CINEMTICA DE LA PARTCULA

INTRODUCCIN MECANICA

MECNICA DE FLUIDOS

MECNICA DE CUERPO

DEFORMABLE

MECANICA DE

CUERPO RIGIDOS

DINAMICA ESTATICA

CINETICA CINEMATICA

CINEMTICA RECTILNEA

Decimos que una partcula tiene un movimiento

rectilneo cuando su trayectoria medida con respecto

a un observador es una lnea recta

1. POSICIN.

'

' '

x x x

r r r x i xi

2. DESPLAZAMIENTO.

VELOCIDAD MEDIA

Si la partcula se mueve de P a P experimentando un desplazamiento x positivo durante un intervalo de tiempo t, entonces, la velocidad media ser

2 2

2 1

' '

' '

m

m

x xxv

t t t

r r r x i xiv

t t t t t

VELOCIDAD INSTANTNEA

Es la velocidad de la partcula en cualquier instante de tiempo se obtiene llevando al lmite la velocidad

media es decir, se hace cada vez ms pequeo el

intervalo de tiempo y por tanto valores ms

pequeos de x. Por tanto:

0

0

lim( )

lim( )

t

t

x dxv

t dt

r dr dxv i

t dt dt

ACELERACIN MEDIA .

Si la velocidad de la partcula al pasar por P es v y cuando pasa

por P es v durante un intervalo de tiempo t, entonces:

La aceleracin media se

define como

'

'med

v v va

t t t

ACELERACIN INSTANTANEA .

La aceleracin instantnea se obtiene llevando al lmite la aceleracin media cuando t tiende a cero es decir

0

2

2

lim( )

( )

t

v dva

t dt

d dx d xa

dt dt dt

RESUMEN

DETERMINACIN DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTCULA

LA ACELERACIN ES CONSTANTE a = constante

A este caso se le denomina movimiento rectilneo

uniforme y las ecuaciones obtenidas son

Ejemplo 01 Una partcula metlica est sujeta a

la influencia de un campo magntico

tal que se mueve verticalmente a

travs de un fluido, desde la placa A

hasta la placa B, Si la partcula se

suelta desde el reposo en C cuando

S = 100 mm, y la aceleracin se

mide como donde S est

en metros. Determine; (a) la

velocidad de la partcula cuando

llega a B (S = 200 mm) y (b) el

tiempo requerido para moverse de C

a B

Solucin Debido a que a = f(S), puede

obtenerse la velocidad como

funcin de la posicin usando vdv

= a dS. Consideramos adems que

v = 0 cuando S = 100 mm

La velocidad cuando S = 0,2 m es

El tiempo que demora en viajar la partcula de C a B se

determina en la forma

Cuando S = 0,2 m el tiempo es

2 2

2 2ln

duu u a k

u a

MOVIMIENTO CURVILINEO

COMPONENTES RECTANGULARES DE LA

VELOCIDAD Y LA ACELERACIN POSICIN. La posicin instantnea de una partcula en componentes x, y, z es

kzjyixr

Las coordenadas x, y, z son funciones del tiempo: x = f(t), y = f(t), z = f(t)

La magnitud del vector de posicin

ser 222 zyxr

Velocidad media. Si una partcula se mueve de P a P experimenta un desplazamiento r en un intervalo de tiempo t. La velocidad media ser

Es un vector secante a la trayectoria

m

r x y zv i j k

t t t t

Velocidad instantnea. Se obtiene llevando al lmite cuando t 0, la velocidad media

es decir:

Es un vector tangente a la curva y

tiene una magnitud definida por

kvjviv

kzjyixkdt

dzj

dt

dyi

dt

dxv

zyx

222

zyx vvvv

Aceleracin media. Cuando la partcula cambia de posicin su velocidad tambien cambia.

Entonces la aceleracin media ser

Es un vector que se encuentra dirigido

a lo largo del cambio de velocidades

yx zm

vv vva i j k

t t t t

Aceleracin instantnea. Se obtiene llevando al lmite la aceleracin media.

