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CICLO FORMATIVO

Mdulo Mdulo Mdulo Mdulo 3333: : : :

Los desafos de la enseanza de las operaciones con Los desafos de la enseanza de las operaciones con Los desafos de la enseanza de las operaciones con Los desafos de la enseanza de las operaciones con fracciones y decimalesfracciones y decimalesfracciones y decimalesfracciones y decimales

Clase N 9Clase N 9Clase N 9Clase N 9

La evaluacin de los aprendizajes de los alumnosLa evaluacin de los aprendizajes de los alumnosLa evaluacin de los aprendizajes de los alumnosLa evaluacin de los aprendizajes de los alumnos

Autoras: Graciela Chemello, Mnica Agrasar, Silvia Chara y Anala Crippa /

Equipo reas curriculares del Ministerio de Educacin

PRESENTACIN

En este ciclo formativo hemos organizado la secuencia de clases con un doble criterio:

uno lgico, guiado por los contenidos seleccionados para el trabajo en el Plan. Otro,

ligado a la temporalidad de la tarea en las escuelas, procurando que las clases

anticipen la labor del acompaamiento didctico. As, hasta ahora hemos abordado el

anlisis de una diversidad de prcticas docentes ligadas a la enseanza de la

Matemtica: elegir los problemas, organizar su secuenciacin, anticipar su

funcionamiento en la clase, las producciones que los alumnos pueden realizar, las

posibles intervenciones en relacin con ellas, las conclusiones matemticas que se

podran elaborar en el grupo.

Llegado este punto, creemos necesario abocarnos a pensar el reencuentro con los

maestros en el inicio del ciclo lectivo, la tarea de planificar el ao y la posibilidad de

establecer acuerdos ms generales en torno de la enseanza en el rea. En este

contexto, nos parece oportuno destinar la clase de hoy a la evaluacin de los

aprendizajes de los alumnos respecto de la enseanza de contenidos matemticos en

general. Al mismo tiempo, y teniendo en cuenta que con esta entrega cerramos el

mdulo 3 -correspondiente a la enseanza de operaciones con fracciones y decimales-,

todos los ejemplos y situaciones didcticas que se incluyen en la clase estn referidas

al tema del mdulo.

En principio, sostendremos que la cuestin de la evaluacin de los aprendizajes est

ligada indisolublemente a la evaluacin de las decisiones de enseanza. En esta

perspectiva, el proceso de evaluacin no slo consiste en disear pruebas y calificar los

resultados obtenidos por los nios, sino que se completa con anlisis sistemtico de

esos resultados para evaluar las acciones de enseanza y eventualmente reorientarla.

Por otra parte, desde la perspectiva que adoptamos, consideramos a la evaluacin

como un proceso sistemtico de recoleccin y anlisis de informacin que permite

reflexionar para tomar decisiones pedaggicas de diferentes tipos. Es decir, la

evaluacin no solo tiene sentido en relacin con la acreditacin de los alumnos -que es

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la finalidad ms corriente asociada a esta prctica-, sino tambin respecto de la

deteccin del estado de los saberes puestos en juego por los alumnos durante el

proceso de aprendizaje.

Abordaremos entonces diversos aspectos relativos a la evaluacin: en qu momento

se evala y para qu, qu informacin nos dan las producciones de los alumnos, y qu

decisiones es posible tomar en funcin de la informacin obtenida para apoyar a los

alumnos en su proceso de estudio.

Algunos de nuestros puntos de partida respecto de la evaluacin son:

Tiene que ser coherente con el proyecto de enseanza impartida

El tipo de saberes a evaluar debe ser consistente con el tipo de prctica

matemtica realizada durante las clases; si en ellas se han propuesto actividades en

las que los alumnos deben resolver problemas, interpretar consignas, comunicar

procedimientos, interpretar otros, explicitar razones que les permiten afirmar la

validez de una afirmacin, ser necesario tomar informacin acerca de los logros

de los alumnos al realizar actividades de estos mismos tipos.

Es necesario concebirla como un proceso continuo e interactivo, con momentos

especficos de toma de informacin

Si bien el docente est atento en todo momento a las respuestas que van dando

los chicos frente a las distintas propuestas, es necesario incluir actividades

especficas, con un tiempo previsto para tomar y registrar informacin sobre los

saberes alcanzados, a fin de tomar decisiones respecto de la continuidad de la

enseanza.

Los alumnos deben conocer tanto los objetivos como los criterios con los que sern

evaluados

Debe ser claro para los nios cul es la valoracin que se realizar de las

producciones, para dedicar el tiempo necesario al desarrollo de aquellos aspectos

que permiten mostrar mejor los aprendizajes realizados.

Es decisivo incluir la autoevaluacin del docente y de los alumnos, ya que ambos

modifican sus acciones a partir de la informacin que provee la evaluacin

La identificacin de los saberes que los nios dominan y cules les quedan

pendientes para seguir trabajando, permite a los docentes proponer nuevas tareas

para todos o para algunos alumnos, y a stos conocer qu tareas deberan realizar

para avanzar; de este modo la evaluacin se puede constituir en una herramienta

para mejorar la enseanza y el aprendizaje

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TIEMPOS Y PROPSITOS DE LA EVALUACIN:

CUNDO Y PARA QU SE EVALA?

