ESQUEMA:

1. CIRCUITOS EQUIVALENTES1.1. Definición1.2. Elementos de un solo tipo en serie1.3. Elementos de un solo tipo en paralelo1.4. Transformación de Kennelly (Y1.5. Cálculo de la resistencia equivalente1.6. Circuitos equivalentes de generadores reales

2. TEOREMAS DE LOS CIRCUITOS2.1. Teorema de la superposición2.2. Teoremas de Thèvenin y Norton2.3. Teorema de la substitución2.4. Teorema de la reciprocidad

3. CIRCUITOS3.1. Las ecuaciones diferenciales de los circuitos eléctricos3.2. Relaciones volt-amper y energía almacenada3.3. Teoremas de los valores iniciales y finales

3.3.1. Teorema de la energía inicial3.3.2. Teorema del valor inicial y final

4. CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN4.1. Circuitos de primer orden

4.1.1. Excitación por energía almacenada4.1.2. Excitación por un impulso

5. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN5.1. Circuitos de segundo orden

5.1.1. Excitación por energía almacenada

INTRODUCCION:

Un dispositivo podría exigir conocer fenómenos mecánicos u ópticos relacionados con los eléctricos, sin embargo es conveniente separar los estudios de problemas no eléctricos de los puramente eléctricos. Puede ser necesario, además, hacer idealizaciones y aproximaciones simplificativas a fines de reducir las características eléctricas a términos razonables. Cuando así lo hacemos la representación resultante del aparato original de describe generalmente con el término circuito eléctrico o red.

Tenemos entonces los elementos para definir lo que consideraremos un modelo circuital: una red que representa en forma más o menos simplificada el comportamiento eléctrico de un dispositivo. También puede ser el circuito mismo lo que es representado, por ejemplo un filtro.

Así como podemos establecer un modelo circuital también se establecen modelos matemáticos que consisten en una ecuación, o sistema de ecuaciones, que permiten evaluar formalmente y numéricamente el comportamiento del modelo circuital dado.

Por su parte las cargas en movimiento originan señales eléctricas que se propagan con velocidad finita, generalmente igual, o cercana, a la velocidad de la luz. Al considerar despreciables los tamaños podemos aceptar que todos los fenómenos eléctricos ocurren instantáneamente, ignorando los efectos de la propagación.

Estas partes se llaman parámetros concentrados, y pueden ser de tres tipos: de resistencia o disipativos; inductivos, asociados a los campos magnéticos; y capacitivos, asociados a los campos eléctricos. La realización física de estos elementos está representada en las resistencias, las bobinas o inductancias, y los condensadores o capacitores. Es importante asentar que estas realizaciones físicas no son representaciones exactas de los elementos del circuito ya que éstos son, por definición, puros y los elementos reales tienen en general los tres efectos. Los indeseables se denominan parásitos, por ejemplo la resistencia del conductor y la capacidad distribuida en una bobina. El elemento físico puede en este caso ser representado utilizando sólo una bobina ideal si los componentes parásitos son despreciables para la aplicación del modelo, pero también puede hacerse una mejor aproximación agregando componentes ideales en forma tal que tengan en cuenta esos efectos, indeseables, pero existentes.

1. CIRCUITOS EQUIVALENTES

1.1. Definición:

Se denominan circuitos equivalentes a un par de redes que producen los mismos efectos sobre los elementos o circuitos que se conectan a ellas. Por ejemplo:

Podemos decir que la red A es equivalente a la red B si ambas producen los mismos efectos cuando están conectadas a la red C, pudiendo la red C ser cualquier circuito. De otra forma A es equivalente a B si iA = iB y vA = vB (Si la red C es lineal una sola de las condiciones implica la otra).

Destacamos que la equivalencia es la igualdad de efectos desde los terminales de la red para afuera y no en el interior de la red, aunque es evidente que dos redes iguales son naturalmente equivalentes.

1.2. Elementos de un solo tipo en serie

Dijimos que dos, o más, elementos están conectados en serie cuando están puestos uno a continuación del otro de forma tal que la corriente que atraviesa a uno de ellos necesariamente atraviesa a todos. Esto quiere decir que la corriente es la misma para todos ellos y, consecuentemente, también su derivada y su integral.

Si tenemos resistencias conectadas en serie:

Conforme con la segunda ley de Kirchhoff la tensión total en bornes debe ser igual a la suma de las tensiones sobre cada resistencia:

v = v1 + v2 + ... + vn

Reemplazando las tensiones por la ley de Ohm resulta:

v = R1 i + R2 i + ... + Rn i

Sacando como factor común a la corriente:

v = (R1 + R2 + ... + Rn) i

C B vB -

+ iB

C A vA -

+ iA

R1 R2 Rn

+ v1 - + v2 - + vn -

Lo que queda en el paréntesis es la suma de las resistencias del montaje que es, lógicamente, una resistencia que denominamos resistencia equivalente.

Req=∑j=1

n

R j

La resistencia equivalente de un montaje de resistencias en serie está dada por la suma de las resistencias de todas las componentes.

Si aplicamos una misma tensión a cualquier montaje que tenga la misma resistencia equivalente obtendremos la circulación de la misma corriente. Dentro del montaje la distribución de tensiones será distinta en función de las resistencias que lo compongan.