Es un vector que se encuentra dirigido

hacia la concavidad de la curva y su

magnitud es

x y z

x x

y y

z z

dva a i a j a k

dt

donde

a v x

a v y

a v z

222

zyx aaaa

EJEMPLO 05 El movimiento de la caja B est definida por

el vector de posicin

donde t esta en segundos y el argumento

para el seno y el coseno est en radianes.

Determine la localizacin de la caja cuando

t = 0,75 s y la magnitud de su velocidad y

aceleracin en este instante

[0,5 (2 ) 0,5cos(2 ) 0,2 ]r sen t i t j tk m

SOLUCIN La posicin de la partcula cuando t = 0,75 s es

La distancia medida desde el origen ser

La direccin es

0.75 {0.5s n(1.5 ) 0.5cos(1.5 ) 0.2(0.75) }t sr e rad i rad j k m

0,75 {0.499 0.0354 0.150 }sr i j k m

2 2 2(0.499) (0.0354) ( 0.150) 0.522r m

1

0.499 0.0352 0.150

0.522 0.522 0.522

0.955 0.0678 0.287

cos (0.955) 17.2

86.1

107

r

ru i j k

r

i j k

La velocidad de la partcula cuando t = 0,75 s es

La aceleracin de la partcula cuando t = 0,75s

a = 2 m/s2

{1cos(2 ) 1sin(2 ) 0.2 } /dr

v t i t j k m sdt

2 2 2 1.02 /x y zv v v v m s

2{ 2sin(2 ) 2cos(2 ) } /dv

a t i t j m sdt

Movimiento plano

Velocidad

Aceleracin Para Hallar

Como d es pequeo

CASOS ESPECIALES

1. La partcula se mueve a lo largo de una lnea recta

r => an = v2/r 0 > a = at = v

La componente tangencial representa la razn

de cambio de la magnitud de la velocidad 2. La partcula se mueve en la curva a velocidad constante

at = v = 0 => a = an = v2/r

La componente normal representa la razn de cambio de la direccin de la

velocidad

CASOS ESPECIALES

3) La componente tangencial de la aceleracin es constante, at = (at)c.

So and vo son la posicin y la velocidad de la partcula en t = 0

3) La partcula se mueve a lo largo de la trayectoria dada por y = f(x). Entonces el radio de curvatura es

2

0 0

0

2 2

0 0

1( )

2

( )

2( ) ( )

c c

c c

c c

s s v t a t

v v a t

v v a s s

2 3/ 2

2 2

[1 ( / ) ]

/

dy dx

d y dxr

CASOS ESPECIALES

EJEMPLO 06

Un esquiador viaja con una rapidez de 6 m/s la que se est incrementando a razn de 2 m/s2, a lo largo de la trayectoria

parablica indicada en la figura. Determine su velocidad y

aceleracin en el instante que llega a A. Desprecie en los clculos

el tamao del esquiador.

SOLUCIN

Estableciendo los ejes n y t mostrados se tiene.

La velocidad de 6 m/s es tangente a la trayectoria y su direccin ser

Por lo tanto en A la velocidad forma 45 con el eje x

1,20

1

10

2 xdx

dyxy

La aceleracin se determina aplicando la ecuacin

Para ello se determina el radio de curvatura

2

t n

dv va e e

dt r

2 3/ 2

2 2

2 3/ 2

[1 ( / ) ]

/

[1 ( /10) ]

1/10

28.28

dy dx

d y dx

x

m

r

r

r

2

2

6 2

28,3

2 1,27

A t n

A t n

A t n

dv va e e

dt

a e e

a e e

r

La magnitud y la direccin de la aceleracin sern

2 2 2

1

2 1.237 2.37 /

2tan 57.5

1.327

a m s

Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista horizontal circular que tiene un radio de 90 m. Si el carro incrementa su rapidez a razn constante de 2,1 m/s2 partiendo

desde el reposo, determine el tiempo necesario para alcanzar una aceleracin de 2,4

m/s2. Cul es su velocidad en ese instante.

