Modelo de regresión múltiple

Estimación de modelos no lineales. Sesión 811/marzo/2007

Ampliación del modelo OLS ¿Son los efectos marginales constantes a

medida que estas cambian? ¿La pendiente de la curva de producción es

constante a mayor cantidad de trabajadores? ¿Los el incremento marginal del rendimiento

financiero es el mismo cuando incrementa el riesgo?

¿La respuesta del consumo ante un cambio en el precio es igual para los hombres que para las mujeres?

Las estimaciones no lineales liberan estas restricciones.

Dos métodos para detectar y modelar estimaciones no lineales. Grupo 1: el efecto sobre Yi de un cambio en Xi depende del valor

de que tenga Xi.

Ejemplo: Tamaño de clases y rendimiento de los alumnos.

Grupo 2: el efecto sobre Yi de un cambio en Xi depende del valor de que tenga algún otro Xi.

Ejemplo: tipo de clases que se está llevando.

02

2

≠∂∂XY

021

2

≠∂∂

∂XXY

Ejemplos gráficos de funciones no lineales.

Fuente: Stock y Watson, 2003

Aproximación general a modelos no lineales1. Identificar una posible relación no lineal.

Utilizar la teoría econométrica para invocar aproximaciones no lineales

2. Especificar una función no lineal utilizando parámetros OLS.

Es necesario realizar transformaciones a la variable Xi y/o Y.

3) Determinar si una función no lineal es superior a una lineal.

Buscar evidencia empírica que refleje esta situación.

Aproximación general a modelos no lineales

4) Graficar los valores no lineales de la función.

En la medida de lo posible, graficar los valores

permite ver el grado de ajuste de la regresión.

4) Estimar el efecto en Y de un cambio en X.

Tomar en cuenta que a diferencia de las

estimaciones lineales estos procesos requieren una

mayor complejidad.

Grupo 1

La pendiente de X depende de su valor.

Caso1: Polinomios

Es un tipo de regresión múltiple donde un grupo de variables independientes que corresponden a un mismo Xi están elevados a un grado distinto de uno.

Se describe como un polinomio grado r, donde r es la mayor potencia del modelo estimado.

rki XXXY 1

212110 ... ⋅++⋅+⋅+= ββββ

Grado del polinomio

Polinomios: ¿Qué grado usar?

1. Escoger un r máximo para comenzar: Mientras la serie es más suave el grado

inicial a testear debe ser bajo (4,3 o 2).

2. Encontrar el mejor modelo econométrico: Realizar testeo de pruebas de hipótesis.

Comenzar con el máximo grado y testear si la potencia mayor es significativa.

Si no fuera significativa, realizar la prueba con un grado menor.

Utilizar criterios de información.

Polinomios y sus efectos marginales

01ˆˆ YYY −=∆

rk

rk XXXXXXXXXY )(...)()()(...)()( 1

212111

21211 ⋅++⋅+⋅−∆+⋅++∆+⋅+∆+⋅=∆ ββββββ

rkii XXXXXXYYY )(...)()(ˆ

12

12110 ∆+⋅++∆+⋅+∆+⋅+=∆+= ββββ

Estimación incluye el cambio en xi

Estimación de Y con los valores originales de xi

Notas sobre los efectos marginales:

El valor explicativo de los coeficientes βk es más profundo en estimaciones no lineales.

Requiere de mayor trabajo para conocer estimaciones puntuales.

Caso 2: Logaritmos

Ventajas de los logaritmos: Convierte los cambios en las variables en cambios porcentuales.

Logaritmos contienen propiedades deseables

Utilizar logaritmos naturales (para materia de simplicidad, dará lo

mismo hablar de logaritmos naturales –ln- que logaritmos –log-)

xx

xxx∆≅−∆+ )log()log(

)log()log(

)log()log()/log(

)log()log()log(

)log()/1log(

xax

xaxa

xaxa

xx

a ⋅=−=+=⋅

−=

)log()1()log()log()log( 1 ZXAZXA ⋅−+⋅+=⋅ − ββββ

Linear – Log Model

Logaritmos, caso 1: X está expresada en logaritmos, Y no lo está.