Segn la amplia bibliografa que aborda la problemtica de la evaluacin, tomaremos

la clsica diferenciacin entre evaluacin diagnstica, formativa y sumativa, segn la

finalidad que se persigue en cada momento.

Evaluacin diagnstica

Se desarrolla a partir de un conjunto de actividades que permiten conocer los saberes

de partida de los alumnos. Tal como se plantea en el enfoque actual, es necesario

adecuar la enseanza a los conocimientos del grupo y, por eso, para cada grupo de

contenidos organizados en una unidad de trabajo conviene proponer a los alumnos

algunas actividades que permitan identificar qu pueden hacer y decir en relacin con

esos contenidos. Determinar qu es lo que los alumnos saben nos permite identificar

los puntos de apoyo para resolver los problemas que se planteen.

Dado que estas actividades estn ligadas a cada conjunto de contenidos, sostenemos

que no debe realizarse al inicio del ao, sino en el momento de organizar la

planificacin de cada unidad de trabajo.

Como se puede apreciar, el significado que le atribuimos a la evaluacin diagnstica no

coincide con el que se desarrolla en muchas instituciones escolares, en las que, a

principio de ao, se destina cierto tiempo para repasar contenidos del ao anterior y

luego se toma una evaluacin.

En muchos casos, con la intencin de recuperar los conocimientos anteriores de los

alumnos al comenzar una unidad, se les pregunta qu recuerdan sobre dicho

contenido. No es aconsejable esta prctica, por varias razones: por un lado, las

formulaciones que pueden hacer los alumnos no suelen dar cuenta de la diversidad de

aprendizajes realizados; por otro, el estado de los saberes no es el mismo en los

distintos alumnos, sino que presenta diferentes grados de contextualizacin y de

disponibilidad.

Si bien consideramos que los saberes aprendidos el ao anterior pueden ser evaluados

con diversas actividades al comienzo de la unidad correspondiente, una evaluacin al

inicio del ao podr ser planteada con otros propsitos. En este sentido, sugerimos

que en la primera semana de clase el docente se centre en conocer las caractersticas

de los alumnos respecto de habilidades ms generales ligadas al aprendizaje escolar, a

travs de actividades que les permitan:

---- Conocer su grado de autonoma en el trabajo, a fin de pensar cmo promoverla;

---- Identificar las posibilidades de interpretar consignas, para eventualmente abordar

esta cuestin con aquellos que lo necesiten,

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---- Saber si trabajan mejor individualmente, o en grupos de dos o de a cuatro;

---- Establecer cmo se involucran con la tarea, cunto tiempo mantienen la atencin,

etc.

Para elaborar una evaluacin diagnstica ser necesario que, al planificar la enseanza

de una unidad, el docente realice un anlisis didctico para determinar cules son los

contenidos de base que necesitan sus alumnos, es decir, identificar cuales sern los

conocimientos que pueden funcionar como puntos de apoyo para resolver los nuevos

problemas.

Estos conocimientos pueden ser indagados a partir de actividades precisas. Por

ejemplo:

---- Si se tratara de una unidad de geometra, se podra proponer un juego de

adivinacin de figuras para averiguar qu conocimientos previos tienen sobre las

propiedades y la forma de expresar esas propiedades, relacionadas con ciertos

tipos de figuras (con bordes rectos y curvos, o figuras cncavas y convexas, por

ejemplo): el nmero de lados, la congruencia, el paralelismo, etc. Este juego se

podra volver a realizar al final de la secuencia, lo que permitira analizar la

evolucin en la forma de nombrar y de preguntar.

---- Si se tratara de iniciar el trabajo con fracciones, se podran proponer problemas de

reparto equitativo en los que se obtenga una parte entera y se pueda seguir

dividiendo el resto (12 alfajores entre 5) para averiguar como realizan y expresan el

reparto del resto.

---- Si se tratara de comenzar a trabajar en la produccin de frmulas para la iniciacin

al lgebra, se podra revisar qu dominio tienen de las propiedades de las

operaciones con nmeros naturales, planteando estrategias de clculo mental u

otros procedimientos de clculo no convencionales para ser analizados y

justificados.

---- Si se tratara de iniciar el trabajo con el procedimiento para dividir por dos cifras por

aproximaciones sucesivas, se podra revisar si han memorizado los productos de la

tabla pitagrica y los productos con un factor terminando en 0 (x10, x100, x1000,

x20, x50, x300, etc.) a fin de asegurarse que esto no ser un obstculo para avanzar

en el procedimiento.

---- Si se tratara de iniciar el trabajo con el clculo de sumas y restas de fracciones, se

podran presentar unos problemas para asegurarse de que conciben una fraccin

como la expresin de una medida y otros problemas donde deban sumar y restar

medidas de modo de que puedan otorgar significado a los clculos que se

propongan.

---- Si se tratara de avanzar con el clculo de sumas y restas con nmeros de dos cifras,

se podran proponer juegos donde se pongan de manifiesto que los alumnos han

memorizado algunos clculos con dgitos como las sumas de dgitos iguales, las

sumas de dgitos +1 y las sumas que dan 10.

