clase met. cuant. t1

UDEA Clase de Métodos Cuantitativos.

Unidad No. 1

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

1. Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas.2. Sistema lineal con dos ecuaciones y dos incógnitas y su determinante.3. Definición de matriz de orden m×n.4. Matriz cuadrada.5. Vectores fila y vectores columna.6. Igualdad de matrices.7. Suma de matrices.8. Multiplicación de una matriz por un escalar.9. La transpuesta de una matriz.10. Definición de producto punto o producto interior.11. Multiplicación de matrices.12. Forma matricial para sistemas lineales.13. Matriz aumentada.14. Propiedades de las operaciones con matrices.

Propiedades de la suma de matrices.a. Conmutativab. Asociativac. Modulativad. Inverso aditivo.

15. Propiedades de la multiplicación de matrices.a. Asociativa.b. Distributiva a la derecha.c. Distributiva a la izquierda.

16. La matriz escalar de orden n× n o matriz idéntica I n de orden n× n.17. Multiplicación por un escalar.

EJERCICIOS (Pág. 19).

1. Si

[a+2b 2a−b2c+d c−2d ]=[4 −2

4 −3 ], determine a ,b , c y d .

2. A=[1 2 32 1 4 ] ,B=[1 0

2 13 2] ,C=[3 −1 3

4 1 52 1 3] ,

D=[3 −22 4 ] ,E=[2 −4 5

0 1 43 2 1] ,F=[−4 5

2 3] , y O=[0 0 00 0 00 0 0] .

De ser posible calcule la combinación lineal que se indica en cada caso:

a) C+ E y E+Cb) A+B

1


c) D−Fd) −3C+5Oe) 2C−3Ef) 2B+F

3. Sean A=[1 0 11 1 00 1 1] ,B=[0 1 1

1 0 11 1 0] , y C=[1 1 0

0 1 11 0 1]. Calcular cada una de las expresiones siguientes:

a) A+Bb) B+Cc) A+B+Cd) A+CT

e) B−C .

4. Sea A=[1 00 0].

a) Determine B de manera que A+B=[0 00 0] .

b) Determine C de manera que A+C=[1 11 1] .

5. Sea u=[0 1 01 ]. Determine el 4-vector v tal que u+v=[1 1 11 ] .

EJERCICIOS (Pág. 34)

a. Sean a=[−3 2 x ] y b=[−32x ] . Si a ∙b= 17, determine x.

b. Determine todos los valores de x tales que v ∙ v=1 , donde v=[12

−12x

].

c. Sean A=[1 2 x3 −1 2 ] y B=[ y

x1 ] . Si AB=[68], determine x y y .

d. A=[1 2 −34 0 −2] ,B=[ 3 1

2 4−1 5] ,C=[2 3 1

3 −4 51 −1 −2] ,

2


e. D=[ 2 3−1 −2] , E=[ 1 0 −3

−2 1 53 4 2 ] , y F=[2 −3

4 1 ] .De ser posible, calcule:

a) A ( BD)b) ( AB ) Dc) A (C+E )d) AC+ AEe) ( D+F ) A

1. Sean A=[1 23 2] y B=[ 2 −1

−3 4 ] . Demuestre que AB≠ BA.

2. Sean A=[ 2 −3 4−1 2 35 −1 −2] y c=[214 ] . Exprese Ac como una combinación lineal de las columnas de A .

3. Considere el siguiente sistema lineal

2 x+w=73 x+2 y+3 z=−22 x+3 y−4 z=3x+3 x=5.

a) Determine la matriz de coeficientes.b) Escribe el sistema lineal en forma matricial.c) Determine la matriz aumentada.

4. Considere el siguiente sistema lineal:

3 x− y+2 z=42 x+ y=2y+3 z=74 x−z=4.

a) Determine la matriz de coeficientes.b) Escribe el sistema lineal en forma matricial.c) Determine la matriz aumentada.