Veamos el caso de las inductancias, para las cuales supondremos que no están acopladas magnéticamente:

Conforme con la segunda ley de Kirchhoff la tensión total en bornes debe ser igual a la suma de las tensiones sobre cada inductancia, como para el caso anterior: v = v1 + v2 + ... + vn.

Reemplazando las tensiones por la ley de Ohm resulta:

v=L1didt

+L2didt

+… +Lndidt

Sacando como factor común a la derivada de la corriente:

v=(L1+L2+… +Ln ) didt

Lo que queda en el paréntesis es la suma de las inductancias del montaje que es, lógicamente, una inductancia que denominamos inductancia equivalente.

Leq=∑j=1

n

L j

La inductancia equivalente de un montaje de inductancias en serie, sin acoplamiento magnético entre ellas, está dada por la suma de las inductancias de todas las componentes.

Para los capacitores:

L1 L2 Ln

+ v1 - + v2 - + vn -

S1 S2 Sn

+ v1 - + v2 - + vn -

Como en los casos anteriores: v = v1 + v2 + ... + vn

Reemplazando las tensiones por la ley de Ohm, utilizando la elastancia, igual a la recíproca de la capacidad, resulta:

v=S1∫−∞

ti dt+S2∫−∞

ti dt+ …+Sn∫−∞

ti dt

Sacando como factor común a la integral de la corriente:

v=(S1+S2+ …+Sn)∫−∞

ti dt

Lo que queda en el paréntesis es la suma de las elastancias de los capacitores del montaje que es, lógicamente, una elastancia que denominamos elastancia equivalente.

Seq=∑j=1

n

S j

La elastancia de un montaje de capacitores en serie es igual a la suma de las elastancias de cada uno de los capacitores. Si lo ponemos en función de la capacidad resultará:

1C eq

=∑j=1

n1C j

La inversa de la capacidad equivalente es igual a la suma de las inversas de las capacidades de los capacitores conectados en serie. Es decir que, al contrario de lo que ocurre con los otros elementos, la capacidad equivalente es menor que las capacidades individuales.

Para el caso de los generadores resulta que es posible la conexión de generadores de tensión ideales en serie, la tensión resultante es la suma algebráica de las tensiones individuales, tal como lo establece la segunda ley de Kirchhoff.

Pero si queremos conectar en serie generadores de corriente ideales resulta que en cada conexión no se cumpliría la primera ley de Kirchhoff porque, a menos que los generadores fueran iguales, la corriente entrante al nodo de conexión no sería igual a la saliente. Por otra parte la corriente no sería la misma en toda la serie lo que es inaceptable.

Sólo se pueden conectar en serie generadores ideales de tensión, no se pueden conectar en serie los de corriente, salvo que éstos fueran iguales y conectados en el mismo sentido.

+ v1 - + v2 - + vn -

1.3. Transformación de Kennelly (Y-)

Hay montajes de tres elementos que no pueden considerarse ni en serie ni en paralelo, por cuanto no se dan ninguna de las condiciones que definen los montajes mostrados.

Estas configuraciones son las denominadas, por su estructura, estrella y triángulo, o e Y ("delta" y "wye"). La transformación de una a la otra nos permite poder asociar las partes equivalentes al resto del circuito de forma tal que quedan en paralelo y/o serie y, de esta manera, poder resolver la resistencia (por ejemplo) equivalente.

Montaje en triángulo, Montaje en estrella, Y

Para que puedan considerarse equivalentes deberán ser iguales los comportamientos en iguales circunstancias. Por ejemplo supongamos que cada uno de los dipolos son resistencias para simplificar la interpretación y el cálculo.

Si los dos circuitos están desconectados de cualquier otro, no hay nada conectado a sus bornes, deberán ser iguales las resistencias equivalentes que se ven en cada par de terminales correspondientes. Digamos:

Rab = Ruv, Rbc = Rvw y Rca = Rwu

Para el montaje en delta Rab es la resistencia equivalente de Rc en paralelo con la serie Ra y Rb, ya que no hay nada conectado en el terminal c. En el montaje en estrella tenemos que, al no haber nada conectado en w, Ruv es la resistencia equivalente de Ru en serie con Rv. Conforme a lo visto en los puntos anteriores escribimos:

Rab=(Ra+Rb ) Rc

Ra+Rb+Rc y Ruv=Ru+Rv

De igual forma:

Rbc=(Rb+Rc ) Ra

Ra+Rb+Rc y Rvw=Rv+Rw

Rca=(Rc+Ra) Rb

Ra+Rb+ Rc y Rwu=Rw+Ru

w v

u

W V

U

c b

a

CB

A

Por las condiciones establecidas antes podemos igualar las expresiones de la izquierda con las de la derecha formando un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que serán las componentes del montaje en estrella, si conocemos los del triángulo, o viceversa.