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Al comenzar la enseanza de un contenido, es importante que el docente comparta

con los alumnos los objetivos de aprendizaje y el tipo de tareas que se van a realizar,

ya que conocer el para qu orienta a los alumnos. De este modo, ellos podrn

percibir que las distintas actividades que se llevan a cabo no son arbitrarias, sino que

tienen un sentido y aportan a un fin.

Asimismo, son importantes las intervenciones de los docentes al comenzar cada

unidad de trabajo para marcar el itinerario previsto, estableciendo puentes entre las

clases que incluye. Eso permitir que, a lo largo del trabajo, los alumnos puedan darse

cuenta de qu tienen que hacer para lograr el objetivo propuesto, es decir, que vayan

construyendo sus propios criterios de logro.

Evaluacin formativa

Durante el proceso de enseanza, la evaluacin formativa le indica al docente los

logros y las dificultades de sus alumnos, a partir de fuentes tales como la participacin

que ellos tienen en las clases y el anlisis de sus trabajos, realizados tanto dentro como

fuera de la escuela. Esto le permite reprogramar la enseanza, en caso de que sea

necesario.

El hecho de que la evaluacin se inserte en un proceso didctico continuo implica que

no se reserve para la ltima parte del proceso, pero, a la vez, que se mantenga

claramente la diferencia entre evaluacin y enseanza. Tal como destaca Edith Litwin:

Carece de sentido la adquisicin de una actitud evaluativa constante

porque no permitira desarrollar situaciones naturales de conocimiento o

intereses no suscritos en una temtica directamente involucrada en el

aprendizaje de una materia o tema. Se desvirtuara de esta manera el

sentido del conocimiento al transformar las prcticas en una constante

evaluacin1.

En sntesis, los docentes recolectan informacin a partir de las interacciones en el

propio proceso de enseanza: acerca de lo que el alumno interpreta como

interlocutor, qu responde y cmo responde, qu pregunta, las conductas que

desarrolla y las producciones que realiza. Sin embargo, evaluar en el sentido que

planteamos requiere de una intencin especfica, una accin sistemtica, y

especialmente un registro de la informacin sobre la que focalizamos nuestro anlisis,

as como de nuestras inferencias y valoraciones.

1 Litwin, E. (1998), La evaluacin: campo de controversias y paradojas o un nuevo lugar para la buena

enseanza, en La evaluacin de los aprendizajes en el debate didctico contemporneo. Paids, Buenos

Aires.

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La evaluacin formativa requiere elegir momentos y producciones que puedan ser

analizados con el objetivo de recabar informacin acerca del estado de los saberes

de los alumnos.

Por ejemplo, es posible analizar:

---- Qu significados tienen las operaciones en los problemas que inventaron

---- Qu tipo de procedimientos utilizaron para resolver un clculo

---- Qu propiedades de una figura incluyeron al elaborar una adivinanza

---- Qu tipo de argumentos eligieron al comparar dos fracciones

---- Qu propiedades utilizan al justificar un procedimiento de clculo

---- Qu productos tienen memorizados

Evaluacin sumativa

La evaluacin sumativa permite considerar los avances realizados por los alumnos a

partir del conjunto de actividades desplegadas en cada unidad de trabajo en relacin

con los saberes de partida.

Es importante cuidar que en estas evaluaciones se incluya la variedad de tareas que se

han desarrollado en las actividades de la unidad, pues de lo contrario se producira el

efecto no deseado de priorizar algunos saberes por sobre otros. Es aconsejable incluir

tanto actividades de resolucin como de formulacin y de validacin, y todas ellas

ligadas tanto a un proceso de produccin del mismo alumno como al anlisis de la

produccin de otro.

Es importante reflexionar sobre ciertas caractersticas de estas evaluaciones:

Son como una fotografa del proceso de trabajo, en el sentido de que no dan cuenta

de la totalidad de lo aprendido ni de lo enseado, sino que evidencian a los alumnos

algunos saberes sobre los que es necesario reflexionar y reconocer su

disponibilidad.

No existe un instrumento ptimo para evaluar, sino que ste debe confeccionarse

en funcin de la enseanza y del itinerario que hizo ese grupo en particular en

relacin con el contenido.

Es necesario diversificar los instrumentos de evaluacin, ya que un nico

instrumento no permite evaluar todo. Por ejemplo, si pretendemos evaluar cierto

repertorio de clculo mental o clculo estimado, las condiciones de toma deberan

garantizarnos que los chicos no puedan recurrir a otro tipo de clculo.

As como la propuesta de enseanza se basa en la resolucin de problemas y el

trabajo en pequeos grupos, es esperable que en las evaluaciones los alumnos

puedan demostrar sus aptitudes para resolver problemas en los cuales tengan que

reinvertir los contenidos trabajados.

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Y por qu no incluir instancias de trabajo grupal en las evaluaciones? Por ejemplo, es

posible dar cierto tiempo para un intercambio en grupo a partir de un problema, para

luego pasar a un momento de trabajo individual con consignas relacionadas con lo

discutido grupalmente y otras nuevas que promuevan la reflexin personal sobre el

procedimiento utilizado, para aumentar la toma de conciencia acerca de dicho proceso

de reflexin, de las elecciones que se realizan y de los conocimientos matemticos

adquiridos. Otra posibilidad es que en el trabajo individual se resuelva un nuevo

problema que suponga la reinversin de lo discutido antes en grupo.

