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’Efectos Dinamicos de Viento en

Chimeneas Industriales de Acero

Gilberto Avila Jimenez

Jesus Gerardo Valdes Vazquez

Universidad de Guanajuato

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1

Este trabajo surge debido a que el Ingeniero Civil no se encuen-tra familiarizado en el ambito industrial o al menos es un area detrabajo que no es tan abordada por el Ingeniero Civil. Haciendoreferencia a esto debido a que otras ramas de las ingenierıas silo estudian, pero lo hacen de una manera empırica o basados enreglamentos que sugieren procedimientos empıricos, respecto alcalculo de las presiones y succiones ocasionadas por el viento.Es de suma importancia conocer el comportamiento que pre-senta una estructura ante las acciones del viento, en nuestro casouna chimenea de acero, debido a que muchas estructuras fallanante su accion presentando deflexiones o deformaciones excesi-vas las cuales presentan una estructura insegura aunque muchasveces solamente es un aspecto visual. Al presentarse este tipode situaciones se considera una reinversion en la estructura yasea de forma parcial o total, generando costos de inversion muygrandes, debido a que este tipo de estructuras son muy costosas.En este trabajo se emplea una modelacion computacional la cualen la actualidad tiene gran relevancia, ya que se deja de recur-rir a modelos empıricos a escala que resultan costosos y en loscuales muchos de los reglamentos se basan, se vera un caso deaplicacion practica, los avances que se tienen respecto al temay algunas propuestas que se pueden ir desarrollando conforme ala potencia de computo.

ISBN:

978-607-441-334-2GEMECAula UGTO-CIMNE

Guanajuato, Gto. — M«exico

http://www.di.ugto.mx

Campus Guanajuato

Division de Ingenierıas

Departamento de Ingenierıa Civil

Efectos Dinamicos de Viento en

Chimeneas Industriales de Acero

Gilberto Avila Jimenez

Jesus Gerardo Valdes Vazquez

Efectos Dinamicos de Viento en Chimeneas Industriales de AceroPrimera edicion, 2014

D. R. c© Universidad de GuanajuatoLascurain de Retana 5Zona CentroGuanajuato, Gto., MexicoC. P. 36000

Produccion: GEMEC (Grupo de Estructuras y Mecanica Computacional)Departamento de Ingenierıa CivilUniversidad de GuanajuatoAvenida Juarez 77Zona CentroGuanajuato, Gto., MexicoC. P. 36000

Cuidado de la edicion: Jesus Gerardo Valdes VazquezDiseno de portada: Jesus Gerardo Valdes VazquezFotografıa de portada: Ciudad de Pompeya y Monte Vesubio (por J. Gerardo Valdes V.)

ISBN:978-607-441-334-2

La composicion del texto ha sido realizada y editada en LaTeX porGilberto Avila Jimenez y Jesus Gerardo Valdes Vazquez

Contenido

1. Introduccion 11.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3.1. Analisis por viento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.2. Mecanica de materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.3. Mecanica de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.4. Interaccion Fluido-Estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Estructura del trabajo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Mecanica de Medios Continuos. 52.1. Concepto de Medio Continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Cinematica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1. Coordenadas Materiales y Espaciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2. Desplazamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.3. Velocidad y Aceleracion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3. Deformacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.1. Medidas de la Deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4. Ecuaciones de Conservacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.1. Conservacion del Momento Lineal y Angular. . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5. Ecuaciones Constitutivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5.1. Elasticidad Lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5.2. Ley de Hooke Generalizada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6. Fluido Newtoniano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.7. Ecuaciones de Navier-Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. El Metodo de los Elementos Finitos 193.1. Concepto de Elemento Finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

i

ii Contenido

3.1.1. Sistema Discreto y Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.2. Definicion del Proceso General del MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2. Discretizacion del MEF para Solidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.1. Trabajo Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.2. Discretizacion para Geometrıa Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.3. Discretizacion para Geometrıa No-Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3. Elemento Finito de Membrana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.1. Formulacion de Membrana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.2. Discretizacion del MEF para Membrana. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4. Elemento Finito de Lamina (Shell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4.1. Formulacion del Elemento Lamina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4.2. Discretizacion del MEF para Laminas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.5. Elementos Mecanicos: Fuerzas y Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.6. Elementos Finitos para Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.7. Interaccion Fluido-Estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4. Analisis con el Manual de Diseno por Viento CFE 444.1. Antecedentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2. Manual de Diseno de Obras Civiles CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.1. Clasificacion de la Estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.2. Velocidad de Diseno CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.3. Presion Dinamica de Base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.4. Determinacion del Tipo de Analisis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2.5. Analisis Dinamico, Manual CFE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3. Manual de Diseno de Obras Civiles CFE 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3.1. Clasificacion de la Estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3.2. Velocidad de Diseno CFE 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3.3. Presion Dinamica de Base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3.4. Calculo de la Presion Neta Estatica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3.5. Analisis Dinamico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3.6. Presion en la Direccion del Viento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.4. Resumen Reglamento CFE 1993 y 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.5. Vibraciones Locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.6. Reduccion de los Efectos de Vorticidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.6.1. Otras Soluciones para Evitar los Efectos de Vorticidad. . . . . . . . . . 69

5. Analisis del caso Interaccion Fluido-Estructura MEF, COMET. 705.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2. Consideraciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2.1. Geometrıa del Modelo para Viento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2.2. Geometrıa del Modelo para Chimenea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.3. Condiciones de Contorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Contenido iii

5.3.1. Condiciones de Contorno del Fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3.2. Condiciones de Contorno Shell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.4. Mallas Fluido y Estructura (Shell). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.4.1. Malla Modelo del Viento, Fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.4.2. Malla Modelo Chimenea, Estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.5. Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.5.1. Fluido, Viento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.5.2. Shell-Estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.6. Ovalizacion de la Seccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.7. Elementos Mecanicos en la Base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.8. Analisis Dinamico y Estatico en la Practica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.8.1. Analisis Dinamico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.8.2. Analisis Estatico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.8.3. Comparacion de los Analisis Dinamico vs. Estatico. . . . . . . . . . . . 101

5.9. Distribucion de las Presiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.10. Esfuerzos Generados en la Estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.11. Movimiento Real de la Chimenea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6. Resumen de Resultados y Conclusiones. 1096.1. Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.1.1. Presion de Empuje Actuante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.1.2. Presion de Succion Actuante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.1.3. Elementos Mecanicos en la Base, Direccion del Viento. . . . . . . . . . 1106.1.4. Desplazamientos en la Estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.2. Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7. Propuestas de Futuros Analisis. 1127.1. Propuesta 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.2. Propuesta 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

A. Anexo 115A.1. Partes principales de la chimenea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115A.2. Consideracion del recubrimiento refractario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115A.3. Justificacion de las dimensiones de chimenea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116A.4. Justificacion en la simplificacion de las mallas, en elementos de estructuracion. 117

Bibliografıa 118

Indice de figuras

2.1. Configuraciones del medio continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Descripcion material (izq.) y espacial (der.) de una propiedad . . . . . . . . . 72.3. Descripcion de la deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4. Tensores de deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5. Estado tensional en un fluido en reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1. Coordenadas curvilineas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2. Vector base covariante formando un plano tangente. . . . . . . . . . . . . . . . 263.3. Shell superficie media. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1. Chimenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2. Diagrama de flujo del Procedimiento para obtener las cargas por viento . . . . 464.3. Esquema de Secciones consideradas, CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.4. Modelo SAP2000 v.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.5. Ovalizacion por efecto de vortices alternantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.6. Diagrama de flujo del Procedimiento para obtener las cargas por viento, CFE

2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.7. Secciones consideradas en el calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.8. Diagrama de flujo para el analisis dinamico, CFE 2008 . . . . . . . . . . . . . 624.9. Anillos atiesadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.10. Rompedores de Viento, Spoilers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.1. Dimensiones del modelo, Elevacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2. Dimensiones del modelo Planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3. Geometrıa del Fluido 3D (lineas,superficies,volumenes.) . . . . . . . . . . . . . 725.4. Contorno interior del Fluido 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.5. Dimensiones de la chimenea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.6. Geometrıa Modelo No.1, Chimenea Lisa sin refuerzos. . . . . . . . . . . . . . . 745.7. Geometrıa Modelo No.2, Chimenea con Rigidizadores. . . . . . . . . . . . . . . 74

iv

Indice de figuras v

5.8. Geometrıa Modelo No.3, Chimenea con Rigidizadores y Anillos. . . . . . . . . 755.9. Perfil Tipo Tee, Rigidizador. Perfil Tipo C, Anillo. . . . . . . . . . . . . . . . . 755.10. Condiciones de Contorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.11. Condiciones de Contorno, Modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.12. Condicion Ext-coupling-surfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.13. ALE Boundary-surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.14. Forces-Drag-Lift-Surfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.15. Condicion Ext-coupling-surfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.16. Espesores de Placa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.17. Malla Generada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.18. Captura de Capa Lımite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.19. Malla Generada. Modelo No.1, sin refuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.20. Malla Generada. Modelo No.2, Con rigidizadores. . . . . . . . . . . . . . . . . 845.21. Malla Generada. Modelo No.3, Con rigidizadores y Anillos. . . . . . . . . . . . 845.22. Corte, Presiones del fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.23. Contorno, Presiones del fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.24. Velocidades en X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.25. Desarrollo de Vortices alternantes, Velocidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.26. Desarrollo de Vortices alternantes, Presion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.27. Presiones en la estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.28. Desplazamientos Direcciones Principales X, Y y Z, Modelo No.1. . . . . . . . . 905.29. Norma de los desplazamientos, Modelo No.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.30. Deformacion de la estructura, Modelo No.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.31. Desplazamientos Direcciones Principales X, Y y Z, Modelo No.2. . . . . . . . . 925.32. Norma de los desplazamientos, Modelo No.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.33. Desplazamientos Direcciones Principales X, Y y Z, Modelo No.3. . . . . . . . . 935.34. Norma de los desplazamientos, Modelo No.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.35. Deformacion de la estructura, Modelo No.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.36. Ovalizacion teorica de la seccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.37. Ovalizacion de la seccion, obtenida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.38. Presiones Consideradas, Medias y Maximas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.39. Presiones Consideradas CFE2008 y CFE1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.40. Presiones Consideradas CFE-2008 y CFE-1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.41. Desplazamiento en X, Presiones CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.42. Desplazamiento en X, Presiones Medias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.43. Desplazamiento en X, Presiones Envolventes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.44. Desplazamiento en X, Presiones CFE 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.45. Desplazamiento en X, Presiones CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.46. Desplazamiento en X, Presiones Medias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.47. Desplazamiento en X, Presiones Envolventes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.48. FSI-CFE 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

vi Indice de figuras

5.49. FSI-CFE 1993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.50. FSI-Medidas medias y envolventes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.51. FSI-Todos los analisis dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.52. Distribucion de las Presiones de empuje y succion, caso Interaccion Fluido-

Estructura FSI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.53. Fuerzas de Von Mises, Modelo No.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.54. Fuerzas de Von Mises, Modelo No.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.55. Fuerzas de Von Mises, Modelo No.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.56. Comportamiento en la deformacion de la Chimenea. . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.1. Propuesta 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.2. Propuesta 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.3. Malla con rompedores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

A.1. Chimenea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116A.2. Malla con rigidizadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Indice de tablas

3.1. Regla de Voigt para esfuerzos en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2. Regla de Voigt paara esfuerzos en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1. Secciones consideradas 1,2,3,4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2. Velocidades de diseno, CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3. Presion Dinamica de base Kg/m2, CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.4. Factor de Excitacion de Fondo, CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.5. Factor de Rafaga, CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.6. Factor de Reduccion por tamano, CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.7. Factor de Energia de rafaga-frecuencia natural, CFE 1993. . . . . . . . . . . . 524.8. Relacion σ/µ, Ecuacion 4.2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.9. Factor pico o de efecto maximo de la carga de viento . . . . . . . . . . . . . . 534.10. Factor de respuesta dinamica debida a rafagas Ecuacion 4.2.6 . . . . . . . . . 534.11. Presiones de Diseno, CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.12. Presiones de Diseno, CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.13. Fuerza y Momento Resultante, CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.14. Velocidades de diseno para el modelo, CFE 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . 584.15. Diametros promedio y Areas expuestas por cada seccion, CFE 2008. . . . . . . 594.16. Velocidad de diseno por secciones, CFE 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.17. Presion dinamica de base, CFE 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.18. Resumen de Valores para determinar FAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.19. Presion de diseno, 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.20. Fuerza y Momento de diseno, CFE 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.21. Velocidades de diseno para el modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.22. Resumen CFE 1993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.23. Resumen CFE 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.1. Espesor de placa considerado en el modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

vii

viii Indice de tablas

5.2. Velocidades de diseno para el modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.3. Elementos mecanicos en la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.4. Desplazamiento Longitudinal, Analisis dinamico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.5. Desplazamiento Longitudinal, Analisis estatico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.6. Desplazamiento Longitudinal, Analisis estatico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.1. Presion Maxima de empuje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.2. Presion Maxima de Succion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.3. Elementos mecanicos, Direccion del viento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.4. Comparacion de desplazamientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Motivacion

El analisis estructural de chimeneas industriales de dimensiones considerables presenta di-versos aspectos a tener en cuenta. En primera instancia se debe realizar un analisis estaticoconvencional en el que se tengan en cuenta las cargas debidas al peso propio de los elementosenvolventes y el de los elementos refractarios constitutivos. A su vez, debe contemplarse elefecto del viento y sismo sobre la estructura, como ası tambien los efectos termicos producidospor el funcionamiento de la chimenea. En el caso del viento se debe evaluar no solamente lacarga producida por este, sino los efectos dinamicos que se producen al interactuar la fre-cuencia de los vortices o torbellinos que se desprenden a ambos lados de la chimenea con lasfrecuencias naturales de vibracion de la estructura. Los efectos en una estructura propensa apresentar respuesta ante el viento deben de ser evaluados, por metodologıas propuestas porautores y en la gran mayorıa por la reglamentacion vigente, pues su seguridad depende deello. Las cargas en este caso presiones y succiones generadas por el viento en una estructurase traducen en esfuerzos y deformaciones, que serviran al calculista para poder disenar, tantola estructura en si como su cimentacion. Un mal analisis conducira a un mal diseno y muchasveces al colapso de la estructura o a quedar fuera de servicio, estos resultados no son losesperados y se deben evitar.

El presente trabajo surge debido a que el Ingeniero Civil no se encuentra familiarizado enel ambito industrial o al menos es un area de trabajo que no es tan abordada por el IngenieroCivil. Haciendo referencia a esto debido a que otras ramas de las ingenierıas si lo estudian,pero lo hacen de una manera empırica o basados en reglamentos que sugieren procedimientosempıricos, respecto al calculo de las presiones y succiones ocasionadas por el viento. Es desuma importancia conocer el comportamiento que presenta una estructura ante las accionesdel viento, en nuestro caso una chimenea de acero, debido a que muchas estructuras fallanante su accion presentando deflexiones o deformaciones excesivas las cuales presentan una

1

2 1. Introduccion

estructura insegura aunque muchas veces solamente es un aspecto visual. Al presentarse estetipo de situaciones se considera una reinversion en la estructura ya sea de forma parcial ototal, generando costos de inversion muy grandes, debido a que este tipo de estructuras sonmuy costosas.

El problema surge de un mal diseno o de acciones de diseno mal consideradas como sonlas presiones que se generan al circular el viento alrededor de la chimenea, pues existenpresiones tanto de empuje como de succion. Esta problematica es real y se ha presentado envarias chimeneas de la Refinerıa en la cuidad de Salamanca Guanajuato Mexico, Ahı existenchimeneas que presentan deflexiones considerables, las cuales siguen en funcionamiento cuyasolucion estructural es un sistema de contravientos a base de cables tensores de acero. Delanalisis de las presiones surge el diseno o revision de la chimenea tambien surge el disenoestructural de la cimentacion y elementos de anclaje el cual es un aspecto de gran importanciaen este tipo de estructuras pues sin una buena cimentacion y anclaje podrıan existir danos degran consideracion. De todo esto queda manifestada la importancia de considerar en el disenoun buen analisis de las acciones que se pudieran presentar ante el viento.

En este trabajo se emplea una modelacion computacional la cual en la actualidad tienegran relevancia, ya que se deja de recurrir a modelos empıricos a escala que resultan costososy en los cuales muchos de los reglamentos se basan, se vera un caso de aplicacion practica, losavances que se tienen respecto al tema y algunas propuestas que se pueden ir desarrollandoconforme a la potencia de computo.

1.2. Objetivos

Modelacion dinamica por viento de una chimenea industrial basado en el metodo de los ele-mentos finitos, llevando a cabo la interaccion fluido estructura, obteniendo empujes y succionesgeneradas por el fluido, ası como la deformacion y desplazamiento de la estructura, realizan-do una comparacion de los resultados mediante reglamentacion aplicable vigente, haciendoenfasis en el reglamento por viento de la Comision Federal de Electricidad CFE.

1.3. Antecedentes

1.3.1. Analisis por viento.

Toda construccion sometida a la accion del viento puede sufrir danos parciales o totales.Muchos reglamentos abordan el tema y fijan procedimientos de diseno para el calculo de lascargas que genera el viento. El viento al pasar por una estructura genera acciones de empuje,ademas de succion en la direccion perpendicular al flujo. Los efectos estructurales producidospor el viento mas comunes en las construcciones pueden ser: deformacion excesiva, fatiga, danoen elementos de apoyo como cimentacion y anclas, vibracion excesiva que provoca inseguridad.

Los efectos de deformacion excesiva generan inseguridad visual, e incluso a largo plazo

1.4 Estructura del trabajo. 3

el colapso de la estructura el cual podrıa ocasionar perdidas humanas de manera directae indirecta, sobre todo al tratarse de instalaciones industriales. De estos hechos podemosentender la importancia del analisis estructural por viento.

1.3.2. Mecanica de materiales

La Mecanica de materiales es la rama de la mecanica que estudia los efectos internos queexperimenta un cuerpo bajo carga, considerando a los elementos estructurales como modelosidealizados sometidos a restricciones y cargas simplificadas. En la mecanica de materiales elconcepto de importancia primordial es el de esfuerzo y las deformaciones.

1.3.3. Mecanica de fluidos

La mecanica de fluidos es la rama de la mecanica de medios continuos que estudia el mo-vimiento de los fluidos ası como las fuerzas que los provocan. La caracterıstica fundamentalque define a los fluidos es su incapacidad para resistir esfuerzos cortantes lo que provoca quecarezcan de forma definida. Tambien estudia las interacciones entre el fluido y el contornoque lo limita. La hipotesis fundamental en la que se basa toda la mecanica de fluidos es lahipotesis del medio continuo.

1.3.4. Interaccion Fluido-Estructura

Muchos fenomenos de la vida real estan caracterizados por el flujo de un fluido que es afectadopor la deformacion de una estructura solida, que a su vez es deformada por las fuerzas ejercidaspor el fluido. Modelar la interaccion fluido estructura involucra acoplamientos multifısicosespecıficos entre las leyes que describen la dinamica de fluidos y la mecanica estructural. Laimportancia de muchos problemas acoplados es que generan mayor informacion del problemareal que cuando se trata el fluido y el solido de forma separada.

1.4. Estructura del trabajo.

El trabajo aquı presentado se divide en las siguientes partes:

Capıtulo 2. En este capıtulo se presenta un resumen de la mecanica de los medios continuosy las ecuaciones constitutivas tanto para solidos como para fluidos.

Capıtulo 3. En este capıtulo se presenta el fundamento teorico de los elementos finitos parasolidos, Shell y fluidos, ası como la descripcion de en que consiste la interaccion fluido estruc-tura

4 1. Introduccion

Capıtulo 4. En este capitulo se desarrolla las metodologıa propuesta por el Manual de Disenode Obras civiles, Diseno por viento en la version 1993 y la mas reciente 2008, para obtenerlas velocidades de diseno para el modelo, las presiones de diseno mediante analisis dinamicoy posteriormente el cortante y el momento maximos en la direccion del flujo del viento.

Capıtulo 5. En este capıtulo se presenta la modelacion y resultados del caso mediante ele-mentos finitos. Utilizando para el proceso de calculo interaccion fluido-estructura el codigoCOMET desarrollado por el asesor.

Capıtulo 6. En este capıtulo se presentan un resumen de los resultados obtenidos y las con-clusiones.

