Clase 12 segunda clase de circulo

Posición relativa de dos circunferencias en el planoLa posición relativa entre dos circunferencias viene determinada por la distancia entre sus centros (d) y el valor de sus radios R y R'.

Se tienen los casos siguientes:

Exteriores Secantes Interiores

La distancia entre los centros, d, es mayor que la suma de los radios.

Las circunferencias no tienen puntos en común.

La distancia d es menor que la suma de los radios y mayor que su diferencia.

Tienen dos puntos en común.

La distancia entre los centros es mayor que cero y menor que la diferencia entre los radios.

Una circunferencia está dentro de la otra, y por tanto no tienen puntos en común.

Tangentes Exteriores Tangentes Interiores Concéntricas

La distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.

El centro de cada circunferencia es exterior a la otra y tienen un punto en común, punto de tangencia.

La distancia entre los centros es igual a la diferencia entre los radios.El centro de una de las circunferencias está dentro de la otra. Tienen un punto en común.

Tienen el mismo centro. La distancia d=0.No tienen puntos en común, salvo que R=R', en este caso son la misma circunferencia.

Definiciones:

Cuerda común es el segmento de recta que une los puntos de intersección de dos circunferencias secantes.

El segmento que une los centros de dos circunferencias se llama línea de los centros.

Teorema

La línea de los centros de los círculos secantes es la mediatriz de la cuerda común.

Dato o hipótesis: - O y O´ centro de círculos que se cortan

- AB cuerda común - OO´ línea de los centros

Tesis a demostrar : - OO´ perpendicular bisectriz de AB

TEOREMA

Si dos círculos son tangentes, la línea de los centros pasa por el punto de contacto.

Dato o hipótesis: - O y O´ centro de círculos tangentes en P

Tesis a demostrar: - OO´ pasa por P

Recta tangente común a dos circunferencias

Dadas dos circunferencias cuya distancia entre centros es d, podemos trazar rectas tangentes a ambas circunferencias simultaneamente. Dependiendo de si estas tangentes cruzan o no la recta que une los centros, las llamaremos rectas tangentes comunes interior y exterior respectivamente.

En la gráfica AB tangente externa y CD tangente interna. Dependiendo de la posición relativa de las circunferencias se podrán tazar 4, 3, 2 o ninguna tangente común. Ejemplo: en dos circunferencias C y C’, tangentes externas, se pueden trazar 3 tangentes comunes, una interna y dos externas.

Aplicaciones:

1. Demostrar que las tangentes externas comunes y también las internas son iguales.

Tesis: AB=CD ; EF=GH

2. Demostrar que la línea de los centros pasa por el punto de corte de las rectas tangentes comunes.

3. Demostrar que la tangente interna común de los circunferencias tangentes externas bisecta la tangente externa común.

4. H : PQ tangente externa común y PM =MQT :<1 =?

5. H: AC tangente a circulo O2T: <X=?

Tarea:

Si por los puntos de corte P y Q , de dos círculos secantes se trazan dos secantes comunes cualquieras, a las dos circunferencias, los segmentos que unen sus extremos en cada circunferencia son paralelos.

Dos circunferencias iguales O y O´ se cortan en A y B, por el punto A se traza la secante común CAD. Demostrar que el triángulo CBD es isósceles.

Dos circunferencias O y O´ tangentes externas en A. Se traza las rectas BAE y BD tangente a las Circunferencia O´. la cual corta a la circunferencia O en C. Demostrar que AD es bisectriz del ángulo CAE.

H: AB paralela a DC

T: demostrar que ABDC es paralelogramo

H: círculos O1 y O2 tangentes

AC tangente a O2

T: <BDC = 45º

Polígonos y circunferencia:Cuando un polígono tiene todos sus vértices en la circunferencia, el polígono recibe el nombre de polígono inscrito en una circunferencia. En el caso de que todos los lados del polígono sean tangentes a la circunferencia, el polígono se llama circunscrito.

