MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LA

FUERZA ARMADA

(UNEFA)

NUCLEO SUCRE- EXTESIÓN CARÚPANO

DOCENTE: INTEGRANTES:

Ing. Ángel Martínez Elba Rosina Cedeño B.

Sebastian Antón R.

María Gabriela Maestre N.

Luis Enrique Díaz C.

José Ángel Salazar F.

NOVIEMBRE DEL 2010

INTRODUCCIÓN

Para lograr un diseño satisfactorio el ingeniero debe realizar un

proceso de análisis bastante riguroso; tomando en cuenta que la

seguridad y la economía son sin duda uno de los factores más

importantes para el diseño estructural. Algunas veces se sacrifica la

economía pero nunca la seguridad

Este análisis trata de la resistencia de los materiales y el mismo

desarrolla sistemáticamente la relación entre cargas aplicadas

externamente y los efectos internos resultantes. Las cargas y las

deformaciones inducidas en el cuerpo, se estudian de manera detalladas.

Estas cargas de una u otra manera se estudian para deducir su

comportamiento y luego tomar la decisión acertada con respecto al

material y al diseño del mismo.

Esta totalidad de cálculos se simplifica de gran manera al utilizar una

representación gráfica denominada “circulo de Mohr”, nombre que lleva

gracias a su autor.

Este método permite al ingeniero obtener dichos cálculos de una

manera más sencilla y práctica, adaptando los mismos a las

características a un círculo. Esto forma una base para entender los

problemas de diseño y su solución de un modo fundamental, y

proporciona el respaldo para efectuar un trabajo de diseño seguro y

económico.

TIPOS DE ESFUERZOS:

ESFUERZO DE TRACCIÓN

Consideremos una barra sólida, sometida a la acción de dos fuerzas

iguales y opuestas, además colineales. Ambas estarán en equilibrio,

por lo que el sólido no puede desplazarse y se verifica la ecuación de

equilibrio: P +(-P) =0

Tomemos un sector de la barra y aumentemos su tamaño hasta ver sus

moléculas. Veremos pequeñas fuerzas tirando de cada molécula, que

tratan de alejarlas de sus vecinas. Sin embargo la atracción entre

moléculas opone resistencia con una fuerza igual y contraria, lo que

finalmente impide que las moléculas se alejen entre si.

Si tomamos un par de ellas veremos:

-Pi Fi -Fi Pi

Siendo Pi la acción sobre cada molécula generada por las fuerzas “P” y

“Fi “ las reacciones que opone el material generada por la atracción

molecular (o Atómica)

Si se aumenta “P” por algún medio, aumenta la reacción Fi , que podrá

crecer hasta un determinado límite, más allá del cual las moléculas se

separan irremediablemente, y como consecuencia la barra aumentará su

longitud en forma permanente.

HIPOTESIS DE NAVIER

A fin de facilitar el estudio del comportamiento de los metales frente a los

distintos esfuerzos, Navier propuso la siguiente hipótesis:

Si un sólido es homogéneo, puede imaginárselo como una sucesión

de innumerables secciones transversales paralelas entre si y

perpendiculares a su eje longitudinal .

Podemos imaginarnos a la barra como un mazo de naipes, firmemente

pegados entre sí. Cada sección transversal sería tan delgada como

el diámetro de un átomo.

Al mirar la barra de costado veríamos:

Si tomamos este modelo propuesto por Navier, podríamos extenderlo

un poco más, y pensar en un sólido idealmente homogéneo, donde cada

sección

transversal seria una especie de placa, con el espesor de un átomo,

donde todos sus átomos están perfectamente ordenados y

dispuestos según un arreglo matricial cuadrado .

Sobre cada átomo de cada una de las secciones, actuará una fuerza

Pi , de manera que podríamos escribir : Pi = P/n, siendo “n” el número

de átomos que hay en la sección transversal. Así entonces podríamos

decir que P=∑

i=0

i=n

Pi ( P es la suma algebraica de todas las fuercitas Pi

que actúa sobre cada uno de los “n” átomos) .

TENSIÓN

El modelo atómico de las secciones transversales, resulta muy

adecuado para entender en detalle el comportamiento de un sólido

ideal. Pero los materiales reales distan mucho de esta definición, de

hecho hay una gran asimetría entre lo ideal y la realidad.

A fin de salvar esta dificultad, podemos pensar en un modelo más

“macro”.

Si dividimos a cada sección transversal en un número finito “N” de

secciones unitarias elementales, podíamos decir que al aplicar la fuerza

P, sobre cada sección unitaria elemental actúa una fuerza F i . Así

entonces diremos que P= ∑i=0

i=N

Fi, donde Fi nos indica la fuerza en Kg

que le toca soportar a cada elemento unitario de superficie.