Capıtulo 7. En este capıtulo se plantean dos propuestas de futuros analisis a desarrollar,destacando el sistema de rompedores de viento para evitar las vibraciones transversales enestructuras de forma cilındrica.

Capıtulo 2

Mecanica de Medios Continuos.

2.1. Concepto de Medio Continuo.

Todos los materiales en escala microscopica presentan diversas discontinuidades. La mecanicadel medio continuo considera el medio en escala macroscopica, ignorando en el medio esasdiscontinuidades para pasar a ser un medio continuo y partiendo de este argumento se puedeformular el comportamiento mecanico de los solidos y de los fluidos. Ver referencia Oliver yAgelet (2006).

2.2. Cinematica.

La cinematica estudia el movimiento y la deformacion de un cuerpo sin importarle las fuerzasque intervienen en dicha accion.

Se puede suponer que un medio continuo esta formado por una infinidad de puntos, quepueden ocupar distintos puntos en su movimiento a lo largo del tiempo, estos son llamadospuntos materiales, al lugar geometrico de las posiciones que ocupan en el espacio a lo largodel tiempo se define como configuracion y esta dada por Ω.

La configuracion en t = 0 se llama configuracion inicial Ω0, para poder describir la ci-nematica de un cuerpo es necesaria una configuracion de referencia que generalmente se tomaesta como la configuracion inicial.

Consideremos ahora que el medio continuo se mueve a una nueva region Ω, t > 0 en esteinstante de tiempo la configuracion es llamada configuracion actual o configuracion deforma-da. El contorno del dominio para la configuracion actual esta dado por Γ. La dimension decualquier modelo se expresa por ndime indicando el numero de dimensiones que ocupa en elespacio el medio continuo dime = 1, 2, 3.

El vector de posicion X de un punto material en la configuracion de referencia Ω viene

5

6 2. Mecanica de Medios Continuos.

dado por:

X = Xiei =

ndime∑

i=1

Xiei (2.2.1)

donde Xi son los componentes de X en la configuracion de referencia y ei son los vectoresunitarios que definen un sistema de coordenadas rectangular cartesiano. Las componentes delvector X son conocidas como coordenadas materiales o tambien como coordenadas Lagran-gianas.

Figura 2.1 Configuraciones del medio continuo

El movimiento de las partıculas del medio continuo esta dado por

x = φ(X, t) = x(X, t) (2.2.2)

donde

x = xiei =

ndime∑

i=1

xiei (2.2.3)

es la posicion de un punto material X pero en la configuracion actual.Las componentes del vector x son llamadas coordenadas espaciales o coordenadas Euleria-

nas y la funcion φ(X, t) nos da la posicion que corresponde a la configuracion de referenciapero en la configuracion actual.

2.2.1. Coordenadas Materiales y Espaciales.

Cuando describimos la cinematica de un medio continuo dos aproximaciones son frecuente-mente usadas. La primera es cuando tomamos las coordenadas materiales Xi y el tiempo t

2.2 Cinematica. 7

como variables independientes, y entonces la descripcion es conocida como descripcion mate-rial o descripcion Lagrangiana.

Por otra parte, si las variables independientes son las coordenadas espaciales xi y el tiempot, entonces nos estaremos refiriendo a una descripcion espacial o descripcion Euleriana.

Ambas descripciones se diferencian esencialmente por el tipo de argumento (coordena-das materiales o espaciales) que aparecen en las funciones matematicas que describen laspropiedades del medio continuo.

Figura 2.2 Descripcion material (izq.) y espacial (der.) de una propiedad

En general, la mecanica de solidos y las estructuras usan la descripcion Lagrangiana mien-tras que la mecanica de fluidos usa la descripcion Euleriana.

2.2.2. Desplazamiento.

La diferencia en un punto material entre su configuracion actual y su configuracion de refe-rencia nos da como resultado un desplazamiento el cual escrito en descripcion material vienedado por

u(X, t) = x−X (2.2.4)

Reemplazando la ecuacion (2.2.1) y la ecuacion (2.2.2) en la ecuacion (2.2.4) nos da comoresultado

u(X, t) = φ(X, t)−φ(X, 0) = φ(X, t)−X (2.2.5)

Ya que para t = 0, x = φ(X, 0) = X, lo que significa que en la configuracion de referencia,x = X. Por el contrario, si las variables independientes son (x, t), la ecuacion inversa delmovimiento se define por

X = φ−1(x, t) = X(x, t) (2.2.6)


Lo que significa que el punto material X se asocia con el lugar que ocupa la variable x en elinstante de tiempo t. De esta manera, el desplazamiento en descripcion euleriana se expresapor

u(x, t) = x−φ−1(x, t) (2.2.7)

2.2.3. Velocidad y Aceleracion.

Para un punto material, la velocidad esta dada por la derivada del vector de posicion. CuandoX se mantiene constante, entonces la derivada se llama derivada material respecto al tiempoo tambien es conocida como derivada total respecto al tiempo.Usando la ecuacion (2.2.2) y la ecuacion (2.2.5), la velocidad material se expresa por

v(X, t) =∂x(X, t)

∂t=

∂u(X, t)

∂t= u(X, t) (2.2.8)

De la misma forma, la aceleracion material se expresa como la derivada de la velocidad respectoal tiempo, y viene dada por

a(X, t) =∂v(X, t)

∂t= v(X, t) = u(X, t) (2.2.9)

Cuando las expresiones estan dadas en descripcion espacial, por ejemplo la velocidad v(x, t) =v(

x(X, t), t)

donde se ha usado la ecuacion (2.2.2), su derivada material puede ser encontradasi usamos

Dvi(x, t)

Dt=

∂vi(x, t)

∂t+

∂vi(x, t)

∂xj

· ∂xj(X, t)

∂t=

∂vi∂t

+∂vi∂xj

vj (2.2.10)

donde ∂vi(x, t)/∂t es la derivada espacial respecto al tiempo y el segundo termino en el ladoderecho de la ecuacion es el termino convectivo, donde ∂vi/∂xj es el gradiente derecho delvector velocidad respecto a las coordenadas espaciales, la cual se puede expresar en notacionindicial por vi,j o en notacion tensorial por v∇. Usando la ecuacion inversa del movimiento,ecuacion (2.2.6), para expresar la velocidad en descripcion espacial, la ecuacion (2.2.10) puedeser escrita como

Dv(x, t)

Dt=

∂v(x, t)

∂t+ v(x, t) · ∇v(x, t) (2.2.11)

donde ∇v es el gradiente izquierdo del vector velocidad con respecto a las coordenadas espa-ciales, las cuales pueden ser expresadas en notacion indicial por ∂jvi. Es importante resaltarque

Dv(x, t)

Dt=

∂v(X, t)

∂t(2.2.12)

2.3 Deformacion. 9

En general, la derivada material respecto al tiempo de cualquier funcion, ya sea un escalar,un vector o un tensor expresado en variables espaciales x y tiempo t se puede obtener con

D(•)Dt

=∂(•)∂t

+ v · ∇(•) (2.2.13)

2.3. Deformacion.

Consideremos en el medio continuo en movimiento una partıcula P en la configuracion dereferencia Ω0, y que ocupa el punto del espacio P´ en la configuracion actual Ω y una partıculaQ situada en un entorno diferencial de P y cuyas disposiciones relativa respecto a esta en losinstantes de referencia y actual vienen dadas por dX y dx respectivamente.

Figura 2.3 Descripcion de la deformacion

Una medida importante de la deformacion comunmente usada en mecanica es el tensor ma-terial gradiente de la deformacion F(X, t) dado por

F =∂x

∂X=

∂φφφ(X, t)

∂Xo Fij =

∂φi

∂Xj

=∂xi

∂Xj

(2.3.1)

el cual relaciona cantidades en la configuracion de referencia con su correspondiente cantidaden la configuracion deformada. Por ejemplo, si consideramos un segmento de lınea infinitesimaldX en la configuracion de referencia, entonces usando la ecuacion (2.3.1), el segmento de lınearesultante dx en la configuracion deformada es

dx = F · dX o dxi = FijdXj (2.3.2)

llamado ensor material gradiente de la deformacion F tambien es conocido como la matrizJacobiana. Otra cantidad importante relacionada con F es el determinante del Jacobianoexpresado por


J = det(F) (2.3.3)

El determinante del Jacobiano es importante ya que nos permite relacionar integrales en laconfiguracion de referencia con su correspondiente contraparte en la configuracion deformada.El tensor material gradiente de la deformacion viene dado por

Fij =∂ui

∂Xj

+∂Xi

∂Xj

=∂ui

∂Xj

+ δij (2.3.4)

donde ∂ui/∂Xj es el tensor material gradiente de los desplazamientos y el termino δij esconocido como delta de Kronecker, y esta puede tomar dos valores unicos

δij =

1 cuando i = j

0 cuando i 6= j(2.3.5)

2.3.1. Medidas de la Deformacion

Consideremos una partıcula del medio continuo, que ocupa el punto del espacio P en laconfiguracion material, y otra partıcula Q de su entorno diferencial separada de la anteriorpor el segmento dX (de longitud dS =

√dX · dX) siendo dx (de longitud dS =

√dx · dx) su

homologo en la configuracion actual.

Figura 2.4 Tensores de deformacion

2.3 Deformacion. 11

En el caso de descripciones lagrangianas, la medida de deformacion mas importante es eltensor de deformacion de Green-Lagrange E(X, t) que se define como

E =1

2

(

FT · F− I)

or Eij =1

2

(

F TikFkj − δij

)

(2.3.6)

el cual se puede expresar en funcion del tensor material gradiente de los desplazamientos,dando como resultado

Eij =1

2

(

∂ui

∂Xj

+∂uj

∂Xi

+∂uk

∂Xi

∂uk

∂Xj

)

(2.3.7)

Para problemas con deformaciones lineales, el tensor de deformaciones infinitesimales ε(X, t)se puede deducir a partir de la ecuacion (2.3.7) simplemente despreciando los terminos nolineales, de donde encontramos

εij =1

2

(

∂ui

∂Xj

+∂uj

∂Xi

)

(2.3.8)

Ahora definamos el tensor espacial gradiente de la velocidad lll(x, t) como

lll =∂v

∂xo lij =

∂vi∂xj

(2.3.9)

el cual se puede descomponer en su parte simetrica y antisimetrica usando

lll =1

2

(

lll + lll T)

+1

2

(

lll − lll T)

(2.3.10)

La parte simetrica del tensor gradiente de la velocidad se define como el tensor velocidad dedeformacion d(x, t) y viene dado por

d =1

2

(

lll + lll T)

o dij =1

2

(

∂vi∂xj

+∂vj∂xi

)

(2.3.11)

Por otro lado, el tensor velocidad de rotacion w(x, t), tambien conocido como tensor spin sedefine como la parte antisimetrica del tensor gradiente de la velocidad expresandose por

w =1

2

(

lll − lll T)

o wij =1

2

(

∂vi∂xj

− ∂vj∂xi

)

(2.3.12)

Calculando la derivada material del tensor material gradiente de la deformacion, ecuacion(2.3.1), nos da como resultado

F =∂v

∂Xo Fij =

∂vi∂Xj

(2.3.13)

y ahora la ecuacion (2.3.9) se puede escribir como


lll = F · F−1 o lij = FikF−1kj =

∂vi∂Xk

∂Xk

∂xj

(2.3.14)

donde se ha usado el tensor espacial gradiente de la deformacion F−1(x, t) que se expresa por

F−1 =∂X

∂x=

∂φφφ−1(x, t)

∂xo F−1

kj =∂φ−1

i

∂xj

=∂Xk

∂xj

(2.3.15)

Si calculamos la derivada material del tensor de deformacion de Green-Lagrange, ecuacion(2.3.6), obtenemos

E =1

2

(

FT · F+ FT · F

)

= FT · d · F (2.3.16)

que en el caso de dinamica estructural se utiliza para calcular el amortiguamiento viscoelasticode estructuras.

2.4. Ecuaciones de Conservacion.

La mecanica de medios continuos se asienta en una serie de postulados o principios generalesque se suponen validos siempre, independientemente del tipo de material y del rango dedesplazamientos o de deformaciones. Entre estos se encuentran los denominados Postuladosde conservacion-balance que son los siguientes: Conservacion de la masa, Balance del momentocinetico (o cantidad de movimiento), Balance del momento angular (o momento de la cantidadde movimiento),Balance de la energıa (o primer principio de la termodinamica).

Las ecuaciones de conservacion reflejan cantidades fısicas para un medio continuo, lascuales siempre se deben de satisfacer y que no tienen restriccion alguna de aplicacion paraningun material. La aplicacion de las ecuaciones de conservacion al dominio Ω de un mediocontinuo B nos arroja como resultado una ecuacion en funcion de integrales. Ya que lasecuaciones integrales se deben de satisfacer para cualquier parte del dominio o subdominio delmedio continuo, entonces las ecuaciones de conservacion se pueden expresar como ecuacionesen derivadas parciales

Antes de continuar con las ecuaciones de conservacion, la derivada material de una ecuacionintegral para cualquier propiedad espacial se define por

D

Dt

∫

Ω

(•)dΩ =

∫

Ω

(

D(•)Dt

+ (•)∇ · v)

dΩ (2.4.1)

la cual es conocida como teorema de transporte de Reynolds La divergencia ∇· (•) respecto acoordenadas actuales tambien puede ser expresada por div(v) o en notacion indicial por vi,i.

2.4 Ecuaciones de Conservacion. 13

2.4.1. Conservacion del Momento Lineal y Angular.

La conservacion de momento lineal dice que la derivada respecto al tiempo del momento linealdeber ser igual a la suma de todas las fuerzas aplicadas en un medio continuo.Si consideramos un dominio arbitrario Ω con su respectivo contorno Γ en configuracion de-formada, el cual se encuentra sujeto a fuerzas masicas ρb y fuerzas de superficie t, donde bes una fuerza por unidad de masa, entonces la fuerza total en el sistema es

f(t) =

∫

Ω

ρb(x, t)dΩ +

∫

Γ

t(x, t)dΓ (2.4.2)

Por definicion, el momento lineal es igual al producto de la densidad ρ y la velocidad v entodo el dominio Ω en estudio, lo cual se expresa por

p(t) =

∫

Ω

ρv(x, t)dΩ (2.4.3)

Por definicion, la conservacion del momento lineal viene dado por

D

Dt

∫

Ω

ρv(x, t)dΩ =

∫

Ω

ρb(x, t)dΩ +

∫

Γ

t(x, t)dΓ (2.4.4)

y la ecuacion de continuidad dada por

Dρ

Dt+ ρ∇ · v = 0 (2.4.5)

Substituyendo las ecuaciones (2.4.2) y (2.4.5) en la ecuacion (2.4.3), la derivada respecto altiempo del momento lineal es

D

Dt

∫

Ω

ρv(x, t)dΩ =

∫

Ω

ρDv(x, t)

DtdΩ (2.4.6)

La integral del contorno en la ecuacion (2.4.4) se puede transformar en una integral de dominiocomo

∫

Γ

t(x, t)dΓ =

∫

Ω

∇ · σ(x, t)dΩ (2.4.7)

Substituyendo las ecuaciones (2.4.6) y (2.4.7) en la ecuacion (2.4.4) se obtiene

∫

Ω

(

ρDv

Dt− ρb−∇ · σ

)

dΩ = 0 (2.4.8)

Y, ya que esta relacion integral se cumple para cualquier dominio arbitrario, encontramos que

ρDv

Dt= ∇ · σ+ ρb o ρ

DviDt

=∂σij

∂xj

+ ρbi (2.4.9)

Esta ecuacion es conocida como la ecuacion de momento.


En descripcion Euleriana la ecuacion de momento esta dada como

ρ

(

∂v

∂t+ v · ∇v

)

= ∇ · σ+ ρb o ρ

(

∂vi∂t

+ vj∂jvi

)

=∂σij

∂xj

+ ρbi (2.4.10)

donde todas las cantidades se encuentran expresadas en coordenadas espaciales. La ecuacion(2.4.10) es la que en general se utiliza en problemas de mecanica de fluidos. Cuando estaecuacion se usa para hacer una discretizacion con elementos finitos, se dice que se trata deuna formulacion euleriana

En descripcion Lagrangiana la ecuacion de momento esta dada como

ρ∂v

∂t= ∇ · σ+ ρb o ρ

∂vi∂t

=∂σij

∂xj

+ ρbi (2.4.11)

Cuando se estudian solidos y estructuras no lineales utilizando discretizaciones con elementosfinitos, la ecuacion (2.4.11) recibe el nombre de formulacion lagrangiana actualizada.

La conservacion de momento angular se obtiene mediante el producto vectorial entre elvector de posicion actual x por cada uno de los terminos de la ecuacion de momento lineal,ecuacion (2.4.4), de donde obtenemos

D

Dt

∫

Ω

x× ρv(x, t)dΩ =

∫

Ω

x× ρb(x, t)dΩ +

∫

Γ

x× t(x, t)dΓ (2.4.12)

La conservacion lineal de momento tambien se puede expresar en configuracion de referencia.La conservacion lineal de momento en configuracion de referencia y coordenadas lagrangianases

ρ0∂v

∂t= ∇0 ·P+ ρ0b o ρ0

∂vi∂t

=∂Pji

∂Xj

+ ρ0bi (2.4.13)

Esta ecuacion se conoce como la descripcion lagrangiana de la ecuacion de momento. Si seestudian solidos y estructuras no lineales utilizando discretizaciones con elementos finitos, laecuacion (2.4.13) recibe el nombre de formulacion lagrangiana total.

2.5. Ecuaciones Constitutivas.

Las ecuaciones son ecuaciones que permiten describir el comportamiento y propiedades de unmedio continuo en especifico.

2.5.1. Elasticidad Lineal.

Las hipotesis simplificativas de la teorıa de la elasticidad lineal basicamente son Deformacionesinfinitesimales Existencia de un estado neutro Se considera en principio que el proceso dedeformacion es isotermico y adiabatico

2.5 Ecuaciones Constitutivas. 15

2.5.2. Ley de Hooke Generalizada.

La ley de Hooke para problemas unidimensionales supone la proporcionalidad entre la tension,σ, y la deformacion, ǫ, a traves de la constante de proporcionalidad denominada modulo deelasticidad E

σ = Eǫ (2.5.1)

En la teorıa de la Elasticidad esta proporcionalidad se generaliza al caso multidimensionalsuponiendo la linealidad de la relacion entre las componentes del tensor de tensiones σ y dedeformaciones ǫ en lo que se denomina ley de Hooke generalizada

σ(x, t) = C : ǫ(x, t) o σij = Cijklǫkl (2.5.2)

La ecuacion (2.5.2) representa la ecuacion constitutiva para un material elastico lineal.El tensor de cuarto orden C es denominado tensor de constantes elasticas. Tiene en prin-

cipio 34 = 81 componentes. Sin embargo, debido a la simetrıa de σ y ǫ, debe presentar ciertassimetrıas ante el cambio de indices, Cijkl = Cjikl y Cijkl = Cijlk representan las simetrıasmayores, mientras Cijkl = Cklij son simetrıas menores. Como consecuencia el numero deconstantes distintas en el tensor de constantes elasticas C se reduce a 21.

2.5.2.1. Ley de Hooke para elasticidad lineal isotropa.

Para el caso de un material elastico lineal, las propiedades elasticas estan contenidas enel tensor C, este tensor es isotropico si mantiene sus componentes en cualquier sistema decoordenadas cartesiano y esta dado por

C = λ1⊗ 1+ 2µI o Cijkl = λδijδkl + µ [δikδjl + δilδjk] (2.5.3)

donde λ, µ son conocidas como constantes de Lame, que caracterizan el comportamientoelastico de material y que deben ser obtenidas experimentalmente. La condicion de isotropıareduce el numero de constantes elasticas del material de 21 a 2.Sustituyendo la ecuacion (2.5.3) en (2.5.2) se obtiene la ecuacion constitutiva elastica linealisotropa, tambien llamada Ley de Hooke

σ = λTr (ǫ)1+ 2µǫ o σij = λδijǫll + 2µǫij (2.5.4)

De la inversion de la Ley de Hooke se desprenden dos propiedades elasticas el modulo deYoung o modulo de deformacion longitudinal E y el coeficiente de Poisson ν definidos como

E =µ (3λ+ 2µ)

λ+ µy ν =

λ

2 (λ+ µ)(2.5.5)

y las constantes de Lame como

λ =νE

(1 + ν) (1− 2ν)y µ =

E

2 (1 + ν)(2.5.6)


donde µ = G, G= Modulo de deformacion transversal.

