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Clase 5 – Análisis exploratorio de datos espaciales (Indicadores)
Marcos W. D. de Freitas{[email protected]}
-‐CursodeAnálisisdeDatosEspaciales
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Análisis Exploratorio de Datos Espaciales
• Objetivo: búsqueda de pautas en la distribución espacial de polígonos o puntos con variables cuantitativas (numéricas)
• Responder cuestiones acerca de los datos y su distribución espacial:
• Cuestión inicial:
Como se distribuí una variable de interese en el espacio? – Uso de mapas coropléticos
• Cuestiones estadísticas:• Cual es la distribución de mi variable de estudio? – Uso de
histograma• Cuales son las estadísticas básicas de esa variable (mínimo,
máximo, promedio, desviación estándar,…)? – Uso de Diagrama de Cajas
• Cual es el grado de correlación de esa variable con otra variable? – Uso de Diagrama de dispersión
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Análisis Exploratorio de Datos Espaciales
• Cuestiones de estadística espacial:• De forma general, mis datos presentan estructuras de
dependencia espacial? O sea, hay agrupamientos (regímenes espaciales, hot-spots, cold-spots) o mis datos presentan una pauta de distribución aleatoria?• Uso de Indicadores Globales de Asociación Espacial
(Moran’s I e otros)
• Se existe, entonces de forma general, dependencia espacial en mis datos, cuales son los objetos (segmentos censales, barrios, departamentos, unidades de suelos,…) que pueden ser considerados como hot-spots o cold-spots de forma significante?• Indicadores Locales de Asociación Espacial (LISA Maps)
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Técnicas de Análisis Exploratorio
• Indicadores Globales de Autocorrelación– suposición: estacionariedad (función de la “distancia”).– Ej: índice de Moran (Moran’s I), variograma,
correlograma
• Indicadores Locales de Asociación Espacial– Resaltan las situaciones atípicas (“outliers” ). – Ej: Mapa de LISA
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Matriz de Proximidad Espacial
• Contenido– Matriz (n x n) W , cuyos
elementos wij representan una medida de proximidad entre Oi e Oj
• Criterios:-wij =1, se Oi toca Oj
wij = 1, se dist(Oi, Oj) < h
wij = lij/li, donde lij es el tamaño de la
frontera entre Oi e Oj e li es el
perímetro de Oi
AB
C
DE
A B C D E
A 0 1 0 1 0
B 1 0 1 1 1
C 0 1 0 0 1
D 1 1 0 0 1
E 0 1 1 1 0
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6
A B C
D E F
Row-standardized matrices de proximidad
espacial
A B C D E FRow Sum
A 0 1 0 1 0 0 2B 1 0 1 0 1 0 3C 0 1 0 0 0 1 2D 1 0 0 0 1 0 2E 0 1 0 1 0 1 3F 0 0 1 0 1 0 2
Número total de vecinos--unos tienen más que otros
A B C D E FRow Sum
A 0.0 0.5 0.0 0.5 0.0 0.0 1B 0.3 0.0 0.3 0.0 0.3 0.0 1C 0.0 0.5 0.0 0.0 0.0 0.5 1D 0.5 0.0 0.0 0.0 0.5 0.0 1E 0.0 0.3 0.0 0.3 0.0 0.3 1F 0.0 0.0 0.5 0.0 0.5 0.0 1
Row standardized--normalmente utilizado
Divide cada número por la suma de líneas
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Matriz de Proximidad EspacialCreando pesos espaciales en GeoDa
• Cuatro tipos de vecindad:
• Vecindad: Queen y Rook
• Distancia euclidiana
• K-Nearest Neighbors (vecinos más próximos)
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Matriz de Proximidad EspacialRook Contiguity
• Vecindad “rook”: incluye todos los polígonos que dividen una frontera (arco) con el polígono que se quiere definir los pesos de vecindad
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Matriz de Proximidad EspacialQueen Contiguity
• Vecindad “queen”: incluye todos los polígonos que tocan el polígono que se quiere definir los pesos de vecindad
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Matriz de Proximidad EspacialQueen x Rook Contiguity
• Vecindad “queen” x “rook”
rook queen
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Mensurando Contigüidad: Debemos incluir la contigüidad de segunda orden?
rook queen
1ªorden
2ª
orden
Secundo vecino
más próximo
Vecino próximo
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Matriz de Proximidad EspacialDistancia Euclidiana
• Considera como vecinos, todos los polígonos con centróides con distancia menor quela distancia máxima definida por el usuario
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Matriz de Proximidad EspacialVecinos más próximos
• K-nearest neighbors: Considera como vecinos el número de vecinos más próximos definidos por el usuario.
