Actividad # 1.

Conferencia # 1.- Variables de estado. Introducción a la asignatura, sistema de evaluación, etc. Elementos de topología de los circuitos eléctricos. Definiciones generales. Variables de estado y ecuaciones de estado. Ecuación característica.

Objetivos Construir el grafo de un circuito eléctrico Formular el sistema de ecuaciones de estado. Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales. (Clase Práctica)

Elementos de topología de los circuitos eléctricos. Definiciones generales.

Ya se han estudiado los métodos y teoremas principales para el análisis de circuitos eléctricos, se abordaron las definiciones fundamentales, se planteó el diagrama topológico del circuito y ahora utilizaremos ese diagrama topológico para el cálculo de circuitos ramificados en estado transitorio.

Todos los métodos de análisis de circuitos están basados en las leyes de Kirchhoff, la topología estudia aquellas propiedades de circuitos que sólo dependen de la cantidad de ramas y nodos y su interconexión.

La topología es una disciplina matemática que se aplica a muchas ramas de las ciencias, en este caso se aplicará para obtener la solución de circuitos eléctricos en estado transitorio.

El diagrama topológico de un circuito no es más que el esqueleto del circuito, la representación de todas sus ramas y nodos y su interconexión, se denomina también grafo del circuito.

Para el circuito de la siguiente figura se pueden obtener diferentes diagramas topológicos, diferentes grafos.

Algunos de los grafos de este circuito son:

Un grafo de un circuito se dice que es aplanable si se puede hacer su representación en el plano sin superposición de las ramas.

Un grafo es no aplanable cuando no se puede realizar la representación en un plano sin que haya superposición de las ramas.

Se harán ahora algunas definiciones básicas necesarias:

- Subgrafo: es una parte de un grafo.- Rama: parte de un circuito que contiene un solo elemento.- Nodo: cada extremo una rama.- Lazo: conjunto de ramas que forman una trayectoria cerrada que pasa una vez por cada nodo.- Árbol: conjunto de ramas que unen todos los nodos y no forman un lazo, para cada circuito existen varios árboles.

6V

+

1F

2F

1/3Ω

1/3Ω 1/3Ω

Ejemplos de árboles de grafos, son los marcados en línea reforzada.

.

- Rama de árbol: cada rama de un árbol. ( NRA )- Rama de eslabón: todas las ramas que no son ramas de árbol. ( NRE )- Número de ramas de árbol: En el circuito hay n nodos, el número NRA de ramas de árboles como se observa es el número de nodos menos 1.

NRA = n -1- Número de ramas de eslabón: El número de ramas de un circuito se plantea que es N, entonces el número de ramas de eslabón es

NRE = N - NRA

- Grafo orientado: un grafo es orientado si cada rama tiene un sentido propio de voltaje y de corriente, los dos sentidos el de voltaje y el de la corriente en cada rama se hacen coincidir, de manera que en cada rama se tenga un solo sentido para su orientación de forma tal que en cada elemento la corriente siempre sea de positivo a negativo, como se indica a continuación:

Las ramas de fuentes siempre tienen el sentido definido y coincide con el sentido de la fuente, en los elementos pasivos el sentido es arbitrario.

A cada rama se le debe asignar una numeración, para hacer el planteamiento sistemático esa numeración será previamente establecida, se sistematiza también la pertenencia de cada elemento a rama de eslabón o rama de árbol. En las ramas de eslabón se deben poner las fuentes de corrientes, algunas resistencias y los inductores, en la rama de árbol se deben poner los capacitores, algunas resistencias, y las fuentes de voltaje. Como se observa las resistencias pueden formar parte de los dos tipos de ramas los otros elementos si están en un tipo de rama determinado, si existen fuentes dependientes de voltaje o corriente se tratan de forma semejante a las fuentes independientes de voltajes y corriente.

La numeración de la rama se hacen por el siguiente orden los primeros números se le asigna a las fuentes de corriente, luego a las resistencias de rama de eslabón, los inductores, los capacitores, las resistencias en rama de árbol y por último las fuentes de voltaje.

+

I

V +

I

V+

I

V

+

I

V

+

I

V

ÁRBOLES DE GRAFO

Ejemplo:

Construya el grafo del siguiente circuito

Para el circuito el grafo quedaría con 6 ramas de árbol y 3 ramas de eslabón.

Si se le orienta cada una de sus ramas el grafo quedaría (en rojo los sentidos obligados de las ramas, en negro arbitrarios):

La Rama de eslabón 1 y la Rama de Árbol 9 tienen sentido de referencia determinado por la magnitud de la fuente, para el resto de las ramas el sentido es arbitrario.

- Grupo de corte: un grupo de corte es una superficie cerrada que encierra varias ramas, se plantea que la suma de las corrientes que entran a la superficie es igual a la suma de las corrientes que salen de la superficie, no es más que la ley de conservación de la carga.- Grupo de corte principal: es aquel grupo de corte que contiene sólo una rama de árbol por lo tanto el número de grupo de corte principal no es más que el número de nodos menos uno.

Gcp = n -1

20V

+

1/8F

1/2H

4Ω

2Ω

1/2H

I

1

2

3

4

5

6 7

8

9

1

2

3

4

5

6 7

8

9

Al grupo de corte principal se le asigna un sentido positivo que es el sentido de la rama de árbol que tiene ese grupo de corte principal.