2.6. Fluido Newtoniano.

Una ecuacion que relaciona de manera lineal al tensor de esfuerzos con la derivada del tensorde deformacion en un fluido se conoce como ecuacion constitutiva para fluidos newtonianos.

De acuerdo con el principio de pascal el estado tensional de un fluido en reposo esta ca-racterizado por un tensor de tensiones de la forma

σ = −p01 o σij = −p0δij (2.6.1)

donde p0 es la denominada presion hidrostatica, la cual representa una tension normal decompresion constante sobre cualquier plano.

Figura 2.5 Estado tensional en un fluido en reposo

La ecuacion constitutiva mecanica para los fluidos newtonianos, (considerando que el fluidoesta en movimiento) puede escribirse como

σ = −p1+C:d o σij = −pδij +Cijkldkl (2.6.2)

donde C es un tensor constitutivo (de viscosidad) constante de cuarto orden.Empleando las ecuaciones (2.3.11) y (2.5.3) para sustituirlas en (2.6.2) obtenemos

σij = −pδij + λdllδij + 2µdij (2.6.3)

donde dll = ∇ · v es la divergencia de la velocidad. Si se substituye la restriccion de Stokes,λ+ 2

3µ = 0, en la ecuacion (2.6.3) para tener una relacion entre λ y µ, se encuentra la siguiente

ecuacion

2.7 Ecuaciones de Navier-Stokes. 17

σij = −(

p+2

3µ∇ · v

)

δij + 2µdij o σ = −(

p+2

3µ∇ · v

)

I+ 2µd (2.6.4)

que se conoce como ecuacion constitutiva para fluidos Newtonianos. Para fluidos incompre-sibles, la ecuacion de continuidad, ecuacion (2.4.5) se substituye en la ecuacion (2.6.4) y seobtiene la ecuacion constitutiva para fluidos incompresibles

σij = −pδij + 2µdij o σ = −pI+ 2µd (2.6.5)

2.7. Ecuaciones de Navier-Stokes.

Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y George GabrielStokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describenel movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan cualquier fenomeno en el que seinvolucren fluidos newtonianos. Ver referencia Valdes y otros (2007).

Esencialmente la ecuacion de Navier-Stokes es la ecuacion del movimiento expresada uni-camente en funcion del campo de velocidades v(x, t) y de presion p(x, t). Sustituyendo laecuacion constitutiva para un fluido Newtoniano, ecuacion (2.6.3) en la ecuacion del momen-to en descripcion Euleriana, ecuacion (2.4.10), de donde se obtiene

ρ

(

∂vi∂t

+ vj∂jvi

)

= − ∂p

∂xi

+ ρbi +∂

∂xj

(

2µdij −2

3µ(∇ · v)δij

)

(2.7.1)

Esta ecuacion representa la forma general de las ecuaciones de Navier-Stokes. Si µ se tomacomo constante, la derivada de la parte derecha de la ecuacion se puede expresar como

∂

∂xj

(

2µdij −2

3µ(∇ · v)δij

)

= µ

(

∇2vi +1

3

∂

∂xi

(∇ · v))

(2.7.2)

donde ∇2vi es el Laplaciano1 de vi.

Para fluidos incompresibles, la ecuacion de continuidad (∇·v = 0), se substituye en la ecuacion(2.7.1) y las ecuaciones de Navier-Stokes se escriben de forma simplificada como

ρ

(

∂vi∂t

+ vj∂jvi

)

= − ∂p

∂xi

+ ρbi + µ∇2vi (2.7.3)

Si ademas despreciamos la viscosidad, como ocurre en algunos casos cuando el flujo en estudiose encuentra lejos de la capa lımite, tenemos que

1∇ 2vi =∂

∂xj

∂vi

∂xj= ∂

2vi

∂x2

1

+ ∂2vi

∂x2

2

+ ∂2vi

∂x2

3


ρ

(

∂vi∂t

+ vj∂jvi

)

= − ∂p

∂xi

+ ρbi (2.7.4)

y de esta forma se ha encontrado la ecuacion de Euler.

Si se conoce la velocidad caracterıstica vc y la longitud caracterıstica del sistema, entoncesel numero de Reynolds se define como Re = ρvclc/µ. Si en un flujo el numero de Reynoldses pequeno, el termino convectivo se puede despreciar lo que da como resultado la siguienteecuacion

ρ∂vi∂t

+∂p

∂xi

− µ∇2vi = ρbi (2.7.5)

que se conoce como flujo de Stokes Sin embargo, es comun encontrar que la ecuacion (2.7.5)se expresa sin el termino inercial.

Capıtulo 3

El Metodo de los Elementos Finitos

3.1. Concepto de Elemento Finito

3.1.1. Sistema Discreto y Continuo

Si estudiaramos un sistema y lo separamos en sus componentes o elementos podriamos tenerdos clases de sistemas un sistema discreto o un sistema continuo. Se dice que se tiene un sis-tema discreto cuando dicho sistema tiene un numero finito de componentes bien definidas ypasa a ser un problema discreto. Un sistema continuo se tiene cuando la subdivision prosigueindefinidamente, el problema solo se puede definir haciendo uso de la ficcion matematica deinfinitesimo, ello nos lleva a ecuaciones diferenciales o expresiones equivalentes con un nume-ro infinito de elementos. Un sistema discreto se puede resolver generalmente sin dificultad,mientras que para dar solucion a un sistema continuo se debe llevar a cabo formulaciones ma-tematicas realizando una aproximacion de la solucion, teniendo entonces una discretizaciondel sistema continuo.

3.1.2. Definicion del Proceso General del MEF

El Metodo de los Elementos Finitos (MEF) se puede resumir en dos pasos generales: el primeroes dividir el continuo en un numero finito de elementos, cuyo comportamiento se especificamediante un numero finito de parametros. El segundo es llevar a cabo un ensamblaje de loselementos. Ver referencia Valdes (2008).

3.2. Discretizacion del MEF para Solidos

19

20 3. El Metodo de los Elementos Finitos

3.2.1. Trabajo Virtual

La ecuacion Fundamental para formular una aproximacion por elementos finitos es el principiodel trabajo virtual, la cual es la forma debil. El principio del trabajo virtual surge comoconsecuencia de la forma fuerte de la ecuacion de momento y es valido tanto si las relacionesentre tensiones y deformaciones (o entre tensiones y velocidades de deformacion) son linealeso no lineales.

Para formular la forma debil, la funcion de test δui(X) y la funcion de prueba ui(X, t) sonrequeridas. El espacio de la funcion de test esta definido como:

δui(X) ∈ U0, U0 =

δui |δui ∈ C0(X), δui = 0 en ΓD

(3.2.1)

donde C0 describe la continuidad de la funcion y el dominio Γ0 esta definida por Γ0 = ΓD∪ΓN .

En tanto que el espacio de la funcion de prueba para los desplazamientos esta dado por:

ui(X, t) ∈ U ,U =

ui |ui ∈ C0(X), ui = ui en ΓD

(3.2.2)

∫

Ω

δui

(

∂σij

δxj

+ ρbi

)

dΩ = 0 (3.2.3)

Esta forma debil es usada debido a que el espacio de la funcion de prueba para los desplaza-mientos necesita tener continuidad C1. Para dar solucion se realiza una integracion por partesdel termino senalado de la ecuacion 3.2.3. desarrollando tenemos:

∫

Ω

(δǫijσij − δuiρbi) dΩ−∫

ΓN

δuitidΓ = 0 (3.2.4)

donde ti = σijni

La ecuacion 3.2.4 representa el principio del trabajo virtual la cual puede ser escrita de lasiguiente forma:

δW int − δWext = 0 (3.2.5)

donde:

δW int =

∫

Ω

δǫijσijdΩ o δW int =

∫

Ω

δǫ : σdΩ (3.2.6)

δWext =

∫

Ω

δuiρbidΩ +

∫

ΓN

δuitidΓ o δWext =

∫

Ω

ρδu · bdΩ +

∫

ΓN

δu · tdΓ (3.2.7)

Las cuales representan el trabajo virtual externo e interno respectivamente.

3.2 Discretizacion del MEF para Solidos 21

3.2.2. Discretizacion para Geometrıa Lineal

Es asumido que el dominio Ω esta discretizado por un numero finito de elementos que con-forman la malla de los elementos finitos. Para cada elemento finito de la malla, los desplaza-mientos estan aproximados por:

uhi (x, t) =

nnode∑

I=1

Ni(x)uiI(t) ∀i = 1, ndime (3.2.8)

donde NI(x) son las funciones de forma para cada nodo, nnode es el numero de nodos para elelemento finito y uiI(t) son el valor del desplazamiento nodal en nodo I con direccion i. Si seusa la misma funcion de forma en la discretizacion para la funcion de prueba como para lafuncion de test, entonces la forma dedil es conocida como la forma debil de Galerkin.

La discretizacion de la funcion de test esta escrita como:

δuhi (x) =

nnode∑

I=1

NI(x)δuiI ∀i = 1, ndime (3.2.9)

Si el tensor de deformaciones infinitesimales esta escrito en la forma:

ǫkl =1

2

(

∂uk

∂xl

+∂ul

∂xk

)

=1

2

(

∂ui

∂xl

δik +∂ui

∂xk

δil

)

(3.2.10)

donde los subındices ij han sido cambiados por los subındices kl por simple conveniencia ylos desplazamientos u son aproximados por uh. Entonces sustituyendo la ecuacion 3.3.7 en laecuacion 3.2.10. obtenemos:

ǫkl =1

2

nnode∑

I=1

(

∂NI(x)

∂xl

δik +∂NI(x)

∂xk

δil

)

uiI(t) ∀i = 1, ndime (3.2.11)

Definiendo el tensor deformacion-desplazamiento de cuarto orden como:

BiklI =1

2

nnode∑

I=1

(

∂NI(x)

∂xl

δik +∂NI(x)

∂xk

δil

)

∀i = 1, ndime (3.2.12)

Entonces el tensor de deformaciones infinitesimales se puede expresar como:

ǫkl = BiklIuiI (3.2.13)

Encontrando una metodologia similar para la discretizacion de δǫkl se tiene la siguiente ecua-cion:


δǫkl = BiklIδuiI (3.2.14)

Recordando que el trabajo puede ser obtenido como el producto de una fuerza por distancia,las fuerzas internas surgen de el trabajo virtual interno como:

δW int = δuiIfintil =

∫

Ω

δǫklσkldΩ (3.2.15)

Sustituyendo la ecuacion 3.2.14 en la parte derecha de la ecuacion 3.3.14, tenemos:

δW int = δuiIfintil = δuiI

∫

Ω

BiklIσkldΩ (3.2.16)

de donde encontramos que las fuerzas internas quedan expresadas como:

f intil =

∫

Ω

BiklIσkldΩ (3.2.17)

donde el tensor de esfuerzos se puede encontrar usando apropiadamente una ecuacion consti-tutiva y reemplazando la ecuacion 3.2.13 tenemos:

σkl = Cklmnǫmn = CklmnBjmnJujJ(3.2.18)

Hasta aquı es recomendable el uso de la notacion de Voigt para expresar la Ecuacion 3.2.17de la siguiente manera:

f inta =

∫

Ω

BTabσbdΩ o fint =

∫

Ω

BT σ dΩ o f intI =

∫

Ω

BTI σ dΩ (3.2.19)

donde las fuerzas internas f inta = f int

iI y la posicion de los subındices esta dada por:

a = (I − 1)ndime + i (3.2.20)

Las componentes de esfuerzo de Cauchy son transformadas por la regla de Voigt para proble-mas en 3D como se muestra en el cuadro 3.1.

El tensor deformacion-desplazamientos BI para un nodo en particular I en notacion de Voigtpara problemas de 3D esta dado por 3.2.21.

3.2 Discretizacion del MEF para Solidos 23

σij σa

i j a1 1 12 2 23 3 32 3 41 3 51 2 6

Tabla 3.1 Regla de Voigt para esfuerzos en 3D

σij σa

i j a1 1 12 2 21 2 3

Tabla 3.2 Regla de Voigt paara esfuerzos en 2D

BI =

∂NI

∂x10 0

0 ∂NI

∂x20

0 0 ∂NI

∂x3

0 ∂NI

∂x3

∂NI

∂x2

∂NI

∂x30 ∂NI

∂x1

∂NI

∂x2

∂NI

∂x10

(3.2.21)

De manera similar se producen para 2D teniendo el cuadro 3.2 para la transformacion deVoigt.


El tensor deformacion-desplazamientos:

BI =

∂NI

∂x10

0 ∂NI

∂x2

∂NI

∂x2

∂NI

∂x1

(3.2.22)

Algunas veces se prefiere exprezar la ecuacion 3.2.19 de la siguiente forma:

fintI =

∫

Ω

BTI CBJuJdΩ (3.2.23)

donde σ = C ǫ y ǫ = BJuJ . Por consecuencia la rigidez esta dada por:

KIJ =

∫

Ω

BTI CBJdΩ (3.2.24)

Y entonces las fuerzas internas se quedan exprezadas por:

fintI = KIJuJ (3.2.25)

3.2.3. Discretizacion para Geometrıa No-Lineal

Para no linealidad tenemos una discretizacion similar siguiendo el mismo procedimiento te-nemos que, las fuerzas internas usando notacion de Voigt son

f intiI =

∫

Ω0

BTabSbdΩ0f

intiI =

∫

Ω0

BTSdΩ0fintI =

∫

Ω0

BTI SdΩ0 (3.2.26)

y el tensor BI en notacion de Voigt para problemas en 3D es

BI =

∂NI

∂ξ1∂xh

1

∂ξ1∂NI

∂ξ1∂xh

2

∂ξ1∂NI

∂ξ1∂xh

3

∂ξ1

∂NI

∂ξ2∂xh

1

∂ξ2∂NI

∂ξ2∂xh

2

∂ξ2∂NI

∂ξ2∂xh

3

∂ξ2

∂NI

∂ξ3∂xh

1

∂ξ3∂NI

∂ξ3∂xh

2

∂ξ3∂NI

∂ξ3∂xh

3

∂ξ3

∂NI

∂ξ2∂xh

1

∂ξ3+ ∂NI

∂ξ3∂xh

1

∂ξ2∂NI

∂ξ2∂xh

2

∂ξ3+ ∂NI

∂ξ3∂xh

2

∂ξ2∂NI

∂ξ2∂xh

3

∂ξ3+ ∂NI

∂ξ3∂xh

3

∂ξ2

∂NI

∂ξ1∂xh

1

∂ξ3+ ∂NI

∂ξ3∂xh

1

∂ξ1∂NI

∂ξ1∂xh

2

∂ξ3+ ∂NI

∂ξ3∂xh

2

∂ξ1∂NI

∂ξ1∂xh

3

∂ξ3+ ∂NI

∂ξ3∂xh

3

∂ξ1

∂NI

∂ξ1∂xh

1

∂ξ2+ ∂NI

∂ξ2∂xh

1

∂ξ1∂NI

∂ξ1∂xh

2

∂ξ2+ ∂NI

∂ξ2∂xh

2

∂ξ1∂NI

∂ξ1∂xh

3

∂ξ2+ ∂NI

∂ξ2∂xh

3

∂ξ1

(3.2.27)

3.3 Elemento Finito de Membrana 25

Las fuerzas externas estan dadas por

f extiI =

∫

Ω0

NIρ0bidΩ0 +

∫

ΓN0

NI t0i dΓ0 (3.2.28)

y las fuerzas cineticas, las cuales son una consecuencia del trabajo virtual cinetico, vienendadas por

f ciniI =

∫

Ω0

NIρ0NJ uiJdΩ0 = f ciniI =

∫

Ω0

NIρ0NJdΩ0 uiJ (3.2.29)

Aunque es comun expresar la fuerzas cineticas como el producto de la matriz de masa y lasaceleraciones

MijIJ = δij

∫

Ω0

ρ0NINJdΩ0 (3.2.30)

Expresando las fuerzas cineticas como

f ciniI = MijIJUiJ = MijIJajJ (3.2.31)

Finalmente la ecuacion de movimiento esta dada por

f intiI +MijIJajJ = f ext

iI o fint +Ma = fext (3.2.32)

3.3. Elemento Finito de Membrana

3.3.1. Formulacion de Membrana.

La formulacion de membrana se tomo directamente de las investigaciones realizadas porValdes y otros (2007). Lo primero que se tiene que hacer es definir las coordenadas a uti-lizar en la formulacion. Puesto que en general las membranas pueden ser estructuras curvas,en este trabajo se hace la deduccion de la formulacion utilizada en coordenadas curvilineas.

Para empezar, se definen las coordenadas curvilinear en configuracion de referencia, quese expresan por

X = X(

ξ1, ξ2)

(3.3.1)

mientras que las coordenadas curvilineas en configuracion deformada se define por

x = x(

ξ1, ξ2, t)

(3.3.2)

La razon de escribir tanto las coordenadas en configuracion de referencia como deformadaes porque al tratarse de estructuras altamente no-lineales, se hara un planteamiento que nospermita hacer una formulacion geometricamente no-lineal.


Figura 3.1 Coordenadas curvilineas.

Las bases covariantes de coordenadas curvilineas definidas en cornfiguracion de referenciay deformada respectivamente son:

Gα =∂X

∂ξα, gα =

∂x

∂ξα(3.3.3)

y forman un plano tangente a la superficie de la membrana, tal como se aprecia en lafigura 3.2

Figura 3.2 Vector base covariante formando un plano tangente.

De esta manera, las normales a la membrana se determinan por


G3 = G1 ×G2, N =G3

‖G3‖, g3 = g1 × g2, n =

g3

‖g3‖(3.3.4)

en la configuracion de referencia y deformanda respectivamente, y las normales son normaliza-das de manera que sean unitarias. Los componentes metricos del tensor covariante se definenpor

Gαβ = Gα ·Gβ, gαβ = gα · gβ (3.3.5)

para la configuracion de referencia y deformada respectivamente. Los componentes covariantesdel tensor metrico se definen por

Gα = Gαβ ·Gβ, gα = gαβ · gβ (3.3.6)

en configuracion de referencia y deformada respectivamente. Los vectores contravariantes enΩ0 y Ω son respectivamente

Gα = Gαβ ·Gβ, gα = gαβ · gβ (3.3.7)

donde los componentes contravariantes del tensor metrico se obtienen a partir de

Gα ·Gβ = δαβ , gα · gβ = δαβ (3.3.8)

donde δαβ es la Delta de Kronecker y tiene los siguientes valores

δαβ =

1 cuando α = β

0 cuando α 6= β(3.3.9)

El tensor material gradiente de deformacion en coordenadas curvilineas se expresa por

F = gα ⊗Gα, FT = Gα ⊗ gα, F−1 = Gα ⊗ gα, F−T = gα ⊗Gα (3.3.10)

cuyos valores se pueden sustitutir en el tensor de deformacion de Green-Lagrange para obtener

E =1

2

(

FT · F− I)

=(

Gα ⊗ gα · gβ ⊗Gβ −GαβGα ⊗Gβ

)

(3.3.11)

de donde se obtienen los componentes sobre la superficie de la membrana es un estado deesfuerzo plano

E = EαβGα ⊗Gβ, Eαβ =

1

2(gαβ −Gαβ) (3.3.12)

Utilizando una ecuacion constitutiva apropiada, en este caso la ecuacion bidimensional deesfuerzo plano, se obtienen los valores del tensor de esfuerzos, que conjugado en potenciaresulta ser el 2 tensor de esfuerzos de Piola-Kirchhoff, definido como


S = SαβGα ⊗Gβ (3.3.13)

Finalmente, el trabajo virtual interno expresado en coordenadas curvilineas es

δW int =

∫

Ω0

δEαβSαβdΩ0 (3.3.14)

el cual tras una apropiada discretizacion se terminara expresando en coordenadas cartesianas.

