DinámicaEn esta ocasión realizaremos ejercicios en donde la velocidad de un cuerpo semodifica por acción de una aceleración, lo cual está descrito en la segunda ley deNewton

• Segunda ley (ley fundamental de la dinámica): Si la suma vectorial de todas lafuerzas que actúan sobre un cuerpo es diferente de cero, entonces elcuerpo experimentará una aceleración proporcional al resultante de lasfuerzas e inversamente proporcional a su cantidad de materia,modificando su estado en un movimiento con velocidad variable.

�⃗� = 𝑚�⃗�

Recuerda:

• La aplicación de la tercera ley será inherente a los análisis que realizaremos.

• Todas las situaciones serán analizadas en presencia del campo gravitacional dela Tierra por lo que siempre deberá considerarse la existencia del peso.

• El espacio euclidiano que se usará tiene el origen situado en el cuerpo y serácreciente en la dirección de movimiento.

• El aire no afectará el movimiento de nuestros cuerpos.

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�⃗� = 𝑚�⃗�

DinámicaEjercicio 1.

Un objeto de 20.0 g, inicialmente en reposo, se mueve poruna superficie horizontal debido a la aplicación de una fuerzaconstante y paralela a la superficie. Si el objeto alcanza unarapidez de 15.0 km/h en un tiempo de 5.0 s, determina lamagnitud de la fuerza aplicada. Considera que no existefricción.

Dado que el objeto tiene masa y está inmerso en el campo gravitacional de laTierra existirá el peso. El objeto está en contacto con una superficie así quepodemos plantear la existencia de la fuerza normal. Además el texto refiere a una

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podemos plantear la existencia de la fuerza normal. Además el texto refiere a unafuerza aplicada que ocasiona el cambio en la velocidad por lo que esta fuerzaapuntará en la dirección del movimiento.

𝑤

�⃗�

�⃗�

x

y yDCL

x

𝑤

𝑛

𝑤

𝑛

�⃗� �⃗�

DinámicaDada la distribución de fuerzas en el DCL podemos expresar que la suma defuerzas en cada eje cartesiano será:

La suma de fuerzas en el eje cartesiano x se igualó al producto de la masa delobjeto por la aceleración resultante pues en esta dirección está cambiando lavelocidad mientras que la suma de fuerzas en el eje cartesiano y se igualó a ceropues en esta dirección el objeto no se mueve.

Como puede observarse en la suma de fuerzas en el eje cartesiano x, para

∑ 𝐹𝑥 : �⃗� = 𝑚𝑎𝑥 ∑ 𝐹𝑦 : |�⃗�| − |𝑤| = 0 N

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Como puede observarse en la suma de fuerzas en el eje cartesiano x, paradeterminar la magnitud de la fuerza, que produce el cambio en la velocidad, esrequerido conocer la aceleración. Sin embargo, esta información no puedeextraerse la suma de fuerzas en el eje cartesiano y.

Dado que con la información que se puede extraer del DCL no es posible resolverel ejercicio recurriremos a la ecuación general de la cinemática con aceleraciónconstante, ya que el texto del ejercicio da información de velocidad y tiempo lacual sólo puede aplicarse, por el momento, en las ecuaciones de cinemática.

𝑟 = 𝑟0 + �⃗�0 𝑡 + �⃗�𝑡2

2

DinámicaComo el ejercicio da información de la velocidad alcanzada (15.0 km/h) en untiempo de 5.0 s, la ecuación de posición deberá derivarse con respecto al tiempo.

Sin embargo, el movimiento únicamente se da en el eje cartesiano x, entonces, elvector velocidad en la componente cartesiana y será cero así que la expresiónsolo tiene sentido cuando se plantea en el eje cartesiano x.

De esta última ecuación podemos determinar la componente de la aceleración en

𝑟 = 𝑟0 + �⃗�0 𝑡 + �⃗�𝑡 2

2 … 𝑑𝑟

𝑑𝑡= �⃗� = �⃗�0 + �⃗�𝑡

𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 + 𝑎𝑥 𝑡

4

De esta última ecuación podemos determinar la componente de la aceleración enel eje cartesiano x, la cual se sustituirá en la suma de fuerzas correspondientepara encontrar la magnitud de la fuerza aplicada.

