Matemticas. Antologa. Primer Taller de Actualizacin sobre los Programas de Estudio 2006. Reforma de la Edu-cacin Secundaria fue elaborado por personal acadmico de la Direccin General de Desarrollo Curricular, que pertenece a la Subsecretara de Educacin Bsica de la Secretara de Educacin Pblica.La sep agradece a los profesores y directivos de las escuelas secundarias y a los especialistas de otras insti-tuciones por su participacin en este proceso.CompiladoresRevisoresCoordinador editorialEsteban MantecaCuidado de edicinRubn FischerDiseo Ismael Villafranco TinocoFormacinLeticia Dvila AcostaPrimera edicin, 2006 SECRETARA DE EDUCACIN PBLICA, 2006Argentina 28Col. Centro, C. P. 06020Mxico, D. F.isbn 968-9076-30-2Impreso en MxicoMATERIAL GRATUITO. PROHIBIDA SU VENTAndiceIntroduccin2El eslabn perdido entre enseanza y aprendizaje3Hacer y estudiar matemticas. Las matemticas en la sociedad5Notas sobre el papel de la nocin de razn en la construccin de las fracciones en la escuela primaria2 8 Yves Chevallard, Marianna Bosh, Josep GascnIntroduccin: Nuevas competencias profesionales para ensear42Organizar y animar situaciones de aprendizaje5 1 Phillippe PerrenoudPrincipios orientadores de la evaluacin constructiva64Vigilancia de la buena prctica por parte de profesores y estudiantes6 6 David ClarkLa evaluacin en el aula: educacin secundaria96El desarrollo de competencias matemticas en la educacin bsica103 Mara Antonia Casanova El error. Un medio para ensear110Qu estatus se da al error en la escuela?111 Jean Pierre AstolfEl valor de la educacin y el papel de las tecnologas de la informacin y la comunicacin122Angela McFarlane5Lapresente Antologasehaelaboradoconla fnalidad de apoyar a los profesores de mate-mticas de educacin secundaria en el anlisis delosnuevosprogramasdeestudiodeesta asignatura.Conscientesdequeunreclamolegtimo delosprofesoreseslanecesidaddeconocer los referentes tericos en los que se sustenta la nueva propuesta curricular, se han selecciona-do 8 temas relevantes vinculados con el proce-sodeestudiodelamatemtica,quegiranen tornoalanaturalezayestructura delosnue-vos programas; stos son:1. Las fnalidades y el perfl de egreso de la educacin secundaria.2. Por qu y para qu estudiar matemticas en la educacin secundaria.3. Laestructuradelosnuevosprogramas. El caso de la proporcionalidad.4. Planifcar el trabajo para mejorar la prctica.5. Evaluacin del desempeo de los alumnos.6. El desarrollo de competencias matemticas.7. El error como fuente de aprendizaje.8. Estudiarmatemticasconapoyodela tecnologa.Pararefexionarsobrecadaunodeestos temashayunaodoslecturasqueevidente-mentenoagotaneltemaperopuedenserel punto de partida para emprender procesos de bsqueda ms profundos y ms amplios. Con estaintencin,lamayorpartedelaslecturas ha sido tomada de libros que forman parte de la Biblioteca de Actualizacin del Maestro.AunqueestaAntologasevinculadirecta-mente con la Gua para el anlisis del programa de primer grado, por s misma puede resultar til para todos los profesores de matemticas de educacin secundaria, puesto que, excepto el tercer tema, que se refere especfcamente a un contenido de primer grado, los dems son aspectos comunes para los tres grados.El orden en el que aparecen las lecturas en la antologa corresponde con el de las sesiones delaGua,apartirdelasegundasesin.Es muyimportantequeantesderealizarlasac-tividadesqueseplanteanencadasesin,se leacuidadosamenteeltextocorrespondiente, a fn de tener ms elementos que apoyen la re-fexin.Los compiladoresIntroduccin7Estudiar matemticas. El eslabn perdido entre enseanza y aprendizaje* Yves Chevallard, Marianna Bosch y Josep GascnPrlogoEl eslabn perdido entre enseanza y aprendizajeEste libro va dirigido a alumnos, padres y pro-fesores. A todos a la vez. Esta situacin tan poco habitual merece una explicacin.Estelibrotratadelestudiodelasmatem-ticas.Noselimitaalanlisisdelaenseanza delasmatemticas,queestanslounmedio para el estudio. Tampoco pretende disertar sa-biamentesobreelaprendizaje,queaunsiendo el objetivo del estudio, se puede convertir fcil-mente en una entidad abstracta cuando igno-ramos aquello que lo hace posible: el proceso de estudio o proceso didctico.Elestudioeshoyeleslabnperdidoentre unaenseanzaqueparecequerercontrolar todoelprocesodidcticoyunaprendizaje cadavezmsdebilitadoporlaexigenciade queseproduzcacomounaconsecuenciain-mediata,casiinstantnea,delaenseanza. Este libro pretende restituir el estudio al lugar quelecorresponde:elcorazndelproyecto educativodenuestrasociedad.Enlugarde circunscribirlaeducacinalainteraccinen-tre enseanza y aprendizaje, proponemos con-siderarla de manera ms amplia como un pro-yecto de estudio cuyos principales protagonistas son los alumnos. El profesor dirige el estudio, el alumno estudia, los padres ayudan a sus hi-josaestudiaryadarsentidoalesfuerzoque se les exige. Una vez restablecido este eslabn, se puede tambin restablecer la comunicacin entre alumnos, padres y profesores, haciendo queeldilogoentrelasociedadylaescuela recobre su sentido primordial: la escuela lleva a las jvenes generaciones a estudiar aquellas obrashumanasquemejorlesservirnpara comprender la sociedad en la que se disponen a entrar.Estelibrotratadelestudiodelasmatem-ticas.Laobramatemticatienemsdevein-ticincosiglosdeantigedad.Larespetamos, latememosynosresignamosaquenoscon-frontenconelladuranteesteparntesisde nuestra vida en el que, por las buenas o por las malas, vamos a la escuela. Pero, desgraciada-mente, ya no comprendemos qu sentido tiene estudiarla.Lasmatemticas,tanpresentesen nuestra vida cotidiana por medio de los obje-tos tcnicos, son empero, para muchos de no-sotros, cada vez ms invisibles y extraas. Esta situacinesmalsanaylaescuela,ennombre delasociedad,deberaremediarla.Peropara ello necesitamos comprender por qu hay ma-temticas en la sociedad y por qu hay que es-tudiar matemticas en la escuela.Este libro pretende, pues, ensear a leer: a leer la sociedad, la escuela, las matemticas. Laclaveparaestalecturaes,comoyahemos apuntado,lanocindeestudio;elinstrumen-toparallevarlaacabonosloproporcionael anlisis didctico en el que querramos iniciar al lector, sea ste profesor, padre o alumno.El libro se divide en cuatro partes o unidades. Cadaunidadconstadeunepisodioseguidode unos dilogos entre dos personajes con los que el lector se familiarizar muy pronto: el estudiante y la profesora. El estudiante consulta a la profe-soraparaqueleayudeaanalizarfragmentos * Mxico, Horsori/ice Universitat de Barcelona/sep (Biblioteca para la actualizacin del maestro), 2004, pp. 13-47.8de unas transcripciones los episodios que le proporcion Mara Nez, una periodista cuya generosidad no podremos nunca dejar de agra-decer. Los dilogos entre el estudiante y la pro-fesora van seguidos de una breve sntesis y, ms adelante,deunoscomentariosyprofundizacio-nes que resumen y completan dichos dilogos, dando a veces lugar a algunos desarrollos ms especializados que presentamos en los anexos. Debido a que no se puede comprender una obra oyendo slo hablar de ella, el lector podr aventurarse en unos pequeos estudios matem-ticos (PEM) que hallar al fnal de cada unidad. De esta manera podr desarrollar una verdade-raactividadmatemtica,necesariaparacom-pletar la lectura lineal, tranquila y refexiva del texto. Una vez ledo o, mejor dicho, estudiado el libro,ellectorhabrentradoencontactocon las matemticas y, a travs de ellas, con algu-nas de las razones que fundamentan y organi-zan nuestra vida en sociedad. Son razones que la cotidianeidad nos lleva demasiado frecuen-temente a ignorar y que, por ello mismo, cada unodenosotrosdeberavolveraconsiderar conciertaregularidad.Estelibroes,pues,un libro para volver a empezar.Los autoresBarcelona, abril de 19969Episodio 1La Tienda de MatemticasNota de la periodistaEmpiezoelreportajevisitandoeldispositivoque ms me llam la atencin al leer el folleto de presen-tacin del instituto de educacin secundaria Juan de Mairena: la Tienda de Matemticas. Me atien-de Eduardo, un profesor.Periodista(P):Desdecundoexistela Tienda de Matemticas?Eduardo (E): Pues, creo que desde la crea-cin del Instituto. Aunque no lo s muy bien, llevo slo tres aos trabajando aqu.P: Y para qu sirve?E:Ah!Esosquelos:LaTiendade Matemticas pretende responder a las necesi-dades matemticas de.P: del conjunto de miembros del Insti-tuto y de su entorno. Ya lo he ledo en el folle-to. Pero cmo funciona en la prctica?E: Pues mira, supongamos que tienes que hacer algo y te surge un problema. Si se trata de un problema esencialmente matemtico, lo mejor es venir a la Tienda.P:Ya. Y entonces os planteo el problema, no es eso?E:Exacto.Siquierestepuedodarun ejemploP: Espera. A lo mejor te puedo proponer uno yo. Un ejemplo de verdad. El otro da fui a comprar un tendedero de ropa. Uno de estos pequeos,deapartamento.Habadosmode-los. Mira, he trado el catlogo (Le enseo los dibujos de los tendederos.)E: Y bien?P: Al fnal me decid por ste (Le enseo el modelo A.) Me pareci ms simple, ms cl-sico. Pero luego me qued pensando que qui-zelotroeramejor,quehubieracabidoms ropa.Esestounacuestindematemticas? Esdecir,esestounacuestinparalaTienda de Matemticas? Qu te parece?E:Qusiesunacuestindematemti-cas? El saber si uno es mejor que el otro? Pues, la verdad no lo s Vers, es que yo no soy profesor de matemticas.P: Ah no?E: No. Hoy sustituyo a una colega de ma-temticas,Marta,quetenareunindesemi-nario. Yosoyprofesordelenguaymeocupo normalmentedelaTiendadeIdiomasyLin-gstica. Mi especialidad son los problemas de ortografa, tipografa, todo eso.P: Ya veo. Entonces no puedoE:Mira!AhvieneMarta!(Martaentra precipitadamente).Marta (M): Perdona, llego tarde!E: No pasa nada. Ha venido la periodistaM:Ah,s!SupongoqueeresMara Nez,no?Yamedijeronquevendraspor aqu.E: Y nada ms llegar, me plantea un pro-blema! Pero bueno, os dejo. (Sale.)Unidad I. Hacer y estudiar matemticas.Las matemticas en la sociedadModelo A Modelo BModelo A Modelo B10M: Y bien, cul era el problema?P:PuesPensqueeraunamanerade entrar en materiaM: Como quieras, la periodista eres t! A ver, cuntame (Le cuento mi problema.)Uno mejor que el otro?... Por ejemplo por-que permitira tender ms ropa no?P: S, algo as.M:Ya.Enestecaso,quizSupongo que basta con Mira, de todas formas Me sabetanmalnohaberpodidollegarantes! Te propongo lo siguiente: pasado maana, el equipodelaTiendasereneparaexaminar losencargosdelasemana.Puedesveniry hacer todas las preguntas que quieras. Segu-ramente podremos tratar tu encargo. Qu te parece?P:Muybien. Aspodrvermejorcmo funciona todo esto. Vendr encantada.Nota de la periodistaDosdasdespus,elTallerdeMatemticassere-neenlatrastiendaparaexaminarlospedidos delaTienda.AsistenMarta,otrosdosprofesores del centro, Jos y Luis, y yo misma. Luis dirige la sesin de trabajo.Luis(L):Vamosaver,empezamospor Jos?Jos (J): Como queris. Bueno. Yo me he encargado del pedido de una profesora de bio-loga. Lo que te cont ayer, Mara.P: La de la tabla?J: La misma. Su problema era muy sen-cillo: quera saber cuntos elementos diferen-tes se pueden poner en una tabla simtrica de orden n.M: En una matriz simtrica?J: S. Y la respuesta es inmediataP: Para m no!J:Vale,valePerodeberaserlopara alumnosdeBachillerato.Porlomenosteri-camente! (Risas.) La respuesta es: n (n + 1) /2.P: Y eso qu quiere decir?L:Puesmira,sitienesunatablade,por ejemplo,cuatroflasycuatrocolumnas,como mucho podrs poner 4 por 4 ms 1 partido por dos,esdecir,4por5,20,partidopor2,10.O sea, tendr como mucho 10 elementos distintos. As (Escribe en la pizarra que tiene detrs.)P: Y los elementos que faltan? Por ejem-plo, debajo del 4?M:Yaestndeterminados.Porquelata-bla tiene que ser simtrica. Mira. (Se levanta y va a la pizarra.)P: Ya veo! Como si la diagonal de en me-dio fuera un espejo, no?M: S. Se llama la diagonal principal. (Ri-sas.)Ten,compltalatahora!