El número de secciones elementales unitarias se puede calcular

fácilmente dividiendo el área de la sección transversal por el área unitaria

: N=S /Si (siendo : S = N . Si ) .

Dado de P= N. Fi y S=N . Si , si dividimos miembro a miembro ambas

expresiones, obtendremos : P/S = Fi/Si , pero como Si= 1, entonces :

P/S = Fi

En adelante a esta fuerza por unidad de longitud, se la designará con la

letra sigma () y la llamaremos: TENSION.

De modo que podremos expresar que σ=P/S

Entonces llamaremos TENSION, al cociente entre la fuerza P aplicada

al elemento y su sección transversal.

ESFUERZO DE COMPRESIÓN:

El esfuerzo, al igual que en el caso anterior es perpendicular a la sección

transversal del cuerpo, pero este esfuerzo tiende a acortar dicho cuerpo

Es la resultante de las tensiones o presiones que existe dentro de un

sólido deformable o medio continuo, caracterizada porque tiende a una

reducción de volumen o un acortamiento en determinada dirección.

ESFUERZO CORTANTE:

Se dice que una sección de una pieza está sometida a cizallamiento o

cortadura cuando sobre ella actúa un esfuerzo cortante, es decir, una

resultante de fuerzas paralelas al plano de la sección. Dado que la

existencia de esfuerzo cortante implica la existencia de un momento

flector variable, una rebanada diferencial de una pieza sometida a

cortadura está también sometida a flexión. Veremos en lo que sigue que,

a menudo, es necesario recordar este hecho para proceder al estudio de

las tensiones producidas por la combinación de momento flector variable

y esfuerzo cortante. Adicionalmente, pueden actuar sobre la sección un

esfuerzo axil y/o un momento torsor. En tal caso, y suponiendo que el

principio de superposición es aplicable, l resultad obtenidos en este

Capítulo deben completarse con los obtenidos en los Capítulos

correspondientes.

Este tipo de solicitación formado por tensiones paralelas está

directamente asociado a la tensión cortante. Para una pieza prismática se

relaciona con la tensión cortante mediante la relación:

ESFUERZO DE FLEXIÓN

Cuando sobre el cuerpo actúan fuerzas que tienden a doblar el

cuerpo. Esto produce un alargamiento de unas fibras y un acortamiento

de otras. Este tipo de esfuerzos se presentan en puentes, vigas de

estructuras, perfiles que se curvan en máquinas, etc.

Combinación de las fuerzas de tracción y de compresión que se

desarrollan en la sección transversal de un elemento estructural para

resistir una fuerza transversal.

ESFUERZO DE TORSION

En física, a esfuerzo de torsión (τ) (también llamado a momento) es a

vector eso mide la tendencia de una fuerza a rotar un objeto sobre un

cierto eje (centro). La magnitud de un esfuerzo de torsión se define como

el producto de una fuerza y de la longitud del brazo de palanca (radio).

Apenas pues una fuerza es un empuje o un tirón, un esfuerzo de torsión

se puede pensar en como torcedura.

Unidad del SI para el esfuerzo de torsión está metros del neutonio (N m).

En LOS E.E.U.U. unidades acostumbradas, se mide adentro pies-libras

(pie·lbf) (también conocido como “pies de la libra”). El símbolo para el

esfuerzo de torsión es τ, Letra griega tau.

ESFUERZOS COMBINADOS

El estado más general de esfuerzo en un punto puede representarse por

seis componente; el mismo estado de esfuerzo se representará mediante

un conjunto diferente de componentes si se rotan los ejes.

Se estudia un estado de esfuerzo tridimensional en un punto dado y se

desarrolla ecuaciones para el cálculo del esfuerzo en un plano de

orientación arbitraria en ese punto, se analizan las rotaciones de un

elemento cúbico con respecto a cada uno

de los ejes principales de esfuerzo y se observará que las

transformaciones de esfuerzos pueden describirse mediante tres círculos

de Mohr diferentes. Se observa que en el caso de un estado de esfuerzo

plano en un punto dado, el máximo valor del esfuerzo cortante, obtenido

antes considerando rotaciones en el plano de esfuerzo, no representan

necesariamente el máximo esfuerzo cortante en ese punto.

También hay varios criterios de fluencia para materiales dúctiles bajo

esfuerzo, como una aplicación de los esfuerzos tensionales

tridimensionales, para predecir si un material fluirá en algún punto crítico.

Dos criterios comunes son: el criterio de la máxima resistencia a cortante

y el criterio de la máxima energía de distorsión. Los dos criterios que se

analizan son: el esfuerzo normal máximo y el criterio de Mohr.

