circuitos de corriente directa (optaciano)

UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

CURSO: FISICA III

CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTAAUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García

HUARAZ - PERÚ

2010

I. FUERZA ELECTROMOTRIZ_1 Para que un conductor tenga una corriente constante, dicho conductor

debe ser parte de un circuito completo. Esto es necesario debido a que cuando se establece una diferencia de

potencial, entre sus extremos, aparecerá un campo eléctrico en el interior el mismo que producirá una fuerza eléctrica sobre los portadores de carga originándose una corriente eléctrica con una densidad de corriente J = σ E como se muestra en la figura a

En consecuencia se acumula carga en ambos extremos. Estas cargas crean por si mismas un campo Ea de sentido opuesto el cual hace disminuir el campo original siendo después de un corto tiempo el campo neto cero

I. FUERZA ELECTROMOTRIZ_2 Como la pretensión es mantener una corriente eléctrica

estacionaria en la dirección del eje del hilo, parece que una solución podría ser cerrar el hilo conductor sobre sí mismo, de forma que los dos extremos se toquen íntimamente, y mover las cargas sobre el circuito así formado. Las cargas se moverían como el agua en una tubería llena de ella y cerrada sobre sí misma. Realmente esta es la única solución posible.

Es necesario todavía encontrar un procedimiento para mover las cargas libres en el circuito. Podría pensarse en crear un campo electrostático a lo largo del conductor; pero ya se vio en la primera lección que es un campo conservativo:

. 0CE ds

I. FUERZA ELECTROMOTRIZ_3 Resultaría que el trabajo que ese campo realizaría sobre una carga

q que recorriera todo el circuito sería

Es decir, el campo no realizaría trabajo alguno y, por tanto, no movería la carga en el circuito, pues se necesita energía para ello. Realmente esto es una característica de cualquier campo de fuerzas conservativo: no puede mover una partícula en un camino cerrado.

Para crear una corriente en el circuito es necesario, crear en el conductor un campo eléctrico no conservativo Ef. Entonces, en cada punto del conductor, el campo total será E=Ec+Ef. Ec es el posible campo electrostático en cada punto, y Ef, el campo no conservativo. La circulación del campo total es ahora:

. . 0C CC CqE ds q E ds

( ). . . 0C f C fC C Cq E E ds q E ds q E ds

Fuerza electromotriz (fem)_ 4 Como se ve, la circulación del campo total a lo largo del circuito

ya no es cero debido a que no lo es la circulación del campo no conservativo. El valor de la circulación del campo total, que coincide con el valor de la circulación del campo no conservativo, se llama fuerza electromotriz ε . Es decir,

.fCq E ds

Fuerza electromotriz (fem)_ 5 Una fuerza electromotriz es pues un concepto que está asociado

a un camino cerrado, cualquiera que este sea, en un conductor o no, y es la circulación del campo eléctrico en ese camino cerrado.

Lo importante es que ahora el campo realiza un trabajo no nulo a lo largo del circuito. Por tanto puede hacer recorrer a la carga q todo el circuito, y el trabajo que realiza entonces es

La fuerza electromotriz en un camino cerrado es el trabajo que realiza el campo por cada unidad de carga a la que hiciera recorrer una vuelta en dicho camino cerrado; pues, en efecto, en la fórmula anterior, si q=1, W= ε. Además, también se deduce que la unidad en que se mide ε es J/C=V (voltio), pues es una energía por cada unidad de carga.

b aq W q V

V

Fuerza electromotriz (fem)_ 6En general se llama fuente generadora de fem

a cualquier dispositivo que transforma energía no eléctrica (mecánica, química, solar, térmica, etc.) en energía potencial eléctrica y la transfiere al circuito al cual se encuentra conectado el dispositivo.

Las principales fuentes fem son: las baterías, los generadores eléctricos, las caldas solares, las pilas termoeléctricas y las celdas de combustibles

1.2. Algunas fuentes de fem

1.3 Resistencia interna de una fem. En la naturaleza no se encuentra fuente

ideal alguna, es decir todas tienen una resistencia interna, entonces la fem ε no es igual a la diferencia de potencial ΔV.

Esto se debe a que cuando se mueve un portador de carga en el interior de la fuente de fem experimenta una oposición (resistencia).

Esta resistencia se llama resistencia interna (r) y que si cumple con la ley de Ohm, entonces en ella habrá una caída de potencial, de tal forma que cuando existe flujo de corriente a través de la fuente, la diferencia de potencial es

V rI

1.4 Potencia de salida en un fuente generadora de fem_1

La figura a, representa una fuente de fem ε con una resistencia interna r, conectada mediante alambres conductores de resistencia despreciable a un circuito externo representado por el rectángulo inferior y en la figura b se muestra el circuito correspondiente

1.4 Potencia de salida de una fem_2 La fuente de fem , podría ser la batería de un automóvil cuya

resistencia interna es r (no es visible a simple vista), pero podría tener una representación esquemática tal como se muestra en la figura a, dicha batería se encuentra instalada al faro de un automóvil como se ve en la figura b.

abP I V ab a bV V V rI

2( )P I rI I rI

1.5 Potencia de entrada en una fuente de fem. La figura muestra un ejemplo práctico que no es más sino el

proceso de carga de una batería de un automóvil por el alternador del automóvil. Aquí observamos que el sentido de la corriente es opuesta al mostrado en la figura de la diapositiva anterior; es decir, la fuente inferior está empujada en dirección contraria a través de la fuente de fem superior. Debido a la inversión de esta corriente, la ecuación para la diferencia de potencial entre los bornes a y b sería

ab a bV V V rI

2( )P I rI I rI

1.5 Potencia entrada en una fuente generadora de fem. En lugar de que el agente que genera la fuerza no electrostática de

la fuente de fem superior realice trabajo sobre los portadores de carga, se está realizando trabajo sobre la fuente de fem.