3.3.2. Discretizacion del MEF para Membrana.

3.3.2.1. Discretizacion en coordenadas curvilineas.

La discretizacion se plantea para una Formulacion Lagrangiana Total y los elementos finitosutilizados provienen de un espacio isoparametrico, cuyas coordenadas locales se denotan porξα y representan las coordenadas curvilıneas del elemento plano. De esta manera, la ecuacionde posicion en coordenadas materiales se discretiza por

Xh (ξ) =

nnode∑

I=1

NI (ξ)XI o Xhi (ξ) =

nnode∑

I=1

NI (ξ)XiI ∀i = 1, ndime (3.3.15)

donde NI (ξ) representa las funciones de forma del elemento. De manera similar, la ecuaciondel movimiento se discretiza por

xh (ξ, t) =

nnode∑

I=1

NI (ξ)xI(t) o xhi (ξ, t) =

nnode∑

I=1

NI (ξ) xiI(t) ∀i = 1, ndime (3.3.16)

y el campo de los desplazamientos resulta ser

uh (ξ, t) =

nnode∑

I=1

NI (ξ)uI(t) o uhi (ξ, t) =

nnode∑

I=1

NI (ξ) uiI(t) ∀i = 1, ndime (3.3.17)

Susutituyendo los valores adecuados, se obtienen los vectores base covariante en coordenadascurvilineas para la configuracion de referencia que se expresa por

Gα =∂

∂ξα

(

nnode∑

I=1

NI (ξ)XI

)

=

nnode∑

I=1

NI,α (ξ)XI (3.3.18)

donde la derivada de las funciones de forma es

NI,α =∂NI(ξ)

∂ξα(3.3.19)


Siguiendo el mismo procedimiento se obtienen los componentes del vector base covariante encoordenadas curvilineas para la configuracion deformada, siendo estas

gα =

nnode∑

I=1

NI,αxI(t) (3.3.20)

Con estas ecuaciones, se obtienes los componentes del tensor de deformacion de Green-Lagrange

Eαβ =1

2(gαβ −Gαβ) (3.3.21)

cuya variacion es

δEαβ =1

2δ(gαβ −Gαβ) =

1

2δgαβ (3.3.22)

Ahora se desarrolla la siguiente ecuacion que nos permitira discretizar de manera adecuadala variacion anterior

δgαβ = δgα · gβ + gα · δgβ (3.3.23)

cuyas componentes se discretizan por

δgα =

nnode∑

I=1

NI,αδxI =

nnode∑

I=1

NI,αδuI (3.3.24)

Sustituyendo los valores correspondientes se puede obtener la variacion de los tensores metricosdando lugar a

δgαβ =

nnode∑

I=1

NI,αδuiI ·nnode∑

J=1

NJ,βxiJ +

nnode∑

J=1

NJ,αxiJ ·nnode∑

I=1

NI,βδuiI (3.3.25)

con lo cual se obtiene la variacion del tensor de deformacion de Green-Lagrange que se expresamediante

2δEαβ =

nnode∑

I=1


J=1

NJ,βxiJ +

nnode∑

J=1

NJ,αxiJ ·nnode∑

I=1

NI,βδuiI (3.3.26)

y finalmente se obtiene el trabajo virtual interno, que discretizado queda de la siguientemanera

2δW int =

∫

Ω0

nnode∑

I=1


J=1

NJ,βxiJSαβ +

nnode∑

J=1

NJ,αxiJ ·nnode∑

I=1

NI,βδuiISαβdΩ0 (3.3.27)

Por otro lado, sabemos que el trabajo virtual interno se puede expresar por


δW int =

∫

Ω0

nnode∑

I=1

δuiIfintiI ∀i = 1, ndime (3.3.28)

De donde se obtiene las fuerzas internas para la membrana

f intiI =

∫

Ω0

1

2

nnode∑

J=1

(NI,αNJ,β +NJ,αNI,β)xiJSαβdΩ0 (3.3.29)

A partir de la ecuacion anterior podemos definir el tensor de deformacion-desplazamiento encoordenadas curvilineas como

BcurαβiI =

1

2

nnode∑

J=1

(NI,αNJ,β +NJ,αNI,β)xiJ (3.3.30)

y las fuerzas internas se expresan de manera sencilla por

f intiI =

∫

Ω0

BcurαβiISαβdΩ0 (3.3.31)

donde

BcurαβiI =

1

2(NI,αx

hi,β +NI,βx

hi,α) (3.3.32)

y

xhi,α =

nnode∑

J=1

= NJ,αxiJ (3.3.33)

Si utilizamos la notacion de Voigt, se pueden expresar las fuerzas internas en coordenadascurvilineas por

f inta =

∫

Ω0

[BTab]

curSbcurdΩ0 o f intI =

∫

Ω0

[BTI ]

curScurdΩ0 (3.3.34)

donde ahora la matriz deformacion-desplazamiento se expresa por

BcurI =

∂NI

∂ξ1∂xh

1

∂ξ1∂NI

∂ξ1∂xh

2

∂ξ1∂NI

∂ξ1∂xh

3

∂ξ1

∂NI

∂ξ2∂xh

1

∂ξ2∂NI

∂ξ2∂xh

2

∂ξ2∂NI

∂ξ2∂xh

3

∂ξ2

∂NI

∂ξ1∂xh

1

∂ξ2+ ∂NI

∂ξ2∂xh

1

∂ξ1∂NI

∂ξ1∂xh

2

∂ξ2+ ∂NI

∂ξ2∂xh

2

∂ξ1∂NI

∂ξ1∂xh

3

∂ξ2+ ∂NI

∂ξ2∂xh

3

∂ξ1

(3.3.35)

Con las ecuaciones anteriores, se encuentra que la expresion del trabajo virtual interno ennotacion de Voigt se puede escribir por


δW int = δETb curSbcur = δuaT [δBT

ab]curSbcur (3.3.36)

de donde la variacion del tensor de Green-Lagrange en coordenadas curvilineas y en notacionde Voigt es

δEcurb = Bcur

ba δua (3.3.37)

3.3.2.2. Discretizacion en coordenadas cartesianas

Las ecuaciones anteriores se encuentran expresadas en coordenadas curvilineas, sin embargopara nuestros analisis requerimos que se expresen en coordenadas cartesianas, para lo cualpartiremos de la ecuacion de transformacion de sistemas expresada por

Ecur = Jcurξ ElocJxi (3.3.38)

donde el Jacobiano de transformacion en la configuracion de referencia es

Jξ =

[

G1 · eloc1 G2 · eloc1

G1 · eloc2 G2 · eloc2

]

=

[

J11 J120 J22

]

(3.3.39)

De manera similar, se puede obtener la siguiente ecuacion que transforma de coordenadascurvilineas a cartesianas

Eloc = T Tξ E

curTξ (3.3.40)

donde la inversa del jacobiano se denota por

Tξ = ξ−1 =

[

T11 T12

0 T22

]

(3.3.41)

donde

T11 =1

J11, T12 =

−J12J11J22

, T22 =1

J22(3.3.42)

En notacion de Voigt, las ecuaciones anteriores se escriben mediante

Eloc = [Q]EcurElocc = QcbE

curb (3.3.43)

Tambien se obtiene por otro lado la variacion del tensor de Green-Lagrange dando lugar a

δEloc = TTξ δE

curTξ (3.3.44)

el cual puede ser escrito en notacion de Voigt por

δEloc = [Q]δEcur o δElocc = QcbδE

curb (3.3.45)


En las ecuaciones anteriores se ha utilizado la matriz de transformacion Q, que da el cambiode coordenadas curvilineas a coordenadas cartesianas, y se define por

Q =

T 211 0 0T 212 T 2

22 T11T12

2T11T12 0 T11T22

(3.3.46)

Entonces el trabajo virtual interno escrito en coordenadas cartesianas locales para cada ele-mento finito es

δW int = δETc locSloc

c = δuaT [BTac]

locSlocc = δuaT [BT

ab]curQT

bcSlocc (3.3.47)

donde el tensor deformacion-desplazamiento expresado en coordenadas cartesianas y en no-tacion de Voigt es

Blocca = QcbB

curba o Bloc = QBcur (3.3.48)

Finalmente las fuerzas internas coordenadas cartesianas locales para cada elemento finito yen notacion de Voigt estan dadas por

fintI =

∫

Ω0

[BT

I]cur[QT]SlocdΩ0 =

∫

Ω0

[BT

I]locSlocdΩ0 (3.3.49)

Hay que resaltar que la ecuacion anterior se encuentra definida solamente en coordenadascartesianas locales, lo que quiere decir que es valida solamente para materiales isotropos.Sin embargo, en este trabajo se requiere de la parte membranas solo como una componentede la parte de flexion que en conjunto dara las fuerzas internas del elemento lamina, que acontinuacion se complementa.

3.4. Elemento Finito de Lamina (Shell)

3.4.1. Formulacion del Elemento Lamina

El vector de posicion R sobre la superficie media en la configuracion de referencia esta definidopor las coordenadas curvilineas independientes ξ1, ξ2 y ζ como (Ver Valdes y otros (2007))

R(ξ1, ξ2, ζ) = X(ξ1, ξ2) + ζN(ξ1, ξ2) (3.4.1)

donde N es la normal para la superficie media sobre el dominio Ω0 y −h0

2≤ ζ ≤ h0

2siendo h0

el espesor de la shell en la configuracion de referencia, tal como aparece en la Figura 3.1.El vector de posicion r en la configuracion actual esta dada por

r(ξ1, ξ2, ζ, t) = x(ξ1, ξ2, t) + ζλ(ξ1, ξ2, t)n(ξ1, ξ2, t) (3.4.2)

3.4 Elemento Finito de Lamina (Shell) 33

Figura 3.3 Shell superficie media.

donde n es la normal para la superficie media sobre el dominio Ω y λ es el estiramiento delespesor referido al espesor h para la deformacion de la shell respecto al espesor h0 cuando lashell no esta deformada. Sin embargo el termino λ no es considerado en nuestro caso.

El vector base covariante del sistema de coordenadas curvilineas en Ω0 esta definido por

Gα =∂R

∂ξα=

∂X

∂ξα+ ζ

∂N

∂ξα= Gα + ζN,α (3.4.3)

G3 =∂R

∂ξ= N

Aquı Gα es el vector base en la configuracion de referencia. Los vectores base covariante enla configuracion actual Ω estan dados por

gα =∂r

∂ξα=

∂x

∂ξα+ ζ

∂n

∂ξα= gα + ζn,α (3.4.4)

g3 =∂r

∂ξ= n

donde las gα son los vectores base en la configuracion actual. El vector base contravariantese obtiene a partir de las siguientes relaciones

Gi · Gj = δij, gi · gj = δij (3.4.5)

donde δij es la delta de Kronecker. El tensor metrico covariante en ambas configuraciones vienedado como

Gij = Gi · Gj, gij = gi · gj (3.4.6)

Los componentes del tensor de deformacion de Green-Lagrange vienen dados como la diferen-cia entre el tensor metrico covariante en la configuracion actual y la de referencia de la shellteniendo


Eji =

1

2

(

gij − Gij

)

(3.4.7)

El tensor de deformacion de Green-Lagrange se puede desarrollar para ser escrito en la forma

Eij = ǫij + ζκij + ζ2γij (3.4.8)

donde los componentes no-zero de la expresion anterior estan dados por

ǫαβ =1

2

(

gα · gβ −Gα ·Gβ

)

ǫα3 =1

2(gα · n−Gα ·N) ǫ33 =

1

2(n · n−N ·N) (3.4.9)

καβ = gα · n,β −Gα ·N,β (3.4.10)

γαβ =1

2(n,α ·n,β −N,α ·n,β ) (3.4.11)

En este trabajo se han utilizado solamente laminas que trabajan con la teorıa de Kirchhoff-Love para laminas delgadas, por lo que la normal n coincide en todo momento con la normalde la superficie media del elemento. Por lo tanto, todos los valores ǫα3 y ǫ33 desaparecen y losvalores ζ2 se desprecian en el caso de laminas delgadas.

Estas consideraciones permiten obtener los componentes del tensor de deformacion deGreen-Lagrange a partir de la deformacion de la superficie media de la lamina como

Eαβ = ǫαβ + ζκαβ = Emembαβ + ζEbend

αβ (3.4.12)

donde

ǫαβ =1

2(gαβ −Gαβ) (3.4.13)

mide las deformaciones de membrana y es exactamente la misma que se expresa en el apartadode membranas anteriormente descrito. Por otro lado, se va a desarrollar la parte de flexion dela lamina, la cual es conveniente escribir de la siguente manera

καβ = Gα,β ·N− gα,β · n = Kαβ − kαβ (3.4.14)

La variacion del tensor de deformacion de Green-Lagrange se puede descomponer en dospartes, dando como resultado

δEαβ = δmembαβ + ζδbendαβ (3.4.15)

Usando una ecuacion constitutiva apropiada para relacionar el tensor de deformacion deGreen-Lagrange con el tensor de esfuerzos, se puede obtener trabajo virtual interno que vieneexpresado por


δW int =

∫

Ω0

∫ +h2

−h2

δEαβSαβdζdΩ0 (3.4.16)

3.4.2. Discretizacion del MEF para Laminas

La discretizacion utilizada en este trabajo hace referencia a la formulacion del tipo Lagran-giana Total. Ya que la parte de deformaciones membranales ya se discretizo, abordaremossolamente de manera general la parte de deformaciones por flexion.

Ya que las formulaciones geometricamente no-lineales son muy complejas cuando existengrados de libertad por rotacion, en este trabajo se utiliza el elemento de lamina denominadotriangulo de sin-rotacion que a pesar de las apariencias que pueda ocasionar el no tener gradosde libertad de rotacion asociados a la felxion, permite obtener soluciones geometricamenteexactas para laminas no-lineales utilizando solamente grados de libertad de desplazamiento.Esto se consigue utilizando un patch de elementos que forman un elemento principal del tipotriangular y sus tres elementos laterales.

La parte de flexion de la lamina se discretiza a partir del trabajo virtual interno de flexion,el cual esta expresado por

δW int =

∫

Ω0

∫ +h2

−h2

δEbendαβ Sαβ

benddΩ0dζ (3.4.17)

Las deformaciones debidas a la flexion en la configuracion deformada se expresan por

kαβ = gα,β · n (3.4.18)

las cuales pueden ser escritas de la siguiente manera

kαβ =1

A0

∫

Ω0

gα,βdΩ0 · n (3.4.19)

y despues de aplicar el teorema de la divergencia se transforma en

kαβ =1

A0

∫

Γ0

nβgαdΓ0 · n (3.4.20)

Aquı ya se hacen operaciones para un tipo de elemento en particular y es que al hacer laformulacion para un elemento triangular de 3 nodos, existen 3 elementos adyacentes, lo quenos permite expresar la curvatura de la siguiente manera

kαβ =1

A0

nsides∑

J=1

lJ nJβgα · n (3.4.21)


Para hacer una discretizacion consistente con el sistema cartesiano de la parte membranal, secambia la parte de flexion de coordenadas curvilineas a coordenadas cartesianas, para lo cuallas bases covariantes se escriben explicitamente por

[

g1

g2

]

=

nnode∑

I=1

∂NI

∂ξ

∂NI

∂η

xI(t) (3.4.22)

El jacobiano para hacer dichas transformaciones es

Jξ =

[

g1 · efib1 g2 · efib1

g1 · efib2 g2 · efib2

]

(3.4.23)

y entonces, las derivadas cartesianas se pueden obtener a partir de la siguiente expresion

∂NI

∂x

∂NI

∂y

= J−Tξ

∂NI

∂ξ

∂NI

∂η

(3.4.24)

Entonces, la base covariante se puede escribir en forma cartesiana de la siguiente manera

[

xh,1

xh,2

]

=

nnode∑

I=1

∂NI

∂x

∂NI

∂y

xI(t) (3.4.25)

Las curvaturas en configuracion deformada, escritas en notacion de Voigt se expresan comoviene dado a continuacion

k11k22k12

=1

A0

nsides∑

J=1

lJ

nJ1 00 nJ

2

nJ2 nJ

1

xh,1 · n

xh,2 · n

(3.4.26)

Debido a los problemas de curvatura que presentan los elementos triangulares de tres nodos,se recurre a la utilizacion del patch de manera que se toman en cuenta la deformacion delos elementos adyacentes y de esta forma se puedan calcular las curvaturas adecuadamente.Entonces, la ecuacion de las curvaturas en configuracion deformada se expresan por

k11k22k12

=1

A0

nsides∑

J=1

lJ

nJ1 00 nJ

2

nJ2 nJ

1

12(xM

,1 + xJ,1) · n

12(xM

,2 + xJ,2) · n

(3.4.27)

las cuales se pueden simplificar para obtener

k11k22k12

=1

2A0

nsides∑

J=1

lJ

nJ1 00 nJ

2

nJ2 nJ

1

xJ,1 · n

xJ,2 · n

(3.4.28)


donde se ha utilizado la siguiente expresion

[

xJ,1

xJ,2

]

=

nnode∑

I=1

∂NJI

∂x

∂NJI

∂y

xJI (3.4.29)

El mismo procedimiento puedes ser utilizado para encontrar las deformaciones por flexion enla configuracion de referencia, llegando a

K11

K22

K12

=1

2A0

nsides∑

J=1

LJ

nJ1 00 nJ

2

nJ2 nJ

1

XJ,1 ·N

XJ,2 ·N

(3.4.30)

Finalmente el tensor de deformacion por flexion en notacion de Voigt esta dado por

Ebend =

κ11

κ22

κ12

=

K11

K22

K12

−

k11k22k12

(3.4.31)

cuya variacion es

δEbend =

δκ11

δκ22

δκ12

= −

δk11δk22δk12

(3.4.32)

donde

δk11δk22δk12

=1

2A0

nsides∑

J=1

lJ

nJ1 00 nJ

2

nJ2 nJ

1

δ(xJ,1 · n)

δ(xJ,2 · n)

(3.4.33)

Tras una apropiada discretizacion de la parte variacional se llega a obtener

δk11δk22δk12

=1

2A0

nsides∑

J=1

lJ

nJ1 00 nJ

2

nJ2 nJ

1

nnode∑

I=1

∂NJI

∂x

∂NJI

∂y

n · δuJ

I+

− 1

2A0

nsides∑

J=1

lJ

nJ1 00 nJ

2

nJ2 nJ

1

nnode∑

I=1

∂NI

∂xxJ,1 · xh

,1 +∂NI

∂yxJ,1 · xh

,2

∂NI

∂xxJ,2 · xh

,1 +∂NI

∂yxJ,2 · xh

,2

n · δuI (3.4.34)

y finalmente la variacion del tensor en su parte de flexion se escribe como


δEbend = 1

2A0

nsides∑

J=1

lJ

nJ1 00 nJ

2

nJ2 nJ

1

nnode∑

I=1

∂NI

∂xxJ,1 · xh

,1 +∂NI

∂yxJ,1 · xh

,2

∂NI

∂xxJ,2 · xh

,1 +∂NI

∂yxJ,2 · xh

,2

n · δuI+

− 1

2A0

nsides∑

J=1

lJ

nJ1 00 nJ

2

nJ2 nJ

1

nnode∑

I=1

∂NJI

∂x

∂NJI

∂y

n · δuJ

I (3.4.35)

La expresion anteriormente descrita se puede simplificar y escribirse en forma compacta como

δEbend = [B]mainδuI + [B]adjδuJI (3.4.36)

donde ha aparecido la expresion para la matriz deformacion-desplazamiento por flexion para elelemento principal [B]main y una correspondiente para los elementos adyacentes denominada[B]adj . La matriz completa de deformacion-desplazamiento para la flexion se expresa por

[B]bend = [B]main + [B]adj (3.4.37)

3.5. Elementos Mecanicos: Fuerzas y Momentos

Los resultados proporcionados por el elemento lamina son deformaciones de membrana y deflexion, asociadas a esfuerzos. Estos ultimos se pueden transformar para dar lugar a fuer-zas axiales y momentos flexionantes que son de gran utilidad desde el punto de vista de laingenierıa civil.