Para poder sustituir el valor de la velocidad final recuerda que debes realizar laconversión de km/h a m/s así como que el objeto partió del reposo.

𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 + 𝑎𝑥 𝑡

𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 + 𝑎𝑥 𝑡 … 4.17 = 𝑎𝑥 (5.0) … 𝑎𝑥 =4.17

5.0= 0.83 m/s2

∑ 𝐹𝑥 : �⃗� = 𝑚𝑎𝑥 … �⃗� = 𝑚𝑎𝑥 … �⃗� = (0.020)(0.83) = 0.017 N

DinámicaEjercicio 2.

Un objeto de 20.0 g, inicialmente en reposo, se mueve poruna superficie horizontal debido a la aplicación de una fuerzaconstante y paralela a la superficie. Si el objeto alcanza unarapidez de 15.0 km/h en un tiempo de 5.0 s, determina lamagnitud de la fuerza aplicada. Considera un coeficiente defricción de 0.18.

En este ejercicio se plantea una situación similar al ejercicio anterior con ladiferencia de que en esta ocasión existe la fuerza de fricción.

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Dada la distribución de fuerzas en el DCL podemos expresar que la suma defuerzas en cada eje cartesiano será:

𝑤

�⃗�

�⃗�

x

y yDCL

x

𝑤

𝑛

𝑤

𝑛

𝑓 �⃗� 𝑓 �⃗� 𝑓

∑ 𝐹𝑥 : �⃗� − 𝑓 = 𝑚𝑎𝑥 ∑ 𝐹𝑦 : |�⃗�| − |𝑤| = 0 N

DinámicaNuevamente, la suma de fuerzas en el eje cartesiano x se iguala al producto de lamasa del objeto por la aceleración resultante pues en esta dirección estácambiando la velocidad mientras que la suma de fuerzas en el eje cartesiano y seigualó a cero pues en esta dirección el objeto no se mueve.

En esta ocasión para determinar la magnitud de la fuerza aplicada que produceel movimiento se requieren conocer dos términos, la fuerza de fricción y laaceleración resultante.

En cuanto al valor de la aceleración resultante, dado que se está produciendo elmismo cambio en la velocidad en el mismo intervalo del tiempo que en el

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mismo cambio en la velocidad en el mismo intervalo del tiempo que en elejercicio anterior, podemos asumir que el valor de la aceleración es el mismo; esdecir, la aceleración será 0.83 m/s2.

Para determinar el valor de la magnitud de la fuerza de fricción, recurriremos asu definición.

Como el ejercicio nos brinda el valor del coeficiente de fricción, es necesariorecurrir a la suma de fuerza en el eje cartesiano y para de ahí extraer el valor dela magnitud de la fuerza normal.

𝑓 = 𝜇|𝑛|

∑ 𝐹𝑦 : |𝑛| − |𝑤| = 0 N … |𝑛| − |𝑤| = 0 N … |𝑛| = |𝑤| … |𝑛| = (0.020)(9.81) = 0.196 N

DinámicaCon todos los valores encontrados, la aceleración resultante y la magnitud de lafuerza normal, se puede sustituir en la suma de fuerzas del eje cartesiano x parapoder determinar la magnitud de la fuerza aplicada.

Observa que la magnitud de la fuerza aplicada que se requiere para ocasionar elmismo cambio en la velocidad, empleando el mismo intervalo del tiempo que enel ejercicio anterior, fue mayor que aquella magnitud de fuerza aplicada cuando

∑ 𝐹𝑥 : �⃗� − 𝑓 = 𝑚𝑎𝑥 … �⃗� = 𝑚𝑎𝑥 + 𝑓 … �⃗� = 𝑚𝑎𝑥 + 𝜇|𝑛| �⃗� = (0.020)(0.83) + (0.18)(0.196) = 0.052 N

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el ejercicio anterior, fue mayor que aquella magnitud de fuerza aplicada cuandono existe fricción (0.016 N).

