La Primera Geometría no-Euclidiana

La naturaleza no tan obvia del quinto postulado de Euclides hizo

sospechar a algunas personas de la veracidad del mismo.

Uno de los primeros casos notables es el del matemático Jesuita

Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733), el cual al ver que no había

forma obvia de obtener el quinto postulado de los otros nueve

postulados, optó por cambiar de estrategia y empezó intentando

demostrar la validez del quinto postulado de Euclides usando el truco

más viejo en el costal de trucos de los matemáticos: dada una

proposición que se supone como verdadera, se empieza suponiendo que

la proposición es falsa y se empieza a trabajar con tal suposición en

mente, hasta que invariablemente vamos llegar a un punto en el cual

obtenemos un absurdo (entendiblemente este método es conocido en

lógica como el método de reducción al absurdo), con lo cual queda

demostrado que la proposición no era falsa sino verdadera, ya que por

lógica elemental (desarrollada por un contemporáneo de Euclides,

Aristóteles) no es posible obtener una conclusión falsa partiendo de una

proposición verdadera.

Así, en su intento por reivindicar a Euclides, elaboró un libro

titulado Euclides ab omni naevo vindicatus, que se traduce como

“Euclides liberado de toda falla”, en donde intentó probar el quinto

postulado mediante el recurso de demostrar todas las demás

alternativas como absurdas, para lo cual construyó lo que hoy se conoce

como el “cuadrilátero de Saccheri”:

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Partiendo de una recta GH que constituye la base del cuadrilátero, a la

cual se le agregan dos rectas perpendiculares AB y CD, a través de las

cuales se traza una cuarta línea de modo tal que la longitud de

los brazos del cuadrilátero, las rectas que van de la base hasta

la cumbre, sean iguales. Tras esto, Saccheri formuló tres hipótesis

diferentes acerca de la suma de los ángulos internos del cuadrilátero

(los ángulos m, n, o y p): que la suma de los ángulos era menor que,

igual a, y mayor que cuatro ángulos rectos (360 grados). Si podía

demostrar que la primera y la tercera hipótesis conducían a absurdos

lógicos, entonces habría demostrado que la hipótesis intermedia,

equivalente al quinto postulado pronunciado por Euclides, era la única

geometría consistente, y por lo tanto la única geometría verdadera,

dándose por probado rigurosamente como verdadero el quinto

postulado. Saccheri desechó rápidamente la tercera hipótesis porque

casi de inmediato empezaron a surgir las contradicciones. Sin embargo,

la primera hipótesis no condujo a ningún conflicto lógico, y de hecho

Saccheri pudo demostrar teorema tras teorema usando el nuevo

postulado alterno, construyendo ante su asombro la primera geometría

no-Euclidiana.

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Resulta instructivo reproducir aquí algunos de los razonamientos de

Saccheri que lo llevaron a descubrir una geometría tan válida como la

geometría de Euclides en la cual no se cumplía el quinto postulado.

Empecemos, como lo hizo Saccheri, con un cuadrilátero formado por dos

pares de líneas que se suponen paralelas, en donde hemos designado a

los vértices del cuadrilátero con letras distintas:

Obsérvese que, como punto de partida, hemos supuesto que los ángulos

correspondientes a los vértices A y B son ángulos rectos. Esto siempre

se puede llevar a cabo por construcción, y no requiere de mayor

explicación. Obsérvese, sin embargo, que los ángulos correspondientes

a los vértices C y D se han dejado como interrogantes.

Existen entonces tres posibilidades:

1) Los ángulos en los vértices C y D son iguales ambos a un ángulo recto

(90 grados), lo cual debe ser así si el quinto postulado del paralelismo es

válido.

2) Los ángulos en los vértices C y D ambos son mayores a un ángulo

recto (esta es la hipótesis del ángulo obtuso).

3) Los ángulos en los vértices C y D ambos son menores a un ángulo

recto (esta es la hipótesis del ángulo agudo).

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Sin necesidad de utilizar el quinto postulado, es muy fácil demostrar que

si los ángulos correspondientes a los vértices A y B son ángulos rectos,

entonces los ángulos C y D no pueden ser diferentes, tienen que ser

iguales. Si suponemos el quinto postulado de Euclides como justo,

entonces los ángulos en los vértices C y D tienen que ser ángulos rectos,

es la conclusión a la que se llega aplicando el quinto postulado. Si se

niega que los ángulos correspondientes a los vértices C y D sean

ángulos rectos, entonces se está negando al quinto postulado. Pero si

éstos ángulos no son ángulos rectos, de cualquier modo tienen que ser

iguales, así que ambos tienen que ser obtusos o agudos. Supóngase que

el quinto postulado no se cumple y que ambos ángulos son agudos.