La ecuacion que nos permite encontrar los esfuerzos se presenta a continuacion y toma encuenta las deformaciones de membrana y flexion vistas anteriormente, lo que da lugar a

S = [C] · E = [C] ·(

Ememb + ζEbend)

(3.5.1)

El trabajo virtual correspondiente se puede encontrar utilizando la siguiente ecuacion

δW int =

∫

Ω0

∫ +h2

−h2

(

δEmemb + ζδEbend)

· [C](

Ememb + ζEbend)

dζdΩ0 (3.5.2)

la cual se puede dividir en dos partes, de donde se obtiene

δW int =

∫

Ω0

∫ +h2

−h2

δEmemb · [C]EmembdζdΩ0+

∫

Ω0

∫ +h2

−h2

ζ2Ememb · [C]EmembdζdΩ0 (3.5.3)

3.6 Elementos Finitos para Fluidos 39

Ya que en este trabajo se esta utilizando una modelo linealmente material para la ecuacionconstitutiva, la integracion del trabajo interno se puede calcular explicitamente para dar lugara

δW int = A0hδEmemb · [C]Ememb + A0h3

12δEbend · [C]Ebend (3.5.4)

donde las fuerzas axiales Nres y los momentos flexionantes Mres se obtiene a partir de

Nres = h[C]Ememb

Mres = h3

12[C]Ebend

(3.5.5)

Finalmente la expresion de las fuerzas internas para la lamina con elementos sin grados delibertad por rotacion son

fint = A0

[

BT]memb Nres + A0

[

BT]bend Mres (3.5.6)

donde todas las expresiones relacionadas con la parte membranas se vieron en el tema anterior.

3.6. Elementos Finitos para Fluidos

Una parte muy importante utilizada en este trabajo esta relacionada con la dinamica compu-tacional de fluidos, que a diferencia de la parte estructural que esta formulada en la configu-racion lagrangiana, la parte de fluidos se formulara en configuracion euleriana.

Las ecuaciones del continuo que se utilizan para resolver la parte del fluido son: las ecua-ciones de Navier-Stokes y la ecuacion de continuidad, ya que se trata de fluidos incompresiblesque para el caso de fluidos compresibles como el viento, se puede utilizar la misma formulacionque para fluidos incompresibles si se manejan velocidades menos a Mach 0.3.

Las ecuaciones del continuo para Navier-Stokes en el caso incompresible son

∫

Ω

δvi

(

ρ∂vi∂t

+ ρvj∂vi∂xj

)

dΩ−∫

Ω

p∂δvi∂xi

dΩ +

∫

Ω

µ∂vi∂xj

∂δvi∂xj

dΩ =

∫

Ω

δviρbidΩ (3.6.1)

mientras que para la parte de la incompresibilidad de la ecuacion de continuidad es

∫

Ω

δp∂vj∂xj

dΩ = 0 (3.6.2)

La discretizacion de las velocidades usando la forma debil de Galerkin para cualquier tipode elemento finito es

vhi (x, t) =

nnode∑

I=1

NI(x)viI(t) ∀i = 1, ndime (3.6.3)


donde NI(x) son las funciones de forma en coordenadas eulerianas y viI(t) son los valoresnodales de la campo de la velocidad. Las funciones varacionales de la velocidad vienen dadaspor

δvhi (x) =

nnode∑

I=1

NI(x)δviI ∀i = 1, ndime (3.6.4)

La aceleracion se encuentra utilizando la derivada material de la velocidad, la cual es aproxi-mada de manera discreta por

∂vhi (x, t)

∂t=

nnode∑

I=1

NI(x)viI(t) ∀i = 1, ndime (3.6.5)

Los gradientes de la velocidad y de la variacion de la velocidad se discretizan por

∂vhi (x, t)

∂xj

=

nnode∑

I=1

∂NI(x)

∂xj

viI(t) ∀i, j = 1, ndime (3.6.6)

∂δvhi (x)

∂xj

=

nnode∑

I=1

∂NI(x)

∂xj

δviI ∀i, j = 1, ndime (3.6.7)

mientras que la divergencias se obtienen por

∂δvhi (x)

∂xi

=

nnode∑

I=1

nnode∑

i=1

∂NI(x)

∂xi

δviI (3.6.8)

∂vhi (x, t)

∂xi

=

nnode∑

I=1

nnode∑

i=1

∂NI(x, t)

∂xi

δviI(t) (3.6.9)

Por otro lado, la presion se aproxima mediante la siguiente ecuacion

p(x, t)

nnode∑

I=1

NI(x)pI(t) (3.6.10)

mientras que su variacion de la presion es

δp(x)

nnode∑

I=1

NI(x)δpI (3.6.11)

Con las ecuaciones anteriormente vistas, las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes sediscretizan de la siguiente manera

3.6 Elementos Finitos para Fluidos 41

∫

Ω

δvhi ρ∂vhi∂t

dΩ = δviI

∫

Ω

NIρNJ viJdΩ

= δviI

∫

Ω

NIρNJδijdΩvjJ

= δviIMijIJ vjJ

(3.6.12)

donde la matriz de masa en descripcion euleriana es

MijIJ = δij

∫

Ω

ρNINJdΩ (3.6.13)

La discretizacion del termino convectivo se expresa por

∫

Ω

δvhi ρvhj

∂vhi∂xj

dΩ = δviI

∫

Ω

NIρvh∂NJ

∂xj

viJdΩ

= δviI

∫

Ω

NIρvh∂NJ

∂xj

δijdΩvjJ

= δviIKcijIJvij

(3.6.14)

donde vh es la aproximacion del vector velocidad, y la matriz de rigidez del termino convectivose define por

KcijIJ = δij

∫

Ω

ρNIvh∂NJ

∂xj

dΩ (3.6.15)

El termino de la presion queda discretizado por

∫

Ω

p∂δvhi∂xi

dΩ = δviI

∫

Ω

∂NI

∂xi

NJpJdΩ = δviIGiIJpJ (3.6.16)

donde se ha utilizado la siguiente expresion en el termino de la presion

GiIJ =

∫

Ω

∂NI

∂xi

NJdΩ (3.6.17)

El termino viscoso, por otra parte, se aproxima mediante

∫

Ω

∂vhi∂xj

∂δvhi∂xi

dΩ = δviI

∫

Ω

∂NI

∂xj

µ∂NJ

∂xj

viJdΩ

= δviI

∫

Ω

∂NI

∂xj

µ∂NJ

∂xj

δijdΩviJ

= δviIKvijIJvjJ

(3.6.18)


donde la matriz de rigidez del termino viscoso esta dada por

KvijIJ = δijµ

∫

Ω

∂NI

∂xj

µ∂NJ

∂xj

dΩ (3.6.19)

Ya que la variacion de la velocidad δviI es arbitraria, entonces las fuerzas resultantes de lasexpresiones de Navier-Stokes se pueden escribir de manera matricial de la siguiente manera

Mv+K(v)v−Gp = fext (3.6.20)

donde la rigidez K(v) comprende tanto la parte viscosa como la parte convectiva. La formamatematica compacta de al ecuacion anterior es

(∂tvh,wh) + c(vh, vh,wh)− b(ph,wh) + a(vh,wh) = (bh,wh) (3.6.21)

donde se ha introducido una nueva funcion de test dada por

w(x) =

nnode∑

I=1

NI(x) (3.6.22)

Por otro lado, partiendo de la ecuacion de continuidad se ha discretizado termino que le dasu caracter de incompresibilidad a las ecuaciones de Navier-Stokes, de donde la divergenciade la velocidad se discretiza por

∫

Ω

δp∂δvhj∂xi

dΩ = δpI

∫

Ω

NI∂NJ

∂xi

vjJdΩ = δpIGTjIJvjJ (3.6.23)

donde la matriz de divergencia es

GTjIJ

∫

Ω

NI∂NJ

∂xj

dΩ (3.6.24)

Ya que la variacion de la presion es arbitraria, entonces la ecuacion de continuidad se puedeescribir reducida de la siguiente manera

GTv = 0 (3.6.25)

la cual puede ser escrita en forma compacta utilizando la siguiente expresion matematica

b(qh, vh) = 0 (3.6.26)

donde la funcion de prueba se discretiza por

qh(x) =

nnode∑

I=1

NI(x) (3.6.27)

3.7 Interaccion Fluido-Estructura 43

Finalmente hay que resaltar que tanto las ecuaciones de Navier-Stokes conjuntamente con laecuacion de continuidad estan acopladas, de manera que el problema a resolver se reduce aresolver las siguientes ecuaciones monolıticamente

Mv+K(v)v−Gp = fext

GTv = 0(3.6.28)

Las ecuaciones anteriores se expresan matematicamente en forma compacta por

(vh,wh) + c(vh, vh,wh)− b(ph,wh) + a(vh,wh) = (bh,wh)

b(qh, vh) = 0(3.6.29)

ecuaciones que conducen finalmente al planteamiento de un sistema de ecuaciones. Hay queresaltar que para que dichas ecuaciones funcionen adecuadamente, hay que estabilizarlas me-diante algun metodo conocido, como lo es el metodo de SUPG, SUPG/PSPG, ASGS o OSS.En este trabajo se opto por utilizar el metodo de las sub-escalas ortogonales OSS del Prof.Ramon Codina.

3.7. Interaccion Fluido-Estructura

Una vez que se ha trabajado en la formulacion y discretizacion tanto de la parte de solidos yestructuras, como de la parte de fluidos (viento), el siguiente paso es resolver la interaccionque hay entre ellos para de esta forma poder predecir la aeroelasticidad del sistema de unamanera conjunta. El procedimiento de calculo es el siguiente (Ver Valdes y otros (2007)):

1. Se resuelve el fluido con las velocidades de diseno calculadas

2. Se calculan las fuerzas de fluido sobre la estructura

3. Se pasan las fuerzas de fluido al solver de la estructura

4. Se resuelve la estructura con las fuerzas del fluido proporcionadas

5. Se pasan los desplazamientos al solver del fluido

6. Se mueve el dominio del fluido para que se ajuste al contorno de la estructura

7. Se repite el procedimiento desde el paso 1.

Estos sencillos pasos se hacen para cada instante de tiempo de analisis, que en la mayorıade los calculos basados en ingenierıa civil tienen un valor de una milesima de segundo.

Hay que resaltar que tanto la parte estructural como la del fluido son no-lineales, por loque se necesitan de varias iteraciones en un mismo paso de tiempo para encontrar la solucionadecuada de un solo paso de tiempo (pasos del 1. al 7.) y despues repetir el proceso tantasveces sea necesario.

Capıtulo 4

Analisis con el Manual de Diseno por Viento CFE

4.1. Antecedentes.

El analisis comprendera la version tanto de 1993 como de 2008 del Manual de Diseno porViento de la CFE. La estructura analizada, en este caso una chimenea de acero esta ubicadaen la ciudad de Salamanca, Guanajuato. En el interior de la Refinerıa de Salamanca Ing.Antonio M. Amor, la cual pertenece a Petroleos Mexicanos empresa mas reconocida comoPEMEX.

Esta Chimenea presenta una geometrıa de tipo tronco-conica en su parte de faldon yuna forma cilındrica en su parte superior ademas presenta dimensiones considerables, puestiene una altura de 45.52 metros, un diametro inferior y superior de 4.000 m y de 2.131 mrespectivamente, Figura 4.1.

Figura 4.1 Chimenea

44

4.2 Manual de Diseno de Obras Civiles CFE 1993. 45

4.2. Manual de Diseno de Obras Civiles CFE 1993.

Manual de Diseno de Obras Civiles, Diseno por viento publicado en Mexico 1993. Es el manualcon el que la mayorıa de estructuras en Mexico han sido disenadas considerando el efecto delviento (Ver C.F.E. (1993)).

4.2.1. Clasificacion de la Estructura.

De acuerdo al grado de seguridad de las estructuras, una chimenea debe de contar con ungrado de seguridad elevado y queda definida en el GRUPO A. De acuerdo a la sensibilidad yrespuesta dinamica ante la presencia del viento, una chimenea esta clasificada como TIPO 3.

4.2.2. Velocidad de Diseno CFE 1993.

La velocidad de diseno VD, es la velocidad a partir de la cual se calculan los efectos delviento sobre la estructura o sobre un componente de la misma. En la Figura 4.2 se muestrael procedimiento general para calcular las cargas por viento. La velocidad de diseno en km/hse obtendra como

VD = FTFαVR (4.2.1)

donde

FT es un factor que depende de la topografıa del sitio, adimensional.

Fα el factor que toma en cuenta el efecto combinado de las caracterısticas de exposicionlocales, del tamano de la construccion y de la variacion de la velocidad con la altura,adimensional.

VR la velocidad regional que le corresponde al sitio en donde se construira la estructura enKm/h

El factor Fα se calcula con la ecuacion

Fα = FcFrz (4.2.2)

donde

Fc es el factor que determina la influencia del tamano de la construccion, adimensional.

Frz es el factor que establece la variacion de la velocidad del viento con la altura Zen funcion de la rugosidad del terreno de los alrededores y esta dado para nuestro casocomo, si Z < 10 el valor de Z se toma fijo como 10 y sino

Frz = 1.56

[

Z

δ

]α

(4.2.3)

46 4. Analisis con el Manual de Diseno por Viento CFE

Figura 4.2 Diagrama de flujo del Procedimiento para obtener las cargas por viento


El terreno en el que esta desplantada la estructura corresponde a categorıa 4 y la clase de laestructura segun su tamano se considera como Clase C.

El valor de α se toma el valor de 0.193, mientras que el valor de δ se toma el valor de455 m. Para Fc se toma el valor de 0.90, de acuerdo a la Clase C de la estructura, y paraFT se toma el valor de 1.0 que corresponde a un terreno practicamente plano, campo abierto,ausencia de cambios topograficos importantes, con pendientes menores a 5%.

Para la velocidad regional se toma el valor de 140 km/h teniendo en cuenta las condicionesmas desfavorables para la estructura y un periodo de retorno de 200 anos.

Se presenta la tabla 4.1 para las secciones consideradas en el calculo, en la tabla 4.2 sepresentan las Velocidades de diseno y en la figura 4.3 se presentan las secciones consideradasası como diametros y alturas.

Figura 4.3 Esquema de Secciones consideradas, CFE 1993.


Altura(m) No. Seccion Z(m) VR Diam. Prom.(m) AreaExp.(m2)De 0.000 a 10.000 1 5.000 140 3.423 34.23De 10.000 a 16.195 2 13.097 140 2.488 15.416De 16.195 a 23.695 3 19.945 140 2.131 15.982De 23.695 a 45.520 4 34.607 140 2.131 46.509

Tabla 4.1 Secciones consideradas 1,2,3,4

Seccion No. Z(m) FT Fc δ α Frz Fα VD(Km/h) VD(m/s)1 5.000 1 0.9 455 0.193 0.747 0.672 94.08 26.132 13.098 1 0.9 455 0.193 0.787 0.708 99.11 27.533 19.945 1 0.9 455 0.193 0.853 0.768 107.49 29.864 34.608 1 0.9 455 0.193 0.949 0.854 119.55 33.21

Tabla 4.2 Velocidades de diseno, CFE 1993.

4.2.3. Presion Dinamica de Base.

Cuando el viento actua sobre un obstaculo, genera presiones sobre su superficie que varıasegun la intensidad de la velocidad y la direccion del viento. La presion que ejerce el flujodel viento sobre una superficie plana perpendicular a el se denomina comunmente presiondinamica de base y se determina como

qZ = 0.0048GV 2D (4.2.4)

donde

G es el factor de correccion por temperatura y por altura con respecto al nivel del mar.

VD la velocidad de diseno en km/h definida anteriormente.

qz la presion dinamica de base en kg/m2.

El factor de 0.0048 corresponde a un medio de la densidad del aire 1/2 ρair y el valor de G seobtiene como

G =0.392Ω

273 + τ(4.2.5)

donde

Ω es la presion barometrica, en mm de Hg.

τ la temperatura ambiental en oC


Para la ciudad de Salmanca, Guanajuato, se tiene una altitud de 1720 m, e interpolando seobtiene que Ω=624.72 y tomando una temperatura atmosferica de 20oC, se obtiene un valorpara G =0.8358.

En la tabla 4.3 se muestran los valores obtenidos para la presion dinamica de base.

Seccion No Z(m) Ω τ G VD(Km/h) qz(Kg/m2)1 5.000 624.72 20 0.8358 94.08 35.512 13.098 624.72 20 0.8358 99.11 39.413 19.945 624.72 20 0.8358 107.49 46.354 34.608 624.72 20 0.8358 119.55 57.34

Tabla 4.3 Presion Dinamica de base Kg/m2, CFE 1993.

4.2.4. Determinacion del Tipo de Analisis.

Para determinar el tipo de analisis a considerar se deben evaluar dos condiciones

a) Relacion H/D, es decir, 45.52m/4m = 11.38 > 5

b) Periodo fundamental de la estructura

El periodo fundamental de la estructura se evaluo haciendo uso del programa para analisisestructural SAP2000 V.12. El modelo se muestra en la figura 4.4. Para el modelo se utilizaronelementos tipo Shell. El periodo fundamental de la estructura resulto de 0.5773 seg y sufrecuencia natural de 1.7322.

Debido a los resultados anteriormente obtenidos, se realizara un analisis dinamico.

4.2.5. Analisis Dinamico, Manual CFE.

El analisis dinamico permite evaluar los empujes ocasionados por la interaccion dinamicaentre el flujo del viento y las estructuras.

En el analisis dinamico, las presiones y las fuerzas de diseno que aparecen cuando el vientoactua en una direccion dada se determinan separadamente para dos direcciones ortogonales;una de ellas es en la direccion del viento y la otra es transversal a la anterior.

4.2.5.1. Presiones en la direccion del viento.

La presion total en la direccion del viento se calcula como

Pz = Fg Ca qz (4.2.6)

donde


Figura 4.4 Modelo SAP2000 v.12

Fg es el factor de respuesta dinamica debida a rafagas Ecuacion 4.2.6, adimensional.

Ca el coeficiente de arrastre, adimensional, depende de la forma de la estructura.

qz la presion dinamica de base en la direccion del viento en kg/m2.

Para nuestro analisis tenemos un Coeficiente de arrastre con d/b = 0.2/2.131=0.09 y H/b =45.52/2.131=21.36, y Ca=1.18.

Fg =1

g2[1 + gp (σ/µ)] (4.2.7)

donde

g es un factor de rafaga, variable con la altura Z, ecuacion (4.2.8) y si Z < 10 Z toma elvalor g = 10.

gp el factor pico o de efecto maximo de la carga de viento.


σ/µ la relacion entre la desviacion estandar (raız cuadrada del valor cuadratico medio) de lacarga por viento y el valor medio de la carga por viento, Ecuacion 4.2.9

g = k

[

Z

δ

]η

(4.2.8)

donde k y η son adimensionales y dependen de la rugosidad del sitio de desplante y δ es laaltura gradiente en m.

Para categorıa de terreno 4 se tiene: k=1.457 ; η=-0.151 ; δ=455.

La relacion σ/µ, se calcula como

σ

µ=

√

krCα

(

B +SE

ζ

)

(4.2.9)

donde

kr es un factor relacionado con la rugosidad del terreno

ζ es el coeficiente de amortiguamiento crıtico

B es el factor de excitacion de fondo

S es la reduccion por tamano

E es el factor que representa la relacion de la energıa de rafaga con la frecuencia naturalde la estructura

Cα se calcula como

Cα = 3.46 (FT )2

[

H

δ

]2α

(4.2.10)

Evaluando la ecuacion (4.2.10) tenemos que

FT es el factor de topografıa = 1

δ es la altura gradiente = 455 m

H es la altura total de la Chimenea = 45.52 m

α para categorıa de terreno 4 = 0.31

Kr para categorıa de terreno 4 = 0.14

ζ = 0.0016

Cα = 0.8302

Evaluando con los valores correspondientes se obtienen las tablas 4.4 a 4.11.


Seccion No. Z(m) b (m) H (m) b/H Factor B1 5.000 3.423 45.52 0.08 1.252 13.098 2.488 45.52 0.05 1.303 19.945 2.131 45.52 0.05 1.304 34.608 2.131 45.52 0.05 1.30

Tabla 4.4 Factor de Excitacion de Fondo, CFE 1993.

Seccion No. Z(m) k δ η Factor g1 5.000 1.457 455 -0.151 2.5932 13.098 1.457 455 -0.151 2.4903 19.945 1.457 455 -0.151 2.3364 34.608 1.457 455 -0.151 2.150H 45.520 1.457 455 -0.151 2.063

Tabla 4.5 Factor de Rafaga, CFE 1993.

Seccion No. b/H VH(Km/h) gH VH η0 ωreducida Factor S1 0.08 126.05 2.063 61.10 1.732 4.65 0.0222 0.05 126.05 2.063 61.10 1.732 4.65 0.0383 0.05 126.05 2.063 61.10 1.732 4.65 0.0384 0.05 126.05 2.063 61.10 1.732 4.65 0.038

Tabla 4.6 Factor de Reduccion por tamano, CFE 1993.