La razón de este resultado es que la fuerza aplicada ahora debe de vencer la“oposición” que presenta la superficie horizontal para que un objeto se muevasobre su superficie.

DinámicaEjercicio 3.

Un objeto se libera del reposo desde lo alto de una superficieinclinada 20.0 grados sobre la horizontal. Determina laaceleración que experimenta el objeto si el coeficiente defricción es 0.05.

Para resolver la situación planteada primero asociaremos las posibles fuerzasque actúan sobre el objeto.

Dado que el objeto tiene masa y está inmerso en el campo gravitacional de laTierra existirá el peso. Además, el objeto está en contacto con una superficie así

q = 20.0 grados

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Tierra existirá el peso. Además, el objeto está en contacto con una superficie asíque podemos plantear la existencia de la fuerza normal y como el ejercicio brindaun coeficiente de fricción, entonces, existe la fuerza de fricción.

x

y

x

yDCL

𝑤

𝑛 𝑓

𝑤

𝑛 𝑓

𝑛

𝑤

𝑓

q qq

DinámicaDada la distribución de fuerzas en el DCL podemos expresar que la suma defuerzas en cada eje cartesiano será:

En esta ocasión la suma de fuerzas en el eje cartesiano x se iguala al producto dela masa del objeto por la aceleración resultante pues en esta dirección estácambiando la velocidad mientras que la suma de fuerzas en el eje cartesiano y seigualó a cero pues en esta dirección el objeto no se mueve.

Nota que lo anterior es una consecuencia directa de la elección del espacio

∑ 𝐹𝑥 : |𝑤|𝑠𝑒𝑛θ − 𝑓 = 𝑚𝑎𝑥 ∑ 𝐹𝑦 : |𝑛| − |𝑤|𝑐𝑜𝑠θ = 0 N

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Nota que lo anterior es una consecuencia directa de la elección del espacioeuclidiano ya que el eje cartesiano x apunta en la dirección del movimientomientras que el valor de la componente cartesiana y se mantiene constanteindependientemente de que el objeto se esté moviendo.

Para determinar el valor de la aceleración que experimenta el objeto, la cuálúnicamente se encuentra en la suma de fuerzas en el eje cartesiano x, debemosdeterminar la magnitud de la fuerza de fricción y el peso.

Nuevamente, la magnitud de la fuerza de fricción se obtendrá con el producto delcoeficiente de fricción y la magnitud de la fuerza normal mientras que lamagnitud de la fuerza normal se obtendrá de la suma de fuerzas en el ejecartesiano y.

DinámicaObtención de la magnitud de la fuerza normal.

Observa que el resultado anterior quedó escrito en términos de la masa delobjeto, m, pues este valor no fue dado por el ejercicio.

Como se mencionó anteriormente, la magnitud de la fuerza normal semultiplicará por el coeficiente de fricción para obtener la magnitud de la fuerza

∑ 𝐹𝑦 : |𝑛| − |𝑤|𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 N … |𝑛| − |𝑤|𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 N … |𝑛| = |𝑤|𝑐𝑜𝑠𝜃 |𝑛| = (9.81)𝑚𝑐𝑜𝑠(20.0)

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multiplicará por el coeficiente de fricción para obtener la magnitud de la fuerzade fricción, la cual será sustituida en la suma de fuerzas en el eje cartesiano xpara de ahí obtener la aceleración que experimenta el objeto.

Dado que en esta última ecuación todos los elementos contienen a la masa delobjeto, m, esta puede ser eliminada, lo que nos permite obtener la aceleraciónque experimenta el objeto.

∑ 𝐹𝑥 : |𝑤|𝑠𝑒𝑛θ − 𝑓 = 𝑚𝑎𝑥 … |𝑤|𝑠𝑒𝑛θ − 𝑓 = 𝑚𝑎𝑥 … |𝑤|𝑠𝑒𝑛θ − 𝜇|�⃗�| = 𝑚𝑎𝑥 𝑚(9.81)𝑠𝑒𝑛(20.0) − (0.05)(9.81)𝑚𝑐𝑜𝑠(20.0) = 𝑚𝑎𝑥

(9.81)𝑠𝑒𝑛(20.0) − (0.05)(9.81)𝑐𝑜𝑠(20.0) = 𝑎𝑥 … 𝑎𝑥 = 2.89 m/s2

DinámicaEjercicio 4.