(Metiendela tiza. Risas.)P: Pero yo no soy matemtica (Voy a la pizarra y escribo con mucho cuidado.)Todos: Muy bien! (Risas.)P: Y le habis explicado todo esto a vues-tra colega de biologa?J: No, todo esto ya lo sabe Slo le di la frmulageneralportelfono,porqueeraur-gente. Para su clase del da siguiente.L:Muybien.Cuestinzanjada.Yt, Marta, tenas algo?Marta: Pues s, tena el problema de Ma-ra. Ya os lo cont ayer.L:Lostendederos.Vale.Ybien?Qu respuesta le das a nuestra cliente?M: Ja! Pues simplemente que tena que haber comprado el otro modelo! (Risas.)P: O sea que con el otro hay ms longi-tud de tendido?4 1 3 7 2 9 60 534 1 3 71 2 9 6 9 0 55 34 1 3 71 2 9 63 9 0 57 6 5 311M: Exacto. Supongamos que hay un n-mero n de cuadrados para uno y el doble 2n de tiras para el otro. Entonces con el modelo B, el de los cuadrados, ganas cien dividido por n-1 por ciento de tendido.P: Y eso qu signifca?J:Sitienesuntendederocon10tiras,el otromodelo,elquetienecincocuadrados,te da 25% ms de longitud.P: As hay siempre un 25% de ms?L: No, depende.P: Depende de qu?J: Del nmero de tiras o de cuadrados. De n.Si,porejemplo,hay3cuadradoso6tiras, entonces n = 3 y ganas 100 dividido por 2, es decir un 50%.P: Eso es muchsimo!M:S,perocuantasmstirastienes, menos ganas. Mira: con 18 tiras, es decir, con n=9(cuadrados),tendras(Escribeenla pizarra.) Slo ganaras 12.5%.J: Claro que si tuvieras nueve cuadrados, enelnovenocuadrado,elmspequeo,slo podras poner prendas pequeas calcetines, sostenes y bragas como mucho!(Martaparecemolestaporelcomentariode Jos.)L: Vaya, vaya. As que Mara no ha hecho buena compra. (Risas.) Bueno Pues yo he te-nido dos encargos. Por desgracia son un poco ms complicados, pero no corren prisa.M: De qu se trata?L: Primero Amalia, la profesora de econo-ma, quera saber si podramos introducir en el currculo de matemticas la nocin de elastici-dad. Le interesa porque en economa tiene que tratar el tema de la elasticidad de la demanda y cosas de este estilo.J: S, lo hablamos anteayer en la reunin de seminario.L:Exacto.Bueno,pueshabraqueestu-diar la cuestin. Desde un punto de vista ma-temtico.qpcosP: Es un encargo que viene del Seminario de Matemticas? De los mismos profesores?L: Exacto. Son nuestros clientes Hay que estudiar el tema. Deberamos tenerlo listo en mayo, para que en junio el Seminario pueda decidirse de cara al curso que viene. Amalia se ha ofrecido para trabajar con nosotros.J: Quin se va a ocupar del pedido?L: Francisco. Hoy no poda venir, pero ha aceptado. Asqueloharyoconlylaayu-dadeAmalia.Intentaremostenerunprimer informe para dentro de tres semanas, en la re-unin mensual del Seminario de Matemticas. Espero que no nos falte tiempo!M: Y el segundo encargo?L:Ah!steparecebastantemsdifcil. Nos viene de Luca. Es otra profesora de mate-mticas del Instituto.J: Est preparando el Curso Juan de Mairena de trigonometra.P:Sonprecisamenteloslibrosqueha-cisaquyquecubrentodosloscursosdel Instituto,no?Hevistoeldegramticade castellano.M: Eso mismo. El que tenamos de trigo-nometra ya estaba un poco anticuado. Y lo es-tamos retocando.Luca tiene horas libres para ello. Pero la estamos ayudando entre todos.L: Vale. Pues, su problema es Luca ha consultadoalosalumnos,paraverqutipo decuestionesproponan. Ylehanhechoesta pregunta:conlosngulosmshabituales,el senoyelcosenosonsiemprenmerosente-ros, fracciones, o fracciones con radicales. Por ejemplo(Vaalapizarramirndome,comosi quisiera hacerse entender. Le sigo la corriente). Por ejemplo, tenemos (Escribe). Elalumnolepreguntsiestoerasiem-precierto.Veiselproblema?Enqucasos se escribe con fracciones y radicales?M:ConfraccionesyradicalesLapre-gunta no es muy precisa42218cos236cos224cos213cos + = = = = 100100== 12.59 1812L: Ah est el problema. O, por lo menos, una parte del mismo.P: Y no sabis la solucin?L: Pues no Por lo menos yo no. Nunca haba pensado en ello!P: Y vuestra colega lo quiere introducir en el Curso?J: S. Por qu no? Si un alumno se lo ha preguntadoBueno,dependerdelasolu-cin.Aunquetambinsepuededejarelpro-blemasinrespuesta.Enfn,detodasformas, yo por ahora no s por dnde atacarlo. (Marta y Jos se han quedado en silencio. Ellos tampoco lo deben saber).13Dilogos 1Las matemticas se aprenden y se ensean pero tambin se crean y utilizanProfesora: As que queras hablar del epi-sodio de la Tienda de MatemticasEstudiante: S, eso es.P:Mepareceunbuentemaparaempe-zar.E: Usted particip en la creacin del Ins-tituto Juan de Mairena, no?P:S. Ademsformabapartedelosque apoyaban la idea de poner en marcha las Tien-dasenelInstituto.Porquenoslohayuna Tienda de MatemticasE: Ya. Tambin hay una de Idiomas y Lin-gstica.P: Por ejemplo.E:Yaqurespondalacreacindelas Tiendas? En principio, si lo he entendido bien, enlasTiendasnohayenseanzaniaprendi-zajeP: Parece que lo has entendido bien.E: Pero entonces para qu crear este tipo de de institucin, en un centro docente?P:Antesderesponder,permtemeuna pregunta. Has acabado recientemente la carre-ra de Matemticas, verdad?E: S.P: Y me podras decir por qu has estu-diado esta carrera?E: Porque me gustan las matemticas.P: Estupendo! No abundan los amantes delasmatemticas!Pero,enrealidad,cuando dicesquetegustanlasmatemticas,quieres decir que te gusta aprender matemticas?E:S,peronoeslonico.Tambinme gusta ensearlas.P:Perfecto.Siloheentendidobien,lo quehashechoconlasmatemticashasido aprenderlasparaluegoensearlas.Yaests trabajando?E: No, todava no. Pero doy clases parti-culares.P:Ah,ya.Muybien. Asque,segnpa-rece,lasmatemticassonparatialgoquese aprende y tambin algo que se ensea.E: S, claro.P:Puesbien,sustituyeahoramatem-ticasporfontanera.Lafontaneraesalgo que se aprende y se ensea.E: S.P:Perosupongoquetedascuentade que esta afrmacin es incompleta, que le falta algo.E: P: Socialmente. Falta algo.E: P: Si la fontanera slo fuera algo que se en-sea y se aprende, qu te parece que ocurrira?E:Losientoperomeparecequenola sigo No veo lo que quiere decir.P:Telovoyadecirclaramente.Sila fontaneraslofueraalgoqueseenseayse aprende no habra fontaneros!E:QuiereusteddecirqueAh,yalo entiendo! Slo habra alumnos de fontanera y profesores de fontanera, pero no habra fonta-neros. Sera algo as como un circuito cerrado.P:Esoes,exactamente.Situvierasuna avera,noencontrarasaningnfontanero. Habra gente que aprendera fontanera y gen-te que la enseara, pero no habra nadie para arreglarlosgrifosdetucuartodebao.En-tiendes lo que quiero decir?E: Creo que s Es verdad. Pero en nues-tra sociedad no slo hay profesores y alumnos 14dematemticas.Tambinhaymatemticos. Losmatemticossecorresponderanconlos fontaneros, no?P: S. En cierto sentido s.E:Entoncesloquequiereusteddecires que yo no soy matemtico.P:No,noesexactamenteeso.Normal-mente slo se considera matemticos a los que investiganenmatemticas,alosquecrean matemticasnuevas.Peronoesesalacues-tin.Consideremoslasmatemticasquehas aprendido. Porque has aprendido muchas ma-temticasE: Muchas? No s, algoP:Lobastantecomoparaque,conlas matemticasquehasaprendido,puedasre-solver muchos de los problemas matemticos que tienen los que no son matemticos.E:Comolaprofesoradebiologa,lade la tabla simtrica?P: Exactamente. Es un buen ejemplo. Por-que seguro que t puedes resolverle el proble-ma a partir de las matemticas que has apren-dido, no?E: S, s, claro.P: Bueno, a lo que bamos Has tenido alguna vez que resolver un problema de mate-mticas para alguien de tu entorno? Me refero a un problema que no haya propuesto un pro-fesordematemticas,niquehayasidopen-sado para aprender matemticas o comprobar que se han aprendido correctamente. Como el casodelatablasimtricadelaprofesorade biologa, por ejemplo.E: Pero en ese caso, no habra aprendido nada al resolver el problema de la tabla!P: Eso es lo que te deca! Slo se te ocurre hacer matemticas con el objetivo de aprender matemticas. Y maana, cuando seas profesor, slo se te ocurrir hacer matemticas para en-searlas, para que tus alumnos las aprendan.E: Y no le parece sufciente?P: Para responderte, volveremos al prin-cipio,alodelafontanera.Imaginaquees-tamosenunasociedadcomolaquehemos descritoantes,enlaqueslohayprofesores y alumnos de fontanera, pero sin fontaneros. Supn adems que alguien necesita un fonta-nero y recurre a un estudiante avanzado de fontanera. Me sigues?E: S.P: Pues bien, supn ahora que este estu-diantedefontanerasecomportaracomot respecto de las matemticas: examina el pro-blema de fontanera y se percata de que es un problema muy simple, con el que no aprende-r nada que no sepa ya. Entonces, de una ma-nera u otra, se negar a intervenirE:Creoqueexageraunpoco,profeso-ra! En el fondo, est usted diciendo que, para mlasmatemticassloexistenenlamedida en que tengo que aprenderlas o ensearlas. Y, adems, lo que usted se imagina no es verdad. Si alguien me pidiera que le explicara alguna cuestin de matemticas, no me negara a ha-cerlo. Con la condicin, claro, de que yo mis-mo supiera hacerlo!P:Loqueacabasdedecirmuestraque an no me entiendes bien. No se trata de expli-car, no se trata de hacer de profesor. Se trata de resolver un problema y de comunicar la solu-cin a la persona que lo necesita. Por ejemplo, no se trata de ayudar a la profesora de biologa a encontrar la frmula n(n+1)/2. Se trata slo de comunicrsela y, si es necesario, de decirle cmo utilizarla.E:Peronoseramejor,paraella,que aprendiera a establecer la frmula por s mis-ma?P: Si estuviera aprendiendo matemticas, quiz s, pero aqu lo que ella necesita es una frmula. Es eso lo que pide. Y t te comportas como un fontanero que, en lugar de arreglar el grifo de tu casa, se empea en ensearte cmo hacerlo t solo. De hecho, padeces una enfer-medadmuycomnentrelagentequenoha salido de la escuelaE: Qu enfermedad?!P:Laenfermedaddidctica.Consisteen reducirlotodoalaprenderyalensear,olvi-dandoquelosconocimientostambinsirven paraactuar.Enlasociedad,ensearyapren-der son slo medios para que cierto nmero de personas adquieran los conocimientos necesa-rios para realizar ciertas actividades. La enfer-medad didctica consiste en creer que toda la 15sociedadesunaescuela.Losiento,perotodo el mundo no puede saberlo todo, cada uno de nosotros slo puede dominar un pequeo n-mero de conocimientos.E: Pues si es as, por qu se obliga a los alumnos a aprender matemticas?P:Ah!Esperabaestapregunta! Aunque seguro que no la acabas de plantear porque te interese la respuesta, sino slo para tener un ar-gumento a tu favor. Por eso prefero que volva-mos a lo que te preguntaba al principio de todo, y que todava no has contestado: has tenido ya la ocasin de resolver un problema de matem-ticas porque te lo encargaba o peda alguien?E:Ahoramismonolorecuerdo.Pero,a pesar de lo que usted pretende, si se presenta-ralaocasinseguroqueloharagustoso.De todasformas,nocreoquenuncanadiemelo haya pedido.P: Pues mira, si alguna vez trabajas en el InstitutoJuandeMairena,tendrslaocasin