Es decir, en la fuente de fem superior se está realizándose una conversión de energía eléctrica en energía no eléctrica (cargándose la batería). El término (I2r) es una vez más la disipación de energía en la fuente de fem y el término es la potencia total de alimentación de la fuente superior.

Esto es lo que sucede cuando se conecta una batería recargable (acumulador) a un cargador. El cargador suministra energía eléctrica a la batería, una parte de esta energía se transforma en energía química, para someterse más tarde a una reconversión y el resto se disipa en la resistencia interna de la batería calentando ésta y provocando un flujo de calor hacia fuera de ella.

2( )I rI

II. Cálculo de la corriente en un circuito_1

En un tiempo dt aparece en R una cantidad de energía en forma de calor dada por

Durante este mismo tiempo la fuente hace un trabajo para mover una carga (dq = Idt) dado por

Según la ley de conservación de la energía

2( )

R

R

dW V dq IRdq

dW IR Idt I Rdt

( )dW dq Idt Idt

2

RdW dW

Idt I Rdt

IR

II. Cálculo de la corriente en un circuito_2

La corriente también puede determinarse usando el criterio

“La suma algebraica de los cambios de potencial alrededor del circuito completo debe ser nulo”

a aV IR V

IR

Reglas para determinar ΔV Las reglas para determinar la diferencia de potencial a

través de una resistencia y una batería cuando la dirección de la corriente son las mostradas.

2.2. Cálculo de la corriente en un circuito con una fem cuya resistencia interna es r

Aplicando el teorema de la trayectoria al circuito se tiene

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( )a aV rI RI V

r R I

Ir R

Ejemplo 01Una batería tiene una fem de 12V y una resistencia interna de 0,05Ω. Sus terminales están conectados a una resistencia de carga de 3 Ω.

A. Determine la corriente del circuito y el voltaje terminal de la batería.

B. Calcule la potencia entregada al resistor de carga, la potencia entregada a la resistencia interna y la potencia entregada por la batería.

C. Conforme la batería envejece su resistencia interna aumenta. Si al final de su vida útil su resistencia interna es 2 Ω. ¿Qué Pasará con ΔV y las potencias en cada elemento.

Ejemplo 02Demuestre que la potencia máxima entregada a la resistencia de carga en la figura ocurre cuando la resistencia de carga es igual a la resistencia interna. es decir cuando R = r

IV. RESISTENCIAS EN SERIE y EN PARALELO 4.1. RESISTENCIAS EN SERIE.

Considere un sistema compuestos por dos resistencias en serie conectadas a una batería ideal que proporciona entre sus extremos una diferencia de potencial ΔV como se muestra en la figura.

Resistencias en serie _2 La diferencia de potencial aplicada al sistema de resistencias se

divide entre estos es decir

La diferencia de potencial entre los terminales de la batería también está aplicada a la resistencia equivalente (Req).

Combinando estas ecuaciones se tiene

Para tres o más resistencias se tiene

Resistencias en serie

Preguntas1. En la figura, imagine que

cargas positivas pasan primero a través de R1 y posteriormente a través de R2. A diferencia de la corriente en R1, la corriente en R2 es: (a) menor, (b) mayor, o (c) la misma

2. Si se utiliza un trozo de alambre para conectar los puntos b y c de la figura (b) ¿Qué sucede con a luminosidad de la bombilla R1: (a) aumenta, (b) disminuye (c) permanece igual?.

Pregunta 03Cuando se cierra el interruptor de la figura izquierda, no existe corriente en R2, ya que la corriente encuentra una trayectoria alterna de menor resistencia (interruptor). Existe una corriente en R1, la que es medida con el amperímetro. Si se abre el interruptor existe una corriente en R2. ¿Qué ocurrirá con la lectura del amperímetro cuando se abre el interruptor?: (a) la lectura sube, (b) baja y (c) no cambia. Justifique sus respuestas

4.2. Resistencias en paralelo. Considere ahora dos resistores en paralelo como se

muestra en la figura

Resistencias en paralelo_2 Cuando la corriente llega al nudo a se divide en dos por tanto se

tiene

Cuando las resistencias se encuentran conectadas en paralelo , la ddp aplicada a ambos resistores es la misma. Entonces tenemos

Donde Req, es la resistencia equivalente

Para n resistores se tiene

Resistencias en paralelo

Pregunta 01En la figura imagine que añadimos un tercer resistor en paralelo a los dos primeros . ¿La corriente de la batería: (a) aumenta, (b) disminuye, (c) se mantiene igual?. ¿El voltaje terminal de la batería:(a) aumenta, (b) disminuye o (c) se mantiene igual?.

Pregunta 02Con el interruptor abierto del circuito de la figura izquierda, no hay corriente en R2. Hay corriente en R1y esta corriente se mide utilizando el amperímetro. Si se cierra el interruptor, existe corriente en R2. ¿Qué ocurre con la lectura del amperímetro cuando el interruptor se cierra?. (a) asciende, (b) desciende, (c) la lectura no cambia.

Ejemplo conceptual 03 Una persona desea instalar iluminación ornamental en su jardín

con una ddp de 12 V. Por ahorrar dinero compra un cable N° 18 (resistencia relativamente alta por unidad de longitud). Este cable esta formado por dos cables pegados como el usado en las extensiones eléctricas . Coloca un tramo de 200 pies de largo de este cable desde el suministro de energía hasta el último punto en donde planea colocar la última bombilla . Coloca lámparas cada 10 pies a lo largo de los dos alambres de manera que haya una instalación en paralelo. Debido a la resistencia de los alambres la iluminación no es la deseada . ¿Cuál es el problema de luminosidad?.