El coeficiente β se interpreta como el efecto marginal de δ cambio porcentual de xi.

iii uxY +⋅+= )log(10 ββ

[ ][ ]

∆⋅≅∆

−∆+⋅=∆+−∆++=∆

xx

Y

xxxY

xxxY

1

1

1010

)log()log(

)log()log(

β

βββββ

Este término es una razón expresada en un intervalo definido entre cero y uno.

Log – Linear Model

Logaritmos, caso 2: Y está expresada en logaritmos, X no lo está.

El coeficiente β se puede interpretar como el cambio porcentual de xi.

iii uXY +⋅+= 10)log( ββ

Este término es una razón expresada en un intervalo definido entre cero y uno.

[ ]

xYY

xY

xxxY

∆⋅=∆∆⋅=∆

⋅+−∆+⋅+=∆

1

1

1010

)log(

)()log(

β

βββββ

Log - log Model (doble log)

Logaritmos, caso 3: Y & X están expresada en logaritmos.

El coeficiente β representa la elasticidad de Y respecto a X.

iii uXY +⋅+= )log()log( 10 ββ

[ ][ ]

Yx

xY

xx

YY

xxxY

xxxY

⋅∆∆=

∆⋅=∆−∆+⋅=∆

⋅+−∆+⋅+=∆

1

1

1

1010

)log()log()log(

)log()log()log(

β

β

βββββ

Grupo 2La pendiente de X1 depende del valor de X2

Caso 1: interacción entre dos variables dummy Considerando el caso básico de una variable

dummy:

Limitación: el efecto de D1 sobre Y es el mismo independientemente del valor de D2.

Para liberar esta restricción se introduce un tercer término:

ii uDDY +⋅+⋅+= 22110 βββ

ii uDDDDY +⋅⋅+⋅+⋅+= )( 21322110 ββββ

¿Cómo interpretar la interacción?

1β 1β

ii uDDDDY +⋅⋅+⋅+⋅+= )( 21322110 ββββ

1,1 21 == DD

3β11 =D

1β

12 =D2β

0,1 21 == DD

1β

0,1 12 == DD

2β

Caso 2: interacción entre una variable dummy y continua Considerando el caso básico de un modelo con

una variable dummy y una continua

Limitación: la pendiente de x1 es independiente de la variable D1.

Para liberar esta restricción se introduce un tercer término:

ii uxDY +⋅+⋅+= 12110 βββ

ii uxDxDY +⋅⋅+⋅+⋅+= )( 11312110 ββββ

Interpretación

Permite un mayor realismo liberar supuestos: Realizar hipótesis de variables continuas con cualidades

distintas.

ii uxDxDY +⋅⋅+⋅+⋅+= )( 11312110 ββββ

132

13210

)(

)(ˆ

xY

xY

i

i

∆⋅+=∆⋅+++=

ββββββ

Si el modelo el lineal, cuando D1=1 el efecto parcial de x1 se resume en la suma de los coeficientes β2 y β3 estimados.

12

120ˆ

xY

xY

i

i

∆⋅=∆⋅+=

βββSi el modelo el lineal, cuando

D1=0 el efecto parcial de x1 se resume en el coeficiente β2 estimado.

Fuente: Stock y Watson, 2003

Posibles interacciones existentes

Fuente: Stock y Watson, 2003

Considerando el caso básico de un modelo con una continua

Al introducir una interacción permite analizar los efectos parciales de x1 en función de x2:

ii uxxY +⋅+⋅+= 22110 βββ

231

21322110 )(

xXY

uxxxxY ii

⋅+=∆∆

+⋅⋅+⋅+⋅+=

ββ

ββββ

Caso 3: interacción entre dos continuas

Ejemplo: suscripciones en librerías

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Estimación de modelos no lineales. Sesión 811/marzo/2007