• ]
wij = 1, se dist(Oi, Oj) < h
wij = lij/li, donde lij es el tamaño de la frontera entre Oi e Oj e li es el perímetro de Oi
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Indicadores Globales de Autocorrelación Espacial
• Objetivo: Explorar la dependencia espacial
• Autocorrelación espacial.– Mide cuanto el valor observado de un atributo en
una región es independiente de los valores de la misma variable en las localizaciones vecinas.
• Indicadores Globales– Moran, Geary
• Indicadores Locales– Local Moran, Local Geary
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• forma genérica:
Forma genérica de los índices
onde:
ijw : medida de proximidad entre objetos i e j
ija :expresión que representa la asociaciónentre los atributos del objeto i con los demás objetos de su vecindad.
n
jijiji aw w aij ij
j
n
i
nlocal global
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xxxxji z zi j
Moran (covariancia)
2ji
xx 2ji zz Geary (variancia)
jij
xxoux z ou z zj i j
G ou G* (promédio móbil)
n
jijiji aw w aij ij
j
n
i
n
Forma genérica de los índices
Cuando aij es de forma:
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Indice Global de Moran
donde:
– n corresponde al número de áreas,
– yi es el valor del atributo considerado en la área i,
– representa el valor promedio del atributo en la región de estudio,
– wij son los pesos atribuidos conforme la conexión entre las áreas i e j.
n
ii
n
i
n
jjiij
n
i
n
jij yy
yyyyw
w
nI
1
1 1
1 1
2
y
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• Cual es el significado del índice global de Moran ( I ) ?
• Como interpretar la ecuación arriba ?
• Cual es su significancia o validad estadística ? Como evaluar ?
n
ii
n
i
n
jjiij
n
i
n
jij yy
yyyyw
w
nI
1
1 1
1 1
2
Indice Global de Moran
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• Es análogo al coeficiente de correlación convencional, porque tiene en su numerador un termo que es producto del momento.
• Como un coeficiente de correlación, los valores de I también varían de -1 a +1, cuantificando el grado de autocorrelación espacial existente.
-1 autocorrelación espacial negativa o inversa. 0 significa aleatoriedad +1 significa autocorrelación espacial positiva o directa.
n
ii
n
i
n
jjiij
n
i
n
jij yy
yyyyw
w
nI
1
1 1
1 1
2
Indice Global de Moran
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• Consideremos el ejemplo que sigue:
5,5 0
4
1 651 62 41 61 51 62 0 22222
2
n
yyVa riâ n cia
n
ii
1
164
5241520
yMédia
1063,75,502 PadrãoDesvio
A B
C D524
1520
A B C D
A 0 1 1 0
B 1 0 1 1
C 1 1 0 1
D 0 1 1 0
Matriz de Proximidad
Indice Global de Moran
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• La ecuación de I puede ser simplificada [N(=0 e =1)] e alteramos W, de forma que la suma de los elementos de cada línea sea igual a 1.