Tambin se pueden considerar las evaluaciones sumativas como un instrumento que

permite analizar en qu medida la complejizacin de un mismo contenido, visto ao

tras ao, refleja un acuerdo institucional y una adecuacin a los documentos

curriculares.

En una reunin de equipo docente, es posible analizar distintas evaluaciones

sumativas de la institucin, a travs de las siguientes preguntas: Cules son los

contenidos evaluados?, Hay evidencia de secuenciacin en relacin con el

contenido considerado?, En todos los casos se incluyen actividades de resolucin,

formulacin y validacin?

Dos ejemplos

Consideremos la siguiente evaluacin de mitad de ao tomada en 5to grado y un

primer anlisis de los conocimientos que son evaluados en cada tem.

Evaluacin de Matemtica de mitad de ao - 5to grado

1.

Cmo pueden resolverse los siguientes clculos en una calculadora en la que no funcionan

las cuatro teclas siguientes? : 4 9 + -

24 x 9 = 18 x 49 =

8

2.

Resolv cada clculo utilizando la propiedad ms conveniente en cada caso. Luego mencion

qu propiedad usaste.

25 x 16 x 4 = 15 x 28 =

3.

A la estacin de Mar del Plata llega un micro cada 3 horas, que lleva 28 pasajeros sentados.

Cuntos pasajeros llegan por mes?

4.

Si se necesita trasladar 1.452 pasajeros, cuntos micros se van a necesitar?

5.

a) Teniendo en cuenta que estos son dos lados de un rombo, complet la figura usando un

comps y una regla no graduada.

b) Con qu argumento se puede justificar que la figura es un rombo?

Como puede observarse, los saberes que se busca evaluar son:

---- Realizar clculos de multiplicacin y divisin.

---- Usar propiedades de la multiplicacin en la resolucin, e identificar su uso.

---- Usar la multiplicacin en un problema de proporcionalidad.

---- Usar la divisin en un problema de particin que involucre el anlisis del resto.

---- Usar propiedades de los lados y de los ngulos de los rombos para justificar la

construccin.

---- Construir un rombo con un comps y una regla no graduada a partir de un lado y

un ngulo.

Tambin puede observarse que varios tems se refieren a una misma nocin (la

multiplicacin, los paralelogramos) y en cada uno se busca evaluar distintas prcticas

relativas al hacer matemtica; por ejemplo, si los alumnos pueden iniciar una

resolucin en relacin con la situacin planteada, si interpretan la informacin, si

establecen relaciones entre los datos necesarios para iniciar una resolucin, si pueden

poner en juego procedimientos adecuados, si los realizan eficazmente, si pueden

explicar los procedimientos y justificar los resultados, si se comunican utilizando

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lenguaje matemtico y coloquial pertinente, entre otros. Este tipo de anlisis nos lleva

a pensar en la variedad de tareas que deberan incluirse en una evaluacin sumativa.

Si bien durante el proceso de enseanza el docente va reprogramando los contenidos

de acuerdo con las producciones de los alumnos, luego de una evaluacin sumativa

hay diversas propuestas que permiten hacerle al grupo una devolucin de los logros

obtenidos, en funcin de lo observado.

Veamos algunos ejemplos:

---- Retomar alguna de las actividades, mostrar diversas respuestas erradas y

preguntarles a los alumnos organizados en pequeos grupos qu consejo le daran

a un chico que hizo esto. Es importante que esto se realice sin sealar quin

cometi el error.

---- Presentar algunas producciones diferentes y pedir a los alumnos que las analicen y

que luego expliciten cmo habr pensado el compaero que hizo esto.

---- Reproducir las distintas justificaciones dadas en algn tem y transformarlo en un

nuevo problema, que consistir en que los chicos analicen cules de las

justificaciones les parecen ms apropiadas y que expliquen por qu.

Consideremos ahora otro ejemplo: las dos actividades de evaluacin incluidas en la

Secuencia para 4 grado - Suma y resta con nmeros decimales, del material Notas

para la enseanza 2, elaborado por el Equipo de Matemtica del ME-Nacin.

Para seguir el anlisis de estas dos actividades en relacin con las dems, hemos

incluido en la seccin Lecturas Complementarias de esta clase la secuencia completa,

bajo el nombre de archivo Clase 9 .1- Secuencia para 4 grado - Suma y resta con

decimales.

Esta secuencia tiene como propsito que los alumnos logren elaborar y comparar

procedimientos de clculo no algoritmizado de sumas y restas entre expresiones

decimales, focalizando en la construccin de un repertorio bsico de clculos

memorizados y la estimacin de resultados.

El repertorio inicial de clculo comprende expresiones de uso frecuente como 0,25;

0,50 y 0,75, para luego ampliarse incluyendo otros nmeros con dos cifras decimales.