de hacerlo cuando te toque atender la Tienda de Matemticas. Pero seguiremos hablando de todo ello el prximo da, porque hoy ya se nos ha hecho tarde.E: Muy bien. Muchas gracias, profesora.Qu signifca ser matemtico?E: Buenos das, profesora.P: Buenos das. Cmo va todo?E: Bien, gracias. PeroP: S?E: Le he estado dando vueltas a lo de la enfermedad didctica.P: Y bien?E: Pues me ha dejado un poco perple-jo. Y,adems,haocurridoalgo Alvolvera casa, el otro da Es realmente increble! Me llammiprimaportelfonoYresultaque me quera consultar sobre un problema de ma-temticas!P: Ah s? A qu se dedica tu prima?E: Es correctora y trabaja para una edito-rial, pero no est contratada. Le mandan libros yotrostextosacasaparaqueloscorrija.Su problemaesquetenaquehacerunafactura de un trabajo que haba realizado y quera co-brar por ello 45 000 pesetas.P:Ysupongoquequerasaberqucan-tidad poner en la factura para que, al restar el IRPF, le quedaran 45 000 pesetas, no?E: No, no exactamenteP: Ah no? Entonces qu quera?E:Puesver,alguienlehabadichoque bastaba con dividir entre 0.85.P: Y bien?E:Aellanoleconvencademasiado,no entendaporqu.Queraqueseloexplicara, queledijeraporquhabaquedividirentre 0.85.P:Ya.O,mejordicho,queraquelease-gurarasqueeraesoloquetenaquehacer. Queraestarseguraparanotenersorpresas ms tarde, para que no le pagaran menos. Es eso?E: S, ms o menos. De todas formas, se lo he explicado: para tener 45 000, hay que pedir x,talquexmenosel15%dexd45000.Lo hemos escritoP: Pero no hablabais por telfono?E: S, le he dicho que lo escribiera en un papel. Y enseguida ha visto que se trataba de una ecuacin de primer grado: x 0.15 x = 45 000. Y la ha resuelto ella sola!P: Muy bien! Qu estudios tiene tu pri-ma?E:Eslicenciadaenflologa.Deletras, vaya.P: Luego, como ves no ha olvidado todo lo que aprendi en secundaria!E:Precisamente.Lohubierapodido comprobar sola! Incluso lo del 0.85P: Hubiera podido, pero no pudo. Nece-sitabaayuda.Necesitabalaayudadeunma-temtico. T tambin habrs arreglado alguna vez un grifo de tu casa. Pero en algunos casos tienes que recurrir a un fontanero.E: P:Y,almismotiempo,paraquetengas querecurriraunfontanero,debehaberun mnimodedifcultad,no?O,porlomenos, tiene que ser importante que el trabajo se rea-lice bien, que no sea una chapuza. Como en el caso de tu prima: tena la solucin bastaba condividirentre0.85peroeraimportante que no hubiera ningn error!16E: S, ya veo. Para m no era un problema difcilP: Y, sin embargo, aceptaste resolverlo!E: S, s, claro. Para m no era difcil, pero para ella era muy importante.P:Exacto.Hoyhasaprendidoalgoms sobre cmo funciona la sociedad. Te felicito.E: Gracias. Pero ese da mi prima necesi-taba a un matemtico, y usted insinu la lti-ma vez que yo no era un matemtico.P:No!Yonuncahedichoeso!Tienes que prestar ms atencin a lo que decimos. El trabajo que realizamos necesita un poco de ri-gor!E:Losiento,losientoMepodraen-tonces precisar lo que entiende por matemti-co? Es lo que no llego a ver con claridad.P: Pues mira, hemos hablado de los mate-mticos que investiganen matemticas.E: S.P: ste es un sentido un tanto restrictivo delapalabramatemtico.Tevoyapropo-ner otra defnicin. Cuando alguien consulta a otro sobre una cuestin de matemticas Di-gamos, cuando a una persona A, una persona B le consulta sobre algo de matemticas, cuan-do B otorga su confanza a A sobre la validez delarespuesta,cuandoAaceptaelencargo de B y se compromete no necesariamente de manera explcita a garantizar la validez de su respuesta, entonces A es un matemtico o una matemtica. Mejor dicho, A es un matemtico para B.E: O sea que, segn su defnicin, ser ma-temticonoesunapropiedadsinounarela-cin entre dos personas, no?P: Exacto.E:Entonces,porejemplo,cuandoAes unodelosprofesoresdematemticasdela Tienda que contesta a la profesora de biologa, queesB,esteprofesordematemticas,Jos, es un matemtico para B, la profesora de bio-loga.P: Exacto. Y cuando t, A, contestas a tu primaE:Soyunmatemticoparaella.Pero unmatemticoqueinvestigaenmatemticas sabe muchas ms matemticas que yo. E inclu-so que Jos. Con su defnicin todo el mundo puede ser matemtico!P:Siquieres,s.Perounapersonadada slo ser matemtica para ciertas otras perso-nas. Un investigador en matemticas quiz no considere que t eres un matemtico.E: Quieres decir La puedo tutear, pro-fesora?P: Por supuesto!E: Quiere usted decir Perdn! Quieres decirquemevaamirarconunpocodedes-precio, no?P:No. Ysilohiciera,serasimplemente porqueentiendemalcmofuncionalasocie-dad. Tu prima no tiene por qu consultar a un matemticoespecialistapararesolversupro-blema. Ademsdesersocialmentemuycaro, sera sacar las cosas de quicio, como esas per-sonasquevanaveraunmdicoespecialista cuando tienen un simple resfriado.E: S, ya lo veo.P:Espera.Anhaydoscuestionespor clarifcar.Paraempezar,decasqueuninves-tigadorenmatemticassabemsmatemti-casquetyqueJos.Essindudacierto,por lomenosesloquesuponemos.Pero,aunque sepamuchasmatemticas,nolosabetodo. Nil,nielconjuntodelosinvestigadoresen matemticas de todo el mundo. Y si alguien le consultara sobre una cuestin que l no cono-ciera, no habra ninguna diferencia entre con-sultrselo a l y consultrselo a Jos o a ti. La personaqueconsultasequedaraigualmente sin solucin al problema!E: S. Dicho de otro modo, ser matemti-co es relativo. Uno podr ser matemtico para ciertas personas y no para otras.P: Eso mismo. Y la ley vale tambin para los matemticos investigadores. Pero dejemos aquestetema.Ahorahayotracuestinque queraexaminar:ladecmoseexpresarael hechodequeelinvestigadorenmatemticas delquehablabasnoteconsideraracomoun matemtico. La respuesta es simple: no se di-rigira a ti para pedirte que le resolvieras una cuestin de matemticas que l mismo no sabe resolver.Enotraspalabras,noteharanunca desempearelpapeldematemticoparal. 17Noseestablecera,entrelyt,estainterac-cin social particular de ser matemtico para alguien.Peronohayraznalgunaparaque te mire con desprecio.E:Entoncesporquhasdichoantes quiz?P: E: S, has dicho: quiz no considere que t eres un matemtico. Por qu quiz?P:Ah,yaveoloquemepreguntas.A lo mejor la frase est mal formulada. Lo que queradeciresque,enalgunoscasos,ste podrasolicitarcomomatemtico.Si,por ejemplo, te pusieras a investigar en matem-ticas y te pusieras a trabajar con l, te convir-tierasensucolaborador.Enestemomento, podra ser que te pidiera hacer algn trabajo matemticoE: Que l mismo no supiera hacer?P:No,tepediraquelohicierasensu lugar.Peronocomoalumno,sinocomouna especie de ayudante de matemticas. Te pe-diraqueleaseguraraslavalidezdelasres-puestas que le dieses, que te responsabilizaras de tus soluciones.E:Seraunpococomosi,cuandoseme estropeaungrifo,aunqueyomismolosepa arreglar, llamara igualmente al fontanero, por ejemplo porque tendra otras cosas que hacer, porque no tengo tiempo. No es eso?P: S, algo as. Salvo que en este caso no diras que el fontanero es tu ayudante.E:Vale,vale.Perotengootrapregunta. Cuando Jos responde a la profesora de biolo-ga, hace de matemtico para ella. P: S.E:YcuandoJosestenclaseconsus alumnos, tambin es un matemtico?P: Buena pregunta! A lo mejor la podras contestartsolo.PinsatelounpocoEn qucircunstanciaselprofesoraparececlara-mente como un matemtico en el sentido que hemos dicho para sus alumnos?E: No lo s Cuando corrige un proble-ma, por ejemplo?P:Enesecaso,losalumnosesperanque la solucin que les da el profesor sea correcta, no?E: S, claro.P: Luego sus alumnos lo consideran como un matemtico.E: Pero en este caso, podemos decir que losalumnosnecesitanlasolucinqueelpro-fesorlesdaycuyavalidezlesgarantiza,del mismo modo que mi prima necesitaba que le garantizara la respuesta a su pregunta?P: Veo que empiezas a entenderlo!E: GraciasP: As, en tu opinin, la necesitan o no?E:Sielprofesorlesdieraunasolucin falsaEllosnecesitanlarespuestacorrecta para aprender! Si el profesor les diera una so-lucin falsa, molestara mucho a los alumnos. Algunas veces ocurre.P:Esverdad.Encuyocasoelprofesor no resultara ser un buen matemtico para sus alumnos. Acabas de dar en el clavo: los alum-nosnecesitansolucionescorrectasporque paraellossoninstrumentosparaaprender. Tienenunanecesidadmatemticadeorigen didcticoE:Perdonaqueteinterrumpa.Perode ahdeduzcoquelosprofesoresdematemti-cas son matemticos para sus alumnos.P: S, en efecto.E:Pues,entoncestengootrapregunta. Losalumnosdeunaclasedematemticas, tambinsonmatemticosenelsentidoque hemos dicho?P: Muy buena pregunta! Pero tambin la puedes contestar t solo.E:S.PiensoenalgoSiaunalumno, pongamosde1deeso,1lepidesuhermano pequeo que est en primaria que le comprue-beunasoperacionesquetenaquehacer,en-toncesestealumnohacedematemticopara su hermano pequeo.P: Estamos de acuerdo. Y?E: Y ocurrir lo mismo con otro alumno de su clase. Aunque quiz sea menos frecuente.P: S. Pero te advierto que la pregunta que planteabas era: puede un alumno de una clase dematemticasserunmatemticoencuanto 1 Escuela Secundaria Obligatoria [n. del ed.].18alumno de esta clase? Y en los ejemplos que aca-bas de dar, no lo consideras como alumno de tal o cual clase. Entonces?E: Quieres decir si el alumno puede hacer de matemtico para sus compaeros o incluso para el profesor. Es eso?P: S, eso mismo. Y bien?E: Pues, para el profesor, supongo que el alumno no es un matemtico. Es a lo sumo un aprendiz de matemticas, pero ni siquiera un ayudante de matemticas.P: Y respecto de sus compaeros?E: Esto ya lo hemos visto. Puede ocurrir que tenga que hacer de matemtico para algu-no de sus compaeros de clase. Pero esta situa-cin no se da todos los das.P: Bueno. Pues ahora soy yo la que te voy ahacerunapregunta.Silosalumnosnunca hacen de matemticos respecto al profesor ni, de manera ofcial, respecto de los dems alum-nos, qu va a ocurrir? Ves lo que pasa?E: P:DecimosquesiAesunmatemtico para B, A se responsabiliza de la validez de las respuestas que da a las preguntas de matem-ticas que le plantea B.E: S.P: Luego?E:Ahya!Quieresdecirquesielalum-no nunca hace de matemtico para el profesor, entonces nunca se responsabiliza de la validez de las respuestas que da.P: Luego?E:Luego,concretamente,elalumnore-suelveproblemasqueleplanteaelprofesor, peronoseresponsabilizadelavalidezdesu respuesta.Esperarqueelprofesorledigasi est bien o mal. Es lo normal, dado que el pro-fesor no lo considera como un matemtico.P:Veoqueempiezasarazonar!Yaca-bas de poner el dedo en uno de los problemas didcticosmsdifciles.Quhacerparaque el alumno sea a la vez alumno y matemtico? Es decir, para que reconozca al profesor como matemtico, pero tambin asuma hacer l mis-mo de matemtico, y responsabilizarse de las respuestasquedaalascuestionesquesele plantean.E:S,yaveo.Porejemplo,elprofesor podrapediralosalumnosque,devezen cuando,fueranayudantesdematemticas, dndolespequeostrabajostilesonecesa-riosparalavidamatemticadelaclase.Por ejemplo,elprofesorpodrapediraequipos dealumnosqueredactaranlascorrecciones delosejerciciosquesehacenenclase,para repartirdespusestascorreccionesentrelos dems alumnos.P:Loquedicesnoesningunatontera. Peroelproblemadidcticodelquetehabla-ba es mucho ms complicado que todo esto. Y prefero que lo dejemos aqu por hoy.E: Espera! Te quera hacer otra pregunta antes de acabar.P: Bueno, pero ser la ltima.E: Es respecto a la tienda. Has dicho que habas apoyado la idea de la creacin de Tien-das en el Instituto Juan de Mairena.P: S.E:Hepensadoqueeraporquequeras quelosprofesoresdematemticasseacorda-ran constantemente de que tambin son mate-mticos en el sentido que has dado antes.P: S.E: Pero justamente ahora hemos visto que un profesor de matemticas es necesariamen-teunmatemticoparasusalumnos.Sisele considera profesor de matemticas, y si acepta serlo,entoncesquieredecirquedebegaran-tizarlavalidezdeloquediceenmateriade matemticas.Porlotanto,esunmatemtico. Todoprofesordematemticasesmatemtico para aquellos que lo ven como un profesor de matemticas y frente a quienes l se considera profesor de matemticas.P: Es un buen razonamiento. Sigue.E: S, Pero entonces, por qu quieres que tambin sea matemtico para otros que no son susalumnos?QuierodecirenlaTiendade Matemticas. sta es la pregunta!P:Muybien.Esunabonitapregunta! Para contestarla, voy a aadir una observacin atupequeorazonamiento.Unprofesorde matemticas es un matemtico. Pero un mate-mticonoesnecesariamenteprofesordema-temticas. Por ejemplo, cuando Jos responde 19al pedido de su colega de biologa, hace de matemticoparaella,peronoessuprofesor de matemticas.E: S, de acuerdo.P:Yah,ves,volvemosaencontrarla enfermedaddidctica.Unprofesordemate-mticases,ciertamente,unmatemtico.Pero lopuedeolvidarfcilmentesislohacede matemtico para sus alumnos. Si slo es mate-mticoporrazonesdidcticas.O,pordecirlo de manera ms tcnica, si slo es matemtico parasatisfacernecesidadesmatemticasde origendidctico.Porqueseolvidaentonces que hay necesidades matemticas que no son de origen didctico.E: Como lo de mi prima, por ejemplo.P: Exacto. La Tienda est ah para recor-darles que pueden ser matemticos para otros, adems de para sus alumnos. Para recordarles quehaynecesidadesmatemticasquenotie-nen nada que ver con el aprender y el ensear matemticas Y, fnalmente, porque estas ne-cesidadesmatemticasbienhayquesatis-facerlas! Eso es todo. Te parece sufciente?E: S.P: Pues lo dejaremos aqu por hoy.E: Como quieras. Gracias.Por qu hay que estudiar matemticas?P: Y bien, cmo ests esta semana?E:Muybien,gracias.Peroteruegome disculpesporlodelaltimavez.Esperaba aunamigoparaquemearreglaraelordena-dorP:S,s.Notepreocupes.Mejornonos demoremos y retomemos el trabajo.E: S. Adems he escuchado la grabacin de nuestra ltima sesin de trabajo y me han quedado algunas dudas. Qu te parece si em-pezamos por ellas?P: Adelante.E: Bueno Hasta aqu hemos dicho que lasmatemticasnoexistensloparaquela gentelasaprendaylasensee.Esalgoque sirve para resolver ciertas cuestiones. Cuando unoseplanteaunproblemadematemticas, puede ir a consultar a un matemtico en el sentido que t propones. Estoy de acuerdo. El olvidar que las matemticas sirven sobre todo para resolver problemas, eso es la enfermedad didctica. Muy bien.P:S. Aprenderyensearsonmediosal servicio de un fn.E: Eso mismo.P: Pues, adelante con tu pregunta.E: Mira. Si, al encontrarnos con una cues-tin de matemticas, podemos en todo momen-to hallar en nuestro entorno a un matemtico para que nos la resuelva, por qu se obliga a todos los alumnos a aprender matemticas en la escuela? sta es mi primera pregunta.P: Ya. Djame decirte que tu pregunta es muyingenua,aunquenoporellodejadeser una buena pregunta.E: Por qu muy ingenua?P:Pues,porqueolvidasalamitaddel mundo.E: No te entiendoP: No me entiendes. Bueno. Pues esc-chame bien. Cuando eras pequeo, supongo quealgunasvecestecaas,tehacasdaoo tesalaungranoenlanariz.Yquhacas enestoscasos?Ibasaveratupadreoatu madre,oquizatuprima,paraquetecu-raranlaherida. Y,porejemplo,tumadrete deca: No es nada Y te pona un poco de mercromina.E: S, no me gustaba nada la mercromina!P: Bueno, a ver, cmo interpretaras t la interaccin social entre t y tu madre, en este caso?E: Ya veo por dnde van los tiros. Quieres decir que en este caso yo era B, mi madre era AyBhacaqueAdesempearaelpapelde mdico para B.P: Exacto. Ahora bien, es acaso tu madre unmdicoenelsentidohabitual,legal,dela palabra?E: No.P: Y sin embargo haca de mdico para ti. En tanto que madre le era muy difcil negarse a cuidarte alegando que no era mdico. No le quedaba ms remedio. T le imponas sin sa-berlo una responsabilidad mdica. De ma-nera limitada, pero real.20E:S,perotambinmehubierapodido llevar al mdico, a uno de verdad.P: Tal vez. Pero en este tipo de casos, de hecho, no lo haca. Asuma su papel de mdi-co. Imagina adems lo que pasara si acudi-ramosalmdicocadavezquetenemosuna heridita!Porcierto,estoycasiseguradeque, en lo que va de mes, habrs hecho de mdico para alguien, no es cierto?E:NolosS,esverdad!Lasemana pasadaunodemiscompaerosseresfriy, como vi que no se cuidaba, le di una medicina que me quedaba de un resfriado que haba te-nido dos semanas antes.P: Y en este caso, adems, no fue l quien te pidi que hicieras de mdico para l.E: Es verdad, fue espontneo.P:Otracosa.Lasemanapasadanonos pudimosencontrarporquetuamigovinoa arreglarteelordenadoralahoraalaqueha-bamos quedado.E:S,laverdadesquelosientomucho, profesora.P: Tranquilo, no pasa nada. Tu amigo es informtico?E: No, qu va! Es msico.P: Y cuando tienes un problema con el or-denador, siempre recurres a l?E: S, sabe mucho de mquinasP: As, es tu informtico?E: S. Y es verdad que si l no supiera so-lucionarme los problemas tendra que recurrir a un informtico de verdad.P:Noestoymuysegura.Porqueunin-formticodeverdad,hoyenda,nosesabe muybienloqueesenelsentidoenelque hablbamos de un mdico de verdad, claro. La situacin no es tan clara, los papeles que asu-me cada uno son mucho ms fexibles en este campo. Pero no importa. Lo que tambin pue-de ocurrir es que algn da t tengas que hacer de informtico para alguien de tu entorno.E:Esverdad,yamehaocurrido.Pero siteentiendobien,loquequieresdecireslo siguiente:nospuedeocurrir,acadaunode nosotros,quetengamosquehacerdeinfor-mtico, de mdico o de matemtico para otra persona. Es eso?P: Exactamente! Y ahora podemos volver a tu pregunta. No slo se aprenden matemti-casparahacerdematemticodeunomismo. Porque es verdad que uno siempre encontrar aalguienmsomenoscercanoquelepueda resolver sus problemas. A menos, claro, que nos planteemoscuestionesmuydifciles.Peroen-tonces es como con una enfermedad grave: hay que ir a ver a un especialista. No. En realidad, hay una buena razn para aprender matemti-cas porque, en la vida social, uno se puede ver conducido, e incluso obligado, a hacer de mate-mtico para alguien. Lo saben muy bien los pa-dres que no han ido a la escuela y que, cuando sus hijos son pequeos, se ven obligados a ha-cer de matemticos, de gramticos, de historia-dores,etctera,paraellos.Esavecesdoloroso que, por falta de instruccin, no podamos ser lo que los dems a veces aquellos que nos impor-tan ms esperan que seamos. Porque nos da la impresin de que no tenemos valor social, o fa-miliar. Somos una madre, un padre o un amigo del que casi no se puede esperar nada.E: Tengo algo que objetar, profesora!P: DimeE: Pues bien, en primer lugar, este valor social del que hablas no se desprende slo de lo que se aprende en la escuela. Mi abuela no fue nunca a la escuela y, para m, saba muchas cosas en muchos mbitosP:S. Yviceversa.Unopuedeestarmuy instruidoynotenerningnvalorsocial,por ejemplo, porque la instruccin que ha recibido nosedejavereninteraccionessociales,nole permitehacerdematemtico,demdico,de consejerofscalodeloquesea.Fjatequees haciaahexactamentequenosencaminamos cuando, como parecas considerar, uno apren-de matemticas, biologa o lo que sea slo para uno mismo, creyendo que el estudio se justif-casloporelhechodesernostilanosotros en primera persona.E:Quieresdecirqueesunaconcepcin de las cosas muy egosta.P:O,digamos,individualista.Perode-jemosdeladolamoral.Esunavisindelas cosasquenosecorrespondeconloshechos, con la manera que tenemos de vivir concreta-21mente en sociedad, con la familia, los vecinos, los amigos, etctera.E: S, es verdad. Pero entonces tengo otra objecin. Has dicho que, en la prctica, nos ve-mos todos conducidos, un da u otro, a hacer de mdicos o de matemticos para alguien. Y ello porque uno no va a consultar a un mdico o a un profesor de matemticas cada vez que tiene una heridita o que tiene una pequea di-fcultad de tipo matemtico.P: S.E: Pero podemos llevar este razonamien-toalextremo.Enalgunoscasos,nomolesta-remos a nadie, ni siquiera en nuestro entorno msprximo.Seremosnuestropropiomdi-co o matemtico. As pues, no es slo para los otrosqueaprendemos;esprimeroparauno mismo. P:Veoquepiensas.Yademspiensas bien.E: Gracias, profesora!P:Tienestodalarazn.Perocomoves, es siempre la misma razn. No hay un yo, por un lado, y los dems por el otro lado. Hay lo que puedo hacer por m misma, sin molestar a nadie, y aquello para lo que necesito recurrir a alguiendemientorno. Ydespushayloque meobligaabuscarlaayudadealguienms alejado, un mdico, un fontanero, un profesor, etctera.Adems,fjateque,parapoderha-ceresto,setienequecumplirunacondicin: que cada uno tenga una instruccin sufciente comoparasaberenqumbitosituarlasdi-fcultades que le van surgiendo, para saber si puede resolverlas por s mismo o si es ms ra-zonablepedirlaayudadelprjimo,oaunsi esta ayuda va a ser sufciente o no. Es necesa-rio un mnimo de instruccin en cada mbito, una instruccin bsica.E: Pues, entonces, todava tengo otra ob-jecin!P: Adelante.E:Mira,siconsideramostodaslasdif-cultadesqueunopuedeencontrarenlavida o sobre las cuales puede ser consultado por ejemplo, hace unos das un amigo mo tuvo un confictoconlapropietariadesupiso,yme pidi consejo.P: Quera que le hicieras de asesor jur-dico.E:Esoes.Peroesto,precisamente,no forma parte de lo que se ensea en la escuela. Para tener un verdadero valor social, como t decas, tambin tendramos que instruirnos en este mbito. Y en muchos otros!P:S,s,esverdad.Yaquvolvemosal casodetuabuela.Paravivirbienyayudara los dems a vivir bien, hay que adquirir todo tipo de competencias. La instruccin formal, la de la escuela, nos proporciona un mnimo, o mejorunabase,unfundamento.Muchasve-ces,elrestodecompetenciasqueadquirimos es el fruto de una instruccin informal, dada por diferentes circunstancias de la vida.E: Me puedes dar un ejemplo?P:S.Volvamosalasmatemticasyala TiendadeMatemticas,porqueesoesloque estudiamos, no?E: S, s.P:Vale.Losprofesoresdematemticas, Marta,JosyLuis,hanrecibidounainstruc-cinformalenmatemticas.Elepisodioal quehacemosreferenciaocurrihacealgunos aos.Sabesquedurantelareuninevocaron unacuestinquelesplanteunacolegade matemticasE:S,laquequerasaberenqucasos cos (r ), donde r es un nmero racional, pue-deescribirseconunasuperposicinderadi-cales. He pensado en la cuestin y no veo por dnde cogerla.P:Pues,precisamente,aestahora,su-pongoqueellossdebensabercmocontes-tar,aunquesurespuestaseaincompleta.La respuestanolahanaprendidodurantesus estudiosdematemticas,nienelinstitutoni en la universidad, sino a raz de su trabajo en laTiendadeMatemticas.Entiendesloque quiero decir?E:S.Peroestorepresentamuypocoen comparacin con lo que han aprendido duran-te sus estudios formales.P:Noteengaes.Enrealidad,cuanto msenvejecemos,msconocimientostene-moscomofrutodeunainstruccininformal, adquiridos en situaciones en las que no haba 22unprofesorparaensearnos.Porejemplo,lo quesabeuninvestigadordeunreadadaes engranparteelresultadodeunainstruccin informaladquiridadurantelasinvestigacio-nes en las que ha participado, ya sea como di-rector, como colaborador o como ayudante. Y estoestantomsverdadcuantomsviejose es. Dmelo