- Lazo: es un conjunto de ramas que forman una trayectoria cerrada - Malla: Es un lazo que tiene solo una rama de eslabón, el número de mallas sera entonces igual al número de ramas de eslabón, la orientación de la malla para su recorrido será la orientación de la rama de eslabón.

Ejemplo:

Para resolver un circuito es necesario resolver un sistema de ecuaciones con tantas ecuaciones e incógnitas como la cantidad de ramas, para que el sistema tenga solución única el sistema tiene que estar formado por ecuaciones linealmente independientes. Utilizando el grafo y las leyes de Kirchhoff se puede plantear de forma sistemática un sistema de ecuaciones linealmente independientes.

Planteando las leyes de Kirchhoff de corriente en los grupos de cortes principales y las leyes de Kirchhoff de voltaje en las mallas.

Leyes de Kirchhoff en los grupos de corte principales considerando la corriente positiva aquella que atraviese la superficie virtual del grupo de corte principal con el mismo sentido del grupo de corte, para el ejemplo.

Ec. 4) - i2 + i4 = 0Ec. 5) - i1- i2 + i5 = 0Ec. 6) - i1- i2 + i3 + i6 = 0Ec. 7) - i1+ i3 + i7 = 0Ec. 8) - i2 + i8 = 0Ec. 9) + i1+ i2 + i9 = 0

1

2

3

4

5

6 7

8

9

1

2

3

4

5

6 7

8

9

Aplicando la ley de Kirchhoff de voltaje en cada una de las mallas, considerando los voltajes positivos aquellos que coincidan con el sentido de recorrido de la malla, para el ejemplo

Ec 1) v1 + v5 + v6 + v7 - v9 = 0Ec 2) v2 + v4 + v5 + v6 + v8 - v9 = 0Ec 3) v3 - v6 - v7 = 0

Variables de estado y ecuaciones de estado. Ecuación característica.

Se definen como las variables de estado, a aquellas variables en los elementos almacenadores de energía que aunque se produzca un cambio energético en el sistema mantienen su valor o sea aquellas variables que mantienen la condición de continuidad en los elementos almacenadores de energía.

Serian variables de estado en el capacitor la carga y el voltaje y en el inductor las concatenaciones de flujo y la corriente.

La esencia del método consiste en basándose en las leyes de Kirchhoff formular la ecuación matricial.

Sea X un vector columna formado por las variables de estado, entonces las ecuaciones de estado quedaran de la siguiente forma:

Donde; d VE = f (VE, EST)

[X]nx1 Vector o matriz de las variables de estado (matriz columna de n filas)n # de ec. diferenciales, # incógnitas, # de L y C.

[e]mx1 Vector o matriz de los estímulos.

nx1 Matriz de las derivadas de las variables de estado

[A]nxn Matriz de los coeficientes de las variables de estado

[B]nxm Matriz de los coeficientes de los estímulos

Para plantear las ecuaciones se sistematiza la numeración de las ramas

Fuentes de Corriente

ESLABONES Resistores

Inductores

Capacitores

ARBOL Resistores

Fuentes de Voltaje

Ejemplo:

Condiciones iniciales

L = 3

R1

R2

2

6

C = 1/6 8 V

+

t < 0

+

8 V 8

i (0-) = 1 A

u (0-) = 8 V

+

8 V 8

i (0-) = 1 A

u (0-) = 8 V

Para cualquier instante

+

+

+ +

CR1

L

t > 0+

- -

-

+

+

+ +

CR1

L

t > 0+

- -

-

1

2 1

31

41

1 2 3 41 u1 - u3 = 02 u2 + u3 - u4 = 03 i1 -i2 +i3 = 04 i2 i4 = 0

VE; i2, u3,

DVE; u2, i3,

Estímulo; u4

Las DVE están en la diagonal principal y tienen signo (+) y son la 2 y la 3, las relativas a las ramas de inductores y capacitares, las restantes son para complementar, las ecuaciones serán:

dVE = f (VE, EST)

Ec # 2 u2 + u3 – u4 = 0 u2 = - u3 + u4

y como que,

entonces:

Ec # 3 i1 – i2 + i3 = 0

como, i1 = u1/R

y de la Ec 1 u1 = u3

i1 = u3/R

i3 = - i1 + i2 = - u3/R + i2

y como que,

En forma matricial:

Para tener la solución en el tiempo bastará con resolver el sistema de ecuaciones por cualquiera de los métodos conocidos. Ello se ejercitará en la Clase Práctica.Conclusiones:

DERIVADAS DE LAS VARIABLES DE ESTADO

SISTEMA DE ECUACIONES DE ESTADO

Este método de solución es similar a otros, todos los métodos de análisis de circuitos están basados en las leyes de Kirchhoff, lo que se introduce es una forma sistemática de formular las ecuaciones, utilizando el grafo.

Manualmente es manejable para redes de hasta 3er orden. Deberá emplearse técnicas de computación para órdenes mayores.

Existen otros métodos numéricos para el análisis de redes dinámicas, tales como el método operacional, que utiliza la transformada de Laplace, el cual será presentado en el siguiente tema.