Un bloque de concreto de 500.0 kg de masa desciende, atadode una cuerda, frenando con aceleración constante. Si larapidez inicial es 10.0 m/s y a los 25.0 m de recorrido elbloque se detiene, determina la magnitud de la tensión queexperimenta la cuerda que sostiene al bloque.

Para resolver la situación planteada primero asociaremos las posibles fuerzasque actúan sobre el bloque.

Dado que el bloque tiene masa y está inmerso en el campo gravitacional de la

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Dado que el bloque tiene masa y está inmerso en el campo gravitacional de laTierra existirá el peso. Como el bloque cuelga de una cuerda, entonces, existiráun fuerza de tensión.

Dada la distribución de fuerzas en el DCL podemos expresar que la suma defuerzas en cada eje cartesiano será:

𝑤

𝑇

x

y 𝑤

𝑇

x

y

DCL

𝑤

𝑇

∑ 𝐹𝑥 = 0 N ∑ 𝐹𝑦 : |𝑤| − 𝑇 = 𝑚𝑎𝑦

DinámicaEn esta ocasión la suma de fuerzas en el eje cartesiano x se igualó a cero puesno existe ninguna fuerza actuando en esta dirección mientras que la suma defuerzas en el eje cartesiano y se iguala al producto de la masa del bloque por laaceleración resultante pues en esta dirección está cambiando la velocidad.

Para determinar la magnitud de la tensión que experimenta la cuerda esnecesario conocer el valor de la aceleración que produce el cambio en lavelocidad, por ello, recurriremos a las ecuaciones de cinemática.

Dado que el movimiento se da exclusivamente en el eje cartesiano y, entonces,

𝑟 = 𝑟0 + �⃗�0 𝑡 + �⃗�𝑡 2

2 … 𝑑𝑟

𝑑𝑡= �⃗� = �⃗�0 + �⃗�𝑡

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Dado que el movimiento se da exclusivamente en el eje cartesiano y, entonces,las ecuaciones anteriores son:

Para poder sustituir en las ecuaciones anteriores, debemos recordar que ladistancia de recorrido en un movimiento unidimensional y unidireccional estárelacionado con el desplazamiento, y – y0. Pese a que el objeto está bajando, porla dirección del espacio euclidiano, el desplazamiento y la velocidad inicial seránpositivas.

𝑟 = 𝑟0 + �⃗�0 𝑡 + �⃗�2 𝑑𝑡

= �⃗� = �⃗�0 + �⃗�𝑡

𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦 𝑡 + 𝑎𝑦𝑡 2

2 … 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 + 𝑎𝑦 𝑡

𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦 𝑡 + 𝑎𝑦𝑡 2

2 … 𝑦 − 𝑦0 = 𝑣0𝑦 𝑡 + 𝑎𝑦

𝑡 2

2 … 25.0 = 10.0𝑡 + 𝑎𝑦

𝑡 2

2

𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 + 𝑎𝑦 𝑡 … 𝑣𝑦 = 10.0 + 𝑎𝑦 𝑡

DinámicaLas ecuaciones de cinemática encontradas, dependen de las mismas incógnitas(tiempo y aceleración) por lo que se debe resolver el sistema de ecuaciones en lacondición de que el bloque se detiene, es decir, cuando su velocidad final es cero.

Para resolver el sistema de ecuaciones, se despejará el término ayt de la ecuaciónasociada con la velocidad para sustituirlo en la ecuación asociada con eldesplazamiento. Así podremos determinar el tiempo y finalmente la aceleración.

