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UAM Universidad Autónoma Metropolitana

CBI

Ciencias Básicas e Ingeniería

Licenciatura en Ingeniería en Energía

Seminario de Proyectos I y II

Distribución de Tamaños de Partícula en un Reactor

de Lecho Fluidizado

Presenta:

Quezada García Sergio

Asesor:

Dra. Elizabeth Maritza Salinas Barrios

México D.F., julio del 2008

Contenido

Contenido

Nomenclatura 5

Capítulo 1

Lechos fluidizados en sistemas energéticos

1.1 Antecedentes y aplicaciones 7

1.2 Tecnología de lecho fluidizado en combustión 10

1.3 El FCC en la refinación del petróleo 12

Capítulo 2

Fluidización

2.1 Componentes del sistema 16

2.2 Parámetros asociados con un lecho fluidizado 17 Fracción volumen de sólidos 17

Diámetro Sauter 17

Esfericidad 17

Fracción volumen de fluido 17

2.3 ¿Cuándo fluyen las partículas? 18

2.4 Regímenes de fluidización 19

Lecho fijo 20

Fluidización mínima 20

Fluidización suave 20

Fluidización con burbujeo 20

Fluidización intermitente (slugging) 20

Fluidización turbulenta 20

Fluidización diluida con transporte neumático 20

2.5 Regímenes de flujo 21

2.6 Fluidización particulativa y granular 23

Particulativa 23

Granular 23

2.7 Clasificación de partículas de Geldart 24

Contenido

Capítulo 3

Ecuaciones para un lecho fluidizado

3.1 Balance de masa 27

3.2 Ecuación de balance de momentum 28

3.3 Ecuaciones de la mezcla 30

3.4 Conservación de la masa de la mezcla 31

3.5 Identidades de la mezcla 32

3.6 Ecuación de Balance de Momentum para la Mezcla 33

Capítulo 4

Distribución de tamaños de partículas

4.1 Distribución de tamaños de cúmulos 35

4.2 Procesos de agregación y rompimiento 36

4.3 Fundamentos de procesos estocásticos 37

Variable estocástica y momentos de la distribución 37

4.4 Ecuación de balance de población 39

4.5 Distribución de tamaños de partícula sin considerar procesos de fragmentación

ni agregación 42

4.6 Distribución de tamaños de partícula considerando procesos de fragmentación

y agregación 44

Conclusiones 46

Apéndice A

Ecuaciones hidrodinámicas

A.1 Ecuación de continuidad 47 A.2 La ecuación de movimiento 48

A.3 La ecuación de energía mecánica 52

A.4 Ejemplo para un fluido simple 53

Contenido

Apéndice B

Teorema de Transporte de Reynolds

B.1 Método estático y del continuo 58

B.2 Coordenadas Eulerianas y Lagrangianas 60

B.3 Derivada material 61

B.4 Volumen de control 62

B.5 Teorema de Transporte de Reynolds 62

Apéndice C

Distribuciones de probabilidad

C.1 Distribución Normal o Gaussiana 66

C.2 Distribución log-normal 67

C.3 Distribución gamma 68

C.4 Distribución exponencial 71

C.5 Distribución chi-cuadrada 71

C.6 Distribución de Weibull 72

Bibliografía 73

Nomenclatura

5

Nomenclatura Ck = número medio de cúmulos de tamaños k a un tiempo t. dp = diámetro de la partícula (m) sd = diámetro Sauter

dsi = diámetro del tipo i (m) D = diámetro del ducto (m) Fr = número de Froude (adimensional) g = aceleración de la gravedad (m/s2) H = altura (m) Kn= número de Knudsen (adimensional) p = presión (Pa) R=radio (m) S=área (m2) t = tiempo (s) v = velocidad (m/s) vb = velocidad de mínima de fluidización con burbujeo (m/s) vd = velocidad mínima de fluidización diluida con transporte neumático (m/s) vmf = velocidad mínima de fluidización (m/s) vs = velocidad mínima de fluidización intermitente (slugging) (m/s) vt = velocidad mínima de fluidización turbulenta (m/s) V = volumen (m3) Wi=fracción masa de la fase i xi = frecuencia relativa del tipo i

Nomenclatura

6

Símbolos griegos

fε = fracción volumen de fluido (adimensional)

sε = fracción volumen de sólido (adimensional)

λ = trayectoria libre promedio de las moléculas ρg = densidad del gas (kg/m3) ρs = densidad del sólido (kg/m3) φ = esfericidad (adimensional) µ = viscosidad (kg/m*s) ρ = densidad (kg/m3) τ = tensor de esfuerzos cortantes (kg/m*s2)


7

Capítulo 1


El proceso de fluidización es aquel que permite a partículas sólidas comportarse

como un sistema disperso con propiedades de un fluido mediante la acción sustentadora de un gas o líquido que actúa como medio fluidizante. Estos sistemas multifásicos son ampliamente usados como reactores en la industria química y petroquímica: como combustores y/o gasificadores de biomasa, como intercambiadores de calor en secado de sólidos y craqueo de hidrocarburos. Esto se debe a que entre las principales características de estos sistemas se tiene que las partículas del lecho están en continuo movimiento y por ello normalmente se encuentran bien mezcladas. Como resultado, es posible disipar rápidamente puntos calientes y lograr que el lecho opere esencialmente en forma isotérmica. También, como resultado del movimiento de los sólidos, es posible lograr altas tasas de transferencia de calor entre el lecho y superficies de contacto, lo que permite un buen control de temperatura del lecho. 1.1 Antecedentes y aplicaciones

La gasificación de carbón de Winkler representó el primer proceso comercial a gran escala en el que se emplearon los lechos fluidizados. La unidad era alimentada con carbón en polvo y contaba con 13 metros de altura y 12 metros cuadrados en la base, entró en operación en 1926 (Levenspiel, 1991). El proceso consistía en obtener monóxido de carbono e hidrógeno a partir de carbón mineral. El proceso era ineficiente debido a la gran cantidad de oxigeno que requería para que la reacción se llevara a cabo y a la perdida de materia por transporte neumático.

Durante la Segunda Guerra Mundial los Estados Unidos emplearon los lechos fluidizados para llevar a cabo procesos como el de Houdry y el de craqueo catalítico, esto lo hicieron anticipándose a la necesidad de contar con gasolinas de alto octanaje para los aviones, por ello, se creó una comunidad de ingenieros químicos con el fin de encontrar nuevas técnicas para obtener keroseno y gasolina.

En la Fig. 1.1 se muestra un reactor catalítico de lecho fluidizado con regeneración de catalizador. Este reactor es utilizado para transformar gasóleo en gasolina.


8

Figura 1.1. Reactor catalítico de lecho fluidizado. (Costa, 1991)

En la actualidad las aplicaciones de los lechos fluidizados se ha extendido a

muchas otras ramas de la ingeniería. Algunas de las aplicaciones industriales de los lechos fluidizados actuales son los procesos de (Levenspiel, 1991):

• Secado de partículas • Intercambio de calor • Reacciones de síntesis • Craqueo de hidrocarburos • Combustión, incineración y calcinación.

Son muchas las aplicaciones que tienen los lechos fluidizados en las diferentes

industrias como la farmacéutica, la química, la de alimentos y la minera, por mencionar algunas. Algunos procesos:

• calcinación • cocción • desactivación de enzimas • eliminación de polvo


9

• enfriamiento por evaporación • esponjamiento • esterilización • fermentación • pasteurización • pelado • reacción • secado con gas inerte y por congelación • tostación

Una gran cantidad de productos se procesan en las industrias alimenticia, minera

y química. En la primera se procesan.

• arroz • azúcar • café • carne • cereales • frutos secos • granos de cacao • leche en polvo • tabaco • té • sal • queso • vitaminas A y C

En la industria minera se procesan: • arena • carbonato cálcico • metales férricos • piedra caliza • yeso • etcétera

En la industria química se procesan: • acido crómico • cloruro cálcico • detergentes en polvo • fertilizantes • herbicidas • pesticidas • polímeros • sales • sulfato nítrico, amónico, potásico • etcétera


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En las siguientes secciones se tratará la tecnología de los lechos fluidizados en los procesos de combustión y en el craqueo catalítico de hidrocarburos. 1.2 Tecnología de lecho fluidizado en combustión

En los últimos años se han desarrollado diversas tecnologías de combustión, entre las que destaca la tecnología de combustión en lecho fluidizado. La combustión en lecho fluidizado consiste en desarrollar el proceso en el seno de una masa de suspensión de: partículas de combustible, cenizas y, a veces, un inerte, los cuales son fluidizados por una corriente ascendente de aire de combustión. En la Fig 1.2 se muestra un horno de lecho fluidizado.

Figura 1.2. Horno de lecho fluidizado.

(Castells, 2005)

Los lechos fluidizados permiten quemar combustibles de diversas características, como son un bajo poder calorífico y un alto contenido en cenizas, de forma eficiente y limpia. La combustión se lleva a cabo alimentando el combustible de forma continua a un lecho, compuesto generalmente por un material inerte que es fluidizado por una corriente ascendente de aire. La temperatura del lecho se mantiene entre 750ºC y 900ºC [Ramos y Bahillo, 2004] y es controlada eliminando el calor de combustión mediante intercambiadores de calor que utilizan agua, vapor o aire como fluido de refrigeración.

El lecho fluidizado tiene la capacidad para quemar una gran variedad de combustibles, carbón, biomasa, residuos tales como municipales, procedentes de la agricultura, lodos e industriales [Adánez, J. (2007)]. La combustión en lecho fluidizado puede contribuir a un uso más efectivo de los recursos naturales disponibles así como a tratar los problemas procedentes del tratamiento de residuos. Esto permite llevar a cabo


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estudios de comportamiento de combustión de diferentes materiales con el fin de optimizar el proceso desde el punto de vista medioambiental.

Los lechos fluidizados ofrecen las condiciones de operación apropiadas para una buena combustión. La agitación del lecho, la inercia térmica y la elevada superficie de contacto entre las partículas hace que la temperatura en el lecho permanezca aproximadamente constante. La mezcla que se logra en los lechos fluidizados mejora la reactividad de los residuos ya que alcanzan rápidamente los valores de la temperatura de operación. Estas cualidades permiten que los lechos fluidizados sean poco sensibles a las variaciones en el poder calorífico, logren una recuperación energética elevada al no requerir un gran exceso de aire, obtengan unas escorias con una fracción de inquemados pequeña (<0,5%), razonablemente “duras”, y que permitan un buen control del proceso y fácil mantenimiento [Ramos y Bahillo, 2004]. A pesar de las desventajas que presentan frente a otras alternativas como son su mayor consumo de energía, los mayores costes de inversión o la menor capacidad ofrecen una ventaja fundamental, mejor comportamiento ambiental ya que disminuye la formación de NOX, permite introducir cal o dolomita para retener SO2 y también desciende el nivel de CO.

Esta tecnología puede también usar un rango más amplio de combustibles que las tecnologías de combustibles pulverizados. Los lechos fluidizados de presión atmosférica están comercialmente disponibles en dos tipos: lecho burbujeante (conocido como combustión en lecho fluidizado atmosférico - AFBC) y el lecho circulante (CFBC – combustión en lecho fluidizado circulante). Los lechos fluidizados se diferencian entre sí básicamente según la velocidad del aire en los mismos. Según se incrementa la velocidad del aire los lechos pasan de fijo a burbujeante, turbulento y circulante. Brevemente describimos las características físicas de estos regímenes de fluidización.

a) Burbujeante Opera con bajas velocidades del aire de fluidización y se caracteriza por permanecer en el lecho la mayor parte de los sólidos y solamente una parte, normalmente inferior al 10%, pasan al ciclón. Este tipo de fluidización se denomina "en fase densa", caracterizándose por la superficie libre del lecho que permanece definida. b) Circulante Con velocidades muy elevadas del aire de fluidización se produce el arrastre de gran cantidad de sólidos del lecho, pudiéndose reciclar una gran parte de éstos mediante un ciclón o multiciclón, dando lugar al denominado "lecho fluidizado circulante".

El tipo de lecho fluido burbujeante o circulante seleccionado depende del poder calorífico del combustible según se quema y del tamaño de la instalación.

Desde el punto de vista de la presión de operación del combustor (Fig 1.3), pueden hacerse dos divisiones: lechos fluidizados atmosféricos, que operan a la presión atmosférica, y lechos fluidizados a presión (5-20 Kg/cm2). La combustión en lecho fluidizado a presión aunque es más compleja de operar ofrece la posibilidad de utilizar turbinas de gas en la generación de electricidad, empleando ciclos combinados gas-vapor con un alto rendimiento global.


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Figura. 1.3. Rector de lecho fluidizado circulante con intercambio de calor.

(Castells, 2005)

La eficiencia de la mayoría de los lechos fluidizados usados para la generación

de electricidad es similar a la de las plantas convencionales de carbón pulverizado. Sin embargo, el uso de esta tecnología ha sido estimulado debido a su mejor desempeño ambiental. Los lechos fluidizados presurizados, los cuales pueden alcanzar eficiencias del 45 % (Fernández, 1998). Como en las plantas de combustibles pulverizados, la utilización de condiciones de vapor más altas podría aumentar aún más la eficiencia. 1.3 El FCC en la refinación del petróleo

El proceso de craqueo catalítico de hidrocarburos, juega un rol central dentro de

las refinerías modernas, ya que no sólo genera combustibles líquidos como gasolinas, queroseno y diesel; sino que también brinda materias primas para procesos derivados muy importantes, tales como la síntesis de metil-tert-butil éter (MTBE), alquilación e isomerización (Marcilly, 1996). Una de las características principales del proceso es que permite aprovechar hidrocarburos de bajo valor económico y de alto peso molecular, convirtiéndolos en compuestos de mucho mayor valor y aprovechamiento. Este protagonismo se ha visto reforzado últimamente en función de las mayores restricciones


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que impone la legislación acerca de la composición de los combustibles. Dentro de los procesos derivados, dos de los de mayor importancia y crecimiento son:

1. Alquilación: que se lleva a cabo a través del isobutano y las olefinas C3-C4

necesarias. 2. Síntesis de MTBE y TAME que se lleva a cabo a través de las iso-olefinas C4 y

C5 necesarias.