Entonces la situación que tenemos entre manos es la siguiente:

Esta combinación de ángulos internos no es posible en la geometría

Euclidiana, en la cual el quinto postulado requiere que todos los ángulos

sean ángulos rectos.

Pero estamos suponiendo que el quinto postulado no es válido.

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El problema que se le presentó aquí a Saccheri es que, usando

precisamente este cuadrilátero, fue elaborando teorema tras teorema,

siempre buscando algún absurdo. Pero no le fue posible encontrar

ninguno. Acababa de descubrir lo que hoy se conoce como Geometría

Hiperbólica sin darse cuenta de ello. Varios de los teoremas que

descubrió y que rechazó “por absurdos”, son de hecho teoremas

plenamente válidos dentro de la geometría hiperbólica. Incapaz de

comprender y aceptar los alcances de su descubrimiento, tras haber

desechado la tercera hipótesis Saccheri desechó también la primera (la

suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es menor que cuatro

ángulos rectos) ya no sobre argumentos lógicos sino sobre argumentos

teológicos.

A continuación, trataremos de reproducir la forma de pensar de Saccheri

usada por él para la demostración de algunos de los teoremas que

descubrió dentro de su nueva geometría. Se han hecho algunas

modificaciones ligeras para hacer más entendibles los procedimientos,

adaptados a la época presente. Todas las demostraciones se llevarán a

cabo utilizando únicamente una regla (sin graduaciones ni marcas) y un

compás, tal y como lo hacían los geómetras de la antigüedad, y se harán

suponiendo la hipótesis de que los ángulos internos en los vértices de la

cumbre del cuadrilátero son agudos.

Comenzaremos construyendo primero un cuadrilátero de Saccheri.

Levantamos el cuadrilátero empezando con una recta AB, la base del

cuadrilátero, y trazamos en los extremos de la base dos

perpendiculares, las rectas AC y BD, de modo tal que los ángulos

internos en los vértices A y B serán ángulos rectos, haciendo también

con el compás que las rectas AC y BD sean iguales en longitud. Tras

esto, unimos los puntos C y D con una recta, completando el

cuadrilátero:

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Demostraremos ahora el primer teorema de nuestra geometría no-

Euclidiana para este cuadrilátero:

Teorema: Los ángulos en los vértices C y D de la cumbre del

cuadrilátero de Saccheri son iguales.

Demostración: A continuación, trazamos dos diagonales para unir a los

vértices opuestos del cuadrilátero:

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Los triángulos BAC y ABD son congruentes (figuras geométricamente

iguales) por tener dos lados iguales (el lado común AB, y el lado AC igual

al lado BD por construcción) y un ángulo interior (el ángulo recto) igual.

Por ser triángulos congruentes, entonces las rectas AD y BC deben tener

la misma longitud. Este resultado intermedio puede ser expresado como

un teorema: Las diagonales de un cuadrilátero de Saccheri son iguales.

Y esto nos permite hallar dentro del cuadrilátero otros dos triángulos

congruentes, los triángulos ACD y CDB, los cuales son congruentes esta

vez por tener sus tres lados iguales (la misma base común en la recta

CD, el lado AD es igual al lado BC, y el lado AC es igual al lado BD por

construcción). Y si tienen sus tres lados iguales, al ser congruentes

entonces sus ángulos correspondientes en los vértices C y D deben ser

también iguales, lo cual concluye la demostración.

Si los ángulos en los vértices C y D son iguales, como lo acabamos de

demostrar, ¿puede decirse algo más acerca de ellos?. En realidad esto

es todo lo que podemos afirmar acerca de estos ángulos. No sabemos

aún si son ángulos rectos, agudos u obtusos. Aunque resulta fácil ceder

a la tentación de proclamarlos como ángulos rectos, esto no demuestra

que lo sean. De hecho, a menos de que echemos recurso del quinto

postulado de Euclides, no hay forma alguna de demostrar que sean

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ángulos rectos. Si el quinto postulado de Euclides es válido, entonces se

puede demostrar fácilmente que deben ser ángulos rectos. Pero si no

hacemos uso del quinto postulado, entonces nos queda la duda de que

puedan ser ángulos agudos ó ángulos obtusos. Lo único que sabemos es

que deben ser iguales. Trabajemos con el supuesto de que los ángulos

en los vértices C y D sean agudos. Esto implica necesariamente que el

quinto postulado de Euclides debe ser tomado como falso. A partir de

este momento, la geometría Euclidiana se comienza a tambalear ante

nuestros ojos.