Ejemplo:

Una propiedad importante de los polígonos regulares es que siempre pueden ser inscriptibles y circunscriptibles, existe una relación directa entre la longitud del radio del círculo circunscrito, el radio de circulo inscrito, llamado apotema del polígono y el lado del polígono regular. Así por ejemplo:

Apotema del triángulo equilátero

El Lado de un triángulo equilátero inscrito es:

Despejamos el radio y aplicamos el teorema de Pitágoras

Aplicación determinar las relaciones entre los radios de los círculos inscrito y circunscrito y la longitud del lado de un pentágono regular.

Si se tiene un polígono regular de n lados de longitud l, de perímetro P y apotema a, descomponiéndolo en n triángulos iguales con base l y altura a se obtendría el área del polígono con la relación:

Area=n(la)2

= Pa2

El círculo como límite:si tomamos un polígono regular inscrito de n lados y volvemos a n variable haciéndolo crecer indefinidamente, entonces el perímetro del polígono se vuelve también variable creciendo indefinidamente, el límite del perímetro es la circunferencia, y de igual manera el límite del área del perímetro es el círculo.

El perímetro de la circunferencia es igual a 2r en donde π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:

Entonces el límite del perímetro del polígono con n tendiendo al infinito es igual a 2r.

Cuando el número de lados de polígono crece al infinito el valor de radio de círculo inscrito o apotema crece aproximándose cada vez más al radio del círculo circunscrito.

Y el área del polígono tiende al área del círculo, entonces el límite del área del polígono con n tendiendo al infinito es igual al área de la circunferencia.

Area el circulo=limn→∞

(areadel poligono )❑

Área el circulo= Pa2

=2πr∗r

2 , de donde

Área del circulo = 2r2

Figuras circulares:

Sector circular: Se denomina 'sector circular a la porción de círculo comprendido entre un arco de circunferencia y sus respectivos radios delimitadores.

Área del sector circular: si llamamos al ángulo central del sector circular para determinar el área del sector hacemos una regla de tres: si para un ángulo central de 2radianessetiene una área de

2r2, para un ángulo de enradianes,qué área se tendrá, obteniéndose:

Area(sector circular) ¿ r2Ɵ2

(en radianes

Area(sector circular) ¿ π r2Ɵ

360 ° (en grados

Segmento circular:En geometría, un segmento circular (o segmento de un círculo) es la porción de un círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.

Área: el área del segmento circular se obtiene como diferencia entre las áreas del sector circular y del triángulo isósceles correspondiente.

Corona o anillo circular:Es el espacio comprendido entre dos círculos concéntricos.

Aplicaciones:

La Circunferencia está inscrita en el cuadrado de lado 8 cm. Calcular el área achurada de la figura.

Determine el área sombreada, si O: centro de la circunferencia, r =85 cmy α es igual a la mitad del suplemento de 110º.

Calcule el área achurada en el rectángulo ABDC si, AB= 2 cmy BD= 35 cm

En la figura se muestra cuatro semicírculos de radio 9cm. El entro de los semicírculos son los puntos medios de los lados del cuadrado, ¿Cuál es el área del circulo interior que es tangente a los cuatro semicírculos?

Tarea:

1. Un polígono regular de nueve lados está inscrito en una circunferencia, si la suma de la longitud de un lado y la longitud de la menor diagonal del polígono es 20. Calcule la longitud de lamayor diagonal.

2. El cuadrado de la figura tiene perímetro 48u. y las cuartas circunferencias tiene radio 9u cada una determinar el área sombradas.

3. Dos circunferencias C(O, r), C(O′, r) donde r = 1 y cada una de ellaspasando por el centro de la otra, se cortan en A y B,

Hallar:a) Las medidas de los ángulosBCO′,O′AB y BACb) La longitud del perímetro del rombo OAO′Bc) El área del rombo.d) La superficie común a los dos círculos.

4. Se tiene un △ABC inscrito en una circunferencia de radio R. Sabiendoque m<BAC = 60° y m<ABC = 45°. Encontrar el área del triángulo.

5. Demostrar que la suma de lasáreas de las lúnulas(áreas sombreadas) construidas sobre un triángulorectángulo es igual al área dedicho triangulo.

6. ¿Cuál es el valor del área sombreada?, si el arco AB es el arco de una cuarta circunferenciade radio 4, los puntos C y D son los puntos medios de OA y OB respectivamente, y E es el puntodonde se cortan los segmentos BC y AD.