Completemos el sistema:

1 Ru+1 Rv+0 Rw=(Ra+Rb ) Rc

Ra+Rb+Rc

0 Ru+1 Rv+1 Rw=(Rb+Rc ) Ra

Ra+Rb+Rc

1 Ru+0 Rv+1 Rw=(Rc+ Ra ) Rb

Ra+Rb+Rc

Resolviendo, por Cramer por ejemplo, resulta que:

Ru = Rb Rc /(Ra +Rb +Rc)

Rv = Rc Ra /(Ra +Rb +Rc)

Rw = Ra Rb /(Ra +Rb +Rc)

Es decir que la resistencia conectada a un terminal de la estrella equivalente es igual al cociente entre el producto de las dos resistencias del triángulo, que concurren al terminal correspondiente, y la suma de las tres resistencias del triángulo.

Obtendríamos las mismas expresiones para un montaje de inductores dados por su inductancia, o de capacitores dados por su elastancia. Las mismas expresiones son válidas para el caso general en que cada componente del montaje esté definido como impedancia por estar constituido por combinación de tipos de elementos (R, L y/o C).

Otra forma de plantear el problema consiste en evaluar las condiciones en función de las conductancias vistas desde un par de terminales cuando otro par está en cortocircuito. Por ejemplo la conductancia en el par a-b del triángulo cuando el b-c está en cortocircuito y compararla con la conductancia en el par u-v cuando está cortocircuitado el par v-w de la estrella.

En ese caso resulta que en el triángulo quedan en paralelo los elementos B y C, mientras que en la estrella el elemento U queda en serie con el paralelo de los elementos V y W, por consiguiente será:

Gab = Gb + Gc y Guv = Gu(Gv+Gw)/(Gu+Gv+Gw)

Si hacemos lo mismo considerando los otros dos pares de terminales podemos escribir otro sistema de ecuaciones similar (dual) al anterior.

0 Ga + 1 Gb + 1 Gc = Gu(Gv+Gw)/(Gu+Gv+Gw)

1 Ga + 0 Gb + 1 Gc = Gv(Gu+Gw)/(Gu+Gv+Gw)

1 Ga + 1 Gb + 0 Gc = Gw(Gv+Gu)/(Gu+Gv+Gw)

Resolviéndolo obtenemos que:

Ga = (Gv Gw)/(Gu+Gv+Gw)

Gb = (Gu Gw)/(Gu+Gv+Gw)

Gc = (Gu Gv)/(Gu+Gv+Gw)

Es decir que la conductancia entre un par de terminales del triángulo está dada por el cociente entre el producto de las conductancias conectadas a los dos terminales correspondientes de la estrella, y la suma de las tres conductancias de la misma.

Estas ecuaciones son válidas para el montaje de inductancias dadas por sus inductancias recíprocas; de capacitores dados por su capacidad; y por componentes mixtos dados por sus admitancias.

Puesto en función de las resistencias es:

Ra = (Rv Rw + Ru Rw + Ru Rv)/Ru

Rb = (Rv Rw + Ru Rw + Ru Rv)/Rv

Rc = (Rv Rw + Ru Rw + Ru Rv)/Rw

w v

u

W V

U

c b

a

CB

A

Esto nos informa que la resistencia entre un par de terminales del triángulo está dada por la suma de los productos de las resistencias de la estrella tomadas de a dos y dividida por la resistencia conectada al terminal opuesto.

Estas ecuaciones son válidas para el montaje de inductancias dadas por sus inductancias; de capacitores dados por su elastancia; y por componentes mixtos dados por sus impedancias.

1.4. Circuitos equivalentes de generadores reales:

Por su parte un generador de corriente real está conformado por un generador ideal de corriente en paralelo con una resistencia. En este caso la resistencia establece un camino para la circulación de la corriente cuando no hay nada conectado en bornes y fija un límite a la tensión en terminales.

La equivalencia estará dada entre un generador de tensión real y uno de corriente real siempre y cuando tengan la misma respuesta ante cualquier circuito que se conecte a ellos. No puede haber equivalencia entre generadores ideales por la definición misma de ellos: un generador de tensión ideal fija la tensión independientemente de la corriente que circule por él, y un generador de corriente ideal fija la corriente sin importar la tensión en bornes.

Para establecer la equivalencia entre dos generadores los analizaremos en condiciones límites: circuito abierto y cortocircuito. Si en esos dos puntos hay correspondencia la habrá en toda condición ya que tratamos con circuitos lineales y, recordemos, dos puntos establecen una recta. En la práctica es probable que esas condiciones límites sean destructivas para los circuitos por lo que será necesario analizar dos puntos dentro del rango de trabajo lineal de los dispositivos.

En circuito abierto debe ser: Eab = E = I·Ri

En el cortocircuito será: Iab = E/Re = I

b

a

Ri

Ib

aRe

E

-

+

b

a

Ri

Ib

aRe

E

-

+

De estas expresiones se desprende que las resistencias deben ser iguales, Re = Ri = R; que la tensión debe ser E = I·R y la corriente será I = E/R.

Estas equivalencias se pueden utilizar para resolver circuitos de forma semejante a las asociaciones de elementos pasivos. Por ejemplo, si se tiene un generador de corriente real en serie con un generador de tensión se puede transformar el primero en uno de tensión equivalente; de esta forma se puede obtener un generador de tensión equivalente cuya tensión es la suma algebráica de las tensiones y su resistencia es la suma de las resistencias.