n
ii
n
i
n
jjiij
n
i
n
jij yy
yyyyw
w
nI
1
1 1
1 1
2
n
ii
n
i
n
jjiij
z
zzw
I
1
1 1
2
yyz i
i
A B C D
A 0 1 1 0
B 1 0 1 1
C 1 1 0 1
D 0 1 1 0
A B C D
A 0 1/2 1/2 0
B 1/3 0 1/3 1/3
C 1/3 1/3 0 1/3
D 0 1/2 1/2 0
Indice Global de Moran
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n
ii
n
i
n
jjiij
z
zzw
I
1
1 1
2
A B C D
A 0 1/2 1/2 0
B 1/3 0 1/3 1/3
C 1/3 1/3 0 1/3
D 0 1/2 1/2 0
A B
C D524
1520
yyz i
i
zA = 0,5628
zC = 1,1257
zD = -1,5479
zB = -0,1407
1063,7
0,16
y
08712,01088,000,0
5808,000527,02111,0
0725,00527,000264,0
03167,00396,00
3959,27424,12177,08711,0
7424,12672,11583,06335,0
2177,01583,00197,00792,0
8711,06335,00792,03167,0
*
02
1
2
10
3
10
3
1
3
13
1
3
10
3
1
02
1
2
10
9143,01 11 1
n
i
n
jij
n
i
n
jjiij Mzzw 4
1
2
n
iiz 288,0
4
9143,0
I
wij zi zj Mij* =
Indice Global de Moran
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Significancia del Índice de Moran
Evaluación de la significancia del índice de Moran (I).
Para estimar la significancia de I, será preciso asociar a ese una distribución estadística, para tanto, dos abordajes son posibles:
• Teste de pseudo-significancia (experimento aleatorio).
• Distribución aproximada (hipótesis de normalidad).
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• La validad estadística del índice de Moran (I) en el teste de pseudo-significancia.
• Se el índice I efectivamente medido corresponder a un “extremo” de la distribución simulada, entonces trata-se de evento con significancia estadística.
Distribuiçãosimulada
extr
emo
extr
emo
Indice Global de Moran
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I de Moran: Validade Estatística
• Para un número suficiente de sub-regiones el índice I tiene una distribución de muestral que es aproximadamente normal, dada por:
donde: n = número de regiones,
)1(
1)(
nIE
22
221
22
)1)(1(
2)1()1(
o
o
Snn
SSnnSnn
jiparawS ijo jiparawwS ijij 2
1
jiparawwS ijij 2
2 0
Normal Padrão
1,96-1,96
95%
)(IEI
IN
Índice Moran Normalizado
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Aleatorio o Agrupado?% de Ascendencia Asiática
Moran’s I = 0.002% de Universitarios Moran’s I = 0.92
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QueenMoran’s I = 0.92
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RookMoran’s I = 0.92
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Distancia (2000m)Moran’s I = 0.81
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K-NearestMoran’s I = 0.91
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Indicadores Locales de Asociación Espacial (LISA)
• Como hemos visto, el estimador de autocorrelación espacial, Moran (I), fornece un valor único como medida da asociación espacial.
• Por otro lado, muchas veces es necesario examinar pautas en una escala más detallada.
• En ese caso, es necesario utilizar indicadores locales de asociación espacial que puedan ser asociados a diferentes localizaciones de una variable distribuida espacialmente.
• La utilización de eses indicadores en conjunto con los indicadores globales, refinan nuestro conocimiento acerca los procesos que originan la dependencia espacial.
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• Índices locales (LISA):– Permiten evaluar diferentes regímenes
espaciales existentes en la área de estudio.– Miden la asociación espacial entre una
observación i y su vecindad.– Requisitos (Anselin)
• La suma de los índices locales debe ser proporcional al índice global.
• Indicar la significancia de la asociación espacial para cada observación.
Indicadores Locales de Asociación Espacial (LISA)
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• Los indicadores locales de asociación espacial, producen un valor específico para cada objeto.
• Eso permite la identificación de:– “Clusters”: objetos con valores de atributos semejantes,– “Outliers”: objetos anómalos,– La presencia de más de un régimen espacial.
• Hay que atender a dos objetivos:
– Permitir la identificación de pautas de asociación
espacial significativos;
– Ser una descomposición del índice global de asociación
espacial.
Indicadores Locales de Asociación Espacial (LISA)
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Diagrama de Dispersión de Moran
Ese diagrama relata espacialmente el relacionamiento entre los valores del vector de desviaciones Z ( ) y los valores de los promedios locales WZ, indicando diferentes regímenes espaciales presentes en los datos.
zzi
I é equivalente a tg 0
0 z
WZ
Reta de regressão de WZ em Z
Q3Q3Q2Q2
Q1Q1Q4Q4
ZZ
WZZI
t
t
Nesta formulação, I equivale aocoeficiente de regressão linear, ou
seja a inclinação da reta de regressão.
