cinematica
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Breve descripcion de la CinematicaTRANSCRIPT
C 1 CINEMÁTICA
• Movimiento Mecánico. Bases para su estudio.
• Métodos vectorial, de coordenadas y natural.
• Magnitudes cinemáticas.
• Movimiento unidimensional.
• Movimiento rectilíneo uniformemente variado. Movimiento rectilíneo uniforme.
• Caída libre
• Ejemplos
Bibliog. Sears, Física Universitaria
Mecánica de
los cuerpos
macroscópicos
Movimiento
mecánico
Cinemática: Rama de la Mecánicaque se dedica a la descripción delmovimiento mecánico sin interesarsepor las causas que lo provocan.
Dinámica: Rama de la Mecánicaque se dedica a investigar las causasque provocan el movimientomecánico.
Movimiento Mecánico: Cambio deposición de un cuerpo respecto a otros,tomados como referencia.
Carácter: Relativo
Definir sistema
bajo estudio
Definir
Sistema de
Referencia
(SR)
Bases para el estudio del movimiento mecánico
• Definición del Sistema de Referencia (SR)
• Utilización de magnitudes físicas apropiadas y
relaciones entre ellas.
• Empleo de modelos para el sistema físico:
Modelo de cuerpo rígido y Modelo de partícula.
• Utilización del principio de independencia de
los movimientos de Galileo así como del
principio de superposición.
SR: Cuerpos que se toman como referencia para
describir el movimiento del sistema bajo estudio.
Bases para el estudio del movimiento mecánico
x(t)
y(t)
z(t)
Se le asocia
• Observador
• Sistema de Coordenadas
y
x
z
• Reloj
Bases para el estudio del movimiento mecánico
SRI: Es aquel para el cual el
sistema bajo estudio en
ausencia de la acción de otros
cuerpos, se mueve con MRU.
Bases para el estudio del movimiento mecánico
Magnitudes Físicas
Cinemáticas
Posición,
Velocidad,
Aceleración
Dinámicas
Fuerza, Torque
Bases para el estudio del movimiento mecánico
Modelos
de Partícula: el cuerpo puede serconsiderado como un objeto puntual.
de Cuerpo Rígido: Las distanciasentre los diferentes puntos delcuerpo no varían.
Traslación pura
Rotación pura de cuerpo
sólido
Es aplicable el modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
Objetivo
Determinación de las Leyes del
Movimiento
Posición (t), Velocidad (t), Aceleración (t)
Describir el
Movimiento
mecánico
Métodos•Vectorial (conciso, elegante)
•de Coordenadas Mayor número de ecuaciones
•Natural Coordenadas curvilíneas
Problemas de la cinemática
Posición (t)
Velocidad (t)
Aceleración (t)
P.D
irecto
P.In
vers
o
Co
nd
.In
icia
les
ttr
tr
)(: trposición
ttV
tV
dt
dr
t
rtVvelocidad
t
lim
0
)(:dt
dVtanaceleració )(:
mV r
t
rVmediavelocidad m
:
r
)()(: trttrrentodesplazami
t
tVttVanaceleració m
:
media
Vectorialdr
)(tx
)(ty
)(tz)(),(),(: tztytxposición
,)(:dt
dxtVvelocidad x
dt
dytVy )(
dt
dztVz )(
dt
dVtanaceleració x
x )(:
dt
dVta
y
y )(
dt
dVta z
z )(
De Coord.
y
x
zzyxentodesplazami ,,:
,)(: Vdt
dstVvelocidad
dt
dVtaT )(
Ta
a
22
TNaaa
n
0s0s
nV
dt
dVtanaceleració N
2
)(:
Na
Natural
)()(: Vdt
d
dt
dVtanaceleració
n
)(: tsposición
0s
Metodología
• Identificar sistema físico
• Selección del SRI (Ubicación del Observador)
• Selección del método o métodos (vectorial, decoordenadas o natural)
• Resolver el problema directo (derivando) o elindirecto (integrando) o ambos: Hallaranalíticamente la dependencia temporal de laposición, la velocidad y la aceleración; yDibujar las gráficas
y
x
t1
t2
A
B
r
r(t1)
r(t2)
r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2
Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] esta dado por:
¿Es importante conocer la trayectoria
del móvil para hallar el vector
desplazamiento?