Estos procesos dependen del FCC, dado que es el proveedor de las materias primas (Schipper, 1992).

El FCC es un proceso de gran versatilidad, dado que las unidades pueden ser operadas de diversas maneras (King, 1992), y su optimización se refuerza por el hecho de que al procesar volúmenes tan importantes, pequeñas mejoras en las conversiones o en la calidad de los productos, o en el mejor aprovechamiento de recursos, producen fuertes beneficios económicos. Un claro ejemplo de esto sería la incorporación, aunque sea en cantidades muy pequeñas, de plásticos de desecho a las alimentaciones usuales de FCC, que podría aumentar la producción de gasolina sin afectar de manera significativa la calidad de la misma.

Típicamente, los cortes a craquear en FCC son gasóleos de vacío. El proceso

tiene una operación cíclica, donde las partículas del catalizador, de un tamaño promedio de 70 µm, circulan entre un reactor de lecho fluidizado de transporte diluido, denominado riser, donde se desactivan por deposición carbonosa en el reducido tiempo de contacto con los hidrocarburos reactivos, normalmente menor a 10 segundos, y un regenerador donde el coque es quemado. El calor generado, transportado por el catalizador, se utiliza para sostener las reacciones de craqueo, que son endotérmicas. El inventario de catalizador varía de acuerdo a la capacidad de la unidad, pero generalmente es de alrededor de 250 toneladas. El regenerador es un lecho fluidizado denso, con tiempos de residencia muy superiores a los del tubo elevador “riser”, y con condiciones muy severas para el catalizador (temperaturas superiores a 700 °C, presencia de vapor de agua). El catalizador regresa regenerado al reactor para enfrentar nuevamente a la carga, y reiniciar así el ciclo (King, 1992). Debido a esto, el catalizador sufre fuertes cambios desde su estado original hasta alcanzar el que se denomina estado de “equilibrio”.

Normalmente, el catalizador empleado es compuesto, la zeolita es el principal componente, la cual se encuentra sobre una matriz que puede poseer características muy variadas: activas (alúminas), o inactivas (sílice, caolines), además de diversos aditivos. La oferta de catalizadores es muy amplia, con distintas alternativas para satisfacer requisitos muy puntuales en función de la alimentación, la tecnología utilizada, y el tipo de producto que se desea.

El FCC comprende un conjunto muy complejo de reacciones catalizadas por los sitios ácidos de la zeolita; entre otras, craqueo, isomerización, transferencia de hidrógeno y oligomerización. La química de tales reacciones es sumamente complicada y dista de ser conocida con profundidad (Cumming y Wojciechowski, 1996). Las de transferencia de hidrógeno tienen una fuerte incidencia sobre la calidad de los productos del FCC, dado que al consumir olefinas y nafténicos para generar parafinas y aromáticos hacen que se pierda octanaje de las gasolinas (Sedran, 1994). Así, es deseable minimizarlas, pero sin pérdida excesiva de actividad en los catalizadores. En


14

este sentido, debe tenerse presente que la densidad de sitios ácidos apareados parece ser un parámetro clave incidente en estas reacciones, según lo expresa su dependencia del tamaño de celda unitaria (Galiano y Sedran, 1997). Las reacciones de oligomerización, generadoras de hidrocarburos de alto peso molecular han sido muy poco estudiadas sobre catalizadores de FCC. Las mismas dependen de la densidad de sitios ácidos, pero aparentemente en mayor medida que las reacciones de transferencia de hidrógeno.

Consecuentemente, el efecto de la desaluminización sería más importante sobre ellas, llegando posiblemente a inhibirlas de manera significativa. Es posible que el uso de polímeros de base estirénica pueda constituir una herramienta adecuada para la cuantificación de estas reacciones en relación a las de transferencia de hidrógeno, dado que en su conversión es importante la producción de estireno monómero que podría recibir un hidruro para desorber como etilbenceno, al tiempo de habilitar el estudio de la factibilidad del reciclo de plásticos, formando parte de las alimentaciones usuales de FCC. En las Fig 1.4 y 1.5 se muestran configuraciones características de sistemas FCC. Actualmente se utilizan dos tipos de unidades de FCC básicamente, una de ellas es la de tipo “lado por lado” donde el reactor y el separador son vasijas adyacentes una de otra, la del tipo Orthoflow o apilado es el otro tipo, donde el reactor es montado sobre la parte superior del regenerador. Una de las diferencias más importantes en una unidad de FCC se refiere a la localización y control de la reacción de craqueo.

Figura 1.4. Configuraciones de FCC “lado por lado”

(Gary, 1980)


15

Figura 1.5. Configuraciones de un sistema FCC Orthoflow (Gary, 1980).

En este capítulo se indica como son utilizados los lechos fluidizados en sistemas energéticos. Sin embargo, todavía no se ha dicho nada de los regímenes de fluidización y de las partículas en estos lechos. En el capítulo 2 se presentarán estas propiedades.

Fluidización

16

Capítulo 2

Fluidización

Los reactores de lechos fluidizados son reactores de sistemas multifásicos, es decir, sistemas que contienen partículas sólidas y un fluido ya sea un gas o un líquido. La fluidización es el proceso mediante el cual una corriente ascendente de algún fluido, a una velocidad dada, se utiliza para suspender partículas sólidas. Desde un punto de vista macroscópico la fase sólida se comporta como un fluido. 2.1 Componentes del sistema

Los diferentes partes de un reactor de lecho fluidizado dependen de la aplicación que se les quiera dar, pero algunas componentes son muy comunes (Fig. 2.1)

a) Columna de fluidización: consiste en un cilindro por el cual viajará el fluido que suspenderá a las partículas.

b) Sección unificadora: se trata de un cono difusor ubicado en la base del reactor su objetivo es obtener el perfil de velocidad deseado.

c) Distribuidor: se trata de una placa con orificios colocada en la parte superior de la sección unificadora, es uno de los componentes mas importantes ya que de su diseño depende la calidad de la fluidización.

d) Sistema de suministro de fluido: Consiste en un sistema de válvulas encargadas de regular el flujo de fluido. También cuenta con otros instrumentos encargados de medir el flujo y darle las condiciones termodinámicas requeridas.

e) Sistema de medición de presión: es importante conocer la caída de presión que se tiene en el lecho fluidizado.

f) Sistema de medición de temperatura.

Figura 2.1 Componentes de un reactor de lecho fluidizado.

Fluidización

17

2.2 Parámetros asociados con un lecho fluidizado Fracción volumen de sólidos

El volumen total en el lecho fluidizado va a estar dado por la suma del volumen

de sólido y el volumen del fluido. La fracción volumen de sólidos es la relación que existe entre el volumen del sólido y el volumen total del lecho fluidizado.

ε = sólidos

Total

V

V (2.1)

ε =+

sólidos

sólido fluido

V

V V (2.2)

Diámetro Sauter

Es importante conocer el tamaño de las partículas del lecho, el tamaño de estas

partículas no será el mismo para todas ellas. En la realidad se tiene toda una distribución de tamaños de partículas. Por esta razón se toma un diámetro promedio de las partículas llamado diámetro Sauter.

1

1

=

=

∑s N

i

i si

dx

d

(2.3)

en donde xi es la frecuencia relativa del tipo i y dsi es el diámetro de la partícula. Esfericidad

En la mayoría de las aplicaciones reales de los lechos fluidizados las partículas

del sólido no son esféricas, pero se les asocia un factor de esfericidad. La esfericidad es la relación que existe entre el área de una esfera y el área real de la partícula, ambas del mismo volumen.

φ =

esfera

partícula Volumen

área

área (2.4)

Fracción volumen de fluido

La fracción volumen del fluido es la relación que existe entre el volumen del

fluido y el volumen total del lecho fluidizado.

ε =fluido

f

total

V

V (2.5)

Fluidización

18

ε =+

fluido

f

sólido fluido

V

V V (2.6)

Así se tiene que la suma de las fracciones volumen de sólido y fluido es igual a 1

1ε ε+ =s f (2.7)

Reacomodando se obtienen las siguientes expresiones:

1ε = −fluido

s

Total

V

V (2.8)

1ε = − sólidof

Total

V

V (2.9)

2.3 ¿Cuándo fluyen las partículas?

Se dice que se tiene un lecho empacado cuando el flujo de gas o de líquido no es lo suficientemente grande para suspender a las partículas sólidas, es decir, el fluido pasa entre los intersticios que forman las partículas sólidas provocando así una caída de presión; la altura del lecho se mantiene constante en este proceso. Cuando la fuerza de arrastre de la corriente de fluido es igual al peso de las partículas se dice que se tiene un lecho fluidizado, el volumen del lecho comienza a crecer y la presión se mantiene constante.

La velocidad superficial del fluido es la velocidad que éste tendría de no haber

obstáculos en su camino, es decir, es la velocidad que tendría el fluido si no hubiera partículas sólidas en el reactor de lecho fluidizado. La expresión para la velocidad superficial está dada por

( )ε≡ −sup g g sv v v (2.10)

Como se puede ver en la Fig. 2.2, la presión disminuye, cambia conforme aumenta la velocidad superficial del fluido si se sigue incrementando la velocidad llegará un punto en el cual la diferencia de presión no cambiará. A partir de ese punto se mantendrá constante la diferencia de presión aún y cuando aumente la velocidad superficial del fluido. En el punto en el cual se comienzan a suspender las partículas sólidas se le conoce como fluidización mínima y velocidad mínima de fluidización a la velocidad que requiere el fluido para lograr la fluidización.

Es importante describir los dos diferentes estados de un lecho: lecho fijo y lecho

fluidizado (Fig. 2.3).

Fluidización

19

Figura 2.2 Caída de presión en el lecho con respecto a la velocidad (Kwauk, 1992).

En un lecho fijo la altura del lecho no aumenta conforme aumenta la velocidad

superficial del fluido, i.e., se tiene una altura constante del lecho; esto se debe a que la velocidad superficial no es lo suficientemente grande como para suspender a las partículas sólidas. Otra característica importante es que la diferencia de presión aumenta conforme se incrementa la velocidad superficial.

En un lecho fluidizado la diferencia de la presión se mantiene constante cuando cambia la velocidad superficial del fluido. Otra característica de un lecho fluidizado es que la altura de éste aumenta conforme se incrementa la velocidad superficial de gas.

Figura 2.3. Altura del lecho vs. velocidad superficial del fluido.

2.4 Regímenes de fluidización

Es importante conocer el tipo de fluidización que se tiene. Las formas más

comunes de fluidización son suave, con burbujeo, intermitente (slugging), turbulenta y

Fluidización

20

de fase diluida con transporte neumático. Estos regímenes de fluidización se muestran en la Fig. 2.4. Lecho fijo

La altura del lecho permanece constante durante este proceso. Las velocidades del gas o líquido son bajas y a medida que aumentan estas velocidades hay un incremento en la diferencia de presión.

Fluidización mínima La fuerza de arrastre se iguala al peso de las partículas y éstas se comienzan a

suspender provocando que la altura del lecho aumente. La caída de presión se mantiene constante a partir de este punto. Fluidización suave

Esta fluidización tiene lugar en sistemas líquido - sólido, el rango de velocidad se encuentra entre: vmf <v<vb; es decir, la velocidad del fluido es mayor que la mínima de fluidización (vmf), y menor que la velocidad de fluidización con burbujeo (vb) En este régimen el lecho se expande de forma homogénea la superficie superior del lecho se encuentra bien definida. Fluidización con burbujeo

Esta fluidización tiene lugar solo en sistemas de gas - sólido, su rango de velocidad es mayor a la velocidad mínima de burbujeo y menor a la velocidad mínima de fluidización intermitente (vs), vb<v<vs. En este régimen de fluidización se comienzan a crear regiones huecas muy cercanas al distribuidor, estas burbujas suben hasta la superficie del lecho y después se rompen. Todavía la superficie del lecho se encuentra definida aun que tiene perturbaciones por las explosiones de las burbujas. Fluidización intermitente (slugging)

Esta fluidización tiene lugar en sistemas gas - sólido, su rango de velocidad es vs<v<vt, es decir, la velocidad del fluido mayor a la mínima de fluidización intermitente y menor a la velocidad mínima de fluidización turbulenta (vt). En este régimen se observa que cuando las burbujas van subiendo usualmente coalescen dando lugar a burbujas mas grandes; inclusive, puede formarse una sola burbuja que ocupe toda la sección transversal de la columna. De esta manera, las partículas pequeñas fluyen hacia abaja deslizándose por la pared alrededor del hueco formado por el gas, este fenómeno se le conoce como “slugging” axial. Con las partículas grandes no ocurre esto, la burbuja empuja al lecho hacia arriba y las partículas caen cuando se rompe la burbuja, pero esto puede repetirse continuamente. Esto se conoce como “slugging” plano. Fluidización turbulenta

Esta fluidización tiene lugar en sistemas gas - sólido. La velocidad del fluido necesaria para este régimen es mayor a la velocidad mínima de fluidización turbulenta y menor a la velocidad mínima de fluidización diluida con transporte neumático (vd), es decir, vt<v<vd. En este régimen el nivel del lecho ya no esta bien establecido. Fluidización diluida con transporte neumático

Este régimen de fluidización tiene lugar en sistemas gas – sólido; su rango de velocidad es vd<v. Ya no existe superficie del lecho debido a que la alta velocidad superficial del gas, las partículas son enviadas fuera de la columna. En este tipo de

Fluidización

21

fluidización es necesario agregar constantemente sólidos al reactor por lo que se emplean reactores recirculantes.