La hipótesis de que los ángulos internos en los vértices de la cumbre del

cuadrilátero de Saccheri son agudos, los cuales se acaba de demostrar

que son iguales, sumada al hecho de que los ángulos internos en los

vértices de la base son rectos por construcción, equivale a decir

que dentro de un cuadrilátero de Saccheri la suma de los ángulos

internos es menor que 360 grados (cuatro ángulos rectos). Este

enunciado no es demostrable, del mismo modo que el quinto postulado

de Euclides tampoco lo es. Lo tenemos que aceptar como punto de

partida, como un postulado o axioma.

Trabajando sobre el supuesto de que los ángulos C y D son agudos,

podemos seguir demostrando más teoremas perfectamente válidos

dentro de nuestra primera geometría no-Euclidiana. A continuación

tenemos otro teorema:

Teorema: La línea que une a los puntos medios de la base y la cumbre

del cuadrilátero de Saccheri es una línea que será perpendicular a

ambas rectas.

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Demostración: A continuación, trazamos una recta que une a los

puntos medios del cuadrilátero, los cuales designaremos como E y F.

Ahora del punto E trazamos rectas a los vértices C y D del cuadrilátero.

Nuevamente, tenemos que se forman dos triángulos congruentes. Los

triángulos AEC y BED son congruentes por tener dos lados iguales (por

construcción, el lado AE es igual al lado EB, y el lado AC es igual al lado

BD) y un ángulo recto (el ángulo en el vértice A y el ángulo en el vértice

B son ambos rectos por construcción). Entonces la recta CE es igual a la

recta ED por la relación de congruencia. Pero esto a su vez implica que

tenemos otros dos triángulos congruentes, los triángulos CEF y DEF, al

tener sus tres lados iguales (el lado CF es igual al lado FD por ser el

punto medio de la recta en la cumbre del cuadrilátero). Entonces el

ángulo q debe ser igual al ángulo r, lo cual sólo es posible si ambos son

ángulos rectos. Esto ya nos dice que la línea EF es una perpendicular a

la línea CD. Por otro lado, por la misma congruencia de los triángulos, el

ángulo r debe ser igual al ángulo q, de modo tal que:

o + s = p + t

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Esto solo puede ser posible si ambos miembros de la igualdad son un

ángulo recto. Por lo tanto, la línea EF también es perpendicular a la recta

AB, siendo por lo tanto perpendicular a ambas rectas, lo cual concluye la

demostración.

Este teorema es interesante, porque nos dice que en nuestra geometría

no-Euclidiana siempre será posible trazar una línea que será

perpendicular a ambas "paralelas".

A continuación, tenemos otro teorema para nuestra geometría no-

Euclidiana:

Teorema: Si en un cuadrilátero de Saccheri los brazos del cuadrilátero

son desiguales, también lo serán los ángulos en la cumbre, y viceversa.

Demostración: Sea el cuadrilátero ABCD en el cual se ha trazado la

recta BD con una longitud mayor que la longitud de la recta AC. En el

lado mayor, tómese un punto E tal que el segmento de recta BE sea

igual en longitud al lado AC:

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En el primero de nuestros teoremas, ya habíamos demostrado que los

ángulos en los vértices de la cumbre son iguales. Si aquí las rectas AC y

BE son iguales, entonces por dicho teorema el ángulo ACE será igual al

ángulo CEB:

∡(ACE) = ∡(BEC)

Puesto que la recta CE subdivide al ángulo ACD del cuadrilátero,

necesariamente el ángulo ACD será mayor que el ángulo ACE:

∡(ACD) > ∡(ACE)

Puesto que el ángulo BEC es un ángulo exterior del triángulo CED,

entonces dicho ángulo será mayor que el ángulo BDC:

∡(BEC) > ∡(BDC)

De las tres relaciones obtenemos que el ángulo ACD es mayor que el

ángulo BDC a través de los pasos siguientes:

∡(ACD) > ∡(ACE)

∡(ACD) > ∡(BEC) usando la relación de igualdad

∡(ACD) > ∡(BEC) > ∡(BDC)

∡(ACD) > ∡(BDC)

O sea, los ángulos en la cumbre serán desiguales, por haber sido los

brazos del cuadrilátero desiguales, con lo cual queda demostrado el

teorema.

