cfe-93 sismo sin sombras
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COMXSION F E D E W DE ELECTRICIDAD
MANUAL DE D I S E ~ ~ O DE OBRAS CIVILES
SECCTON C. ESTRUCTURAS
TEMA 1. CRITERIOS DE D T S E ~ ~ O
CAPITULO 3
DISERO POR SISMO
EIaboraci6n: Javier Avilks L ' Colaboraci6n: Jorge Avila R '
Roberto G6mez M Mario Ordaz S Venancio Tmeba L
Revision: Oscar de Buen L Roberto Meli P Emilio Rosenblueth D
Revisidn CFE: Hugo Abarca H Francisco Aguilar V ' Rafael Colindres S Enrique Mena S Ed~nundo Moreno G Dhmaso Roldhn F Tornis Sanchez R '
Coordinacidn: Vicente Guerrero F ' Enrique Mena S
1 lnstituto de lnvestigaciones Elktricas Institutu de Ingenie&, Univemidad NaciwaI Aut6noma de M6xico Facultad de Ingenieria, Universidad NacionaI Aut6noma de Mdxico Conlisi6n Federal de Electricidad
MANUAL DE DISERO POR SISMO
ING. GUILLERMO GUERRERO VILLALOBOS DIRECTOR GENERAL
DR. DANIEL RESENDIZ SUBDIRECTOR TECNICO
ING. FERNANDO FAVELA LOZOYA SUBDIRECTOR DE CONSTRUCCION
ING. ENRIQUE VILLANUEVA LANDEROS SUBDIRECTOR DE PRODUCCION
ING. ARTURO HERNANDEZ A L V m Z . S'UBDIRECTOR DE DISTRIBUCION
LIC. JORGE BASTARFL4CHEA SABIDO SUBDIRECTOR DE FINANZAS
DR. EDUARDO ARRIOLA VALDES SUBDIRECTOR DE PROGRAMACION
UC. MANUEL ARCE RINCON SUBDIRECPOR DE ADMINISTRACION
C.P. JAVER PEREZ SAAVEDRA COMTRALOR GENERAL
LIC. ELENO GARCIA BENAVENTE GERENTE DE DESARROLLO SOCIAL
LIC. GUILLERMO KELLY NOVOA GERENTE DE ASUNTOS JURIDICOS
LIC. OSCAR IGNOROSA MUANGOS JEFE DE LA UNIDAD DE COMUNICACION SOCIAL
COORDLNACION DEL MANUAL ING. EDMUNDO MORENO GOMEZ GERENTE DE INGENIERIA EXPERIMENTAL Y CONTROL
PROLOGO
El Manual de Dise n"o de Obras Civiles, desde su prim era edicidn en 1 9 69, ha sido producto de la experiencia y la tecnufogia mds avanzada, tanto como del intenso trabajo de ingenieros e investigadores mexicanos ligados a1 proyecto y construccidn de /as obras de la Cornisiun Federal de Electricidad ICFE). El Manual completo es una obra enorme y con nurnerosas aporfaciones orjgina fes: la unica en su tjpo escrifa en espafiol. Su cakiad lo ha convertido en una referencia obligada tanfo para la ensefianza corn0 para el desarrollo de pro yectos de ingenieria civiI, y no sdlo del sector eiectrico. Su arnplio uso en diversos sect ores de Mexico y La tinoambrica asi lo acreditan.
ContinrSa vigente e/ cornpromiso de /a CFE de mantener actualizado e/ Manual de Diseiio de Obras Civi/es para beneficlo de las presentes y futuras genera cion es de ingenieros. A/ curnplirjo, /a empresa reconoce el es fuerzo, talen to, exp erien cia y crea fividad de todos los ingenieros e investigadores gue han con fribuibo con sus conocimientos y la laboriosidad a infegrar este Manual.
DANIEL RESENDlZ N U ~ E Z Subdirector T&cnico
Mexico, D,F. Octubre de 1993
SECCION C. ESTRUCTURAS
TEMA 1.
Prefacio a la versidn 1993
E s t a versibn actualizada del Capftulo de Disefio por Sismo d e l Manual de
Diseiio de Obras Civiles de la Comisi6n Federal de Electricidad (CFE) ha
sido posible gracias a1 patrocinio de la Gerencia de Ingenieria
Experimental y Control de la CFE, asi coma a la contribuci6n del
personal tkcnico y administrat ivo del Departamento de Ingenieria Civi 1
del Instftuto de Investigaciones Elgctricas. I
El presente capltulo se ha elaborado de acuerdo con el formato original
de la s e r - i e del manual compuesto por 10s tomos de recnmendaciones,
comentarios y ayudas de diseiio. I a s referencias que se citan se incluyen
a1 final d e l tomo de comentarios.
Esta nueva versi6n es el resultado no s61o de la revisibn y
actualizaci6n de la anterior, sin0 tambien de la modificacibn de su
contenido a Pin de cubrir tanto las estructuras convencionales como las
construcciones industriales. AdemAs de estructuras de edificios, s e
consideran ahora pCndulos invertidos y apkndices, muros de retencibn,
chimeneas, tanques, estructuras fabriles, puentes, tuberias y presas.
La intencihn de esta obra es mostrar e l estado actual del conocimiento
sobre diseiio sismico de estructuras, especialmente en aquellas k e a s
donde la investigacibn cientifica ha avanzado notableniente y probado que
puede aplicarse en la prkctica profesional. Los criterios y
recomendaciones en ella especificados estan basados en 10s resultados de
investigaciones realizadas sobre 10s fendmenos fi'sicos involucrados en
la respuesta estructural ante temblores, tales como son 10s efectos de
fuente, trayecto, s i t i o , interaccidn suelo-estructura y comportamiento
estructural, e n t r e o t r o s .
Adernas de ser un documento de r e f e r e n c i a en la CFE para el disefio
estructural de obras civiles tipicas del sector electrico, este manual
se ha usado tradici onalmente coma obra de consulta en las empresas de
servicios de ingenieria o bien coma libro de texto en las instituciones
de educacibn superior. Esperamos por ello que esta nueva versl6n del
Capitulo de Disefio por Sism, a la que se le ha incorporado por primera
vez un sistema experto que sirve de guia y herramienta de c&lculo, sea
de gran utilidad no s61o para 10s fngenieros especialistas de la CFE,
s i n o en general para todos aqu6llos relacionados con la enseknza y
practica profesional de la Ingenieria Civil en nuestro pais.
Finalmente, el contar con esta versi6n actualizada y extendida se debe a
1 a part icipacihn y co laboracibn de investigadores del Inst i t u t o de
Investigaciones ElCctricas y el Xnstituto de Ingenieria de la
Universidad Nacional Aut6noma de Mkxico [UNAM). Jorge Avila desarrollb
el material de la seccibn 3.10, Roberto G6mez el de las secciones 3.11 y
3.12, Mario Ordaz el de la seccibn 3.3 y Venancio Trueba el de la
seccibn 3 . 7 . Rambn ZWiiga d e l Institute de Ceof isica de la UNAM elaborb
la base de datos de sismicidad y la regionalizacfbn slsmotect6nica de
Mexico utilizadas para el estudio de riesgo sisrnico del pais. E l siskema
experto SE-Sismo f u e desarrollado en el IIE bajo la dlreccibn de Pablo
de Buen. Asimismo, se agradecen 10s valiosos comentarios y opiniones de
10s revisores de este trabajo, reconocidos expertos de la UNAM y
personal tecnico de la CFE especialista en el tema.
Javfer Avi 16s
Departamento de Ingenieria Civil
Instltuto de Investigaciones Elhctricas
Octubre de 1993
3.1 CLAS I FI CAE I ON DE TERRENOS DE C I MENTAC I ON
3.1.1 Tntroduccibn
3.1.2 Clasificacl6n de Suelos s e g h su Estratigrafia
3.1.3 Caracterizacibn d e l Sitio
3.1.3.1 Determinacibn aproximada del periodo
dominante y la velocidad efectiva del s i t i o
3.1.3.2 kterminaci6n rigurosa del periodo dominante
y la velocidad efectiva del sftio
3.1.4 Efectos no Lineales
3.2 CLASIFICACION DE ESTRUCTURAS
3.2+1 Introduccibn
3.2.2 C l a s i f lcaci6n de Construccfones segfm su Destino
3.2.3 C l a s i f icaci6n de Construcciones segiin su
Estructuraci6n
3.2.4 Factor de Comportamiento Sismico
3.2.5 Factor Reductive por Ductilidad
3 . 3 REGIONALIZACION SISMICA Y ESPECTROS DE DISENO 3.3.1 Regionalizacibn Sismica de la Rephblica Mexicana
3.3.2 Espectros para Disefio Sismlco
3 . 4 ESTRUCTURAS TIP0 1: ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS
3.4.1 Eleccibn del Tipo de AnAlisis
3 . 4 . 2 Mktodo Simplif icado
3 .4 .3 Condiciones de Regularidad
3.4.4 And1 isis Estat ico
3 . 4 . 4 . 1 Valuacibn de fuerzas sismicas s i n estimar el
periodo fundamental de la estructura
3.4.4.2 Valuacfdn de fuerzas sismicas estimando el
periado fundamental de la estructura
3.4.4.3 Momentos tors ionantes
3 . 4 . 4 . 4 Homentos de volteo
3.4.4.5 Efectos de segundo orden
3 . 4 . 4 . 8 Efectos combinados de 10s movimientos del
terreno 41
3 . 4 . 4 . 7 Comportamiento asimktrico 42
3.4.5 Anhl isls D i d m i c o 42
3 . 4 . 5 . 1 Mlisis modal espectral 42
3 . 4 . 5 . 2 Analisis paso a paso 46
3.4 .5 .3 Revisibn por cortante bmal 46
3 . 4 . 5 . 4 Efectos especiales 46
3.4.6 h v i s i b n de Estados Limite 47
3.5 ESTRUCTURAS TIP0 2: PENDULOS INVERTXWS Y APEHDICES 49
3.5.1 Cons lderaciones Generales 49
3.5.2 Pkndulos Invertidos 50
3 . 5 . 3 ApCndices S1
3.6 I NTERACC I ON SWELCI- ETRLICTURA 53
3.6 .1 Introduccibn 53
3.6.2 Caracterizaci6n d e l Sfstema Suelo-Estructwa 54
3.6.3 Anhlisis Fstatico 58
3.6.4 Analisis DfnAmico 6 1
3.6.5 Determinaci6n Aproxfmada del Period0 y Amortfgumiento
Efectivos de Sistereas Suelo-Estructura 63
3.6.6 kterminacibn Rigurosa del Periodo y Amortiguamiento
Efectivos de Sistemas Suelo-Estructura 65
3.6.7 Funciones de Impedancia 67
3.6.7,1 Rigideces estAt icas 69
3 . 6 . 7 . 2 Coeficientes de rigidez y amortfguamiento 70
3.7 ESTRUCTURAS TIP0 3: MUROS DE RETENCION 76
3.7.1 Eleccihn del Tipo da Adl fs i s 76
3.7.2 AnAl isis E s t k t icn 77
3.7: 2.1 Coef iciente sf smico 77
3.7.2.2 Estado activo de presl6n de tierras 78
3.7.2.3 Estado pasivo de presi6n de tierras 78
3.7.2.4 Mwos con desplazaniento limitado 79
3.7.2.5 bcalizacX6n del empuje sismfco 80
3.7.3 A n A l isis Dinh i co 8 1
3.7.4 Presiones Hidrodinhlcas 83
3.7.5 Desplazamiento en la Corona del Muro 83
3 . 7 . 6 lievisi6n de la Estabilidad
3.8 E S T R U C ~ Trm 4: CHIMEMEAS, SILOS Y SIMILARES
3.8 .1 Consideraciones Generales
3 . 8 . 2 Elecci6n del Tipo de Mlisls
3.8.3 An&l isis Estht. ico
3 .8 .3 .1 Valuacidn de fuerzas sisrnicas
3.8.3.2 Momentos de volteo -
3.8.3.3 Efectos de segundo orden
3.8.3.4 Efectos combinados de 10s movimientos
t erreno
3 . 8 . 4 Anal isis DinBmico
3 . 8 . 4 . 1 Revlsibn por cortante basal
3 . 8 . 4 . 2 Efectos especiales
3.8.5 Factor de Increments
3.8.6 Interaccibn Suelo-Estructura
3.9 ESTRUCTURAS TIP0 5: TANQUES, DEPOSITOS Y SIMILARES
3.9.1 Consideraciones Generales
3.9.2 Dep6sitos Superficiales
3.9.2.1 Presiones hldrodinhicas
3.9.2.2 Fuerzas de inercia
3.9.3 Tanques E 1 evados
3.9.3.1 Pres iones hidrodintunicas
3.9.3,2 Fuerzas de inercia
3 .9 .4 Altura de Onda
3 . 9 . 5 Efectos Combinados de 10s Mavimientos del Terreno
3 .9 .6 Interaccibn Liquido-Recipiente
3.9.7 Interacci6n Suelo-Estructura
3.10 ESTRUCTURAS TIPO 6 : ESTRUCTURAS INDUSTRIALES
3.10.1 Criterios de Analisis
3.10.2 Eleccibn del Tipo de Analisis
3.10.3 An&lisis E s t A t ico
3.10.3.1 Valuacibn de fuerzas sismicas
3.10.3.2 A e n d i c e s y cambios bruscos de estructurac
3.10.3.3 Momntos torsionantes
3.10.3 .4 Momentos de volteo
3.10.4 Anhl isis Din&mf co
3.10.4 .1 Anal isis modal espectral
3.10.5 Estados Limf t e de Servicio 119
3.10.6 Interaccibn Suelo-Estructva 120
3.11 ESTRXTURAS TIP0 7 : PUENTES 121
3.11.1 Eleccibn del Tfpo de Anallsis 12 1
3.11.2 Mtodo Simplificado 121
3.11.3 Anal isis Esthtico 122
3.11.3.1 Efectos combfnados de los rnovirniantos del
terreno 124
3.11.4 Anid isis Din&mico 124
3.11.4. I AnAl isis modal espectral 124
3.11.4.2 Mlisis paso a paso 125
3.11.4 .3 Efectos combinados de 10s movfmientos d e l
t erreno 125
3.11.5 Estados LEmi t e de Servicio 125
3.11.5.1 Longitud de apoyo
3.11.5.2 Movimientos relatives
3.11.6 Interaccibn Suelo-Estructwa
3.12 ESTRUCTURAS TIP0 8: TUBERIAS
3. 12.1 Eleccibn del Tipo de Mlisis
3.1 3 ESTRUCT URAS TI W 9 : PRESAS
3.13.1 Eleccibn del Tipo de Analisis
3.13.2 Metodo da la Masa Virtual
3.13.2.2 m a virtual 138
3.13.2.3 Fuerzas de inercia 139
3.13.2.4 Efectos combinados de 10s mvimfentos del
t erreno 139
3.13.3 Mtodo del Espectro de Respuesta 140
3.13.3.1 Pres iones hidrodinhicas
3.13.3.2 ~s~&ctros hidrodinhicos
3.13.3.3 Fuerzas hidrodinhicas de disefio
3.13,3,4 Efecto del oleaje
3.13.3.5 Efecto de la forma del vaso
3.13.3.6 Efecto de la forma de la pantalla
3. 13.3.7 Efecto de la flexibilidad de la cortina
3.13.3.8 Fuerzas inerciales de disefio
3.13.3.9 Efectos combinados de 10s movimientos
t erreno
3.1 CLASIFICACXON LIE TERRENOS DE CIMENTACION
3.1.1 Introduccidn
El movimiento del suelo en sitios de terreno blando es muy diferente del
que ocurre en terreno firme debido a la amplificacibn d i n h i c a par
efectos locales que sufren las ondas sismicas al propagarse a travks de
formaciones de suelos blandos. Las Interfases entre estratos y las
f r on t e r a s laterales producen un fenbmeno de difracci6n mi3ltiple que
genera interferemias constructivas y destructivas que a su vez originan
amplificaciones y atenuaciones, respectivamente. La amplificacidn de
s i t i o que experimenta el mavimiento sismica constituye un sfecto
fundamental del cual depende la caracterizacibn de 10s dephsitos de
suelo para f lnes de microzonf f icacibn sismica.