5. Determine un valor de r y un valor de s tal que ABT=0 , donde:

3


A=[r 1 −2 ] y B=[1 3 s ] .


Sean

A=[2 1 −23 1 5 ], B=[2 −1

3 41 −2], C=[ 2 1 3

−1 2 43 1 0], D=[ 2 −1

−3 2 ],

E=[ 1 1 22 −1 3

−3 2 −1] Y F=[1 02 −3].

1. De ser posible, calcule

a) ( AB )T

b) BT AT

c) AT BT

d) BBTT

e) BT B

6. Determine un escalar r tal que Ax=rx , donde

A=[2 11 2] Y x=[11].

7. Determine una constante k tal que (kA )T (kA )=1, donde A=[−21−1] .SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

EL METODO DE GAUSS – JORDAN

1. Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: solución única (usando el método de eliminación de Gauss-Jordán).

a. 2 x1+4 x2+6x3=18b. 4 x1+5 x2+6 x3=24c. 3 x1+x2−2 x3=4

2. Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: número infinito de soluciones.

4


a. 2 x1+4 x2+6x3=18b. 4 x1+5 x2+6 x3=24c. 2 x1+7 x2+12x3=30

3. Sistema inconsistente o sistema sin solución.

a. 2 x1+4 x2+6x3=18b. 4 x1+5 x2+6 x3=24c. 2 x1+7 x2+12x3=40


Determine todos los valores de a para los que la línea resultante (a ) no tenga solución, (b ) tenga una solución única, y (c ) tenga una

infinidad de soluciones.

23. x+ y−z=2 ; x+2 y+z=3 ; x+ y+(a2−5 ) z=a .25. x+ y+z=2; x+2 y+ z=3 ; x+ y+( a2−5 ) z=a .

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Un ebanista fabrica sillas, mesas para café y mesas para comedor. Se necesitan 10 minutos para lijar una silla, 6 para pintarla y 12 para barnizarla. Se requieren 12 minutos para lijar una mesa para café, 8 para pintarla y 12 para barnizarla. Son necesario 15 minutos para lijar una mesa para comedor, 12 para pintarla y 18 barnizarla. El centro de lijado está disponible 16 horas a la semana, el de pintura 11 horas a la semana y el de barnizado 18 horas. ¿Cuántas unidades de cada mueble deben fabricarse por semana de modo que las mesas de trabajo se utilicen a toda su capacidad?

2. Un editor publica un posible éxito de librería en tres presentaciones distintas: libro de bolsillo, edición para club de lectores y edición de lujo. Cada libro de bolsillo necesita un minuto para el cosido y 2 para el pegado. Cada libro de la edición para el club de lectores necesita 2 minutos para el cosido y 4 para el pegado. Cada libro de edición de lujo necesita 3 minutos para el cosido y 5 para el pegado. Si la planta de cosido está disponible 6 horas diarias y la planta de pegado 11 horas, ¿cuántos libros de cada presentación se pueden producir por día de modo que las plantas se aprovechen a toda su capacidad?

3. La alacena mágica de una bruja contiene 10 onzas de hojas molidas de tréboles de cuatro hojas y 14 onzas de raíces de mandrágora en polvo. Si la bruja utiliza en forma exacta todo el contenido de su alacena, entonces ésta se resurtirá de manera automática.

Para un filtro de amor se requieren 3 113

onzas de tréboles molidos de cuatro hojas y 2 213

de raíces de mandrágora en polvo.

Una receta de una muy conocida (para las brujas) cura del resfriado común requiere 5 513

de onzas de tréboles de cuatro hojas y

10 1013 onzas de raíz

de mandrágora. ¿Que cantidades del filtro de amor y del remedio para el resfriado deberá preparar la bruja a fin de utilizar exactamente el contenido de su alacena mágica?