Usando este último teorema junto con el segundo teorema, estamos en

condiciones de poder demostrar otro teorema interesante:

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Teorema: En un cuadrilátero de Saccheri, la cumbre tiene una longitud

mayor que la base.

Demostración: Para demostrar este teorema, dividimos nuevamente el

cuadrilátero con una perpendicular que una los puntos medios de la

base y la cumbre del cuadrilátero:

Esta línea de hecho divide al cuadrilátero original en dos cuadriláteros

de Saccheri, el cuadrilátero AEFC y el cuadrilátero BEFD. Puesto que los

ángulos en los vértices D y C son agudos, por el teorema que acabamos

de demostrar el lado AC será mayor que el lado EF en el cuadrilátero

AEFC, y el lado BD será mayor que el lado EF en el cuadrilátero BEFD.

Acostando ahora el cuadrilátero AEFC sobre su lado EF, lo cual nos

permite ver el lado EF como una base y los lados AE y CF como los

“brazos” de un cuadrilátero, tenemos que el lado CF es mayor que el

lado AE. Haciendo lo mismo con el otro cuadrilátero, tenemos algo

similar: el lado FD es mayor que el lado EB, lo cual podemos representar

con las relaciones:

CF > AE

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FD > EB

Sumando los miembros respectivos de las desigualdades, tenemos una

nueva desigualdad:

CF + FD > AE + EB

que es lo mismo en la figura que:

CD > AB

O sea que la cumbre del cuadrilátero ¡tiene una longitud mayor que su

base!, como consecuencia directa de la hipótesis de los ángulos agudos

en los vértices C y D. Esta conclusión empieza a parecer absurda y no

concuerda con lo que nos dice nuestra “intuición”, con lo que nos

sugiere nuestra experiencia cotidiana. Sin embargo, todos los pasos que

hemos llevado a cabo están plenamente justificados, no hemos incurrido

en ninguna contradicción lógica, en ningún momento hemos violado las

reglas del juego. Igual que como lo descubrió Saccheri, ante nuestros

ojos se está desenvolviendo una geometría completamente nueva, una

geometría no-Euclidiana, la cual nos obliga a ver las cosas desde una

perspectiva diferente.

Definimos ahora, dentro de la geometría de Saccheri, que si dos líneas

tienen una perpendicular común, como la línea EF mostrada arriba en

el cuadrilátero Saccheri, entonces dichas líneas son paralelas. Resulta

obvio que si dos líneas AB y CD tienen una perpendicular común,

entonces no pueden tener otra perpendicular común más que ésta,

ciertamente no en el cuadrilátero de Saccheri en donde los ángulos

internos en los vértices C y D se han definido como agudos. Esto lo

podemos expresar como un teorema sencillo que acabamos de

demostrar usando las siguientes palabras: Si dos líneas en un

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cuadrilátero de Saccheri tienen una perpendicular común, entonces no

pueden tener una segunda.

La existencia de una perpendicular común ofrece la posibilidad

interesante para poder construir un cuadrilátero de Saccheri modificado

de modo tal que uno de los lados del cuadrilátero sea precisamente esa

perpendicular común. De este modo, tendremos un cuadrilátero en el

que no únicamente dos sino tres de sus tres ángulos internos serán

ángulos rectos como se muestra a continuación:

Este cuadrilátero es mejor conocido como el cuadrilátero de

Lambert por haber sido utilizado en el siglo XVIII por el matemático

Johann Lambert en sus estudios de geometrías no-Euclidianas, aunque

de hecho fue utilizado previamente en el siglo XI por el notable científico

musulmán Ibn al-Haytham, un pionero del método científico moderno.

Aunque con el cuadrilátero Lambert nos es posible tener un cuadrilátero

no-Euclidiano en el que tres ángulos internos son rectos (a diferencia del

cuadrilátero de Saccheri en el que únicamente dos ángulos internos son

rectos), en el cuadrilátero de Lambert los lados verticales del

cuadrilátero AC y BD dejan de ser iguales como lo eran en el

cuadrilátero de Saccheri, con lo cual lo que por una parte se gana por la

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otra parte se pierde. En realidad, el cuadrilátero de Lambert no es más

útil para intentar demostrar el “postulado de las paralelas” de Euclides

que el cuadrilátero de Saccheri, por la simple y sencilla razón de quese

trata de algo que no puede ser demostrado.