Si bien sera posible usar los mismos procedimientos de clculo para resolver sumas y

restas con nmeros ms grandes o con ms cifras decimales, en esta secuencia se

prioriza la produccin y el anlisis de procedimientos, buscando fortalecer el

repertorio de resultados memorizados y las estrategias de clculo mental, sin avanzar

en el dominio de los algoritmos tradicionales

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ACTIVIDAD 10: MIRAR LO QUE APRENDIMOS

a) Qu actividades te resultaron ms fciles? Qu cuentas sabs hacer usando

decimales?

b) Cules te costaron ms? Por qu penss que te resultaron ms difciles?

c) Cmo hacs para darte cuenta rpidamente cunto le falta o sobra a un nmero con

coma para llegar al entero ms cercano?

d) Si un amigo te pregunta cmo se resuelve una suma (resta) entre nmeros con coma,

qu le diras?

e) Tendras que repasar algo ms para poder resolver cuentas de suma y resta con

nmeros decimales?

ACTIVIDAD 0/11: QU SABEMOS?

1. En la librera

a) Con un billete de $ 5 pagu en la librera $ 3,25. Cunto me dieron de vuelto?

b) Paulina averigu que el pincel que necesita comprar cuesta $ 2,50 y su amiga dice: Yo

lo compr en otra librera a dos pesos con quince centavos.

Quin lo pag ms barato?

Cunto ms barato es en una librera que en la otra?

2. Para resolver

a) Calcular

2,50 + 4,25 + 1,75 = 2,50 + 8,75 + 5 = 5 2,05=

b) Estimar sin hacer la cuenta, indicando entre qu nmeros naturales est el resultado

3,25 + 3,75 + 7,50 = 4,50 + 1,50 + 5,25 = 8,50 2,75=

3. Para explicar

Al resolver 3,5 + 1,65 + 2, tres amigos llegan a distintos resultados.

Marta: 3, 5 Norita: 13,50 Paco: 13,50

1,65 1,65 1,65

2 2 2

6,70 5,17 7,15

Analiz los procedimientos y explic los errores cometidos en cada caso.

4. Para registrar lo que aprendiste

Escrib cmo le explicaras a un amigo qu diferencia hay entre sumar dos nmeros con

coma y sumar dos nmeros sin coma.

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La secuencia contiene 11 actividades y, si las analizamos desde el punto de vista de los

saberes a los que apuntan, veremos que, de la 1 a la 9 estn organizadas en grupos

para diferentes saberes especficos y las actividades 10 y 0/11 apuntan a la evaluacin.

La actividad 10 es de autoevaluacin. Se procura que cada alumno mire su proceso de

aprendizaje, que identifique lo que aprendi y lo que le queda pendiente. En este

sentido, las preguntas apuntan a andamiar esta identificacin y a subrayar aquello

que debe recordar a futuro. Por ltimo, la actividad 0/11 implica un recorrido sobre los

saberes centrales de la secuencia. Como actividad 0, al inicio, permite diagnosticar el

estado de esos saberes en cada alumno y, como actividad 11, permite conocer el

nuevo estado de los saberes para analizar la distancia como los del inicio.

Veamos cmo cada grupo de saberes de la secuencia completa se recupera en al

menos un tem de la evaluacin (Actividad 0/11).

---- En las primeras dos actividades de la secuencia los alumnos resuelven problemas

en los que los nmeros decimales expresan cantidades de dinero. Debern sumar y

restar pesos y centavos con los procedimientos que les parezcan convenientes para

luego debatir sobre ellos y obtener conclusiones acerca de cmo sumar y restar

estos nmeros con hasta dos cifras decimales.

En el primer tem de la evaluacin se ponen en juego estos saberes.

---- Las dos actividades siguientes, que consisten en un juego para sumar nmeros

decimales y preguntas para reflexionar, incluyen un repertorio de nmeros con

cifras decimales 25, 50 y 75, sin el apoyo explcito del dinero. Las conclusiones para

estas dos actividades se relacionan con las estrategias para sumar sumandos cuyos

decimales forman un entero, los que pasan del entero y los que no llegan al

entero, la estimacin del resultado y la relacin entre y 0,50 y entre y 0,25.

Estas sumas estn presentes en el segundo tem.

---- En las dos actividades que siguen los nmeros decimales expresan medidas de

longitud, en el contexto de una construccin de bastidores y medidas de peso para

indicar cantidades de lana. Al considerar la medida de los diferentes cortes de

madera, deben ir sumando trozos para llegar a un cierto nmero o restando los

trozos que se van cortando del total. Por eso, la tarea incluye calcular sumas y

restas de nmeros que deben llegar a un resultado dado. El contexto de medida

permite apoyarse inicialmente en las equivalencias de unidades pero en las

actividades 6 y 7 hay que analizar procedimientos de clculo para sumar y restar

estos nmeros con errores -aquellos que son ms frecuentes en estos aos de la

escuela- y encuadrar resultados entre enteros.

Las conclusiones para este grupo de actividades sern los procedimientos para

calcular sumas y restas con decimales. La comparacin de los procedimientos de

clculo da lugar tanto al anlisis del valor posicional de las cifras como a la

explicitacin de las propiedades de las operaciones y a las equivalencias entre

unidades. En particular se toma el caso de las equivalencias peso-centavos; metro-

centmetros y kilo-gramos.

