1. Clase 20 de Febrero del 2014

Continuidad

f(x) es continua en un punto ”a” si cumple que

1. F debe estar de�nida en x=a.

2. lımx→a

f(x) existe

3. lımx→a

f(x)= f(a)

NOTA: f(x) es continua en el intervalo Aa,b@ si f(x) es continua en todos los puntos del intervalo.f(x) es continua en @a,b) si es continua en (a,b) y además lım

x→a+f(x) = f(a)

de forma similar es continua en (a,bA si es continua en (a,bA si es continua en (a,b) y lımx→b−

f(x) =

f(b)Observación:

Polinomios son continuos en todo <

sen(x), cos(x) son continuas en todo <

Exponenciales son continuas en todo <

Logaritmos son cnotinuos en todo su dominio máximo.

Por ejemplo:

e3x es continua en todo <.

Ln(1-x) es continua en A −∞, 1 @

sen(3x) es continua en todo <.

Propiedades: Si tiene 2 funciones continuas f,g en un punto ”a”. Entonces:

f+g también es continua en ”a”.

f-g también es continua en ”a”.

f•g también es continua en ”a”.

f

ges continua siempre y cuando g(a) 6=0

También si α ∈ <, α•f es continua en ”a”.

Si f es continua es ”a” y h es continua en f(a). Entonces hσf es continua en ”a”.

Ejemplos:

1. e3x√x+ 1 e3x es continuo en <√

x+ 1 es continua @ −1,+∞ @ ⇒ e3x√x+ 1 es continua en @ −1,+∞ @

1

2.√x+xx−1 es un cociente de 2 funciones que son

√x (continua en @ 0,+∞ @) + x (es continuo

en <) y x-1 (continuo en <) así√x+ x es continua en @ 0,+∞ @ ⇒

√x+xx−1 es continua

en @ 0,+∞ @-{1} con posibles problemas en x=1 (incorregible).

3. Determine si

f(x) =

x−1x2−1 si x 6= 1

0 si x = −1

2 si x = 1

Es continua en x=1 y x=-1.

R/ En x=1Para que sea continua en x=1 ocupo que

• F está de�nida en x=1

• lımx→1 f(x) debe existir. En este caso lımx→1 f(x) = lımx→1x−1x2−1 = 1

2 .

• lımx→1 f(x) =1

26= f(1) = 2 Como la tercera condición falló f(x) NO es continua en

x=1.

En x=-1

• f sí está de�nida en x=-1.

• Pero lımx→−1 f(x) = lımx→−1x−1x2−1

−20 Este límite NO existe. La condición 2 falló.

⇒ f no es continua en x=-1

2