Procedamos ahora a probar el siguiente:

Teorema: Dos líneas serán paralelas, con una perpendicular común a

ambas, si existe una recta transversal que corte a dichas líneas de modo

tal que se formen ángulos alternos internos iguales, o ángulos

correspondientes iguales.

Esto se verá demostrando que la suposición de que los ángulos alternos

internos formados por la transversal que corta a dos líneas sean iguales

implica que las rectas atravesadas serán paralelas en el sentido que se

le dá a dicha palabra en la geometría de Saccheri. Primero, tómese las

siguientes líneas AB y CD de modo tal que sean cortadas en los puntos

P y Q por la línea transversal PQ:

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de forma tal que el ángulo m sea igual al ángulo n. Si los

ángulos m y n son ángulos rectos (de 90 grados), entonces la

recta GH debe ser una perpendicular común a las líneas AB y CD, y la

demostración se vuelve trivial. Si los ángulos m y n son ángulos agudos,

seleccionemos el punto M dentro de la recta PQ de modo tal que sea el

punto medio de dicha recta. Sea E la proyección del punto M sobre la

línea AB. En la cumbre del cuadrilátero, en la línea CD, tómese el

punto F a la izquierda del punto Q de modo tal que el segmento QF sea

de igual longitud que el segmento PE. Entonces los

triángulos MEP y MFQ serán congruentes (semejantes iguales) por

tener dos lados iguales y un ángulo igual (los ángulos correspondientes

por los vértices que se tocan en el punto M son iguales). Siendo los

triángulos congruentes, entonces el ángulo QFM deberá ser igual al

ángulo PEM por la misma congruencia (semejanza) de los triángulos.

Siendo el ángulo PEM un ángulo recto por ser el punto E la proyección

(perpendicular) sobre la línea AB del punto M, entonces el

ángulo QFM también debe serlo, y se concluye que la recta EF es la

perpendicular común a ambas líneas AB y CD, con lo cual se concluye

también que los puntos E, M y F forman parte de una misma recta

(son colineales). Entonces la igualdad de los ángulos alternos

internos m y n conduce al resultado de que la recta EMF es una

perpendicular común a ambas rectas AB y CD, lo cual solo puede ocurrir

si ambas son paralelas.

Estamos ya en condiciones de poder deducir, mediante el cuadrilátero

de Saccheri, el siguiente

Teorema: En la geometría basada en el cuadrilátero de Saccheri, la

suma de los ángulos internos de todo triángulo será menor que 180

grados (dos ángulos rectos).

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Haremos la demostración en dos partes. Lo haremos primero para el

caso de los triángulos rectángulos (un triángulo con uno de sus ángulos

internos igual a 90 grados). Considérese el siguiente triángulo

rectángulo ABC inscrito en el cuadrilátero de Saccheri, lo cual supone

que el ángulo interno p en el vértice A es un ángulo recto:

Por tratarse de un cuadrilátero de Saccheri, el ángulo en el vértice C del

cuadrilátero, que es igual a la suma de los ángulos o y n, debe ser

agudo, menor que 90 grados:

(90°) > (o + n)

Por lo que vimos en la demostración anterior, si la línea EF es la

perpendicular común a las paralelas AB y CD, entonces los ángulos

alternos internos m y n deben ser iguales, con lo cual la anterior

desigualdad se convierte en:

(90°) > (o + m)

Sumando ahora el ángulo recto p a ambos miembros de la desigualdad,

se tiene:

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(p + 90°) > (p + o + m)

(90° + 90°)> (p + o + m)

(180°) > (p + o + m)

Esto nos dice claramente que en la geometría de Saccheri, la suma de

los ángulos internos de todo triángulo rectángulo será menor que 180

grados.