Ejemplo 01 Tres resistores se encuentran conectados en paralelo

como se muestra. Entre a y b se mantiene una ddp de 18V. (a) Determine la corriente en cada resistor, (b) la potencia que se entrega a cada resistor y la potencia total que se entrega a la combinación de resistores (c) ¿Cuál sería la resistencia equivalente

Resistencias serie paralelo

Halle Req en el circuito

Ejemplo

Una instalación de alumbrado eléctrico está formado por 25 lámparas (bombillas) en paralelo entre los extremos de conductores que tienen una resistencia de 1 y traen la corriente de un generador de 120 V de fem y resistencia interna de 9 . Si cada lámpara absorbe 0,4 A. Determine: (a) la reistencia de cada una de las lámparas y (b) la potencia disipada en cada una de las partes del circuito.

4.3. Transformaciones triángulo-estrella

4.4. Transformaciones estrella-triángulo

Ejemplo Determine la resistencia equivalente entre los

terminales x e y

4.5. REDES SIMETRICAS

Ejemplo

Determine la resistencia equivalente entre los terminales x e y

Ejemplo En el circuito mostrado en la figura. Determine:

(a) la resistencia equivalente entre los terminales A y B, (b) si se aplica una diferencia de potencial en entre A y B ¿Cuál es la intensidad de corriente en cada resistencia?.

EJEMPLO 20En la red mostrada en la figura, todas las resistencias tienen el mismo valor R. Si una intensidad de corriente I entra en el nudo a y sale por el nudo e. Determine la intensidad de corriente en cada una de las ramas ab, bd y be.

5. Asociación de fuentes de fem en serieLa asociación de dos o más fuentes de tensión en serie, es equivalente a una única fuente de tensión con un valor de fem igual a la suma de las fuentes originarias.

6. Asociación de fuentes de fem en paralelo Sólo se podrán conectar dos

o más fuentes ideales en paralelo si su valor de tensión es igual, obteniéndose una fuente equivalente de valor de tensión igual

V. LEYES DE KIRCHHOFF1° LEY. Se conoce como ley de

conservación de la carga. Establece: La suma de las corrientes que entran en cualquier nudo (unión) debe ser igual a la suma de las corrientes que salen del nudo

ingrasan salenI I

1 2 3I I I

V. LEYES DE KIRCHHOFF

1° LEY. Establezca el número de nudos y aplique la primera ley de Kirchhoff

V. LEYES DE KIRCHHOFF2° LEY. Se conoce como conservación de energía.

Establece: La suma de diferencias de potencial aplicadas a todos los elementos alrededor de un circuito cerrado debe ser igual a cero

0Lazo

cerrrado

V

Ejemplo de aplicación Un circuito de una sola malla contiene dos resistores y

dos baterías como se muestra en la figura. (a) Determine la corriente en el circuito; (b) ¿Qué potencia se entrega a cada resistor?. (c) ¿Cuál es la potencia entregada por la batería?. (e) Halle la diferencia de potencial entre los puntos d y b.

Ejemploa) Determine las corrientes

I1, I2, e I3 en el circuito mostrado en la figura.

b) ¿Cuál es la potencia disipada en cada uno de los resistores?.

c) Si el punto b se conecta a tierra ¿Cuál es es el potencial c y e?.

d) Si cada fuente tiene una resistencia interna de 0,5 ¿Cuál es la diferencia de potencial entre e y d?

Ecuaciones de mallas circulantes de Maxwell

En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) las corrientes I1, I2 e I3; (b) la diferencia de potencial entre los puntos A y B la potencia disipada en la resistencia de 30

Ejemplo 10 Determine la corriente en cada resistencia del circuito

indicado en la figura. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los puntos A y B?. ¿Cuál es la potencia en cada uno de los elementos resistivos?

MULTÍMETRO

VI. Mediciones eléctricas6.1. Medición de corriente : Para esto se usa los

amperímetros los que siempre se instalan en serie

Mediciones eléctricas6.1. Medición de corriente : Para esto se usa los

amperímetros, los mismos que se instalan en serie con el elemento cuya corriente se quiere medir

6.2.Corriente de cortocircuito

!NO INTENTE HACER ESTA INSTALACIÓN PORQUE MALOGRA EL AMPERIMETRO!

6.4 Instalación de un amperímetro usando un protoboard

6.6. Medición de corriente en una resistencia

6.7. Instalación del amperímetro usando el terminal en forma de tira

6.8. Medición de resistencias: ContinuidadUn primer paso es medir la continuidad para ello se puede proceder como se muestra en la figura

Medición de resistencias: No Continuidad

6.10.Medición de resistencias

6.11. Medición de voltaje Coloque el selector del multímetro en la escala

Voltaje continuo Instale siempre el voltímetro en paralelo con el

elemento cuto voltaje va a medir.

Medición de voltajes

VII. Verificación de la ley de OHM usando un amperímetro y un voltímetro

Relación ΔV-I en una Bombilla de luz

Circuito para encontrar la relación ΔV-I para una resitencia pura

Ejemplo Utilizando las leyes de Kirchhoff. Determine: (a) la

corriente en cada resistor del circuito, (b) la diferencia de potencial entre los puntos c y f. ¿Cuál de los puntos se encuentra a mayor potencial?.

Ejemplo Complete la tabla mostrada para el circuito que se da e la figura

Ejemplo En el circuito mostrado en la figura V1 = 20 V y V2 = 15 V y

las resistencias toman los valores siguientes: R1 = R2 = 10 R3 = 15 y R4 = R5 = 20 . Determine: (a) la corriente en cada ua de las partes del circuito, (b) la potencia en el resistor R1

EjemploEn el circuito mostrado en la figura, determine: (a) la corriente en cada una de las resistencias, (b) la potencia suministrada por la cada fem, (c) la potencia disipada en cada uno de los elementos resistivos y (d) los potenciales en cada uno de los puntos indicados si el punto a está conectado a tierra.

