Fundamentos Físicos y Tecnológicos de la Informática

“Circuitos de Corriente Continua”

Agustín Álvarez Marquina

Departamento de Arquitectura y Tecnología de Sistemas Informáticos

Universidad Politécnica de Madrid

-Capacidad. Condensadores.

Capacidad

Sabemos que el potencial eléctrico de un conductor está en relación directa con la carga que contiene. En una esfera conductora de radio R y carga Q, el

potencial eléctrico será el que tiene en su superficie y viene expresado por:

Por tanto, la relación entre la carga Q y el potencial V será:

2 ETSIINF, U.P.M.

RQV

04πε=

cteRVQ

== 04πε

Capacidad

Esta relación es independiente de la carga y expresa una propiedad que es inherente al conductor y que está estrechamente relacionada con: Su geometría... y el medio en el que está inmerso el conductor.

A esta relación, que para todo conductor tiene un valor específico y se mantiene constante, se la denomina capacidad y se utiliza la letra C para representarla.

3 ETSIINF, U.P.M.

Capacidad

“ Se define como capacidad de un conductor C a la relación entre su carga Q y su potencial V ”

La unidad en la que se expresa la capacidad en el SI

es el Faradio (F) y se define como:

Debemos señalar que el Faradio es una magnitud muy

grande por lo que es habitual utilizar submúltiplos para expresar la capacidad. Ej.:

4 ETSIINF, U.P.M.

VQC =

)(1)(1)(1

VoltioVCoulombioCFaradioF =

FF 610−=µFnF 910−=

Condensadores

“ Un sistema formado por dos conductores con cargas iguales y opuestas, +Q y –Q, separados en un medio dieléctrico cualquiera constituye un condensador ”. La capacidad de un condensador vendrá expresada

por:

ΔV es la diferencia de potencial entre los conductores,

donde V1 y V2, son los potenciales de los conductores con carga +Q y –Q, respectivamente.

Estos conductores reciben el nombre de armaduras del condensador.

5 ETSIINF, U.P.M.

21 VVQ

VQC

−=

∆=

Condensadores

El símbolo eléctrico utilizado para representar un condensador, donde C expresa la magnitud de dicha capacidad es:

6 ETSIINF, U.P.M.

C

Figura. Símbolo eléctrico de un condensador

Condensadores

Condensador plano. Por su geometría los condensadores pueden

clasificarse en planos, cilíndricos y esféricos. Nos centraremos en el condensador plano debido a la

similitud de su estructura con la de un transistor MOS visto desde su terminal de puerta.

7 ETSIINF, U.P.M.

Un condensador plano está formado por dos placas conductoras planas y paralelas, separadas una distancia d muy pequeña en relación a las dimensiones de las placas.

Condensadores

Condensador plano. Por las dimensiones relativamente grandes de las

placas en relación a la distancia d que las separa se puede decir que la situación guarda una notable semejanza con la planteada por dos planos de dimensiones infinitas. El campo eléctrico en el espacio comprendido entre las

placas del condensador se puede considerar, en buena aproximación, que es uniforme y perpendicular a las ellas, siendo su valor modular el mismo que se obtuvo en el ejemplo antes mencionado, es decir,

8 ETSIINF, U.P.M.

0

21

εσ

=−

=d

VVE

Condensadores

Condensador plano. En el condensador plano tenemos que:

Por tanto, la capacidad de un condensador plano vendrá dada por:

9 ETSIINF, U.P.M.

dEdVV0

21 εσ

==−

SQ σ=

dS

VVQC 0

21

ε=

−=

Condensadores

Condensador plano. Obsérvese que la capacidad de un condensador plano

es directamente proporcional al área de las placas e inversamente proporcional a la distancia que las separa.

De la expresión anterior también se concluye que la capacidad de un condensador puede aumentarse si el espacio entre las placas es rellenado con un dieléctrico cuya constante dieléctrica sea mayor que la del vacío.

– En ese caso la expresión de la capacidad se escribiría

10 ETSIINF, U.P.M.

dSC ε

=

0εε >

Condensadores

Asociación de condensadores. Asociación en serie.

Consideremos n condensadores, con sus respectivas capacidades Ci, interconectados en serie entre los puntos a y b de un circuito.

La conexión en serie significa que la salida de un condensador está conectada a la entrada del siguiente, y así sucesivamente.

11 ETSIINF, U.P.M.

Q+

Q−

Q+

Q−

Q+

Q−

b

1−n

2

1

a

Q+

Q−

b

a

C1 C2 Cn

Ceq

Figura. Asociación (o combinación) de condensadores en serie.

Condensadores

Asociación de condensadores. Asociación en serie.

Este tipo de conexión determina que la cargas de las armaduras de los condensadores tengan que ser necesariamente iguales y opuestas entre sí.

– Con ello se garantiza el principio de conservación de la carga.