Ahora se hará la demostración del teorema para cualquier triángulo en

general que no sea un triángulo rectángulo. Esto se lleva a cabo con el

socorrido truco de dividir un triángulo cualquiera en dos triángulos

rectángulos trazando la altura de uno de los vértices a la base. Tómese

el siguiente triángulo PQR y tiéndase la altura desde el vértice Q hasta

su base de modo tal que la recta QS sea perpendicular a la recta PR:

Al quedar subdividido el triángulo en dos triángulos rectángulos, por lo

que acabamos de demostrar para un triángulo tenemos entonces que

las siguientes desigualdades deben ser ciertas:

(180°) > (m + o + p)

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(180°) > (n + q + r)

Sumando miembro a miembro ambas desigualdades, obtenemos una

nueva desigualdad:

(360°) > (m + o + p + n + q + r)

Pero la suma de los ángulos p y q debe ser 180 grados por ser ambos

parte de una misma recta. Reacomodando y simplificando:

(360°) > (m + o + n + r + 180°)

(180°) > [(m + n) + o + r]

Pero m + n es el ángulo interno del triángulo PQR en el vértice Q. Esto

nos dice que en la geometría de Saccheri la suma de los ángulos de

cualquier triángulo debe ser menor que 180 grados.

Y así como demostramos los teoremas anteriores, podemos seguir

derivando más teoremas. La conclusión de que en esta geometría la

suma de los ángulos internos de todo triángulo siempre será menor que

180 grados, o sea menor que dos ángulos rectos, choca directamente

con el resultado Euclidiano que nos dice que en todo triángulo la suma

de los ángulos internos será siempre igual a dos ángulos rectos. Hoy se

nos hace más fácil digerir todo esto porque nuestro modo de pensar ha

evolucionado y estamos más dispuestos a aceptar ideas que van en

contra de nuestra intuición, como ha ocurrido con la mecánica cuántica,

con el principio de incertidumbre de Heisenberg, con la Teoría de la

Relatividad de Einstein, y con el Teorema de Gödel. Pero en la Edad

Media e inclusive en los tiempos del Renacimiento, esto mismo que

hemos visto hubiera sido visto casi como una herejía.

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Paulatinamente, la imagen que empieza a surgir en la geometría de

Saccheri es la de dos paralelas que tienen una perpendicular común y

que fuera de ella van tomando el siguiente aspecto:

Un observador crítico tal vez podrá objetar de la siguiente manera: “El

trazo de dos paralelas supone que estas son líneas rectas, no líneas

curvas. Al tener dos líneas curvas ya no podemos hablar de rectas

paralelas. Esto hace suponer que el quinto postulado de Euclides sigue

siendo absolutamente válido y no hay otra realidad más que la mostrada

por dicho postulado”. A lo que se le puede responder de la siguiente

manera:

En primer lugar, la curvatura ha sido enormemente exagerada para fines

pedagógicos. Una curvatura mucho menos pronunciada, en términos no

de distancias terrestres sino de distancias astronómicas, parecería

mostrarnos falsamente el aspecto de una línea recta sin serlo. Pero,

efectivamente, la longitud de otra perpendicular trazada desde una de

las “paralelas” que no coincida con la perpendicular común irá

aumentando conforme nos vamos alejando más y más de la

perpendicular común. Sin embargo, esto pierde por completo la

perspectiva detrás de la construcción del cuadrilátero de Saccheri. Para

construir un cuadrilátero de Saccheri, partimos desde una línea AB, la

base del cuadrilátero, trazada de la forma más “recta” que nos sea

posible concebir (tal vez usando un rayo láser) sin el menor indicio de

20

curvatura alguna, haciendo el supuesto de que los ángulos en la base

del cuadrilátero son ángulos rectos y los ángulos en la cumbre son

agudos. Para el geómetra que está “abajo”, su visión de lo que ocurre es

la siguiente:

Sin embargo, para un geómetra que viva “arriba” y que trace su

cuadrilátero Saccheri de arriba hacia abajo, partiendo de la recta “más

recta” que le sea posible trazar para la base de su cuadrilátero, quizá

con la ayuda de un rayo láser, su visión de lo que ocurre será la

siguiente:

Así, cada uno de ellos jurará por lo que les sea más sagrado que la base

de su cuadrilátero Saccheri es totalmente recta mientras que la cumbre

en el cuadrilátero “del otro” es la que manifiesta una curvatura que hace

los ángulos internos en la cumbre agudos, algo que supuestamente

dejará perplejos a ambos cuando intercambien notas. Pero ambos

quedarán aún más estupefactos cuando alguien capaz de saltar fuera de

tan peculiar universo viéndolos “desde arriba” (nosotros) les diga que

las rectas de ambos exhiben una curvatura. Para empeorar las cosas,

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nadie ha venido desde el extremo límite del Universo, situado allá en el

infinito, para decirnos cómo se comporta el espacio en tal región. Quizá

allá la única geometría válida es la de Saccheri, llevada al extremo.

