1. Clase 18 de Febrero del 2014

Límites al in�nito

Se encargan de analizar el comportamiento de f(x) para valores de 'x' muy grandes o muypequeños. Usualmente se escriben: lım

x→+∞f(x) lım

x→−∞f(x)

NOTA: Si ven esto lımx→+∞

f(x) = +∞ dice que para valores de 'x' muy grandes f(x) crece

inde�nidamente. Si fuera lımx→+∞

f(x) = −∞ esto dice que para valores de 'x' grandes f(x) decrece

inde�nidamente. Algo similar ocurre si fuera lımx→−∞

f(x) = +∞ ó lımx→−∞

f(x) = −∞Si fuera

lımx→+∞

f(x) = ` estto signi�ca que para valores de 'x' muy grandes f(x) se acerca a `.

Algunos ejemplos son:

1. lımx→−∞

(k

x

)= 0

2. lımx→+∞

(2x3 − x + 1

x3 + 2x2 − x

)= lım

x→+∞

��(x3)(2−(

1

x2

)+

(1

x3

))

��(x3)(1 +

(2

x

)−(

1

x2

))

= lımx→+∞

2−(

1

x2

)+

(1

x3

)1 +

(2

x

)−(

1

x2

) =

(2− 0 + 0

1 + 0− 0

)=

(2

1

)= 2

3. lımx→−∞

(3√

2x3 − x + 1√3x2 + 2x

)

= lımx→−∞

3

√x3(2−

(1

x2

)+

(1

x3

))√

x2(3 +

(2

x

))

= lımx→−∞

x 3

√2−

(1

x2

)+

(1

x3

)

−x

√3 +

(2

x

) =

(− 3√

2√3

)

NOTA: Para límites del tipo: lımx→±∞

(polinomio1

polinomio2

)Se cumple que:

1

• Si grado (Polinomio 1)<grado(polinomio 2) el límite da 0.

• Si grado (Polinomio 1)=grado(polinomio 2) el límite da

(coeficienteprincipalpolinomio1

coeficienteprincipalpolinomio2

)

• Si grado (Polinomio 1)>grado(polinomio 2) el límite da ∞ (puede ser + ó - depende).

Algunas de�niciones importantes:

Asíntota vertical: una recta x=a es una asíntota vertical de f(x) si

lımx→a+

f(x) = ±∞ ó lımx→a−

f(x) = ±∞

NOTA: En una división las asíntotas verticales se buscan entre aquellos puntos donde eldenominador de 0.

Asíntota horizontal: una recta y= ` es una asíntota horizontal de f(x) si

lımx→+∞

f(x) = ` ó lımx→−∞

f(x) = `

NOTA: Las asíntotas horizontales se buscan calculando límites al in�nito.

Asíntota oblicua; una recta y= mx+b es una asíntota oblicua de f(x) si

lımx→+∞

(f(x)− (mx + b)) = 0 ó lımx→−∞

(f(x)− (mx + b)) = 0

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