De forma análoga se puede transformar un generador de tensión que esté en paralelo con uno de corriente para conseguir uno de corriente equivalente que tiene la suma algebráica de corrientes y como resistencia el paralelo de las intervinientes (o como conductancia la suma de las conductancias).

2. TEOREMAS DE LOS CIRCUITOS

2.1. Teorema de la superposición

La característica más distintiva de un sistema lineal es la aplicabilidad del teorema (o principio) de la superposición. Este teorema establece que siempre que se excita o alimenta un sistema lineal con más de una fuente de energía independiente, la respuesta total es la suma de las respuestas individuales de cada una de las fuentes.

Dado que trabajamos con circuitos conformados por la interconexión de elementos lineales podemos aplicar este concepto para el análisis de las redes que contengan más de una fuente.

La aplicación de la superposición consiste en obtener la respuesta de cada una de las excitaciones haciendo nulas las demás, finalmente obtener la respuesta total como la suma de las respuestas parciales obtenidas.

La principal consideración que debemos hacer es que: decir que una fuente es nula no significa ignorarla sino reemplazarla por el circuito equivalente para una fuente que genera un valor cero de energía. Si se trata de un generador de tensión deberá ser reemplazado por un cortocircuito por cuanto es el único elemento que admite cualquier corriente fijando la diferencia de potencial en cero. Por el contrario (dualmente) un generador de corriente será reemplazado por un circuito abierto, ya que esta es la forma de asegurar corriente nula para cualquier valor de tensión.

La otra consideración es reiterativa. Debemos recordar que la corriente tiene un sentido y la tensión tiene una polaridad que debemos respetar. Por consecuencia la respuesta será la suma de las respuestas con un signo que tenga en cuenta la correspondencia, o no, con el sentido o la polaridad establecida para la respuesta total. Dicho de otra forma: la respuesta es la suma algebráica de las respuestas parciales.

2.2. Teoremas de Thèvenin y Norton

Se da en la práctica que es necesario ver o analizar los que ocurre en un par de terminales de una red sin interesar que pasa en el resto de la red. Por ejemplo si tenemos una fuente de alimentación nos interesa saber cómo se comporta ante diversas cargas pero sólo en los terminales de la fuente no en el interior.

Para lograr ello se puede encontrar un circuito equivalente que simplifique a toda la red que está detrás, o adentro, de los terminales. A tal efecto podemos recurrir a los teoremas de Thèvenin y de Norton.

Thèvenin dice que: Todo dipolo lineal y activo puede ser reemplazado, a los efectos de lo que ocurre en una red conectada en sus terminales, por una fuente ideal de tensión en serie con una resistencia (impedancia). La tensión que suministra la fuente es la que entrega el dipolo a circuito abierto, y la resistencia es la equivalente del dipolo cuando éste está pasivisado, es decir cuando se han enmudecido todas las fuentes interiores.

Por su parte Norton dice que en las mismas condiciones puede reemplazarse el dipolo por un generador de corriente en paralelo con una resistencia. La corriente el generador de Norton es la que provee el circuito en sus bornes cortocircuitados y la resistencia se calcula de igual forma que para Thèvenin.

Al ver la equivalencia de generadores reales aplicamos, sin decirlo, estos conceptos; obtuvimos el equivalente de Norton a un generador de tensión y, recíprocamente, el de Thèvenin a uno de corriente, y observamos que las resistencias eran iguales y eran las que presentaba el dipolo si enmudecíamos los generadores.

Recordemos que enmudecer es hacer nula la generación o sea reemplazar los generadores de tensión ideales por cortocircuitos y los de corriente ideales por circuitos abiertos.

La evaluación de la resistencia (o impedancia) interna se puede hacer por cualquiera de los tres métodos que vimos en la parte anterior, pero si tenemos inductancias acopladas electromagnética-mente debemos activar la red, ya sea desde afuera o suponer la circulación de corrientes en su interior, pero manteniendo los generadores de la red enmudecidos.

2.3. Teorema de la substitución

Este teorema dice que una tensión conocida en un circuito puede ser reemplazada por una fuente de tensión ideal y una corriente conocida puede ser reemplazada por un generador ideal de corriente.

Consideremos una resistencia Rab conectada entre los puntos a y b, conectemos una fuente ideal de tensión al punto b; si su extremo c está al mismo potencial que el punto a ambos puntos pueden conectarse entre sí. De esta forma la resistencia queda en paralelo con un generador ideal de tensión y puede ser removida.

Substitución de tensión Substitución de corriente

Suponga que está circulando una corriente iR por una resistencia R del punto a al b, puede insertarse una fuente de corriente ideal en paralelo por el cortocircuito entre c y b. Si la fuente es de la misma intensidad que la corriente iR no habrá ninguna corriente en el cortocircuito porque el generador la derivará toda a través de él. En consecuencia se puede remover ese cortocircuito con lo que la resistencia queda en serie con el generador y puede ser removida.