Si suponemos la base del cuadrilátero de Saccheri como una línea

perfectamente recta, entonces resulta ahora más que obvio que por un

punto exterior P a una recta dada es posible trazar una cantidad infinita

de paralelas a la recta dada, todas las cuales tendrán su perpendicular

común en el mismo punto externo P, como lo muestra la siguiente figura

en la cual se han trazado tres rectas paralelas que pasan por el punto P:

La diferencia entre la suma de los ángulos internos de un triángulo y 180

grados es lo que comúnmente se conoce como el defecto de un

triángulo, lo cual se representará aquí con la letra griega delta (δ), y es

una cantidad importante para poder llevar a cabo mediciones

relacionadas con un triángulo, relaciones que posteriormente se verá en

el Capítulo IV de esta bitácora que tienen que ver con el área de un

triángulo definida dentro de este tipo de geometría.

La definición del “defecto” de un triángulo (esto de ninguna manera

implica que algo en nuestra nueva geometría o en el triángulo sea

defectuoso, hay que tomarlo como un uso completamente nuevo de la

palabra sin connotación de falla alguna) nos permite establecer otro

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Teorema: El defecto δ de un triángulo es igual a la suma de los

defectos de los dos subtriángulos que resultan del trazo de una

transversal simple dentro del triángulo.

Para demostrar esto, considérese el siguiente triángulo ABC, subdividido

en dos subtriángulos por la recta que parte del vértice en el

punto C hasta llegar al punto D:

Por la definición del defecto de un triángulo, los defectos de cada uno de

los dos subtriángulos estarán dados por las siguientes relaciones:

δ(ADC) = 180 - (m + o + p)

δ(BCD) = 180 - (n + q + r)

Sumando ambas expresiones miembro a miembro y agrupando:

δ(ADC) + δ(BCD) = 360 -[m + o + (p + q) + n + r]

Pero la suma de los ángulos p y q será 180 grados por ser ángulos

suplementarios sobre la misma recta, y el ángulo en el vértice C es igual

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a la suma de los ángulos m y n. Simplificando lo anterior con estos

hechos, todo se reduce a:

δ(ADC) + δ(BCD) = 360 - 180 - [(m + n) + o + r]

δ(ADC) + δ(BCD) = 180 - [∡(C) + o + r]

δ(ADC) + δ(BCD) = δ(ABC)

Y el teorema queda demostrado.

Esta propiedad aditiva resulta ser posteriormente de mucha utilidad

cuando se trata de definir el concepto del área contenida en el interior

de un triángulo Saccheriano.

De haber promocionado Saccheri sus descubrimientos, posiblemente a

la larga habría obtenido fama imperecedera como un matemático

revolucionario. El problema es que en los tiempos en los que vivía

Saccheri no era tan fácil el tratar de cuestionar la geometría

desarrollada por Euclides, no era tan fácil desafiarla como la única

geometría posible. Euclides era tenido en tan alta estima de autoridad

por los clásicos de aquél entonces, que cuestionarlo era considerado

casi como una herejía. Y lo que había encontrado Saccheri no sólo

derrumbaba a la geometría euclidiana como la única geometría posible,

sino que traía aparejados un conjunto de nuevos teoremas que entraban

directamente en conflicto con los teoremas demostrados por Euclides.

Estamos hablando de algo capaz de parar a la geometría Euclidiana de

cabeza. Y lo que había encontrado Saccheri era una geometría

completamente nueva, consistente, sin contradicciones.

Con todo, Saccheri no fue el único que no se atrevió a reconocer la

magnitud de su descubrimiento y mucho menos a desafiar algo

establecido y aceptado como verdad única hace cientos de años. Nadie

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menos que el matemático alemán Carl Gauss (1777-1855), el príncipe

