO, NGULO (AA):
Dos tringulos son semejantes si tienen dos ngulos respectivamente iguales.
Nota:
Dos tringulos rectngulos son semejantes si tienen respectivamente igual un ngulo agudo.
1) CRITERIO LADO NGULO LADO ( LAL):
Dos tringulos son semejantes cuando tienen dos lados proporcionales e igual el ngulo
comprendido entre ellos.
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Nota:
Dos tringulos rectngulos son semejantes cuando sus dos catetos son proporcionales.
2) CRITERIO LADO, LADO, LADO (LLL):
Dos tringulos son semejantes cuando tienen proporcionales sus tres lados.