EJEMPLO

Ejemplos

Tensiones Combinadas y Círculo de Mohr

En este ejemplo, en el cual una barra circular se carga en un

extremo con una fuerza descendente y momento de tensión. La fuerza

genera flexión en la barra con el momento máximo en el punto en el que

la barra se une a su apoyo o soporte. El momento da origen a una tensión

por tracción en la parte superior de la barra en el sentido “x” en el punto

que se denomina A, donde la magnitud de la tensión es

Donde Z, es el coeficiente de sección de la barra redonda. Ahora, el

momento de torsión provoca tensión por esfuerzo de corte por torsión en

el plano x-y en el punto A cuya magnitud es de,

Donde Zp es el coeficiente de sección polar de la barra. Después, el

punto A se ve sujeto a una tensión por tracción combinada con esfuerzo

de corte, el caso especial que se muestra en el círculo de Mohr.

Caso General de Tensión Combinada

Para visualizar el caso general de tensión combinada, resulta de

utilidad considerar un elemento pequeño de la pieza que soporta carga

sobre el cual ejercen acción la tensión normal y tensión por esfuerzo de

corte en forma combinada.

Para este análisis se toman en cuenta una condición de tensión

bidimensional. Los ejes x y y se alinean con los ejes correspondiente en la

pieza que se está analizando.

Las tensiones normales σx y σy pueden deberse a una fuerza de

tracción directa o de flexión. Si las tensiones normales fuesen por

compresión (negativas), los vectores apuntarían en sentido opuesto, hacia

el elemento que genera tensión.

La tensión por esfuerzo de corte quizás se deba a corte directo,

esfuerzo de corte por torsión o esfuerzo de corte vertical. La notación con

doble subíndice ayuda a orientar el sentido de las tensiones por esfuerzo

de corte. Por ejemplo, τ xy indica la tensión por esfuerzo de corte que

actúa en la cara del elemento que es perpendicular al eje x y paralela al

eje y. Una tensión positiva por esfuerzo de corte es una que tiende a

hacer girar al elemento que genera tensión en el sentido de las manecillas

del reloj.

Aquí se muestra de que τ xy es positiva y τ yx es negativa. Sus

magnitudes deben ser iguales para mantener el elemento en equilibrio.

Es necesario determinar las magnitudes y signos de cada una de

estas tensiones para mostrarlas de manera adecuada en el elemento que

genera tensión.

Tensiones normales máximas: tensiones principales.

La combinación de las tensiones norma y por esfuerzo de corte que

genera la tensión normal máxima recibe el nombre de tensión principal

máxima. σ1. La magnitud de s1 se puede calcular por medio de la

ecuación siguiente:

σ 1=σx+σ y2

+√( σ x−σ y2 )2

+τ xy2

La combinación de la tensión que se aplica, la cual genera la tensión

normal mínima se denomina como tensión principal mínima, σ2. Su

magnitud se puede calcular a partir de

σ 2=σx+σ y2

−√( σ x−σ y2 )2

+τxy2

Particularmente en análisis experimental de tensión, es importante

conocer la orientación de las tensiones principales. El ángulo de

inclinación de los planos, en los cuales ejercen acción las tensiones

principales, a los que se da nombre de planos principales, se puede

encontrar a partir de la ecuación

Φσ=12arctan [ 2 τ xy

(σ x−σ y ) ]

Este ángulo se mide a partir del eje x positivo del elemento original

que genera tensión hasta la tensión principal máxima, σ1. Así, la tensión

principal mínima, σ2 está en el plano 90º a partir de σ1.

Cuando el elemento que genera tensión está orientado tal como se

analizó de manera que las tensiones principales actúan sobre él, la

tensión por esfuerzo de corte es cero. El elemento que genera tensión

resultante quedaría:

Tensión máxima por esfuerzo de corte.

En una orientación distinta del elemento que genera tensión surgirá

la tensión máxima por esfuerzo de corte. Su magnitud se puede calcular a

partir de la ecuación:

τ max=√( σx−σ y2 )+τ xy2

El ángulo de inclinación del elemento en el que se genera la tensión

máxima por esfuerzo de corte se calcula de la manera siguiente:

Φτ=12arctan [−(σ x−σ y )/2 τ xy ]

El ángulo entre el elemento principal que genera tensión y el

elemento que genera la tensión máxima por esfuerzo es siempre 45º.