a m!E: Tampoco eres tan viejaP:Mralol,qusimpticoderepente! Gracias, pero ahora tenemos que dejarlo. Nos veremos la semana que viene, tal como haba-mos quedado.E: S, gracias. Hasta la prxima.La didctica de las matemticas, ciencia del estudioE: Buenos das, profesora.P: Buenos das. Supongo que debes tener an alguna pregunta, no?E: S, claro. La ltima vez tomaste el ejem-plo del cosenoP: S.E: Y he vuelto a pensar en lo de la enfer-medad didctica. Has dicho que la Tienda per-mitaalosprofesoresrecordarquesonmate-mticos, y no slo para sus alumnos.P: S, les recuerda que las matemticas no son slo algo que se aprende y que se ensea.E:Esoes.Peroentonces,conlodelos cosenos,losprofesorestendrnqueaprender cosasnuevas,puestoqueenunprincipiono saben contestar a la pregunta.P: Claro.E: Y entonces vuelven a caer en la enfer-medad didctica!P: Espera, espera! No hay que ir tan r-pido. No todo es enfermedad didctica. Estos profesores tienen que aprender cosas, pero no paraensearlasmstarde.Loquequierenes poder resolver una cuestin que alguien les ha planteado. Si te acuerdas, se trataba de colabo-rarenlaactualizacindelCursodeTrigono-metra del Instituto.E: Eso es.P:Aprender,enestecaso,esparaestos profesores un medio al servicio de un fn que noesensearloquehabrnaprendidosino responderaunacuestinqueseleshaplan-teado. En muchos casos, para responder a las cuestiones planteadas, no tendrn que apren-der nada; lo tendrn que hacer, y punto.E:Porejemplo,enelcasodelatablasi-mtrica de la profesora de biologa.P:Esomismo.Peroaququisieraintro-ducir otra consideracin. E: S?P:Paraaprenderlainformacinnece-sariaparacontestaralacuestindelcoseno, los profesores no reciben ninguna enseanza. Creoqueesoesloquepas.Laenfermedad didcticatambinconsisteencreerque,para que alguien aprenda algo, tiene que seguir un curso, o recibir clases sobre ese algo.E:Entoncesquieresdecirquelaense-anza no es imprescindible?P:Claroqueno!Volviendoadondees-taba. Estos profesores tienen que estudiar una cuestin.saeslapalabraclave:estudiar. Para aprender lo que quieren saber, van a es-tudiar. Para estudiar, podrn tomar clases o se-guir un curso sobre el tema en cuestin. Pero muchas veces no podrn contar con esta ayu-da. Eso es lo que ocurre con lo que he llamado lainstruccininformal.Nostenemosque instruir, pero sin profesor, sin enseanza.E:Entonces,culeselpapeldelaen-seanza?P:Esunaayuda.Esunaayudatil,po-tente.Esoesjustamenteloqueunodescubre cuandotienequeestudiarsinprofesor.Es comosiahoratquisierasinstruirtesobrela cuestin del coseno. Eso es lo que quera decir, y nada ms.E. Si me permites, profesora, voy a inten-tar resumir lo dicho hasta aquP: Muy bien, adelante.E:Enciertoscasos,parapoderactuar, hay que aprender. Para aprender, estudiamos. Unmedioparaestudiaresseguiruncursoo tomar clases. Pero muchas veces, cuando uno ya no est en la escuela, tiene que estudiar de otra forma, porque no encuentra una ensean-za hecha a medida.P:Esomismo.Yaadiralgoms:in-cluso cuando existe una enseanza hecha a 23medida, como t dices, estudiar no se redu-cealmerohechodeasistiraclase.Perosu-pongoqueestetemalovolveremosatratar ms adelante.E: S, de acuerdo. Pero ahora tengo otra pre-gunta, siempre sobre la enfermedad didctica.P: Te escucho.E:CuandotrabajanenlaTienda,Jos, LuisoMartahacendematemticos,perono deprofesoresdematemticas.steerapreci-samente uno de los objetivos de la creacin de una Tienda de Matemticas en el Instituto.P. S.E:Puesentonces,enalgunoscasosno entodos,claro,perosenalgunos,tendrn que aprender cosas que no saban de entrada. Noensear,perosaprender.Yyavolvemos alodidctico.Sinoesas,aqullamast didctico?P: Tienes toda la razn. Pero antes de con-testaratupregunta,terecordarbrevemente el esquema de organizacin de la Tienda. En la Tiendapropiamentedicha,setomanlosen-cargosdelosclientes.Digamosquesereci-ben sus problemas y se discute con ellos para hacerles precisar qu es lo que necesitan. Ade-ms, para realizar los pedidos, la Tienda nece-sita un taller: el Taller de Matemticas del Ins-tituto. En el Taller, se fabrican las respuestas a las cuestiones planteadas. Algunas veces, los miembros del Taller disponen de todo lo nece-sario en trminos de conocimientos matem-ticos para fabricar la respuestaE: Como el caso de la tabla simtrica o de los tendederos de Mara.P:Exacto.steesunprimercaso.Tam-bin hay un segundo caso, que es el de los co-senos.AquelTallerdeMatemticasnodis-pone a priori de los elementos necesarios para fabricar una respuesta apropiada.E: Hubieran podido rechazar el encargo, no?P: Claro, claro. No siempre encuentras en el supermercado lo que quieres o lo que podras desear. Por ejemplo, si vas al supermercado de tu barrio para comprar una tonelada de arroz, seguro que te dirn que no aceptan el encargo.E: Hombre, pues claro!P: Bueno. Pues, en el caso de los cosenos, elTallerdeMatemticas,oporlomenosal-gunos de sus miembros, se van a poner a tra-bajar para estudiar la cuestin que les ha sido planteada.E: Tendrn que estudiar.P: S, eso mismo. Y ahora contestar a tu pregunta.Eladjetivodidcticosecorres-ponde con el sustantivo estudio. Un proceso didctico es un proceso de estudio.E: Entonces afecta al alumno?P: S y no.E: Qu quieres decir?P:Puesbien,enunprocesodidctico, enunprocesodeestudio,ladistincinalum-no-profesornoaparecenecesariamentetan marcadacomocuandonosreferimosalmar-coescolar,conunprofesorporunladoylos alumnosporelotro.EnelcasodelTallerde Matemticas, hay un equipo que va a estudiar la cuestin del coseno. Aparentemente, el equi-po se va a organizar en torno a Luis. Podemos suponer que es Luis quien dirige el estudio.E: Lo que quiere decir?P:Loquequieredecir,porejemplo,que serlelresponsabledelavancedelestudio frente al Taller de Matemticas. Lo que quiere decir tambin que, en la prctica, ser l el que deber abrir la ruta, mostrar el camino y guiar todo el proceso.E: Ser el lder del equipo!P: S, si lo quieres decir as. En un proceso, siempre aparece una comunidad cuyos miem-brosdesempeanpapelesmsomenosdife-renciados. Si nos referimos al marco escolar, el lder, el director de estudio, es generalmente el profesor.Loquelagentellamaelprocesode enseanza/aprendizajees,dehecho,unafor-ma particular del proceso didctico. Por lo tan-to, la didctica de las matemticas es la ciencia que estudia los procesos didcticos, los proce-sos de estudio de cuestiones matemticas.E:Entonceselmbitodeestacienciaes ms amplio que el mero estudio de lo que ocu-rre en una clase!P: S.Es ms amplio porque, como ves, ladidcticadelasmatemticassepropone entender o analizar tanto los procesos didc-24ticosrelacionadosconelTallerdeMatem-ticas,porejemplo,comolosprocesosdidc-ticosqueseproducenenunaclasenormal dematemticas. Y,almismotiempo,nohay que olvidar que, para que una clase funcione, tienenqueexistirtambinprocesosdidcti-cos fuera de la clase. Los alumnos tienen que estudiarporsmismos,individualmenteo engrupo.Estudianavecesconlaayudade sus padres, o incluso bajo la direccin de sus padres, siempre en relacin con la clase pero fuera de ella. O sea: lo que ocurre en clase ge-nera toda una serie de procesos didcticos. Y enestosprocesosdidcticos,elesquemadel alumno y del profesor, el esquema de la ense-anza/aprendizaje, no es, como ves, el mejor. En un grupo de alumnos que trabajan juntos sobrealgoqueleshaencargadoelprofesor, podrhaberalgunosalumnosquehagande cabecillasparaimpulsarelprocesodeestu-dio,sinqueningunodeellossetengapor elprofesor.Y,evidentemente,sinquehaya enseanza.Adems,tambinpodrnpedir ayuda a alguien que no sea del grupo, como unalumnomayorounadulto,etctera.En estecasonohabrclase,niprofesor,peros proceso didctico.E:Entonces,estosprocesosdidcticos particulares en los que participan los alumnos con sus compaeros de clase, sus padres, et-ctera son en realidad subprocesos del pro-cesodeenseanza/aprendizajequeconduce el profesor.P: Cierto. Y es conveniente que todos es-tos subprocesos converjan para hacer avanzar elprocesodidcticoquedirigeelprofesor.Si slohablramosdelprocesodeenseanza/aprendizaje,slopensaramosenunmode-lobastanteparticulardeprocesodidctico. Y esto no es lo mejor para entender, en general, lo que es estudiar. Adems hay una tendencia a olvidar que el proceso de enseanza/apren-dizajeslopuedeexistirsisedanalmismo tiempootrosprocesosdidcticosquepo-demosllamarperifricos,siquieres.Ytodos estosolvidosnoayudanaentenderloque pasa en una clase.E: Ya veoP:Esperaunmomento.Cuandodigo hayunatendenciaaolvidar,quierodecir queelprofesortiendeaolvidar,ytambinel alumno.E: S, vale, vale. Aunque hay un caso que nohascitado.Eseldelalumnoqueestudia solo,peroenrelacinconeltrabajodeclase. Solo, sin que nadie le ayude. Es, sin embargo, un caso muy tpico!P: S, totalmente. Y ah, ves, tambin hay un proceso didctico, aunque no haya proceso de enseanza. La comunidad de estudio se re-duce a una sola persona, y esta persona es su propio director de estudio.E:BuenoPeroanmequedandos preguntas!P: Ah s?E:Hemosdichoqueparaaprenderalgo uno estudia. Tambin hemos dicho que poda haberestudiosinenseanza,aunqueunaen-seanza resulte casi siempre muy til. Mi pre-guntaes:puedehaberaprendizajesinense-anza e incluso sin estudio?P:Claroques.Inclusotedirqueuna parteimportantedeloquehemosllamado instruccininformaleselresultadodeun aprendizaje que no proviene del estudio.E: As, todo proceso de aprendizaje no es un proceso didctico.P: No.E:Yladidcticasloseinteresaporlos procesos didcticos. Lo he entendido bien?P:S.Perotudescripcinesincompleta. En realidad, se pasa siempre muy rpido, y sin casidarsecuenta,deunacuestininformala un esbozo de estudio: intentamos informarnos sobrealgo,preguntamosalosdenuestroal-rededor,probamosaverqupasa,oincluso noscompramosunlibro.Muyamenudo,es verdad, estas tentativas fracasan. Lo que quie-ro decir es que todas las actividades humanas suscitan procesos didcticos o, si preferes, que estamosconstantementeapuntodepasarde una actividad habitual, no didctica, a una ac-tividad didctica.E: Es la enfermedad didctica!P:No!Precisamente,laenfermedaddi-dctica consiste en no saber distinguir entre lo 25no-didcticoylodidctico.Nosepuedeen-tender qu es lo didctico si uno no tiene una idea clara sobre lo no-didctico. Me sigues?E: Creo que s. Por eso dices que, en ma-temticas,hayquehacerpequeostrabajos matemticos que se puedan realizar a partir de lo que uno ya sabe, es decir, tener una activi-dad no-didctica. Y todo como condicin para entender mejor y saber conducir mejor una ac-tividad didctica.P: S, eso es. Ahora entiendes mejor lo de la Tienda de Matemticas.E:S.Peroanmequedaunapregunta. Puedo?P: S, claro.E:Hepensadoentudefnicindema-temtico. En lo que a m respecta, me parece quehe tenido muy pocas ocasiones para ha-cerdematemticofueradelasclasesparti-culares, claro. En el fondo, tengo la impresin dequesemepresentanmsoportunidades dehacerdemdicoodeinformticoquede matemtico.P: No te equivocas, no. Es verdad que la gentetienemstendenciaapedirconsejosa su alrededor en cuestiones de salud o, ms en general, de su vida cotidiana. E incluso de su vidasentimental!Peronovenqusepuede pedir en matemticas. Es verdad. E: A lo mejor es que no tienen necesida-des matemticas!P:Alomejor.Porquno.Detodasfor-mas,elreconocerquetalocualnecesidades una necesidad de tal o cual tipo no es una ac-titud espontnea. Es una actitud que se apren-de.Haygrupossociales,porejemplo,queno se pueden