Seccion No. VH(Km/h) gH VH η0 λinversa Factor E1 61.10 1.732 4.65 0.022 0.1021 0.1752 61.10 1.732 4.65 0.038 0.1021 0.1753 61.10 1.732 4.65 0.038 0.1021 0.1754 61.10 1.732 4.65 0.038 0.1021 0.175

Tabla 4.7 Factor de Energia de rafaga-frecuencia natural, CFE 1993.


Seccion No. Kr ζ Cα B S E σ/µ1 0.140 0.008 0.830 1.250 0.022 0.175 0.5402 0.140 0.008 0.830 1.300 0.038 0.175 0.6003 0.140 0.008 0.830 1.300 0.038 0.175 0.6004 0.140 0.008 0.830 1.300 0.038 0.175 0.600

Tabla 4.8 Relacion σ/µ, Ecuacion 4.2.9

Seccion No. η0 B S E η ν gp1 1.732 1.250 0.022 0.175 0.008 0.913 4.1802 1.732 1.300 0.038 0.175 0.008 1.082 4.2003 1.732 1.300 0.038 0.175 0.008 1.082 4.2004 1.732 1.300 0.038 0.175 0.008 1.082 4.200

Tabla 4.9 Factor pico o de efecto maximo de la carga de viento

Seccion No. g gp σ/µ Fg

1 2.593 4.180 0.540 0.4852 2.490 4.200 0.600 0.5683 2.336 4.200 0.600 0.6444 2.150 4.200 0.600 0.761

Tabla 4.10 Factor de respuesta dinamica debida a rafagas Ecuacion 4.2.6

Seccion No. Z(m) Ca Fg Ca × Fg qz (Kg/m2) Pz (kg/m2)1 5.000 1.180 0.485 0.572 35.509 20.312 13.098 1.180 0.568 0.670 39.407 26.393 19.945 1.180 0.644 0.760 46.353 35.254 34.608 1.180 0.761 0.898 57.341 51.50

Tabla 4.11 Presiones de Diseno, CFE 1993.

NOTA: Realizando un seccionamiento mas detallado para determinar la fuerza total horizontaly el momento flexionante se tienen las tablas 4.12 y 4.13.


Seccion No. Z (m) Ca Fg Ca × Fg qz (Kg/m2) Pz (kg/m2)1 2.500 1.180 0.485 0.572 35.509 20.3052 7.500 1.180 0.494 0.582 31.777 18.5103 13.098 1.180 0.568 0.670 39.408 26.3944 18.695 1.180 0.632 0.746 45.209 33.7155 23.694 1.180 0.679 0.801 49.540 39.6856 28.695 1.180 0.719 0.849 53.340 45.2737 33.695 1.180 0.755 0.891 56.752 50.5638 38.695 1.180 0.787 0.929 59.866 55.6139 43.357 1.180 0.815 0.961 62.553 60.141

Tabla 4.12 Presiones de Diseno, CFE 1993.

Seccion No. Z (m) Area Exp.(m2) Pz (Kg/m2) Fz (kg) Mz(Kg ×m)1 2.500 18.918 20.305 384.126 960.3162 7.500 16.033 18.510 296.758 2225.6853 13.098 15.416 26.394 406.900 5329.5754 18.695 10.655 33.715 359.229 6715.7805 23.694 10.655 39.685 422.839 10018.7486 28.695 10.655 45.273 482.386 13842.0627 33.695 10.655 50.563 538.752 18153.2498 38.695 10.655 55.613 592.557 22929.0079 43.357 9.217 60.141 554.291 24032.399

∑

4037.838 104206.820

Tabla 4.13 Fuerza y Momento Resultante, CFE 1993.

4.2.5.2. Fuerzas perpendiculares a la accion del viento.

En el diseno de estructuras Tipo 3, o de elementos con seccion transversal pequena compa-rada con su longitud, deberan tenerse en cuenta tanto las vibraciones generales causadas porfuerzas alternantes debidas al desprendimiento de vortices como las vibraciones locales de suseccion transversal originadas por dichas fuerzas. En las chimeneas, las vibraciones locales sedenominan efectos de ovalizacion de la seccion transversal, Figura 4.5.


Figura 4.5 Ovalizacion por efecto de vortices alternantes

4.2.5.3. Velocidad crıtica de vortices periodicos.

La velocidad crıtica Vvc, es aquella en la que la frecuencia del modo fundamental de la estruc-tura, en direccion perpendicular a la del flujo del viento, se sincroniza con la frecuencia dedesprendimiento de vortices alternantes, provocando efectos de resonancia transversal.

Para determinar la velocidad crıtica, tenemos que evaluar el producto de n0b2 = 1.732 ×

(2.131)2 = 7.87. Por lo que la velocidad crıtica se calculara como:

Vvc = 18n0b (4.2.11)

Evaluando la Ecuacion (4.2.11) tenemos Vvc = 66.44 Km/h. La velocidad de diseno a la alturade la chimenea es de 126.05 Km/h.

Como la VD > Vvc se debe de tomar en cuenta las vibraciones generadas debido al des-prendimiento de Vortices alternantes.

4.3. Manual de Diseno de Obras Civiles CFE 2008.

En esta parte se hace referencia al Manual de Diseno de Obras Civiles, Diseno por Vientopublicado en Mexico 2008. Representa la version mas actualizada que existe hasta ahora (VerC.F.E. (2008b)). En la figura 4.6 se muestra el procedimiento general.

4.3.1. Clasificacion de la Estructura.

De acuerdo al grado de seguridad de las estructuras, una chimenea debe de contar con ungrado de seguridad elevado y queda definida en el GRUPO A.

De acuerdo a la sensibilidad y respuesta dinamica ante la presencia del viento, una chi-menea esta clasificada como TIPO 3.

4.3.2. Velocidad de Diseno CFE 2008.

La velocidad de diseno en km/h se obtendra como


Figura 4.6 Diagrama de flujo del Procedimiento para obtener las cargas por viento, CFE 2008


VD = FTFrzVR (4.3.1)

donde

FT es un factor que depende de la topografıa local, adimensional.

Frz el factor que toma en cuenta el efecto de las caracterısticas de exposicion local, adimen-sional.

VR la velocidad regional de rafaga que le corresponde al sitio en donde se construira laestructura en Km/h

El factor Frz se calcula como

Frz = c si Z ≤ 10 (4.3.2)

Frz = c

(

Z

10

)α

si 10 < Z < δ (4.3.3)

donde

Z es la altura por encima del terreno natural, a la cual se desea conocer la velocidad dediseno, en m.

α el exponente que determina la forma de la variacion de la velocidad del viento con laaltura, adimensional.

δ la altura medida a partir del nivel del terreno de desplante, por encima de la cual lavariacion. de la velocidad del viento no es importante y puede suponerse constante; aesta altura se le conoce como altura gradiente; en m.

c el coeficiente de escala de rugosidad, adimensional.

El terreno en el que esta desplantada la estructura corresponde a categorıa 4. Tomando encuenta esta consideracion se obtienen los siguientes valores:

α toma el valor de 0.170

δ toma el valor de 455 m

c toma el valor de 0.815

FT se toma el valor de 1.0 que corresponde a un terreno practicamente plano, campo abierto,ausencia de cambios topograficos importantes, con pendientes menores a 5%.

Para la velocidad regional se toma el valor de 140 km/h teniendo en cuenta las condicionesmas desfavorables para la estructura y un periodo de retorno de 200 anos.

En la tabla 4.14 se muestra el calculo de las velocidades de diseno que se utilizaran en elmodelo, y en la tabla 4.16 se muestra el calculo de las velocidades considerando la chimeneadividida en diez secciones en figura 4.7 se muestran tales secciones.


Figura 4.7 Secciones consideradas en el calculo

Seccion Altura (m) Alt. Prom. (m) Frz VD (Km/h) VD (m/s)1.00 10.00 5.00 0.82 114.10 31.692.00 16.20 13.10 0.88 123.85 34.403.00 23.70 19.95 0.94 132.12 36.704.00 45.52 34.61 1.05 147.63 41.01

Tabla 4.14 Velocidades de diseno para el modelo, CFE 2008.


Seccion Altura(m) Alt. Prom.(m) Diam. Prom. Area exp.1 5.00 2.50 3.71 18.562 10.00 7.50 3.13 15.673 15.00 12.50 2.56 12.794 20.00 17.50 2.13 10.745 25.00 22.50 2.13 10.666 30.00 27.50 2.13 10.667 35.00 32.50 2.13 10.668 40.00 37.50 2.13 10.669 45.00 42.50 2.13 10.6610 45.52 45.26 2.13 1.11

Tabla 4.15 Diametros promedio y Areas expuestas por cada seccion, CFE 2008.

Seccion Altura(m) Frz VD(Km/h) VD(m/s)1 5.00 0.82 114.10 31.692 10.00 0.82 114.10 31.693 15.00 0.87 122.24 33.964 20.00 0.92 128.37 35.665 25.00 0.95 133.33 37.046 30.00 0.98 137.53 38.207 35.00 1.01 141.18 39.228 40.00 1.03 144.42 40.129 45.00 1.05 147.34 40.9310 45.52 1.05 147.63 41.01

Tabla 4.16 Velocidad de diseno por secciones, CFE 2008.

4.3.3. Presion Dinamica de Base.

La presion dinamica de base se determina como

qz = 0.047GV 2D (en Pa) qz = 0.004GV 2

D (en kg/m2) (4.3.4)

donde

G es el factor de correccion por temperatura y por altura con respecto al nivel del mar.

VD es la velocidad de diseno en km/h.


El valor de G se obtiene con la siguiente ecuacion

G =0.392Ω

273 + τ(4.3.5)

donde

Ω es la presion barometrica, en mm de Hg.

τ es la temperatura ambiental en oC.

Para la ciudad de Salamanca, Guanajuato, se tiene una altitud de 1723 m. e interpolando seobtiene el valor de Ω=624.49, y tomando una temperatura atmosferica de 20oc se encuentraque G =0.8355.

En la tabla 4.17 se muestran los valores obtenidos para la presion dinamica de base.

Seccion qz (Pa) qz (kg/m2)1 511.23 52.212 511.23 52.213 586.80 59.934 647.09 66.095 698.10 71.296 742.74 75.857 782.71 79.948 819.06 83.659 852.53 87.0710 855.86 87.41

Tabla 4.17 Presion dinamica de base, CFE 2008.

4.3.4. Calculo de la Presion Neta Estatica.

La presion neta estatica se determina como

pn = KreCaqz (4.3.6)

en la que

Ca = 1.6+0.105lnhr

b(4.3.7)

donde

Ca es el coeficiente de arrastre obtenido con la Ecuacion (4.3.7) en nuestro caso.


Kre es el factor de correccion por relacion de esbeltez para la altura total de la estructura,adimensional que interpolando obtuvimos un valor de 0.83.

qz es la presion dinamica de base.

hr es la altura promedio de la rugosidad de la superficie de la estructura, para acero pesadotiene un valor de 1.5.

4.3.5. Analisis Dinamico.

De acuerdo al tipo de estructura se considera un analisis dinamico de acuerdo a lo expuestoanteriormente, en la determinacion del tipo de analisis, en la Figura 4.8.

4.3.5.1. Determinacion de la velocidad media.

La velocidad media V´D, corresponde a un tiempo de promediado de diez minutos y se aplica

para determinar el factor de respuesta dinamica y en los problemas de aparicion de vorticese inestabilidad aerodinamica. Se determina como

V´D =

FTF´rzVR

3.6(4.3.8)

donde

VR es la velocidad regional de rafaga, 140 Km/h.

FT el factor de topografıa, 1.

F´rz el factor de exposicion para la velocidad media, Ecuacion (4.3.9)

F´rz = 0.702b

(

Z

10

)α´

(4.3.9)

en la que

Z es la altura medida a partir del nivel medio del terreno, en la cual se desea calcularla velocidad media del viento, en m. Para chimeneas se toma una altura de referenciaZ = 0.6 h, donde h es igual a 45.52 m.

b es un coeficiente, adimensional. Para terreno categorıa 4 tiene un valor de 0.55.

α´ el exponente adimensional, de la variacion de la velocidad con la altura. Para terrenocategorıa 4 tiene un valor de 0.29.


Figura 4.8 Diagrama de flujo para el analisis dinamico, CFE 2008

4.3.5.2. Determinacion del factor de amplificacion dinamica.

El factor de amplificacion dinamica proporciona la fuerza maxima producida por los efectosde la turbulencia del viento y las caracterısticas dinamicas de la estructura. Considera doscontribuciones en la respuesta estructural, la parte cuasi-estatica o de fondo y la de resonancia.


El factor de amplificacion dinamica FAD se calcula como

FAD =1 + 2kpIv(Zs)

√B2 +R2

1 + 7Iv(Zs)(4.3.10)

donde

Iv = Iv(Zs) es el ındice de turbulencia, evaluado a la altura de referencia, Zs=0.6 h,Ecuacion (4.3.11)

Zs es la altura de referencia, en m. Para el caso tiene un valor de 27.31 m.

B2 es el factor de respuesta de fondo, adimensional. Ecuacion (4.3.12).

R2 es el factor de respuesta en resonancia, adimensional. Ecuacion (4.3.14).

kp es el factor pico, adimensional. Ecuacion (4.3.17).

Iv(Zs) = d

(

Zs

10

)

−α´

(4.3.11)

Para nuestro caso, α´=0.29, Zs=27.31m, d=0.43

B2 =1

1 + 32

√

(

DL(Zs)

)2 (h

L(Zs)

)2 (Dh

L2(Zs)

)

(4.3.12)

donde

D es el diametro promedio de la seccion transversal de la estructura, en m.,Dprom=2.432m.

h es altura total de la estructura, en metros igual a 45.52 m.

L = L(Zs)] es la longitud de escala de turbulencia, evaluada a la altura de referencia Zs,y calculada con la Ecuacion (4.3.13)

L(Zs) = 300

(

Zs

200

)α

(4.3.13)

en la que Zs = 27.31m, α=0.67

R2 =π

4ζt,xSL(Zs, n1,x)Ks(n1,x) (4.3.14)

donde

SL(Zs, n1,x) es la densidad de potencia del viento, Ecuacion (4.3.15).

n1,x es la frecuencia natural de vibrar de la estructura, en Hz. Igual a 1.7322 Hz.


Ks(n1,x) es el factor de reduccion de tamano, adimensional. Ecuacion (4.3.16).

SL(Zs,n1,x) =

6.8(

n1,xL(Zs)

V´

D(Zs)

)

[

1 + 10.2(

n1,xL(Zs)

V´

D(Zs)

)]5/3(4.3.15)

Ks(n1,x) =1

1 +

√

(

5.75 Dn1,x

V´

D(Zs)

)2

+(

3.19 hn1,x

V´

D(Zs)

)2

+

(

11.69n21,xDh

[V´

D(Zs)]

2

)2(4.3.16)

donde

D es el diametro promedio de la seccion transversal de la estructura, en m.

h es la altura total de la estructura, en m.

n1,x es la frecuencia natural de vibrar de la estructura, en Hz.

V´D = V´

D(Zs) es la velocidad media evaluada a la altura de referencia Zs, en m/s.

kp =√

2Ln(νT ) +0.6

√

2Ln(νT )≥ 3.0 (4.3.17)

donde

T es el intervalo de tiempo con el que se calcula la respuesta maxima, igual a 600 s.

ν es la frecuencia de cruces por cero o tasa media de oscilaciones, en Hz. Ecuacion (4.3.18).

ν = n1,x

√

R2

B2 +R2≥ 0.08 (4.3.18)

En la tabla 4.18 se resumen los valores obtenidos para cada expresion.


Descripcion Simbologıa ValorAltura de la estructura (m) h 45.520Altura de referencia (m) ZS 27.310

Factor categoria de terreno 4 b 0.550Factor categoria de terreno 4 α´ 0.290

Factor de Exposicion para la velocidad media F´rz 0.517

Velocidad Media (m/s) V´D(Zs) 20.094

Constantes terreno 4 d 0.430Constantes terreno 4 (m) Z0 1.000Constantes terreno 4 (m) Zmin 10.000Constantes terreno 4 α 0.670Indice de Turbulencia Iv(Zs) 0.321

Longitud de escala de turbulencia L(Zs) 79.029Diametro promedio (m) Dprom 2.432

Factor de respuesta de fondo B2 0.536Frecuencia Fundamental de la estructura Hz n1,x 1.732

Densidad de potencia del viento SL(Zs, n1,x) 0.039Factor de reduccion de tamano Ks(n1,x) 0.059Relacion de amortiguamiento ζt,x 0.010

Factor de respuesta en resonancia R2 0.180Tasa media de Oscilacion Hz ν 0.868

Intervalo de tiempo (s) T 600.000Factor pico Kp 3.707

FACTOR DE AMPLIFICACION DINAMICA FAD 1.00

Tabla 4.18 Resumen de Valores para determinar FAD

4.3.6. Presion en la Direccion del Viento.

La presion de diseno en la direccion del viento, tomando en cuenta los efectos dinamicos sede termina como

Pz = KreCaFADqz (4.3.19)

Las fuerzas de diseno que actuan en la estructura se de terminan como

Fz = PzAexp (4.3.20)

La sumatoria de las fuerzas individuales, representa la fuerza cortante en la estructura debidoa la accion del viento.

El momento individual en cada seccion producido por el viento se determina como


Mz = FzAltprom (4.3.21)

La sumatoria de los momentos individuales, representa el momento actuante en la base debidoa la accion del viento.

En las tablas 4.19 y 4.20 se presenta el resumen de calculo.

Seccion qz(Pa) qz(kg/m2) Ca Qz(PA) Qz(Kg/m2)

1.00 511.23 52.21 0.78 330.79 33.782.00 511.23 52.21 0.80 338.32 34.553.00 586.80 59.93 0.82 398.73 40.724.00 647.09 66.09 0.84 449.73 45.965.00 698.10 71.29 0.84 485.45 49.586.00 742.74 75.85 0.84 516.49 52.757.00 782.71 79.94 0.84 544.28 55.598.00 819.06 83.65 0.84 569.57 58.179.00 852.53 87.07 0.84 592.84 60.5510.00 855.86 87.41 0.84 595.16 60.78

Tabla 4.19 Presion de diseno, 2008.

Seccion Alt.Prom(m) Areaexp(m2) PZ(Kg) MZ(Kg ×m)

1.00 2.50 18.56 626.90 1567.262.00 7.50 15.67 541.49 4061.193.00 12.50 12.79 520.71 6508.814.00 17.50 10.74 493.42 8634.915.00 22.50 10.66 528.25 11885.626.00 27.50 10.66 562.03 15455.887.00 32.50 10.66 592.27 19248.928.00 37.50 10.66 619.78 23241.899.00 42.50 10.66 645.11 27417.0710.00 45.26 1.11 67.47 3053.60

∑

5197.44 121075.16

Tabla 4.20 Fuerza y Momento de diseno, CFE 2008.

4.4 Resumen Reglamento CFE 1993 y 2008. 67

4.4. Resumen Reglamento CFE 1993 y 2008.

Se presenta un resumen del analisis comparando los resultados obtenidos con el reglamentode la Comision Federal de Electricidad CFE Version 1993 y 2008.

Resumen de Velocidades. Tabla 4.21. Resumen de la presiones, fuerzas y momento dediseno CFE 1993. Tabla Resumen CFE 1993, 4.22.

Seccion No. Altura(m) VD(m/s) CFE 1993 VD(m/s) CFE 20081 De 0.000 a 10.000 26.13 31.692 De 10.000 a 16.195 27.53 34.403 De 16.195 a 23.695 29.86 36.704 De 23.695 a 45.520 33.21 41.01

Tabla 4.21 Velocidades de diseno para el modelo

Seccion No. Altura Pz (Kg/m2) Fz (Kg) Mz(Kg ∗m)1 0 a 5 20.305 384.126 960.3162 5 a 10 18.510 296.758 2225.6853 10 a 16.195 26.394 406.900 5329.5754 16.195 a 21.195 33.715 359.229 6715.7805 21.195 a 26.195 39.685 422.839 10018.7486 26.195 a 31.195 45.273 482.386 13842.0627 31.195 a 36.195 50.563 538.752 18153.2498 36.195 a 41.195 55.613 592.557 22929.0079 41.195 a 45.52 60.141 554.291 24032.399

∑

4037.838 104206.820

Tabla 4.22 Resumen CFE 1993

Resumen de la presiones, fuerzas y momento de diseno CFE 2008. Tabla Resumen CFE 2008,4.23.