Ejemplo 07

SOLUCIN

Se sabe que la aceleracin tangencial es constante e igual a

La aceleracin normal ser

La aceleracin total ser

La velocidad en este instante ser

2

0

2,1 /

0 2,1

t

t

a m s

Entonces

v v a t

v t

2 22 2(2,1 ) 0.049 /

90n

v ta t m s

r

2

2

2 2 2 2

2 2 2 2

2,1 0.049

2,1 [0.049 ]

2,4 2,1 [0.049 ]

4,87

t t n

t n

va a e e

a e t e

a t

t

t

r

2.1 10.2 /v t m s

Una caja parte del reposo en A e incrementa

su rapidez a razn de at = (0.2t) m/s2 y

viaja a lo largo de la pista horizontal

mostrada. Determine la magnitud y direccin

de la aceleracin cuando pasa por B

Ejemplo 08

La posicin de la caja en cualquier instante

es S medida a partir del punto fijo en A.

La velocidad en cualquier instante se

determina a partir de la aceleracin

tangencial, esto es

0 0

2

0.2 (1)

0.2

0.1 (2)

t

v t

a v t

dv tdt

v t

Para determinar la velocidad en B, primero es necesario determinar S = f(t), despus obtener el tiempo necesario para que la caja llegue a B. es decir

De la geometra se tienesB = 3 + 2(2)/4 = 6.142 m.

Entonces tenemos

2

2

0 0

3

0.1

0.1

0,0333 (3)

S t

dsv t

dt

ds t dt

S t

36,142 0,0333

5,69

t

t s

Remplazando el tiempo en las

ecuaciones (1) y (2) resulta

En el punto B el radio de curvatura

es = 2 m, entonces la aceleracin ser

La aceleracin total ser

Su modulo y direccin sern

2

2

( ) 0.2(5.69) 1.138 /

0.1(5.69) 3.238 /

B t B

B

a v m s

v m s

22( ) 5.242 /BB n

B

va m s

r

2

,

1,138 5,242

BB t B t n

B t n

va a e e

a e e

r

2 2 2

2

1,138 [5,242]

5,36 /

a

a m s

1 5.242[ ] 77,751,138

tg

En un instante dado, el avin a chorro tiene una rapidez de 400pies/s y la

aceleracin de 70pies/s2 .Determine la razn de incremento en la rapidez del

avin y el radio de curvatura de la trayectoria

Ejemplo 10

Un camin viaja en una trayectoria circular con radio de 50m a una rapidez de 4m/s. Por

una corta distancia desde s=0, su rapidez es incrementada en at=(0.05s) m/s2, donde s esta

en metros. Determine su rapidez y la magnitud de su aceleracin cuando ha recorrido

s=10m

Ejemplo 11

UNA PARTCULA P VIAJA A LO LARGO DE UNA TRAYECTORIA ESPIRAL

ELPTICA DE MANERA TAL QUE SU VECTOR POSICIN EST DEFINIDO

MEDIANTE R= {2COS(0.1T)I+1.5SEN(0.1T)J+(2T)K}, DONDE T EST EN

SEGUNDOS Y LOS ARGUMENTOS PARA EL SENO Y EL COSENO SON

DADOS EN RADIANES. CUANDO T=8S, DETERMINE LOS NGULOS

COORDENADOS DE DIRECCIN , , QUE EL EJE BINOMIAL AL PLANO OSCULADOR FORMA CON LOS EJES X,Y,Z. SUGERENCIA: ENCUENTRE LA VELOCIDAD VP Y LA

ACELERACIN AP DE LA PARTCULA EN TRMINOS DE SUS

COMPONENTES I,J,K.