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0
0 z
WZ
Q3Q3Q2Q2
Q1Q1Q4Q4
Q1 (val. [+], prom. [+]) y Q2 (val. [-], prom. [-])
Indican puntos de asociación espacial positiva, en sentido que una localización posee vecinos con valores semejantes.
Q3 (val. [+], prom. [-]) e Q4 (val. [-], prom. [+])
Indican puntos de asociación espacial negativa, en sentido que una localización posee vecinos con valores distintos.
Nota:- los puntos localizados en Q3 y Q4 pueden ser vistos como extremos, tanto por estar lejos de la reta de regres- sión lineal como por indicar regiones que no siguen el mis-mo proceso de dependencia espacial de las otras observa-cioness. Eses puntos marcan regiones de transición entre regímenes espaciales distintos.
Diagrama de Dispersión de Moran
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El Diagrama de Dispersión de Moran puede ser presentado en forma de un mapa coroplético bidimensional, en el cual cada polígono es presentado indicando su cuadrante en el diagrama de dispersión.
0
0 z
WZ
Q3 = HLQ3 = HLQ2= LLQ2= LL
Q1= HHQ1= HHQ4 = LHQ4 = LH
São Paulo
Atributo consideradopercentagem de idosos
Indicadores Locales de Asociación Espacial (LISA Maps)
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Índice local de Moran• Formulação:
I Iii
n
I
w z z
z
n
i
ij i jj
n
jj
n
1
2
1
Iz wz
mii i
2
II
n
ii
n
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• Indicadores locales Ii de Moran (Anselin, 1996)
• Indicadores locales Gi e Gi * (Getis e Ord, 1992)
• O indicador local de Moran Ii es así definido: Ii > 0 “clusters” de valores similares (altos o bajos).
Ii < 0 “clusters” de valores distintos (Ex: una localización
con valores altos rodeada por una vecindad de
valores bajos).
• Normalizando las variables el indicadores reducido a:
n
yy
yywyy
I n
ii
n
jjiji
i
1
1
2
n
jjijii zwzI
1
Indicadores Locales de Asociación Espacial (LISA Maps)
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• De forma similar a los indicadores globales, la significancia del índice local de Moran (Ii) debe ser evaluado, utilizando hipótesis de normalidad o simulación de distribución por permutación aleatoria en los valores de los atributos (Anselin, 1995).
• Una vez determinada la significancia estadística de Moran (Ii) es muy útil generar un mapa indicando las regiones que presentan correlación local significativamente diferente del restante de los datos.
• Ese mapa es denominado por Anselin (1995) de “LISA MAP”.
• En la generación del LISA MAP, los índices locales Ii son clasificados como:
– no significantes
– con significancia de 95% (1,96), 99% (2,54) e 99,9% (3,2).
Indicadores Locales de Asociación Espacial (LISA Maps)
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• Los indicadores locales Gi e Gi * (Getis e Ord, 1992):
donde:– wij valor en la matriz de proximidad para región i con la región j en
función de la distancia.– xi e xj son los valores de los atributos considerados en las áreas i e j.
– d es distancia entre puntos
– n el número de áreas (polígonos)
• OBS.: la estadística Gi, incluí en el numerador la suma de todos los valores de todos vecinos dentro de una distância d del punto considerado. Gi
* difiere de Gi por incluir la localización visitada.
ij
x
xdw
dG n
ij
n
jiij
i
,)(
1
1
ij
x
xdw
dG n
ij
n
jiij
i
,)(*
1
1
Indicadores Locales de Asociación Espacial (LISA Maps)
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• “Regiones” de exclusión/inclusión social em São Paulo
não signif.
95% sign.
99% sign.
Indicadores Locales de Asociación Espacial (LISA Maps)
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• “Regiones” de exclusión/inclusión educacional en Montevideo?
Indicadores Locales de Asociación Espacial (Moran’s I
LISA Maps)
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• “Regiones” de exclusión/inclusión educacional en Montevideo?
Indicadores Locales de Asociación Espacial (G Local I
LISA Maps)