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-
INGENIERA ANTISSMICA Dr. R. Snchez
DESCOMPOSICIN MODAL
-
DESCOMPOSICIN MODAL
CONDICIN DE ORTOGONALIDAD:
Dr. R. Snchez
{ } [ ]{ } { } [ ]{ } 0T Ti j i jX K X X M X= =
-
Dr. R. SnchezDESCOMPOSICIN MODAL
[ ]{ } [ ]{ } { } ( )M u K u F f t+ =
{ } { } { } { }( )1
2
1 1 1 2 2
( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
n n
n
u tu t
u u t a t X a t X a t X
u t
= = + + +
"#
Formas de modo
Desplazamiento
Ec. de movimiento
{ } { }( )i ii
u a t X=
-
Dr. R. SnchezDESCOMPOSICIN MODAL
[ ]{ } [ ]{ } { }1 1
( ) ( ) ( )n n
i i i iM X a t K X a t F f t+ = Reemplazando la aceleracin y el desplazamiento:
{ } { }( )i ii
u a t X={ } { }( )i i
iu a t X=
desplazamiento
aceleracin
[ ]{ } [ ]{ } { }( )1 1
( ) ( ) ( )n n
T Tj i i i i jX M X a t K X a t X F f t + =
-
Dr. R. SnchezDESCOMPOSICIN MODAL
Condiciones de ortogonalidad:
[ ]{ }[ ]{ }
00
Tj iTj i
X M Xi j
X K X= =
[ ]{ } [ ]{ } { }1 1
( ) ( ) ( )
1,2, ,
n nT T Tj i i j i i jX M X a t X K X a t X F f t
j n
+ ==
[ ]{ }[ ]{ }
00
Ti iTi i
X M Xi j
X K X= ==
[ ]{ } [ ]{ } { }( ) ( ) ( )1,2, ,
T T Ti i i i i i jX M X a t X K X a t X F f t
i n+ =
=
Slo es diferente de cero cuando j=i:
-
Dr. R. SnchezDESCOMPOSICIN MODAL
[ ]{ } [ ]{ } { }( ) ( ) ( )T T Ti i i i i i jX M X a t X K X a t X F f t+ =Slo es diferente de cero cuando j=i:
( ) ( ) ( )e i e i eM a t K a t F f t+ =n ecuaciones de un gdl:
[ ]{ }[ ]{ }
{ }[ ]{ }( ) ( ) ( )TTji i
i iT Ti i i i
X FX K Xa t a t f t
X M X X M X+ =
2i i
-
Dr. R. SnchezDESCOMPOSICIN MODAL
2ii
Frecuencias circulares
Factor de participacin esttica
2( ) ( ) ( )i i i ia t a t f t+ = Ecuaciones modales de movimiento
-
Ejemplo:
K
K
K
M
M
M
Dr. R. SnchezDESCOMPOSICIN MODAL
1 0.445KM
=
2 1.247KM
=
3 1.802KM
=
{ }10.4450.8021
X =
{ }21.2470.5551
X =
{ }31.8022.2471
X =
{ } 111
FF F
F
=
-
Clculo de los factores de participacin esttica:
Dr. R. Snchez
{ } { }{ } { }{ }
( )
11
1 1
1
1
11 2 2 2 2
1
1 11
0.445 0.802 1
0.445 0.802 1
2.247 1.2211.841
T
T
j j
X FX M X
FFF
M X M M M
F FM M
=
== + +
= =
DESCOMPOSICIN MODAL
1
0.802
0.445
-
Clculo de los factores de participacin esttica:
Dr. R. Snchez
{ } { }{ } { }{ }
( )
22
2 2
1
1
12 2 2 2 2
2
1 12
1.247 0.555 1
1.247 0.555 1
0.802 0.2802.863
T
T
j j
X FX M X
FFF
M X M M M