As, el tercer tem de la actividad 0/11 pide realizar un anlisis de clculos poniendo

en juego las propiedades explicitadas.

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---- Finalmente, la actividad 9 apunta a una revisin de las conclusiones elaboradas en

las actividades anteriores para analizar si son o no vlidas.

A su vez, el tem cuatro de la evaluacin involucra la comunicacin de

procedimientos aprendidos en el transcurso de la secuencia.

La sistematizacin de la informacin obtenida en la evaluacin y las propuestas de re-mediacin2

Los criterios para analizar las producciones de los nios, permiten elaborar tablas para

registrar los avances de cada nio.

Por ejemplo, al considerar qu mirar cuando resuelven un problema, podemos usar

como criterios:

Si identifican y usan los datos adecuados

Si usan un procedimiento que permite arribar a la respuesta correcta.

Si el procedimiento que usan es econmico en relacin con los trabajados en clase

Esto podra sistematizarse en un cuadro como el que figura en la pgina siguiente,

donde aparezcen todos los alumnos y sus logros y dificultades, con un cdigo que

indique, por ejemplo:

---- NR (no responde): No escribe nada

---- PNA (no adecuado): Elige un procedimiento o informacin no adecuada.

---- EP (en proceso): Utiliza informacin y un procedimiento adecuado, pero resuelve

incorrectamente.

---- RA (resolucin adecuada): Utiliza informacin y resuelve mediante algn

procedimiento correcto.

---- PE (procedimiento econmico): Utiliza informacin adecuada y resuelve mediante

el procedimiento ms econmico analizado en clase.

Qu criterios podemos considerar para las formas de calcular?

---- Resuelve utilizando clculos memorizados adecuados con procedimientos

inadecuados.

---- Resuelve utilizando clculos memorizados con procedimientos adecuados.

---- Puede controlar el resultado

---- Realiza estimaciones

2 En el sentido que Panizza (1997) da al trmino en Aproximacin a un anlisis del error desde una concepcin constructivista del aprendizaje, en: Los CBC y la enseanza de la Matemtica. AZ, Buenos

Aires.

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Si el trabajo matemtico en la clase se realiza segn el enfoque planteado, tambin

habr que analizar cmo son los procesos de comunicacin en lenguaje matemtico y

coloquial, y las formas de validacin que utilizan. Por ejemplo:

---- Escribe la respuesta en forma incompleta

---- Usa el vocabulario adecuado

---- Las justificaciones son vlidas, en el marco de lo aceptado en la clase.

El cuadro de registro para el primero de los saberes considerados quedara entonces:

En relacin con la resolucin de un problema NR PNA EP RA PE

Alumno 1

Alumno 2

Con esta ltima organizacin de la informacin, los docentes pueden evaluar cul fue

el desempeo de cada alumno mirando las filas, y lo que ocurri en relacin con el

tem en todo el grado observando las columnas.

En encuentros con docentes, es interesante dar una misma evaluacin y proponer una

discusin sobre los criterios de correccin, sobre el valor asignado a cada tem, y sobre

las propuestas de remediacin para cada dificultad o grupos de dificultades

detectadas.

Segn lo que podamos evaluar, es posible presentar diversas propuestas de

remediacin, adems de la presentacin de un problema similar en otro contexto:

---- Mostrar diversas respuestas para un mismo tem (correctas y erradas), solicitando

a los alumnos que las comparen, encuentren similitudes y diferencias, y formulen

una nueva respuesta que resulte correcta, a juicio del grupo.

---- Mostrar distintas justificaciones correctas para analizar cules les parecen ms

apropiadas y explicar el por qu. Luego se les puede pedir que redacten en

pequeos grupos una nueva justificacin.

ENSEAR A ESTUDIAR: UN DESAFO PARA LOS DOCENTES

Tal como afirmamos en este curso, los alumnos asisten a la institucin escuela con el

fin de aprender, entre otros, los conocimientos matemticos designados en el

curriculum como objetos de enseanza, entendiendo que estos conocimientos

incluyen tambin la forma particular de producirlos y validarlos. Para que esto sea

posible, es fundamental que logren comprometerse en un proceso de estudio.

Siguiendo a Chevallard, sealamos que:

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"El estudio es hoy el eslabn perdido entre una enseanza que parece

querer controlar todo el proceso didctico y un aprendizaje cada vez

ms debilitado por la exigencia de que se produzca como una

consecuencia inmediata, casi instantnea, de la enseanza.

Pretendemos restituir el estudio al lugar que le corresponde: el

corazn del proyecto educativo de nuestra sociedad. (...) Proponemos

considerar la educacin de manera ms amplia como un proyecto de

estudio cuyos principales protagonistas son los alumnos. El profesor

dirige el estudio, el alumno estudia.3

De esta afirmacin consideramos importante retener que la relacin entre la

enseanza y el aprendizaje no es lineal. Si bien como docentes somos responsables de

la enseanza, esto no alcanza para garantizar el aprendizaje sin que cada alumno tenga

la intencin de aprender. Se trata de entonces, a lo largo de la escolaridad primaria de

comprometer gradualmente al alumno como responsable de su propio aprendizaje,

con un trabajo personal, con una posicin activa, ya que sin este proyecto personal es

imposible lograr aprendizajes. Para lograr dicho compromiso es necesario que el

alumno asuma, a medida que avanza en la escolaridad, la necesidad de involucrarse en

un proceso de estudio y que el docente gestione dicho proceso.