Seccion No. Altura Qz (Kg/m2) Pz (Kg) Mz(Kg ∗m)1 0 a 5 33.78 626.90 1567.262 5 a 10 34.55 541.49 4061.193 10 a 15 40.72 520.71 6508.814 15 a 20 45.96 493.42 8634.915 20 a 25 49.58 528.25 11885.626 25 a 30 52.75 562.03 15455.887 30 a 35 55.59 592.27 19248.928 35 a 40 58.17 619.78 23241.899 40 a 45 60.55 645.11 27417.0710 45 a 45.52 60.78 67.47 3053.60

∑

5 197.44 121 075.16

Tabla 4.23 Resumen CFE 2008

Nota. Las velocidades de un reglamento a otro varıan, debido al calculo del Factor de Expo-

sicion, pues la expresiones para calcular este sufrieron modificacion.

4.5. Vibraciones Locales.

Para el diseno local, se debe tomar en cuenta que por efecto del desprendimiento de vorticesalternantes, la flexion a veces se presenta perpendicular a la direccion del viento, debido alefecto de ovalizacion. Usualmente este efecto puede evitarse utilizando atiesadores anularesen las secciones propensas, Figura 4.9.

Figura 4.9 Anillos atiesadores

4.6 Reduccion de los Efectos de Vorticidad. 69

4.6. Reduccion de los Efectos de Vorticidad.

Una recomendacion practica para evitar la formacion de vortices es el uso de barras o spoilerscolocados sobre el tercio superior de la construccion, formando una espiral cada 5 diametros,Figura 4.10.

Figura 4.10 Rompedores de Viento, Spoilers

4.6.1. Otras Soluciones para Evitar los Efectos de Vorticidad.

Los efectos de ovalizacion en la estructura se pueden disminuir considerablemente, empleandoalguna de la siguientes soluciones en el diseno.

1) Cambiar el diametro de la chimenea para modificar el periodo natural.

2) Aumentar el momento de inercia incrementando espesores de las placas que conformanla chimenea.

3) Modificar el amortiguamiento de la estructura mediante sistemas de amortiguamiento,como placas amortiguadores o amortiguadores controlados.

4) Cambiar la forma cilındrica por troncoconica, en la parte de faldon (parte inferior deductos), o en toda la estructura.

Capıtulo 5

Analisis del caso Interaccion Fluido-Estructura

MEF, COMET.

5.1. Introduccion.

Para el caso se realizo un analisis computacional basado en elementos finitos. Modelando elviento como un fluido y la chimenea como un elemento tipo Shell. Para la realizacion de lageometrıa de los modelos, mallado y lectura de resultados se utilizo el programa GID 9.1.1b.Para la fase de calculo de la interaccion Fluido-Estructura se utilizo el codigo COMET. (Verreferencia Valdes y otros (2007))

5.2. Consideraciones.

Para el fluido: densidad del aire ρ=1.185 Kg/m3 y una viscosidad µ=1.831x10−5 Kg/(m×s).Para la Chimenea: densidad de acero ρ=7,850 Kg/m3 y un coeficiente de Poisson ν=0.3. Lascargas consideradas en el analisis son: viento y peso propio.

5.2.1. Geometrıa del Modelo para Viento.

La geometrıa para el modelo del fluido se muestra en la figura 5.1 y 5.2. Donde H representala altura total de la chimenea igual a 45.52 m, D representa el diametro en la base de lachimenea igual a 4.00 m.

En la geometrıa se presentan dos niveles principales, senalados como H, la parte inferiorrepresenta la altura de la chimenea, la cual esta a su vez subdividida en cuatro, debido lageometrıa de chimenea y la parte superior representa el viento circundante por encima dela chimenea. De igual manera el viento circundante lateral es representado por la divisioneslaterales de la geometrıa.

70

5.2 Consideraciones. 71

Figura 5.1 Dimensiones del modelo, Elevacion.

Figura 5.2 Dimensiones del modelo Planta.

72 5. Analisis del caso Interaccion Fluido-Estructura MEF, COMET.

En la figura 5.3 se presenta el modelo en tres dimensiones, teniendo la siguiente orientacionde ejes: Eje X (paralelo a la direccion del viento), Eje Y (transversal al viento) y Eje Z (en elsentido de las elevaciones ortogonal a XY).

En la figura 5.4 se muestra un corte del modelo para el fluido.

Figura 5.3 Geometrıa del Fluido 3D (lineas,superficies,volumenes.)

Figura 5.4 Contorno interior del Fluido 3D.

5.2.2. Geometrıa del Modelo para Chimenea.

La geometrıa de la chimenea consta de 4 divisiones que corresponden a 4 diferentes espesoresde placa los cuales se muestran en la tabla 5.1 para el valor de espesor equivalente referirseal anexo A.2, las dimensiones de la chimenea corresponden a las siguientes:


Diametro exterior en la base 4.0m., diametro exterior en la parte superior 2.131 m. Ademasde tener una seccion variable tronco-conica y una seccion constante lineal.

Las caracterısticas de esta se presentan en la figura 5.5.

Seccion Espesor(mm) Recubrimiento(mm) EspesorP lacaEquivalente(mm)1.00 22.20 0.000 22.202.00 19.05 0.000 19.053.00 15.90 30.00 19.904.00 12.70 30.00 16.70

Tabla 5.1 Espesor de placa considerado en el modelo.

Figura 5.5 Dimensiones de la chimenea.

Para la chimenea se realizaron tres modelos que se describen a continuacion:


1) Modelo No.1: Modelo simple, este modelo representa una chimenea conformada sim-plemente de placa y sin refuerzo estructural exterior alguno.

2) Modelo No.2: Modelo con Rigidizadores, este modelo representa la chimenea con 8refuerzos perimetrales.

3) Modelo No.3: Modelo con rigidizadores y anillos perimetrales, este modelo incluye los8 refuerzos perimetrales, ademas de 4 anillos perimetrales en la parte de seccion constante dela chimenea.

La geometrıa del Modelo No.1 generada se muestra en la figura 5.6.

Figura 5.6 Geometrıa Modelo No.1, Chimenea Lisa sin refuerzos.

La geometrıa del modelo con rigidizadores generada se muestra en la figura 5.7.

Figura 5.7 Geometrıa Modelo No.2, Chimenea con Rigidizadores.


La geometrıa del modelo con rigidizadores y anillos generada se muestra en la figura 5.8.

Figura 5.8 Geometrıa Modelo No.3, Chimenea con Rigidizadores y Anillos.

La seccion de los rigidizadores es un perfil tipo TEE, mientras que los anillos perimetralesson una seccion Canal de ambos perfiles cuyas dimensiones se muestran en la figura 5.9.

Figura 5.9 Perfil Tipo Tee, Rigidizador. Perfil Tipo C, Anillo.

En los modelos con rigidizadores y anillos se tomo una simplificacion de modelar los rigidi-zadores y anillos por la parte interna, ya que en realidad estan colocados en el perımetroexterior de la chimenea.

Esta simplificacion es debido a la complejidad del acoplamiento de las mallas del fluido y dela estructura referirse al anexo A.4, esta simplificacion es adaptable pues lo que nos interesa eneste caso es determinar la rigidez que aportan estos elementos, pues su modelacion adecuadadel fluido es mucho mas compleja.


5.3. Condiciones de Contorno.

Por tales condiciones se entienden aquellas que definen el comportamiento del modelo en suslımites.

5.3.1. Condiciones de Contorno del Fluido.

Las condiciones de contorno para el fluido se muestran en la figura 5.10.La asignacion de cada condicion de contorno en el modelo se muestra en la figura 5.11.

Figura 5.10 Condiciones de Contorno.

5.3.1.1. Velocidades de entrada.

Las velocidades de entrada en el fluido corresponden a las velocidades de diseno, las cua-les fueron calculadas conforme al Manual de Diseno por Viento de la Comision Federal deElectricidad CFE Version 2008. Dichas velocidades se muestran en la tabla 5.2.

5.3 Condiciones de Contorno. 77

Figura 5.11 Condiciones de Contorno, Modelo.

Division Altura (m) VD (m/s)1 10.00 31.692 16.20 34.403 23.70 36.704 45.52 41.015 45.52-91.04 41.01

Tabla 5.2 Velocidades de diseno para el modelo.

5.3.1.2. Condiciones de acoplamiento.

La condicion de external-coupling-surfaces, representa las condicion en donde se realizara lainteraccion del fluido con la estructura. Esta condicion se muestra en la Figura 5.12.

5.3.1.3. Condicion de superficie ALE Boundary.

Esta condicion hace referencia a la formulacion ALE (Arbitrary Lagrangian-Eulerian) paraun fluido cuyo contorno es movil. Esta condicion se muestra en la Figura 5.13.


Figura 5.12 Condicion Ext-coupling-surfaces.

Figura 5.13 ALE Boundary-surface.

5.3.1.4. Condicion de superficie Forces Drag Lift.

La condicion de Forces-Drag-Lift-Surfaces, esta relacionada con las fuerzas que se generanen el fluido, esta condicion ha sido impuesta en el contorno donde se simula que el fluidointeractua con algun obstaculo, en este caso donde choca con la chimenea. Esta condicion semuestra en la Figura 5.14.

5.3 Condiciones de Contorno. 79

Figura 5.14 Forces-Drag-Lift-Surfaces.

5.3.2. Condiciones de Contorno Shell.

Las condiciones de contorno de los modelos de la chimenea son basicamente dos, la primeraes la condicion de external-coupling-surfaces y la de Constraints.

5.3.2.1. Condiciones de Restriccion.

Las condiciones de restriccion se aplicaron a la base simulando una restriccion de movimientoen las direcciones principales X, Y y Z, ası como de restriccion en el giro. Considerando quela chimenea esta empotrada en su base. Para el caso de los rigidizadores las condiciones decontorno son iguales, pues los rigidizadores no estan empotrados en la corona de la base.

5.3.2.2. Condiciones de acoplamiento.

La condicion de external-coupling-surfaces, representa las condicion de en donde se realizara lainteraccion de la estructura con el fluido. Dicha condicion se puede ver que es similar a la delfluido, pero ahora aplicada al modelo de la chimenea. Esta condicion se muestra en la Figura5.15.


Figura 5.15 Condicion Ext-coupling-surfaces.

5.3.2.3. Materiales.

Al modelo se le asignan los materiales y el espesor de la placa de acuerdo al cuadro 5.1, corres-pondiente a cada nivel. La asignacion de materiales y caracterısticas del mismo se muestranen la figura 5.16.

Figura 5.16 Espesores de Placa.

5.4 Mallas Fluido y Estructura (Shell). 81

5.4. Mallas Fluido y Estructura (Shell).

5.4.1. Malla Modelo del Viento, Fluido.

La malla generada para el fluido se muestra en la Figura 5.17, se considero una malla estruc-turada con elementos de volumen tipo hexaedro.

Figura 5.17 Malla Generada.

Teniendo las siguientes caracterısticas de la malla 1:Total numero de elementos hexaedro=46600Total numero de nodos=50502


5.4.1.1. Capa lımite.

En la malla del fluido existe una condicion especial en el tipo de mallado, pues en dicha mallase debe de poder capturar la capa lımite. Para la capa lımite se realizo una concentracion delos elementos de malla disminuyendo o concentrandose en proporcion logarıtmica de tamano,los elementos en el contorno interior del fluido van desde 2.136 metros hasta 25 milımetroscomo se muestra en la figura 5.18.

Figura 5.18 Captura de Capa Lımite.

5.4 Mallas Fluido y Estructura (Shell). 83

5.4.2. Malla Modelo Chimenea, Estructura.

Las mallas generadas para el modelo son la siguientes.

Para el modelo No. 1 se tiene una malla, que se muestra en la figura 5.19, con la siguientescaracterısticas:Numero de elementos triangulares=3840Numero de nodos=1960

Figura 5.19 Malla Generada. Modelo No.1, sin refuerzos.



Figura 5.20 Malla Generada. Modelo No.2, Con rigidizadores.


Figura 5.21 Malla Generada. Modelo No.3, Con rigidizadores y Anillos.

Como se puede ver por el numero de elementos, las mallas se van complicando, pues entremas numero de elementos tengamos en las mallas, mayor sera el tiempo de computo y tamanodel archivo de calculo.

5.5 Resultados. 85

5.5. Resultados.

5.5.1. Fluido, Viento.

En el fluido los principales resultados que podemos observar son las presiones y velocidadesque se generan, ademas de observar si se desarrollan vortices en la zona de sotavento.

5.5.1.1. Presiones del Fluido.

En la figura 5.22 se muestran los resultados obtenidos para las presiones que genera el fluido alinteractuar con la estructura, se puede observar que existen valores de presion positiva comonegativa. La presion positiva o de empuje tienen un valor de 1093.6 Pa y la presion negativao de succion un valor de -2140.1 Pa, el cual casi duplica el valor de presion de empuje.

Figura 5.22 Corte, Presiones del fluido.


Los valores de presion negativa se obtienen en la parte donde se generan los vortices, por loque ademas de tener desplazamientos longitudinales en la estructura tambien se presentarandesplazamientos perpendiculares en la direccion al flujo del viento.

En la Figura 5.23 se muestra el contorno del fluido, donde se pueden apreciar las zonas depresion positiva en color rojo y las zonas de presion negativa en color azul.

Figura 5.23 Contorno, Presiones del fluido.

5.5.1.2. Velocidades en Fluido.

Las velocidades en X se muestran en la figura 5.24, podemos apreciar que la velocidad asciendehasta tomar un valor de 82.47 m/s (296.89km/h) hasta un valor de -49.03 m/s (-176.51 km/h)en la zona de sotavento, esto es debido a que en esta zona se desarrollan vortices.

5.5 Resultados. 87

Figura 5.24 Velocidades en X.

5.5.1.3. Vortices.

En nuestro caso se desarrollan vortices alternantes, los cuales contribuyen en gran parte a ladeformacion de la estructura, el desarrollo de estos se debe de tomar mucho en consideracion,pues estos pueden hacer que la estructura entre en resonancia y la estructura podrıa colapsar.En la figuras 5.25 y 5.26 se muestra el desarrollo de los mismos incluyendo las velocidades ylas presiones, respectivamente.


Figura 5.25 Desarrollo de Vortices alternantes, Velocidades.

Figura 5.26 Desarrollo de Vortices alternantes, Presion.

5.5.2. Shell-Estructura.

Los principales resultados que podemos observar en la estructura son las presiones a lascuales esta sometida debido al viento, las deformaciones que se generan en la misma y susdesplazamientos maximos en sus direcciones principales, ası como la norma de los mismos.

5.5 Resultados. 89

5.5.2.1. Presiones en la estructura.

Las presiones que se ejercen en la estructura se muestran en la figura 5.27. Los valores depresion a las que se ve sometida la estructura son los siguiente: Presion positiva o de empuje1,093.6 Pa y Presion de succion -2139.5 Pa.

Cabe mencionar que la presion de succion se presenta de manera alternante longitudinalen los lados donde se presenta la misma.

Figura 5.27 Presiones en la estructura.

5.5.2.2. Deformacion y Desplazamientos Modelo No.1.

En la figura 5.28, se pueden observar los desplazamientos en las direcciones principales X,Yy Z para el modelo No.1 (Chimenea Simple).En direccion X: 0.0451 m (4.51 cm)En direccion Y: 0.0109 m (1.09 cm)En direccion Z: 0.0015 m, -.0022 m (1.5 mm, -2.2 mm)


Figura 5.28 Desplazamientos Direcciones Principales X, Y y Z, Modelo No.1.

En la figura 5.29, se muestra la norma de los desplazamientos Para el Modelo No.1, el cualtoma un valor de 0.04516 m (4.52 cm)

Figura 5.29 Norma de los desplazamientos, Modelo No.1.

En la Figura 5.30, Se muestra la deformacion que sufre la estructura al interactuar con elviento.

5.5 Resultados. 91

Figura 5.30 Deformacion de la estructura, Modelo No.1.


En la figura 5.31, se pueden observar los desplazamientos en las direcciones principales X,Yy Z para el modelo No.2 (Incluyendo Rigidizadores Perimetrales).En direccion X: 0.0359 m (3.59 cm)En direccion Y: 0.0146 m (1.46 cm)En direccion Z: 0.0013 m, -0.0018 m ( 1.3mm, -1.8 mm)



En la figura 5.32, se muestra la norma de los desplazamientos Para el Modelo No.2, el cualtoma un valor de 0.03638 m (3.64 cm).


5.5 Resultados. 93


En la figura 5.33, se pueden observar los desplazamientos en las direcciones principales X,Yy Z para el modelo No.3 (Incluyendo Rigidizadores Perimetrales y Anillos Longitudinales).En direccion X: 0.04173 m (4.17 cm)En direccion Y: 0.0097 m (0.97 cm)En direccion Z: 0.0015 m, -0.0021 m (1.5 mm, -2.10 mm)




En la figura 5.34, se muestra la norma de los desplazamientos para el Modelo No.3, el cualtoma un valor de 0.0417 m (4.17 cm).

En la Figura 5.35, se muestra la deformacion que sufre la estructura al interactuar con elviento.

Figura 5.35 Deformacion de la estructura, Modelo No.3.

5.6 Ovalizacion de la Seccion. 95

5.6. Ovalizacion de la Seccion.

En la figura 5.36 se muestra la deformacion transversal de la estructura propuesta por diversabibliografıa y en C.F.E. (2008b). En la figura 5.37 se muestra la deformacion transversalobtenida en la modelacion Interaccion Fluido-Estructura.

Figura 5.36 Ovalizacion teorica de la seccion.

Figura 5.37 Ovalizacion de la seccion, obtenida.

5.7. Elementos Mecanicos en la Base.

Los elementos mecanicos, como son fuerzas cortantes, fuerzas axiales y momentos flexionantesse presentan en la tabla 5.3. Para el caso de analisis y diseno el valor que interesa es el valormaximo que se presenta.


Cortante (Kg) Momento (Kg-m)X Y Z Y-Y X-X

Maximo 8272.27 2979.20 564.68 179 001.02 59 922.53Promedio 7536.11 996.07 445.58 171 892.55 19 769.46Mınimo 7048.42 0.63 363.77 163 995.92 4.98

Tabla 5.3 Elementos mecanicos en la base

5.8. Analisis Dinamico y Estatico en la Practica.

Se presenta un analisis sin realizar interaccion Fluido-Estructura, en este analisis se le colo-caron a la estructura las presiones exteriores como normalmente se considera en la practica.Las presiones que se tomaron en cuenta son las siguientes:

Presiones medias. Representan las presiones medias del viento, estas fueron tomadas delanalisis del fluido y despues se colocaron franjas de presiones alrededor de la estructura y alo largo de su altura. Ver figura 5.38

Presiones Envolventes. Estas Representan los maximos valores que se presentan a lo largodel tiempo en el fluido (Max-Abs). De igual forma se colocaron franjas de presiones alrededorde la estructura y a lo largo de su altura.

Figura 5.38 Presiones Consideradas, Medias y Maximas.

5.8 Analisis Dinamico y Estatico en la Practica. 97

Presiones por CFE 2008. Son las presiones calculadas con el reglamento de la comisionfederal de electricidad 2008. Estas se modificaron de tal forma que no actuen en una areaplana sino en el area real curva de la chimenea. Ver figura 5.39

Presiones por CFE 1993. Son las presiones calculadas con el reglamento de la comisionfederal de electricidad 1993. Estas se modificaron de tal forma que no actuen en un area planasino en el area real curva de la chimenea.

Figura 5.39 Presiones Consideradas CFE2008 y CFE1993.

5.8.1. Analisis Dinamico.

En las siguientes figuras, se muestran los desplazamientos maximos que generan las diferentespresiones consideradas para el analisis dinamico, estos se compararon con el desplazamientomaximo que se obtuvo del analisis interaccion fluido estructura.

Para las presiones obtenidas con el Manual CFE 2008, se tiene un desplazamiento maximode 3.59 cm.


Figura 5.40 Presiones Consideradas CFE-2008 y CFE-1993.


Figura 5.41 Desplazamiento en X, Presiones CFE 1993.


Para las presiones Medias obtenidas de la modelacion del Fluido, se tiene un desplazamientomaximo de 4.31 cm.

Figura 5.42 Desplazamiento en X, Presiones Medias.

Para las presiones Envolventes obtenidas de la modelacion del Fluido, se tiene un desplaza-miento maximo de 5.63 cm.