Figura 2.4. Regímenes de fluidización.

2.5 Regímenes de flujo

El comportamiento de un gas fluyendo a través de un tubo depende de la presión

ya que puede estar en estado en donde hay muy pocas moléculas del gas (molecular), o se encuentran en un estado intermedio en donde ese número de moléculas ya no es tan pequeño; o bien en un estado viscoso, en donde el número de moléculas es muy grande. Como resultado se pueden tener diferentes regímenes de flujo y es posible definirlos mediante el número de Knudsen (Madrid, 1996):

Fluidización

22

λ≡KnD

(2.11)

en donde D es el diámetro del ducto y λ es la trayectoria libre promedio de las moléculas de fluido, que es la distancia promedio que recorre entre colisiones una molécula de fluido. Por lo tanto este número nos da la razón entre efectos individuales o discretos a efectos continuos. En la Tabla 2.1 se indica el Kn y los regímenes de fluidización y sus características. Si Kn >> 1, el flujo es “discreto” o “molecular”. En estas condiciones el sistema está muy diluido, de tal forma que existen pocas colisiones entre las moléculas. No es posible fluidizar. Si Kn ≈ 1, se tiene flujo intermedio. El comportamiento esta regido tanto por el fenómeno molecular y la viscosidad. Es posible tener fluidización. Si Kn << 1, el gas está en un estado viscoso. El flujo puede ser laminar, de transición o turbulento dependiendo del número de Reynolds. Los lechos fluidizados operan en estas condiciones comúnmente.

Tabla 2.1 Regímenes de fluidización de acuerdo al Kn.

Kn

Regímenes

de

fluidización

Características

Kn>>1

Flujo Molecular

• Escasas colisiones entre las partículas de gas. • Es grande la trayectoria libre promedio de las

moléculas de gas comparada con el diámetro del ducto λ>>D.

• Predominan las colisiones entre las moléculas del gas y la pared del ducto.

• La viscosidad no es significativa. • No existe fluidización

Kn≈1

Flujo intermedio o

de deslizamiento

(slip)

• Existen colisiones entre las partículas de gas. • Se tienen colisiones de las partículas de gas y las

paredes del ducto. • La trayectoria libre promedio de las partículas de

gas y el diámetro del ducto es similar λ≈1. • Se tienen efectos moleculares y viscosos. • Existe la fluidización.

Kn<<1

Flujo laminar

• Colisiones intensas entre las moléculas de gas. • La trayectoria libre promedio de las partículas de

gas es muy pequeña comparada con el diámetro del ducto λ<<D.

• Efecto viscoso intenso. • Válida la ley de Hagen-Poiseuille. • Existe la fluidización. • Re>>1

Fluidización

23

En donde Re es el número de Reynolds que físicamente nos da la relación entre efectos inerciales a efectos viscosos, definido como,

ρ

µ≡

DVRe (2.12)

en donde ρ y µ son la densidad y la viscosidad del fluido, respectivamente y V es la velocidad promedio del fluido. 2.6 Fluidización particulativa y granular

Existen dos comportamientos de fluidización el particulativo y el granular. En la

práctica se considera particulativa a la fluidización que se da en un sistema líquido-sólido y granular a la de un sistema gas-sólido. A través del número adimensional de Froude, Fr, se puede clasificar esta fluidización, y está definido por

2

≡mf

p

vFr

gd (2.13)

en donde vmf es la velocidad mínima de fluidización, g es la aceleración de la gravedad y dp es el diámetro de la partícula. Fr se puede interpretar como la razón de los efectos inerciales a los gravitacionales, de su definición se puede ver que está dado por la razón del cuadrado de la velocidad característica de la corriente a la rapidez de posibles oscilaciones en el campo gravitacional. Por esta razón el comportamiento de un lecho fluidizado se puede determinar a partir del valor Fr, puesto que nos permite saber que efecto domina en el proceso de fluidización. Los regímenes de fluidización se clasifican como: Particulativa

Se produce cuando las densidades del sólido y del fluido no son muy diferentes, las partículas son pequeñas y la velocidad del fluido es baja. El lecho se fluidiza homogéneamente y cada partícula se mueve individualmente en un espacio libre uniforme. La fase sólida presenta las características de un fluido. Este comportamiento se presenta en sistemas líquido-sólido (Dondé, 2001). Granular

Se presenta cuando las densidades del sólido y del fluido son diferentes, las partículas son grandes y la velocidad del fluido es relativamente alta. La fluidización es inhomogénea y el fluido pasa por zonas preferenciales produciendo surtidores de partículas en la superficie de lecho. El lecho se comporta como si fuera un líquido con burbujeo de gas a través de él. Este comportamiento se presenta en sistemas gas-sólido en el cual el aumento de flujo determina la formación de burbujas (Dondé, 2001).

En la Tabla 2.3 se indica el Fr y los regímenes de fluidización y sus

características.

Fluidización

24

Tabla 2.3 Regímenes de fluidización de acuerdo al Fr.

Fr Régimen Competencia de

Efectos

Características

Fr >1

Agregativo o Particulativo.

Inerciales > Gravitacionales

Se presenta en sistemas líquido-sólido. Densidades del fluido y del sólido son similares. El lecho se fluidiza homogéneamente.

Fr <1

Granular

Inerciales < Gravitacionales

Se presenta en sistemas gas-sólido. Densidades del fluido y del sólido son muy distintas. Se tiene fluidización inhomogénea.

2.7 Clasificación de partículas de Geldart Las propiedades de las partículas impactan directamente en la velocidad mínima de fluidización y en algunos otros aspectos. Por esta razón es importante tener una clasificación de las partículas para las cuales su comportamiento en el lecho fluidizado sea similar. En la Fig. 2.5 se muestra la clasificación de Geldart de las partículas según su diámetro promedio y su densidad. (Kunii, 1991) y en la Tabla 2.2 se dan sus características (Rojas, 1999).

Figura 2.5. Clasificación de Geldart. (Kunii, 1991)

Fluidización

25

Grupo C (cohesivos): son los polvos muy finos o cohesivos, sus diámetros son menores a 20µm, son muy difíciles de fluidizar debido a que las fuerzas entre las partículas son más grandes e importantes que las logradas por el arrastre de la corriente de fluido. El talco y la harina son ejemplos de este grupo.

Grupo A (baja densidad): Son partículas de tamaño medio y de baja densidad su diámetro promedio se encuentra entre 20µm y 90µm con una densidad menor a 1.4 g/cm3. Son partículas fáciles de fluidizar. El polvo catalizador (FCC), es un ejemplo de este grupo.

Grupo B (arenosos): son partículas parecidas a la arena, tienen un diámetro promedio de 90µm a 650µm, su densidad se encuentra entre 1.4g/cm3 y 4g/cm3. Fluidizan relativamente fácil y su fluidización viene acompañada de fuertes burbujeos. La arena es un ejemplo de este grupo.

Grupo D (densos): son partículas grandes o densas que forman lechos profundos difíciles de fluidizar. Algunos ejemplos son los granos de café, los guisantes y las partículas de trigo.

Tabla 2.2 Características de los cuatro grupos de los polvos de Geldart

Grupo C A B D

Características Cohesivo Aereable burbujeante Borborante Ejemplo Flúor FCC Arena Trigo

Tamaño de la

partícula

ρp =2500Kg/m3

dp<20µm

20µm

<dp<90µm

90µm

<dp<650µm

dp>650µm

Encausamiento

(acanalamientos)

Grande Pequeño Despreciable Despreciable

Efecto surtidor

(spouted)

Desconocido Suave Rápido Rápido

Expansión Bajo: debido a canales

Alto: debido a la formación de burbujas

Mediano Mediano

Burbujas

Ninguna, sólo canales

Esfera de base plana

Redondas Redondas

Carácter reológico

de la fase densa

Campo alto de presión

Viscosidad aparente del orden de 1p



Mezclado de

sólidos

Muy bajo Alto Mediano Bajo

Inversión de

mezclado del gas

Muy bajo Alto Mediano Bajo

Modo intermitente

(slugging)

Flujo tapón Asimétrico Demasiado asimétrico

Desconocido

Efecto de dp

hidrodinámica

Desconocido Considerable Pequeño Desconocido

Efecto de la

distribución del

tamaño de

partículas

Desconocido Considerable Despreciable Puede causar coalescencia de burbujas

Fluidización

26

En este capítulo se presentaron las propiedades y características físicas de los reactores de lechos fluidizados, que como se mencionó son sistemas multifásicos. El proceso de fluidización es muy complejo y para entenderlo es necesario establecer y resolver las ecuaciones representativas de acuerdo a su aplicación. En el siguiente capítulo se presentan las ecuaciones generales para estos sistemas.


27

Capítulo 3


Las ecuaciones de balance de masa, momentum y energía para un sistema

multifásico se obtienen de manara análoga a la ecuaciones de un fluido simple (Apéndice A).

El Teorema de Transporte de Reynolds (Apéndice B) indica que la razón de

cambio de una propiedad ψ en un volumen de control en un sistema en un determinado momento es igual a la velocidad instantánea de acumulación de la propiedad ψ dentro del volumen de control más la diferencia entre los flujos instantáneos de salida y entrada de dicha propiedad.

∫∫∫ ∫∫∫

⋅∇+

∂

∂=

)( )(tV tV

iidVv

tdV

dt

dψ

ψψ (3.1)

El volumen de la fase i -ésima está dado por la Ec. (3.2):

∫∫∫=)(tV

ii dVV ε donde ∑=

=n

ii

1

1ε fsi ,= (3.2)

Siempre y cuando nuestro fluido sea incompresible, es decir, iV permanece

constante. Del Teorema de Transporte de Reynolds, Ec. (3.1), para un sistema multifásico con un fluido incompresible se tiene:

0)( =⋅∇+∂

∂ii

i vt

εε

con fsi ,= (3.3)

3.1 Balance de masa

En un sistema multifásico se puede obtener la masa de una de las fases i en

términos de la densidad de la fase )( iρ , de la fracción volumen de la fase iε y el

volumen total del sistema multifásico V .

∫∫∫=)(tV

iii dVm ρε (3.4)

Desde una descripción Lagrangiana, el balance de masa im moviéndose con una

velocidad iv está dada por:


28

∫∫∫ ∫∫∫== dVmdVdt

d

dt

dmiiiii

i 'ρε (3.5)

La fracción volumen iε está incluida en el término '

im e incorpora la rapidez de

producción de la fase i debida a la reacción química que se tiene entre el sólido y el fluido.

Aplicando el Teorema de transporte de Reynolds, Ec. (3.1) en la Ec. (3.5), se

obtiene la ecuación de continuidad para la fase i :

')()(

iiiiii mv

t=⋅∇+

∂

∂ρε

ρε (3.6)

Si hay conservación de la masa se debe de cumplir que la sumatoria de '

im de las

i fases sea igual a cero. Esto debido a que la masa que pierde una de las fases la gana la otra.

01

' =∑=

n

iim (3.7)

3.2 Ecuación de balance de momentum

La rapidez de cambio de momentum de una partícula en un sistema en movimiento con velocidad iv

r es igual a la suma de fuerzas que actúan sobre el sistema.

En sistemas multifásicos existen fuerzas de interacción de la fase i con otras fases. Estas fuerzas de interacción son debidas a la presión p (Bowen, 1976) El balance de momentum para la fase i es:

i

tV

iii fdVvdt

d rr=∫∫∫

)(

ερ (3.8)

Rapidez de cambio de momentum de la fase i = fuerzas que actúan sobre la fases i .

La Ec. (3.8) se deduce a partir de la segunda ley de Newton

pdt

df

rr= donde vmp

rr= (3.9)

Las fuerzas fr

que actúan sobre un elemento de volumen o partícula de fluido se pueden dividir en dos:

ffrr

= superficiales+ fr

volumétricas (3.10) donde


29

fr

superficiales= fr

normales+ fr

tangenciales (3.11)

Las fuerzas volumétricas se deben a la fuerza de gravedad y a fuerzas centrifugas.

Agrupando las fuerzas superficiales y volumétricas se obtiene que ifr

está dado

por:

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫∫∫ +++⋅=)(

'

)( tV

iiiinii

tS

ii dVvmdVgdVFSdfrrrrtr

ερερτ (3.12)

en donde

∫∫ ⋅)(tS

i Sdrt

τ = fuerzas superficiales

∫∫∫)(tV

nii dVFr

ερ = fuerzas externas

∫∫∫ dVg ii ερr

= Fuerzas de interacción entre fases

∫∫∫ dVvm ii

r' = cambio de momentum debido a cambios de fase

La integral de superficie es utilizada para obtener el flujo de las fuerzas que actúan a través del área transversal de un elemento de volumen, al integrar sobre S(t) se halla el total de las fuerzas superficiales que pasan a través de la superficie S.