25.0 = 10.0𝑡 + 𝑎𝑦𝑡 2

2 0 = 10.0 + 𝑎𝑦 𝑡

0 = 10.0 + 𝑎𝑦 𝑡 … −10.0 = 𝑎𝑦 𝑡

25.0 = 10.0𝑡 + 𝑎𝑦𝑡 2

225.0 = 10.0𝑡 + (−10.0)

𝑡

225.0 = 5.0𝑡 𝑡 = 5.0

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Que la aceleración sea negativa es coherente pues el bloque viaja hacia abajo convelocidad positiva (efecto del espacio euclidiano) y para detenerlo se requiere deuna aceleración en dirección contraria a su velocidad.

Ahora podemos retomar la suma de fuerzas en la componente cartesiana y paradeterminar la magnitud de la tensión.

0 = 10.0 + 𝑎 𝑡 −10.0 = 𝑎 𝑡

25.0 = 10.0𝑡 + 𝑎𝑦𝑡 2

2 … 25.0 = 10.0𝑡 + (−10.0)

𝑡

2 … 25.0 = 5.0𝑡 … 𝑡 = 5.0 s

−10.0 = 𝑎𝑦 𝑡 … −10.0 = 𝑎𝑦 (5.0) … 𝑎𝑦 = −2.0 m/s2

∑ 𝐹𝑦 : |𝑤| − 𝑇 = 𝑚𝑎𝑦 … |𝑤| − 𝑇 = 𝑚𝑎𝑦 … 𝑇 = |𝑤| − 𝑚𝑎𝑦

T⃗ =(500.0)(9.81) − (500.0)( − 2.0) = 5905.0 N

DinámicaEjercicio 5.

Un hombre empuja una caja de 50.0 kg con una fuerzaconstante y paralela con la superficie. Si la caja, inicialmenteen reposo, llega a la parte alta de la superficie con rapidez de1.5 m/s, determina la magnitud de la fuerza aplicada. Lainclinación de la superficie es 15.0 grados y tiene una alturade 45.0 cm con un coeficiente de fricción de 0.08.

Para resolver la situación planteada primero asociaremos las posibles fuerzasque actúan sobre la caja.

q = 15.0 grados

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Dado que la caja tiene masa y está inmerso en el campo gravitacional de laTierra existirá el peso. La caja está en contacto con una superficie así quepodemos plantear la existencia de la fuerza normal y como el ejercicio brinda uncoeficiente de fricción, entonces, existe la fuerza de fricción; además se necesitade la fuerza aplicada que ocasiona que la caja suba.

x

y

x

yDCL

�⃗�

𝑤 q

q

𝑤

𝑛 �⃗�

𝑓 q

𝑤

�⃗� �⃗�

𝑓

�⃗� 𝑓

Dinámica

Dada la distribución de fuerzas en el DCL podemos expresar que la suma defuerzas en cada eje cartesiano será:

En esta ocasión la suma de fuerzas en el eje cartesiano x se iguala al producto dela masa del objeto por la aceleración resultante pues en esta dirección estácambiando la velocidad mientras que la suma de fuerzas en el eje cartesiano y seigualó a cero pues en esta dirección el objeto no se mueve.

Para determinar la magnitud de la fuerza aplicada debemos determinar lamagnitud de la fuerza de fricción, la aceleración resultante y el peso.

∑ 𝐹𝑥 : �⃗� − 𝑓 − |𝑤|𝑠𝑒𝑛θ = 𝑚𝑎𝑥 ∑ 𝐹𝑦 : |𝑛| − |𝑤|𝑐𝑜𝑠θ = 0 N

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magnitud de la fuerza de fricción, la aceleración resultante y el peso.

La magnitud de la fuerza de fricción se obtendrá con el producto del coeficientede fricción y la magnitud de la fuerza normal pero la magnitud de la fuerzanormal se obtendrá de la suma de fuerzas en el eje cartesiano y.

∑ 𝐹𝑦 : |𝑛| − |𝑤|𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 N … |𝑛| − |𝑤|𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 N … |𝑛| = |𝑤|𝑐𝑜𝑠𝜃 |𝑛| = (50.0)(9.81)𝑐𝑜𝑠(15.0) = 473.79 N 𝑓 = 𝜇|𝑛| … 𝑓 = (0.08)(473.79) = 37.90 N

DinámicaPara determinar la aceleración resultante recurriremos a las ecuaciones decinemática, en donde se evaluará la velocidad final y el desplazamiento delobjeto. Sin embargo, el ejercicio no indica cuánto se desplaza el objeto pero si noda la información de la altura final así que recurriremos a la trigonometría paraconocer dicho desplazamiento, el cual está asociado a la coordenada cartesiana xpor efecto de nuestro espacio euclidiano.

