ENSEÑANDO ALGUNOS ASPECTOS DE LA TEORÍA DEL CAOS

EN EL LABORATORIO DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

Enrique González y Julio Pozo

Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería

Universidad Diego Portales Casilla 298-V, Santiago, Chile.

Enrique.gonzalez@udp.cl

Palabras claves: Circuito de Chua, circuito RLC no lineal, simulación, caos, atractor. Área temática: Innovación en la enseñanza de las Ciencias Básicas en Ingeniería Resumen Durante los últimos semestre el desarrollo de este trabajo ha pasado a formar parte de una de las experiencias de laboratorio más innovadoras en las carreras de Ingeniería de la Universidad Diego Portales y está basado en investigar el diseño, la simulación del funcionamiento de un circuito de Chua que consiste en un circuito RLC no lineal forzado en donde se utiliza un transformador de frecuencia intermedia de AM como inductor L, y la posterior construcción del circuito. Se utiliza este circuito para realizar una caracterización experimental con verificación en el osciloscopio de su comportamiento, como asimismo una simulación mediante el uso del Multisim 2001 para comparar los resultados obtenidos. Se puede observar claramente la ruta al caos y el comportamiento caótico del sistema, obteniéndose el atractor doble Scroll tanto en el sistema construido experimentalmente como en la simulación respectiva. El ajuste de parámetros físicos como la resistencia del circuito, permite tener un control sobre la magnitud del caos observado, logrando de esta forma realizar el estudio correspondiente, sólo con materiales que están presentes en cualquier laboratorio de electricidad dispuesto para la enseñanza. Cabe destacar también que la realización de este trabajo genera una motivación especial en los estudiantes por investigar y familiarizarse con algunos aspectos de la teoría del caos.

1. Introducción

Durante el último tiempo, los sistemas dinámicos no lineales están teniendo gran relevancia fundamentalmente debido a que éstos pueden presentar un comportamiento caótico, además de estar presentes en diferentes tópicos de la física y otras disciplinas. La motivación para desarrollar este trabajo está centrada en construir y trabajar con un sistema caótico que genere un atractor de Chua, entendiéndose por atractor una representación en el espacio de fase de un sistema caótico. El sistema caótico está representado por un circuito RLC no lineal el cual permite verificar y mostrar mediante simulación, y experimentalmente en el laboratorio que su comportamiento puede ser caótico. Por otro lado, el Circuito Chua por presentar casi todas las características del caos es uno de los más importantes dispositivos electrónicos empleados para el estudio de la bifurcación y caos, como también de fractales. El funcionamiento general de los circuitos electrónicos que incorporan el diodo de Chua se basa en la variación de una tensión en los extremos de éste elemento, que se traduce en una corriente que variará según la tensión aplicada. La tensión variable necesaria, se puede conseguir ya sea mediante la aplicación de un generador de corriente alterna al circuito (circuito no autónomo) o por la incorporación de un oscilador al circuito (circuito autónomo).

2. Modelo teórico y diseño del prototipo

El Circuito Chua disipativo autónomo de tercer orden, conocido por su extenso repertorio de fenómenos dinámicos no lineales, ha llegado a ser un paradigma universal del caos. La figura 1 muestra un circuito de Chua que incluye dos capacitores C1 y C2, una resistencia R, un inductor L, y un resistor no lineal NR (un par de resistencias negativas) llamado diodo de Chua.

Figura 1. Esquema de un circuito Chua. Por otra parte, si se considera que todos los componentes excepto el diodo, tienen características lineales ideales, entonces el circuito de Chua es modelado por tres ecuaciones diferenciales, dadas por las leyes de Kirchhoff, las que se pueden escribir en la forma siguiente:

( ) ( )1121

11 VfVVRdt

dVC −−= (1)

( ) IVVRdt

dVC +−= 212

21

(2)

2VdtdIL −= (3)

Donde: V1 es el voltaje en los extremos del condensador C1; V2 es el voltaje en los extremos del condensador C2; I es la corriente a través del circuito. Además f es la característica no lineal voltaje-corriente del diodo no lineal de Chua conocida como función no lineal de Chua [7,8], que está descrita por la siguiente ecuación:

( ) ( ) PRPRRR BVBVmmVmVf −−+−+= 010 21 (4)

Las constantes 0m , 1m y PB pueden ser calculadas como:

64

5

31

21 RR

RRR

Rm −−= ; 431

20

1RRR

Rm +−= ; Satp ERR

RB

32

31 += ; Satp E

RRR

B65

62 +=

Donde SatE corresponde al voltaje de saturación del amplificador operacional utilizado. 3. Circuito simulado.

El circuito esquemático del circuito Chua se representa en la figura 2, el cual es simulado usando el software Multisim 2001, lo que permite derivar al atractor que se describe en la figura 3 al actuar sobre el potenciómetro de ajuste R7.

Figura 2 Diagrama practico del circuito Chua

Figura 3. Atractor “double Scroll” de Chua simulado con multisim 2001.