En coordenadas cartesianas ),,( zyx , el tensor de esfuerzos iτ para la fase i está

dado por la matriz:

=

izzizyizx

iyziyyiyx

ixzixyixx

i

τττ

τττ

τττ

τ (3.13)

en donde ixyτ es la i -ésima fuerza en la dirección x por unidad de área en la cara y :

y

ixiyx A

F

∂

∂=τ (3.14)

Aplicando el teorema de la divergencia (Stewart, 1999),

∫∫ ∫∫∫ ⋅∇=a

ii VdSd ττr

(3.15)


30

Aplicando el teorema de transporte de Reynolds, Ec. (3.1) al miembro derecho de la Ec. (3.12) y usando la Ec. (3.15) se obtiene un balance de momentum para cada una de las fases i como se muestra a continuación:

( ) iiiiiiiiiiiiiii vmgfvv

t

v rrrrrr

')(+++⋅∇=⊗⋅∇+

∂

∂ερερτερ

ερ (3.16)

donde ⊗ indica la multiplicación del vector velocidad (3x1) por el vector velocidad iv

(1x3) dando como resultado una matriz de (3x3). Diferenciando el lado izquierdo de la Ec. (3.16) se obtiene:

( )

iiiiiiiiiiiii

iiiiii

ii gfmvt

vvvt

v rrrrrr

ερερτερερ

ερερ ++⋅∇=

−⋅∇+

∂

∂+∇⋅+

∂

∂ ' (3.17)

El término entre corchetes es precisamente la ecuación de continuidad, Ec. (3.6) y por lo tanto es igual a cero. Finalmente se obtiene que el balance de momentum para la fase i es:

gfdt

vdiiiiiii

iii

rrtr

ερερτερ ++⋅∇= (3.18)

3.3 Ecuaciones de la mezcla

La ecuación de la mezcla para la masa, el momento y la energía se puede simplificar en la suma de las fases.

El volumen de la mezcla tV es la suma de los volúmenes individuales de cada

una de las fases.

∑=

=n

iitt VV

!, (3.19)

En términos del volumen especifico iV y de la masa im la relación es la

siguiente.

∑=

=n

iiiVmmV

1

(3.20)

Definimos iW como la fracción masa de la fase i

mmW ii /= (3.21)

Dividiendo la Ec. (3.30) entre m se obtiene:


31

∑=

=

n

iiiVm

mmV

m 1

11 (3.22)

Sustituyendo iW se tiene

∑=

=n

iiiVWV

1

(3.23)

3.4 Conservación de la masa de la mezcla

La sumatoria de la Ec. (3.6) da como resultado

∑∑∑===

=⋅∇+∂

∂ n

ii

n

iiii

n

i

ii mvt 1

'

11

)()(

ρερε

(3.24)

La densidad total de la mezcla ρ está definida como:

1

ρ ε ρ=

≡∑n

i ii

(3.25)

Se define la fracción masa de la fase i como

iW

≡i iW m / m (3.26)

en términos de la densidad de cada una de las fases se reescribe como

ρρε /)( iiiW = (3.27)

En el segundo miembro de la Ec. (3.24) aparece en forma natural la velocidad media de la mezcla.

1

ρ ε ρ=

≡∑r r

n

i i ii

v v (3.28)

La Ec. (3.27) muestra que la velocidad media de la mezcla es función de la

fracción masa de cada una de las fases, ya que dividiendo la Ec. (3.28) entre ρ se tiene:

ii

n

ii vv

rrρε

ρρ

ρ∑

=

=

1

11 (3.29)

de donde se sigue que

i

n

iivWvrr

∑=

=1

(3.30)


32

Si hay conservación de la masa debe de cumplirse que 01

' =∑=

n

iim y con las definiciones

(3.25) y (3.28), se recupera a partir de la Ec. (3.24), la ecuación de continuidad para un fluido simple.

3.5 Identidades de la mezcla

Para poder obtener la ecuación de balance de momentum para una sola fase, es necesario obtener algunas identidades análogas para una mezcla multifásica dadas por Bowen (1976) Así se define la velocidad relativa con respecto a la velocidad media de la mezcla como:

vvv ireli

rrr−=, (3.31)

Despejando de esta ecuación iv

r se obtiene la velocidad relativa de la fase i

vvv relii

rrr+= , (3.32)

Sustituyendo en la Ec. (3.28),

( )vvv relii

n

ii

rrr+=∑

=,

1

ρερ (3.33)

o bien,

vvv i

n

iirelii

n

ii

rrrρερερ ∑∑

==

+=1

,1

(3.34)

Como

ρρερε vvv i

n

iii

n

ii

rrr== ∑∑

== 11

y

ρρερ vvv relii

n

ii

rrr+=∑

=,

1

finalmente se obtiene

0,1

=∑=

relii

n

ii v

rρε (3.35)

Considerando una función diferenciable Γ moviéndose con la fase i

iii

iv

tdt

xd

dt

d

dt

txtd

dt

d rrr

⋅Γ∇+∂

Γ∂=⋅Γ∇+

Γ=

Γ=

Γ ))(,( (3.36)

aplicando la regla de la cadena y la definición de iv

r mientras se mueve con la mezcla se

obtiene que

Γ Γ Γ ΓΓ Γ

∂= = + ∇ ⋅ = + ∇ ⋅

∂

r rrd d ( t ,x( t )) d dxv

dt dt dt dt t (3.37)


33

Por otra parte,

∑=

Γ=Γn

iiii

1

ρερ (3.38)

en donde ρρε /ii es la fracción masa de la fase i . La diferenciación de las Ec. (3.36) y (3.37) dan como resultado

⋅Γ∇+

∂

Γ∂−

⋅Γ∇+

∂

Γ∂=

Γ−

Γv

tv

tdt

d

dt

dii

rr

o bien,

reliiv

dtd

dt

d,

r⋅Γ∇=

Γ−

Γ (3.39)

Diferenciando la Ec. (3.38) y aplicando la Ec. (3.39) se tiene.

⋅∇−Γ+

⋅Γ∇−

Γ=Γ+

Γ∑

=reliiii

iii

n

ireliii

iii v

dt

dv

dt

d

dt

d

dt

d,

1,

)( rrρε

ρερε

ρρ (3.40)

Considerando que existe conservación de la masa de la fase i la ecuación puede reescribirse en términos de iiρε como:

ii

iii

ii

ii

mv

dt

d

ρε

ρε

ρε

')(1+⋅−∇=

r (3.41)

sustituyendo la ecuación de continuidad y la Ec. (3.41) en (3.40) se recupera la ecuación de balance de la función Г de una sola fase:

( )1

ΓΓρ ε ρ ε ρ Γ Γ

=

= − ∇ ⋅ + ∑

rn

'ii i i i i i ,rel i ii

i

ddv m

dt dt (3.42)

3.6 Ecuación de Balance de Momentum para la Mezcla

La sumatoria de la Ec. (3.18) para n fases da como resultado la ecuación de balance de momento para la mezcla:

∑ ∑ ∑ ∑= = = =

++⋅∇=n

i

n

i

n

i

n

iiiiiii

iii pfdt

vd

1 1 1 1

rtr

ερτερ (3.43)

La relación del movimiento a través de las fases con el movimiento de la mezcla, se obtiene sustituyendo Γ por v

r en la Ec. (3.42) y se aplica la Ec. (3.31)


34

∑=

+⊗∇−=

n

iiirelireliiii

iii mvvvdt

vd

dt

vd

1

'.,

rrrrr

ρερερ (3.44)

Para obtener el balance de momento en su forma convectiva se emplea las Ecs. (3.44) y (3.43) así el balance queda de la siguiente forma:

fvvdt

vd n

irelireliii

rtrrr

ρτρερ +⋅∇=⊗∇+∑=1

., (3.45)

donde f está definido como:

∑=

=n

iiii ff

1

rrρερ (3.46)

El tensor de esfuerzos en la mezcla τ

t corresponde a la parte interna del tensor en un

sistema de multicomponentes, definido por:

∑=

=n

ii

1

ττtt

(3.47)

en la Ec. (3.48) se ve que las interacciones entre las fases desaparecen

∑=

=+n

iiii vmp

1

' 0r

(3.48)

La Ec. (3.45) es el balance de momento de la mezcla que contiene contribuciones debido a la velocidad relativa de las fases que están dadas por el segundo término del lado izquierdo de la ecuación. Hidrostáticamente es importante definir la presión de la mezcla P por:

IPtt

−=τ (3.49)

así se obtiene la formula manométrica de la mezcla a partir de la Ec. (3.45)

∑=∇n

iiigP ρε

r (3.50)

donde la fuerza del cuerpo if ha sido remplazada por la aceleración de la gravedad.

Durante todo este capitulo se estudiaron las ecuaciones generales para sistemas multifásicos. Se obtuvieron ecuaciones de balance de masa y momentum para éstos, en el siguiente capitulo se verá la aplicación de algunas de estas ecuaciones en un reactor de lecho fluidizado.

Distribución de tamaño de partícula

35

Capítulo 4

Distribución de tamaños de partículas

Durante el presente capitulo se estudiará una ecuación de balance de probabilidad de tamaños de cúmulos, P(R,t) en donde R es el radio del cúmulo.

En un reactor de lecho fluidizado se tiene una distribución de tamaños de cúmulos que están sujetos a procesos de rompimiento y agregación. En este capitulo se discutirán estos procesos y se deducirá la ecuación de balance de probabilidad que obedece la distribución P(R.t)

4.1 Distribución de tamaños de cúmulos Ya que se tiene un gran número de cúmulos de diferentes tamaños dentro del

reactor no es posible dar una descripción determinista del sistema, sólo se puede decir que se tienen tamaños de cúmulos en un cierto rango, por lo tanto es necesario introducir una descripción probabilística del sistema. Cualquier evento que tenga como consecuencia la creación o aniquilación de cúmulos es un evento probabilístico (Salinas, 1995). Así para hacer una descripción del sistema es necesario hacerlo en términos de una función de distribución de probabilidad.

En la Fig. 4.1 se muestra como estarían distribuidos los diferentes tamaños de cúmulos en el reactor de lecho fluidizado y que no hay un tamaño establecido para ellos, i.e., no hay un tamaño determinado. Se tienen rangos de tamaños, uno de estos rangos va de R hasta dRR + , así el siguiente rango comienza en dRR + y termina en

dRR 2+ y así sucesivamente. Es decir, se tiene que estos cúmulos pueden agruparse en intervalos de tamaños [ )dRnRndRR )1(, +++ con ...3,2,1,0=n

Es necesario clasificar a los cúmulos en el sistema en clases o tipos, en este trabajo lo haremos por su radio.

Figura 4.1. Distribución de tamaños en un reactor de lecho fluidizado.


36

Ya que se tiene un gran número de diferentes tamaños de cúmulos en el reactor es necesario introducir R como una variable estocástica. Se utiliza una variable estocástica ya que se tienen variaciones importantes en el número de cúmulos. Estos cambios de tamaño son debidos a las colisiones que se tienen entre los cúmulos ya que con ella hay rompimientos y agregaciones.

Figura 4.2. Diferentes tamaños de cúmulos

En la Fig. 4.2 se muestran algunos de los diferentes tamaños de cúmulos que se tienen en un reactor de lecho fluidizado, donde 1R está dado desde 1iR hasta dRRi +1 ,

de forma similar 2R va desde 2iR hasta dRRi +2 , …, RN de iNR hasta dRRiN + .

4.2 Procesos de agregación y rompimiento

En un reactor de lecho fluidizado pueden tener lugar procesos de agregación y

rompimiento de cúmulos. Estos procesos pueden visualizarse a través de la Fig. 4.3; en esta figura se tiene un sistema abierto donde se tiene una probabilidad de entrada de cúmulos P0(R,t) y una de salida P1(R,t).

Debe de entenderse como P(R,t)dR la probabilidad de tener cúmulos de tamaños entre R y R+dR a un tiempo t o bien, P(R,t)dR es la fracción de cúmulos de un rango de tamaños.

En la Fig. 4.3 se muestra un reactor de lecho fluidizado en el cual entran cúmulos con una probabilidad 0P y salen con 1P que dependen tanto del tamaño del

cúmulo así como del tiempo. Dentro del reactor se formaran nuevos cúmulos ya sea por rompimiento o por agregación. Por rompimiento se toma un ejemplo en el cual a un tiempo 0t se tienen dos cúmulos uno de tamaño 9 y otro de tamaño 3 los cuales

colisionan a un tiempo tt ∆+0 y se forman tres nuevos cúmulos uno de tamaño 5, otro

de tamaño 4 y uno de tamaño 3. Para la agregación se tienen inicialmente 0t dos

cúmulos uno de tamaño 7 y otro de tamaño 2 los cuales colisionan en tt ∆+0 y se

forma un cúmulo de tamaño 9. Las partículas que forman los cúmulos no están pegadas ya que existen fuerzas

electrostáticas de repulsión entre ellas.


37

Figura 4.3. Rompimiento y agregación en el tamaño de cúmulo de de lecho fluidizado.

4.3 Fundamentos de procesos estocásticos

Ya se mencionó porque no se puede hacer una descripción determinista del sistema por que no hay cúmulos de tamaños definidos, por lo tanto, se necesita una descripción estadística. También se menciono que R tenía que ser una variable estocástica, ahora veremos que es esto.

Variable estocástica y momentos de la distribución

Una variable estocástica es un objeto X que se define a través de un conjunto de

estados, { }1 2( ), ( ),..., ( )= nX x t x t x t , y una densidad de probabilidad asociada a éste. La

variable puede ser discreta o continua en un rango de valores. Si se considera un conjunto de estados multidimensional se tendría un vector X (van Kampen, 2003).

Las propiedades de la densidad de probabilidad en un rango unidimensional continuo, P(x), son:

i) ( ) 0≥xP

ii) ( ) 1=∫∞

∞−

dxxP (4.1)

iii) ( )dxxP es la probabilidad de que la variable X se encuentre entre el

valor x y dxx + . Cuando ( )xP se normaliza respecto a una unidad de volumen la densidad de probabilidad es una densidad numérica.