)t()t( 12rrr
B
t1
t2No es necesario conocer la trayectoria para determinar el
vector desplazamiento en el intervalo de tiempo deseado, solo
es necesario conocer las posiciones en dichos instantes de
tiempo
A
r
Vector velocidad media
Se define el vector velocidad media
en el intervalo de tiempo [t1 , t2]
como:
s
m
tt
rr
t
rV
12
ttm
12
y
x
t1
t2
A
B
rmV
r//Vm
)(t1r
)(t 2r
La velocidad media apunta en la
misma dirección del vector
desplazamiento
Y(m)
x(m)
t1
t2Δl
:Δl Distancia total recorrida en el
intervalo de tiempo [t1 , t2]
r
Rapidez media
La rapidez media es igual a la
distancia total recorrida entre
el tiempo total empleado
t
l
empleadotiempo
recorridadistanciav~m
• La rapidez media no es un vector
• la rapidez media no es igual al modulodel vector velocidad media (para el mismointervalo de tiempo)
mm Vv
t2
t'2
t"2
t1
B
A
Y(m)
x(m)
v
r1
r
r2
mV
r2'
r'
mV
r2"
r"
mV
t3
A
Y(m)
x(m)
El vector velocidad
instantánea es
tangente a la
trayectoria que
describe la partícula
t2
t1
)v(t1 )v(t2)v(t3
vv
La velocidad instantánea es la
derivada del vector posición
respecto del tiempo
Velocidad instantánea
dt
dr
t
rlimv(t) 0t
Esta expresión podemos
expresarla en función de sus
componente rectangulares
dt
dx(t)vx
dt
dy(t)vy
dt
dz(t)vz
dt
dr
t
rlimv(t) 0t
Rapidez instantánea
t
lv
(t)
0
~t
lim
Si 0Δtr
t1
t2
Δl
rl dr
vtd
dr
Rapidez instantánea
La rapidez instantánea es igual al
modulo de la velocidad instantánea
dt
dr
t
rlimv~ 0t(t)
)t((t) vv~
Al modulo de la velocidadinstantánea se le conoce comorapidez instantánea
A
Y(m)
x(m)
t2t1
12
12m
tt
)V(t)V(ta
)v(t1
)v(t2
Aceleración media
Se define la aceleración media como la
rapidez de cambio de la velocidad
instantánea en un determinado intervalo
de tiempo
212
12m
s
m
tt
)V(t)V(ta
Y(m)
x(m)
La aceleración en este
pequeño intervalo de tiempo
apunta hacia la concavidad
de la trayectoria
t)v(t
t1 )v(t1
v
v at
Vlima ot(t)
a
dt
ˆdv
dt
dvˆa
La aceleración instantánea es igual ala derivada del vector velocidadinstantánea respecto del tiempo t
(t)a dt
ˆvd
dt
dV
nv
v
ˆdt
dva
naˆaa n
dt
dva
2
nv
a
2n
2 aaa
Na
Ta
Es la aceleración normal , responsable
del cambio de dirección de la velocidad
Es la aceleración tangencial responsable
del cambio del modulo de la velocidad
dt
(t)dva x
x dt
(t)dva
y
y dt
(t)dva z
z
Expresado en componentes rectangulares
dt
dVa
Resumen:
Si se conoce la posición de la partícula con el
tiempo r(t) podemos determinar su velocidad y
aceleración instantánea por simple derivación
dt
drv
(t)(t)
2
(t)2
(t)(t)
dt
rd
dt
dva naa
Problema directo
Así mismo si se conoce la aceleración con el tiempo
es posible encontrar la posición y la velocidad usando
el camino inverso, es decir integrando:
dtadvdt
dva (t)
(t)(t)
t
t
(t))(t(t)
O
Odtavv
t
t
(t))(t(t)
O
Odtavv
dtvdrdt
drv (t)
(t)(t)
t
t
(t))(t(t)
O
Odtvrr
Son los vectores posición y velocidad en el instante to
Problema inverso
Ejemplo 1:Si el vector posición de una partícula esta dada por:
ktj1)2t(ti1)(2tr 423
(t)ˆˆˆ
Hallar:
1) el vector posición para t= 0 y 2 s
2)El vector desplazamiento en el intervalo [0,2]s
3) su velocidad media en el intervalo [0,2]s
su velocidad instantánea en t = 0 y t=2 s
5) su aceleración media en el intervalo [0,2]s
6) su aceleración instantánea en t = 0 y 2s
Movimiento en una
dimensión
Podemos aplicar lo discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviendose en una
sola dimensión, por ejemplo
a lo largo del eje x
ivvix(t)r (t)(t)(t)
iaa )t()t(
x
)(tov
(t)v
)(tor
(t)r
Para el movimiento en el eje X las ecuaciones
se reducen a:
0ta
Movimiento rectilíneo variado
va Movimiento rectilíneo acelerado
v y a igual signo
va
)t(a)t(vtx
Movimiento rectilíneo retardado
v y a signos opuestos
X(t)
t
p
Q
R 0v
0v
0v
dt
dxv (t)
Velocidad instantánea
tti tf
t
a > 0
a = 0
a < 0
Aceleración instantánea
dt
dva
(t)
tti tf
t
En toda gráfica v versus t el área bajo la
curva es igual al desplazamiento del móvil
curvalabajoarea 2
1
t
t
vdtΔx
vdt
dx
Ejemplo 1:
En la gráfica velocidad versus
tiempo, haga un análisis del tipo de
movimiento e indique en que tramos
el movimiento es acelerado o
desacelerado
2 4 8 12 16t(s)
V(t)
Diremos que un movimiento
rectilíneo es uniforme variado si la
aceleración del móvil permanece
constante en todo momento.