La diferencia de potencial entre a y b será:

Pero,

12 ETSIINF, U.P.M.

)()()( 1211 bnaba VVVVVVVV −++−+−=− −

11 C

QVVa =−2

21 CQVV =−

nbn C

QVV =−−1eq

ba CQVV =− ;

;

;

… ;

Condensadores

Asociación de condensadores. Asociación en serie.

Sustituyendo,

Obtenemos la expresión aplicable a un único condensador donde su capacidad sería Ceq:

Combinando las expresiones anteriores obtendremos la siguiente equivalencia entre capacidades.

13 ETSIINF, U.P.M.

∑=+++=−n

inba C

QCQ

CQ

CQVV

121

1

eqba C

QVV =−

Condensadores

Asociación de condensadores. Asociación en serie.

“En una asociación en serie de condensadores, la inversa de la capacidad equivalente es la suma de las inversas de las capacidades de los condensadores presentes en la asociación”

14 ETSIINF, U.P.M.

∑=+++=n

ineq CCCCC 121

11111

Condensadores

Asociación de condensadores. Asociación en paralelo.

Consideremos n condensadores, con sus respectivas capacidades Ci, interconectados en paralelo entre los puntos a y b de un circuito

– Al estar conectados en paralelo, la diferencia de potencial de todos los condensadores es igual por lo que la carga de cada condensador será:

15 ETSIINF, U.P.M.

( )baii VVCQ −= 1Q

1C

2C

nC

2Q

nQ

a

b

⇔

eqC

b

a

Q

Figura. Asociación (o combinación) de condensadores en paralelo.

Condensadores

Asociación de condensadores. Asociación en paralelo.

La carga total entregada por el circuito entre los puntos a y b será:

Pero,

Por lo que sustituyendo obtenemos:

16 ETSIINF, U.P.M.

∑=+++=n

in QQQQQ1

21

( )bann VVCQ −=

( )( ) ( )∑−=−+++=n

ibaban CVVVVCCCQ1

21

Condensadores

Asociación de condensadores. Asociación en paralelo.

Si sustituimos todos los condensadores que están asociados en paralelo entre los puntos a y b por uno único, y que equivalga a la acción conjunta de todos ellos, la carga del condensador equivalente deberá ser Q y su diferencia de potencial ΔV= Va- Vb , por lo que la capacidad equivalente será:

17 ETSIINF, U.P.M.

( ) ∑=+++=−

=n

inba

eq CCCCVV

QC1

21

Condensadores

Energía de un condensador cargado. Tomemos como referencia para estudiar la energía

asociada con un condensador cargado al condensador plano paralelo de la figura.

18 ETSIINF, U.P.M.

E

dqq −−

dqq ++

2V 1V

d

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

Figura. Instante intermedio del proceso de carga del condensador plano en el que la carga del condensador es q y la diferencia de potencial entre sus placas es V1-V2.

El proceso de carga de un condensador no sería posible sin la aportación por parte del circuito de la energía necesaria para ello.

Condensadores

Energía de un condensador cargado. Para poder cuantificar dicha energía, consideremos un

instante intermedio del proceso de carga en el que la carga del condensador es q y la diferencia de potencial entre las placas es ΔV= V1-V2 .

Incrementar la carga del condensador en un dq supone que la carga de la placa positiva pasaría a ser q+dq y la de la placa negativa –q-dq.

El efecto equivalente es como si el elemento diferencial de carga dq se hubiera desplazado desde la placa negativa hasta la placa positiva, venciendo para ello la acción del campo eléctrico que se opondría a dicho desplazamiento. 19 ETSIINF, U.P.M.

Condensadores

Energía de un condensador cargado. El trabajo a realizar para incrementar en la carga en

una cantidad dq sería:

Pero, la diferencia de potencial del condensador en función de su capacidad es:

Combinando las expresiones quedaría entonces:

20 ETSIINF, U.P.M.

( )dqVVdW 21 −=

( )CqVV =− 21

qdqC

dW 1=

Condensadores

Energía de un condensador cargado. Integrando esta última expresión para todo el proceso

de carga se obtendrá el trabajo (o energía) total que se ha tenido que aplicar para que el condensador alcance su valor de carga máxima Q:

Este resultado, que refleja la energía aportada por el circuito en todo el proceso de carga, se conoce como la energía de un condensador cargado.

– Se interpreta como la energía potencial almacenada en el interior del condensador en forma de campo eléctrico entre sus placas.

21 ETSIINF, U.P.M.

211 2

0

QC

qdqC

dWdUUQ

==== ∫∫∫

Condensadores

Energía de un condensador cargado. Recordando que…

… podemos expresar la energía de un condensador como:

22 ETSIINF, U.P.M.

( )21 VVCQ −=

( ) ( )212

21

2

21

21

21 VVQVVC

CQU −=−==