38

En base a la definición de variable estocástica se define el promedio de una función ( )Xf en el mismo espacio de estados,

dxxPxfXf )()()( ∫= (4.2)

Generalizando, el momento n-ésimo de X se escribe como,

dxxPXX nn )(∫= (4.3)

El valor medio o primer momento está dado por

( )= ∫X XP x dx (4.4)

La varianza o dispersión se expresa a través del primer y segundo momentos como

( ) 2222 XXXX −=−=σ (4.5)

y la desviación estándar como

1/ 222σ = −

X X (4.6)

Un caso particular pero muy importante de distribución es la distribución

Gaussiana, la cual está dada por

( )

( )( )( )

2

22

1( , ) exp

22 σπσ

− =

x x tP x t

tt (4.7)

Esta distribución queda completamente determinada por sus dos primeros

momentos. Los de orden superior están dados en función de estos dos primeros.

Es importante conocer las funciones de distribución que se emplean con mayor frecuencia para representar la distribución de dispersión de tamaño de partículas que se tiene dentro del reactor de lecho fluidizado en el Apéndice C se describen algunas de ellas.

• Distribución Normal o Gaussiana • Distribución Log-Normal • Distribución Normal de la raíz cuadrada • Distribución Chi-cuadrada • Distribución Gamma • Distribución Weibull • Distribución de valor extremo • Distribución Nukiyama-Tanasawa


39

4.4 Ecuación de balance de población

Ya que se tiene un gran número de cúmulos en el reactor de lecho fluidizado hay colisiones entre ellos que provocan que cambien de tamaño ya sea por agregación o rompimiento como se vio en la sección 4.2. En la Fig. 4.4a se muestra como es que cambian de tamaño los cúmulos al chocar unos con otros, en este caso hay rompimiento ya que en un principio se tienen dos cúmulos formados uno de ellos por cinco partículas mientas que al otro lo componen trece partículas, chocan y se forman tres cúmulos con cinco, seis y siete partículas. En la Fig. 4.4b se observa lo contrario, es decir, después del choque se los cúmulos de tamaño cinco y ocho chocan y se forma uno nuevo de tamaño trece este es el caso de la agregación. Tomando una descripción macroscópica del sistema donde sólo se considera el valor promedio del número de cúmulos se formula una ecuación de balance para el número promedio de cúmulos de cada tamaño (Salinas, 1995). Así como se tiene un número grande de tamaños de cúmulos se tendrá un número grande de ecuaciones, esto dependerá del tamaño máximo de cúmulos que se encuentre experimentalmente. Como se mencionó anteriormente clasificaremos a los cúmulos según su radio, esto con el fin de poder plantear la ecuación de balance de probabilidad. Se supondrá un sistema en estado de flujo continuo y bien agitado. Otras suposiciones serán que no hay transferencia de masa y no hay reacciones químicas. Sólo se tomará en cuenta el tamaño del cúmulo denotado por k ...)3,2,1( =k . Así la población esta caracterizada por una función de distribución de tamaños de cúmulos, que será denotada por )(tCk que es el número medio de cúmulos de tamaño k

a un tiempo t , este número depende del radio, de la posición y del tiempo. Así el número total de cúmulos )(tN en el sistema es:

∑∞

=

=1

)()(k

k tCtN (4.8)

Así Smulochowski describe los procesos de agregación irreversible en términos de ecuaciones cinéticas no lineales de primer orden para )(tCk de la siguiente manera:

∑∑ −=+= j

jkjkjik

jiijkt CKCCCKtCd2

1)( ...3,2,1=k (4.9)

en donde dtddt /≡ . ),( jiKKij ≡ Que es el coeficiente o tasa de agregación de

cúmulos de tamaño i y j que chocan formando un cúmulo de tamaño ji + . La Ec. (4.9) es llama ecuación de coagulación de Smulochowski y describe las posibles reacciones de coalescencia entre cúmulos de tamaño finito. Esta ecuación puede generalizarse para incluir la fragmentación.

( ) ( )∑∑∞

=+

−

=−−− −−−=

1

1

1,,2

1)(

jjkkjjkkj

k

jkjkjjkjjkjkt CFCCKCFCCKtCd ...4,3,2=k (4.10)


40

donde ),( jiFFij ≡ y es el coeficiente o tasa de rompimiento con que un cúmulo de

tamaño ji + se rompe en cúmulos de tamaños i y j .

Aplicando la definición de la derivada Lagrangiana al lado izquierdo de la Ec. (4.11) se tiene:

( ) ( )( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )= ∂ + ∇ + ∂r r r r&�t k t k k k R kd C R x t C R x t v C R x t RC R x t (4.11)

El miembro izquierdo de la Ec. (4.11) es el cambio que sufre en el tiempo el número medio de cúmulos de tamaño k ; en el lado derecho de la ecuación, el primer término representa en cambio temporal que se tiene del número de cúmulos de tamaño k en el tiempo, el segundo término representa el flujo de Ck que se tiene en el reactor, mientras que el último término representa el cambio que se tiene en el tamaño de los cúmulos por factores internos como puede ser el desgaste por fricción de las partículas.

Figura 4.4. Rompimiento y Agregación en los cúmulos.

Así sustituyendo la Ec. (4.11) en (4.10) se puede escribir la ecuación de Smulochowski de la siguiente manera:

( ) ( )

( ) ( )1

, ,1 1

( ) ( ) ( )

1

2

− ∞

− − − += =

∂ + ∇ + ∂

= − − −∑ ∑

&�t k k k R k

k

j k j j k j j k j k kj k j kj k jj j

C t v C t RC t

K C C F C K C C F C (4.12)

Por otro lado si el sistema no es cerrado, existen fuentes y sumideros en el

sistema, como puede verse en la Fig. 4.1. Si se incorporan estos dos términos en la ecuación de balance, sin incorporar ningún modelo específico para ellos en este momento, la ecuación generalizada de Smoluchowski está dada por


41

( ) ( )

( ) ( ) ( )1

, ,1 1

( ) ( ) ( )

1( )

2

− ∞

− − − += =

∂ + ∇ + ∂ =

− − − + −∑ ∑

&�t k k k R k

k

j k j j k j j k j k kj k j kj k j k i k ij j

C t v C t RC t

K C C F C K C C F C E C S C (4.13)

Donde Ek y Sk son el número medio de cúmulos de tamaño k que entran y salen respectivamente al reactor.


42

4.5 Distribución de tamaños de partícula sin considerar procesos de fragmentación

ni agregación

Durante la presente sección se resolverá un problema de un reactor de lecho

fluidizado con un flujo de entrada y uno de salida, sistema abierto, en el cual se tienen partículas de diferentes tamaños, monómeros, como no hay procesos de agregación o rompimiento entonces la Ec. (4.13) representa la evolución del número de partículas de tamaño R en el tiempo. Equilibrio de población en un lecho fluidizado

En la Fig. 4.5 se muestra un reactor de lecho fluidizado bien mezclado

[Gidaspow, 1994]. En donde iF es la rapidez del flujo másico (1/s) a la entrada y salida

del reactor y iP son las distribuciones de tamaño de partículas que hay en la corriente

(cm-1). El balance de población para la densidad de probabilidad de distribución de tamaño P para este sistema puede escribirse de la siguiente manera:

∫ =PdRdt

dW __ ±

(4.14)

donde W es la fracción masa del sólido, ρρε /)( iiiW = , el tiempo es t y R es el

tamaño de partícula.

Figura 4.5 Reactor de lecho fluidizado bien mezclado

Flujo de partículas de tamaño R que

entran

Flujo de partículas de tamaño R que

salen

Tasa de cambio en el tamaño de las partículas


43

Considerando que la probabilidad se conserva la Ec. (4.14) puede escribirse de

la siguiente manera:

0∫ =PdRdt

dW (4.15)

aplicando el Teorema de Transporte de Reynolds a la Ec. (4.15) se tiene:

0=

∇+

⋅∇+

∂

∂=∫ ∫ dR

dt

dRP

dt

xdP

t

PWPdR

dt

dW Rx

r

r (4.16)

donde

∂

∂

∂

∂

∂

∂=⋅∇

zyxx ,,r (4.17)

RR∂

∂=∇ (4.18)

Rdt

dR&= (4.19)

es conocida como ley de crecimiento y puede tomar en cuenta efectos como la atrición.

vdt

xd rr

= (4.20)

así sustituyendo las Ecs. (4.18), (4.19) y (4.20) en la Ec. (4.16) se tiene:

( ) ( ) 0=

∂

∂+⋅∇+

∂

∂∫ dRRP

RvP

t

PW x

&r

r (4.21)

pero se puede reescribir como

( ) ( ) 0=

∂

∂+⋅∇+

∂

∂RP

RvP

t

PW x

&r

r (4.22)

haciendo un análisis dimensional se tiene:

=

+

+

Ltt

L

LLt

L

LLLt

11111

La Ec. (4.22) es la ecuación diferencial parcial para P , que está en función del

tiempo y del tamaño de partícula. Esta ecuación es valida solamente para un sistema en el cual existe conservación de la probabilidad.


44

Para un sistema en el cual no hay conservación de la probabilidad como el que

se muestra en la Fig. 4.5 la ecuación que se utiliza para halla P se deduce partiendo de la Ec. (4.21)

( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫∫ +−=

∂

∂+⋅∇+

∂

∂dRPFdRPFdRPFdRRP

RvP

t

PW x 221100

&r

r (4.23)

El lado derecho de la Ec. (4.23) representa la entrada F0∫P0dR, y la salida

F1∫P1dR+ F2∫P2dR, de un flujo en el sistema. Rescribiendo la ecuación anterior se tiene:

( ) ( ) ( ) 0221100 =++−

∂

∂+⋅∇+

∂

∂∫ ∫ ∫∫ dRPFdRPFdRPFdRRP

RvP

t

PW x

&r

r (4.24)

rescribiendo la Ec. (4.24)

( ) ( ) ( )∫ =

++−

∂

∂+⋅∇+

∂

∂0221100 dRPFPFPFRP

RvP

t

PW x

&r

r (4.25)

de la Ec. (4.25) se sabe que si la integral es igual a cero el integrando es igual a cero por lo tanto

( ) ( ) ( )221100 PFPFPFRPR

WPvz

Wt

PW z +−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂& (4.26)

la ecuación diferencial parcial para P es la (4.26) y es función del tiempo y del tamaño de partícula, esta ecuación es valida para un sistema en el cual no hay conservación de la probabilidad, porque el sistema es abierto.

El valor medio de esta distribución, es precisamente la concentración de partículas de un tamaño dado, la cual está expresada por la Ec. (4.13) de Smoluchowski.

4.6 Distribución de tamaños de partícula considerando procesos de fragmentación

y agregación

Si se considera en la Ec. de Smoluchowski que no hay fenómenos de agregación ni de rompimiento y que no se forman cúmulos, la Ec. resultante es

( ) ( )* * * * *( ) ( ) ( ) ( ) ( )∂ + ∇ + ∂ = −&�t k k k R k k i k iC t v C t RC t E C S C (4.27)

en donde se están considerando sólo monómeros de diferente tamaño y eso denota con

*kC . Comparando con la Ec. (4.26), encontramos que:

* ≡k kC WR


45

*0 ( 0)≡ =

r

kkE F C r

* *1 1 2 2( ) ( )≡ = + =

r r r rk k kS F C r r F C r r

Se recuperó la ecuación de distribución de tamaños cuando no existen fenómenos internos al considerar las definiciones anteriores.

Si se considerarán los efectos internos de agregación y fragmentación la ecuación sería para cúmulos no para monómeros y estaría dada por la Ec. (4.13) . Ahora bien el sistema de Ecs. de n cúmulos se tendría que resolver considerando una distribución inicial polidispersa utilizando las distribuciones del Apéndice C. Una forma más clara pero mucho más compleja sería resolver la Ec. (4.26) para tener una idea de esa distribución o bien considerarla al tiempo inicial. Sin embargo, es importante hacer notar que se tendría un sistema de n ecuaciones acoplado con otro sistema de n ecuaciones y con condiciones de frontera y de crecimiento. Esto no se considerará en este trabajo.

Conclusiones

46

Conclusiones

Durante este trabajo se estudiaron ecuaciones para la distribución de tamaños de

cúmulos considerando procesos de agregación y fragmentación dentro de un reactor de lecho fluidizado a partir de la ecuación de Smoluchowski también se considero que en el sistema existía un flujo de entrada y de salida. También se estudiaron ecuaciones para la distribución de tamaño de partículas sin considerar procesos de agregación ni de fragmentación, se tomo en cuenta el cambio de tamaño de las partículas por el desgaste debido a la fricción, se vieron dos ecuaciones una para un sistema en el cual existe conservación de la probabilidad y otra para un sistema en el cual no hay conservación de la probabilidad. Estas ecuaciones se resolverían considerando distribuciones iníciales polidispersas utilizando las distribuciones del Apéndice C. Pero al final se tendrían dos sistemas de ecuaciones acoplados con n ecuaciones cada uno con sus condiciones de frontera y de crecimiento, pero esto no fue considerado en este trabajo.

Se resolvió un problema en el cual se tenia un reactor de lecho fluidizado bien mezclado y se deseaba encontrar una expresión para obtener la distribución de tamaño de partículas, se supuso que no había fenómenos de fragmentación o agregación sólo se tomaron en cuenta las fuentes y sumideros del sistema así como la ley de crecimiento en la cual interfieren fenómenos como la atrición y también se considero que únicamente había monómeros en el reactor.

Se estudiaron ecuaciones generales para sistemas multifarios, se anlizaron las ecuaciones de balance tanto de materia como de momentum tanto para una fase del sistema como para la mezcla.

Se vieron los principales componentes de un reactor de lecho fluidizado así como los parámetros asociados con el sólido y con el fluido. Se explico el principio que hace que las partículas sólidas fluyan y una vez que lo hacen los regímenes de fluidización así como el régimen de flujo que se pueden tener.

