Matemática

Triángulos

Triángulos

Definición:

Figura geométrica, formada por una poligonal cerrada, delimitada

por tres lados

Triángulos

Elementos:

Lados

Ángulos

Vértices

Suma de los ángulos interiores: 180º

A

BC a

b c

γ β

α

Triángulos

Clasificación dada por sus lados:

Clasificación dada por sus ángulos:

equilátero isósceles escaleno

acutángulo obtusángulo rectángulo

Oblicuángulo

Triángulos

Líneas y puntos notables de un triángulo:

Bisectrices de un triángulo

acutángulo

A

BC

rectángulo

A

BC

obtusángulo

A

BCa aa

bb b

c c co o o

Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto interior que equidista de sus lados.

El punto “o” se denomina “incentro”.

Triángulos

Líneas y puntos notables de un triángulo:

Mediatrices de un triángulo

Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que equidista de sus vértices.

El punto “o” se denomina “circuncentro”.

acutángulo

A

BC

rectángulo

A

BC

obtusángulo

A

BCM1

M2 M3

oo

o

M1 M1

M2 M2

M3

M3

Triángulos

Líneas y puntos notables de un triángulo:

Alturas de un triángulo

Las rectas que contienen a las alturas de un triángulo se cortan en un punto.

El punto “o” se denomina “centro ortogonal” u “ortocentro”.

acutángulo

A

BC

rectángulo

A

BC

obtusángulo

A

BCa

bc c

o

o

o

ba a

b

c

Triángulos

Líneas y puntos notables de un triángulo:

Medianas de un triángulo

Las medianas de un triángulo se cortan en un punto interior cuya distancia a cada vértice es igual a 2/3 de la mediana correspondiente.

El punto “o” se denomina “baricentro” (centro de gravedad).

acutángulo

A

BC

rectángulo

A

BC

obtusángulo

A

BCa aa

b b bc c co o o

A

B

C

a

b

c

O

Triángulos

Líneas y puntos notables de un triángulo:

Exincentro : Es el punto de encuentro de la bisectrices de un ángulo de un triángulo con las dos bisectrices exteriores de los

otros dos ángulos

El exincentro “o” es centro de una circunferencia exterior, tangente a uno de los lado del triángulo y la prolongación de los otros dos .

Como conclusión podemos decir que todo triángulo posee tres circunferencias exinscritas

Triángulos

Resolución de Triángulos Rectángulos:

a2 = b2 + c2

Teorema de “Pitágoras”

+

9

16

25

22 cba

22 cab

22 bac

ac

b

Triángulos

Congruencia

Dos triángulos son congruentes si existe una correspondencia entre sus vértices tal que sus lados correspondientes son congruentes y sus ángulos correspondientes son congruente

Si ΔABC es congruente a ΔDEF se escribe ΔABC ΔDEF

C

BA

γ β

α

F

D

γ' β'

α'

E

'' '

DF ACEFBCDEAB

Triángulos

Teoremas de Congruencia

Dos triángulos son congruentes si existe una correspondencia entre sus vértices tal que sus lados correspondientes son congruentes y sus ángulos correspondientes son congruente

Si ΔABC es congruente a ΔDEF se escribe ΔABC ΔDEF

C

BA

γ β

α

F

D

γ' β'

α'

E

'' '

DF ACEFBCDEAB

Triángulos

Resolución de Triángulos Rectángulos:

a2 = b2 + c2

Teorema “Fundamental de la Trigonometría”

a2 = cos2α + sen2α

12 = cos2α + sen2α

1 = cos2α + sen2α

a = r = 1

b = cos α

α

0,0 x

y

c =

sen

α

Triángulos

Resolución de Triángulos Oblicuángulos:

a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos α

Teorema del “Coseno”

a

b cα

A

BC

Lo aplicamos cuando conocemos 2 lados y el ángulo incluido entre ellos

Triángulos

Resolución de Triángulos Oblicuángulos:

Teorema del “Seno”

a sen α =

b sen β =

c sen γ

a

b c

γ β

α

A

BC

Lo aplicamos cuando conocemos: 1 lado, su ángulo opuesto y algún otro dato, ya sea un lado o un ángulo

Triángulos

Cálculo del área, o superficie, de triángulos:

Base - Altura2

hBA

2

sencbA

sen

sensenaA

2

2

)).().(.( cpbpappA

2

cbap

L A L

A L A

L L L

C

A

B

b cα

C

A

B

b c

a

C

A

Ba

βγ

Base

hb c

a

Teorema de Herón

Triángulos

Fin