La respuesta de un depbsito de suelo ante cxcitacibn sismica es funci6n
de varios factores que esthn relacionados con la irregularidad de la
1.3. 1
C. I .--,
geometria y la hetereogeneidad de 10s mterlales que definen el
depdsito. Para flnes prkt icos , esta complajidad se puede reducir si la
araplificacibn de las ondas sismicas debida a efactos locales se
relaciona exclusivmente con dos par&aetros que miden las
caracteristicas M s relevantes del dep6sito real, tales como son el
periado dominante de vlbrmi6n y la velocfdad efectiva de propagacihn
del s i t l o . Para esto, se recurre a una aproxiraaci6n que consiste en
rcemplazar el perfil estratigdfico por un estrato equivalente con
profundidad y periodo fundamental de vibrar semejantes a 10s de la
estrat igrafia real.
Fig. 1.1 Dep6sito estratificado horizontalmente
En el depbsito de suelo considerado no se fncluyen efactos de
irregularidades laterales por lo que se puede idealizar con un dep6si t o
estratificado horizantalraente corno se muestra en la fig. 1.1, el cual
descansa sobre una base rigida que representa la roca basal. Para flnes
prkt icos , la profundidad a la roca basal se establece como aquklla
1.3.2
donde la velocidad de propagacibn de ondas de cortante, Bo, vale a1
menos 700 M s . Esto obedece a que la amplificacibn din-ica originada
exclusivamente por 10s dep6sitos profundos con velocidades mayores que
este valor resulta generalmente despreciable.
El m6dula de rigidez a1 corte G se relaciona con la velocidad de ondas 0
de cortante @ mediante la expresibn 0
donde po = yo/g es la densidad de masa de l suelo, siendo 7 su peso 0
volum&trico y g la aceleracibn de la gravedad. De esta forma, la 2
condicibn para la roca basal implica que Go r 85000 t / m siempre que se 3 acepte un peso volume5trico medio yo = 1.7 t/m .
Fig. 1.2 Estrato equivalente
El estrato equivalente a1 dep6sito de suelo se mucstra en la fig. 1.2.
Tal estrato se caracteriza con la profundidad H y el periodo
fundamental de vibrar T , que son sernejantes a 10s par-etros a
correspondientes del depbslto original, asi camo con la velocidad de
ondas de c o r t a n t e 13 , que es funci6n tanto de Hg como de T , la cual se s S
conoce coma la velocidad efectiva de propagacibn del dep6sito de suelo y
representa una especie de velocidad media. E s t a idealizacibn es adecuada
para formaciones estratificadas que responden esencialmente como un
manto homogkneo. E s por el10 que e l estrato equivalente se debe
interpretar como un elemento equivalente a1 depbslto real con el que se
obtiene igual respuesta ante una perturbacibn dada.
Los valores del peso volumetrico efectivo y y el amortiguamiento 8
efectivo < del estrato equivalente se pueden fijar como 10s promedios S
de 10s parhnetros correspondientes del dep6sito de suelo, teniendo en
cuenta 10s diferentes espesores de las capas. Se estim que esta
simplificaci6n es suficiente para el caso de suelos donde el rango de
variation de tales pardmetros es pequeiio, como sucede con la mayoria de
suelos que se encuentran en la prbctica.
3.1.2 Clasificaci6n de Suelos segcin su Estratigrafia
Atendiendo a la respuesta del sitio ante excitaclbn sismica se adopta
una clasificaciSn del terreno de cimentacibn seg6n su estratigrafia, que
es funcibn del periodo dominate de vibracibn y la velocidad efectiva de
propagacibn del s i t i o . A s i , para clasificar un ter reno se proceders camo
sigue:
1. Se localizarh el nivel de terreno firme bajo e l cual todos 10s
estratos posean velocidades de propagacibn @0 2 700 m/s o inbdulos de
rigidez G k 85000 t / m 2 . 0
2. Para 10s estratos comprendidos entre el nivel de terreno firme y la
superficie, se calcular- el periodo fundamental de vibrar T y la 9
velocidad efectiva de propagacibn @ del sltlo como se indica en la S
seccibn 3.1.3.
3. Se determinw6.n la velocidad caracteristica /3 y e l periodo C
caracteristico T , dependiendo de la zona sismica en que se ubica el C
s i t i o en cuestion segun la regfonalizacibn sismica del pais; 10s
valores de estos p a r h e t r o s caracteristicos se consignan en la
tab la 1. 1 .
Tabla I. 1 Valores de pc y T
Zona sismica 13 INL's)
C T Is l
A 400 5.3
I3 400 5.3
C 500 4.7
D 500 2,s -
Una vez conocidos 10s parametros dlnArnicos del sitio, Ts y ps, asi coma
10s par&mc?tros caracteristicos de la zona sismica, y Tc, se aplicara C
la carta de microzonificaci6n sismica que se presenta en la f ig . 1.3,
seghn la cual e l terreno de cimentacibn se clasifica en:
TIP0 I Terreno firme: Dep6sitos de suelo formadas solamente por
estratus con velocidades de propagacibn B 2 700 m/s o mbdulos Q
de r lgidez GD + 85000 t/inZ.
TIPO I 1 Terreno intermedio: Depbsitos de suelo con periodo fundamental
de vibration y velocidad cfectiva de propagacibn tales que se
cumple la relacibn
TIPO I I I Terreno blando: Dep6sitos de suelo con periodo fundamental de
vibracibn y velocidad afsctiva de propagacihn tales que se
cumple la relaci6n
Para las ciudades de H15xico y Acapulco son aplicables las
mfcrorregionalizaciones sismlcas realfzadas con motivo de su
reglamentacibn sismica. Asimismo, las microzonif lcaci ones sismlcas que
se conozcan para otras localidades s e r h aplicables siempre y cuando
sean congruentes con 10s critarios de clasiffcacl6n de terrenos dc
cimentacibn establecldos en el presente capltulo.
TIPO I
TIPO !I
PO I
TIPO IIL
TIP0 I: p= P o
TIPO II: 6, Ts + PDTc b @ c T c
TIP0 111: @,T,+&'C,<p,T,
Fig. 1.3 Carta de rnicrozonificaci6n sismica
1.3.6
Argumentando razones econ6micas, para estructuras senci l las no siempre
se real izan exploraciones del subsuelo hasta la profundidad de terrena
firme. En estas situaciones, el terreno de cimentacidn en cuestibn se
debe clasificar como del t i p 0 111. Se puede aplicar un criterio menos
severo s61o si existen evidencias claras de que e l subsuelo que se
encuentra por debajo del nlvel de exploraci6n es lo suf'iclentsmente
r ig ido como para lgnorarlo. En estos casos, t an to el pariodo fundamental
de vibracibn como l a velocidad efectiva de propagaci6n del sit l o .
calculados aproximadamente can 10s estratos conocidos, resultan ser
menores que 10s reales. Por consiguiente, el uso de tal criterio se
traducir6 en un corrimienta hacfa el tipo de terreno de mayor
amplification s e g h la carta de microzonificacibn sismica, lo que
irnplicark que la clasificacibn del suelo sea conservadora.
3.1.3 Caracterfzaci6n del S i t i a
E l periodo dominante de vibracibn y la velocidad efectiva de propagacidn
del sitio se podr3.n determinar con t6cnica.s aproxirnadas coma las que se
especifican en la seccion 3.1.3.1. Sin embargo, en sitios especiales
donde 10s contrastes de rigidez entrc estratos Sean considerablemente
grandes se recornienda empl ear a1 guna tkcnica r igurosa como aqug l 1 a qye
se describe en la seccibn 3.1.3.2. En particular, cuando en el terreno
de cimentacibn aparezca un estrato arcillosa blando muy cornpresible con
espesor mayor de 10 m sera necesario utilizar un procedimiento riguroso
a f i n de determinar los parhnetros dfn&micos del s i t io .
3.1.3.1 Determinaci6n aproximada del periodo daminante y la vel ocidad
efectiva del g i t i o
Una buena aproxlmacidn para la velocfdad efectiva de propagacibn d e l
depbsito estratificado se obtiene empleando 10s conceptos de velocidad y
lentitud promedios, definikndose como lentitud a1 reciproco de la
velocidad.
Par un lado, la velocidad efectiva de propagacibn se puede determinar
suponiendo que el tiernpo que tarda una onda de cortante en recorrer un
estrato uniforme de espesor H con una velocidad p es e l mismo que S s
necesita para atravesar el depbsito estratificado. Para ello se debe
sefialar que el t l e m p o requerido por una onda de cor-tante para propagarse
desde la base hasta la superflcie d e l estrato equivalente es igual a
Hs/Bs, en t a n t o que el tiempo requerido para atravesar verticalmente el
depbsi to estrat if icado es igual a C h /B , siendo h y 6 el espesor y m m m m m
la velocidad de propagacibn de 1 m-6simo estrato, respect i vament e.
Igualando ambos tlenpos se obtiene que la velocidad efectiva de
propagacibn vale
Por otro lado, cuando las variacianes en velocidad no son muy
pronuncladas, la velocidad efectiva de propagacibn tambien se puedc
determinar integrando el perfil dc velocidades y dividiCndolo entre la
profundidad de l depbsito para tsner su valor medio, lo que conduce a
Las ecs. 1.4 y 1.5 definen la velocidad efectiva de propagacidn en
terminas del promedio de lentitudes y velocidades d e l dep6sito
estrat if icado, respect i vamente.
Una vez conocida la velocidad efectiva de propagacibn, el periodo
fundamental de vibracibn d e l dep6sito estratificado se puede inferir
como una buena aproximaci6n a partir de la solucibn 'de un estrato
adherido a un semiespacio, la cual se presenta en 10s comentarios; dicha
solucibn lleva a
1 2 aplicaci6n de las cxpresiones basadas en 10s conceptos de velocidad y
lentitud prornedios produce resultados distintos, cuya diferencia puede
llegar a ser significativa cuando se tengan importantes contrastes de
ve locidades de propagacibn entre estratos. Sin embargo, para la
caracterizaclbn del terreno de cimentacibn con fines de
microzonif icaci 6n sismica, e l uso de tales conceptos conduce a
resultados suficientemente aproximados para la mayoria de 10s sitios que
se encusnlran en la pr8ctfca. E l grado de aproxi macibn que se obtiene a1
tratar con la velocidad o 1entItud prornedios depende de las
caracteristicas del perffi estratigr8fico. Solamente si 10s contrastes
de velocidad entre estratos son muy marcados se d c k preferir el
concepto de lentitud promedia.
3.1.3.2 Jkterrninaci6n rigurosa del periodo dominante y la velocidad
efectiva del s i t i o
Para calcular 10s periodos y modos naturales de vibraci6n de un depbsito
de suclo se puede recurrir a la tkcnica deZ elemento finito, Ia cua l
resulta adecuada y simple cuando se t r n t a de formaciones estratiflcadas
horizontalmente. En este caso, como elementos finitos se utilizan
hiperelernentos que se discretizan solamente en la direccibn vertical, lo
que implica que la regibn por dividir se reduzca exclusivamente a la
profundidad d e l dep6si to.