Ejemplo 12

MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS:

MOVIMIENTO DEPENDIENTE

La posicin de una partcula puede depender de la posicin de otra u otras partculas.

En la figura la posicin de B depende de la posicin de A.

Debido a que la longitud del cable ACDEFG que une ambos bloques es constante se tiene

2 tan

2 0

2 0

A B

A B

A B

x x cons te

v v

a a

Debido a que slo una de las coordenadas

de posicin xA o xB puede elegirse

arbitrariamente el sistema posee un grado de

libertad

Aqu la posicin de una partcula depende de dos posiciones ms.

En la figura la posicin de B depende de la posicin de A y de C

Debido a que la longitud del cable que une a los bloques es constante se tiene

2 2A B Cx x x ctte

022or022

022or022

CBACBA

CBACBA

aaadt

dv

dt

dv

dt

dv

vvvdt

dx

dt

dx

dt

dx

SI EL EXTREMO DEL CABLE

LOCALIZADO EN A EST SIENDO

JALADO CON RAPIDEZ DE 2M/S,

DETERMINE LA RAPIDEZ CON QUE SE

ELEVA EL BLOQUE E

LA GRA SE USA PARA ISAR LA CARGA.

SI LOS MOTORES COLOCADOS EN A Y B

ESTN JALANDO EL CABLE CON

RAPIDEZ DE 2 Y 4PIES/S,

RESPECTIVAMENTE, DETERMINE LA

RAPIDEZ DE LA CARG.

EJEMPLO 13

El collar A y el bloque B estn enlazados como se muestra en la figura

mediante una cuerda que pasa a travs

de dos poleas C, D y E. Las poleas C y

E son fijas mientras que la polea D se

mueve hacia abajo con una velocidad

constante de 3 pul/s. Sabiendo que el

collar inicia su movimiento desde el

reposo cuando t = 0 y alcanza la

velocidad de 12 pulg/s cuando pasa por

L, Determine la variacin de altura, la

velocidad y la aceleracin del bloque B

cuando el collar pasa por L

SOLUCIN

Se analiza en primer lugar el movimiento de A.

El collar A tiene un MRUV, entonces se determina la aceleracin y el tiempo

2

2

020

2

s

in.9in.82

s

in.12

2

AA

AAAAA

aa

xxavv

s 333.1s

in.9

s

in.12

2

0

tt

tavv AAA

SOLUCIN

Como la polea tiene un MRU se calcula el

cambio de posicin en el tiempo t.

in. 4s333.1s

in.30

0

DD

DDD

xx

tvxx

El movimiento del bloque B depende del

movimiento del collar y la polea. El

cambio de posicin de B ser

0in.42in.8

02

22

0

000

000

BB

BBDDAA

BDABDA

xx

xxxxxx

xxxxxx

in.160 BB xx

SOLUCIN

Derivando la relacin entre las posiciones

se obtiene las ecuaciones para la velocidad

y la aceleracin

2 constant

2 0

in. in.12 2 3 0

s s

18 lg/

A D B

A D B

B

B

x x x

v v v

v

v pu s

in.

18s

Bv

2

2 0

in.9 0

s

A D B

B

a a a

a

2

2

in.9

s

9 lg/

B

B

a

a pu s

EJEMPLO 14

La caja C est siendo levantada

moviendo el rodillo A hacia abajo

con una velocidad constante de vA

=4m/s a lo largo de la gua.

Determine la velocidad y la

aceleracin de la caja en el

instante en que s = 1 m . Cuando

el rodillo est en B la caja se apoya

sobre el piso.

SOLUCIN

La relacin de posiciones se determina teniendo en cuenta que la longitud del cable que une al bloque y el rodillo no varia.