imaginar que haya maneras de co-mer o de cuidarse diferentes de las suyas.E: Quieres decir que hay gente que no se plantea nunca cuestiones de diettica o de sa-lud. Y que, por tanto, no se cuidan nada.P: Eso mismo. Pues, con las matemticas, sucede lo mismo, no slo en ciertos grupos so-ciales, sino en toda la sociedad.E: Es un problema cultural!P: S, eso es.E: Y no podras precisar un poco ms tus afrmaciones?P:Esunfenmenogeneral.Enlavida de una sociedad y en un momento dado de su historia, la mayora de las necesidades no son explcitas,noseexpresanfcilmente.Entr-minos tcnicos, diramos que son necesidades latentesE: En oposicin a?P: A lo que se pueden llamar necesidades patentes, reconocidas por la gente, de las que se hacen cargo las instituciones de la sociedad.E: No me podras dar algn ejemplo en relacin a las matemticas?P:Puesmira,sabesqu?Habaantao unanocinquefacilitabaelreconocimiento tanto de las necesidades matemticas como de lacapacidadparasatisfacerlasnecesidadde entender y necesidad de actuar. Hasta princi-pios del siglo XIX, se distinguan las matem-ticas purasE: De las matemticas aplicadas!P:No,no.Nosehablabadematem-ticasaplicadas,aunquesdeaplicacionesde lasmatemticas.Sehablabadematemticas mixtas.E: Y eso qu quera decir?P: La idea es la siguiente Hay muchas cuestiones relativas a fenmenos naturales o a la vida en sociedad a las que podemos respon-der con ayuda de las matemticas y de un pe-queo nmero de conocimientos no matemti-cos, por ejemplo, de fsica, biologa, comercio, etctera. En otras palabras, basta con saber un pocodefsica,biologaocomercioy,apartir de ah, dejar que las matemticas hagan el res-to.Comoves,lanocindematemticasmix-tas pona nfasis en el poder explicativo de las matemticas.E: Y no me podras dar algn ejemplo?P: S, claro que s. Pero slo te dir la pre-gunta.Astendrsunmotivoparahacerde matemtico!E: Muy bien.P: Bueno. Supongo que alguna vez te has sumergido en el agua y, habrs notado que, al mirardesdeelfondolasuperfciedelagua, ves el cielo justo encima de ti, pero por los la-dos, el agua se comporta como un espejo. Te ha pasado?26E: S. Pero esto es un fenmeno de refrac-cin!P:S.Lasleyesquerigenlarefraccin, esoeslomximoquenecesitasparaexplicar elfenmeno.Lodemssonmatemticas.Te hagonotardepasoqueaqusetratadealgo deloqueyahasodohablarporquetambin sabes algo de fsica, no?E: Claro. Pero crees que saber todo esto es realmente una necesidad que yo tengo?P:Tupreguntaeslegtima,perolares-puestanoestansimplecomoparece.Todo depende de lo que quieras hacer. Es tu proble-ma. Te repito que hay gente que vive sin sentir nunca ninguna necesidad, sin plantearse nunca ninguna cuestin.E: Gracias por la alusin!P: No me lo agradezcas. Te voy a contar una ancdota bastante trgica y que te mostra-r, espero, lo ridculo de tu susceptibilidad. Es una historia verdadera. Hace algunos aos, en lamaternidaddeunhospital,unaenfermera principiante que se encargaba de preparar los biberones de los recin nacidos se equivoc y les puso sal en lugar de azcar. Resultado: se murieron ms de 10 bebs.E: Qu barbaridad! Sal en lugar de az-carCmopuedeserquesemurieranpor tan poca cosa?P: No es tan poca cosa como parece. Fjate bien. Sabrs que las molculas de sal son mu-chomspequeasquelasdeazcar.Ytam-bindebessaberquelapresindeunasolu-cinesproporcionalalnmerodemolculas que contiene, no?E: S, ms o menos.P: Pues bien, con esto y el fenmeno de lasmosissepuedecomprenderlocatas-trfcodelerrordelaenfermera:lasalhace aumentarradicalmentelaosmolaridaddel plasmasanguneo.Paraequilibrarla,lasc-lulas se deshidratan acumulando agua en los vasos sanguneos y se eleva mucho la tensin arterial. Es fcil entonces que se produzcan, enlosrecinnacidos,hemorragiascerebra-les u otros accidentes cardiovasculares. Pero elniosemuere,esencialmente,pordeshi-dratacin.E: Me asustas, profesora. Pero todo no es as, verdad?P:No,claroqueno.Hacealgunosdas, ves,estuvehablandoconunoscolegasque organizan un encuentro internacional. Un en-cuentro muy ofcial, con representantes de seis paseseuropeos.Habaunrepresentantepor pas,esdecir,seispersonas.Algunosdelos organizadoresqueranquecadaunopudiera hablar en su propio idioma.E:Esnormal!Noveoporquungrie-go no podra hablar en griego y un italiano en italiano.P:S,sclaro.Novesporqu!Am tambinmegustamuchomsexpresarme en mi lengua que tener que hablar en ingls. Esnormal.Tambineselprincipiodelm-nimo esfuerzo. Pero mira: para seis idiomas distintosE: Se necesitan seis intrpretes. Es mucho!P: Qu dices! Se necesitan muchos ms!E: Uy, s, perdn. Si para cada par de idio-mas se necesita un intrprete, se necesitarn P:Ah!Loves!Yencimanohastenido en cuenta que un intrprete slo traduce en un sentido:paraquelosrepresentantesgriegoe italiano se puedan comunicar, se necesitan dos intrpretes.E: Luego son 30 intrpretes.P: Eso mismo. Imagnate la situacin: seis personas alrededor de una mesa y, a su alrede-dor, en las cabinas de intrpretes, 30 personas ms! Claro que la situacin no es tan dramti-ca como la del azcar y la salE: No, pero debe ser muy caro.P:S.Yodiradesmesuradamentecaro. Peronoesmsquemiopinin.Tambinse puedeopinarlocontrario.Detodasformas, loquessenecesitaespoderdecidirconco-nocimiento de causa. Si restringimos a tres los idiomas de trabajo por ejemplo, el castellano, el ingls y el francs, slo se necesitarn seis intrpretes. Tantos intrpretes como represen-tantes. Y si escogemos un nico idioma...6 6 x 5= 15 intrpretes!2 227E: El ingls, claro!P: S. Nosotros decidimos trabajar en in-gls.Adecirverdad,enelgrupodetrabajo habaunespaol,unfrancs,unitaliano,un griego,unportugusyunalemn.Nohaba ningn representante ingls. Escogimos el in-gls para estar todos en igualdad de condicio-nes. Pero bueno, en este casoE: No necesitasteis ningn intrprete.P: Exacto. Porque todos habamos apren-didoinglsenlaescuela. Yahora,simeper-donas,metengoquemarchar.Nosveremos dentro de un mes. Tienes tiempo para pensar en todo esto. nimo.E: Gracias, profesora.29Sntesis 1No se puede abordar el tema de la enseanza y el aprendizaje de las matemticas sin preguntarse al mismo tiempo qu son las matemticas, en qu consisten y para qu sirve hacer matem-ticas. Ahorabien,estaspreguntasnopueden referirsenicamentealasmatemticasdela escuela, tienen que abarcar todas las matem-ticas que existen en nuestra sociedad.Podramospensarquecadaunodenoso-tros tomado individualmente puede vivir sin necesidaddematemticaso,porlomenos, sin muchas de las matemticas que se estudian en la educacin obligatoria. Pero esta creencia slo se da porque, de hecho, no vivimos solos sino en sociedad: en una sociedad que funcio-na a base de matemticas y en la que hay gen-tecapazdehacerdematemticoparacubrir las necesidades de los dems, incluso cuando stosnoreconocensuspropiasnecesidades matemticas.Elhechodequeseenseenmatemticas enlaescuelarespondeaunanecesidadala vez individual y social: cada uno de nosotros debe saber un poco de matemticas para po-derresolver,ocuantomenosreconocer,los problemas con los que se encuentra mientras conviveconlosdems.Todosjuntoshemos demantenerelcombustiblematemticoque hacefuncionarnuestrasociedadydebemos sercapacesderecurriralosmatemticos cuandosepresentalaocasin.Lapresencia de las matemticas en la escuela es una con-secuenciadesupresenciaenlasociedady, por lo tanto, las necesidades matemticas que surgenenlaescueladeberanestarsubordi-nadasalasnecesidadesmatemticasdela vida en sociedad.Cuando, por las razones que sea, se invier-te esta subordinacin, cuando creemos que las nicasnecesidadessocialesmatemticasson las que se derivan de la escuela, entonces apa-rece la enfermedad didctica. Este reduccio-nismo lleva a considerar que las matemticas estn hechas para ser enseadas y aprendidas, quelaenseanzaformalesimprescindible en todo aprendizaje matemtico y que la nica raznporlaqueseaprendenmatemticases porque se ensean en la escuela. Se reduce as el valor social de las matemticas (el inters social de que todos tengamos una cultura ma-temticabsica)aunsimplevalorescolar, convirtiendo la enseanza escolar de las mate-mticas en un fn en s mismo.Este tipo de reduccionismo1 puede conducir anotomarseenseriolasmatemticasque se hacen en la escuela, considerndolas como un mero artefacto escolar. Aparece entonces unproblemadidcticoquepuedeformularse como sigue: Qu hacer para que los alumnos se siten como matemticos ante las cuestiones 1 Habra que decir que ste no es el nico tipo posi-ble de reduccionismo respecto al origen de las ne-cesidadesmatemticasy,engeneral,respectoala naturalezadelasmatemticas.As,cuandoseda prioridad de manera absoluta a las necesidades ma-temticasdeorigenextramatemtico,apareceloque podramosdenominarenfermedadutilitarista, mientras que si son las necesidades de origen intrama-temtico las nicas que se consideran, entonces nos encontramos con la enfermedad purista. No en-traremos aqu en las disfunciones que cada una de estasenfermedadespuedeprovocarenelseno de la comunidad matemtica puesto que ste es un tema que no se trata en los Dilogos.30matemticas que se les plantean en la escuela, y para que asuman ellos mismos la responsabili-dad de sus respuestas?Tenemosaquunejemplodeproblemare-lativoalasactividadesmatemticasescolares que no es posible entender desde una perspec-tiva puramente escolar, sin tomar en cuenta lo que ocurre fuera de la escuela, y en particular la poca visibilidad de las matemticas en el con-juntodelasociedad.Deahquenopodamos separarlosprocesosdeenseanzayaprendi-zaje del resto de las actividades matemticas.Hemos de tener en cuenta que los procesos deenseanzayaprendizajedelasmatem-ticassonaspectosparticularesdelprocesode estudio de las matemticas, entendiendo la pala-bra estudio en un sentido amplio que eng-lobatantoeltrabajomatemticodelalumno, como el del matemtico profesional que tam-bin estudia problemas de matemticas.Lodidcticoseidentifcaascontodolo quetienerelacinconelestudioyconlaayu-daalestudiodelasmatemticas,identifcn-doseentonceslosfenmenosdidcticosconlos fenmenos que emergen de cualquier proceso deestudiodelasmatemticas,independien-tementedequedichoprocesoestdirigidoa utilizarlasmatemticas,aaprenderlas,aen-searlas o a crear matemticas nuevas. La di-dctica de las matemticas se defne, por tanto, como la ciencia del estudio de las matemticas.31ResumenLas razones de nmeros naturales fueron, en la his-toriadelasmatemticas,precursorasdelasfrac-ciones. Es posible identifcar elementos de esta re-lacinenelaprendizajedelasfracciones?Eneste artculoseargumentatalposibilidad:seanalizan resolucionesdealumnosdeprimaria,indicativas deformasenquelanocinderaznprecedeala nocindefraccin,tantoensupapeldeexpresar medidas,comoensupapeldeexpresaroperadores multiplicativos.Despussedescribensecuencias didcticas de estudios experimentales que han pro-piciadognesisescolaresdelasfraccionesapartir de las razones.IntroduccinLasmedidasfraccionariasodecimales,por ejemplo, pasos de 2/3 de metro, hojas de 0.02 cmdeespesor,porcionesde1/3depastel, puedenexpresarsemedianterazonesdeme-didasconnmerosnaturales:2metrospor cada3pasos,1100hojastienenunespesor de 2 cm, un pastel para 3 nios. Lo mismo ocurrecuandolasfraccionesjueganelpapel deoperadoresmultiplicativos,porejemplo, un factor de escala como X 3/4 o X 0.75 pue-de expresarse mediante la relacin 3 cm por cada4cm.Quimplicacionespuedetener este hecho desde el punto de vista del apren-dizajeydelaenseanzadelasfracciones? A continuacinpresentaralgunosdatosque fortalecenlahiptesis,segnlacuallaense-anza de los nmeros racionales podra verse enriquecidaalconsiderarconocimientosque los alumnos han desarrollado, y podran desa-rrollar sobre las razones de nmeros naturales. Losdatossondedostipos:porunapartese tratadeprocedimientosquealumnosdepri-maria desarrollaron para ciertos problemas de proporcionalidadquelesfueronplanteados en entrevistas individuales y, por otra parte, se presentan algunas partes de secuencias didc-ticas que fueron diseadas ex profeso para estu-diarprocesosdeaprendizajeydeenseanza de los nmeros racionales.Algunos antecedentesLanocinderaznseencuentraenlainter-seccin de dos temas muy estudiados, la pro-porcionalidad, sobre todo desde la perspectiva deldesarrollocognitivo(e.g.InhelderyPia-get, 1955; Noelthing, 1981a, b; Karplus y otros, 1983)ylosnmerosracionales,desdeuna perspectiva didctica (e. g. Hart, 1988; Kieren, 1988, 1993; Behr y otros, 1990). Una tendencia apuntalada en gran medida por los trabajos de Vergnaud(1988)sobrelasestructurasmulti-plicativas, ha consistido en integrar el estudio deestasdosproblemticas:seconsideraque laadquisicindeaspectosfundamentalesde la nocin de nmero racional se registra en el Notas sobre el papel de la nocin de razn en la construccin de las fracciones en la escuela primaria*David Block*** En Cantoral, E. R., O. Covin, R. Farfn, J. Lezama yA.Romo(eds.)