clase 5 - impulso y cantidad de movimiento
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Clase 5 de la Teoría de Fisica ITRANSCRIPT
Cantidad de movimiento lineal y colisiones
Clase 5
A los conceptos ya estudiados para una partícula,vamos a generalizar para un sistema de partículas.
Fuerzas Externas: fuerzas actuantes sobrelas partículas debido a fuentes externas al sistema.
Fuerzas Internas: fuerzas actuantes sobre unapartícula debido a las demás partículas quecomponen el sistema.
Cantidad de Movimiento Lineal – Momento Lineal
Cantidad de Movimiento Lineal – Momento Lineal
Al producto de la masa de un cuerpo por su velocidad se lo denomina cantidad de movimiento lineal
y se lo designa con la letra p.
[p] = Kg m / s
La cantidad de movimiento lineal es una magnitud vectorialy tiene la misma dirección y sentido de la velocidad.
Por lo tanto puede ser expresada por sus componentes de la forma:
px = m vx py = m vy pz = m vz
mp v
Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal
De aquí se obtiene que:
Si la fuerza externa resultante sobre un sistema es nula, la
cantidad de movimiento lineal total del sistema se conserva.
Total 1 2p p p cons tante
La cantidad de movimiento lineal total del sistemase conserva, no necesariamente el de cada partícula.
m1
m2
Para dos partículas que interactúan se cumple que:
111P vm
22 vm2P0Ptotal
La conservación de la cantidad de movimiento lineal total del sistema ( 2 partículas) puede ser expresada matemáticamente de varias formas:
Se conserva en cada dirección en forma independiente
px i-total = pxf-total pyi-total = pyf-total pzi-total = pzf-total
Puede ser aplicado a sistemas de varias partículas
total 1 2p = p + p = constante
constante....P 321total PPP
A
Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal
2final1finalinicial2inical1 PPpp
Ejemplo de conservación de la cantidad de movimiento lineal
Un arquero está parado sobre hielo(superficie sin rozamiento).¿Que sucede después de lanzar la flecha?
Análisis:
Con la segunda ley de Newton No, porque no hay información de la Fuerza ni de la aceleración.
Con el teorema Trabajo-Energía No, porque no hay información de los trabajos o energías.
Con la conservación de la cantidad de movimiento lineal Si
Considerando 1: hombre y arco2: flecha
Como No actuan Fuerzas Externas al sistema :
Además
La cantidad de movimiento lineal total del sistema antes arrojar la flecha es cero:
La cantidad de movimiento lineal total del sistema después arrojar la flecha también es cero:
1i 2i 1f 2fp + p = p + p1i 2i 0v v
1 2
1 21 2
p pf f
f fm v m v
Ejemplo:
1f 2f0 = p + p
La velocidad de la flecha negativa indica que se dirige en dirección contraria alarquero y con un valor mayor, ya que su masa es mucho menor.
v2fv1f
Impulso AA partirr dee laa segundaa leyy dee Newtonn see puedee relacionar laAA partirp rcantidad
dededde
aa segundas ggggg allmovimiento
yeyyyyyyy dedlellineal
NewNee Nde
wtonewuna
sese puedepnnpartícula
relacreecon
cionacla
nar laonfuerzacantidad
resultantee movimiemded
eee actuandoentomie
oo sobreneallin
ee ellaeallala:
[I] = N/s = Kgm / s
Integrando para encontrar el cambio de la cantidad de movimientolineal durante un intervalo de tiempo para una Fuerza que no esconstate
La integral se llama el impulso de una fuerza, , actuando sobre un objeto durante un t
f
i
t
f i tdtp p p F I
p Fd dt I
I
d md dm mdt dt dt
vv pF a
El Impulso es una magnitud vectorial.
El módulo del impulso es igual al área bajo la curva defuerza vs tiempo.
El Impulso no es una propiedad de la partícula, pero es una medidadel cambio en la cantidad de movimiento de la partícula.
Impulso
•El impulso se puede escribir como:
donde Fm es la fuerza promedio durante el intervalo.
• La fuerza F que actúa en untiempo muy corto, y se llamafuerza de impulso.
Área = Fm t
ti tf
t
F
Fm
mI F t
Impulso
Se puede ver que la interacción de la fuerza con el objeto es algo compleja, es útil definir:
Impulso
mI F tPor ejemplo:
Los airbags tienen la función de aumentar el tiempo de acción ( t) de la F deacuerdo a la ecuación Fm disminuye y por lo tanto el daño a causa del choque es menor.
EjemploUna pelota de golf de 50 g inicialmente en reposo es golpeada por un palo de golf y ésta alcanza una distancia de 200m, calcule el impulso aplicado por el palo, suponga la velocidad inicial 44 m/s.
Ipelota = ppelota = pfinal – pinicial =
Si el tiempo de contacto en B dura 4.5 x 10–4 sla fuerza es: F = I/ t = 4900 N
En la mayoría de los casos, la fuerza actúa durante un tiempo pequeño sobre lapartícula, por eso F es muy grande comparada con otras fuerzas presentes.