Cuando s = 1 m, la posicin de la caja C ser

Se determina ahora la posicin xA, cuando s = 1 m 2 24 8C Ax x m

4 4 1 3C Cx m s m m x m

2 23 4 8 3A Am x m x m

La velocidad se determina derivando la relacin entre las posiciones con respecto al tiempo

La aceleracin ser

1/ 2

2

2 2

116 (2 ) 0

2

3 (4 / )

16 16 3

2,4 /

C AA A

AC A

A

C

dx dxx x

dt dt

x m m sv v

x

v m s

2 2 2

2 2 2 2 3

2 2 2

3

2

16 16 16 [16 ]

4 3(0) 3 (4 )

16 9 16 9 [16 9]

2,048 /

C A A A A A AC A

A A A A

C

C

dv x v x a x vda v

dt dt x x x x

a

a m s

EJEMPLO 15

El sistema representado parte del reposo y

cada componente se mueve a aceleracin

constante. Si la aceleracin relativa del

bloque C respecto al collar B es 60 mm/s2

hacia arriba y la aceleracin relativa del

bloque D respecto al bloque A es 110 mm/s2

hacia abajo. Halle: (a) la aceleracin del

bloque C al cabo de 3 s, (b) el cambio de

posicin del bloque D al cabo de 5 s

EJEMPLO 16

Un hombre en A est sosteniendo

una caja S como se muestra en

la figura, caminando hacia la

derecha con una velocidad

constante de 0,5 m/s. Determine

la velocidad y la aceleracin

cuando llega al punto E. La

cuerda es de 30 m de longitud y

pasa por una pequea polea D.

RESOLUCIN GRFICA DE

PROBLEMAS EN EL MOVIMIENTO

RECTILNEO La velocidad y la aceleracin en el movimiento rectilneo estn dadas por las ecuaciones,

La primera ecuacin expresa que la velocidad instantnea es igual a la pendiente de la curva en dicho instante.

La segunda ecuacin expresa que la aceleracin es igual a la pendiente de la curva v-t en dicho instante

/

/

v dx dt

a dv dt

RESOLUCIN GRFICA DE

PROBLEMAS EN EL MOVIMIENTO

RECTILNEO Integrando la ecuacin de la velocidad tenemos

El rea bajo la grfica v-t entre t1 y t2 es igual al desplazamiento neto durante este intervalo de tiempo

El rea bajo la grfica a-t entre t1 y t2 es igual al cambio neto de velocidades durante este intervalo de tiempo

2 2

1 12 1 2 1;

t t

t tA x x vdt A v v adt

OTROS MTODOS GRFICOS El momento de rea se puede utilizar para

determinar la posicin de la partcula en

cualquier tiempo directamente de la curva v-t:

1

0

1 0

0 1 1

area bajo la curva

v

v

x x v t

v t t t dv

usando dv = a dt

,

1

0

11001

v

v

dtatttvxx

1

0

1

v

v

dtatt Momento de primer orden de area bajo la curva a-t con repecto a la

lnea t = t1

1 0 0 1 1rea bajo la curva

abscisa del centroide

x x v t a - t t t

t C

Mtodo para determinar la

aceleracin de una partcula de la

curva v-x

tan

a BC

dva v

dx

AB

a BC subnormal

EJEMPLO 17

Un ciclista se mueve en lnea recta tal que su posicin es descrita mediante la grfica mostrada. Construir la grfica v-t y a-t para el intervalo de tiempo 0 t 30 s

EJEMPLO 18

Un carro de ensayos parte del reposo y viaja a lo largo de una lnea recta acelerando a

razn constante durante 10 s. Posteriormente desacelera a una razn constante hasta

detenerse. Trazar las grficas v-t y s-t y determinar el tiempo t que emplea en detenerse