(2005),Investigacionessobreense-anza y aprendizaje de las matemticas. Un reporte Ibe-roamericano, Revert Ediciones/Comit Latinoame-ricano de Matemtica Educativa, ac (en prensa).** Centro de Investigaciones y Estudios Avanzados, dblock@cinvestav.mx1 Usando el lenguaje clsico de las razones, podra decirse,porejemplo,elpasoesalmetrocomo2 es a 3.32marcodelasrelacionesdeproporcionalidad, alavezquelaresolucindeproblemasde proporcionalidadpuederequerir,enalgunos casos, de la aplicacin de herramientas aritm-ticas, en particular, el clculo con fracciones y decimales.Lanocinderaznconstituyeun ejemploclarodeestaarticulacin.Vergnaud (1988),porejemplo,habladefraccionesyde razones como dos nociones del campo concep-tual de las estructuras multiplicativas destina-dasasintetizarseenelconceptodenmero racional: Noresultasensatoestudiarelaprendizajeyla enseanzadelasfraccionesydelasrazonesinde-pendientementedelasestructurasmultiplicativas. Es slo hasta que todos estos signifcados se sinteti-zan en el concepto de nmero racional que es posible pensarenlasfraccionesylasrazonescomopuros nmeros (Vergnaud, 1988:156-158).Freudenthal(1983)destactambinlaim-portancia del estudio de la nocin de razn en las matemticas elementales y, si bien no centr suatencinenlavinculacinconelconcepto denmeroracional,dejverlaexistenciade dicho vnculo:El signifcado de la razn aparece cuando se habla de la igualdad (y la desigualdad) de razones, sin conocer su tamao, cuando se dice, con sentido, a es a b como c es a d, sin anticipar que a es a b puede reducirse a un nmero o a un valor de magnitud a/b (...) La razn es una relacin de equivalencia en el conjunto deparejasordenadas(odevaloresdemagnitud) Los cocientes y las fracciones constituyen formas de reducir esta complejidad, de bajar su estatuto lgico a costa de la lucidez (Freudenthal, 1983).Brousseau (1981, 1998), por su parte, al de-sarrollar una experiencia amplia de ingeniera didcticaparalaenseanzadelosnmeros racionales,mostrelimportantepapel,even-tualmenteimplcito,quepuedejugareneste procesoelestudiodesituacionesdepropor-cionalidad.Revisaremosmsadelantealgu-nas partes de su estudio as y de otros estudios quesedesarrollaronapartirdeaqul(Block, 1987,2001;Balbuena,1988;Comin,2000),en losquesehacejugaralasrazonesunpapel fundamental en una gnesis de las fracciones.Porotraparte,losanlisisdelosconoci-mientos de los alumnos y de las prcticas de laenseanzatiendenamostrarciertonivel dedivorcioentrefraccionesyrazonesenla escuela. Hart (1981) por ejemplo, mostr desde hace ya un par de dcadas que los estudian-tes del nivel de secundaria tienden a utilizar, cuando es posible, lo que ella llam building up procedures en lugar de operadores fraccio-narios, al resolver problemas de proporciona-lidad.Ramrez(2004),enunestudiodecaso sobre prcticas de enseanza de la proporcio-nalidad,muestracomo,enunaseriedecla-ses,semanifestanprocedimientosdereso-lucinendosplanos,unoexplcitoyformal pero poco til para los alumnos, en el que se apela a las fracciones y a sus tcnicas, y otro implcito y utilizado con frecuencia, en el que losalumnosresuelvenconrazonesynocon fracciones.Primera parte: anlisis de resoluciones de alumnos de primariaLas resoluciones que se comentan a continua-cinprovienendeunconjuntodeentrevistas aplicadas individualmente a 13 alumnos (cua-trode4grado;tresde5gradoyseisde6 grado) de diferentes escuelas de la Ciudad de Mxico.Seaplicaronalrededorde20proble-mas verbales de valor faltante y de compa-racin de razones, en los que se variaron los contextos,lamaneradeformularlasrazones y el carcter entero o no entero de las razones. Elconjuntodeproblemassepresentenun documento que contiene un problema por p-gina, redactado bajo la forma de un texto con preguntas,sindibujosniesquemas.Lospro-blemasseaplicaronensesionesindividuales con cada entrevistadoa quien se le explic el propsitodeltrabajoyseleinsistienque, pararesolverlosproblemas,estabanpermiti-dos todos los recursos, por ejemplo, contar con los dedos, hacer cuentas escritas o hacer dibu-33jos en los espacios en blanco o en las hojas adi-cionalesprevistasparaello.Elentrevistador ley en voz alta y pausada cada problema.2Mediante el anlisis de las resoluciones de estosalumnosintentarmostrarque,apesar dequehabanrecibidounaenseanzasiste-mticadelasfraccionesynodelasrazones, latendenciafueponerenjuegodemanera espontneaaestasltimasparamanipular medidasyoperadoresracionales.Veremos primeroalgunosejemplosrepresentativosde las formas en que los alumnos resolvieron los problemas que implican fracciones en el papel de expresar medidas. La razn, precursora de las fracciones en su pa-pel de medidasUno de los problemas planteados de valor faltante fue el siguiente:Una rana avanza 5 varas en 3 saltos, cun-tas varas avanza en 12 saltos?Exceptodosalumnosqueaplicaronuna constanteaditiva,losdemssiguieronuno dedoscaminos:algunosintentaron,sinxi-to, determinar el tamao de un salto (4 de 13 alumnos);3 otros consideraron la relacin mul-tiplicativaentre12saltosy3saltos,encuyo caso siempre tuvieron xito (4 de 13):Lasparejasdecantidades(3s,5v)y(12s, 20v)queintegranestaltimaresolucinson razonesquedancuentadeunamismamedi-dafraccionaria,saltosde5/3devara,lacual permanece implcita. Para lograr dar la medi-da de 12 saltos sin conocerla de un salto, los alumnos consideran 3 saltos como una unidad compuesta que iteran.Veamosunsegundoejemploconunpro-blema de comparacin de razones:Enlamesa Asereparte1pastelentre3nios; en la mesa B se reparten 2 pasteles entre 7 nios. En cul mesa le toca ms pastel a un nio?Enesteproblemaaparecieronlosmismos dostiposdeprocedimiento:seisalumnosde 13 intentaron determinar la cantidad de pastel por nio, por lo general a partir de representa-cionesgrfcas,perosolamentedosalumnos (desextogrado)lolograron.4Sietealumnos consideraron la relacin Si hubiera 6 nios en lamesaB,lestocaralomismo,perocomohay7, les toca menos... y tuvieron xito. Estos ltimos lograron comparar las fracciones de pastel sin hacerexplcitaslasfracciones,apartirdelas siguientesrelacionesentrerazones:1pastel para 3 nios es equivalente a 2 pasteles para 6 nios y esto es ms que 2 pasteles para 7 nios.Cabe sealar que en otros contextos la ten-denciaarecurrirarazonesdenmerosna-turalesenlugardeafracciones,fueanms notoriaqueenestoscontextos,repartode pastelesodesaltosquesemidenconvaras. Unadelascaractersticasdelosproblemas que mostr infuir en el tipo de procedimien-tos de los alumnos fue la manera de expresar laconstanciadelarazn:cuandostaseex-presabamediantelaexpresinporcada(i. e., las canicas se venden a 3 pesos por cada 4 canicas),setendaafavorecerlaiteracinde unidades compuestas y, por lo tanto, el trabajo conrazonesdenmerosenteros.Encambio, cuandolaformulacindelaconstanciadela raznevocabavaloresunitariosiguales(por Saltos Varas3 54 veces 4 veces12 202 Las entrevistas se realizaron en el marco del traba-jo de tesis doctoral Las razones en las matemticas de la escuela primaria. Un estudio didctico (Block, 2001).3Obtenerlamedidadeunsaltosabiendo3saltos miden 5 varas result muy difcil, mucho ms que, por ejemplo, repartir 5 pasteles entre 3. Para re-solverladifcultadalgunosalumnospropusieron salidas como saltos de una vara y saltos de dos.4 La diferencia entre las fracciones 1/3 y 2/7 en las re-presentaciones grfcas de los nios es imperceptible.34ejemplo,acadaunoletoclamismacanti-daddepastel),hubomsintentosdedeter-minar dichos valores.Primer comentarioEstasresoluciones,almismotiempoque ponen en evidencia un nivel bajo de apropia-cindelasfraccionescomomedidas,mues-tranquelosalumnosdisponendeuncono-cimientointuitivosobrelasrazones,queles permitenresolverproblemassimples,sobre medidasfraccionarias.Lapreguntaquese plantea entonces es: es posible enriquecer el trabajoconfraccionescomoexpresionesde medidasycomopartesdeunidad,alconsi-derarrazonamientoscomolosanterioresen el nivel de las razones? Hay numerosos indi-cios para suponer que esto ltimo es factible. Por ejemplo, en varias ocasiones, los alumnos entrevistados,paraencontrarlafraccinde unidadqueresultaderepartossimplifca-bles como 4 pasteles entre 16 nios, 2 paste-les entre 6 nios, o 5 pasteles entre 10 nios, lograronsimplifcarlasrazones,paratener, respectivamente:unpastelentre4nios,un pastelentre3nios,ounpastelentre2ni-os, lo cual les facilit determinar las fraccio-nes:1/4,1/3,1/2.As,lafraccin1/4,por ejemplo, aparece no solamente como el resul-tadodelreparto1:4,sinocomoelresultado delafamiliaderepartosquesegenerande 1:4, iterando los trminos (2:8, 4:16). Otros ejemplos de formas en que pueden vincularse razones de la forma x pasteles o pizzas entre y nios con las fracciones x/y pueden verse en los trabajos de Balbuena y otros (1984), de Streefand (1993) y de Solares (1999). La razn, precursora de las fracciones en su pa-pel de operadores multiplicativosLos ejemplos que mostraremos a continua-cin son con problemas de comparacin de ra-zones, como el siguiente: Varios nios deciden trabajar durante las vacaciones enlashuertascercanasasuscasas.Eltrabajoque les ofrecen es recoger las naranjas que ya se cayeron yestnsobreelpiso.Cadaagricultorlesofreceun tratodistinto.Losniostienenqueaveriguarqu trato les conviene ms. En la huerta Sonora les ofrecen:por cada 3 naranjas que recojan, se quedan con 2.En la huerta Vista Hermosa les ofrecen:por cada 10 naranjas que recojan, se quedan con 9.Cul de los dos tratos les conviene ms?Elproblemaimplicacompararlasrazones (porc/3n,2n)y(porc/10n,9n).Lasfraccio-nes que cuantifcan a estas relaciones son 2/3 y 9/10. Una de las formas posibles de resolucin consiste por lo tanto en determinar y comparar estasfracciones,quejueganelpapelderazo-nes. Sin embargo, solamente un alumno de sex-togradoresolvielproblemadeesamanera. La mayora se dio a la tarea de generar parejas de cantidades a partir de cada uno de los tratos, conlaideadeigualaruntrminoparapoder comparar. Obtuvieron por ejemplo: (por 30, 20) vs.