F FM M
=
== + +
= =
DESCOMPOSICIN MODAL
1
0.555
1.247
-
Clculo de los factores de participacin esttica:
Dr. R. Snchez
{ } { }{ } { }{ }
( )
33
3 3
1
1
13 2 2 2 2
3
1 13
1.802 2.247 1
1.802 2.247 1
0.555 0.0609.296
T
T
j j
X FX M X
FFF
M X M M M
F FM M
=
== + +
= =
DESCOMPOSICIN MODAL
1
2.247
1.802
-
Ecuaciones modales de movimiento:
Dr. R. Snchez
( )2
1 1 1 1
11 1
( ) ( ) ( )
( ) 0.198 ( ) 1.221 ( ) 1
a t a t f tFKa t a t f t
M M
+ = + =
1 Modo:
2 Modo:
( )2
3 3 3 3
13 3
( ) ( ) ( )
( ) 3.247 ( ) 0.060 ( ) 3
a t a t f tFKa t a t f t
M M
+ = + =
3 Modo:
( )2
2 2 2 2
12 2
( ) ( ) ( )
( ) 1.555 ( ) 0.280 ( ) 2
a t a t f tFKa t a t f t
M M
+ = + =
DESCOMPOSICIN MODAL
-
Si:
Dr. R. Snchez
( ) 1f t =( )( )21 1 1 1 1 1 12
1
1( ) ( ) 1 ( ) 1 cosa t a t a t t + = =
( )( ) ( )( )1
2
( ) ( )1( ) 1 cos 1 cos
Mu t Ku t FF Fu t t tK M
+ = = =
Recordando:
DESCOMPOSICIN MODAL
-
Solucin de las ecuaciones modales de movimiento:
Dr. R. Snchez
11
1( ) 1.221 1 cos 0.4450.198
F M Ka t tM K M
=
1 Modo:
2 Modo:
13
1( ) 0.060 1 cos 1.8023.247
F M Ka t tM K M
= 3 Modo:
12
1( ) 0.280 1 cos 1.2471.555
F M Ka t tM K M
=
DESCOMPOSICIN MODAL
-
Solucin de las ecuaciones modales de movimiento:
Dr. R. Snchez
11( ) 6.167 1 cos 0.445
F Ka t tK M =
1 Modo:
2 Modo:
13 ( ) 0.018 1 cos 1.802
F Ka t tK M =
3 Modo:
12 ( ) 0.180 1 cos 1.247
F Ka t tK M =
DESCOMPOSICIN MODAL
-
Clculo de desplazamientos:
Dr. R. Snchez
( ) ( ) ( )1 1,1 1,2 1,32 1 2,1 2 2,2 3 2,33 3,1 3,2 3,3
( )( )( )
u t X X Xu t a t X a t X a t Xu t X X X
= + +
{ } { }( )i ii
u a t X=
[ ] [ ] [ ]1 1 1 123
( ) 0.445 1.247 1.802( ) 6.167 0.802 0.180 0.555 0.018 2.247( ) 1 1 1
u tF F Fu tK K K
u t
= + " " "
DESCOMPOSICIN MODAL
-
Clculo de desplazamientos:
Dr. R. Snchez
{ } { }( )i ii
u a t X=[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
11 1 1
2
3
1 1 11
1 1 12
13
( ) 2.744 0.224 0.033( ) 4.946 0.099 0.040( ) 6.167 0.180 0.018
( ) 2.744 0.224 0.033
( ) 4.946 0.099 0.040
( ) 6.167
u tF F Fu tK K K
u tF F Fu tK K KF F Fu tK K KFu t
= + + = + +
= +
=
" " "
" " "
" " "
[ ] [ ] [ ]1 10.180 0.018F FK K K
+" " "
DESCOMPOSICIN MODAL
-
Dr. R. SnchezDESCOMPOSICIN MODAL
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t (s)
d
e
s
p
l
a
z
a
m
i
e
n
t
o
1
p
i
s
o
/
(
F
/
K
)
1 modo2 modo3 modoTOTAL