En el elemento que genera la tensión máxima por esfuerzo de corte

habrá tensiones normales de igual magnitud que actúan en sentido

perpendicular a los planos en los que ejercen acción las tensiones

máximas por esfuerzo de corte. Estas tensiones normales tienen el valor:

σ=(σ x+σ y )2

CIRCULO DE MOHR

Debido a la gran cantidad de términos y signos que ello implica y a

los numerosos cálculos que se requieren para calcular las tensiones

principales y la tensión máxima por esfuerzo de corte, existe una

probabilidad más bien alta de incurrir en errores. Utilizar el auxiliar gráfico

que se conoce como el círculo de Mohr contribuye a reducir al mínimo los

errores y proporciona un “sentido” más preciso de la condición relativa a

la tensión en los puntos que interesan.

La información que se necesita para construir el círculo de Mohr, es,

desde luego, la misma que se requiere para calcular los valores a que se

hizo mención antes, porque el enfoque gráfico es una analogía de los

cálculos.

¿Cómo se construye?

1.- Realice el análisis de tensión para determinar las magnitudes y

los sentidos de la tensión normal y de la tensión por esfuerzo de corte que

ejercen acción en el punto que interesa.

2.- Dibujar el elemento que genera tensión en el punto que interesa.

Las tensiones normales en dos planos, cualquiera que sean,

perpendiculares entre si se dibujan con tensiones por tracción positivas:

que se proyecta hacia afuera del elemento. Las tensiones por compresión

son negativas: su sentido es hacia dentro de la cara. (Si se grafica la

resultante de todas las tensiones normales que actúan en los sentidos

que se selecciona se considera que las tensiones por esfuerzo de corte

son positivas si tienden a hacer girar el elemento en el sentido de las

manecillas del reloj (cw) y negativas si el giro es en sentido contrario.

3.- Establezca un sistema de coordenada rectangular en el cual el

eje horizontal positivo representa tensiones normales positivas (por

tracción), y el eje vertical positivo representa tensiones positivas por

esfuerzo de corte (en el sentido de las manecillas del reloj) por lo tanto, el

plano que se crea se designara como el plano σ – τ .

4.-Trace los puntos en el plano σ-τ que corresponde a las tensiones

que ejercen acción en la cara del elemento que genera tensión. Si el

elemento se dibuja en el plano x-y los dos puntos a graficar son σx, τ xy y σy,

τ yx.

5.-Trace la línea que conecta los dos puntos.

6.- la línea resultante cruza el eje σ en el centro del círculo de Mohr

en el promedio de las dos tensiones normales que se aplican, donde:

σ promedio=(σx+σ y )2

Nótese que en el elemento que genera tensión que se ilustra σx es

positiva σy es negativa τ xy es positiva y τ yx es negativa. Esto es Arbitrario a

fin de ilustrar. Quiere decir que puede existir cualquier combinación de

valores positivos y negativos.

También se nota una formación de triagulo recto, el cual tiene los

lados a, b y R. donde

R=√a2+b2

Al revisar se puede observar que:

a=(σ x−σ y)2

b=τ xy

Circulo de Mohr terminado de forma parcial pasos 1-6

El punto que se identifica con O se encuentra a una distancia de σx-a a

partir del origen del sistema de coordenadas.

7.- Dibuje el círculo completo con el centro en O y un radio de R.

8.-El punto donde el circulo cruza el eje O a la derecha proporciona

el valor de la tensión principal máxima, σ1.

9.-El punto donde el circulo cruza el eje O a la izquierda proporciona

la tensión principal mínima, σ2.

10.-Las coordenadas de la parte superior del círculo proporcionan la

tensión máxima por esfuerzo de corte y la tensión normal que actúa sobre

el elemento que tiene la tensión máxima por esfuerzo de corte.

Los siguientes pasos indican como calcular los ángulos de

inclinación del elemento que genera la tensión principal y el elemento que

genera la tensión máxima por esfuerzo de corte en relación al eje x

original.

Nota: Es importante señalar que los ángulos del círculo de Mohr son

el doble de los ángulos reales. La línea a partir de O a través del primer

punto que se gráfico σx τ xy representa el eje y original. En elemento

original, estos ejes están separados por una distancia de 90º, no 180º, de

allí donde viene la característica de doble ángulo del círculo de Mohr.

11.- El ángulo 2Φσ se mide a partir del eje x según se define al eje σ1.

Nota: Es importante señalar el sentido a partir del eje x hacia eje σ

(en el sentido de las manecillas del reloj o contrario al de las manecillas

del reloj (ccw)). Esto es necesario para representar en forma correcta la

relación del elemento que genera la tensión principal con el elemento que

genera la tensión original.

12.- El ángulo a partir del eje x en el círculo hasta la línea vertical

que pasa por τmax proporciona 2τ . A partir de la geometría del círculo se

puede observar que:

2Φτ=90 º−2Φσ

13.- El paso final en el proceso de utilizar el circulo de Mohr consiste

en dibujar los elementos que generan tensión resultantes en su relación

adecuada con el elemento original.