Es importante hoy en día producir energía de forma limpia y eficiente los lechos fluidizados ofrecen esta posibilidad por sus características así es de gran importancia su estudio, además son empleados en muchos otros procesos diferentes a la combustión y a la refinación de petróleo, teniendo una gran gama de utilidades.


47

Apéndice A

Ecuaciones hidrodinámicas A.1 Ecuación de continuidad

Esta ecuación se deduce aplicando un balance de materia a un elemento de volumen en estado estacionario ∆x∆y∆z, a través del que está circulando el fluido.

−

=

materia

de

salida

de

materia

de

entrada

de

materia

de

nacumulació

de

RapidezRapidezRapidez

(A.1)

A.1 Región de volumen ∆x∆y∆z fija en el espacio, a través de la cual está circulando un

fluido.

Comenzamos considerando el par de caras perpendiculares al eje x, la rapidez de entrada de materia a través de la cara x es ( ) zyv xx ∆∆

rρ , y la rapidez de salida de

materia a través de la cara x+∆x es ( ) zyv xxx ∆∆∆+

rρ . Para los otros dos pares de caras

pueden escribirse expresiones análogas. La rapidez de acumulación de materia en el elemento de volumen es (∆x∆y∆z)(δρ/δt). El balance de materia queda por lo tanto:


48

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x x x y y y y y

z z z x z

x y z y z v v x z v vt

x y v v

δρρ ρ ρ ρ

δ

ρ ρ

+∆ +∆

+∆

∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ − + ∆ ∆ −

+ ∆ ∆ −

r r r r

r r(A.2)

Dividiendo toda la ecuación entre (∆x∆y∆z), y tomando el límite cuando estas

dimensiones tienden a cero, se tiene:

++−= zyx v

zv

yv

xt

rrrρ

δ

δρ

δ

δρ

δ

δ

δ

δρ (A.3)

Ésta es la ecuación de continuidad, que describe la variación de la densidad para

un punto fijo, como consecuencias de las variaciones del vector de velocidad másica v

rρ . Otra forma de escribir la ecuación de continuidad es la siguiente:

( )vt

rρ

δ

δρ⋅∇−= (A.4)

El término ( )vρ⋅∇ representa la rapidez neta con que disminuye la densidad de

flujo de materia por unidad de volumen. Por lo tanto establece que la rapidez con que aumenta la densidad en el interior de un pequeño elemento de volumen fijo en el espacio, es igual a la densidad neta de entrada de densidad de flujo de materia en el espacio dividida entre su volumen.

Generalmente es preferible modificar la ecuación, efectuando la diferenciación

que está indicada y reuniendo todas las derivadas de ρ en el primer miembro:

++−=+++

z

v

y

v

x

v

zv

yv

xv

tzyx

zyxδ

δ

δ

δ

δ

δρ

δ

δρ

δ

δρ

δ

δρ

δ

δρrrr

rrr (A.5)

En el presente trabajo se emplea la ecuación de continuidad en coordenadas

cilíndricas, ya que nuestro reactor de lecho fluidizado tiene esta geometría, por lo tanto la ecuación de continuidad que emplearemos es:

( ) ( ) ( ) 011

=+++ zr vz

vr

vrrrt

rrrρ

δ

δρ

δθ

δρ

δ

δ

δ

δρθ (A.6)

A.2 La ecuación de movimiento

Para un elemento de volumen ∆x∆y∆z, se puede escribir el siguiente balance de cantidad de movimiento:


49

+

−

=

sistema

el

sobre

actúan

que

fuerzas

las

de

suma

movimiento

de

cantidad

de

salidad

de

movimiento

de

cantidad

de

entrada

de

movimiento

de

cantidad

de

nacumilació

de

RapidezRapidezRapidez

(A.6)

Figura A.2 Elemento de volumen ∆x∆y∆z, en el que se señala con flechas la dirección

en que se transporta el componente x de la cantidad de movimiento a través de las superficies.

Comenzaremos considerando el componente x de cada uno de los términos de la

Ec. (A.6); los componentes y y z se pueden obtener de forma análoga. Vamos a considerar en primer lugar la rapidez de flujo de cantidad de movimiento de la componente x que entra y sale del elemento de volumen. La cantidad de movimiento entra y sale del elemento en virtud de dos mecanismos: por convección, es decir, debido al flujo global del fluido y por transporte molecular, es decir, a causa de los gradientes de velocidad.

La velocidad con la que entra por convección el componente x de la cantidad de

movimiento por la cara situada en x es zyv xx ∆∆r

ρ y la velocidad con la que sale por

x+∆x es zyv xxx ∆∆∆+

rρ . La velocidad a la que entra por y es zxvv yxx ∆∆

rrρ . Para las


50

demás caras se pueden escribir expresiones similares. Vemos por lo tanto, que es preciso considerar el flujo convectivo de la cantidad de movimiento x a través de las seis caras y que el flujo convectivo neto, de la cantidad de movimiento x, en el elemento de volumen es:

( ) ( ) ( )zzxzzxzyyxyyxyxxxxxxx vvvvyxvvvvzxvvvvzy ∆+∆+∆+ −∆∆+−∆∆+−∆∆rrrrrrrrrrrr

ρρρρρρ

(A.7)

De igual forma, la velocidad con la que el componente x de la cantidad de movimiento entra por transporte molecular por la cara situada en x es zyxxx ∆∆τ y con la

que sale por x+∆x es zyxxxx ∆∆∆+τ . La velocidad con la que entra por y zxyxy ∆∆τ ;

para las otras tres caras se pueden obtener expresiones similares. Se debe de tener en cuenta que xyτ es la densidad de flujo de cantidad de movimiento x a través de una cara

perpendicular al eje y. Sumando estas seis contribuciones se tiene:

( ) ( ) ( )zzzxzzxyyyxyyxxxxxxxx yxzxzy ∆+∆+∆+ −∆∆+−∆∆+−∆∆ ττττττ (A.8)

Estas densidades de flujo de cantidad de movimiento pueden considerarse como

esfuerzos. Por lo tanto, xxτ es el esfuerzo normal que actúa sobre la cara x, y yxτ es el

esfuerzo normal tangencial que actúa sobre la cara y en la dirección x, y que resulta como consecuencia de las fuerzas viscosas.

En la mayor parte de los casos, las únicas fuerzas importantes serán las precedentes de la presión del flujo p y la fuerza gravitacional por unidad de masa g. la resultante de esta fuerza en la dirección x será:

( ) zyxgppzy xxxx ∆∆∆+−∆∆ ∆+

rρ (A.9)

La presión de un fluido en movimiento está definida por la ecuación de estado

p=p(ρ,T), y es una magnitud escalar. Finalmente la rapidez de acumulación de cantidad de movimiento x en el

elemento es ∆x∆y∆z(δρvx/δt). Sustituimos ahora las anteriores expresiones en la Ec. (A.6) dividiendo toda la ecuación que resulta entre ∆x∆y∆z y tomando el límite cuando ∆x, ∆y y ∆z, tienden a cero, se obtiene la componente x de la ecuación de movimiento:

xzxyxxxxzxyxxx gx

p

zyxvv

zvv

yvv

xv

t

rrrrrrrrρ

δ

δτ

δ

δτ

δ

δτ

δ

δρ

δ

δρ

δ

δρ

δ

δρ

δ

δ+−

++−

++−=

(A.10) Los componentes y y z, se obtienen de forma análoga:

yzyyyxyyzyyyxy gy

p

zyxvv

zvv

yvv

xv

t

rrrrrrrrρ

δ

δτ

δ

δτ

δ

δτ

δ

δρ

δ

δρ

δ

δρ

δ

δρ

δ

δ+−

++−

++−=

(A.11)


51

zzzyzxzzzzyzxz gz

p

zyxvv

zvv

yvv

xv

t

rrrrrrrrρ

δ

δτ

δ

δτ

δ

δτ

δ

δρ

δ

δρ

δ

δρ

δ

δρ

δ

δ+−

++−

++−=

(A.12) Combinando las Ecs. (A.10), (A.11) y (A.12) se obtiene la ecuación vectorial:

[ ] [ ] gpvvvt

rrrrρτρρ

δ

δ+⋅∇−∇−⋅∇−= (A.13)

en donde:

vt

rρ

δ

δ es la rapidez de aumento de cantidad de movimiento por unidad de volumen.

[ ]vv rrρ⋅∇− es la rapidez de ganancia de cantidad de movimiento por convección, por

unidad de volumen.

p∇− es la fuerza de la presión que actúa sobre el elemento por unidad de volumen. [ ]τ⋅∇ es la rapidez de ganancia de cantidad de movimiento por transporte viscoso, por unidad de volumen.

gr

ρ+ es la fuerza de gravitación que actúa sobre el elemento por unidad de volumen. El reactor de lecho fluidizado tiene una geometría cilíndrica por lo tanto la ecuación de movimiento que se empleará tiene que escribirse en coordenadas cilíndricas:

En función de τ

Componente r:

( ) rrzr

rrr

zrr

rr g

zrrr

rrr

p

z

vv

r

vv

r

v

r

vv

t

v rr

rrrrr

rr

ρδ

δττ

δθ

δττ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δθ

δ

δ

δ

δ

δρ θθθθθ +

+−+−−=

+−++

112

(A.14) Componente en θ:

( ) θθθθ

θθθθθθθ ρ

δ

δτ

δθ

δττ

δ

δ

δθ

δ

δ

δ

δθ

δ

δ

δ

δ

δρ g

zrr

rr

p

rz

vv

r

vvv

r

v

r

vv

t

v zrz

rr

rr

rrrrrr

rr

+

++−−=

+−++

111 2

2

(A.15) Componente en z:

( ) zzzz

rzz

zzz

rz g

zrr

rrz

p

z

vv

v

r

v

r

vv

t

v rr

rrrr

rr

ρδ

δτ

δθ

δττ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δθ

δ

δ

δ

δ

δρ θθ +

++−−=

+++

11 (A.16)


52

En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de ρ y µ

constantes: Componente en r:

=

+−++

z

vv

r

vv

r

v

r

vv

t

v rz

rrr

r

δ

δ

δθ

δ

δ

δ

δ

δρ θθ

rr

rrrrr

r 2

( ) rrr

r gz

vv

r

v

rvr

rrrr

p rrrr

rρ

δ

δ

δθ

δ

δθ

δ

δ

δ

δ

δµ

δ

δ θ +

+−++−

2

2

22

2

2

211 (A.17)

Componente en θ:

=

+−++

z

vv

r

vvv

r

v

r

vv

t

vz

rr

δ

δ

δθ

δ

δ

δ

δ

δρ θθθθθθ

rr

rrrrrr

r

( ) θθθ

θ ρδ

δ

δθ

δ

δθ

δ

δ

δ

δ

δµ

δθ

δg

z

vv

r

v

rvr

rrr

p

rr r

rrrr

+

+−++−

2

2

22

2

2

2111 (A.18)

Componente en z:

=

+++

z

vv

v

r

v

r

vv

t

v zz

zzr

z

δ

δ

δθ

δ

δ

δ

δ

δρ θ

rr

rrrr

r

zzzz g

z

vv

rr

vr

rrz

p rrrr

ρδ

δ

δθ

δ

δ

δ

δ

δµ

δ

δ+

++

+−

2

2

2

2

2

11 (A.19)

A.3 La ecuación de energía mecánica La ecuación de movimiento se puede emplear para obtener una descripción de

las conversiones internas de energía mecánica que tienen lugar en un fluido en movimiento. Comenzamos por formar el producto escalar de la velocidad v con la Ec. (A.13) de movimiento.

[ ]( ) )()(2

1 2 gvvpvvDtD rrrrr

⋅+⋅∇⋅−∇⋅−=

ρτρ (A.20)

Esta ecuación escalar describe la velocidad de variación de la energía cinética

por unidad de masa 2

2

1vr

para un elemento de fluido que se mueve con la corriente.

Se escribirá la ecuación en función de t∂∂ / , utilizando la ecuación de continuidad; separemos también en dos términos cada una de las contribuciones viscosa y de presión. Los términos de la ecuación que resulta pueden interpretarse en función de un elemento estacionario de volumen a través del que circula el fluido.

( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( )gvvvvpvvvvt

⋅+∇−−⋅⋅∇−⋅∇−−⋅∇−

⋅∇−=

∂

∂ rrrrrrrrρττρρρ :

2

1

2

1 22

(A.21)


53

∂

∂ 2

2

1v

t

rρ : Rapidez de incremento de energía cinética por unidad de volumen

⋅∇− vv

rr 2

2

1ρ : Rapidez neta de entrada de energía cinética debida al flujo global.

( )v

rρ⋅∇− : Rapidez de trabajo producido por la presión de los alrededores sobre el

elemento de volumen.

( )vpr

⋅∇−− : Rapidez de conversión reversible en energía interna

[ ]( )vr

⋅⋅∇− τ : Rapidez de trabajo producido por las fuerzas viscosas que actúan sobre el elemento de volumen.

( )vr

∇−− :τ : Rapidez de conversión irreversible en energía interna.

( )gvrr

⋅ρ : Rapidez de trabajo producido por la fuerza de gravedad que actúa sobre el elemento de volumen.

Es importante señalar que para fluidos newtonianos ( )vr

∇− :τ es siempre positivo, ya que puede expresarse como una suma de términos elevada al cuadrado.

( ) ( )2

3

2

2

1:

⋅∇−

∂

∂+

∂

∂=Φ=∇− ∑∑ ij

i

j

j

ijiv v

x

v

x

vv δµµτ

rrr

r (A.22)

En los que i y j afectan a los valores x, y, z, siendo 1=ijδ para ji = , y 0=ijδ

para ji ≠ . Esto indica que en todos los sistemas de flujo existe una degradación de energía mecánica a energía calorífica, y que, por lo tanto, los procesos reales no son reversibles.