Ejemplo¿Cuáles son las lecturas del amperímetro y del voltímetro ideales cuando: (a) el interruptor está abierto, (b) el interruptor está cerrado?.

EjemploPara el circuito mostrado en la figura. Las lecturas del voltímetro y del amperímetro son 5,00 V y 2,00 A, respectivamente. Determine: (a) El valor de la resistencia R y (b) el valor de la fem .

Ejemplo 01 Considere que los medidores del circuito mostrado en la

figura son perfectos. Determine: (a) La resistencia equivalente, (b) La intensidad de corriente I1, (c) Las lecturas del amperímetro y del voltímetro y (d) la potencia disipada por la resistencia de 2 Ω.

EjemploEn el circuito mostrado en a figura cuando el interruptor K se abre el amperímetro marca 100 mA. Determine: (a) e valor de la resistencia desconocida R (b) la intensidad de corriente en cada una de las resistencias y c) la diferencia de potencial entre los puntos B y C.

Ejemplo 04 En la figura ε es una batería de 120 V de fem, R2 = 10 Ω,

B es una tetera eléctrica. El amperímetro marca 2 A. ¿Cuánto tiempo tarda en hervir 0,5 litros de agua en la tetera, hallándose a la temperatura inicial de 4°C?. Se desprecian las resistencias de la batería y del amperímetro. El rendimiento del hornillo de la tetera es de 76%.

Ejemplo 05 El calorímetro K tiene una espiral de resistencia R1 = 60 Ω. La espiral se conecta a la red como se muestra en la figura. ¿A cuántos grados se calentarán 480 g de agua con que se llena el calorímetro, durante 5 minutos de fluir la corriente, si el amperímetro marca 6 A?. Desprecie la resistencia del generador y del amperímetro y considere que R2 = 30 Ω.

EJEMPLO En la figura ε es una batería con una fem de 120 V; R1 = 10 Ω, R2 es la espiral

del calentador eléctrico y R3 es una lámpara de iluminación la cual disipara una potencia de 1200 W. Si al cerrar el interruptor S el amperímetro indica 12 A. (a) ¿Cuáles son las intensidades de corriente que fluyen por la lámpara y por la espiral del calentador?. (b) ¿Cuáles es el valor de la resistencia de la lámpara de iluminación (c) ¿Cuál es el valor la resistencia de la espiral?. (d) ¿Cuánto tiempo demorará en hervir 500 g de agua en el calentador K si su temperatura inicial es 20°C. Considere que en el calentamiento del agua se invierte el 80% del calor emitido por la espiral. Desprecie la resistencia del la fuente y del amperímetro. (ce,w = 4186 J/kg.°C)

EJEMPLO Para el circuito mostrado en la figura. Determine: (a)

La lectura del amperímetro y del voltímetro considerando a estos instrumentos ideales, (b) la potencia disipada en las resistencias de 100 Ω y 50 Ω, respectivamente y (c) la potencia entregada por las baterías.

EJEMPLOEn la figura ε es una batería con una f.e.m. de 110 V y una resistencia interna de 5 Ω, K es un calorímetro con 500 g de kerosene. El amperímetro marca 2A, y el voltímetro, 10,8 V. (a) ¿A qué es igual la resistencia de la espiral?. (b) ¿A qué es igual el calor específico del kerosene, si a los 5 minutos de fluir la corriente por la espiral R1 el kerosene se ha calentado 5ºC?. Considere que en el calentamiento del keroseno se invierte el 80% del calor emitido por la espiral. (c) ¿A qué es igual la resistencia del reóstato R?. El voltímetro y el amperímetro son ideales.

EJEMPLO El circuito muestra el modelo de un circuito para la transmisión de

señal eléctrica, como por ejemplo televisión por cable, a un gran número de usuarios. Cada usuario conecta una resistencia de carga RL entre la línea de transmisión y la tierra. Supuestamente la tierra se encuentra a potencial cero y es capaza de conducir corriente de cualquier tamaño entre cualquier conexión a tierra con una resistencia despreciable. Determine la resistencia equivalente entre los terminales del origen de la señal.

EJEMPLO ¿Cuál es el valor de la intensidad de corriente en el

galvanómetro del puente de Wheatstone no balanceado, mostrado en la figura?. Considere que la resistencia de la fuente de fem es despreciable y la resistencia interna del galvanómetro es 20Ω.

EJEMPLO

VIII. CIRCUITOS RC: CARGANDO UN CAPACITOR

En la figura se muestra un circuito RC. Asumimos que el condensador está descargado debido a

que el interruptor está abierto(figura b) Si en instante t = 0, se cierra el interruptor S, comienza a

fluir carga en el circuito y C comienza a cargarse


Debe observarse que mientras el capacitor se está cargando, la batería entrega energía la misma que mueve a los portadores en los conductores pero en el capacitor no hay movimiento de cargas.

Aplicando la segunda ley de Kirchooff se tiene

Donde q/C es la ddp en el capacitor e IR el la ddp en el resistor.

Debe observarse que q, e I son la carga y la corriente instantánea es decir dependen del tiempo

0

0

C RV V V

qIR

C


La corriente en t = 0 será

Es decir la diferencia de potencial de la batería aparece por completo aplicada al resitor.