Los periodos y modos naturales de vibracihn de un depbsito de suela
eskratificado horizontalmente se podrian obtener a1 resolver un problem
de valores caracteristicos continuo. Sin embargo, la ecuacibn
caracteristica de2 depbsito, mejor conocida como ecuaci6n de
frecuenc ias, contiene funciones trascendentes que dif icul tan enarmemente
la soluci6n numkrica de l problema. Para superar esta dificultad se
pueden determi nar eigenvalores y eigenf'unciones discretos usando el
C. I
metodo del elemento f i n i t o , mtdiante el cual es posible derivar un
problema de eigenvalores algebraico.
En relacion con lo anterior, la ref. 45 presenta un metodo de elemento
f in i t o de apl icacl6n p r k t ica que consiste en dlscret izar cada estrato
d e l depbsito de suelo en subestratos donde se supone que la variacihn de
las eigenfunciones es lineal. Por tal razbn, 10s tspesores de 10s
subestratos en que se div ide un estrato dado se deben escoger rnucho m&
pequefios que la longitud de onda de cortante en ese estrato. De esta
forma, el nwero de estratos en el sistema discreto se selecciona
generalmente m a y o r que el n b e r o de estratos en el sistema original; un
d l i s i s tipico requiers de 10 a 40 estratos. Si el dep6si to real con M
estratos se divide en N subestratos en 10s cuales se emplean funciones
de interpolacibn lineal, es posible generar un problem de valorcs
caracterfsticos algebraico de orden N definfdo por la ecuacidn matricial
homogknea
la cuaf conduce a la ecuacibn caracteristica
donde w represents la frecuencia y Z el modo correspondientes a l a n n
n-Psima forma natural de vibraci6n d e l dep6slto de suelo. 2 es un n
aigenvector de orden N que se define como
en donde Z1,Z2, . . . , ZN son 10s desplazamientos modales dc 10s nodos
z l , z 2,..., zN. K y l4 representan las matrices de rigidez y masa del
depbslto de suelo, respectivamente, las cuales son tridiagonales, de
C. I
orden N x N y se ensamblan de la siguiente forma:
donde K~ y son las matrices de rlgidez y masa d e l n-bsirno estrato,
respectivamcnte, las cuales se construyen de acuerdo con las siguientes
expres i ones :
en donde C , p y h son el m6dulo de rigidez, la densidad y el espesor n n n
del n-8simo estrato, respectivamente.
Los elementos de las matrices K y H que se traslapan deben surnarse, 10s
que se localizan fuera de 10s bloques son cero y 10s que caen fuera da
la matriz no se consideran ya que el desplazamiento de la base rigida
d e l depbsito de suelo esta prescri to como nulo.
2 El problem de eigenvalores lineal en % definido por la ec. 1.7 se
puede resolver empleando cualquiera de 10s m&todos esthndar para esta
clase de problem slrn&trico y definido positive. Ahora bien, conacida la
frecuencia fundamental de vibrar del depbsito de suelo, el period0
dominate de vibracidn se obtiene con la relacibn T = 27dw y entonces S 1
la velocidad efectiva de propagacidn se calcula con la expresibn
6 = 4H /T . En las ayudas de disefio se presenta un programa de cbmputo I s S
para la determinacibn rigurosa del periodo dominante y la velocidad
efectiva del sitio.
Como alternativa a1 metodo de elemento finito se pueden emplear
programas de computadora desarrollados con base en tecnicas de
propagacibn de ondas, como el m&todo de la matriz de trasferencia de
Thomson-HaskeI1 (ref. 21, para el a&lculo ~iguroso de funciones de
trasferencia de depdsitos de suelo estratificados. En este caso, las
frecuencias naturales de vibracibn del depbsito quedan definidas por 10s
valores correspondientes a 10s picos resonantes de la funcibn de
t rasf erencia.
Para formaciones de suelos complejas, el perioda dominante de vibracidn
y la velocldad efectiva de propagacihn se pueden determinar a partir de
la inFormaci6n geot6cnica y el registro de microtemblores (ref. 44) del
sitio, calibrados con 10s parmetros dinamicos inf'erfdos del anslisis de
datos de temblores fuertes.
3.1.4 Efectos no Lineales
La velocidad de propagaci6n de ondas de cortante y el amortiguamiento
dependcn notablemente del nivel de deformacl6n al corte a que sea
sometido el suelo; en comportamlento no lineal el m6dulo de r igidez se
reduce y el amortiguamiento crece con la defclrmaci6n. Usualmentc, la
velocidad de propagacibn se mide para deformaciones pequefias, del orden
de por ciento o rnenos; s i n embargo, durante ternblores intensos las
deformaciones pueden llegar a ser del orden de 1 par cisnto o &. En
consecuencia, p w a la deterrnlnacidn de los p d m e t r o s dinAmicos del
sitio seria necesario conocer las propiedades mechnicas del suclo que
Sean compatibles con 10s niveles de deforrnaci6n asacfados a1 temblor de
disefio, lo cual cs surnamente cornplejo de predecir.
Cuando se juzgue necesarfo tomar en cuenta el comportamiento inelhstico
del subsuelo ante la sospecha de incornpatibilidad de sus propiedades
mecbicas con 10s niveles de deformacibn durante temblores intensos, se
puede r - e c u r r i r a una aproximacibn que consiste en obtener la velocidad
efectiva de propagaci6n B e n condiciones e lk t i cas , ante un nivel de 6
defor-nraci6n del orden de lo-" par ciento o menos, la cual se multiplica
por e l factor dc comportamiento no lineal del s i t i o cuyos valores
aparecen en la tabla 1.2, a f i n de reducirla a la velocidad efectiva de
propagacihn 8' que se tendria en condiciones inel.Ast. icas, ante un n i v e l S
de deformacibn correspandiente a1 temblor de disefio esperado en e l sit io
de interCs.
Tabla 1.2 Factores de comportamiento no lineal del s i t i o
Deformation a1 c o r t e I%) 6' / B
S S
5 1.0
< 7 < l o m 2 0.95
c y c 10-I 0.9
- 1 2 10 0 . 8 5
Para valuar el factor de comportamierlto no lineal d e l s i t i o se rbequiere
conocer la m&xlea deformacibn a1 corte d e l terreno, la cual se puede
estimnr con la expresibn
en donde V repr-esenta la velocidad m b c i m a d e l terreno para el sismo de 0
diseiio, la cual se obtiene de la tabla 1 . 3 dcpendiendo tanto de la zona
sismica en que se ubica el s i t i o en cuestibn, segQn la regionalizacibn
sismica del pais, como del sit io mismo.
Tabla 1.3 Velocidadss mhimas d e l terreno
Para e l amortiguamiento no se dispone de resultados confiables ni de
criterios sencillos que permitan incorporar aproximadamente el
comportmiento no lineal d e l suelo, por l o que a1 amortiguamiento
obtenido en condiciones el-ticas no se incrementark a menos que ello
pueda justificarse plenamente con base en anhlisis no lineales
reconocidos para tal f i n .
3.2.1 Introducci6n
La naturaleza del fenbmeno sismico implica que 10s temblores futuros se
pueden describir ~ 6 1 0 en tkrminos probabilistas. En v i s t a de que es
irnposible acotar dentro de limi tes pract icos la dxima intensidad
sismica que puede ocurrir en un lugar dado, en la elecci6n del temblor
de disefio debe considerarse explicitamente la probabiiidad de que su
intensidad se exceda cuando menos una vez durante la vida 6 t i l supuesta
para la estructura. En consecuencia, si se supone que su resistencia es
determinists e igual a la de disefio, la estructura tiene m a
probabilidad de falla que es igual a la de que se exceda la intensidad
de disefio.
Aun la recomendaci6n m&s conservadora no suministraria una proteccibn
absoluta contra el temblor mAs intenso que pudiera ocurrir, nl parece
1.3.15
haber dentro de un rango prhctico tal limite superior. Por consiguiente,
10s criterios de disefio sismico se fundamentan en la admisi6n de la
posibilidad de colapso de toda la estructura, por remoto que se
-1 considere el fendmeno, lo que conduce a que unas estructuras han de
protegerse contra el colapso en mayor grado que otras de acuerdo con su
important ia,
Ante este panorama, las solicitaciones que se adopten para el diseiio
sisrnico de una estructura deben ser funci6n tanto de las caracteristicas
probables de 10s temblores que puedan ocurrir en el sitio de inter&
como del grado.de seguridad recornendable para la estructura en cuestibn,
el cual es funcibn
funcibn dccrec iente
a su resistencia.
creciente de la perdida que impllcaria su falla p r o
de la rapidez de variacibn de su cos to con respecto
Por otra parte, las solicitaciones de diseiio tambien dependen del
sistema estructural, de 10s elementos y materialss de la estructura y de
10s detalles de disefio y construcci6n, 10s cuales determinan la forma de
falla. Conviene considerar estos aspectos estructurales rnediante dos
conceptos: a1 las caracteristicas estructurales para soportar cargas
sisrnicas y bJ la capacidad para disipar energia por comportmiento
inelhstico a t r a d s del desarrollo de deformaciones en 10s intervalos no
lineales de las curvas carga-deformaci6n. Esta forma de tener en cuenta
10s aspectos estructurales 1 leva a caracterizar las estructuras en
funci6n de su estructuracibn misrna, por un lado; y de su ductilidad, por
otro.
Por todo lo anterior se puede concluir que; para fines de clasificaci6n
de las construcciones, la manera m & s adecuada de distinguir entre 10s
diversos tipos de estructuras consiste en el empleo de dos parhetros:
a) la seguridad estructural aconsejable para fa estructura y b) las
caracteristicas estructurales que influyen en la respuesta sismica de la
estructura.
C. I
3.2.2 Clasif icacicin de Construccioneo s e g k su k s t i n o
Atendiendo a la seguridad estructural aconsejable para la estructwa,
las construcciones se clasifican segan su destino como se indica a
cont inuac i6n:
GRUPO A Estructuras en que se requiere un grad0 de seguridad alto.
Construcciones cuya falla estructural causaria la perdlda de un
nQmero elevado de vidas o pkrdidas econ6rnicas o culturales de
rnagnitud excepcionalmente alta, o que constituyan un peligro
significatfvo por contener sustancias toxicas o inflamables,
as1 como construcciones cuyo f uncionamiento sea esenc ial a raiz
de un sismo. T a l es e l caso de puentes principales, sistemas de
abastecimiento de agua potable, sukstaciones elhctricas,
centrales telefhnicas, estac iones de bornberos, archlvos y
registros pfiblicos, monumentos, museos, hospitales, escuelas,
estadios, templos, terminales de trasp~rte, salas de
espect8culos y hoteles que tengan b e a s de reunibn que pueden
alojar un nGmero elevado de personas, gasolineras, dephsitos de
sustancias inflamables o tbxicas y locales que alojen equipo
especialmente costoso. Se incluyen tarnbihn todas aqucllas
estructuras de plant as de generacibn de energia eleetrica cuya
falla por movimiento sismico pondria en peligro la operacibn de
la planta, asi como las estructuras para la trasmisibn y
distribucibn de cnergia elCetrica.
CRUHI B Estructuras en que se requiere un grado de seguridad
intermedio. Const rucciones cuya fa1 la estructural ocasionaria
perdidas de magnitud intermedia o pondria en peligro otras
construcciones de este grupo o del A, tales como naves
industriales, locales comerciales, estructuras cornunes
d e s t i m d a s a vivienda u oficinas, salas de espectAculos,
hoteles, depbsitos y estructuras urbanas o industrialss no
incluidas en el grupo A, asi como mwos de retencibn, hdegas
ordinarias y bardas con altura mayor de 2.5 m. TambiCn se
C. I
incluyen todas aquellas estructuras de plantas de generacibn de
energfa electrlca que en caso de fallar por temblor no
paralizarian el funcianamiento de la planta.
GRWO C Estructuras en que es admisible un grado de seguridad bajo.
Construcciones cuya falla estructural ocasionaria pCrdidas de
rnagnitud summente pequeiia y no causaria norrnalmente daiios a
construcciones de 10s grupos A y B ni Mrdida de vidas. Se
incluyen en esta grupo, por ejemplo, bodegas provisionales y
bardas con altura no mayor de 2.5 m.
En algunas estructuras especialmente importantes, como 10s reactores
nucleares o las grandes presas, el grado de seguridad recornendable es
tan alto que escapan a la clasificacidn que antecede. Eln el diseiio
sisrnico de tales estructuras se seguirh criterios especiales acordes
con el estado del conocimiento,
3.2.3 Clasificacibn de Construcciones aegtin su Estructyracibn
Atendiendo a las caracteristicas estructurales que influyen en la
respuesta sismica de la estructura, las construcciones se clasifican
s e g h su estructuracidn como se indica a continuacibn:
T I P 0 1 Estructuras de edificios: Estructuras comunes tales como
edificios urbanos, naves industriales t Ipicas, salas de
espectticulos y estructuras semejantes, en que las fuerzas
laterales se resisten en cada nivel por m c o s continuos
contraventeados o no, por diafragmas o mums o por combinaci6n
de diversos sistemas coma 10s mencionados.