A B C
vB = 44 m/svA = 0 m/s
m vB – m vA = (0,050)(44 - 0) = 2,2 kg m/s
Colisiones o Choques – Características
Llamamos colisión a la interacción de dos (o más) cuerposmediante una fuerza impulsiva. Si m1 y m2 son las masas de loscuerpos, entonces la conservación de la cantidad de movimientoestablece que:
m1v1 + m2v2 = m1 u1 + m2 u2
Debe involucrar un contacto físico, pero puede ser generalizadoincluyendo casos en donde no existe con contacto físico.
El intervalo de tiempo durante el cual las velocidades cambiandesde el valor inicial hasta el final, se asume muy corto.
Las fuerzas de interacción se las considera mucho mayor quecualquier fuerza externa presente.
2final1finalinicial2inical1 PPpp
Colisiones Las colisiones pueden ser el resultadodel contacto directo (a).
La fuerza del impulso varía en el tiempode forma complicada.
Esta fuerza es interna del sistema.
La cantidad del movimiento linealse conserva.
Hay colisiones que no necesitan contactofísico entre las partículas (b).
por ejemplo: fuerzas eléctricas entre ellas.
Este tipo de colisiones pueden analizarse en lamisma forma que las (a).
112
dpFdt
221
dpFdt
12 21F F
De la tercera ley de Newton, tenemos que:
Fuerzas de interacción
Consideraremos colisiones en una dimensión.Las colisiones se clasifican en:
Semielásticas o Semplásticas: cuando parte dela energía cinética total se transforma en energía norecuperable (calor, deformación, sonido, etc.).
Inelásticas o Plásticas: cuando los objetospermanecen juntos después de la colisión,perdiendo parte de la energía cinética total.
u1 = u2
Clasificación de las colisiones
En todos los casos la cantidad de movimiento lineal del sistema se conserva
2 2 2 21 1 1 11 1 2 2 1 1 2 22 2 2 2m v m v m u m u
totalftotali EcEc v= veloc. inicial antes del choqueu= veloc. final después del choque
Qtotalftotali EcEc
Elásticas: cuando se conserva la energía cinética total, es decir:
En colisiones elásticas se conserva:la cantidad de movimiento lineal del sistema.
Es fácil mostrar que a partir de lo anterior:
si m1 = m2
m1 m2
v1 v2u2u1
Antes de la colisión Después de la colisión
Colisiones elásticas
1 1 2 2v u v u
2 2 2 21 1 1 11 1 2 2 1 1 2 22 2 2 2m v m v m u m u
1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m u m u
y la energía cinética total
v1 – v2 = -u1 + u2
v1 + u1 = v2 + u2
A
Para colisiones inelásticas se cumple:
m v m vu u um m
1 1 2 21 2
1 2
Si m2 está inicialmente en reposo, entonces: v2 =0
m vum m
1 1
1 2
Si v2 = v1 , entonces:
Y si en este caso m1= m2, entonces: u = 0
m mu vm m
1 21
1 2
Colisiones inelásticas
m1
v1
m2
v2
m1+m2
u
1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m u m u
Antes de la colisión Después de la colisión
A
Qtotalftotali EcEc
Colisiones en dos dimensiones
Para el caso de dos dimensiones la conservación de la cantidad de movimiento se expresa para cada componente como:
Eje x: m1v1x + m2v2x = m1u1x + m2u2x
Eje y: m1v1y + m2v2y = m1u1y + m2u2y
m1
m2
v1
u2
u1
Antes de la colisión Después de la colisión
v2
1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m u m u
Si m2 está en reposo v2 = 0. Después del choque, m1 se mueve a un ángulo con la horizontal y m2 se mueve a un ángulo con la horizontal. reemplazando:
P sistema antes = P sistema después
En eje x: m1v1 = m1u1cos + m2u2cos
En eje y: 0 = m1u1 sen - m2u2sen
Si el choque es perfectamente élastico, la ley de la conservación de la energía también se cumple de acuerdo a la ecuación:
m1
m2
v1
u2
u1
Antes de la colisión
Después de la colisión
2222
12112
12112
1 umumvm
Por ejemplo:
A
v1
v2
u
Colisiones en dos dimensiones
Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento Angular
L I
t
xIneta
xItneto
Ltneto
Análogamente a la cantidad de movimiento lineal P se puede definir en el movimiento giratorio la cantidad de movimiento angular L:
Como la aceleración angular se define:
Si actúa un momento neto, se tiene la siguiente expresión:
Si el momento neto =0 , se puede enunciar:el principio de conservación de la cantidad de movimiento angular:
finalinical LL0neto
variación de la cantidad de movimiento angular.
Reemplazando:
0L
I = momento de inercia
0 0
Momento lineal Momento angular
Fuerza Momento de una fuerza
2 ley de Newton 2 ley de Newtonneta neto
p = mv L = I
F
dp dLF = =ma = = Id d
mp m m y
Movimiento lineal Movimiento de rotación
COMPARACIÓN ENTRE EL MOVIMIENTO LINEAL Y MOVIMIENTO ANGULAR
Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento Angular
0neto
0L
finalinical LL
finalinical I
La patinadora cuando estira sus brazos,aumenta r, aumenta su momento de inercia I.Para que la cantidad de movimiento angular se conserve debe disminuir
Recordemos que momento de inercia I depende de la masa y de su distancia r al eje de giro
Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento Angular
El mismo razonamiento se hace:
Para realizar un giro con mayor velocidad ( aumente)El momento de inercia (L) debe disminuir, para esto acerca su cuerpo al eje de giro