En funcin de los conocimientos disponibles de cada alumno, de su posibilidad de

capitalizar lo que ocurre en la clase, los aprendizajes sern diferentes.

Desde esta perspectiva, cabe que nos preguntemos Qu intervenciones pueden

ayudar a organizar a los alumnos en su estudio? Qu actividades puede el docente

proponer en clase para enriquecer las estrategias de estudio que los alumnos puedan

utilizar en la escuela y fuera de ella?

Algunos de las actividades que explicitamos a continuacin pueden, bajo ciertas

condiciones, convertirse en situaciones para orientar el estudio.4

La elaboracin y revisin de la carpeta o cuaderno:

Al mirar atentamente los usos que se hacen de los cuadernos en las escuelas hemos

advertido diferencias significativas.

Algunos docentes pautan lo que los chicos escriben para que quede prolijo y para

que todos tengan lo mismo porque consideran que el cuaderno es uno de los espacios

que le permiten a los padres y directivos evaluar lo que ocurre en el aula. En este

contexto, es importante mostrar, adems de orden, prolijidad, la forma de resolver

la tarea propuesta.

3 Chevallard, Y. et al. (1997), Estudiar Matemticas. El eslabn perdido entre enseanza y aprendizaje.

ICE-HORSORI, Barcelona.

4 La fuente para la elaboracin de estas actividades es el documento Apoyo a los alumnos de primer ao

en los inicios del nivel medio. La formacin de los alumnos como estudiantes. Estudiar Matemtica.

Secretara de Educacin GCBA, Direccin General de Planeamiento, 2000

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Tambin hemos visto que usualmente los docentes al corregir, pueden hacer marcas

en los cuadernos de los alumnos. En algunos casos, marcan con una cruz los errores

esperando que los alumnos los corrijan, o bien pueden sobreescribir la respuesta

correcta. En otros casos, recomiendan revisar lo que hicieron o intercambiar con otro

compaero a fin de que lo ayude a corregir el error. La expectativa en ambos casos, es

que no queden huellas de los errores, que suelen ser eliminados.

En otros casos, el uso y sentido del cuaderno se ha revisado. El cuaderno es un espacio

personal de cada alumno que entra en dilogo con su docente. En esta opcin, la

carpeta o cuaderno se constituye para el alumno en una fuente de informacin sobre

su aprendizaje que le permite reconstruir su historia y su evolucin en relacin con las

nociones y los procedimientos en estudio. En estos cuadernos se ha registrado no slo

la resolucin original que se da al problema planteado, sea sta individual o grupal,

sino tambin formas de explicitacin de los conocimientos matemticos involucrados

en los procedimientos que se utilizan y conclusiones que se extraen al reflexionar

sobre lo realizado. A la hora de estudiar para una evaluacin el alumno no slo

encontrar estas conclusiones sino tambin podr reparar en ciertos errores que antes

produca y ver cmo fueron superados.

Para el docente que pauta la elaboracin de estos cuadernos, resultan una fuente de

informacin sobre los conocimientos matemticos que pone en juego cada alumno. Al

corregirlo, podr evaluar en qu medida se han completado las tareas propuestas, la

originalidad de lo producido, las informaciones que el nio utiliz, las representaciones

que le fueron tiles, la organizacin de la escritura, etc.

Cuando un docente ha elegido esta ltima opcin, ms all de la mirada puntual sobre

cada tema, tendr la posibilidad de hacer una mirada global de cada cuaderno en

cierto perodo para registrar la evolucin de los conocimientos de cada alumno (por

ejemplo, ver si acort un procedimiento de dividir, si modific una forma de

representacin inadecuada, etc.) y armarse un mapa del estado de los

conocimientos del grupo. La devolucin sobre esta mirada global podra hacerse al

conjunto de la clase en forma oral, de modo tal que se haga evidente con mayor

claridad los resultados del trabajo colectivo.

El repaso:

Usualmente, antes de las evaluaciones los docentes suelen destinar unos das a lo que

en la escuela llamamos repaso. A veces toma la forma de un cuadernillo con una serie

de actividades similares a las realizadas en clase. Este repaso puede ser muy

productivo si se toma como un momento de sntesis que permite a los alumnos volver

sobre lo realizado y hacer una mirada conjunta.

El repaso permite entonces, en primer lugar, reutilizar lo aprendido. Por ejemplo,

volver a hacer lo que ya se sabe repitiendo un procedimiento de clculo para otros

nmeros o resolviendo una adivinanza de figuras con propiedades ya conocidas. Para

realizar una mirada conjunta, se pueden incluir preguntas que den lugar a establecer

relaciones entre los diferentes conocimientos trabajados en cada actividad o en cada

grupo de actividades del cuadernillo. Por ejemplo cules de las tablas ya sabs de

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memoria y cules no, o hac una lista de las propiedades que aprendiste y busc un

ejemplo de cada una.