(por30,27).Veamosprimeroejemplosde algunas de las difcultades que enfrentaron.Adriana (5 grado) estim primero que, de las razones por c/3, 2 y por c/10, 9, con-vienemslasegunda.Paraestarsegura,ge-ner otros pares, iterando los trminos, con el propsito de igualar los primeros trminos de cada pareja (3 y 10) a 20. No previ que 20 no es mltiplo de 3. Condifcultadobtuvolasparejaspor21, 14ypor20,18conlocuallogrconcluir: en Sonora por ms naranjas recogidas que en Vista Hermosa, dan menos.Sonora3 26 4 21 14Vista Hermosa10 920 1835Variosalumnoshicieronalgosimilar.Re-solvieroncomosinoexistieraunmltiplo comn,yterminaronaplicandounprocedi-mientoparecidoalqueusabanlosantiguos matemticosgriegosparacompararrazones entrecantidadesinconmensurables.5Manuel (6)despusderesolveralgunosproblemas parecidos,alempezarstehaceparcialmente explcita esta idea:Manuel:(...)Porqueve,el2debesuperar al 9 ..., o bueno, 3 para superar al 10 ...Encuentra por 12n, 8n vs. por 10n, 9n. En el primero, por ms naranjas recogidas, les dan menos.Cabeobservar,depaso,queestasresolu-cionesofrecenunaocasinparaplantearla cuestindelaexistenciadelosmltiplosde dos nmeros (existen siempre?, cmo pue-denencontrarse?).Labsquedadeunml-tiplocomnocurretambinenlaresolucin confracciones:paracomparar9/10con2/3 es necesario obtener 27/30 y 20/30, pero aqu se suele tratar de un algoritmo. Como en ste, envarioscasosmsseidentifcaron,enlas resoluciones de los alumnos, algunas propie-dadesdelasrazones(obien,laausenciade dichas propiedades) que son estudiadas en la escuela directamente como reglas para la ma-nipulacin de las fracciones.Veamos ahora la resolucin de una alumna que logra identifcar un operador fraccionario. Estoocurricasislocuandolosoperadores mssimples,lamitad,olaterceraparte, permitan comparar. Mariana (6 grado), fren-tealmismotipodeproblema,peroconotros datos (de c/5n, 2n y por c/20n, 6n) realiz la siguiente resolucin en tres episodios.Empieza haciendo una comparacin de las razones contra la fraccin de: (por c/5, 2) vs. (por c/20, 6)Mar:Ah...creoqueestoydescubriendountip...se trata de que aqu... si recogen 5, se quedan con 2 (...), se quedan con casi la mitad, y los otros, recogen 20 y ustedes se quedan con 6, pero estn recogiendo ms naranjas, por eso les dan ms, pero aqu no les estn dando algo que se parezca a la mitad, 7 u 8 naranjas. Por eso aqu es ms justo (en 5, 2).Puede observarse la intencin de considerar larelacinentrelascantidades:nobastacon saber que en un caso dan ms naranjas que en elotro,puestoquesonacambiodemsna-ranjasrecogidas.Laintencindeconsiderar las razones y no las cantidades, cristaliza en la cuantifcacin aproximada de una de las razo-nes: estima que (5, 2) es casi la mitad y que si se recogieran 20 naranjas, casi la mitad se-ran 7 u 8, pero no 6: (5, 2) casi 1/2 de (20, 8) y (20, 6) < (20, 8)En seguida, opta por iterar el par (por c/5, 2) y obtiene (por 10, 4). Le surge entonces una duda:Mar: aqu (5, 2), si recogen 10 naranjas, si pensa-mos en la segunda vuelta, recogen 10 naranjas, se quedan con 4 y all ya no es la mitad.E.: Cul es la mitad de 10?Mar: 5, ah..., no... (rectifca), a m se me hace que les conviene ms el otro, el primero, el de 5 y les dan2,porquesiemprelesestndandocasila mitaddelasnaranjas,yenelotrolesdanms naranjas, pero no les dan casi la mitad.Una vez confrmado que 4 tambin es casi lamitadde10,como2loesde5,Mariana generaliza: siempre les dan casi la mitad, es decir, en todas las parejas de cantidades que se generen a partir de por cada 5, 2 una canti-dad es casi la mitad de la otra. La iteracin de los trminos 5 y 2 genera razones equivalentes y esto parece hacerse visible en la formulacin de la razn con una fraccin casi la mitad.Finalmente, opta por generar otras parejas. Sobre la marcha encuentra que 6 de 20 es equi-5 Simplifcando, el teorema dice: La razn de A a B es mayor que la de C a D, si existen dos nmeros n y m, tales que: nA > mC mientras que nB < mC.36valentea30de100yobservaque30de100 escercanoa30de90,yporlotantoescasi 1/3:M: (...) 30 y 30, 60, (y 30) 90, seran tercios (dibuja un crculo pequeo, lo divide en tres partes, como un pastel, en cada parte anota 30), entonces aqu le est dando casi la mitad y aqu un tercio, as, el tres ter-cios tiene tres tercios y nada ms le est dando 1/3.Lafraccin1/3emergenuevamentecomo la expresin de una razn constante entre can-tidades,enlaquelascantidadesnofguran ms:(por c/20, 6) = (por 100, 30) (por 90, 30) = 1/3 de.Segundo comentario Estasrelacionesentreparejasdecantidades concretas que varan, y el nmero que expresa loqueesinvariante,ascomolasdudasque aparecen en el proceso, parecen constituir una parte esencial del sentido de la nocin fraccin comoexpresindeunaraznconstante.Es-tasrefexionesdifcilmenteocurriranenuna situacinenlaquedeentradaseexigierala aplicacin de fracciones.Elproblemaquevimosaqutieneunaca-racterstica que favorece el recurso a la conser-vacin de la suma o de las razones internas: la formulacinporcada;ytieneunacaracte-rstica que facilita considerar un operador ex-terno: las magnitudes son de la misma natura-leza, la relacin es entre un todo y una parte.Elanlisisdelasresolucionesdeestetipo deproblemas,permitidestacar,enprimer lugar,lautilizacinderazonesydealgunas desuspropiedades,cuandolosalumnosan nodisponendelosnmerosquecuantifcan a estas razones, o no pueden usarlos con este sentido. En segundo lugar, nos deja ver algu-nas formas en que las fracciones ms simples, 1/2y1/3,emergenenestosprocedimientos, conelsentidoplenodeexpresionesdecon-juntos de razones equivalentes, es decir, como expresiones de una razn constante. Al mismo tiempo, sugiere que los alumnos de sexto gra-dohanavanzadopocoenelprocesodeutili-zar fracciones con el sentido de razones, o de operadores multiplicativos. Segunda parte: algunas secuencias de situaciones didcticasEn esta segunda parte del artculo veremos dos estudios didcticos en los que se propicia una construccin de los nmeros racionales a partir delanocinderazn.Estosestudiospresen-tanformasposibles,muyespecfcasyclaras de articular razones y fracciones en un trabajo didctico,locualayudaaentenderestarela-cin epistemolgica. No obstante, es importan-te aclarar que no constituyen propuestas para enseanza, por ms de una razn: constituyen secuencias difciles de implementar, presentan formasdeconstruccindelasnocionesmuy distintasalasusualesy,adems,presentan tambin diversos puntos dbiles. Construccin de las fracciones como expresiones de una medidaEn el marco de un estudio amplio sobre la cons-truccindelosracionales,Brousseau(1981) diseunasecuenciadesituacionesparain-troducirlasfraccionescomoexpresionesde medidas, en la que la unidad no es fraccionable por ser muy pequea y que propicia relaciones deconmensuracinentrelacantidadquese mide y la unidad. La situacin central es la si-guiente: se forman pequeos equipos de emi-sores y receptores. Cada uno dispone de cinco paquetes de hojas, identifcadas con las letras de la A a la E. Las hojas se distinguen entre s solamente por su espesor. Los alumnos dispo-nen adems de un vernier. Los emisores esco-gen un paquete y deben enviar informacin a los receptores para que ellos identifquen, en-tre sus paquetes, el que escogieron los emiso-res. La nica restriccin es no proporcionar la letra que identifca al paquete.Dado que es imposible medir el espesor de unahojaconlosinstrumentosdemedicin disponibles, como la regla o el vernier, la idea de medir el espesor de pequeos paquetes de 37hojas surge naturalmente. Los nios llegan r-pidamente a utilizar la pareja (nmero de ho-jas, mm de espesor) para identifcar el espesor de cada tipo de hoja, por ejemplo, 50 hojas, 4 mm.Logranmanejarlasvariacionesdebidas alaimprecisinenlamedicin,porejemplo, lasparejas50hojas,4mmy52hojas,4mm correspondenprobablementeahojasconel mismoespesor.Establecenparejasequivalen-tes,esdecir,parejasqueexpresanunmismo espesor de hoja, por ejemplo 50 hojas, 4 mm y 25hojas,2mm.Medianteestasrelacionesde conmensuracin, logran tambin anticipar, en-tre dos tipos de hoja, cul tiene mayor espesor, por ejemplo, las hojas que corresponden a 50 h, 4 mm son ms gruesas que las que corres-ponden a 80 h, 4 mm.Elestatutomatemticodeestasparejases momentneamente ambiguo: en el origen, son parejasdecantidadesenrelacin.Podemos decir que son razones. La relacin de equiva-lencia entre las parejas pone en juego implci-tamenteunapropiedadbsicadelasrazones que podra formularse as: R(nA, mB) = R (kA, kB), en donde A y B son magnitudes y k es un escalar natural.Brousseau(1981:104-105)comentaqueen este manejo de la equivalencia puede verse un modelo implcito que incluye un acercamiento alarelacindeequivalenciaalgebraicafun-damental(nmerodehojasAXespesorB= nmero de hojas B por espesor A), aunque l mismoprecisa:ciertamentenobajoestafor-ma, sino bajo la deaplicaciones de N en N, y ms adelante precisa que la linealidad se ma-nifestaporsucaractersticadeconservarlas razones. A partir del momento en el que se obtiene larelacindeconmensuracinnhojasigual ammilmetros,esposibleplanteardiversas relaciones en el nivel de las medidas: cuntos milmetros corresponden a n hojas? o bien, da-das dos relaciones de conmensuracin, inferir qu hojas son ms gruesas. Hasta este punto, eltrabajosedesarrollaconrazones,paradar cuenta de medidas fraccionarias. En este nivel, el de la relacin entre medidas (y no de las magnitudes fsicas), ocurre el pro-ceso de expresin de estas razones con un n-mero,esdecir,elprocesodeconstruccinde lasfracciones:apartirdelasparejasdeltipo (50 hojas, 4 mm) se introduce la escritura 4/50 como expresin de la medida de una hoja. De-cir que el espesor de una hoja mide 4/50 con la unidad milmetro signifca aqu que 50 veces ese espesor es igual a 4 milmetros, o bien, que ese espesor mide 4 milmetros entre 50: Ladistincinentreelespesordeunahoja yladesignacindeunapiladehojas,agrega Brousseau,esesencialperodifcilyslose aprendepocoapoco.Eneseprocesoestel pasodelanocinderazn,derelacinentre dos cantidades, a la nocin de nmero fraccio-nario. Podemos suponer que sern las relacio-nes (la comparacin) y las operaciones (suma, resta, multiplicacin) que los alumnos realiza-rn sobre este nuevo ostensivo, 4/50, las que le darn, poco a poco, su carcter de nmero. En otro estudio realizado con alumnos de 4 y 5 grados (Block, 1987; Balbuena, 1988), tam-bin se propici el recurso a la conmensuracin como forma de dar cuenta de una medida no entera,peroutilizandounidadesqueseran susceptibles de ser fraccionadas. Se parti del contexto del reparto. Los alumnos repartieron fsicamente barras de chocolate entre nios. Despus,resolvieronciertosproblemasque los llevaron a establecer la igualdad total de barras antes de ser repartidas = total de porcio-nes repartidas. Por ejemplo, sabiendo que se repartieron 3 barras entre 4 nios y disponien-do de laporcin por nio, deban reconstruir la barra entera. Para resolverlo, los nios unie-ron 4 porciones y dividieron esa unin entre 3. Enotroproblema,disponiendodeunabarra entera y de la porcin que toc a un nio, de-ban averiguar cuntas barras se repartieron y entre cuntos nios. Para ello buscaron la co-incidencia de cierto nmero de barras enteras Nmero de hojas Espesor en milmetros50 4(:50) :50)1 4:50 = 4/5038conciertonmerodeporciones.Observ