Lo importante de este teorema es que no puede aplicarse a menos que ya se conozca la solución, no sirve para resolver. La utilidad la tendremos en el estudio parcializado de circuitos electrónicos con transistores y válvulas ya que permite dividir una red compleja en pequeñas porciones y tratarlas como independientes para el análisis detallado. Luego se reintegran al conjunto.

c

b

a

eRabE

-

+

-

+

R

I

iR

c

b

a

2.4. Teorema de la reciprocidad

El teorema de la reciprocidad concierne a la relación estímulo respuesta de una red de dos pares de terminales y dice que una fuente de tensión ideal y un amperímetro ideal en cualesquiera dos ramas de una red lineal, pasiva y bilateral, pueden ser intercambiados sin que se alteren las lecturas.

Dualmente se puede establecer que una fuente de corriente ideal y un voltímetro ideal en cualesquiera dos pares de nodos de una red lineal, pasiva y bilateral, pueden ser intercambiados sin que se alteren las lecturas.

En las expresiones anteriores la condición de ideales indica que tanto el generador de tensión como el amperímetro tienen resistencia interna nula, y tanto el generador de corriente como el voltímetro tienen resistencia interna infinita.

3. CIRCUITOS3.1. Las ecuaciones diferenciales de los circuitos eléctricos

Dado que hemos considerado que los elementos de las redes serán lineales, bilaterales e ideales, surge que los parámetros L, C y R son constantes, y por ello las ecuaciones diferenciales de los circuitos serán a coeficientes constantes, y en ellas son aplicables los teoremas de linealidad y superposición.

Ya que las ecuaciones diferenciales representan circuitos pueden aplicarse los conceptos de estímulo y respuesta.

El tipo más simple de estímulo para una red es el provisto por la energía acumulada inicialmente en los elementos del circuito (inductancias y/o capacitores). Esta energía hace que la corriente circule, pero a medida que esto ocurre la energía es disipada en las resistencias, si existen, por lo que, con el tiempo, decrecerá hasta cero.

La respuesta de una red excitada por almacenamiento inicial de energía y luego dejada en libertad es una característica de la misma y es denominada comportamiento natural, o respuesta transitoria, porque las corrientes y tensiones (que constituyen la respuesta) decrecen a cero luego de cierto tiempo. También se la conoce como comportamiento libre (no forzado) ya que es producido en el circuito en sí, sin ninguna fuente externa.

Desde el punto de vista matemático el comportamiento natural de un circuito es la solución de la ecuación diferencial con todas las fuentes igualadas a cero. A esta solución se la denomina función complementaria u homogénea.

La respuesta de un circuito a una excitación por una fuente impulsiva es muy similar al comportamiento natural. El impulso existe sólo entre t = 0- y t = 0+. Antes y después de este intervalo es cero, tal como sería para obtener la función complementaria de la ecuación diferencial. La única forma por la cual el impulso afecta al circuito es almacenar (o extraer) energía durante el período de existencia. Es decir que, luego de pasado el impulso, la energía almacenada produce el comportamiento natural.

La respuesta de un circuito a la excitación por la función escalón puede encontrarse por integración de la respuesta a un impulso. El teorema de la linealidad se extiende a la integración y a la diferenciación del estímulo y de la respuesta, ya que son operaciones matemáticas lineales.

Alternativamente, la respuesta puede obtenerse directamente de la ecuación diferencial apropiada. En este caso un valor final, o solución estacionaria, existe, es proporcional a la excitación y no decrece a cero con el tiempo. El valor estacionario es simplemente la solución para el circuito en t = + y es idéntica al valor de corriente continua.

La solución completa de una ecuación diferencial de circuito es la suma del comportamiento natural y la solución estacionaria.

La solución estacionaria por sí misma no satisface las condiciones iniciales (t=0+) en el circuito. La solución transitoria provee una transición suave desde el estado energético inicial del circuito, representado por los valores iniciales de las corrientes y tensiones, al estado energético final representado por valores finales de las corrientes y tensiones.

Una excitación más general puede descomponerse en un tren de impulsos o escalones y tratar el caso por superposición. Es posible también resolver directamente la ecuación diferencial correspondiente a la excitación general.

En este caso la solución completa de la solución diferencial es la solución transitoria más una solución que es del mismo tipo que la excitación. Esta última se conoce también como solución estacionaria aunque no es una constante. Un término más adecuado es el de solución forzada.

Matemáticamente esta solución es llamada la integral particular de la ecuación diferencial.

3.2. Relaciones volt-amper y energía almacenada

Para entrar en el tema reescribamos las expresiones de la ley de Ohm para los elementos simples:

Para la resistencia: iR(t) = eR(t)·G eR(t) = iR(t)·R

Para la inductancia: iL(t) =Γ∫−∞

te L( t ) dt

eL(t) = L

diL( t )dt

Y para la capacitancia: iC(t) = C

de ( t )dt eC(t) =

S∫−∞

ti( t ) dt

A la integral de la tensión la denominamos enlaces de flujo y a la integral de la corriente la denominamos carga eléctrica.