Finalmente después de cierto tiempo el capacitor se carga completamente y el flujo de carga cesa y la diferencia de potencial proporcionada por la batería aparece enteramente en el capacitor

0 0

00I R I

C R

0( ) 0Q

R Q CC


Para determinar la ecuación que relaciona la intensidad de corriente y la carga con el tiempo se procede en la forma

Separando variables e integrando

Usando la definición de logaritmo natural

0q

IRC

dq q C q

dt R RC RC RCdq q C

dt RC

0 0

1

ln

q t

dq dt

q C RC

dqdt

q C RC

q C t

C RC

/

/

( ) 1

( ) 1

t RC

t RC

q t C e

q t Q e


La intensidad de corriente se obtiene derivando la ecuación de la carga. Es decir

Trazando una gráfica carga y corriente como función del tiempo observamos que cuanto t = 0, q = 0 y cuando t, qεC. Además cuando t = 0, I=ε/R y cuando t I0, es decir I decae exponencialmente.

La cantidad RC= se llama contante de tiempo capacitiva y es el valor del tiempo en el cual el capacitor alcanza el valor una carga del 63%

/

/

1 t RC

t RC

dI Q e

dt

I eR

VIII. CIRCUITOS RC: DESCARGANDO UN CAPACITOR

Si ahora el condensador cargado se conecta a otro resistor R como se muestra en la figura. Cuando S esta abierto no existe flujo de carga. Si se cierra S en t = 0, comenzará a fluir carga a través del circuito, entonces el capacitor se descarga.

En cualquier instante posterior t aparecerá una carga y como tal una corriente que depende del tiempo

VIII. CIRCUITOS RC: DESCARGANDO UN CAPACITOR

Aplicando la segunda ley de kIrchhooff se obtiene

Integrando dicha expresión se tiene

Usando la definición de logaritmo

La corriente en cualquier t

El signo – indica que la corriente fluye en sentido apuesto al proceso de carga o que la carga disminuye

0 0C R

qV V IR

Cdq q

dt RCdq dt

q RC

0

1

ln

q t

Q

dqdt

q RC

q t

Q RC

/t RCq Qe

/

/

t RC

t RC

dq dI Qe

dt dt

I eR

Reglas para aplicar las leyes de Kirchoof

EjemploUn capacitor descargado es conectado en serie con una fuente y un resistor. Si ε =12 V, C = 5 F y R = 0,8 MΩ. Encuentre: (a) la constante de tiempo capacitiva, (b) la máxima carga sobre el capacitor, (c) la carga sobre el capacitor en función del tiempo y (d) la corriente en función del tiempo

Solución Constante de tiempo: la constante de tiempo capacitiva

es

La carga máxima es

Corriente máxima

La carga y la corriente en cualquier tiempo son

5 68.10 (5.10 )

4

RC F

s

(5 )(12 ) 60Q C F V C

max 5

1215

8,10

VI A

R

/ 4

/ 4

60 1

( ) 15

t

t

q e

I t e

EjemploSi el capacitor del problema anterior una vez cargado se procede a descargar a través de la resistencia R:

(a) ¿Después de cuantas constantes de tiempo alcanza la carga del capacitor una cuarta parte de su valor inicial?.

(b) La energía almacenada disminuye con el tiempo conforme el capacitor se descarga. ¿Después de cuantas constantes de tiempo se reduce su energía almacenada a la cuarta parte de su valor inicial?.

SoluciónParte (a). La carga en el capacitor varía con el tiempo

mediante la ecuación

para determina el intervalo de tiempo en el que la carga se reduzca a la cuarta parte se tiene: q(t) = Q/4

/t RCq Qe

/ /1

4 4

ln 4

ln 4 1,39

t RC t RCQQe e

t

RCt RC

SoluciónParte (b)

La energía almacenada en cualquier tiempo es

Donde

Según condición del ejercicio la cuarta parta de energía es almacenada

2 2/ /

,0

1

2 2t RC t RC

P P

q QE e E e

C C

2

,0 inicial almacenada2P

QE energía

C

/,0 ,0 2 /1

4 4 41

ln 4 0,6932

t RCP P t RCE E e

e

t RC t

EjemploEl capacitor del circuito mostrado en la figura inicialmente se encuentra descargado cuando el interruptor S se encuentra abierto. Si en el instante t = 0 se cierra el interruptor S. (a) ¿Cuál es la corriente inicial suministrada por la batería inmediatamente después de cerrado el interruptor S. (b) ¿Cuál es la corriente estacionaria a través de la batería después de transcurrido un largo tiempo. (c) ¿Cuál es la carga final sobre las placas del capacitor?. (d) Si la batería se desconecta del circuito abriendo nuevamente el interruptor S, ¿cuál es la corriente en función del tiempo. (e) ¿Cuánto tiempo tardará el capacitor en descargarse hasta que la diferencia de potencial a su través sea de 1,00 V.

Ejemplo En el circuito mostrado en la figura, el interruptor S1 es

inicialmente cerrado y S2 está abierto. (a) Encuentre la diferencia de potencial entre los puntos a y b; (b) Posteriormente S2 es también cerrado, ¿cuál es la diferencia de potencial entre los puntos a y b?; (c) Si ahora S1 es abierto y S2 sigue cerrado, ¿cuál es la constante de tiempo para la descarga del capacitor?, ¿Cuál es la corriente y la carga en función del tiempo?. Considere que la batería tiene un resistencia interna 1 Ω

Ejemplo El circuito mostrado en la figura inicialmente se encuentra con ambos

interruptores abiertos y los capacitores se encuentran completamente descargados. Asumiendo que la resistencia interna de la fuente de 50 V es despreciable. (a) ¿Cuál es la corriente de la batería inmediatamente después de cerrar S1 manteniendo S2 abierto?. (b) ¿Cuál es la corriente después de un tiempo largo de cerrar el interruptor S1 y mantener S2 abierto?. (c) ¿Cuál será las cargas en los capacitores M y N en estas condiciones?. (d) Si ahora se cierra el interruptor S2, ¿Cuál será las cargas sobre los capacitores M y N en régimen estacionario?.