Tambin puede plantearse un repaso invitando a volver sobre las actividades

realizadas en el cuaderno entre dos fechas, con una consigna como miren con qu

procedimientos fueron resolviendo los problemas, si hubo cambios o no anoten un

error y expliquen por qu les parece que est mal y cmo lo corregiran, o bien

anoten con qu instrumentos hicimos cada construccin y qu figura hicimos.

Asimismo se podra repasar revisando los carteles que se fueron elaborando en las

distintas clases y pidiendo que escriban un ejemplo de cada conclusin cuando stas

resulten explicitaciones generales de reglas o propiedades, o busquen ms ejemplos

que cumplan con la misma regla cuando se trate, por ejemplo, de una lista de clculos

con algo en comn.

Otras opciones para organizar el repaso segn los contenidos pueden ser:

---- Armar por grupos unas preguntas para que sus compaeros respondan

---- Pensar qu consejos darle a un compaero para que no cometa determinados

errores.

---- Escribir una ficha machete que podrn tener para usar en una evaluacin.

La evocacin:

Estas actividades pueden funcionar como repaso para una evaluacin, pero su sentido

fundamental es el de ser incluidas como parte de la enseanza, pues fortalecen los

procesos de descontextualizacin y despersonalizacin de los conocimientos,

contribuyendo a su articulacin. Tienen por lo tanto un gran potencial para el grupo en

general y en particular para los llamados cursos flojos.

Marie-Jeanne Perrin Glorien (1993)5, en un trabajo en el que analiza los aprendizajes

de los chicos que presentan irregularidad en el rendimiento, denomina cursos flojos a

aquellos en los que los alumnos evidencian conocimientos difusos, rgidos y sin

organizacin.

Estas caractersticas de los conocimientos se traducen en dificultades para cambiar de

punto de vista, de estrategia, y en una limitada posibilidad de procesamiento de

informacin: si se les presenta gran cantidad de informacin que no encaja en sus

procedimientos adquiridos, se desestabilizan. Estos alumnos frecuentemente pierden

el hilo en los procesos largos porque se desorganizan y no pueden memorizar los

5 Condicionamientos de funcionamiento de los docentes en el colegio secundario: lo que nos ensea el

estudio de cursos flojos de Marie Jeanne Perrin Glorian. Equipo DIDIREM, Universidad Paris 7 Denis

Diderot. Versin mimeo, traducida del artculo Perrin-Glorian, M. J. (1993), Contraintes de

fonctionnement des enseignants au collge: ce que nous apprend ltude de classes faibles, en Petit X,

N 35, pp. 5-40, 1993-1994.

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resultados intermedios. Como consecuencia, priorizan las resoluciones algortmicas

por sobre las que apuntan a la reflexin. Perrin Glorien sostiene que

existe () un divorcio neto entre las situaciones de accin que

apuntan a dar sentido a las nociones enseadas y la

institucionalizacin que luego hace el maestro () como si el saber

institucionalizado por el maestro y descontextualizado estuviera

situado en un registro estanco respecto de los conocimientos

utilizados en la situacin de accin.

Al analizar el motivo de este divorcio, la autora se pregunta qu caractersticas debera

tener la devolucin6 en el trabajo con estos chicos y concluye:

Pienso por mi parte que el proceso de devolucin puede proseguirse

ms all de la accin e incluso ms all de la situacin a-didctica ()

para ciertos alumnos que durante la accin funcionaron de manera no

cientfica, por ejemplo utilizando indicios didcticos o remitindose a

compaeros, hay una posibilidad de devolucin a posteriori mediante

un retorno reflexivo sobre la accin, en el momento de la

institucionalizacin.

Como puede verse, se trata de dar a estos alumnos una nueva ocasin de dar sentido a

las nociones ya institucionalizadas. Por tanto, el momento de institucionalizacin en

cada clase, el retomar las conclusiones del da anterior ante preguntas tales como

Qu aprendimos hoy? Qu conclusiones sacamos ayer? se pueden convertir en

instancias que le permiten a todos los alumnos recapitular y reconocer lo trabajado,

ms all del contexto en el que se trabaj.

En particular, para los alumnos que muestren las dificultades sealadas por Perrin

Glorian, ser fundamental incluir este tipo de situaciones para que realicen como parte

de su proceso de estudio individual.

Estas situaciones llevan a los alumnos a evocar una o varias situaciones ya trabajadas

sobre un tema y a reflexionar sobre ellas, sin realizarlas nuevamente. Apuntan a que

los chicos establezcan relaciones entre lo que hicieron hace algunos das y lo que estn

haciendo en este momento. Por ejemplo, una situacin en la que, luego de una

situacin de accin como un juego, se proponga seguir discutiendo sobre el

conocimiento, independientemente del contexto en el que fue planteada y encontrar

tal vez procedimientos ms econmicos para resolverlas. Es el caso de la actividad 4 de

la secuencia de 4 para sumar y restar decimales, que analizamos ms arriba.

Asimismo, una situacin de evocacin sobre varios problemas en los que un

conocimiento fue utilizado como herramienta tambin permitir sintetizar los

diferentes significados de un mismo concepto, incrementando as su sentido.

6 Recuerde esta nocin presentada en la clase 7 al considerar los roles del maestro en la clase de

resolucin de problemas.

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