λ = ∫−∞

teL dt

yq = ∫−∞

tiC dt

Por lo que resulta:

e = S × q y C

dedt

= dqdt

= i

La energía puede determinarse por la expresión:

W = p × T ∴ W = ∫−∞

te i dt

La energía almacenada será entonces, para la inductancia:

W L = ∫−∞

te i dt = L∫−∞

t didt

i dt

cambiando variables t por i, y asumiendo que en el origen de los tiempos el elemento está descargado, resulta:

t = - --> i=0; t=t --> i=I

W L = ∫0

IL i di ∴ W L =

L2

I 2

Y para la capacidad:

W C = ∫−∞

te i dt = C∫−∞

t dedt

e dt

cambiando variables t por e resulta:

t = - -- > e=0; t=t --> e=E

WC = ∫0

EC e de ∴ WC =

C2

E2

Donde hemos verificado que, felizmente, la energía almacenada en ambos elementos depende solamente del valor final y no de la historia de la corriente o la tensión respectivamente.

3.3. Teoremas de los valores iniciales y finales3.3.1. Teorema de la energía inicial

A la corriente en la inductancia la podemos expresar como:

i=Γ∫−∞

te dt=Γ∫−∞

0e dt+Γ∫0

te dt

La primer integral es la cantidad de enlaces de flujo almacenados en la inductancia desde el pasado hasta nuestro tiempo t = 0. Esta cantidad neta de enlaces de flujo dividida por el coeficiente de autoinductancia es la corriente existente en ese momento, por lo tanto podemos expresar la corriente como:

i=I 0+Γ∫0

te dt

por ello una inductancia inicialmente cargada puede reemplazarse por un generador ideal de corriente en paralelo con una inductancia descargada.

A la tensión en el capacitor la podemos expresar como:

e=S∫−∞

ti dt=S∫−∞

0i dt+S∫0

ti dt

La primer integral es la carga eléctrica almacenada en la capacidad desde el pasado hasta nuestro tiempo t = 0. Esta cantidad neta de carga eléctrica dividida por la capacidad es la tensión existente en ese momento, por lo tanto podemos expresar la corriente como:

e=E0+S∫0

ti dt

por ello un capacitor inicialmente cargado puede reemplazarse por un generador ideal de tensión en serie con un capacitor descargado.

3.3.2. Teorema del valor inicial y final

Por la ecuación de la corriente en la inductancia, si tomamos el instante t = 0+ nos quedará:

i = I 0 + Γ∫0−

0+

e dt

como el intervalo de integración es prácticamente nulo y si la tensión no es infinita, la integral también será nula. Por ello podemos decir que para t = 0+ la inductancia descargada es equivalente a un circuito abierto.

En un capacitor resultará que:

e = E0 + S ∫0−

0+

i dt

y haciendo las mismas consideraciones obtendremos una tensión nula que indicará un cortocircuito equivalente en t = 0+.

Hay que hacer notar que si la excitación es infinita en ese intervalo (un impulso) la integral tendrá un valor definido, distinto de cero, y representará la carga cedida al (o retirada del) elemento. Esta carga podrá sumarse algebraicamente a la inicial y tratarlo como inicialmente cargado con el valor resultante.

Para t=+, luego de desaparecido el transitorio, la inductancia queda con un diferencia de potencial nula y es indistinguible de un cortocircuito; mientras que el capacitor resulta con una corriente nula y por ende es equivalente a un circuito abierto.

Podemos decir que en ambos instantes particulares, t=0+ y t=+, el circuito de comporta resistivamente.

Independientemente de que la corriente o la tensión sean nulas en t=0+ deberemos evaluar también la primera derivada de las mismas, para lo que recordaremos que:

d id t

= Γ eL y d ed t

= S iC

Esta evaluación de la derivada de la función para el instante inicial la realizamos analizando el circuito equivalente para ese instante.

Si conocemos la tensión en la bobina tendremos que:

e L (0+ ) = L didt

|t=0+ ∴

didt

|t=0+ = i ' L( 0+) =

eL(0+)L

Por otra parte, si conocemos la corriente en el capacitor tendremos que:

iC (0+ ) = C dedt

|t=0+ ∴

dedt

|t=0+ = e 'C (0+) =

iC (0+ )C

tal como lo habríamos obtenido por aplicación del concepto de dualidad.

Debemos entender que hablamos de la derivada de la función para un instante dado y no de la derivada del valor de la función para ese instante ya que en este caso el resultado sería siempre nulo y no tiene significado físico.

Para el caso de una función de excitación impulsiva sabemos que su integral está definida por el coeficiente de la misma por lo que la carga cedida, o extraída, se evalúa fácilmente.

Para el capacitor:

i ( t ) = I A u0 ( t )

eC (0+ ) = S ∫0−

0+

I A u0( t )dt = S I A = I A

C

valor que habrá que sumar algebraicamente a la tensión inicial del capacitor E0.

Con algebraicamente queremos decir que la energía del impulso puede aumentar o disminuir la existente en el circuito, todo dependerá de la polaridad relativa de la tensión existente y de la adquirida. Resulta, por otra parte, obvio que la corriente que estamos considerando es la corriente que atraviesa al condensador.

Para el inductor:

e ( t ) = E Au0( t )

iL (0+ ) = Γ∫0−

0+

E A u0 ( t )dt = Γ EA = EA

L

valor que habrá que sumar algebraicamente a la corriente inicial del inductor I0.