T I P 0 2 P&ndulos invertidos y ap6ndices: P4ndulos invertidos o
estructuras en que 50 por ciento o ' m h de su masa se halle en el
extremo superior y tengan un solo elemento rtsistente en la
direccibn de an8lisis o una sola hilera de columnas
1.3.18
perpendicular a ksta. ANndices o elementos cuya estructuracibn
difiera radicalmente de la del resto de la estructura, tales
corn tanques, parapetos, pretiles, anunclos, ornamentos,
ventanales, rnuros y revestimientos, entre otros.
TIPO 4 Chimeneas, silos y sirnilarea: Chimeneas y silos, o estructuras
semejantes en que la masa y rigidez se encuentren distribuidas
continuamente a lo largo de su altura y donde dominen las
deformaciones por f lexibn,
TIPO 5 Tanques, depbsitos y similares: Tanques elevados y depbsitos
superficiales, o estructuras semeJantes destinadas a1
almacenamiento de Ilquidos que originan importantes fuerzas
hidrodinkmicas sobre el recipiente.
TIPO 6 Estructuras industriales: Estructuras fabriles en que se
requieren grandes &reas libres de columnas y donde se permite
casi siempre colocar columnas relativamente cercanas unas de las
otras a lo largo de los ejes longitudinales, dejando entonces
grandes claros libres ent re esos ejes. E s t a s estructuras e s t k
formadas en la mayoria de 10s casos por una sucesi6n de marcos
rigldos trasversales, todos iguales o muy parecidos, ligados
en t r e s i por 10s elernentos de contraventeo que soportan 10s
largueros para la cubierta y 10s recubrirnientos de ias paredes.
TIPO 7 Puentes.
TIPO 8 Tuberias.
TIP0 9 Presas.
TIPO 10 Otras estructuras.
3 .2 .4 Factor de Comportamiento Sisraico
La forma M s adecuada en la actualidad de caracterizar las estructuras
en funci6n de su ductilidad consiste en el empleo del factor de
comportamiento sismico Q, el cual en realidad no ~ 6 1 0 e s t h asociado a la
duct ilidad estructural, sina t m b i k n a la estructuracibn misma, a1
deterioro o efecto que puede llegar a contrarrestar gran parte de la
capacidad extra en resfstencia que suministra la ductilidad y a reservas
de capacidad ante carga sismica que 10s m&todos convencionales de disefio
no cons i deran .
Para las d i s t intas estructuras comprendidas dentro de la clasif lcacibn
par tipos considerada se adoptaran 10s siguientes valores d e l factor de
comportamisnto sismico:
TIPO 1 Se usarh Q = 4 cuandg se cumplan 10s requisitos sigulentes:
1. La resistencia en todos 10s entrepisos es suministrada
exc l us ivamente por marcos no cont.raventeados de acero o concreto
reforzado, o bien par marcos contraventeadas o con muros de
concreto reforzado en 10s que en cada entrepiso 10s marcos son
capaces de resistir, s i n contar muros ni contravientos, cuando
menos SO por ciento de la fuerza sismica actuante.
2. Si hay rnuros ligados adecuadamentt en toda su perimetro a 10s
marcos estructurales o a castillos y dalas ligados a los marcos,
kstos se deben tener en cuenta en el anfrlisis de la estructura,
pero su contribuci6n a la capacidad ante fuerzas laterales sblo
se tornark en cuenta si e s t o s muros son de piezas macizas, y 10s
marcos, Sean o no contraventeados, y 10s rnuros de concreto
reforzado son capaces de resistir a1 menos 80 por ciento de las
fuerzas laterales totales s i n la contribucidn de 10s muros de
manpasteria.
3. El minimo cociente de la capacidad reslstente de un entrepiso
e n t r e la acci6n de dlseiio no difiere en rnhs de 35 por ciento del
promedio de dichos cocientes para todos 10s entrepisos. Para
verificar el cumpllmiento de este requisito, se calculark la
capacidad resistente de cada entrepiso teniendo en cuenta todos
10s elementos que puedan contribuir a la resistencia, e n
particular 10s muros ligados a la estructura en la forma
especificada en el requisito 2.
4. Los marcos y rnuros de concreto reforzado curnplen con 10s
requisitos que fijan para marcos y rnuros ductiles las normas
tkcnicas para estructuras de concreto (ref. 6).
5. Los marcos rigidos de acero satisfacen 10s requisitos para
marcos dfictiles que fijan las norrnas tkcnicas p a r a estructuras
metAlicas (ref. 8).
Se usark Q = 3 cuando se sat isfaeen las condic iones 2, 4 y 5 y
en cualquier entrepiso dejan de satisfacerse las condiciones 1 o
3 especificadas para el caso Q = 4, pero la resistencia en todos
10s entrepisos es suministrada por columnas de acero o de
concreto reforzado con losas planas, por rnarcos rigidos de
acero, por marcos de conereto reforzado, por muros de este
material, por cornbinaciones de Cstos y marcos o pox- didragmas
de madera contrachapada. Las estructuras con losas planas
debera adem& satisfacer 10s requisitos que sobre el particular
marcan las normas tkcnicas para estructuras de concreto
(ref. 61.
Se usarA Q = 2 cuando la resistencia a fuarzas laterales es
suministrada por l o s a s planas con columnas de acero o de
concreto reforzado, por marcos de acero o de conc re to reforzado,
cantraventeados o no, o por muros o columnas de concreto
reforzado, que no cumplen en a l g h entrepiso lo especificado
para ,105 casos 8 = 4 y Q = 3, o poi- mums de mamposteria de
piezas macizas confinados por castillos, dalas, coIumnas o
trabes de cohcreto reforzada o de acero, que satisfacen 10s
requisitos de la6 normas tkcnicas para estructuras de
m p o s t e r l a (ref. 71, o diafragmas construfdos con duelas
inclinadas o por sistemas de muros formados por duelas de madera
horizontales o verticales combinados cqn elementas diagonales de
madera maciza. Tambi6n se war& Q = 2 cuando la resistencia es
suministrada por elementos de concreto prefabricado o
presforzado, con las excepcfones que sobre el particular marcan
las norms tCcnicas para estructuras de concreto [ref. 61.
Se usarfi Q = 1.5 cuando la resistencia a fuerzas laterales es
suministrada en todos 10s entrepisos por muros de marnposteria de
piezas huecas, confinados o con refuerzo interior, que
satisfacen 10s requisitos de las norms tCcnicas para
estructuras de mamposteria [ref. 71, o por combinaciones de
dichos muros con elementos como 10s descritos para 10s casos
Q = 3 y Q = 2, o por mrcos y armaduras de madera.
Se usara Q = 1 en estructuras cuya resistencia a fuerzas
laterales es suministrada al mews parcialmente por elementas o
rnateriales difarentes de 10s arriba sefialados, a menos que se
haga un estudio que demuestre claramente que se puede emplear un
valor &s alto que el que aqui se especifica.
En todos 10s casos se emplearh para toda la estructura en la
direccibn de analisis el valor minim de Q que corresponde a 10s
diversos entrepisos de la estructura en dicha direcci6n.
El factor Q guede diferir en las dos direcciones ortogonales en
que se analiza la estructura, segh Sean las propiedadss de 6sta
en dichas direcciones.
TIP0 2 Se emplearan 10s mismos valores de Q especif icados para
estructuras de edificios, dependiendo de la forma en que se
C. I
laterales sea suministrada por sfstemas pila-mum.
Se usa~-6 Q = 1.5 para el disefio de pflas aisladas y estribos de
mamposteria, asi corn para el disefio de las conexiones de la
subestructura tanttt con la cimentacibn coma con la
superes t ruc t ura.
Se usara Q = 1 para el d i s e b de las conexiones entre las pilas
con la superestructura y las pilas con la cimentacibn.
Se usara Q = 0 . 8 para el disefio de las conexiones entrs 10s
estribas y la superestructura.
Tabla 2.1 Valores reprasentativos de {/Q
t = 1 [ = O B { = 0 8
1 h / b S 2 02? 0 2 4 0 2 2 rrlT b b 4
m1 L b + b/b L 2 o 3s 0 afi oa7 mf
h/b 2 1 '3.44 0 40 036 , 1
+ b + I - - b - 4
TIP0 8 Para tuberias no se requiere del factor de comportamiento
sismico.
TIP0 9 En presas de enrocmiento con cara de concreto se uti l iz& un
valor de Q = 1, mientras que en presas de gravedad de
mamposteria o concreto se emplearh un valcr de Q = 1.5-
TIP0 10 Para estructuras que no se encuentren coraprendidas dentro de ias
clasificadas en 10s tipos 1 a 9 se deberh emplear valores de Q
acordes con las reducciones por comportamiento lnel&stico que se
concluyan a partir de estudios especificos sobre la respuesta
probable de la estructura en cuestihn.
3.2.5 Factor Reductive por Ductilidad
Para fines de disefio sera necesario tener en cuenta el comportamiento
i n e l k t i c o de la estructura, aunque sea de m e r a aproximda. Para ello,
las ordenadas espectrales se p o d r h reducir dividikndolas entre el
factor reductivo Q' a fin de obtener 1as fuerzas sismicas reducidas por
ductilidad. Para cualquier t i p o de estructura, el factor reductivo se
calculara c o w sigue:
en donde T se tomar'a igual a1 periodo fundamental de vibracibn cumdo se
emplee el arhlisis estAtico e igual a1 periodo natural de vibracibn del
modo que se considere cuando se ernplee e l anklisis modal espectral; T a
es el primer periodo caracteristico del espectro de diseiio.
En caso de que se adopten dispositivos especlales capaces de disipar
energia por amortiguamiento o comportamiento inelgstico, p o d r h
emplearse criterios de disefio sismico que difieran de 10s especificados
en este manual, siernpre que sean congruentes con ellos y se demuestre
convincentemente tanto la ef icacia de 10s dispos it ivos o soluciones
estructurales corn la validez de 10s valores del amortiguamiento y e7
factor reductivo que se propongam.
3 .3 REGIONALTZACION SISHICA Y ESPEETRUS DE IIfSEm
Con base en un estudia de riesgo sismico, descrfto en 10s comentarios,
se encontr6 que para f ines de disefio sismico la RepGblica kxicana se
considerark dividida en cuatro zanas, s e g h se indica en la fig. 3.1.
Las fronteras entre zonas coinciden con curvas de igual aceleracibn
maxima del terreno; la zona A es la de menor intensidad sismica,
rnfentras que la de mayor es la zona D.
3.3.2 Espectros para Diseflo Sismico
Las ordenadas del espectro de gcejeraciones p y a disefio sismjco, a,
expresadas como fracci6n de la aceleracibn de la gravedad, e s t h dadas
por las siguientes expresiones:
donde a es el coeficiente de aceleracf6n del terreno, c e l coeffciente 0
sismico y T el periodo natural de inter6s; Ta y Tb son dos periodos
caracteristicos que delimitan la meseta y r un exponente que define la
parte curva del espectro de disefio. Los valores de estos par%metros se
consignan en la tabla 3.1 para las diferentes zonas sisrnicas y 10s
distintos tipos de terreno de cimentacihn.
Tabla 3.1 Espectros de disef io para estructuras del grupo B
T
Zona T i p de a -- c I T (s) Tb(s1 r
sismica suelo D a
I 0.02 0.08 0.2 0.6 1 /2 A I I 0.04 0. 16 0.3 1.5 2 13
I I I 0.05 0.20 0 .6 2.9 1
I 0.04 0. 14 / 0.2 0.6 112 B I I 0.08 0.30 0.3 1.5 2 /3
I I I 0.10 0.36 0.6 2.9 1
I 0.36 0.36 0.0 0.6 1 /2 C I I 0.64 0.64 0.0 1.4 2/3
I11 0.64 0.64 0.0 1 . 9 1
I 0.50 0.50 0.0 0 . 6 1 /2 D . I 1 0.86 0.86 0.0 1.2 2/3
111 0.86 0.86 ' 0.0 1.7 1
Los espectros de disefio especificados son aplicables a estructuras del
g r u p B. Para estructuras del grupo A, 10s valores de las ordenadas
espectrales d e k r b multipl icarse por 1.5, a fin de tener en cuenta la
importancia de la estructura. Cabe aclarar que 10s espectros de diseiio
astipulados son vklidos para estructuras de edificios; las
modPflcaciones pertfnentes para extsnderlos a otras construcciones se
indican en 1;s secciones correspondientes a 10s tipos de estructuras
considerados en este manual.
En sltios en que se conozca el period0 dominante del suelo, T , se B
permitiran algunas modlficaciones en las ordenadas espectrales. Para
ella, tratmdose de terrenas tipo I1 y 111 se podran modiffcar 10s
periodos caracteristicos del espectro de diseiio como se indica a
cont i nuac ibn:
Terreno t i p o I1
T = 0.64 T s Zonas sismicas A y B
= 1.2 Ts; 0.6 < Tb < 1.5 s
. ,
Zona sisrnica C = 1.2 T ; 0.6 < Tb < 1 . 4 s 8
Zona sismica D = 1.2 T ; 0 . 6 < Tb < 1.2 s a
Terreno t im I I1
T = 0.35 T Zonas sismicas A y I3
s
Tb = 1.2 Ts; 0.8 < Tb < 2 . 9 s
Zona sismica C {Tb = 1.2 Ts; 0.8 < Tb < 1.9 s
Zona sismica D { a = 1.2 T ; 0.8 < Tb < 1.7 s 8
En terreno t i po I no se admiten modificaciones en el espectro de disefio.