4. Método experimental Para la construcción del prototipo representado por la figura 4 es necesario disponer de todos los materiales especificados en la tabla 1, incluida la inductancia, que como se sabe no es un elemento que se pueda adquirir en una casa electrónica, sino que se debe construir y posteriormente ajustar, en nuestro caso se modificó un antiguo transformador de FI y se ajustó variando su núcleo con un medidor de componentes pasivos LCR, marca Extech, modelo 380193. Finalmente, utilizando técnicas de desarrollo de circuitos impresos se logra el objetivo propuesto, el cual se muestra en la figura 4.

Figura 4. Fotografía del circuito Chua construido

Tabla 1. Materiales construcción circuito Chua

1 Inductancia de 18 mH

1Circuito integrado TL082

2 Resistencias de 220Ω,½ ó ¼W

1 Condensador 100nF

1 Base 8 pines para CI

1 Resistencia de 2.2kΩ,½ ó ¼ W

1 Condensador 10nF

2 Resistencias 22kΩ,½ ó ¼ W

2 Baterías de 9V

1 Potenciómetro de ajuste de 2.2 kΩ

1 Resistencia de 3.3kΩ,½ ó ¼W 2 Broches para batería de 9V

1 Placa para circuito impreso de 5 por 5cm

5. Conclusiones y resultados finales.

El desarrollo de este trabajo permite obtener las siguientes conclusiones y o resultados: Al disponer de la información y de los materiales necesarios, fue posible armar el circuito Chua autónomo, cuyo esquema de circuito está representado en al figura 2, mediante el cual se obtuvo un comportamiento caótico experimental y simulado, tal como se muestra en las figuras 5 y 3 respectivamente.

Figura 5. Comportamiento caótico experimental obtenido con el circuito Chua construido. El comportamiento caótico queda descrito mediante la sensibilidad respecto del parámetro R, el cual está representado por la resistencia determinada por el potenciómetro de ajuste. Al comparar las figuras 5 y 3, se encuentra un sorprendente acuerdo entre los resultados experimentales y los simulados mediante el software Multisim. Al manipular el potenciómetro de ajuste se puede verificar los pasos de transición al caos mencionado en la literatura vigente, tal como se puede apreciar en la siguiente figura.

Figura 6. Figuras que muestran la ruta al caos Cabe mencionar que los instrumentos necesarios para realizar la experiencia, son los que deberían estar presentes en cualquier laboratorio de docencia de electricidad y magnetismo. Con respecto al circuito figura 2 (circuito de Chua), se construye en el laboratorio como un prototipo el cual permite controlar mediante el uso del osciloscopio las tensiones en los extremos de los capacitores C1 y C2, obteniéndose como respuesta un comportamiento caótico dado por el atractor que se presenta en la figura 5. También es posible controlar las tensiones en cada uno de los otros elementos que lo conforman (L, R, NR). Dependiendo de las condiciones iniciales el circuito presenta diferentes comportamientos, los atractores que se obtiene son diferentes y muy a pequeños cambios de la resistencia R7, siendo los mas interesantes los que se presentan en el rango 1,5[kΩ] a 2,1[kΩ]. La metodología descrita se aplicará en el Laboratorio de electricidad y magnetismo del cuarto semestre de las carreras de Ingeniería Civil en la UDP, en donde se cuentan con modernos equipos y tecnología de punta la cual permite a los estudiantes aumentar significativamente el conocimiento en algunos tópicos atractivos de la física contemporánea. Dentro de las ventajas que ofrece la realización de este trabajo, se puede mencionar el bajo consto de implementación y la facilidad de operación como así mismo el aprender haciendo y su fácil reproducción. La utilización del transformador de frecuencia intermedia, permite disponer de un inductor que se puede variar fácilmente, de acuerdo a los parámetros requeridos. Con respectos a las posibles limitaciones del trabajo se puede destacar que actualmente existe un circuito integrado que reproduce completamente al circuito de Chua, sin embargo este dispositivo no proporciona las mismas experiencias de enseñanza aprendizaje que permite un circuito discreto. Bibliografía 1. N. Carlin et al, Comportamento caótico em um circuito RLC não-linear, Revista Bralileira de Ensino de Física, vol. 27, n. 2, p. 225-230 (2005) 2. C. von Bilderling y E. Herscovich Ramoneda, Caos en un circuito R-L-Diodo, UBA (2004). 3. A. Razminia, M-Ali. Sadarnia, “Chua`s Circuit Regulation using a Nonlinear Adaptive Feedback Technique”. Volume 25 November 2007 ISSN 1307-6884. 4. M. Mulukutta and C. Aissi, “Implementation of the Chua´s circuit and its application”. Proceedings of the 2002 ASEE Gulf-Southwest Annual Conference, the University of Louisiana at Lafayette, March 20-22, 2002. 5. Enrique Gonzalez y Julio Pozo, Actas SOCHEDI 2008.