Para este caso valen las consideraciones hechas para el anterior.

En resumen podemos establecer el siguiente cuadro:

Elemento Tiempo inicial Tiempo final

I0

L

I0

L

E0

C

- +E0 C

- +C

L

4. CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN4.1. Circuitos de primer orden

Circuitos con un solo tipo de elementos almacenadores de energía, que se describen por ecuaciones diferenciales de primer orden. Exigen conocer la energía inicial o el valor inicial de la variable, y la respuesta en el estado final, o de régimen, si hay una excitación del tipo permanente sobre el circuito.

4.1.1. Excitación por energía almacenada

Iniciaremos este estudio considerando una malla constituida por una resistencia R y una inductancia L con una carga inicial indicada como una corriente I0.

Siendo una malla cerrada aplicaremos la segunda ley de Kirchhoff:

eR + eL = 0

que, en función de la corriente resultará:

L didt

+ R i = 0

donde, separando variables, obtenemos:

dii

= - RL

dt

Si integramos entre t=0+ y t=t para el tiempo, y entre i=I0 e i=i para la corriente:

∫ I0

i dii

= - RL∫0−

tdt = ln i - ln I 0 = -

RL

t

o explicitando en función de la corriente:

i = I0 e-t/T

+ eR - + eL -

LR

i(t

I0

Hemos obtenido una variación exponencial decreciente que parte del valor inicial I0 y tiende a 0 para el tiempo tendiendo a +.

Para t = L/R = (Tau), llamada la constante de tiempo, ya que la dimensión es el segundo, y nos da información de la velocidad de variación de la función en el tiempo, podemos evaluar el valor de la variable:

i(Τ ) =I 0e-1=I 0

e≈ 37% I 0

La derivada de la función está dada por:

didt

= - 1Τ

I 0 e− t

Τ

si la evaluamos para t = 0 nos permite obtener la pendiente a la curva en el origen:

didt

|t=0+ = -

I 0

Τ

lo que nos dice que la recta tangente al origen corta el eje de tiempos en t = .

Si ahora consideramos las tensiones en la resistencia y en la inductancia tendremos que:

eR = Ri = RI0 e− t

Τ

e L = L didt

= -LI 0

Τe− t

Τ = -RI 0 e− t

Τ

Podemos entonces decir que, partiendo de una función de la forma:

{ f ' ( t ) + 1Τ

f ( t ) = 0 ¿

obtendremos una solución de la forma:

f ( t ) = A e−tΤ

I0

0 t

0,37I0

i(t)

donde A es el valor inicial de la variable, que evaluamos utilizando el circuito equivalente en t = 0, y es la constante de tiempo del circuito.

Consideraremos ahora circuito compuesto por una resistencia en serie con un capacitor cargado inicialmente, cuya carga está evaluada a través de su tensión inicial E0.

La ecuación de equilibrio resulta ahora:

R i + 1C ∫−∞

ti dt = 0

Aplicar una operación lineal a una expresión no altera las conclusiones que podemos extraer. Por ello podemos derivar la expresión anterior con respecto al tiempo y, teniendo en cuenta que el límite superior de la integral es la variable, resulta:

1C

i + R didt

= 0 = didt

+ 1

RC i

por similitud al caso anterior será:

i = I0 e-t/T

Determinaremos ahora el valor de I0; la tensión inicial en el capacitor es -E0 y debe ser eR = -eC

conforme a la segunda ley de Kirchhoff. Por ello:

I0 = E0/R por ser eC = -eR

∴ i = E0

Re

-tR C y eR = E0 e

-tRC

eC = 1C∫−∞

ti dt =

-1C

E0

R RC (e

-tRC - 1 ) + C0

donde C0 es la constante de integración que evaluamos como:

eC(0) = -E0(1 - 1) + C0 = C0 = -E0

por la condición inicial del circuito, por lo que:

eC(t) = -E0 e -t/R*C

que verifica lo antedicho: eR + eC = 0.

+ eR - + eC -

CR

i(t)

- E0 +

La constante de integración podría haberse evitado desdoblando la integral de 0 a 0+ y de 0+ a t.

Nuevamente hemos obtenido que, para una ecuación de equilibrio del tipo:

f'(t) + (1/T)f(t) = 0

resulta una solución de la forma:

f(t) = A e (-t/T) .

4.1.2. Excitación por un impulso

Iniciaremos este estudio considerando una malla constituida por una resistencia R y una inductancia L con un generador impulsivo unitario u0(t) como excitación.

La ecuación de equilibrio es ahora:

L didt

+ Ri = u 0 ( t )

que para t > 0+ resultará:

Ldidt

+ R i = 0

y, consecuentemente, la solución será:

i = I 0e-R t

L

dado que para t=0 la inductancia descargada es un circuito abierto, toda la tensión estará aplicada a ella. Por lo tanto podemos calcular la corriente inicial como:

iL (0+ ) =∫0−

0+ 1L

u 0 ( t ) dt = 1L

1

lo que resultará en:

i = 1L

e-R*t

L

+ eR - + eL -

LR

i(t)

+

u0(t)

Si el impulso no fuera unitario, por ejemplo Au0(t), la integración daría igual a A/L y la respuesta será:

(A/L) e(-R*t/L)

NOTA: Todas las soluciones son válidas para t>0 ya que no se puede aseverar nada sobre lo que acontece antes del instante en que comienza el análisis del circuito.