3.4.3 Eleccidn del Tipo de AnAlisis
Para el d l i s i s sismico de estructuras de cdificios se puede recurrir a
tres mktodos: a] rrt&todo simplificado, b] mAl i s i s esthtico y c) analisis
d i n h i c o . E l mbtodo simpliflcado que se describe en 'la seccidn 3.4.2
sblo ss aplicable a ciertas estructuras con altura no mayor de 13 m. Las
estructuras que no pasen de 60 rn de alto se pueden malizar con el
rnetodo esthtico como se indica en la secci6n 3.4.4. Para alturas
superiores a 60 m e s forzoso aplicar un mktodo d i h i c o se@ se
establece en la secci6n 3.4.5,
En este capitulo se presentan criterios b8sicos para valuar las
solicltaciones sismicas que obran en estructuras de edificios; criterios
complementarios para el diseiio sismico de este t i p o de estructuras se
pueden consultar en la ref, 23. L a s recomendaciones que aqui se
establecen son en wan medida una adaptacibn de las disposiciones
espccificadas en la ref. 5.
3.4 .2 *todo Simplificado
El mCtodo simplificado sera aplicable a1 an&llsis de estructuras que
cumplan sirnultAneamente 10s siguientes requisites:
1. En cada planta, a1 menos e l 75 por ciento de las cargas verticales
estarh soportadas por muros ligados entre si mediate losas
mono1 f t i cas u otros sistemas de piso suficientemente resistentes y
rigidos a1 corte. Dichos muros tendran distribucibn sensiblernente
simktrica con respecto a dos ejes ortogonales y deberhn satisfacer
las condiciones que establecen las correspondientes normas t4cnicas
para estructuras de concreto o mamposterfa (refs. 6 y 7 ) . Sera
admisible cierta asimetria en la distribucibn de 10s muros cuando
existan en todos 10s pisos cuando menos dos muros de carga
primetrales paralelos entre s l , cada uno con longitud no menor' que
la mitad de la dimensibn mayor en planta de la estructura. Los muros
a que se refiere este pkraf 'o p o d r h ser de mamposteria, concreto
reforzado o madera; en este Qltimo caso estaran arriostrados con
diagonal e s .
2. La relacibn entre longitud y anchura de la planta de la estructura
no exceder& de 2, a menos que, para fines de mAlisis sismico, se
pueda suponer dividida dfcha planta en tramos independientes cuya
relaci6n entre longitud y anchura satisfaga esta restrTcci6n y cada
tramo resista la fuerza cortante que le corresponds calculada como
se indica a1 final de esta seccibn.
3. La relacibn entre la altura y la dimnsi6n minima de la base de la
estructura no exceder& de 1 . 5 y la altura de la estructura no sera
mayor de 13 m.
Tabla 4.1 Coeficientes siaamicos reducidos para el &todo simpliffcado; construcciones del grupo B - .
Muros de piezas macizas Muros de piezas huecas Zana T i p o d e o o
Didragmas de madera Dlafragmas de duelas de sisrnlca te r renn cont rac hapada mdera
H<4 45HG 7:!713 7:;l 4:H=7 7<H=13
I m) ( m ) m [ m)
I 0.04 0.04 0.04 0.05 0.05 0.05 A I I 0.06 0.07 0.08 0.07 0.09 0.11
I 1 I 0.07 0.08 0. 10 0.08 0.10 0.13
r 0.06 0.07 0.07 0.08 0.09 0.09 I3 1 I 0.13 0.15 0.18 0.15 0.18 0.22
T 1 I 0.13 0. 16 0.19 0,15 0. 19 0.23
I 0. 18 0. 18 0.18 0.24 0.24 0.24 C 11 0.42 0.32 0 .32 0 .43 0.43 0.43
I IT 0.32 0.32 0.32 0 .43 0.43 0.43
I 0.25 0 . 2 5 0.25 0.33 0.33 0.33 D I I 0.43 0.43 0.43 0.57 0.57 0.57
T I 1 0.43 0.43 0.43 0.57 0 . 5 7 ) 0.57
Para aplicar este metodo se hard caso omiso de 10s desplazamientos
horizontales, momentos torsionantes y momentos de volteo. Se verificara
hicamente que en cada piso la suma de las resistencias a1 corte de 10s
muros de carga, proyectadas en la direccidn en que se considera la
aceleracibn, sea cuando menos igual a la fuerza cortante t o t a l que obre
en dicho p i s o , calculada s e m se especifica en la seccidn 3.4.4.1, pero
empleando 10s coeficientes sismicos ya reducidos por ductilidad que se
establecen en la tabla 4 . 1 si se trata de construcciones del grupo B.
Estos coeficientes se multlplicar&n pox- 1 cuando se trate de
construcciones del grupo A. Lo aslterior se deberA verificar en dos
direcciones ortogonales.
Para que una estructura pueda considerarse regular debe sat i sfacer los
1. La planta es sensiblemente simCtrica con respecto a dos ejes
ortogonales por lo que toca a masas, asi como a muros y otros
2. La relacibn de altura a la dimensibn menor de la base no es mayor
3 . La relacibn de largo a ancho de la base no excede de 2.5. I
4 . En planta no tiene entrantes ni salientes cuya dimensibn exceda de
20 por c iento de la dimensi6n de la planta medida paralelamente a la
direccibn que se considera de la entrante o saliente.
5. En cada nivel tiene un sistema de techo o piso rlgido y resistente,
6. No tiene abertwas en 10s sistemas de techo o p i s o cuya dirnensidn
exceda de 20 por ciento de la dimenslbn de la plan ta medida I paralelamente a la direccibn que se considera de la abertura, las
Areas huecas no ocasionan asimetrias slgnificativas ni difieren en
posicibn de un piso a otro y el &rea t o t a l de aberturas no excede en
ning6n nive l de 20 por c i e n t o del hrea de la planta.
7 . E l peso de cada nivel , lncluyendo la carga viva que debe
considerarst para disefio sisrnico, no es mayor que el del piso
inmedlato inferior nl, excepci'bn hecha del altimo nivel de la
construcc i6n, es menor que 70 por ciento de dicho peso.
8 . Ning6n p i s o t iene un Area, del i m i tada por 10s pai5os exteriores de
sus elernentos resis tentes verticales, mayor que la del plso
inmediato inferior ni menor que 70 por ciento de Csta. Se exirne de
este ~ ltimo requisito hicarnente a1 hltimo piso de la construcci6n.
9. Todas las columnas estan restringidas en todos los pisos en dos
direcciones ortogonalss por diafragmas horizontales y por tr-abes o
losas planas.
10. La rigidez a1 corte de n i n g h entrepiso exceds en lnas de 100 por
cjento a la del entrepiso inmedlatamente inferior.
11. En ninfin entrepiso la excentricidad torsional calculada
estAticamente excede del 10 por ciento de la dimensi6n en planta de
ese entrepiso medida paralelamente a la excentricidad mencionada.
En el disefio sismico de estructuras que no satisfagan las condiciones de
regularidad fijadas anteriormente, el factor reductivo Q' se
multiplicara p r 0.8 a fin de obtener las fuerzas sismicas reducidas por
duct i l idad.
Los desplazamientos laterales calculados teniendo en cuenta la reduccibn
por ductilidad se mult ip l icarh por el factor de comportamiento sismico
8, para calcular efectos de segundo orden asi coma para verificar que la
e s t r u c t w a no alcanza ninguno de 10s estados llrnite de servicio que se
est lpulan en la seccibn 3.4.6.
3.4.4 AnAl isis Estatico
E l mbtodo de analisis est&tico consta esencialrnente de 10s siguientes
pasos :
1 . Calcular fucrzas laterales aplicadas en 10s centros de masa de 10s
pisos que produzcan efectos equivalentes a la acci6n sismica.
2. Distribuir las fuerzas laterales del paso 1 y 10s momentos
torsianantes asociados a dichas fuerzas en t r e 10s sisternas
resistentes a carga lateral que conforman la estructura, corn son
marcos, muros o combinaciones de kstos.
3. Analizar cada sistema resistente ante las cargas laterales que le
correspondan.
3.4.4.1 Valuaci6n de fuerzas sismicas s i n estimr el periodo
f u n d m n t a l de la estructura
Para calcular las fuerzas cortantes a diferentes niveles de una
estructura se supondrd un , conjunto de f uerzas de inercia laterales
actuando sobre cada uno de 10s niveles, en 10s que se suponen
concentradas las masas, como se ilustra en la f i g . 4.1.
- V
Fig. 4.1 Fuerzas sismicas en un edificio
Las fuerzas de inercia se determinmh considerando que la-
aceleraciones de las masas de la estructura varian linealmente con la
altura y que la fuerza cortante basal de la estructura es igual al
coeficiente slsmico reducido por ductilidad y rnultiplicada por el peso
de la construcci6n, lndependientemente del periodo fundamental de la
estructura.
De acuerdo con lo anterior, cada una de las fuerzas de lnercia se tomard
igual a1 peso de la masa que corresponde multfplicado por un coeficiente
proporcioml a la altura ds la masa en cuesti6n sobre el desplante o
nivel a partir del cual las deforrnaclones laterales de la estructura
pueden ser apreciables, es decir:
donde W es el peso de la masa n y h la altura correspondiente sobre el n n
desplante. E l coeficiente a se tomar& de tal manera que la relaciSn V/W
sea igual a c / Q , siendo V la fuerza cor tante basal, U el peso de la
construcci6n, incluyendo cargas muertas y vivas, Q el factor de
comportamiento sfsmico y c el coeficiente slsmico. De esta forma se
t iene que
en donde N represents el nQmero de masas concentradas, i g u a l a1 n h e r o
de niveles d e l edfflcio. Sustituyendo la ec, 4 . 2 en la ec. 4 . 1 se
obtiene que la fuerza lateral que actua en el centro de masa del nivel n
es igual a
3.4.4.2 Valuaci6n de fuerzas sismicas estimando el periodo fundamental
de la tstructura
P o d r h adoptarse fuerzas cortantes menores que las calculadas segb la
seccibn 3 . 4 . 4 . 1 , siempre que se tome en cuenta el valor aproximado del
periodo fundamental de vibracibn de la estructura, de acuerdo con lo
siguiente:
1. E l perlodo fundamental de vibracibn de la estructura se obtendrk
aproximadarnente a partir del cociente de Schuartz (ref. 481,
medlante la expresidn
donde P es la fuerza lateral que act 6a sobre la m a s a n de acuerdo n
con la seccibn 3.4.4.1, X el correspondiente desplazamiento en la n
direcclbn de la fuerza y g la aceleracibn de la gravedad.
2. Si T es menor que el periodo caracterist ico T se proceder6 como en e b
la seccibn 3 . 4 . 4 . 1 pero de tal manera que la relacibn V/W sea igual
a dQ', siendo Q' el factor reductivo y a la ordenada espectral
correspondientes a T . Esto impllca que las fuerzas sismicas Sean t
3 . Si T es mayor que el periodo caracteristico T en vez de la e b'
variaeibn lineal de la aceleracihn con la altura se adoptara m a
variacibn cuadrAtica que conduce a una fuerza lateral en la n-dsima
masa de la forma
donde 10s coef icientes de proporcionalidad al y a2 est6.n dados por
las sigufentes expresiones:
en donde q = [~~n*) ' slendo r el exponente de la parte curva del
espectro de disefio. En este caso, 10s coeficlentes ocl y as se
tornaron de tal manera que la relacibn V/W sea idCntica a a/Q cuando
T es igual a Tb y t i snda a 1.29. 1.33 y 1.5 vecss a/Q para terreno e
tipo I , I1 y TIT, respectivamente, cuando T tiende a fnfinito. e
3.4.4.3 Homntos tarsi onantea
E l momento torsionante en la astructura en el entrepiso n se tomar&
igual a la fuerza c o r t a n t e V de dicho entrepiso multiplicada por la n
excentricidad de diseiio e+ o e- que rssulte n8s desfavorable para cada n n
sistema resistentc de la estructura, esto es:
donde e es la excentrlcldad torsional calculada en el entrepiso n, n
igual a la diskancia entre el centro de torsi6n.y la linea de acci6n de
la fuerza cortante correspondientes a dfcho entrepiso, y b la mdxima n
dimensi6n en planta del entrepiso n medida perpendicularmenke a la
direccibn del movimi~nto del terreno, A d e h , la excentricidad de diseho
en cada entrepiso no podr6 tclmarse menor que la mltad de la maxima
excentricidad torsional calculada para 10s entrepisos que se encuentran
abajo del que se considera, y el momento torsionante de ese entrepiso
tampoco podrh ser rnenor que la mitad d e l m&ximo momento torsionante
calculado w a 10s entrepisos que e s t h arriba del considerado.
Para la localizacibn de 10s centros de torsi611 de una estructura y la
distribucibn de las fuerzas cortantes y momentos torsionantes ent re 10s
sistemas resistentes que la conforman, se rccomienda recurrir a un
procedimiento que se prescnta en la ref. 29 basado en el ad1 isis
bidimensional de estructuras con sistemas resistentes no ortogonales.
Segm este procedimiento, el centro de torsi6n de un entrepiso es el
punto de aplicacibn de la fuerza cortante para producir s61o traslaci6n
s l n rotaci6n; sus coordenadas x y y en tkrminos de las rigideces de t t
entrepiso se encuentran dadas por las siguientes expreslones:
en donde:
E s t a s ecuaciones se aplican a cada entrepiso de la estruckura en
C. I
cuestibn, siendo K la rigidez de entrepiso del sistema resistente m, x m
Y m las coordenadas de un punto arbitrario de su e je referidas a un
sistema de coordenadas global [x ,y) , sm = 5en $ , c = cos 4 y Qrn la m m m
desviaci6n del sistema resistente m respscto a1 sistema de coordenadas
global, corn0 se mucstra en la fig. 4.2.