A.4 Ejemplo para un fluido simple En la Fig. A.3 se muestra el problema a resolver, se tiene un fluido que entra por

la base de cilindro y posteriormente sale por la parte superior de éste.

Para resolver este problema se utilizan coordenadas cilíndricas ya que esta es la geometría del sistema. Considerando las siguientes hipótesis

1) Estado estacionario 2) Fluido newtoniano e incompresible

3) Sistema de coordenadascilíndrico con (vr,vθ,vz), en donde vr=vθ=0 y 0≠zv

4) Fuerza de gravedad = ( )zr gggrrr

,, θρ , ( )gFr −= ,0,0ρr


54

De la ecuación de continuidad Ec. (A.6), se tiene:

( ) ( ) ( ) 011

=+++ zr vz

vr

vrrrt

rrrρ

δ

δρ

δθ

δρ

δ

δ

δ

δρθ

0=tδ

δρ Por la hipótesis 1, es decir, el sistema está en estado estacionario.

( ) 01

=rvrrr

rρ

δ

δ Por la hipótesis 3, la velocidad radial es cero.

( ) 01

=θρδθ

δv

r

r Por la hipótesis 3, la velocidad angular es cero.

( ) ( ) 0== zz vz

vz

rr

δ

δρρ

δ

δ Ya que el fluido es incompresible.

( ) 0=zvz

r

δ

δ (A.23)

La Ec. (A.23) nos dice que la velocidad no es función de z.

De las Ecs. (A.16), (A.17) y (A.18) de movimiento se tiene: Componente en r:

=

+−++

z

vv

r

vv

r

v

r

vv

t

v rz

rrr

r

δ

δ

δθ

δ

δ

δ

δ

δρ θθ

rr

rrrrr

r 2

( ) rrr

r gz

vv

r

v

rvr

rrrr

p rrrr

rρ

δ

δ

δθ

δ

δθ

δ

δ

δ

δ

δµ

δ

δ θ +

+−++−

2

2

22

2

2

211 (A.16)

Figura A.3 Fluido incompresible y newtoniano fluyendo a través de un cilindró


55

0=

t

vrδ

δr

Ya que la velocidad radial es igual a cero por la hipótesis 3.

0=

r

vv rr

δ

δr

r Por la hipótesis 3.

0=

δθ

δθ rv

r

vrr

Ya que la velocidad angular y la velocidad radial son igual a cero por la

hipótesis 3.

02

=

r

vθ

r

ya que no hay velocidad angular.

0=

z

vv rz

δ

δr

r Ya que no hay velocidad radial.

( ) 0211

2

2

22

2

2=

+−+

z

vv

r

v

rvr

rrrrr

rδ

δ

δθ

δ

δθ

δ

δ

δ

δ

δ θ

rrrr

Por la hipótesis 3 ya que no hay

velocidad radial ni angular.

0=rgr

ρ por la hipótesis 4

Así para la componente r tenemos:

0=r

p

δ

δ (A.24)

La Ec. (A.14) nos indica que la presión no es función de r.

Componente en θ:

=

+−++

z

vv

r

vvv

r

v

r

vv

t

vz

rr

δ

δ

δθ

δ

δ

δ

δ

δρ θθθθθθ

rr

rrrrrr

r

( ) θθθ

θ ρδ

δ

δθ

δ

δθ

δ

δ

δ

δ

δµ

δθ

δg

z

vv

r

v

rvr

rrr

p

rr r

rrrr

+

+−++−

2

2

22

2

2

2111 (A.17)

0=

+−++

z

vv

r

vvv

r

v

r

vv

t

vz

rr

δ

δ

δθ

δ

δ

δ

δ

δ θθθθθθ

rr

rrrrrr

r

Ya que no hay velocidad angular ni radial

por la hipótesis 3.


56

( ) 0211

2

2

22

2

2=

+−+

z

vv

r

v

rvr

rrrr

δ

δ

δθ

δ

δθ

δ

δ

δ

δ

δ θθθ

rrrr

Por la hipótesis 3.

0=θρgr

por la hipótesis 4

Así para la componente θ tenemos la siguiente ecuación:

01

=δθ

δpr

multiplicando la ecuación por r se tiene:

0=δθ

δp (A.25)

Esta ecuación nos indica que la presión no es función de θ. Componente en z:

=

+++

z

vv

v

r

v

r

vv

t

v zz

zzr

z

δ

δ

δθ

δ

δ

δ

δ

δρ θ

rr

rrrr

r

zzzz g

z

vv

rr

vr

rrz

p rrrr

ρδ

δ

δθ

δ

δ

δ

δ

δµ

δ

δ+

++

+−

2

2

2

2

2

11 (A.18)

0=

t

vz

δ

δr

Ya que el sistema se encuentra en estado estacionario, hipótesis 1.

0=

+

δθ

δ

δ

δ θ zzr

v

r

v

r

vv

rrrr

Ya que la velocidad radial y angular es cero, hipótesis 3.

0=

z

vv zz

δ

δr

r Por la ecuación de continuidad 3.23, la velocidad no es función de z.

02

2

=

z

vz

δ

δr

Ya que la velocidad no es función de z.

gg z ρρ −=

r por la hipótesis 4

Así para la componente z se tiene:

01

=−

+− g

r

vr

rrz

p z ρδ

δ

δ

δµ

δ

δr

(A.26)

z

pg

r

vr

rrz

δ

δρ

δ

δ

δ

δµ =−

r

1 (A.26a)


57

Para resolver la Ec. (A.26a) se tienen las siguientes condiciones de frontera:

I. En r=R por la condición de no deslizamiento se tiene que vz=0. II. En r=0 el flux tiene que ser una número finito.

Así resolviendo la ecuación (3.26a) se llega a los siguientes resultados:

( )

−

−=

220 1

4 R

rR

H

PPv Lz

µ (A.27)

Para calcular el flux se tiene:

dr

dvzrz µτ −= (A.28)

Así sustituyendo (A.28) en (A.26a) se tiene:

( )z

pgr

rr rzδ

δρτ

δ

δ=−

−

1 (A.29)

Resolviendo Ec. (A.29) se llega a:

rH

PP Hrz

−=

20τ (A.31)

Se puede definir P en forma general como ρ≡P p+ gh .


58

Apéndice B

Teorema de Transporte de Reynolds B.1 Método estático y del continuo

Existen básicamente dos maneras de obtener las ecuaciones que rigen el

movimiento de un fluido. Uno de estos métodos trata al fluido como un conjunto de moléculas en movimiento que es regido por la leyes de la dinámica. Se asume como un fenómeno microscópico para tratar el movimiento molecular de las moléculas, y la teoría interna predice la conducta microscópica del fluido con las leyes de la mecánica y la probabilidad. Para un fluido que se encuentra cerca del estado de equilibrio la aproximación da como resultado las ecuaciones de la masa, momentum y conservación de la energía. De la aproximación molecular es posible obtener las expresiones de los coeficientes de transporte, como el coeficiente de viscosidad y de conductividad térmica, en términos de las cantidades moleculares como las fuerzas que actúan entre moléculas. Esta teoría está bien desarrollada para gases ligeros, pero es incompleta para gases con moléculas poliatómicas y para líquidos.

El método alternativo que se usa para encontrar las ecuaciones que rigen el movimiento de un fluido emplea el concepto del continuo. En la aproximación al continuo las moléculas individuales son ignoradas y se asume que el fluido es una masa continua. En cada punto de un fluido continuo se considera que existe un único valor de presión, densidad, velocidad y de las llamadas “variables de campo”. La materia continua es requerida para obtener las leyes de conservación de la masa, momentum y energía; que dan lugar a las ecuaciones diferenciales que rigen a las variables de campo. La solución de estas ecuaciones define entonces el cambio de cada variable de campo para una posición y un tiempo dados. El método estadístico puede ser usado para tratar a gases en situaciones en las cuales no se puede aplicar el concepto del continuo. Sin embargo la teoría es incompleta para gases densos y líquidos. El acercamiento del continuo requiere que el promedio libre de cambio en las moléculas sea muy pequeño comparado con la menor escala física de longitud. Sólo en esta forma los promedios significativos sobre las moléculas en un punto pueden ser hechos y la estructura molecular del fluido puede ser ignorada. Sin embargo, si esta consideración es satisfecha no existe distinción entra grases ligeros y pesados, o incluso líquidos; el resultado aplica para todos. Las variables de campo tales como la densidad ρ y el vector de velocidad v

r serán, en general, funciones de

coordenadas espaciales y de tiempo. En forma simbólica se escribe ),( txr

ρρ = y ),( txvv

rrr= donde x

r es el vector de posición cuyas coordenadas cartesianas son

),,( zyx . En cualquier punto particular en el espacio estas variables continuas son definidas en términos de la variación de las propiedades de las moléculas que ocupan un pequeño volumen en la vecindad de ese punto.


59

Considerando un pequeño elemento de volumen V∆ que contiene una gran cantidad de moléculas. Con m∆ y v

rque son la masa y la velocidad de cualquier

molécula individual contenida en el elemento de volumen V∆ . La densidad y la velocidad en el continuo están definidas por:

∆

∆=

∑→∆ V

mlímV β

ρ (B.1)

∆

∆=

∑→∆ m

mvlímvV

rr

β (B.2)

donde β es un volumen lo suficientemente pequeño tal que 3/1β es pequeño comparado con la escala de longitud significativa mas pequeña en el campo de fluido pero es lo suficientemente grande para contener un gran número de moléculas. La sumatoria en las expresiones anteriores es tomada sobre todas las moléculas contenidas en el elemento de volumen V∆ . De manera análoga se pueden obtener las demás variables de campo definidas en términos de las propiedades moleculares. Una condición suficiente, pero no necesaria, para que la aproximación del continuo sea valida es:

31L

n<<<< β

donde n es el número de moléculas por unidad de volumen y L es la escala de longitud significativa mas pequeña en el campo del fluido, usualmente se le llama escala macroscópica de longitud. La característica de la escala microscópica de longitud es la trayectoria libre de las moléculas antes de una colisión.

Figura B.1 Molécula individual en un pequeño volumen V∆ con masa m∆ y una velocidad v

r


60

B.2 Coordenadas Eulerianas y Lagrangianas

Existen dos sistemas de coordenadas básicos que pueden ser empleados para la formulación de las leyes de conservación, estos sistemas de coordenadas son el euleriano y el lagrangiano.

En el marco de referencia euleriano las variables independientes espaciales son

las coordenadas ),,( zyx y el tiempo t . Con la finalidad de derivar las ecuaciones básicas de conservación en este marco, la atención es enfocada en el fluido que pasa a través de un volumen de control fijado en el espacio. El fluido dentro del volumen de control en cualquier instante en el tiempo esta formado de diferentes partículas que estuvieron ahí en un instante previo. Si los principios de conservación de la masa, el momentum y energía son aplicados al fluido que pasa a través del volumen de control, las ecuaciones básicas de conservación serán obtenidas en coordenadas eulerianas.

En el marco lagrangiano, la atención es fijada en una masa particular de fluido

cuando está fluyendo. Supongamos que se puede colorear una pequeña porción de fluido sin cambiar su densidad. Posteriormente se sigue esta porción coloreada en el marco lagrangiano y se ve como fluye y cambia su forma, sin dejar de considerar siempre las mismas partículas de fluido. Si son aplicados los principios de conservación de la masa, momentum y energía a estos elementos particulares de fluido cuando están fluyendo, el resultado es un conjunto de ecuaciones de conservación en coordenadas lagrangianas. En este marco de referencia las coordenadas ),,,( tzyx no son variables independientes, desde que se sabe que nuestra porción coloreada de fluido pasó a través de las coordenadas ),,( 000 zyx en algún tiempo 0t , posteriormente se calculará la

velocidad vr

de la porción de fluido conociendo sus componentes u y w . Es decir, tan pronto con se especifica un intervalo de tiempo ( )0tt − , los componentes de la

velocidad determinan únicamente los cambios en las coordenadas ( )0xx − , ( )0yy − y

( )0zz − tal que zyx ,, y t no son independientes. Las variables independientes en el

sistema lagrangiano son 0x , 0y , 0z y t, donde 0x , 0y y 0z son las coordenadas por

donde pasa un elemento especifico de volumen en el tiempo 0t . Es decir, las

coordenadas 0x , 0y y 0z identifican al elemento de fluido que está siendo considerado

y t identifica su colocación instantánea en el tiempo.


