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SERIES BINOMIALES.

Se llama serie binomial a la serie de McLaurin a la función ( ) = (1 + )Si m es cualquier número real y | | < 1 entonces

(1 + ) = 1 + + ( − 1)2! + ( − 1)( − 2)3! + ⋯Ejemplo 1: desarrollar la función ( ) = ln(1 + ) utilizando la seriebinomial.

Esta función tal como se presenta, es más sencillo derivarla y luego haceruso de la serie binomial; entonces:

( ) = ln(1 + ) ; ( ) = = (1 + ) Así = −1Aplicando el desarrollo binomial:(1 + ) = 1 + (−1) + (−1)(−1 − 1)2! + (−1)(−1 − 2)3! + ⋯(1 + ) = 1 − + − +⋯+ (−1)Ahora se integra cada término para obtener el desarrollo de ( ).

( ) = ln(1 + ) = − 2 + 3 − 4 +⋯+ (−1)Aplicando D’Alembert en valor absoluto para hallar el intervalo deconvergencia: lim→ (−1) ∗+ 1 ∗ (−1) ∗ < 1

|−1|| | ∗ lim→ + 1 < 1 ; | | < 1 ; −1 < < 1

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Ejemplo 2: desarrollar la función ( ) = ( ) utilizando la seriebinomial.

′( ) = 11 + = (1 + )Derivamos la función para aplicarle a su derivada el desarrollo binomial.

= = −1(1 + ) = 1 + (−1) + (−1)(−1 − 1)2! ( ) + (−1)(−1 − 2)3! ( ) + ⋯

(1 + ) = 1 − + − +⋯+ (−1)Ahora se integra cada término para obtener el desarrollo de la funciónplanteada.

( ) = ( ) = − 3 + 5 − 7 +⋯+ (−1) 2 + 1Aplicando D’Alembert en valor absoluto para hallar el intervalo deconvergencia:

lim→ (−1) ∗2 + 3 ∗ 2 + 1(−1) ∗ < 1 ; |−1|| | lim→ 2 + 12 + 3 < 1| | < 1 ; −1 < < 1

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Ejemplo 2: Hallar ∫ 1 − √ usando desarrollo de series en .

1 + −√ ; = −√ = 2 3( ) = 1 + 23 −√ + 2 3 2 3 − 12! −√ + 2 3 2 3 − 1 2 3 − 23! −√

Se toma un número finito de términos para el desarrollo y hacer el cálculoaproximado de la integral propuesta; en este caso tomamos cuatrotérminos.

( ) = 1 − 23 − 19 − 481Ahora se integra este desarrollo y se evalúan los límites de integración.

( ) = 1 − 23 − 19 − 481( ) = − 49 − 118 − 8405 1 40 ≈ 0,1904

Ejemplo 3: calcular aproximadamente √63 tomando tres términos nonulos del desarrollo binomial.

Se opera con la raíz exacta más cercana, que sería √64.

√64 − 1 = 64 1 − 1 64 = 8 1 + − 1 64Se lleva a la forma de serie binomial, recordando que | | < 1

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Luego se sustituyen los valores de en el desarrollo binomial paratres términos no nulos.

8 1 + − 1 64 = 8 1 + 12 − 164 + 12 − 12 − 164 12!≈ 8 1 − 1128 − 132768 ≈ 7,9373

Ejemplo 4: hallar el desarrollo binomial de la función ( ) = √1 +√1 + = (1 + )

= 1 + 15 + 1 5 1 5 − 12! + 1 5 1 5 − 1 1 5 − 23! +⋯= 1 + 15 + 15 − 45 12! + 15 − 45 − 95 13! +⋯

= 1 + 15 − 1 ∗ 45 2! + 1 ∗ 4 ∗ 95 3! +⋯+ (−1) 1 ∗ 4 ∗ 9 … (5 − 6)5 ∗ ! +⋯Finalmente:

√1 + = 1 + 15 + (−1) 4 ∗ 9 ∗ 14 … (5 − 6)5 ∗ !Ejemplo 5: Hallar el límite utilizando desarrollo de series delim→ 1 ln 1 +1 −Aplicando propiedad de logaritmo queda:

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lim→ 1 [ln(1 + ) − ln(1 − )]Luego aplicamos el desarrollo de ln(1 + ) a los dos logaritmosplanteados, es decir, se sustituye por en el primer logaritmo ypor − en el segundo logaritmo, respectivamente.

Procedemos a tomar tres términos de cada desarrollo para hacer elcálculo del límite, de manera aproximada; quedando:

lim→ 1 − 2 + 3 − (− ) − (− )2 + (− )3lim→ 1 − 2 + 3 + + 2 + 3

lim→ 1 2 + 23 = lim→ 2 + 23 = 2Nota: El desarrollo de series también sirve para cálculos aproximados defunciones compuestas:

Sea ( ) = entonces:

= 1 + 1! + 2! + 3! +⋯+ !( ) = = 1 − 2! + 4! − 6! +⋯+ (−1) (2 )!Se toman tres términos o más, del desarrollo de . Dichos términos sesustituyen después en el desarrollo de ; quedando:

= 1 + 1 − 2! + 4! + 12! 1 − 2! + 4! + 13! 1 − 2! + 4! +..

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