Fig. 4.2 Desviaci6n de un sistema resistente
En el Mlis i s tridimensional, la posicJ6n de 10s centros de torsibn es
funci6n tanto de las caracteristicas de rigidez de la astructura como de
la distribucibn de las fuerzas sismicas. Para e s t a situacibn se
recomienda recurrir a urn t&cnfca que se presenta en la r e f . 30.
3.4.4.4 Momentus de volteo
E l momento de volteo en el nivel n para cada sistema resistente de la
estructura, c a l c u l ~ o como la integral del diagrama de cortantes de
entrepiso, podra reducirse de acuerdo con la axpresi6n
donde H es la altura de la construccibn y V la fuerza cortante en el m
entrepiso m correspondiente a1 sistema resistente en cuest i6n. El
momento de volteo reducido no podrl ser menur que el producto de la
fuerza cortante en el nivel n multiplicada par su distancia a1 centro de
gravedad de la garte de la estructura que se encuentra par encima de
dicho n ive l .
3.4.4.5 Efectos de segundo ordtn
En el analisis d e b e r h tenerse en cuenta explicitamente los efectos
..- P-delta, esto es, 10s momentos y cortantes adicionales provocados por
las cargas verticales a c t u a t e s sobre la estructura deformada, asi como
por la influencia de la carga axial en la rigidez de la construccibn.
Estos efectos no se p o d r h despreciar cuando en cualquier entrepiso n el
desplazamiento relat ivo del entreplso, Xk, dividido entre la altura del
entrepiso, hk, exceda de 0.08V /W', siendo V la fuerza eortante del n n n
entrepiso y W' el peso de la estructura incluyendo cargas muertas y n
vlvas que obra encima del entrepiso n, afectado por el factor de c a r p
correspondiente.
Una forma aproximada de estimar 10s efectos de segundo orden consiste en
amplificar en cada entrepfso la defarmacibn y 10s momentos en los
extremos de las colmnas calculados despreciando estos efectos, mediante
el factor de amplificacibn (ref. 551
Los momentos en 10s extremos de las trabes t endrh que corregirse
proporcionalmente a sus rigideces angulares para que se satisfaga el
equillbrio de momentos en 10s nudos.
3.4.4.8 Efectos combinados de 10s lrrovirnientos del terreno
L a s estrueturas se analizara .ante la acci6n de dos componentes
horizontales ortogonales del movimiento del terreno. Para las
construcciones localizadas en las zonas sisrnicas C y D, adicionalmente
se considerard la acclbn del componente vertical que se tomark como 213
del mayor horizontal. Los efectos correspondientes, tales como
desplazamientos y elementas mechicos, se cornbinar* sumando
vectorlalmente Ios gravitacionales, 10s del cornponente del rnovimiento
del terreno paralelo a la direccibn de analisis y 0.3 de 10s efectos de
10s otros componentes, con 10s signos que para cada efecto sismico
resulten rn&s desfavorables.
En el dlsefio de estructuras cuyas relaciones fuerza-deformacibn difieran
en sentidos opuestos se d i v i d i r h 10s factores de resistencia
correspondientes entre 1+2.5dQ, en que d es la diferencia en 10s valores
de d B ' , expresados como fraccibn de la aceleraci6n de la gravedad, que
causarian la falla o fluencia plgstica de la construccfbn en uno y otro
sent l do.
El metodo de an&lisis d i m i c o consta de 10s mismos pasos bksicos del
esthtico, con la salvadad de que las fuerzas laterales aplicadas en 10s
centros de masa de 10s pisos se determinan a p a r t i r de la respuesta
d i n a i c a de la estructura. Pueden emplearse como mCtodos d i n h i c o s el
analisis modal espectral y el adl i s i s paso a paso o cklculo de
respuestas ante temblores especificos. C a k aclarar que el analisis paso
a paso tmbien puede ser modal, siernpre que la respuesta total se
encuentre mediante la superpsici6n en el tiempo de las respuestas
modales para cada uno de 10s modos de vibracibn.
3.4.5.1 Mlisis modal espectral
Si se usa el a d l i s i s modal espectral, debera incluirse el efecto de
todos 10s modos naturales de vibracf6n con period0 mayor o igual a 0.4
s , pero en n i n g h caso podrh considerarse menos que 10s tres primeros
modos de traslaci6n en cada direccibn de andlisis. Puede despreciarse el
efecto d i n h i c o torsional de excentricidades esthticas. En tal caso, la
influencia de las excentricidades estatica y accidental se calcularh
como se especifica para el an6lisis est8tico.
Las masas de una estructura de varios grados de libertad somstida a
excitacibn en su base sufren movimientos que e s t h gobernados par la
ecuaci6n matrfcial de equilibria d i n h i c o
donde W , C y K son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez de e e e
la estructura, respectivamente, X es el vector de desplazamientos e
relativos a1 apoyo de la estructura, x la aceleraci6n del terreno y J 0
un vector constante que en caso de no considerar la torsibn es tA formado
por unos.
Segh el anhlisis modal, la solucibn de la ec. 4.17 en cualquler
instante se puede expresar como la cornbinacibn de las respuestas debidas
a la participacibn de cada uno de 10s modos naturales de vibracibn. En ---- - --- .A - * - , .. * --.-.? -
congecuencia, la respuesta total es
en donde N representa el nQmero de grados de libertad de la estructura y
D el desplazamiento de un oscilador simple, con frecuencia n a t u r a l n
igual a la deI mod0 n, s u j e t o a la misma aceleracibn del terreno.
AdemBs, Z es el n-6simo modo natural de vibracibn que se obtiene a1 n
resolver el prablema de valores caracteristicos definido por la ecuaci6n
mat r ic ial homogknea
slendo w la n-Lsina frecuencia natural de vibrar, y C es el
coeficiente de participaci6n que define la escala a la que interviene el
mado n en la respuesta, dado por
P a r a fines de disefio Interesa obtener sblo 10s desplazamientos Wimos
de la estructura. Fartiendo de la ec, 4.18, la n-6sima respuesta modal
rmkxirna se define corno
en donda T = 2 x / q es el n-&sirno periodo natural de vibrar; D [ T ~ ) n
representa la ordenada de l espectro de disefio de desplazamiento
correspondiente a ese periodo, la cual ts igual a
siendo A(T ) = a [ ~ ~ ] ~ la ordenada del espectro de dlsefio de aceleracibn. n
h t o n c e s , la n-esim respuesta modal &ima en terminas de aceleraci6n
espectral y reducida por ductilidad resulta ser
Ahora bien, las fuerzas sismicas mbrimas que se producen a1 vibrar la
estructura en su n-&sirno mod0 son
En v i s ta de que las respuestas modales no ocurren simultheamente, la
superposici4n directa de ellas representa ma cota superior a la
respuesta total de la estructura. Por ello, las respuestas modales S , n
donde S puede ser fuerza cortante, desplazamiento lateral, momento de n
volteo, e t c , se combinarhn para calcular las respuestas totales S de
acuerdo con el criteria probabilista (ref. 481
siempre que 10s periodos de 10s modas naturales en cuestibn difieran a1
menos 10 por ciento entre si. P a r a las respuestas en modos naturales que
no cumplen esta condicibn, por ejernplo de estructuras con torsi611 o
apendlces, se tendrB en cuenta el acoplamiento entre ellos. En estos
casos procede ernplear e l criterio probabilista [ref. 48) , . ----
en donde:
donde w y w' son las frecuencias naturales sin amortiguar y amortiguada n n
del n-tslmo modo, respectivamente, < es la fracclbn del amortiguamiento n
critic0 asociada a dlcho modo y s la duracibn del segmento de ruido
blanco estacionario equivalente a la familla de temblores reales de
disefio. Se sugiere suponer \ = 0.05, a menos que se just if ique o t ro
valor. En la ref. 74 se describe una f o r m de calcular la duracibn
equivalante s en funci6n de las frecuencias naturales de la estructura;
una manera m6.s gruesa eonsiste en ernplear para s la duracibn de la fase
in tensa del movimiento sismico. Cabe destacar que la respuesta mdal S n
puede ser p s i t i v a o negativa de acuerdo con el signo qua l e corresponds
a1 calcularla rnodalmente; esta arnbigiiedad en 10s signos se e v i t a
considerando que la ordewcia espectral es siempre posltiva.
Si se ernplea el analisis paso a paso o cAlculo de respuestas ante
temblores especificos, p d r A acudirse a acelerogramas de temblores
reales o de movimientos simulados, o a combinaciones de Bstos, siempre
que se usen no menos de cuatro movimientos representatives,
independientes cntre si, cuyas caracteristicas de intensidad, duracibn y
contenido de frecuencias sean compatibles con el rfesgo sfsmico del
s i t l a en cuesti6n, y que se tengan en cuenta el comportamiento no lineal
de la estructura y las incertidumbres que haya en cuanto a sus
parhetros.
*
En la ref . 22 se presenta un con jun to de mhtodos tanto de integraci6n
dfrecta como de superposicibn modal, as1 como 10s algoritmos
correspondientes, que pueden ser utilizados para el anAlisis paso a
paso.
3.4.5.3 Revfsidn por cortante basal
Si con el m&todo de analisis d i n h i c o que se haya aplicado se encuentra
que, en la direccibn que se considera, la relacibn V/W es menor que
O.8a/Q', se incrementarb todas las fuerzas de disefio y 10s
desplazamientos laterales correspondientes en una proporcibn tal que V/W
iguale a aste valor. Esta condicibn implfca que la fuerza cortante basal
de diseiio no puede s e r menor que 80 por ciento de la que a r r o jaria un
adl i s i s esthtico ttniendo en cuenta el period0 fundamental de la
estruct ura.
Cualquiera que sea el metodo de anAlisis d i n b i c o que se emplee, 10s
momentos torsionantes, momentos de volteo, efectos de segundo orden,
efectos combinados de los movfrnientos d e l terrenn y el comportamiento
separarse de sus linderos con 10s predios vecinos una distancia no
menor de 5 c m n i menor que el desplazamiento horizontal del nivel de
que se trate. El desplazaniento horizontal se obtendrk como el
calculado pero aumentado en 0.001, 0,003 o 0.006 de la aitwa de
dicho nivel sobre el desplante para los terrenos tipo I, I1 o 111,
respect ivamente.
S i se emplea el mktodo simplfficado de analisis sismico, la
separac ibn menc ionada no ser8, en nin@n ni ve 1, menor de 5 c m ni
menor de la altura del nfvel sobre el desplante rnultiplicada por
0.007, 0.009 o 0.012 para los terrenos t ip0 I , I 1 o 111,
respect f w e n t e .
La separaci6n ent re cuerpos de una misma estructura o entre
estructuras adyacentes serA cuando menos igual a la sum& de las que
de acuerdo con las especi f i cac iclnes precedentes corresponden a cada
una.
A 1 revisar con respecto a estados limite de falla de la cimentacion se
ten&& en cuenta la fuerza de inercia horizontal que obra en el volumen
de suelo que' se halla baJo 10s cimientos y q u e potencialmente se
desplazaria al fallar el suelo en cortante, estando dicho volurnen sujeto
a una aceleracibn horizontal igual a a = c14 veces la aceleracibn de la 0
gravedad, siendo a el c~eficiente de aceleracibn del terreno. 0
3.5 ESTRUCTURAS TI PO 2 : PEMlULOS I NVERTI W S Y APEMI1 CES
3-5.1 Consideraci ones Generales
Para e l anhlisis sismico de pkndulos invertidos y estructuras con
apendices s e r h aplicables todas las disposiciones procedentes
estipuladas para estvucturas de edificios, con la salvedad de que en el
andlisis estatico de pbndulos invertidos no se permite reducci6n de la
fuerza cortante en funcibn del perlodo fundamental ni reduccibn d e l
momento de volteo.
Por lo que se ref iere a la determinacibn de las fuerzas slsmicas que
obran sobre pkndulos invertidos y apkndices, adicionalmente s e
considerarh 10s criterfos complementaries que se especifican en el
presente capi t u l o .
3.5.2 Pendul QS Invert f dos
En el analisis estatico de pendulos invertidos, ademas de la fuerza
lateral calculada corno se estipula para estructuras de edificios, se
t e n d r h en cuenta las aceleraciones verticales de la masa superior
asociadas a1 giro de dlcha masa con respecto a un e j e horizontal normal
a la direccibn de an&lisis y que pase por el punto de unidn entre la
masa y el elernento resistente, el cual se designa en la fig. 5 . 1
mediante la letra 0,
Fig. 5.1 Elevaci6n de un pgndulo invertido
E l efecto de dichas aceleraciones se tomar& equivalente a un par de
inercia M aplicado en el extremo superior del elemento resiskente, cuyo
valor es igual a
donde r es e l radio de giro de la masa con respecto a1 e j e en cuestibn;
x y # son el desplazamiento lateral y el giro, respectlvamente, del
extrem superior del elemento reslstente bajo la acci4n de la fuerza de
inercia P que actha sobre la masa, la cual se define como
en donde c es el coeficiente sisrnico, Q el factor de cornpor tmien to
s i s m i c o y W el peso del pkndulo invertido.
Erl el diseiio sismico de pCndulos invertidos, las fuerzas internas
debidas a1 movimiento del terreno en cada una de las direcciones en que
se analice se combinarhn con el 50 por ciento de las que produzca e l
movimiento del terreno en la direccibn perpendicular a ella, tomando
estas ultimas con el signo que para el elemento resistente resulte r&
desfavorable.
