clase 4
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Supuestos de ANDEVAy contrastes
Diseño ExperimentalClase 4
Modelo
= promedio global
i = promedio grupo
ij = error o residuos
ijijijy
Supuestos
• Los residuos ij se distribuyen normalmente
• Los residuos ij tienen promedio 0 y varianza constante
• Los residuos ij son independientes y no presenten autocorrelación de ningún tipo
Supuestos
• ¿Qué tan robustos son métodos y supuestos?– Normalidad y varianza: Robustos– Independencia: Muy sensible
• ¿Cómo detectar problemas?
No conocemos ij
iijij
iijij
iijij
ijiij
yyr
yr
y
y
ˆˆ
Revisión Supuestos
• Análisis gráfico– Independencia– Igualdad de varianza– Normalidad
• Estadístico– Normalidad
Normalidad de ij
• Figuras cuantil-cuantil• Grafica
– Cuantiles observados eje-x– Cuantiles esperados según
~N(0,1)– Línea que pasa por Q3 y Q1
Colas Livianas
Colas Pesadas
Colas Pesadas
-3 -2 -1 0 1 2 3
-4-2
02
4
Normal Q-Q Plot
Theoretical Quantiles
Sa
mp
le Q
ua
ntil
es
Distribución Asimétrica
Variable sin Considerar
Varianza constante
• Se grafica los residuos vs. valores estimados– Residuos: rij
– Estimados: ŷij
iijy ˆˆˆ
6 8 10 12 14 16
-50
51
0
Fitted values
Re
sid
ua
ls
lm(sr ~ pop15 + pop75 + dpi + ddpi)
Residuals vs Fitted
iijy ˆˆˆ
Residuos
0
Residuos estandarizados
• Residuos usualmente estandarizados– Divide entre s– Reduce dispersión
• Raíz cuadrada– Reduce sesgo
Varianza Proporcional
iijy ˆˆˆ
Residuos
0
iijy ˆˆˆ
Residuos
0
Independencia
• Difícil de probar• Depende de Diseño
Experimental• Figuras especiales1. Residuos vs. nivel de factores2. Residuos vs. orden de corrida
RESIDUOS
Orden
Sin Patrón
RESIDUOS
Orden
autocorrelación positiva
RESIDUOS
Orden
autocorrelación negativa
alternan + y -
¿Cómo resolver problemas?• Problemas con modelo
– Cambiar modelo– Incluir
•Interacciones•Polinomios•Bloques
– Transformaciones
¿Cómo resolver problemas?• Varianzas desiguales
– Transformaciones– Modelos independientes o no-
lineales– Rangos
¿Cómo resolver problemas?• Falta de Normalidad
– Transformaciones– Análisis de Rangos– GLM
Transformaciones
• ¿Cuáles son?– Matemáticas– Trigonométrica– Box-Cox
• ¿Cuál usar?– Prueba y Error– Box Cox es
mejor )arcsin(
)log(
1
1
xx
xx
xx
xx
xx
Box-Cox
• Transformación de poder
• Máxima Verosimilitud
• Se relaciona a otras transformaciones
Contrastes
Contrastes
• Comparaciones ‘a priori’• Basadas en Objetivos e
Hipótesis del proyecto• Tienen más poder que ‘a
posteriori’– Basadas en SSt
– No violan supuestos– No pierde control alfa
Contrastes
• Se compara el efecto de cada nivel o tratamiento i o sus promedios i
• Para contrastes se calculan promedios ponderados
• La matriz de contrastes es el peso (ci) que se da a cada efecto i o sus promedios i
Nomenclatura
.
...
..
.
ˆ
ˆ
i
ii
i
ij
y
yy
y
y
y
Contrastes
i iiiiii
ai
iii
g
ii
g
iiii
yww
cccc
cc
ˆˆ
0 donde
211
Control F3 S3 F6 S6 F12 S12 TOTAL
12 24 9 30 16 18 10 17
30 32 9 7 10 24 4 7
10 29 16 21 18 12 4 16
18 26 4 9 18 19 5 17
Promedio 22.6 9.5 16.8 15.5 18.3 5.8 14.3 15.7
Desviacion i y1.-y.. 7.0 -6.2 1.1 -0.2 2.6 -9.9 -1.4
Papas (Cochran)
Contrastes e Hipótesis• Supongamos que
se quiere comparar el grupo control con los demás tratamientos
• Comparar “primavera” con “otoño”
6: 6543
11
H
33: 3642
2
H
Hipótesis
• Contrastes comparan promedios en un modelo lineal:
033
:
06
:
36422
765431
H
H
Comparación Lineal
• Un contraste es una combinación lineal de los promedios grupales para evaluar una comparación específica
76542
76543211
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
10
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
11
Coeficientes
• Usualmente los contrastes se expresan como un vector de coeficientes:
3,3,3,3,3,3,0
3
1,
3
1,
3
1,
3
1,
3
1,
3
1,0
1,1,1,1,1,1,6
6
1,
6
1,
6
1,
6
1,
6
1,
6
1,1
2
1
c
c
Número contrastes
• Hay número infinito de contrastes– Deben cumplir cii = 0
• Algunos no son interpretables– c=(14, -8, -2, -3, -1)
• Otros son redundantes…
Contrastes Redundantes
3
323
5432
51
002
4
0
Ortogonalidad• En cada modelo se pueden establecer g-1 contrastes
no redundantes• Dos contrastes independientes se denominan ortogonales
• Geométricamente son perpendiculares
• Hay un número infinito de g-1 grupos de contrastes ortogonales
Ortogonalidad
• Los contrastes son ortogonales si:– producto puntual de dos filas es 0
0i
ii
n
cc
Suma de Cuadrados• Un grupo de contrastes ortogonales parte SSE
• Cada SS tiene un (1) grado de libertad
• Se puede calcular F
1
gSSSSSSSSE
g
ii
i
nc
SS 2
2
Ejemplo
Contrastes polinómicos• Contrastes para ajustar polinomios• Requiere que niveles sean
numéricos• Es casi lo mismo que una regresión• Polinomio depende de número de
niveles– g=2 : lineal– g=3: lineal y cuadrático– g=4: lineal, cuadrático, cúbico– etc.
• Requiere contrastes especiales o R
Contrastes polinomiales
• Requieren mismo espacio entre niveles
• Requieren igual n
• Pueden usarse para otros casos, pero mejor usar regresion
k Polinomio 1 2 3 4 5
3 Lineal -1 0 1
Cuadrático 1 -2 1
4 Lineal -3 -1 1 3
Cuadrático 1 -1 -1 1
Cúbico -1 3 -3 1
5 Lineal -2 -1 0 1 2
Cuadrático 2 -1 -2 -1 2
Cúbico -1 2 0 -2 1
Cuártico 1 -4 6 -4 1