Para indicar esa condición de validez se suele multiplicar la solución encontrada por la función escalón unitaria u-1(t). Sin embargo debe entenderse que aquí el uso de esa función singular es sólo simbólica ya que no significa que la solución sea nula para todo tiempo anterior a 0, sino que no está determinada.

5. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN

5.1. Circuitos de segundo orden

5.1.1. Excitación por energía almacenada

Tal como vimos en los circuitos de primer orden esta situación nos permite evaluar la respuesta natural del circuito.

Analizaremos primero el caso del circuito en serie y considerando una malla constituida por una resistencia R, una inductancia L con una carga inicial indicada como una corriente I0, y un capacitor también cargado inicialmente con su carga representada por una tensión inicial E0.

Siendo una malla cerrada aplicamos la segunda ley de Kirchhoff

eR + eL + eC = 0, que en función de la corriente i(t) quedará:

L didt

+ R i + 1C∫−∞

ti dt = 0 [1 ]

Debe hacerse notar aquí que, si bién no está indicado en los circuitos como en los casos de primer orden, las polaridades de las tensiones están definidas conforme al sentido de la corriente i(t) del circuito. Si no fuera así los signos en las ecuaciones serían distintos.

+

E0

C

LR

i(t)

I0

Diferenciando una vez obtenemos:

Ld2 idt 2

+ Rdidt

+1C

i = 0 [ 2 ]

Los valores iniciales son:

i(0 ) = I 0 y 1C∫−∞

0+

i dt = E0

Si t = 0 en [1]:

L di(0 )

dt + R i(0 ) +

iC∫−∞

0+

i dt = 0

L di(0 )

dt + RI0 + E0 = 0

por lo tanto:

di(0 )

dt = -

1L

( R I 0 + E0 ) = K

Esta primera derivada de la corriente puede tomar cualquier valor dependiendo del circuito y de la condición de carga inicial.

Como necesitamos dos constantes arbitrarias intentamos una función consistente en la suma de dos soluciones de primer orden (nada impide que se aplique otro método):

itt = A1 ep1 t

+ A2 ep2 t

[ 3 ]

con:

ditt

dt = A1 p1 e

p1 t + A2 p2 e

p2

t

y:

d2 itt

dt 2 = A1 p1

2 ep1 t

+ A2 p22 e

p2 t

Si la ecuación [3] satisface a la ecuación [2] entonces será:

L ( A 1 p12 e

p1 t+ A 2 p2

2 ep2 t ) + R ( A 1 p 1 e

p1 t + A 2 p 2 e

p2 t )+

+ 1C

( A1 ep1 t

+ A 2ep2 t ) = 0

A 1 ep1 t (Lp1

2 + R p1 + 1C ) + A 2 e

p2 t (Lp22 + R p2 +

1C ) = 0

Ya que los productos de las constantes por las exponenciales no pueden ser nulas, porque se perdería la posibilidad de resolver el problema, deben serlo necesariamente las expresiones encerradas entre paréntesis. Las p1 y p2 deben ser raíces de la ecuación:

p2 + RL

p + 1

LC = 0

con lo que:

p1,2 = -R2L

±√( R2L

)2

- 1

LC

o:

p1,2 = - α±√α 2 - ω02

si ponemos que:

α = R2L

y ω02 =

1LC

El parámetro se lo conoce como coeficiente de amortiguamiento, tiene la dimensión de 1/segundo, la inversa de una constante de tiempo que nos indica la velocidad de decrecimiento del transitorio en el tiempo. 0, por su parte, tiene las mismas dimensiones y se denomina frecuencia angular natural, pulsación natural, o de resonancia, del circuito. Ambos dependen exclusivamente de los elementos y estructura de la red, y no de la excitación.

En función de la expresión de p1,2 se pueden deducir tres casos que dependen de la relación entre y 0:

1er caso) Si > 0, el coeficiente de amortiguamiento es mayor que la pulsación natural, se dice que el circuito está sobreamortiguado, o tiene amortiguamiento hipercrítico. Los valores de p son reales, negativos y distintos, y la solución es la suma de dos exponenciales reales.

2do caso) Si = 0, el coeficiente de amortiguamiento es igual a la pulsación natural, el circuito está críticamente amortiguado, o tiene amortiguamiento crítico. Los valores de p son reales, negativos e iguales, y la solución es la más complicada de resolver.

3er caso) Si < 0, el coeficiente de amortiguamiento es menor que la pulsación natural, se dice que el circuito está subamortiguado, o tiene amortiguamiento subcrítico, o es oscilatorio armónico amortiguado. Los valores de p son complejos conjugados, y la solución es la suma de dos exponenciales complejas que llevan a una función de respuesta oscilatoria amortiguada.

4to caso) De interés teórico no realizable prácticamente, que se obtendría si el circuito no tuviese pérdidas. En tal caso = 0, y se llegaría al caso oscilatorio libre o sin amortiguamiento.