3.5.3 Apendices
L a s acciones sismicas que abran sabre apendices son funcibn tanto de l
movlmicnto del terreno como de la interaccibn didmica entre el apCndice
y la estructura en que se apoya; para s u d e t e r m i n a c i d n se puede efectuar
un analisis d i n h i c o del conjunto, l o que implica que el anhlisis de la
respuesta de tales elernentos sea algo compleja. Sin embargo, para fines
de disefio se puede recurrir a1 &todo estatico pero fijando el
coeficiente sismico de disefio de tal forma que se consideren, aunque sea
aproximadarnente, 10s efectos de interaccidn apkndice-estructura, 10s
cuales tienden a amplificar fuertenente la respuesta del apkndice.
De esta form, para valuar las fuerzas sismicas estaticas que obran en
apkndf ces, equipos y demAs e lementos cuya estructuraci 6n d i f iera
radicalmente de la del resto de la estrucbura principal, se supondrk
actuando sobre el elemento en cuesti6n la fuerza sismica que le
corresponderia si se apoyara directamente sobre el terreno, multiplicada
p o r el factor de mplificaclbn [l+c/ao] donde a = c / 4 es el n 0
coeficiente de aceleracibn del terreno y c = P /W el coeficiente de n n n
aceleracl6n por el que se multiplica el peso U d e l nivel de desplante n -.
del elemento en cuesti6n cuando se valQan las fuerzas laterales P sobre n
la estructura ignorando la presencia de ap4ndices; es te coef iciente se
obtiene como sc indica en relaclbn con el an&lisis estAtico para
estructuras de edificios.
Con base en lo anterior, ]as fuerzas laterales Ph sobre aphdices se
determinaran de acuerdo con la expresi6n
en donde U' es el peso d e l apCndice en cuestihn desplantado sobre el n
n-&sirno nivel de la es t ruc tura principal y Q el factor de comportmiento
sisrnico aplicable segdn la form en que estk estructurado dicho
aphnd i ce .
En el diseiio sismico de estructuras de edlficios ubicadas en terrenos
t i p o I1 o I 1 1 se recomienda tener en cuenta 10s efec tos de la
interaccibn ent re el suelo y la est ructura , Cuando asi se proceda, se
aplfcar6n solamente 10s rnktodos estatico y dinAmlco de anhlisis sismico
que se especifican para este tipo de estructuras junto con las
recomendaciones que se e s t ipul.an en el presente capi t u lo .
Etas recomendaciones pueden ser empleadas para incorporar 10s efectos
de la lntcraccibn inerclal en la determinacibn de las fuerzas sismicas y
10s desplazamientos de disefio de la estructura. Los ef ectos inerc iales
considerados son el alargamiento d e l periodo fundamental de vibration y
el aumento del amortlguamiento de la estructura , con raspecto a 10s
valores que tendrian suponiendo que la est ructura se apoya r i gidamente
en su base. En general, el uso de estas recomendaciones reducird 10s
valores de las fuerzas laterales, el cortante basal y 10s momentos de
volteo calculados para la estructura supuesta con base indeformable, e
incrementarh 10s desplazamientos laterales.
En general, sblo se Justificarh tomar en cuenta 10s efectos de la
interaccfbn suelo-estructura cuando se tenga:
donde Bs es la velocidad efect lva de propagaclbn del dep6s 1 to de sue lo
en cuestihn, en tanto que Te y He son el period0 fundamental de -
---.. vibraci6n y la altura afectiva, respectfvamente, de la estructura de
inter& supuesta con base rigida.
3.6.2 Caracterizacicin del Sistemra Suelo-Estructura
Para estructuras con varios grados de likrtad y dep6sitos de suelo
estratificados, el sistema suelo-estructura se puede idealizar
adecuadamente corno se muestra en la fig. 6.1. Se trata de una estructura
con N grados de libertad en traslacibn horizontal que se apoya sobre una
cimentacion superficial, circular e infinitamente rigida con ~ Q S grados
de libertad, uno en traslacibn horizontal y o t r o de rotacibn o cabeceo.
La cimentacibn se desplanta en un dep6sito de suelo con base
indeformable y estratlficado horlzontalmente con M estratos. Los grados
de libertad ~~PPespOndientes a traslaci6n vertical y torsibn de la
cimentacihn se desprecian, a pesar de que pueden ser muy importantes
cuando se tengan sistemas de p i s o flexibles o en estructuras
irregulares, respectivamente, Los grados de libertad de la cimeniacibn
e s t b referidos a la subrasante, por lo que el momento de inercia de la
masa del cimiento se toma con respecto a1 eje de rotacibn de la base de
la cimentacibn,
MN KN ,CN
- X..
Fig. 6.1 Sistema suelo-cstructura cornpleto
Si la cstructura con varios grados de libertad responde esencialmente
como un oscflador de un grado de libertad en su condicibn de base rigida
y el dep6sito de suelo estratificado se comporta fundamentalmente como
un manto homogkneo, e l sistema suelo-estructura se puede reemplazar por
e l sistema equivalente que se indica en la fig. 6 .2 , en donde la
estructura y el estrato representan elementos equivalentes a la
estructura con varjos grades de libertad y el d e p h i t o de suelo
estrat if icado respect ivamente, con 10s que se obt iene igual respuesta
ante m a perturbacibn dada. Para ello, la estructura real se
caract.erizar6 mediante el period0 fundamental, la mass y la altura
efectivas; mientras que el depbslto original se caracterizarh a traves
del period0 dominante y la velocidad efectiva.
Fig 6.2 Sistemn suelo-estruclura cquivalenle .
Fste modelo de interaccibn suelo-estructura se puede aplicar como una
aproxlmacion unimadal, reenplazando la masa, la rigidez, el
amortiguamiento y la altura del oscilador por parhetros modales
equf valentes de la estructura. En consecuencia, M , K* y C se deben C e
i n t e r p r e t a r respectivamente como la masa. la rigidez y el
amortiguamiento efectivos de la estructura supuesta con base
indeformable vibranda en su mod0 fundamental, y He comt, la altura del
centroide de las f uerzas de inercia correspondientes.
Las expresiones que deflnen 10s parAmetros modales del oscilador
elemental se obtienen a partir del periodo y amortiguarniento d e l modo
fundamental de la estructura e igualando el cortante basal y momento de
v o l t e o del modo fundamental de la estructura con el cortante basal y
momento de volteo del oscilador, lo que conduce a:
donde T y Ce son el periodo y amortiguamiento, respectivamente, del e
modo fundamental de la estructura supuesta con base rigida; J es un
vector f'ormado por unos y H un vector que t i e n e como cornponentes las t
alturas de desplante de cada nivel, es decir H = i h l , h2, . . . , hH) .
Cuando el anAlisis sismico de una estructura se realiza con el mktodo
esthtico no se requiere de s u modo fundamental. En este caso, la masa y
a1 tura efectivas se pueden aproximar razonablemente de acuerdo con las
siguientes expresiones:
donde X es un vector formado con 10s desplazmientos de la estructura
supuesta con base indeformable correspondientes a las fuerzas sismicas
calculadas segivl el mrhtodo est8t ico. La masa y altura efectivas asi
calculadas en n i n g h caso se tomarb menores que 0 . 7 veces la masa y
altura de la construcci6n, respectfvamente.
El periodo y amortiguamiento del modo fundamental de1 sistema
equlvalente con trcs grados de lfbertad representarm el periodo y
amortiguamiento efectivos y 5 del mndo fundamental de la estructura e
interactuando con el suelo, 10s cuales se p o d r h calcular
aproximadamente como se especifica en la seccibn 3.6.5 a rigurosmnte
como se estipula en la seccibn 3.6.6.
Los efectos de interaccibn en 10s modos superiores resultan
despreciables cuando el moda fundamental que tendria la estructura cQn
base rigida se parece a una recta que pasa por su base. En vista de que
es ta forma del modo fundamental se presenta en la mayoria de 10s cams
prActicos, vale despreciar 10s efectos de interaccibn en 1 0 s modos
superiores cuya contribucibn se puede deterrninar medlante procedimientos
es t 8nda.r.
Si se opta por el analisis estatico, para tomar en cuenta los efectos de
interaccibn suelo-estructura se proceder& como sigue:
1. Si el period0 efectivo es menor que si periodo caracteristico T e b'
el cortante basa l de la estructura con base f l e x i b l e se calculara
como el de la estructura con base rigida menos la reduccibn en el
cortante basal que ocurre en el sistema equivalente. Esto es:
donde a y Q' son la ordenada espectral y el factor reductive por
ductilidad valuados para T , mientras que & y 6' son 10s r n i s r n o s e
parhnelros pero calculados para ; W y W son 10s pesos to ta l y t
efectivo, respectivamente. Adembs, es el factor de amortiguamiento
por e l que se rnul t ipl ican las ordenadas del espectro de disefio con
amortiguamiento original < con objeto de obtener las que e
corresponden a un arnortiguamiento modificado < .
Para movirnientos de banda ancha, tipicos de terreno f irme, las
esperanzas de las respuestas espectrales maximas son aproximadamente
proporcionales a <i0. [ref. 481. En cambio, las respues tas en
res~nancla para movirnientos armbnicos san proporcionales a e
(ref. 481. De esta forma, para movirnientos de banda estrecha,
tipicos de terreno blando, que poseen caracteristicas intermedias
entre las correspondientes a 10s movimientos de banda ancha y
armbnicos, es consistente suponer que las esperanzas de las
respueatas espectrales rnki mas var ien propordonalrnente a <ik en
donde 0.4 < k < 1. Esta tearia ya ha sido validada para diferentes
t ips de suelo en el Distrito Federal (ref. 60). Con base en estos
resultados se propone que para la Rep~blica Mexicana s e adopten 10s
s iguientes valores: k = 0.4 para terreno firme ( t i p 11, k - 0.5
para terreno intermedio ( t i p 11) y k = 0.6 para terreno blando
( t i p o 111).
Por otra parte, la aceleraci6n de estructuras perfectamentc rigidas
es en todo instante igual a -la del terreno, cualquiera que sea el
valor de Ce, y en consecuencia las ordenadas espectrales no se
rcducen con el amort lguamiento. Entonces, parece razonable
interpolar llnealmente el efecto de ee en funcibn del periodo
natural entre cero y el periodo cweeteristico T . a
Con base en estos razonamientos y considerando que el
amortiguamienta para 10s espectros de disefio adoptados es del 5 por
ciento. < = 0.05, se concluye que las reducciones espectrales e
adecuadas por efectos de interaccibn se obtienen media te 10s
factopes de amortiguamiento dados por las expresiones:
SegWi la ec. 6 . 8 , las fuerzas sismicas para la estructura
interactuando con el suelo estarhn dadas por la ec. 4.5
correspondiente a la estructura con base indef ormable, pero
reemplazando a/Q7 por a/Q' - b / ~ ' - ( 20' l i$] u /U. e
2. Si el period0 cfectivo es nayor que el periodo caracterlstico Tb, C
las fuerzas sismicas se ca lcu la rh con la ec. 4.6 pero reemplazado
a/Q p o r a / ~ - [(a-a~i/~]W A. e
En general, bastart3 multiplicar por e l cociente q f l cualquier respuesta calculada s in interacci6n para obtener la respuesta con interacclbn.
Este cociente en n i n g h caso se tomar& menor que 0.8. Asimismo, el valor
calculado pgira el amortiguamiento efectivo en ninguna situaci6n se
tomar& menor que 0.05.
Los desplazamientos laterales modificados por interaccibn, incluyendo la
rotacibn de la base pero despreciando su traslacibn, se pueden
determinar como
donde M~ es el momenta de volteo en la base dc la cirnentacibn y X el 0 n
desplazamiento lateral de1 n-Csirno nivel correspondientes a la
estructura con base indeformable; K es la rigidez de rotaci6n de la r
cimentacl6n que se determina como se indica en la secclbn 3.6.7. Estos
desplazamientos d e b e r h s e r empleados en el c&lculo de 10s efectos
P - d e l t a y la revisibn del estado limite por choques contra estructuras
adyacentes.
Si se recurre a1 an6lisis modal espectral, 10s desplazarnientos laterales
de la estructura con base flexible correspondientes a1 modo fundamental,
s i n i n c l u i r la rotacibn de la base, se de te rminadn como 10s de la
estructura con base rigida, segun la ec. 4 . 2 1 , pero reducidos por
interaccibn como
periodo efectivo de la estructura con base flexible y w la frecuencia 1
fundamental de la estructura con base rigida; D y A representan 10s
espectros de disefio de desplazamiento y aceleracibn, respectivamente.
E s t o conduce a que la respuesta con interaccibn reducida par ductilldad
tome la forma
Ahora bien, el cartante basal reaucido po r interaccibn se puede expresw
en tCrminos de masa y aceleracibn como
Sustituyendo en esta expresi6n la ec. 6.13 y recurriendo a la vez a las
ecs. 4.20 y 6 . 2 , el cortante basal reducido por interacci6n se
transforma en
en donde Ul es el peso e f e c t i v o , Cabe destacar que e l cortante basal que
se obtiene con el metodo dinAmico, ec, 6.15, es el mismo que se
encuentra con el m6todo esthtfco, ec. 6 . 8 , slernpre y cuando se reemplace
el peso de la estructura por su peso efectivo que participa en el modo
fundament a1 .
Conocidos 10s desplazamientos de la estructura con base flexible y la
matriz de rigfdez de la estructura con base rigida, las fuerzas sismicas
reducidas por interaccibn se calculan madiante la expresibn
Los efectos de interaccibn solamente se t endrh en cuenta en el modo
fundamental; la contribucibn de 10s modos superiores se deterrnirm-8 coma
en el caso de estructuras con base indeformable.