Ejemplo El capacitor del circuito mostrado en la figura inicialmente se encuentra

descargado cuando el interruptor S se encuentra abierto. Si en el instante t = 0 se cierra el interruptor S. (a) ¿Cuál es la corriente inicial suministrada por la batería in mediatamente después de cerrado el interruptor S. (b) ¿Cuál es la corriente estacionaria a través de la batería después de transcurrido un largo tiempo. (c) ¿Cuál es la carga final sobre las placas del capacitor?. (d) Si la batería se desconecta del circuito abriendo nuevamente el interruptor S, ¿cuál es la corriente en función del tiempo. (e) ¿Cuánto tiempo tardará el capacitor en descargarse hasta que la diferencia de potencial a su través sea de 1,00 V.

EjemploEn el circuito suponga que el interruptor se ha cerrado durante un tiempo tan largo como para que el capacitor quede completamente cargado. Determine: (a) la corriente en estado estable a través de cada resistor. (b) La carga Q en el capacitor. (c) El interruptor se abre en t = 0, escriba una ecuación para la corriente IR2 a través de R2 como una función del tiempo, y (d) encuentre el tiempo que tarda la carga en el capacitor para disminuir a un quinto de su valor inicial.

EjemploLos condensadores del circuito de la figura están inicialmente descargados. El interruptor S2 se cierra primero y después se cierra el S1. (a) Cuál es la corriente de la batería inmediatamente después de cerrar S1?; (b) ¿Cuál es la corriente en la batería un tiempo largo después de cerrar ambos interruptores?; ¿Cuál es el voltaje final a través de C1?; (d) ¿Cuál es el voltaje final a través de C2?; (e) después de un largo tiempo se abre de nuevo el interruptor S2. Exprese la intensidad de corriente en la resistencia de 150 Ω en función del tiempo.

EjemploEn el circuito eléctrico mostrado en la figura . la batería tiene una fem y una resistencia interna de . Las resistencias son R1 = 3 Ω, R2 = 4 Ω y R3 = 2 Ω. Determine las cargas en cada una de las placas de cada uno de los capacitores

EjemploEn el circuito mostrado. (a) Determine el voltaje a través del condensador. (b) Si la batería se desconecta, exprese la corriente del condensador en función del tiempo. (c) ¿Cuánto tiempo tardará en descargarse el condensador hasta que la diferencia de potencial a su través sea de un voltio?. (d) Si el condensador se reemplaza por una resistencia de 30 Ω ¿Cuáles son las intensidades de corriente que fluyen por las resistencias.

Ejemplo En el circuito de la figura, (a) ¿cuál es la corriente

inicial de la batería inmediatamente después de cerrar el interruptor S?, (b) ¿cuál es la corriente de la batería un tiempo largo después de cerrar el interruptor S?, (c) Si el interruptor ha estado cerrado durante largo tiempo y luego se abre, determine la variación de la intensidad de corriente a través de la resistencia de 600 Ω en función del tiempo.

Ejemplo En el estado estacionario, la carga sobre el condensador

de 5 μF del circuito mostrado en a figura es de 1000μC, determine: (a) la corriente de la batería; (b) las resistencias R1 , R2 y R3.

VIII. Medidores eléctricos: Galvanómetro El galvanómetro es el componente

principal de los medidores analógicos. La figura muestra un galvanómetro de

D’Arsonval el cual está constituido por una bobina de alambre montada de tal manera que pueda girar libremente alrededor de un pivote en el interior de un campo magnético.

El campo magnético ejerce un torque o momento sobre las espiras (bobina) del galvanómetro.

El momento es proporcional a la corriente que pasa por la bobina. Mientras mas grande es I mayor es la torca. Pero existe un resorte que limita la torsión

Se añade al dispositivo una aguja la que se dflecta al paso de corriente

VIII. Medidores eléctricos: Amperímetro Es un aparato que mide corriente Debe ser conectado en serie al

elemento cuya corriente se va a medir como se muestra en la figura

Debe conectarse de tal manera que las cargas ingresen por la terminal positiva

Idealmente el amperímetro debe tener una resistencia cero para que la corriente medida no se altere.

Muchas veces se usa galvanómetros para medir corrientes pero debido a su resistencia pequeña se coloca en paralelo con este una resistencia pequeña llamada SHUNT

VIII. Medidores eléctricos: Amperímetro Supongamos que deseamos medir la

corriente que pasa por un conductor. Entonces

Como el shunt y el galvanómetro están en paralelo, entonces se tiene

Igualando se tiene

g shI I I

g g g

sh sh sh

V I R

V I R

gsh g

sh

g shg g g

sh sh g

RI I

R

R RI I I I I

R R R

VIII. Medidores eléctricos: Amperímetro De esta ecuación se deduce que

cuanto menor es la resistencia del shunt tanto menor será la fracción de intensidad de corriente I que pase por el galvanómetro. Para que la intensidad de corriente Ig del instrumento G sea 1/n parte de la intensidad de corriente I se tiene

6

/

1

shg

sh

gsh

RII I n I

n R R

RR

n

Ejemplo Un galvanómetro, el cual requiere de una intensidad de corriente de

1 mA para una deflexión de la escala completa, que tiene una resistencia interna de 60 Ω, puede ser utilizado para medir intensidades de corriente mucho mayores. Para permitir que un operador pueda medir corrientes elevadas sin dañar el galvanómetro, se conecta a éste una resistencia muy pequeña (resistencia Shunt) en paralelo como se muestra en la figura permitiendo de esta forma que la mayoría de corriente fluya por la resistencia Shunt. Determine el valor de la resistencia Shunt a utilizar si se quiere medir corrientes de 10 A para una deflexión completa de la escala.

EjemploDiseñe un amperímetro rango múltiple capaz de obtener una deflexión de la aguja a escala completa para 20 mA, 200 mA y 10A, utilizando un galvanómetro cuya resistencia interna es de 50 Ω el cual permite una deflexión de la aguja a escala completa para 1 mA.