61

B.3 Derivada material

Consideremos que α es cualquier variable de campo como la densidad o la temperatura de un fluido. Desde el punto de vista euleriano α puede ser considerada para ser función de variables independientes zyx ,, y t . Pero si un elemento de fluido especifico es observado por un corto periodo de tiempo tδ cuando está fluyendo, esta posición cambiará por cantidades xδ , yδ y zδ mientras el valor de alfa cambia por δα . Esto es, si el elemento de fluido es observado en el marco lagrangiano, las variables independientes son 0x , 0y , 0z y t , donde 0x , 0y y 0z son las coordenadas iniciales del

elemento de fluido. De esta manera, 0x , 0y y 0z no son variables independiente pero si

son función de t definidas por la trayectoria del elemento de fluido. Durante el tiempo tδ el cálculo de α puede obtenerse por las siguientes ecuaciones diferenciales:

zz

yy

xx

tt

δα

δα

δα

δα

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ (B.3)

En la ecuación mostrada el cambio en α es observado por el cambio δα en el

marco lagrangiano y dividido todo entre tδ

zt

z

yt

y

xt

x

xt ∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂=

αααα

δ

δα (B.4)

El lado izquierdo de la Ec. (B.4) representa el cambio total en α como es

observado en el marco lagrangiano durante un tiempo tδ y en el límite esto representa la derivada de tiempo de α en el sistema lagrangiano, que es denotado por DtD /α . Es posible denotar que también el limite de 0→tδ la porción tx δδ / se convierte en la componente de velocidad en la dirección x , llamada v , de forma similar uty →δδ / y

wtz →δδ / como 0→tδ . Esto es, como 0→tδ , la expresión para el cambio de α se convierte en

zw

yu

xv

tDt

D

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

ααααα r (B.5)

En forma vectorial esta ecuación puede escribirse:

ααα

)( ∇⋅+∂

∂= v

tDt

D r (B.6)

Usando la sumatoria de conversión de Einstein donde los subíndices repetidos

son sumados, el tensor puede ser escrito como

kk xv

tDt

D

∂

∂+

∂

∂=

ααα r (B.7)

El termino DtD /α en la Ec. (B.7) es llamado “derivada material” y representa

el cambio total en la cantidad de α como es visto por un observador que está siguiendo


62

al fluido y está viendo una masa particular del fluido. El lado derecho de la Ec. (B.7) representa el cambio total de α expresado en coordenadas eulerianas. El término

)/( kk xu ∂∂α expresa que en un tiempo independiente de flujo en donde las propiedades

del fluido dependerán de las coordenadas espaciales únicamente, existe un cambio en α debido al hecho de cambiar de posición un elemento de fluido en un tiempo.

B.4 Volumen de control

El concepto de volumen de control es requerido para deducir las ecuaciones básicas de conservación, es utilizado en los marcos de referencia euleriano y lagrangiano. Independientemente del sistema de coordenadas que esté siendo empleado existen dos principales tipos de volumen de control. Uno de estos es un paralelepípedo de lados xδ , yδ , y zδ . Cada propiedad del fluido, como la velocidad o la presión, es expandida utilizando las series de Taylor sobre el centro del volumen de control como resultado se obtienen las expresiones para las propiedades de cada cara del volumen de control. El principio de conservación es empleado, obteniéndose la ecuación diferencial para el principio de conservación.

En el segundo tipo de volumen de control su forma es arbitraria y cada principio de conservación es aplicado en una integral sobre el volumen de control. Por ejemplo, la

masa dentro del volumen de control es ∫V

dVρ , donde ρ es la densidad del fluido y la

integración es hecha sobre todo el volumen de control. El resultado de aplicar cada principio de conservación es la ecuación integro-diferencial del tipo

∫ =V

dVL 0α (B.8)

donde L es algún operador diferencial y α es alguna propiedad del fluido. Pero desde que se escogió de manera arbitraria el volumen de control la única forma en que la ecuación puede ser satisfecha es 0=αL , que nos da la ecuación diferencial de la ley de conservación.

B.5 Teorema de Transporte de Reynolds

Para encontrar las ecuaciones básicas de las leyes de conservación se utilizará el

concepto del continuo y se toma un volumen de control arbitrario en el marco lagangiano. La combinación del volumen de control arbitrario y un sistema de coordenadas lagrangianas significa que se tendrá que encontrar la integral de la derivada material. Es necesario transformar cada término en expresiones equivalentes involucrando integrales de volumen de las derivadas eulerianas. El teorema que permite tal transformación es el Teorema Transporte de Reynolds.

Se considera una masa específica de un fluido y se sigue por un corto periodo de tiempo tδ mientras está fluyendo, α representa cualquier propiedad del fluido como su masa, momentum o su energía. Desde que se considera una masa específica de fluido con zyx ,, y t variables independientes en el marco lagrangiano, la cantidad α será


63

función de t sólo mientras se mueva el volumen de control con el fluido. Es decir, )(tαα = y la rapidez de cambio de la integral de α es definida por el siguiente límite

−+= ∫∫∫ +→ )()(0)(

)()(1

)(tVttVttV

dVtdVttt

límdVtDt

Dαδα

δα

δδ (B.9)

donde )(tV es el volumen de control que contiene la masa específica de fluido y tal vez cambiará su forma mientras fluye. La cantidad )( tt δα + integrada sobre )(tV será sustraída y posteriormente se suma nuevamente al límite mostrado.

( ) ( ) ( )0

( ) ( )

1( ) ( ) ( )

1 ( ) ( )

V t V t t V tt

V t V t

Dt dV lím t t dV t dV

Dt t

t t dV t dVt

δδα α δ α

δ

α δ αδ

+→

= + −

+ + −

∫ ∫ ∫

∫ ∫ (B.10)

Las primeras dos integrales dentro del límite permiten mantener la integral fija y

permiten que el volumen de control V cambie mientras que las segundas integrales mantienen fijo V y permiten a la integral de α cambiar. El último componente del cambio es, por definición, la integral euleriana derivada con respecto al tiempo. La expresión para la derivada lagrangiana de la integral de α se escribe de la siguiente manera:

∂

∂+

+= ∫∫∫ −+→ )()()(0)(

)(1

)(tVtVttVttV

dVt

dVttt

límdVtDt

D αδα

δα

δδ (B.11)

El límite restante, correspondiente al volumen V , cambia mientras α permanece constante, puede ser evaluado con consideraciones geométricas.

En la Fig. B.2 se muestra el volumen de control )(tV que encierra la masa de fluido considerando los tiempos t y tt δ+ . Durante este intervalo de tiempo el volumen de control se mueve y cambia su tamaño y su forma. La superficie que encierra )(tV se denota por )(tS y en cualquier punto en la superficie la velocidad es denotada por v

r y el

vector unitario normal por nr

.

Figura B.3. Volumen de control formado en un tiempo t y tt δ+


64

En la Fig. B.3 se muestra un volumen de control )( ttV δ+ sobrepuesto sobre otro )(tV la diferencia en los volúmenes es detallada. La distancia perpendicular de cualquier punto en el interior de la superficie hacia el exterior de la superficie es tnv δ

rr⋅ por lo

tanto el área superficial del elemento de volumen Sδ corresponderá a un elemento de volumen que está cambiando Vδ en el cual StnvV δδδ

rr⋅= . Entonces la integral de

volumen dentro del límite en la siguiente ecuación puede transformarse en una integral de superficie cuya dV es remplazada por StnvV δδδ

rr⋅= .

Figura B.3 Superposición del volumen de control a un tiempo t sobre otro volumen de

control cambiando Vδ .

dVt

dSnvtdVt

dSnvttlímdVtDt

DtVtStVtSttV ∫∫∫∫∫ ∂

∂+⋅=

∂

∂+

⋅+=

→ )()()()(0)()()()(

αα

αδαα

δ

rrrr

(B.12)

Completando el proceso de los límites, la derivada lagrangiana de la integral de volumen ha sido convertida en una integral de superficie y una integral de volumen en una integral que contiene únicamente derivadas eulerianas. La forma actual del Teorema de Transporte de Reynolds puede cambiarse convirtiendo por medio del teorema de Gauss las integrales de superficie a integrales de volumen, de está manera la integral de superficie se convierte en

∫∫ ⋅∇=⋅)()(

)()(tVtS

dVvdSnvtrrr

αα (B.13)

sustituyendo este resultado en la expresión anterior y combinando las dos integrales de volumen se obtiene la forma mas común del Teorema de Transporte de Reynolds.

∫∫

⋅∇+

∂

∂=

VVdVv

tdV

Dt

D)(r

αα

α (B.14)

en notación tensorial

∫∫

∂

∂+

∂

∂=

V kk

VdVv

xtdV

Dt

D)(

rα

αα (B.15)


65

la Ec. (B.15) representa la derivada lagrangiana de la integral de volumen con una masa de fluido dada a una integral de volumen en donde las integrales son únicamente derivadas eulerianas.


66

Apéndice C


C.1 Distribución Normal o Gaussiana

La distribución normal de la probabilidad es una de las más importantes en el capo de la estadística. Su gráfica es una campana simétrica, describe de forma aproximada una amplia gama de fenómenos de las ciencias, se aplica de manera frecuente en la industria y en la investigación. Algunos errores en mediciones científicas son bastante pequeños gracias a la distribución normal.

La ecuación matemática que describe a la distribución normal es función de σ y µ, que son la desviación estándar y la media respectivamente. Por tanto se representan los valores de densidad de una variable aleatoria con distribución normal mediante

, (Velasco, 2001)

La función de densidad de la variable aleatoria normal X, con media µ y desviación estándar σ, está dada por la expresión:

; (C.1)

para nuestros fines tomaremos a

= diámetro de de la partícula sólida, es decir, 2r. = valor medio del diámetro del cúmulo.

(C.2)

= desviación estándar de r, que esta dada por:

(C.3)


67

-1 1 2 3 4 5

0.1

0.2

0.3

0.4

Gráfica C.1. Función de distribución de probabilidad normal con media 2 y desviación

estándar 1. C.2 Distribución log-normal

Esta distribución es empleada con mayor frecuencia para describir la formación de gotas en procesos de secado y dispersión. En esta distribución se tienen desviaciones estándar grandes debido a que existen gotas mucho más grandes que el promedio.

(C.4) En donde:

(C.5) la varianza esta dada por:

(C.6) los momentos de de la función están dados por:

(C.7)


68

2 4 6 8 10

0.05

0.1

0.15

0.2

Gráfica C.2. Distribución log-normal con media 1 y varianza 1.

C.3 Distribución gamma

La distribución gamma toma su nombre de la función gamma que es empleada en las matemáticas para el cálculo de integrales definidas en diferentes aplicaciones. Algunas variables aleatorias son siempre no negativas y por algunas razones dan origen a distribuciones de datos sesgadas a la derecha, es decir, asimétricas. La mayor parte del área bajo la función de densidad esta cerca del origen y la función de densidad disminuye gradualmente a medida que aumenta y (Obagi, 2003).

Para definir la familia de distribuciones gamma, primero es necesario definir una función que desempeña un papel importante en muchas ramas de las matemáticas.

Para α>0, la función gamma Г(α) se define mediante.

∫∞

−−=Γ0

1)( dxex xαα

(C.8)

Algunas de las propiedades más importantes de la función gamma son las siguientes:

1. Para cualquier 1>α , )1()1()( −Γ•−=Γ ααα vía integración por partes. 2. para cualquier entero positivo, n , )!1()( −=Γ nn

3. π=

Γ

2

1

Una variable aleatoria X , que toma valores no negativos, se dice que tiene una

distribución gamma si su función de densidad de probabilidad esta dada por:


69

( )

Γ

=

−−

0

)(

)(

/1

αλα

λα xex

xf

la distribución depende de los parámetros α y λ con 0>α y 0>λ . Propiedades de la distribución gamma:

1. Si 1=α , la función de densidad se convierte en: ( )λ

λ

α−

=e

xf

2. Si α es un entero positivo se tiene:

( )( )!1

1

−=

−

−

αλα

λ

α

α exxf

(C.9)

la función de distribución acumulativa será:

( ) ( ) ( )xXPxXPxf >−=≤= 1 (C.10)

( )( )∫ >

−−=

−

−α

α

λ

α

α

αλx

xex

xf 0,!1

11

(C.11)

la función anterior es igual a:

( ) ( )∑

−

=

−

−=1

0

2

!1

α β β

k

x

k

xexf con

λβ

1=

(C.12)

Así obtenemos una expresión para la distribución acumulativa gamma, en términos

de la distribución Poisson, cuando α es un entero positivo.

Si se desea calcular una probabilidad acumulativa )(xf para una variable aleatoria X con distribución gamma y conociendo que α es un entero positivo (Angel,2007), se utiliza la formula siguiente:

( ) ( )11 −≤−=≤ αYPxXP (C.13)

0≥x 0≥x 0≥x

En caso contrario


70

donde )( xPoissonY β≈ y satisface todas las hipótesis de un proceso de Poisson con un parámetro xβ Por definición el momento generado por la función gamma esta dado por (Wiebe,1998):

(C.14) reacomodando

(C.15) Sustituyendo se tiene:

(C.16) Sustituyendo en la integral

(C.17) Graficando la función para 2=α y 1=λ

2 4 6 8 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Gráfica C.3. Función de distribución de probabilidad de gamma para 2=α y 1=λ .


71

La media y la varianza de la distribución gamma son:

(C.18)

(C.19) Hay dos casos especiales de variables aleatorias gamma, uno de ellos es el de la variable alectoria chi-cuadrada mientras que el otro es la función de densidad exponencial. C.4 Distribución exponencial

La distribución gamma en la cual se tiene que se denomina función exponencial.

Una variable aleatoria tiene distribución exponencial con parámetro λ si su función de densidad se define de la siguiente manera:

Donde

La función de distribución exponencial se emplea en la estadística, particularmente en la teoría de confiabilidad y los tiempos de espera.

C.5 Distribución chi-cuadrada Un segundo caso especial de la distribución gamma se da cuando y , donde es un número entero positivo. En este caso se tiene una función de distribución de densidad llamada chi-cuadrada con grados de libertad.

La función de distribución chi-cuadrada en estadística es una distribución de probabilidad continua que no es simétrica, esta función sólo depende del grado de libertad

, su expresión matemática es la siguiente (Walpole, 1987):

(C.20)

El la media y la varianza de la distribución chi-cuadrada están dados por:

(C.21)

(C.22)


72

C.6 Distribución de Weibull

La variable aleatoria tiene distribución de Weibull con parámetros α y λ si su función de densidad es (Walpole, 1987):

donde

Si se toma la distribución de Weibull tma la forma de la distribución exponencial. Para valores de las cuervas de la distribución toman forma de campana y son muy parecidas a las curvas de la distribución normal pero no son simétricas completamente.

Su media y varianza están dadas por:

(C.23)

(C.24)

Bibliografía

73

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