de las matemáticas, se topó también con el hecho de que el quinto

postulado de Euclides no era una verdad absoluta como muchos

suponían; podía ser reemplazado por una suposición alterna, tras lo cual

se podía construir toda una nueva geometría perfectamente consistente,

sin contradicciones, con sus propios teoremas. Gauss llegó a estas

conclusiones siguiendo un camino totalmente diferente. Uno de los más

importantes contribuyentes a la geometría diferencial, descubrió el

teorema de que la “curvatura” de una superficie no-planar estaba

relacionada a la métrica usada para medir dicha curvatura

(la métrica se define como la expresión matemática usada para medir la

distancia entre dos puntos cualesquiera sobre una superficie, y si la

superficie no es plana, entonces la línea más corta trazada sobre dicha

superficie de un punto a otro recibe un nombre más elaborado: la

geodésica. Gauss logró demostrar, en su Theorema Egregium, que la

curvatura de una superficie es independiente del espacio dentro del cual

existe esa superficie, siendo esto una propiedad intrínseca a la suma de

los ángulos internos de un triángulo construido sobre dicha superficie, lo

cual conducía directamente a la conclusión lógica de que no sólo la

suma de los ángulos internos de un triángulo construido sobre una

superficie determinaba podía ser diferente de los 180 grados que

obtenía la geometría Euclidiana, sino inclusive dicha suma podía ser

utilizada para calcular la curvatura de la superficie. En otras palabras,

para poder determinar la curvatura de la superficie de la Tierra, no es

necesario llevar a cabo una medición externa; basta con trazar con

mucho cuidado un triángulo grande sobre dicha superficie, y sumando

los ángulos internos podemos saber si la Tierra es “plana” como lo

suponían muchos contemporáneos de Cristóbal Colón (en cuyo caso la

medición arrojaría 180 grados) o podemos saber si la superficie de la

Tierra es una superficie curva. Y se repite que para obtener esta

información no es necesario salir fuera del triángulo, basta con medir los

ángulos interiores del triángulo, los cuales son una

propiedad intrínseca de dicha figura geométrica.

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Antes que Gauss, Johann Heinrich Lambert (1728-1777) quien ya fue

mencionado previamente con motivo del cuadrilátero de Lambert se

había acercado nuevamente a la construcción de geometrías no-

Euclidianas en su libro “Teoría de las líneas paralelas” publicado en

1776. Usando una metodología similar a la de Saccheri, descubrió que

las tres hipótesis de Saccheri eran equivalentes a la afirmación de que la

suma de los ángulos internos de un triángulo puede ser igual, mayor o

menor que dos ángulos rectos (180 grados); y demostró también que

la geometría esférica era similar al tercer caso, especulando que la

primera geometría pudiera corresponder a una geometría trazada sobre

una esfera con radio imaginario (en donde la base unitaria es la raíz

cuadrada del número negativo 1, o sea -1, denotada en matemáticas

como i). Reemplazando un radio real por un radio imaginario condujo a

lo que se puede considerar como la primera geometría hiperbólica en la

cual las fórmulas trigonométricas usuales del seno(x) y del coseno(x)

son reemplazadas por el seno hiperbólico ó senh(x) y el coseno

hiperbólico ó cosh(x). Entonces surge una duda: ¿por qué razón una de

las hipótesis alternas de Saccheri lo condujo a contradicciones lógicas?

La respuesta resulta ser mucho más sencilla de lo que parece. Para que

en esa “geometría alterna” Saccheri no llegara a contradicciones, no

bastaba con modificar el postulado de las paralelas; había que modificar

también el segundo postulado que nos dice que una línea se puede

extender infinitamente en ambas direcciones, el cual no consideraba la

posibilidad de que una recta extendida hacia el infinito en uno de sus

lados pudiera regresar por una curvatura del espacio del Universo al

punto de partida, en cuyo caso tendríamos no una línea abierta sino una

línea cerrada.

Gauss, al igual que Saccheri, se dio cuenta del riesgo que corría si

publicaba sus descubrimientos. Además del enorme escándalo que

seguramente suscitaría al parar a la geometría euclidiana de cabeza, se

exponía al ridículo público de aquellos que no quisieran comprender la

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magnitud de su descubrimiento (a los cuales llamó “beocios”). Es por

esto que Gauss prefirió callar y conservar su bien ganada reputación.

Fue hasta su muerte cuando al hurgar entre sus papeles se encontraron

los manuscritos con los que se comprobó que Gauss, por la vía de la

geometría diferencial, había confirmado sus anteriores descubrimientos

de una geometría diferente a la geometría Euclidiana. Sin embargo,

pese a su enorme estatura, no se le dá a Gauss el crédito que merece

por dicho descubrimiento porque en la ciencia el crédito va no para

quien descubre algo por vez primera sino para aquél que publica los

resultados de su descubrimiento primero (es por esto que la paternidad

de la invención del cálculo diferencial e integral siempre fue motivo de

agrias discusiones y reclamos entre las dos personas que reclamaron

hasta el final de sus días el mérito de haber sido el primero en

desarrollarlo, por un lado Sir Isaac Newton, y por el otro lado Gottfried

Leibniz).

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