SOLUCIN: GRAFICA V - T La grfica velocidad-tiempo puede ser determinada mediante

integracin de los segmentos de recta de la grfica a-t. Usando la

condicin inicial v = 0 cuando t = 0

Cuando t = 10 s, v = 100 m/s usando esto como condicin inicial para el

siguiente tramo se tiene

tvdtdvasttv

10,10;1010000

1202,2;2;1010100

tvdtdvattstv

Cuando t = t, la velocidad nuevamente es cero por tanto se

tiene

0= -2t + 120

t = 60 s

SOLUCIN: GRAFICA S - T La grfica posicin-tiempo puede ser determinada mediante integracin

de los segmentos de recta de la grfica v-t. Usando la condicin inicial

s = 0 cuando t = 0

Cuando t = 10 s, S = 500 m usando esto como condicin inicial para el

siguiente tramo se tiene

Cuando t = t, la posicin

S = 3000 m

2

005,10;10;100 tsdttdstvst

ts

600120

1202;1202;6010

2

10500

tts

dttdstvststs

EJEMPLO 19

La grfica v-t, que describe el movimiento de un motociclista que se mueve en lnea

recta es el mostrado en la figura. Construir el grfico a-s del movimiento y determinar el

tiempo que requiere el motociclista para alcanzar la posicin S = 120 m

SOLUCIN Grafico a-s.

Debido a que las ecuaciones de los segmentos de la grfica estn dadas, la grfica a-t

puede ser determinada usando la ecuacin dv = a ds

0

;15;12060

6.004.0

32.0;600

ds

dvva

vmsm

sds

dvva

svms

Calculo del tiempo.

El tiempo se obtiene usando la grfica v-t y la ecuacin v = ds/dt. Para el primer

tramo de movimiento, s = 0, t = 0

Cuando s = 60 m, t = 8,05 s

3ln5)32.0ln(5

32.0

32.0;32.0;600

0

st

s

dsdt

ds

v

dsdtsvms

st

o

Calculo del tiempo.

Para el segundo tramo de movimiento

Cuando S = 120 m, t= 12 s

05.415

15

15;15;12060

6005.8

s

t

dsdt

ds

v

dsdtvms

st

EJEMPLO 20

Una partcula parte del reposo y se mueve describiendo una lnea recta, su aceleracin

de 5 m/s2 dirigida hacia la derecha permanece invariable durante 12 s. A continuacin

la aceleracin adquiere un valor constante diferente tal que el desplazamiento total es

180 m hacia la derecha y la distancia total recorrida es de 780 m. Determine: (a) la

aceleracin durante el segundo intervalo de tiempo, (b) el intervalo total de tiempo.

SOLUCIN

En la figura se muestra el grfico velocidad-tiempo , ya que a =

constante.

La distancia total es la suma de las reas en valor absoluto

2 11

1

2 2

1 1

1

5 /

5 / ( ) 5 / (12 )

60 / (1)

vtg a m s

t

v m s t m s s

v m s

1 2 1 2 1 3 3

2 3 3

1 1780 ( ) ( )

2 2

1 1(12 )60 / ( ) 780 (2)

2 2

Td A A m t t v t v

s t m s t v m

El desplazamiento viene expresado por

1 2 1 2 1 3 3

2 3 3

1 1180 ( ) ( )

2 2

1 1(12 )60 / ( ) 180 (3)

2 2

x A A m t t v t v

s t m s t v m

2

2

(12 )60 / 960

4 (4)

s t m s m

t s

12

2

2

60 /

4

15 / (5)

v m sa tg

t s

a m s

232

3

2

3 3

15 /

15 / ( ) (6)

va tg m s

t

v m s t

3 3

22

3

3

1 1(12 4 )60 / ( )(15 ) 180

2 2

15 /480 ( ) 180

2

6,32

s s m s t t m

m sm t m

t s

El intervalo total de tiempo ser

1 2 3 12 4 6,33

22,33

t t t t s s s

t seg

EJEMPLO 21

Un cuerpo se mueve en lnea recta con una velocidad cuyo cuadrado disminuye

linealmente con el desplazamiento entre los puntos A y B los cuales estn separados

90 m tal como se indica. Determine el desplazamiento x del cuerpo durante los dos ltimos segundos antes de llegar a B.