Dado que el ejercicio nos brinda la información de la inclinación del plano y sualtura, entonces, podemos suponer que la altura representará el cateto opuestode un triángulo rectángulo en donde la hipotenusa será el desplazamiento.

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Altura = |Dx|senq

0.45 = |Dx| sen(15.0) … |Dx|= 1.74 m

Ahora podemos sustituir en las ecuaciones de cinemática considerando que elobjeto parte del reposo y determinar la aceleración resultante.

∆𝑥 = 𝑣0𝑥 𝑡 + 𝑎𝑥𝑡 2

2 … 1.74 = 𝑎𝑥

𝑡 2

2

𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 + 𝑎𝑥 𝑡 … 1.5 = 𝑎𝑥 𝑡

q=15.0 grados

|Dx|

Alt

ura

Dinámica

Las dos ecuaciones anteriores tienen dos incógnitas en común, la aceleración yel tiempo. Como es de nuestro interés determinar la aceleración resultante,entonces despejaremos el tiempo de la ecuación asociada con la velocidad parasustituirla en la ecuación del desplazamiento.

1.5 = 𝑎𝑥 𝑡 … 𝑡 =1.5

𝑎𝑥

1.74 = 𝑎𝑥𝑡 2

2 … 1.74 =

𝑎𝑥

2

1.5

𝑎𝑥

2=

(1.5)2

2 𝑎𝑥 … 𝑎𝑥 =

(1.5)2

2 (1.74)= 0.65 m/s2

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Ahora podemos retomar la suma de fuerzas en la componente cartesiana x paradeterminar la magnitud de la fuerza aplicada.

1.74 = 𝑎2

1.74 =2 𝑎

=2 𝑎

𝑎 =2 (1.74)

= 0.65

∑ 𝐹𝑥 : �⃗� − 𝑓 − |𝑤|𝑠𝑒𝑛θ = 𝑚𝑎𝑥 … �⃗� − 𝑓 − |�⃗�|𝑠𝑒𝑛θ = 𝑚𝑎𝑥 … �⃗� = 𝑚𝑎𝑥 + 𝑓 + |𝑤|𝑠𝑒𝑛θ �⃗� = (50.0)(0.65) + (37.90) + (50.0)(9.81)𝑠𝑒𝑛15.0 = 197.35 N

Ejercicios para resolver.

1) Un bloque se libera del reposo desde la parte alta de una colina de 1.5 m de longitud.Sí al final del recorrido el bloque tiene una rapidez de 5.0 m/s, ¿qué inclinaciónposee la colina?

2) Un objeto cuya masa es 20.0 kg se libera del reposo desde una altura de 5.0 m sobreun plano inclinado 40.0 grados. Si el coeficiente de fricción es 0.2, determina eltiempo que tardará el bloque en llegar al suelo.

3) Un bloque de masa 500 gramos es empujado contra una pared vertical, aplicandouna fuerza horizontal constante de magnitud 20.0 N. Si el coeficiente de fricciónentre el bloque y la superficie es 0.15, determina la magnitud de la aceleraciónentre el bloque y la superficie es 0.15, determina la magnitud de la aceleraciónasociada con el bloque.

4) Un objeto de 250.0 N está inicialmente en reposo. Lo tomas con tu mano y lo subesverticalmente hacia arriba con aceleración contante. Si a los 3.0 s haz logrado subirel objeto 1.5 m, determina la fuerza que estás ejerciendo sobre el objeto.

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5) Un objeto de masa m es lanzado hacia arriba sobre la superficie de unplano inclinado con una rapidez inicial de 2.5 m/s. Si el bloquerecorre 1.2 m, se detiene y luego comienza su viaje de regreso.Determina la rapidez con la que el bloque regresa a su punto delanzamiento. No desprecies los efectos de fricción.