clase axioma cuerpo orden (1)

8/17/2019 Clase Axioma Cuerpo Orden (1)

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Números

Reales

Joan Manuel Molina Sandoval

Joan Manuel Molina Sandoval Números Reales

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Definición: Números reales

Se define al conjunto de los números reales como la unión del con-

junto de los números racionales con lo irracionales.

Si x ∈ R, y x no es un número racional, entonces x es un número

Irracional . En los números reales también están definidas las

operaciones de suma y la multiplicación y con estas los reales

poseen un gran número de propiedades que lo caracterizan entre losdemás conjuntos numéricos. Estas propiedades pueden clasificarse

en tres grandes grupos:

Propiedades asociadas a la igualdad que nos servirán para

resolver ecuaciones.Propiedades que tienen relación con desigualdades, usadas

para resolver inecuaciones.

Propiedades relacionadas con la estructura interna de los

números reales.Joan Manuel Molina Sandoval Números Reales

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Las propiedades antes mencionadas son consecuencia de ciertospostulados básicos o axiomas, los cuales son verdades absolutas

(que no necesitan demostración) con los que se construye toda la

teoría sobre números reales. Se considerará como una propiedad de

R sólo a aquellas proposiciones que puedan ser demostradas

usando axiomas y razonamientos lógicos. Comenzaremos el estudio

de los números reales, con los Axiomas de Cuerpo, los cuales

están relacionados con el primer grupo de propiedades, es decir, las

que tienen que ver con la igualdad y las ecuaciones.


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Axiomas de Cuerpo

Los axiomas de cuerpo rigen la operaciones de adición y producto,

éstos nos entregan una manipulación algebraica de los números en

R. Podemos agruparlos en los siguientes:

A.C.1 Clausura: La suma y la multiplicación son

cerradas en R, es decir,

∀a , b ∈ R, a + b ∈ R

∀a , b ∈R

, a ·b ∈R

A.C.2 Conmutatividad: La suma y la multiplicación

son conmutativas en R, es decir,

∀a , b ∈ R, a + b = b + a

∀a , b ∈ R, a ·b = b ·a

A.C.3 Asociatividad: La suma y la multiplicación son

asociativas en R , es decir,

∀a , b , c ∈ R, (a + b ) + c = a + (b + c )

∀a , b , c ∈ R, (a ·b ) ·c = a · (b ·c )


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A.C.4 Neutros:

El 0 ∈ R cumple con la propiedad de neutro aditivo. Es decir,

∀a ∈ R, a + 0 = 0 + a = a

El 1 ∈ R cumple con la propiedad de neutro multiplicativo. Es

decir,

∀a ∈ R, a ·1 = 1 ·a = a

A.C.5 Inversos:Para todo a ∈ R, existe (−a ) ∈ R, llamado opuesto aditivo o

inverso aditivo, tal que,

∀a ∈ R, a + (−a ) = (−a ) + a = 0

Para todo a ∈ R\{0}, existe a −1 ∈ R, llamado inverso

multiplicativo o recíproco, tal que,

∀a ∈ R, a ·a −1 = a −1 ·a = 1


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A.C.6 Distributividad:

∀a , b , c ∈ R, a · (b + c ) = a ·b + a ·c .

Teorema (Neutros)

El neutro aditivo y el neutro multiplicativo son únicos.

Teorema (Inversos)

∀a ∈ R su opuesto aditivo (−a ) es único.

∀a ∈ R con a = 0 su inverso multiplicativo a −1 es único.

Definición (Diferencia, Cuociente)

Sean a , b ∈ R

La diferencia o resta entre a y b como a −b = a + (−b ).

El cuociente o división entre a y b como a

b = ab −1 para b = 0.


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Propiedades:

Sean a , b , c , d ∈ R entonces se cumple que:

1

Ley de cancelación:a + b = a + c ⇒ b = c

a ·b = a ·c ⇒ b = c , a = 0

2 a ·0 = 0, ∀a ∈ R

3

(−1) ·a = −a 4 −(−a ) = a

5 (−a ) ·b = a · (−b ) = −(a ·b )

6 (−a )(−b ) = a ·b

7 (a −1)−1 = a , a = 0

8 (a ·b )−1 = a −1 ·b −1, a , b = 0

9 a ·b = 0 ⇔ a = 0∨b = 0


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Propiedades:

Sean a , b , c , d ∈ R entonces se cumple que:

1 a · (b −c ) = a ·b −a ·c

2 a b · c

d = a ·c

b ·c , b , d = 0

3a

b ÷

c

d =

a ·d

b ·c , b , , c , d = 0

4a

b

+ c

d

= a ·d + b ·c

b ·d

, b , d = 0

5a

b =

c

d ⇒ a ·d = b ·c , b , d = 0

6 ∀b = 0, −a

−b =

a

b

7 ∀b = 0,

−a

b =

a

−b = −

a

b

8n ·a

n ·b =

a

b ; n = 0

90

b = 0; b = 0




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Resumen Axioma de Cuerpo:

1 A.C.1: ∀a , b ∈ R, a + b ∈ R, a ·b ∈ R

2 A.C.2: ∀a , b ∈ R, a + b = b + a , a ·b = b ·a

3 A.C.3: ∀a , b , c ∈ R, (a + b ) + c = a + (b + c ) , (a ·b ) ·c = a · (b ·c )

4 A.C.4: ∀a ∈ R, a + 0 = 0 + a = a , a ·1 = 1 ·a = a

5 A.C.5: ∀a ∈ R, a + (−a ) = (−a ) + a = 0, a ·a −1 = a −1 ·a = 1

6 A.C.6: ∀a , b , c ∈ R, a · (b + c ) = a ·b + a ·c


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Axiomas de orden

¿Es posible ordenar los números reales? ¿Se pueden representargeométricamente? ¿Cómo medir la distancia entre dos números

reales cualquiera?.

Este grupo de axiomas establece un orden en el conjunto de los

números reales. Según esto podremos decidir si un número es

mayor, menor o igual que otro. Esta relación de orden se introduce a

partir del concepto de “positivo ”.

Consideremos la existencia de un subconjunto de R, denotado porR+, llamado conjunto de Números Reales Positivos caracterizado

por los siguientes axiomas,


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Axiomas de orden

A.O.1 Clausura

R+

es cerrado para la adición y multiplicación. Es decir, para todoa , b ∈ R+,

(i) a + b ∈ R+

(ii) a ·b ∈ R+

A.O.2 Tricotomía

Para todo a ∈ R, tenemos sólo una de las siguientes posibilidades

(i) a ∈R+

(ii) a = 0

(iii) −a ∈ R+


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Definición (Números Reales Negativos)

Llamamos conjunto de los Números Reales Negativos, denotado

por R−, al conjunto de los x ∈ R tales que −x es positivo. Es decir,

R− =

x ∈ R | −x ∈ R+

De A.O.2. y la Definición anterior tenemos que: R = R−∪{0}∪R+,

R+∩R− = / 0,

0 /∈ R−∧0 /∈ R+.

Definición(Menor que)

Sean a , b ∈ R. Diremos que a es menor que b , lo que denotamos

a < b , si la diferencia b −a es un número positivo, es decir,

a < b ⇔ (b −a ) ∈ R+.


D fi i ió (M i l )

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Definición (Menor o igual que)

Sean a , b ∈ R. Diremos que a es menor o igual que b , lo que

denotamos a ≤ b , si la diferencia b −a es un número positivo o nulo,

es decir,

a ≤ b ⇔ (b −a ) ∈ R+∨b −a = 0.

La relación a a que se lee “b es

mayor que a ”. De igual forma a ≤ b es equivalente con b ≥ a , cuya

lectura es “b es mayor o igual que a ”.

Con todo lo anterior, un número b ∈R es positivo si y sólo si b > 0. Sib < 0 se dice negativo. Si b ≥ 0 se dice no Negativo.

En el siguiente teorema tenemos una serie de desigualdades que se

demuestran utilizando los axiomas de orden, estas son de gran

utilidad en el desarrollo del Cálculo.


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Teorema

Sean a , b , c , d ∈ R, entonces,

1) a , b ∈ R⇒ a 0 ⇒ ac < bc 6) a ac

7) 0 < a 0 y b < 0 ⇒ ab < 0ac < bd

9) a = 0 ⇒ a 2 > 0 10) a > 0 ⇒ a −1 > 0

11) 0 < a 0 ⇒ (a > 0∧b > 0)∨

(a < 0∧b < 0)

13) a ·b < 0 ⇒ (a > 0∧b < 0)∨

(a < 0∧b > 0)


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Ejercicios

1.- En el cuerpo de los números reales se define 2 = 1 + 1,

3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, 5 = 4 + 1 y 6 = 5 + 1. Usando sólo los

axiomas de los números reales y el hecho que 2 = 0 pruebe lassiguientes afirmaciones, detallando los pasos y mencionando el

axioma, definición o propiedad que utiliza en cada uno de ellos:

a) 3 + 2 = 5

b) 3 ·2 = 6

c) 4 ·2−1 = 2

2.- Demostrar, utilizando los axiomas de cuerpo de los números

reales que:

∀x , y ∈ Rx , y = 0 : (x + y ) ·x −1 ·y −1 = x

−1 + y −1

En cada paso diga cuál o cuales axiomas o propiedades está

utilizando.

3.- Demuestre que el inverso multiplicativo de ab es el real a −1b −1


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Ejercicios

4.- Demuestre que a ·0 = 0

5.- Demuestre que el opuesto de a −1 es el real (−a )−1

6.- Demuestre que:

∀x , y ∈ Rx , y > 0 : (x + y ) ·

x −1 + y −1≥ 4

Indique que axiomas o propiedades de orden está utilizando.

7.- Usando propiedades elementales de los reales, demuestre que:

∀a , b ∈ R : a 3b + ab 3 ≤ a 4 + b 4

8.- Demuestre que para todo x , y ∈ R

x 2 + xy + y 2 ≥ 0


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