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Cálculo diferencial e integral de una variable

Ecuaciones diferenciales

.

22

Cálculo diferencial e integral de una variable

Habilidades

1. Reconoce una ecuación diferencial de la forma y’= f(x,y).Verifica si una función f(x) es solución de una ecuación

diferencial.3. Obtiene la solución de una ecuación diferencial.4. Describe mediante una ecuación diferencial laInterpretación de modelos.

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial es aquélla que contiene una funcióndesconocida y una o más de sus derivadas.

El orden de una ecuación diferencial es el correspondientea la derivada de orden más alto que se tenga en la ecuación.

Una función f es una solución de una ecuación diferencial, siésta se cumple cuando se sustituyen y = f(x) y sus derivadas enella, para todos los valores de x en algún intervalo I.

Resolver una ecuación diferencial es hallar todas las solucionesposibles de ella, es decir, hallar la solución general de ella.

Definición

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Ecuaciones diferencialesResolver un problema con valor inicial es hallar una solución deuna ecuación diferencial que cumpla una condición inicial,

y(x0) = y0.

La forma general de una ecuación diferencial de primer ordenes:

Forma general

yx,fy'

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial de variables separables es una ecuación diferencial de primer orden en la cual la expresión para dy/dx se puede factorizar como:

Ecuaciones de variables separables

ygxfdxdy

o también como:

ygxf

dxdy

si g(y) 0.

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Ecuaciones diferenciales

Escribimos la ecuación separable en forma diferencial:

Resolución de ecuaciones separables

dxxfdyyg1

o también como:

dxxfdyyg

según sea el caso. Luego integramos, con respecto a y en el miembro izquierdo y con respecto a x en el miembro derecho.

si g(y) 0.

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Ecuaciones diferencialesCrecimiento poblacional

Ecuación diferencial que modela:

Ay ,k ,kydtdy

(0)0

Función de crecimiento poblacional:

ktAety )(

Se considera que en condiciones de ambiente y suministro alimenticio ilimitados, la rapidez con la cual crece una población es proporcional al tamaño presente de dicha población. Sea A la población inicial.

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Ecuaciones diferenciales

Desintegración radiactiva

Ecuación diferencial que modela:

0(0)0 mm ,k ,kmdtdm

Función de desintegración radiactiva:

ktemtm 0)(

Se considera que la rapidez con la cual se desintegra un material radiactivo es proporcional a la masa presente de

dicho material. Sea m0 la masa inicial del material radiactivo.

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Ecuaciones diferenciales

Una trayectoria ortogonal de una familia de curvas es una curva queinterseca a cada una de las curvas de dicha familia de forma tal quelas rectas tangentes son mutuamente perpendiculares en cada puntode intersección.

Trayectorias ortogonales

dxy

cyx

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Familias de trayectorias ortogonales

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Ecuaciones diferenciales

Si las pendientes de las rectas tangentes de una familia están

representadas por y1’ y las pendientes de las rectas tangentes de la

otra familia están representadas por y2’, luego:

121 'y'y

Procedimiento

Encuentre y1’ de la primera familia, expresándola únicamente

en términos de x e y. Reemplázela en la ecuación anterior y

luego despeje y2’. Por último encuentre y2, resolviendo la

ecuación diferencial que se obtiene.

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Ecuaciones diferenciales

Un problema típico de mezclado comprende un tanque de capacidadfija V, lleno con una una solución completamente mezclada de una

una sustancia con una cantidad y0.

Una solución de concentración c entra al tanque a una razón fija v yla mezcla, por completo agitada, sale del mismo a la misma razón.

Mezclas

c

v

v

V

y0

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Ecuaciones diferenciales

Si y(t) denota la cantidad de la sustancia en el tanque en el instantet, entonces dy/dt es la razón a la cual se agrega esa sustancia menos la razón a la cual se extrae:

)()( salida de razónentrada de razóndtdy

Razón de entrada: (masa por unidad de volumen entrante) x (volumen por unidad de tiempo) = cv.

Razón de salida: (masa por unidad de volumen saliente) x

(volumen por unidad de tiempo) = .vVty )(

Ecuación diferencial que modela:

0(0))(

yy , v Vty

cdtdy

1313

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial lineal es aquella que puede expresarse

en la forma:

Ecuaciones lineales

)()( xQyxPdxdy

donde P y Q son funciones continuas sobre un intervalo I. Para

resolverla multiplicamos sus dos lados por el factor de

integración e integramos ambos lados,

observando que el lado izquierdo es la derivada de un producto.

dxxP

exI)(

)(

1414

Cálculo diferencial e integral de una variable

Bibliografía

“Cálculo de una variable”

Cuarta edición

James Stewart

Secciones 9.1, 9.3, 9.4, 9.6

Ejercicios 9.1 pág 585:1-12.

Ejercicios 9.3 pág 600:1-18, 23-40.

Ejercicios 9.4 pág 610:1-4, 8-15, 19, 20.

Ejercicios 9.6 pág 626:1-4, 8-15, 19, 33, 34.