4. Un granjero le da a su ganado una mezcla de dos tipos de alimento. Una unidad estándar del alimento tipo A le proporciona a un novillo el 10% de su requerimiento mínimo diario de proteína y el 15% de su requerimiento de carbohidratos. El alimento tipo B contiene el 12% del requerimiento de proteína y el 8% del de carbohidratos en una unidad estándar. Si el granjero desea que su

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ganado tenga el 100% de su requerimiento mínimo de proteínas y carbohidratos, ¿cuántas unidades de cada tipo de alimento deberá proporcionar a cada novillo por día?

LA INVERSA DE UNA MATRIZ

1. Definición de una matriz no singular (o invertible).2. Teorema de la unicidad de la inversa.3. Teorema para las propiedades de la inversa.

Ejercicios

1. Resuelva el problema del ebanista utilizando la inversa.

2. Demuestre que la matriz A=[1 2 −31 −2 15 −2 −3] es una matriz singular, es decir no tiene inversa.

DETERMINANTES

1. Definición de una determinante de orden 2 por 2.2. Definición del ij-éximo menor de una matriz de orden n por n.3. Definición del ij-éximo cofactor de una matriz de orden n por n.4. Definición de determinante de una matriz de orden n por n.5. Teorema de la determinante de una matriz triangular superior o inferior de orden n por n.

Ejercicios

1. Calcule el determinante indicado: a. |1 0 30 1 42 1 0| b. |2 03 1

0 1 40 0 11 2 3

250|

2. Muestre que si A y B son matrices diagonales de n× n , entonces detAB=detAdetB .3. Muestre que si A y B son matrices triangulares inferiores, entonces detAB=detAdetB .4. Muestre que, en general, no es cierto que det ( A+B )=detA+detB.5. Muestre que si A es triangular, entonces detA ≠0 si y sólo si tolas las componentes diagonales de A son diferentes de cero.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1. Teorema para la determinante de una matriz A por cualquier renglón o cualquier columna.2. Propiedad para la determinante de una matriz con cualquier renglón o columna cero.3. Propiedad para la determinante de una matriz multiplicada por una constante, en cualquier renglón o columna.4. Propiedad para la suma de las determinantes de dos matrices que solo difieren en una columna.5. Propiedad para la determinante de una matriz, al intercambiar dos renglones o columnas.6. Propiedad para la determinante de una matriz, que tiene dos renglones o columnas iguales.7. Propiedad para la determinante de una matriz, que tiene un renglón o columna múltiplo constante de otro renglón o columna.8. Propiedad para la determinante de un matiz, si a un renglón o columna se le suma un múltiplo de otro renglón o columna.

Ejercicios

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1. Calcule las siguientes determinantes suponiendo que: |a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33|=8

a. |a31 a32 a33a21 a22 a23a11 a12 a13| b. |a31 a32 a33

a11 a12 a13a21 a22 a23| c. | a11 a12 a13

2a21 2a22 2a23a31 a32 a33 |

d. |−3a11 −3 a12 −3a132a21 2a22 2a235a31 5a32 5a33 | e. |a11 2a13 a12

a21 2a23 a22a31 2a33 a32| f. |a11−a12 a12 a13

a21−a22 a22 a23a31−a32 a32 a33|

g. |2a11−3a21 2a12−3 a22 2a13−3a23a31 a32 a33a21 a22 a23 |

2. Calcule las siguientes determinantes:

a. |−2 3 64 1 8

−2 0 0| b. |−3 2 41 −1 2

−1 4 0|FACTORIZACIÓN LU PARA UNA MATRIZ A

1. Características de la descomposición o factorización LU .2. Procedimiento para resolver un sistema AX=B usando la factorización A=LU .3. Ejemplo: Considere el siguiente sistema lineal.

6 x1−2 x2−4 x3+4 x4=23 x1−3 x2−6 x3+x4=−4−12 x1+8 x2+21x3−8x4=86 x1−10 x3+7 x4=−43

Resuelva el sistema mediante la descomposición LU .

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