Supongamos que una partícula
parte de la posición xo en el
instante t0=0 , con una velocidad vo
x
t
0
v
v
adtdvo
a
ov (t)
vo
x
(t)x
t=0
Como a= cte. entonces dv/dt=a es fácil de
integrar
tvvo(t)
a Velocidad
instantánea
Problema inverso
Podemos ahora determinar la posición de la
partícula en cualquier instante de tiempo t
t
0
(t)dtvdx
x
xo
t
0
ot)dtvdx a
x
xo
(
tvvo(t)
a
2
oo(t)t
2
1tvxx a
x
a
ov (t)
vo
x
(t)x
t=0
Hallaremos ahora una expresión para
determinar la velocidad media en el intervalo de
tiempo [0, t]:
Δt
ΔxV
m
t
x-xV o(t)
m
x
a
ov (t)
vo
x
(t)x
t=0
t
x-xV o(t)
m
2
oo(t)t
2
1tvxx a
t
v-va o(t)
Y usando las ecuaciones
anteriormente deducidas
x
a
ov (t)
vo
x
(t)x
t=0
2
vv
t
x-xV o(t)o(t)
m
Finalmente obtenemos
x
a
ov (t)
vo
x
(t)x
t=0
Δx2vv 2
0
2
(t)a
También se puede demostrar:
Donde :0(t)
xxΔx
Es el desplazamiento en el intervalo de tiempo
[0 , t]
Δx2vv 2
0
2
(t)a
Resumen
0(t)xxΔx
[0 , t]
tvvo(t)
a
2
oo(t)t
2
1tvxx a
2
vv
t
x-xV o(t)o(t)
m
2
vv
tt
x-xV )(t)(t
12
)(t)(t
m1212
[t1 , t2 ]
ctea MRUADespejando t en la
1ra y sustituyendo
en la 2da, se
obtiene la 3ra
Movimiento Uniformemente Acelerado
tvvo(t)
a
0 0
at
O tt
xo
x(t)
t
Pendiente = v0
pendiente = v(t)
2
oo(t)t
2
1tvxx a
O t
a
aPendiente = 0
a
Movimiento Rectilíneo Uniforme MRU
datoa :
0
atVV 0
0
2
2
00
attVxx
0
a
V
x
t
t
t
x0
V0
Movimiento Parabólico0xa
xx VV 0
tVxx x00
MRU
Eje x
gay
gtVVyy 0
2
2
00
gttVyy y
MRUV
Eje y
jga jvv
00
y
0
gtvv0
2gt2
1tvyy
00
yg2vv 20
2
av
x
t t
t
v0
-v0-g
tvtv/2
tv
H
jga
gtvv0
2gt2
1tvyy
00
Problema 7
Una partícula de 2 kg es lanzada verticalmente
hacia arriba con una rapidez de 100 m/s,
determine:
a) El tiempo que permanece en el aire.
b) Su posición en el instante t = 5 s.
c) La altura máxima alcanzada.
d) Su desplazamiento entre 5 y 15 s
e) El tiempo que demora en cambiar la velocidad
de 60 m/s a -60m/s