VIII. Medidores eléctricos: Voltimetro Permite medir diferencias de potencial

de los elementos. Se instala en paralelo con el elemento También es necesario tener en cuenta la

polaridad del instrumento El voltímetro ideal tiene una resistencia

infinita que impida que sobre el pase una corriente muy pequeña de tal manera que no influya en la medida de la ddp.

Cuando se usa un galvanómetro como voltímetro es necesario colocarle una resistencia grande en serie a fin de disminuir el paso de la corriente (véase la figura inferior)

VIII. Medidores eléctricos: Voltímetro Cuando se mide con este instrumento

una ddp, por ejemplo la ddp en los extremos de R, tenemos

Si se quiere una sensibilidad tal que la ddp en R produzca desviación completa de la escala

Y como Rs >> Rg

La resistencia equivalente del voltímetro

En el caso de que Rs >> R, tenemos2 1V V V

R Rs g

mas mas

V VR R

I I

( )s g se

s g s

R R R RRR

R R R R R

( )R s g gV R R I

eqR R

Ejemplo Diseñe un voltímetro de rango múltiple capaz de obtener una deflexión de la aguja a escala completa para 200 mV; 2 V, 20 V y 600 V, utilizando un galvanómetro cuya resistencia interna es de 40 Ω el cual permite una deflexión de la aguja a escala completa para 5 mA.

VIII. Medidores eléctricos: Puente de Wheatstone

Se usa para medir resistencias desconocidas usando resistencias patrones o calibradas.

Se aplica las leyes de kirchooff o las ecuaciones de mallas circulantes para hallar las corrientes

Cuando el puente esta en equilibrio no fluye corriente por el galvanómetro en este caso se obtiene la resistencia desconocida Rx

VIII. Medidores eléctricos: Puente de WheatstoneAplicando las ecuaciones de mallas circulantes se tiene

2

1 2

3

0

0

0

a b x a c a

b g b c b a

c x c a g c b

R I I R I I rI

R I R I I R I I

R I R I I R I I


Agrupando las ecuaciones anteriores se tiene

Resolviendo estas ecuaciones resulta

2 2

2 1 2

3

( ) 0

( ) 0

x a b g c

a g b x c

x a g b x g c

r R R I R I R I

R I R R R I R I

R I R I R R R I

2 3 2 2

2 1 2

x g x gb

g x x x gb

R R R R R R R R

R R R R R R R RI

I


La intensidad de corriente que pasa por el galvanómetro será

Cuando el puente s encuentra en equilbrio la corriente que fluye a través de dicho instrumento es nula. Por lo tanto

2 3 1b c xI I R R R R

2 3 1

23

1

0x

x

R R R R

RR R

R

VIII. Medidores eléctricos: Potenciómetro El potenciómetro es un circuito que permite determinar fems de

baterías, pilas, etc, comprarandolas con fems patrones La batería E1cuya fem es ε1 es mayor que la fem εx

SEMINARIO SOBRE CIRCUITOS

Ejemplo 01 Considere que los medidores del circuito mostrado en la

figura son perfectos. Determine: (a) La resistencia equivalente, (b) La intensidad de corriente I1, (c) Las lecturas del amperímetro y del voltímetro y (d) la potencia disipada por la resistencia de 2 Ω.

Ejemplo 02 Si los instrumentos instalados en el circuito mostrado

en la figura son ideales. Cuáles so las lecturas esperadas en el voltímetro y en el amperímetro

Ejemplo 03Para el circuito mostrado en la figura. Las lecturas del voltímetro y del amperímetro son 5,00 V y 2,00 A, respectivamente. Determine: (a) El valor de la resistencia R y (b) el valor de la fem .

Ejemplo 04 En la figura ε es una batería de 120 V de fem, R2 = 10 Ω,

B es una tetera eléctrica. El amperímetro marca 2 A. ¿Cuánto tiempo tarda en hervir 0,5 litros de agua en la tetera, hallándose a la temperatura inicial de 4°C?. Se desprecian las resistencias de la batería y del amperímetro. El rendimiento del hornillo de la tetera es de 76%.

Ejemplo 05 El calorímetro K tiene una espiral de resistencia R1 = 60 Ω. La espiral se conecta a la red como se muestra en la figura. ¿A cuántos grados se calentarán 480 g de agua con que se llena el calorímetro, durante 5 minutos de fluir la corriente, si el amperímetro marca 6 A?. Desprecie la resistencia del generador y del amperímetro y considere que R2 = 30 Ω.

Ejemplo 06En el estado estacionario, la carga sobre el condensador de 5 μF del circuito mostrado en a figura es de 1000μC, determine: (a) la corriente de la batería; (b) las resistencias R1 , R2 y R3.

Ejemplo 07 Los condensadores del circuito de la figura están

inicialmente descargados. (a) ¿Cuál es el valor inicial de la corriente suministrada por la batería cuando se cierra el interruptor S?. (b) ¿Cuál es el valor de la corriente en la batería después de un largo tiempo?. (c) ¿Cuáles son las carga finales sobre los condensadores. (d) ¿Cuáles son los potenciales de los puntos a, b y c

Ejemplo 08El capacitor del circuito mostrado en la figura inicialmente se encuentra descargado cuando el interruptor S se encuentra abierto. Si en el instante t = 0 se cierra el interruptor S. (a) ¿Cuál es la corriente inicial suministrada por la batería inmediatamente después de cerrado el interruptor S. (b) ¿Cuál es la corriente estacionaria a través de la batería después de transcurrido un largo tiempo. (c) ¿Cuál es la carga final sobre las placas del capacitor?. (d) Si la batería se desconecta del circuito abriendo nuevamente el interruptor S, ¿cuál es la corriente en función del tiempo. (e) ¿Cuánto tiempo tardará el capacitor en descargarse hasta que la diferencia de potencial a su través sea de 1,00 V.

