1. Clase 24 de Febrero del 2014

Otro ejemplo:

Dada la función:

f(x) =

x + 1 x < 1

ax + b 1 6 x < 2

3x 2 6 x

Halle los valores de a y b que hacen que f sea continua en <.R/

En A −∞, 1 @ f(x) es continua pues es x+1 que es un polinomio. En A 1, 2 @ f(x) es continua pueses ax+b que es un polinomio. En A 2,+∞ @ f(x) es continua pues es 3x que es un polinomio.Los puntos que se deben analizar son x=1 y x=2.

En x=1. Ocupo f de�nida en x=1 que sí está de�nida, además ocupo que :lımx→1 f(x) exista.

⇒ lımx→1− f(x)=lımx→1+ f(x).lımx→1− x + 1=lımx→1+ ax + b.⇒ 2=a+b

Siempre que se cumpla esta condición el límite va a existir y de hecho va a dar 2 o a + b.Si analizo x=2 Ocupo f de�nida en x=2 (ya está) y requiero que: lımx→2 f(x) exista.⇒ lımx→2− f(x) = lımx→2+ f(x).lımx→2− ax + b = lımx→2+ 3x.2a+b= (3•2)2a+b=6

Como ocupo que 2=a+b para que lımx→1 f(x) exista y también ocupo que: 2a+b=6 para quelımx→2 f(x) exista, debe darse que: a + b = 2 (1)

2a + b = 6 (2)

Para que los dos límites existan:b=6-2a de (2) sustituyo en (1) queda

a+6-2a=26-a=2a=4ahora b= 6-2•4= -2.La única forma de que los 2 límites existan es que: a=4 b=-2 Ya con estos valores:

1

f(x)

x + 1 x < 1

4x− 2 1 6 x < 2

3x 2 ≤ x

de modo que: lımx→1 f(x)=2=f(1) lımx→2 f(x)=6=f(2)Esto dice que f es continua en x=1 y en x=2, y como ya era continua en A −∞, 1 @, A 1, 2 @,A 2,+∞ @ se concluye que f es continua en todo <.Conclusión: Para que f sea continua en todo < debe darse que a=4, b=-2.

Sea

f(x)

(ax)2 + x + 1 si x 5 1

5ax−4x si x > 1

Determine qué valor de ”a” hace que f sea continua en todo <.R/

Antes de 1 f(x) = (ax)2 + x + 1 que es un polinomio de modo que es continuo. Después de 1f(x)= 5ax−4

x esto tiene problemas en x=0. Pero como estoy trabajando después de uno NO hayproblema.⇒ f(x) es continua después de 1.Hay que analizar qué ocurre en x=1, para que sea continua en x=1 ocupo que f esté de�nida enx=1.lımx→1 f(x) existe.Ocupo que lımx→1+ f(x)=lımx→1− f(x)5a− 4 = a2 + 2Si resolvemos:a2 − 5a + 6 = 0(a− 3)(a− 2) = 0a = 3 ó a = 2⇒ Para que el límite exista ocupo que a=2 ó a=3.Si a=2lımx→1 f(x)=f(1)6=6Se cumplen todas las condiciones. F es continua en x=1.

Si a=3lımx→1 f(x)=f(1)11=11Se cumplen todas las condiciones.⇒F es continua en x=1.Para ser continua en todo < a = 3 ó a = 2

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Tipos de discontinuidad

Discontinuidad evitable: Se da cuando lımx→a f(x) existe, perof NO está de�nida x=aóf esá mal de�nida en x=a, es decirlımx→a f(x) 6= f(a)Por ejemplo:

• F(x)= x2−1x3−1

Tiene una discontinuidad evitable en x=1, pues lımx→1x2−1x3−1=

23 sí existe, pero f NO es-

tá de�nida en x=1. Si dijeron de�na f(x) para que sea continua en x=1 simplemente sería

f(x)

x2−1x3−1 x 6= 1

23 x = 1

Discontinuidad in�nita(inevitable): Es cuando hay una asíntota vertical (k0k 6= 0)

Discontinuidad de salto (inevitable): Es cuando lımx→a− f(x), lımx→a+ f(x) existen paralımx→a− f(x) 6= lımx→a+ f(x)Por ejemplo:

• f(x)=| x |

x2 + xtiene una discontinuidad de salto en x=0. Pues:

lımx→0− f(x) = lımx→0−| x |

x2 + x= lımx→0−

−xx2 + x

= -1

6= lımx→0+ f(x)=1Salto a x=0 Esta función también tiene una discontinuidad in�nita en x=-1, pues lımx→1−1 f(x)tiene la forma 1

0=∞, de hecholımx→−1 f(x)=lımx→−1−

−xx2+x

| x |

−x x < 0

x x ≥ 0

=lımx→−1−−1x+1 =+∞

De forma similar: lımx→−1+=-∞

3

−∞ −1 +∞−1 - -

x + 1 - ++ -

• Sea f(x)= 2x3−5x2−2x−34x3−13x2+4x−3

Analice la continuidad y clasi�que todas las discontinuidades. Además, si la disconti-nuidad es evitable rede�na f(x).

R/ F(x) es continua en < excluyendo aquellos valores donde:4x3 − 13x2 + 4x− 3 = 0

4 -13 4 -3 312 -3 3

4x2 -x 1 0

4x3 − 13x2 + 4x− 3 = 0 ⇒ (x− 3)(4x2 − x + 1)=0Solución es x=3.

Discontinuidad en x=3Si calculamos lımx→3 f(x)= lımx→3

2x3−5x2−2x−3(x−3)(4x2−x+1)

00

=lımx→3���(x−3)(2x2+x+1)

���(x−3)(4x2−x+1) = 1117

2 -5 -2 -3 36 3 3

2x2 x 1 0

∴ lımx→3 f(x) Sí existe ⇒ f(x) tiene una discontinuidad evitable en x=3.

Si rede�nimos a f(x) queda

f(x)

f(x) si x 6= 3

1117 si x = 3

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