Figura 5.43 Desplazamiento en X, Presiones Envolventes.


5.8.2. Analisis Estatico.

En las siguientes figuras, se muestran los desplazamientos maximos que generan las diferentespresiones consideradas para el analisis estatico, estos se compararon con el desplazamientomaximo que se obtuvo del analisis interaccion fluido estructura.






Para las presiones Medias obtenidas de la modelacion del Fluido, se tiene un desplazamientomaximo de 2.25 cm.

Figura 5.46 Desplazamiento en X, Presiones Medias.

Para las presiones Envolventes obtenidas de la modelacion del Fluido, se tiene un desplaza-miento maximo de 3.15 cm.

Figura 5.47 Desplazamiento en X, Presiones Envolventes

5.8.3. Comparacion de los Analisis Dinamico vs. Estatico.

En la tabla 5.4 se muestran los resultados obtenidos para el analisis dinamico, si compara-mos los resultados con el analisis Interaccion Fluido Estructura FSI, observamos un error


considerable en los desplazamientos que generan las presiones, pues el Manual predice el des-plazamiento con un error de 20%. En cuanto a las presiones que obtuvimos de la modelaciondel fluido observamos que las presiones que predicen mejor el comportamiento de la estructurason las presiones medias, pues tienen un error tan solo del 4%, mientras que las envolventessobrestiman el comportamiento, lo cual es razonable, pues en el fluido no se presentan valoresmaximos en un solo paso del tiempo, sino que estos se presentan de forma individual en cadapaso de tiempo.

Tipo de Presion Desplazamiento (cm) Error%FSI 4.51

CFE 2008 3.59 -20%CFE 1993 3.55 -21%Medias 4.31 -4%

Envolventes 5.63 25%

Tabla 5.4 Desplazamiento Longitudinal, Analisis dinamico.

En la tabla 5.5 se muestran los resultados obtenidos para el analisis estatico, comparando losresultados nuevamente nuestro caso de Interaccion Fluido Estructura FSI, observamos que elerror es muy considerable, pues incluso las presiones envolventes del fluido que en el analisisdinamico sobrevaloraban el desplazamiento, ahora para el analisis estatico lo subestima pre-sentando un error del 30%. Por lo tanto en este tipo de estructuras es de suma importanciatomar en cuenta la realizacion de un analisis dinamico.

Tipo de Presion Desplazamiento (cm) Error%FSI 4.51

CFE 2008 1.82 -60%CFE 1993 1.79 -60%Medias 2.25 -50%

Envolvente 3.15 -30%

Tabla 5.5 Desplazamiento Longitudinal, Analisis estatico.

5.8.3.1. Graficas desplazamiento-tiempo.

En la siguientes graficas se muestra el desplazamiento de la estructura con el paso del tiempo,comparando los diferentes casos contra el analisis Interaccion fluido estructura FSI.

En las figuras 5.48 y 5.49 se muestran las graficas del movimiento de la estructura en eltiempo.


Se puede observar que para el caso de Interaccion FSI la estructura se deforma mas rapi-damente, lo que nos indica que se estan activando mas rapidamente los modos de vibracionnatural de la estructura, ademas de que no es un solo modo el que se activa, sino que son lacombinacion de varios, prueba de ello son las irregularidades en las crestas y valles de la grafica.

Mientras que para el analisis con las presiones calculadas con los manuales CFE2008 yCFE1993 la estructura solamente tiene una forma de vibrar muy uniforme.

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

[ cm ]

[ S ]

INTERACCIÓN FSI

CFE2008 DINAMICO

CFE2008 ESTÁTICO

Figura 5.48 FSI-CFE 2008

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

[ cm ]

[ S ]

INTERACCIÓN FSI

CFE 1993 DINÁMICO

CFE 1993 ESTÁTICO

Figura 5.49 FSI-CFE 1993

De igual forma en la figura 5.50 se observa que las presiones envolventes sobrestiman el


efecto de deformacion en la estructura, mientras que las presiones medias lo hacen de formaaceptable.

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

[ cm ]

[ S ]

INTERACCIÓN FSI

PRESIONES MEDIAS DINÁMICO

PRESIONES MEDIAS ESTÁTICO

ENVOLVENTES DINÁMICO

ENVOLVENTES ESTÁTICO

Figura 5.50 FSI-Medidas medias y envolventes

En la Figura 5.51 se muestra un resumen de las graficas para los analisis dinamicos, podemosdestacar que la mejor aproximacion sin tener que realizar un analisis de Interaccion Fluido-Estructura, la da las presiones medias en el fluido, por lo tanto una alternativa puede ser ob-tener las presiones medias del fluido, colocarlas a la estructura y realizar un analisis dinamico.

Pero la desventaja de este tipo de analisis es que no predice el comportamiento real, puespara este caso la estructura solamente se ve forzada a un solo modo de vibracion natural,mientras que en el caso de Interaccion la estructura se ve forzada a desarrollar varios modosde vibracion, esta problematica debe de ser considerada y este planteamiento es solo unaalternativa para una modelacion practica.

5.9. Distribucion de las Presiones.

En la figura 5.52 se da un bosquejo general de las presiones que genera el fluido al pasar frentea un obstaculo circular, para nuestro caso el flujo del viento frente a la Chimenea obtenidomediante la interaccion Fluido-Estructura.

Se puede observar que se tienen presiones de empuje en la parte donde el viento hacecontacto directo con la estructura y en su mayorıa succiones en donde el viento pasa sobre laestructura. Siendo mayores las succiones que las presiones de empuje, pero que combinadasen direccion longitudinal se suman en direccion del flujo del viento. De igual manera existen

5.10 Esfuerzos Generados en la Estructura. 105

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

[ cm ]

[ S ]

INTERACCIÓN FSI

CFE 2008 DINÁMICO

CFE 1993 DINÁMICO

MEDIAS DINÁMICO

ENVOLVENTES DINÁMICO

Figura 5.51 FSI-Todos los analisis dinamicos

succiones transversales al flujo del viento, estas ultimas de forma alternante a lo largo de laestructura.

Figura 5.52 Distribucion de las Presiones de empuje y succion, caso Interaccion Fluido-EstructuraFSI.

5.10. Esfuerzos Generados en la Estructura.

Debido a la deformacion que sufre la estructura por el viento, se generan esfuerzos internos.Estos esfuerzos deberan ser menores que la resistencia del material.

En las Figuras 5.53, 5.54 y 5.55. se muestran las fuerzas de Von Mises.


Figura 5.53 Fuerzas de Von Mises, Modelo No.1.


Y en la tabla 5.6 se resumen los esfuerzos a los cuales la estructura se encuentra expuesta.Estos se obtienen dividiendo las fuerzas por el espesor de la placa donde se presenta el maximoesfuerzo. El esfuerzo en el que la estructura comenzarıa a fallar es de 2530 kg/cm2 que es el

5.11 Movimiento Real de la Chimenea. 107


esfuerzo de fluencia para el acero. Siendo el permisible de 2018 kg/cm2.

Modelo Fuerzas de Von Mises (N) Espesor placa (m) Esf. de Von Mises kg/cm2

No. 1 385 550 0.01905 206No. 2 293 220 0.01905 157No. 3 372 910 0.01905 200

Tabla 5.6 Desplazamiento Longitudinal, Analisis estatico.

Como podemos observar los esfuerzos no exceden el esfuerzo de fluencia, por lo que la estruc-tura no presentara fallas por esfuerzos. Y dicho material se encuentra trabajando a menos del15% en todos los casos.

Hay que resaltar que los esfuerzos maximos no siempre estan en la misma posicion y queademas presentan maximos locales a lo largo del tiempo. En nuestro estudio encontramos queel maximo a lo largo de todo el tiempo se encontraba en una posicion cercana al cambio deseccion variable a seccion constante. Lo cual es un indicio de que una posible falla se puedepresentar en esa zona.

5.11. Movimiento Real de la Chimenea.

En el analisis Interaccion Fluido-Estructura FSI el movimiento de la estructura no es total-mente longitudinal al flujo del viento, sino que tiene un movimiento sesgado a la derecha del


flujo del viento y en recuperacion continua con un movimiento sesgado a la izquierda, estefenomeno es de gran importancia, pues mientras la estructura se esta deformando conjunta-mente se estan activando varios modos de vibracion de la estructura, generando fuerzas detorsion en la seccion de la estructura y por consecuencia tambien en la parte de anclaje ycimentacion, lo que puede llevar a la fatiga a los elementos de anclaje e incluso a la estructuramisma.

Este movimiento solamente se presenta si se realiza la interaccion fluido estructura, puesen los casos dinamicos con presiones constantes sobre la estructura el movimiento es muy uni-forme en sentido longitudinal y transversal de la seccion. Cabe mencionar que este movimientose repite en ciclos de deformacion y recuperacion.

Figura 5.56 Comportamiento en la deformacion de la Chimenea.

Capıtulo 6

Resumen de Resultados y Conclusiones.

6.1. Resultados.

6.1.1. Presion de Empuje Actuante.

Haciendo una comparacion de la presiones de empuje a las que esta sometida la estructura,respecto a las que toma en cuenta el manual de diseno por viento a la CFE 2008 tabla 6.1, sepuede observar que esta es menor a la que en realidad se presenta en la estructura.

Metodo Presion de empuje (Kgf/m2) Error (%)

Interaccion Fluido-Estructura 111.50Manual CFE 1993 60.14 46Manual CFE 2008 60.78 45

Tabla 6.1 Presion Maxima de empuje.

6.1.2. Presion de Succion Actuante.

En lo que se refiere a la presion de succion esta no debe de subestimarse, pues podrıa ser estamas crıtica que la presion de empuje, pues se desarrollan succiones que son mucho mayoresque los empujes. Por lo que se puede decir que es mas probable que una estructura de granaltura colapse debido a la succion que al empuje generado por el viento, ya que la estructurapodrıa entrar en resonancia. En la tabla 6.2 se observa el valor de succion maximo que actuaen la estructura.

109

110 6. Resumen de Resultados y Conclusiones.

Metodo Presion de Succion (kgf/m2)

Interaccion Fluido-Estructura 218Manual CFE 1993 Solo un fuerza en el tercio superiorManual CFE 2008 No aplica como Presion

Tabla 6.2 Presion Maxima de Succion.

6.1.3. Elementos Mecanicos en la Base, Direccion del Viento.

Estos son una consecuencia de las presiones y en la modelacion Fluido-Estructura se desa-rrollan mayores elementos mecanicos, que realizando un calculo con el Manual de diseno porviento CFE 2008. En la tabla 6.3 se hace una comparacion frente al analisis sısmico (Ver C.F.E.(2008a)), para ver la importancia del viento frente a las estructuras de altura considerable.

Metodo Cortante (Kgf ) Momento (Kgf · m)Interaccion Fluido-Estructura 8 272 179 001Manual CFE 1993-Viento 4 072 104 468Manual CFE 2008-Viento 5 197 121 075Manual CFE 2008-Sismo 10 262 229 058

Considerados de diseno, CFE 1993,(F.S.=3) 12 600 310 810

Tabla 6.3 Elementos mecanicos, Direccion del viento.

6.1.4. Desplazamientos en la Estructura.

Los desplazamientos varıan dependiendo de la rigidez de la estructura en nuestro caso setienen tres diferentes estructuraciones consideradas en la chimenea y estos fueron comparadosrespecto al Manual de Diseno de Obras Civiles, Diseno por viento 2008 y 1993.

En la tabla 6.4 se muestran los resultados obtenidos para las tres diferentes estructuracio-nes modeladas.

Se puede observar que la chimenea conformada a base de placa tiene un desplazamientomaximo de 4.51 cm en la direccion del viento y de 1.09cm en la direccion transversal al flujodel viento.

En el segundo modelo incluyendo los rigidizadores, observamos que estos sirven de refuerzosa flexion, pues el desplazamiento maximo se reduce a 3.59 cm en la direccion del viento y de1.46 cm en la direccion transversal al flujo del viento, incrementandose este valor, pues ahoratiene una concentracion de masa lateral mayor.

En el tercer caso donde se modela la estructura a la forma mas real se observa que losanillos sirven como refuerzo longitudinal de la seccion, pues reduce el desplazamiento deovalizacion a 0.97 cm en la direccion transversal al flujo del viento, pero esta concentracion de

6.2 Conclusiones. 111

masa en la parte superior de la estructura provoca que el desplazamiento en la direccion delviento se incremente respecto al segundo modelo teniendo un valor de 4.17 cm, esto es debidoa la no linealidad, pues una vez deformada la estructura se le somete a una mayor fuerza degravedad. Por lo que se deben de evitar las concentraciones de masa en la parte superior dela estructura.

Desplazamiento (cm)Modelo Descripcion X Y Z Norma (cm)No. 1 Simple 4.51 1.09 0.15, -0.22 4.52No. 2 Rigidizadores 3.59 1.46 0.13, -0.18 3.64No. 3 Rigidizadores y anillos 4.17 0.97 0.15, -0.21 4.17Manual CFE 2008 3.59 3.59Manual CFE 1993 3.55 3.55

Tabla 6.4 Comparacion de desplazamientos.

6.2. Conclusiones.

En este trabajo podemos ver la importancia que existe en la realizacion de un analisis deInteraccion Fluido-Estructura (FSI) aplicado al analisis de estructuras sometidas a los efectosdel viento, ya que se puede dar una prediccion mas real de las cargas por viento y deformacionde la estructura, ası como de su comportamiento.

Tambien se destaca la utilizacion de reglamentos actuales de diseno por viento, y la varia-cion de resultados en lo referente a las presiones, succiones y desplazamientos de la estructura.Resulta de gran importancia conocer los reglamentos de diseno por viento y extraer lo mejor deellos, para que de este modo se puedan realizar en un futuro actualizaciones o modificacionesbasadas en la investigacion. Es importante remarcar la aplicacion de modelos de InteraccionFluido-Estructura (FSI) para algunos casos especiales. Ademas se ve la aplicacion directay la potencia del metodo de los elementos finitos y por ende el desarrollo de los metodosnumericos, pues todo este trabajo de modelacion finalmente recae en estos.

Es importante destacar las estructuraciones que se pueden proponer tratando siempre deque una estructura se comporte lo mas optimo ante los efectos que le ocasiona el viento,sin embargo debemos de evitar la concentracion de elementos en la parte superior de lasestructuras altas y flexibles, pues estos contribuyen a la deformacion y al cambio en el periodode la estructura. Lo mas recomendable es tratar de darle estabilidad en la parte de la base eincluir refuerzos a flexion en la direccion del viento y refuerzos perimetrales como anillos enlas partes medias de la estructura, donde existan discontinuidades como cambio de pendienteo huecos de ductos, ya que estas partes representan una zona de gran probabilidad de fallatal y como se demostro.

Capıtulo 7

Propuestas de Futuros Analisis.

7.1. Propuesta 1.

Una modelacion futura que se propone es la de considerar en el modelo los rigidizadores porla parte exterior, para comparar las presiones del viento y ver el comportamiento de este.

Ademas en esta propuesta incluir unos rigidizadores que no vayan con longitudes iguales,sino que vayan con longitudes variables de tal modo que se genere una geometrıa de formahelicoidal con estos elementos, con la suposicion de que en esta forma los vortices no se lleguena desarrollar debido al cambio brusco de seccion conforme con la altura de la estructura.

Para ver el tipo y criterios de malla ver Anexo A.4.

Figura 7.1 Propuesta 1.

112

7.2 Propuesta 2. 113

7.2. Propuesta 2.

Se propone la modelacion de los elementos helicoidales en la parte superior de la chimenea, oen todo el tercio superior de la misma. Estos elementos son llamados spoilers o rompedoresde viento.

Esta modelacion permitirıa ver la funcion que tienen los mismos al reducir o eliminarincluso, la formacion de vortices alterantes y evitar la ovalizacion de la seccion, ası como sumovimiento lateral.

Cabe mencionar que este tipo de elementos pueden ser empleados en otro tipo de cons-trucciones de seccion circular, como tuberıas en plataformas columnas y pilotes en el mar,por lo que el analisis de este tipo de aditamento es de gran interes y relevancia.

Para ver el tipo y criterios de malla ver Anexo A.4.

Figura 7.2 Propuesta 2.

La malla aproximada para considerar los rompedores de viento se muestra en la figura 7.3. Enesta malla la capa limite no esta capturada debidamente pero se puede observar la complejidadde la malla y la concentracion de los elementos, ademas de que la malla debe ir girandosiguiendo la geometrıa de los rompedores de viento.

114 7. Propuestas de Futuros Analisis.

Figura 7.3 Malla con rompedores.

Capıtulo A

Anexo

A.1. Partes principales de la chimenea.

La Chimenea se divide en 2 partes principales, la parte de Faldon de chimenea que en este casose tiene una seccion tronco-conica la cual se encuentra por debajo del ducto de gases y la zonade Ducto de chimenea que en este caso pertenece a la zona de seccion lineal constante la cualse encuentra por encima del ducto de gases. Esta segunda parte cuenta con un recubrimientode concreto refractario, que depende de las especificaciones. En la figura A.1 se muestra unesquema de la chimenea.

A.2. Consideracion del recubrimiento refractario.

El recubrimiento de concreto refractario se tomo en cuenta para considerar la rigidez que leaporta a la seccion y por consecuencia afectar en la frecuencia natural de la estructura.

El procedimiento fue considerar el volumen presente de concreto refractario y convertirloa un espesor equivalente de acero, y ası modelar la chimenea como una seccion solamenteformada por acero.

El peso especıfico esta dado por

γ =W

V(A.2.1)

Wc = γcVc = γcAcec (A.2.2)

Para convertir a espesor equivalente

γ =Wc

Aaea(A.2.3)

115

116 A. Anexo

Figura A.1 Chimenea.

Despejando ea, sustituyendo WC y simplificando la areas de contacto las cuales son igualesnos queda

ea =WC

γaAa

=γCACeCγAAA

=γConcreto

γAcero

eC (A.2.4)

Sustituyendo valores, γC=1100 kg/m3, γa=7850 kg/m3, espesor de Concreto refractario = 30mm. ea=4mm.

Tenemos que al espesor real de placa debemos de sumarle 4mm correspondientes a laaportacion del espesor del concreto refractario.

A.3. Justificacion de las dimensiones de chimenea.

Los valores de altura y diametro de la chimenea van ligados a las variables de velocidad delos gases circulantes y las perdidas por tiro termico en cada seccion por la cual circulan losgases.

Diametro,necesario para liberar los gases producidos en la quema del combustible. Altura,Como referencia se deben de superar los 32 m de altura.

A.4 Justificacion en la simplificacion de las mallas, en elementos de estructuracion. 117

A.4. Justificacion en la simplificacion de las mallas, en

elementos de estructuracion.

En este apartado se desarrolla la explicacion de la simplificacion en las mallas. Las presionesy succiones que genera el viento al pasar por un obstaculo dependen de la geometrıa generaldel mismo.

El problema al querer implementar elementos en la seccion de la chimenea se basa no enla geometrıa de esta, sino en la geometrıa del fluido y por consecuencia la complejidad de lamalla, pues al momento de querer capturar la capa limite se tendra el problema de capturarla,teniendo entonces que aumentar considerablemente el numero de elementos de malla.

El problema no radica en la complejidad, dificultad y numero de elementos de malla en elfluido, ni en el codigo de calculo, sino que la capacidad de computo de la que se dispone sevuelve insuficiente, pues se generan archivos de calculo muy grandes.

Es por eso que los elementos que aportan rigidez a la estructura se tuvieron que modelarpor dentro de la chimenea, elementos que en la realidad forman parte de la estructura por laparte exterior de la misma.

Como prueba se genero una malla del fluido incluyendo los rigidizadores, teniendo unamalla con las siguientes caracterısticas:Numero de elementos hexaedro=91952Numero de nodos=98695

La cual supera por mucho las malla empleadas.

La malla aproximada para considerar los rigidizadores externamente se muestra en la figuraA.2. En esta malla la capa limite no esta capturada debidamente pero se puede observar lacomplejidad de la malla y la concentracion de los elementos.

Figura A.2 Malla con rigidizadores.

Bibliografıa

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Valdes, J. G. (2008). Apuntes Elementos finitos. Facultad de Ingenierıa civil, Universidad deGuanajuato.

Valdes, J. G.; Onate, E. y Miquel, J. (2007). Nonlinear Analysis of Orthotropic Menbrane

and Shell Structures Including Fluid-Structure Interaction. CIMNE.

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