Ejemplo 09 En el circuito suponga que el interruptor se ha cerrado durante un

tiempo tan largo como para que el capacitor quede completamente cargado. Determine: (a) la corriente en estado estable a través de cada resistor. (b) La carga Q en el capacitor. (c) El interruptor se abre en t = 0, escriba una ecuación para la corriente IR2 a través de R2 como una función del tiempo, y (d) encuentre el tiempo que tarda la carga en el capacitor para disminuir a un quinto de su valor inicial.

Ejemplo 10 Determine la corriente en cada resistencia del circuito

indicado en la figura. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los puntos A y B?. ¿Cuál es la potencia en cada uno de los elementos resistivos?

Ejemplo 11 Los condensadores del circuito de la figura están inicialmente

descargados. El interruptor S2 se cierra primero y después se cierra el S1. (a) Cuál es la corriente de la batería inmediatamente después de cerrar S1?; (b) ¿Cuál es la corriente en la batería un tiempo largo después de cerrar ambos interruptores?; ¿Cuál es el voltaje final a través de C1?; (d) ¿Cuál es el voltaje final a través de C2?; (e) después de un largo tiempo se abre de nuevo el interruptor S2. Exprese la intensidad de corriente en la resistencia de 150 Ω en función del tiempo.

Ejemplo 12En el circuito mostrado en la figura la lectura

del amperímetro es la misma cuando ambos interruptores están abiertos o ambos están cerrados. ¿Cuál es el valor de R?

Ejemplo 13 En la figura V1 y V2 son dos voltímetros cuyas

resistencias internas son R1 = 3000Ω y R2 = 2000Ω, respectivamente. Determine las lecturas de los voltímetros y de los amperímetros en los siguientes casos: (a) el interruptor K se mantiene abierto y (b) el interruptor K se encuentra cerrado. Se desprecia la resistencia interna de la batería y de los amperímetros

Ejemplos 14 En la figura V1 y V2 son dos voltímetros cuyas

resistencias internas son R1 = 3000Ω y R2 = 2000Ω, respectivamente. Determine las lecturas de los voltímetros en los siguientes casos: (a) el interruptor K se mantiene abierto y (b) el interruptor K se encuentra cerrado. Se desprecia la resistencia interna de la batería.

Ejemplos 15 En el circuito mostrado en la figura la fem de la

batería es de 110 V y su resistencia es despreciable. Si la resistencia del voltímetro es de 1 kΩ. Determine la lectura del amperímetro ideal y del voltímetro.

Ejemplo 16En el circuito mostrado determine la lectura de los amperímetros ideales

Ejemplo 17 En el circuito mostrado la resistencia interna de la fuente de tensión es 1Ω. Determine las indicaciones del amperímetro y el voltímetro ideales

Ejemplo 18En el circuito mostrado en la figura, determine la diferencia de potencial entre los puntos a y b.

Ejemplo 19 Una batería de auto de 12,6 V con resistencia interna insignificante está conectada a una combinación en serie de un resistor de 3,2 Ω que obedece a la ley de Ohm y un termistor que no obedece a la ley de Ohm, sino que tiene una relación entre el voltaje y corriente V = I+βI2 , con = 3,8 Ω y β = 1,3 Ω/A . Determine la corriente a través del elemento resistivo puro de 3,2 Ω.

EJEMPLO 20En la red mostrada en la figura, todas las resistencias tienen el mismo valor R. Si una intensidad de corriente I entra en el nudo a y sale por el nudo e. Determine la intensidad de corriente en cada una de las ramas ab, bd y be.

Ejemplo 21 El circuito mostrado en la figura está instalado hace

mucho tiempo y el voltímetro es ideal. Determine: (a) la corriente a través de cada una de las fuentes de resistencia interna nula, (b) la lectura actual del voltímetro, (c) la carga en el capacitor C = 0,1 F.

Ejemplo 22 En el circuito mostrado en la figura. Determine: (a) la

resistencia equivalente entre los terminales A y B, (b) si se aplica una diferencia de potencial en entre A y B ¿Cuál es la intensidad de corriente en cada resistencia?.

Ejemplo 23 Si las resistencias internas de las fems ε1 = 10V y ε2 =

6 V, son r1 = 0,7Ω y r2 = 0,4 Ω. Determine: (a) la corriente I a través de cada una de las baterías, (b) la diferencia de potencial entre los terminales de cada batería, (c) la corriente que fluye a través de cada una de las resistencias en paralelo.

Ejemplo 24

Un circuito está formado por una dinamo de 500 V de fem y 0,75 Ω de resistencia interna, la línea de 1000 m de longitud, 4 mm de diámetro y 1,75 Ω-cm de resistividad y además de n lámparas de incandescencia, instaladas en derivación de 60 W y 240 Ω cada una. Determine: (a) el número de lámparas, (b) la caída de tensión en la línea, (c) el rendimiento del generador.

Ejemplo 25 En el circuito mostrado los capacitores se encuentran

completamente descargados cuando el interruptor S se encuentra abierto. Si en el instante t = 0 se cierra el interruptor S. (a) ¿Cuál es la intensidad de corriente inicial?, (b) ¿Cuál es la corriente de régimen estacionario? Y (c) cual es la carga final de cada capacitor?

Ejemplo 26 Sea el circuito eléctrico mostrado en la figura. Se conocen: r = 1 Ω, R = 10Ω, la resistencia del voltímetro es Rv = 200 Ω. Calcular el error relativo de las indicaciones del voltímetro, el cual se obtiene al suponer que el voltímetro tiene una resistencia infinitamente grande y que por lo tanto no introduce distorsión alguna en el circuito.

circuitos de corriente directa (optaciano)

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