En general, bastark mu1 t ip l icar por el cociente cualqui er
respuesta calculada sin in teraccibn para obtener la respuesta con
interaccibn. Este cociente en ninguna situaci6n se tomar8 menor que 0.8.
A s i m i s m o , el valor calculado para el amortiguamiento efectivo en n i n g h
caso se tamarfi menor que 0.05.
b s desplazamientos laterales modificados por interaccibn, incluyendo la
rotaci6n de la base pero despreciando su traslacibn, se pueden
determinar corno
donde bfV es el inomento de voltea en la base de la cimentaci6n y Xnl el 01
desplazamient o lateral del n-esimo nlvel correspondientes a1 modo
fundamental de la estructura con base indeformable; K es la rlgidez de r
rotacibn de la cimentacibn que se determina como se indica en la secci6n
3 . 6 . 7 . Estos desplazamientos d e b e r h ser empleados en el c6lculo de 10s
efectos P-delta y la revisidn del estado I f m i t e por choques contra
estructuras adyacentes.
L a s respuestas modales con interaccibn se combinwan con 10s rnismos
criterios que se especif ican para estructuras sin interaction a fin de
obtener la respuesta t o t a l .
Si se opta por el analisis paso a paso, en el dominio del tiempo se debe
resolver adecuadamente la ecuacibn de equilibrio didrnico del sistema
equivalente. teniendo en cuenta lo estipulado para estructuras sin
interaccibn.
3-6.5 Detemninacf6n Aproximda del Periodo y Amortiguamiento Efectivos
de Sistems Suelo-Estructura
E l period0 efectivo de1 mod0 fundamental de la estructura e
interactuando con e l suelo se puede determinar aproxirnadamente de
acuerdo con la siguiente expresibn
la cua1 se obtiene a1 despreciar la m a s a de la cimentacibn y su mornento
de inercia en el sistema equivalente, como se demuestra en 10s
comentarios. En esta ecuacibn,
es e l periodo natural que tendria la estructura si fuera infinitamente
rigida y su base salarnente pudiera trasladarse, y
el perlado natural que tendria la estructura si fuera infinltamente
rigida y su base solamente pudiera girar. K representa la rigidez h
lateral de la cimentacibn, deflnida como la fuerza horizontal necesaria
para producir un desplazamiento unitario en la direcci6n de dicha
fuerza, y K la rigidez de rotacibn de la cimentaci6n, definida como el r
momento necesario para producir una rotaci6n unitaria en la direccldn de
dicho momento; estas rigideces se obtienen coma se establece en Za
secci6n 3.6.7.
Como primera aproximacldn, el periodo efectivo se puede calcular e
usando las rigideces esthticas. Si en lugar de ellas se emplean las
rigideces d i n h f c a s evaluadas para la frecuencia fundamental w de la e
estructura con base rigida se mejora la apraximacibn. Es posible obtener
m a aproxirnacibn todavia meJor si la ec. 6.28 se resuelve m e d i a t e
iteraciones, empezando con la frecuencia fundamental w y termlnando con tD
la frecuencia efectiva . I
El amortiguamiento efectivo del modo fundamental de la estructura e
interactuando con el suelo se puede dsterminar aproximadamente de
acuerdo con la siguiente expresibn
la cual se obtiene a1 despreciar la masa de la cimentacibn y su momento
de inercia en el sistema equivalente, como se demuestra en 10s
comentarios. En esta ecuacibn,
es e l amortiguamiento d e l suelo en el modo dc traslaci6n de la
cimentacibn, y
el amartiguamiento del suelo en el mod0 de ro tac ibn de la cimentacibn.
Los coeficientes de amortiguamiento < y Cr, sue incluyen tanto el h
amortiguamiento por disipacibn como el amortiguamiento por radiacibn, se
calculam a partir de l o s arnortiguamientos de la cimentacibn C y C en h I-
t raslaci6n y rotacibn, respect ivamente, cuyos valores se obt ienen corno
s~ est.ablece en la seccibn 3.6.7.
En v i s t a de que t an to 1 0 s resortes como amortiguadores equivalentes del
sue10 dependen de la frecuencia de excitacibn, el amortiguamiento
efectivo te se debe calcular en rigor usahdo las funciones de impedancia
evaluadas para la frecuencia efectiva ; . e
3.6.6 Determinacicin Rigurosa del Periodo y Amortiguamiento Efectivos de
Sisteraas Suelo-Estructura
El periodo y amortiguarniento efectivos y del mod0 fundamental de
la estructura interactuando con el suelo se pueden determinar
r-igurosamente anal izando e l sistema equivalente mediante el mCtodo de la
respuesta cornpleja en la frecuencia. El desarrollo de esta solucibn se
presenta en 1 os cornentar i 0s.
E l periado y amortiguamiento efsctivos se obtendrb a1 resolver la
ecuacibn matricial de equilibria d i n h f c o en el daminlo de la frecuencia
del sistema equivalente, definlda como
la cuai representa un sistema complejo de ecuaciones algebraicas que se
resuelve con procedimientos a s t b d a r de eliminacibn gaussiana. En e s t a
ecuacl6n. r es la frecuencia de excitaci6n, % la amplitud del T
movimiento de c a p o libre y X = (X ,X ,ac} el vector de amplitudes de 8 e C
las coordenadas generalizadas del sistema equivalente. AdemBs,
es un vector de carga, y
son las matrices de masa, mortiguamiento y rigidez, respectivamente,
d e l slstema equivalente. M representa la masa ole la cimentacibn, J el C C
momento de inercia de dicha masa con respecto a1 e j e de r o t w i b n de la
base del cimiento y D la profundidad de desplante de la cimentacibn. % y C son la rigidez y el amortiguamiento d e l suelo, respectivarnente, en
h
el modo de traslacl6n de la cimentacibn, K y Cr la rigldez y el r
amortiguamiento del suelo, respectfvamente, en el modo de rotacibn de la
cirnentacibn y Khr = Krh y Chr = C la rigidez y e l amortiguamiento del rh
suelo acoplados, respectivamente; estos amortiguamientos y rigideces se
calculan como se establoce en la secci6n 3.6.7.
Resolviendo la ec. 6.24 se construyen espectros de respuesta en
frecuencia que tengan corn0 abscisas el periodo de excitacibn normalizado
con respecto a1 periodo de la estructura con base rlgida, T/Te, y camo
ordenadas la seudoaceleracibn de la estructura interacturndo con el
suelo norrnalizada con respecto a la aceleraclbn del terrano, u2x / x ~ . La e 8
posfci6n y magnftud de 10s picos resonantes de 10s espectros de
respuesta asi obtenfdos e s t h asocfados con el periodo y amortiguamiento
efectivos, respectivamente.
E l periodo efectivo se determina directamnte como el periodo de
excitacibn correspondiente a la posicibn del pico resonante del espectro
de respuesta. En tanto que el amortiguamiento efectivo se obtiene a e
partir de la seudoaceleracic5n correspondiente a la magnitud del pico
resonante del espectro de respuesta mediante
En las ayudas de diseiio se presenta un program de cbmputo para la
determinacibn rigurosa del periodo y amortiguamiento efectivos del
sfstema equivalente.
3,6,7 Funci ones de Impsdmcia
L a s funciones de fmpedancia o rigfdeces dinhicar se deflnen como la
relacibn en estado estacionario entre la fuerza (momento) aplicada y el
desplazamiento Irotacibn) resultante en la dlreccibn de la fuerza, para
una cimentacibn rigida carente de masa y excitada armbnicamente. Estas
C. I
funciones son de t i p o cornplejo y dependientes de la frecuencia de
excitacibn. MatemAticamente expresan, la parte real, la rigidez e
inercla del suelo, y la haginaria , e l amortiguamiento material por
comportamiento histerCtico y el amortfguamlento geom6trico por radiacidn
de ondas. Fisicarnente representan 10s resortes y mortiguadores
equivalentes del suelo.
La rigidez d i n h i c a de un sistema suelo-cimentacibn, para el modo de
vibracibn m de la cimentacibn, se acostumbra expresar mediante la
funci6n compleja
la cual es dependlente de la frecuencia de excitaci6n w . En esta 0
ecuacibn, K es la rigidez esthtica, km y cm son respectivamente 10s I
coeficientes de rigidez y amortiguamiento dependlentes de la frecuencia
narmalizada q y 5 es el amortiguamiento efectivo deI sitio. m 8
El resorte K y el amortiguador C equivalentes del suelo se relacionan rlL m
con 10s coeficientes de rigidez y amortiguamiento por medio de las
expresiones
P a r a estructuras que se apoyan sobre zapatas corridas con dimensibn
mayor en la direccibn que se anal iza o sobre cajdn que abarque toda el
Area de cfmentacibn, y que posean suflclente rigidez y resistencia para
suponer que su base se desplaza corn cuerpo rigido, las rigideces
d inh i ea s se obtendrh a partir de cimentaciones circulares equivalentes
empleando las aproximaciones analiticas que se presentan en esta seccibn
o bien las tablas rigurosas que se encuentran en las ayudas de diseiio,
para clrnentaciones superficlales.
3.6.7.1 Rigideces estdticas
L a s rigideces estkticas para 10s modos de traslacibn horizontal,
rotacibn y acoplamiento de cimentaciones circulares enterradas en un
estrato elkstico con base rigfda se pueden obtener medlante las
sfguientes expresiones {ref. 42):
2 donde G = OspB es e l mbdulo de rigidez efectivo d e l dep6sit.o de suelo
en euestibn, siendo pg la velocldad efeetiva de propagacl6n y ps la
densidad efecliva d e l s i t i o ; v es el coeficiente de Poisson efectivo 9
del s i t i o , H la profundidad del depdsito de suelo y D la profundidad de B
desplante de la cimentaci6n. Cabe rnencionar que si las paredes laterales
de la cirnentacibn no se pueden considerar en contacto perfecto con el
suelo, es conveniente tomar D menor que su valor aparente. Adeds, Rh y
R son 10s radios de circulos equivalentes a la superficie de desplante r
con igual hrea e igual momento de inercia que dicha superficie,
respect ivarnente, es decir:
en donde A es el &rea de la superficie neta de cimentacibn e I el
momento de inercia de dicha superficie n e t a con r-especto a su eje
centroidal de rotaci6n. En t&rminos de estos radios equivalentes, la
frecuencia normalizada se define como
Para el modo de traslacj6n horizontal se empleard qh, en el modo de
rotacibn se usarA 5 y para el acoplamiento entre la traslaci6n y
rotacl6n se emplead q h'
3.6.7.2 Coeficienteo de rigidez y amrtiguaQiento
Los coeficientes de rigidez y amortiguamiento para 10s modos de
traslacibn horizontal, rotacibn y acoplamiento de cimentaciones
clrculares enterradas en un estrato v i s c o e l ~ t ~ c o con base rigida se
pueden aproximar medfante las siguientes expresfones (ref. 421:
donde l)s y qp, gue representan las frecuencias fundanentales
adirnensionales del dep6sIto de suelo en vibracibn trasversal y vertical,
respect ivamente, son:
en donde
es la relacibn de velocidades efeetivas de propagacibn de ondas de
compresidn y cortante del s i t i o .
Por otra parte, trathndose de estructuras suficienternentc rigidas y
resistentes cimntadas sobre zapatas corridas con dimenslbn corta en la
direccibn que se analiza o sobre zapatas aisladas, f ig. 6 . 3 , las
rigideces estkticas del conjunto se p o d r h determinar utilizanda las
ecuaciones
las cuales se obtienen al despreciar las rigideces en rotacibn de las
zapatas. E l indice n denota valores correspondientes a la n-bsima
zapata; e es la distancia en la direccibn de analisis antre el n
centroide de la zapata y el eje centroidal de rotacidn de la planta de 0
cirnentaci61-1 y Kh y K: son las rigideces est6ticas horizontal y
vertical de la zapata, respectfvamente.
,- Eie centroidal de ratacidn
Fig. 6.3 Modelo para cirnientos con zapatas
La rigidez esthtlca para el mod0 de traslacibn vertical de una
cimentacibn circular enterrada en un estrato e l h t i c o con base rigida se
puede obtener como Cref. 3 3 )
en donde R = Rh debida a que se trata de un efecto de traslacibn. Y
Actualmente no se conocen expresiones para 10s coeficientes de rigidez y
amortiguamiento para el modo de traslacibn vertical de una cimntaci6n
circular enterrada en un estrato viscoelAstico con base rigida. En vis ta
de esta situacibn, se justifica que tales coeficientes de impdancia se
tomen como [ref. 3 3 ) :
en dande qv = q por la misma raz6n de que se trata de un efecto de h
traslaci6n.
Para estructuras cimentadas sobre pilotes o pilas se dispone de pocas
so luclones conf iables que permitan evaluar senci 1 la y racionalmente 10s
incrementos en las rigideces y 10s amortiguamientos de la cimentacibn.
En el caso de cimentaciones sobre pilotes flotantes, fig. 6.4, las
rigideces esthticas del conjunto se podrh determinar utilizando las
ecuac i ones
las cuales se obtisnen a1 despreciar las rigideces en rotaci6n de 10s
pilotes. E1 indice n denota valores correspondientes a1 n-Csimo pilote;
e es la distancia en t r e el centroide del pflote y el eje centroidal de n
0 0 rotacibn de la planta de cimentaci6n p K y KVn son las rigideces hn
estkticas horizontal y vertical del pilote. respectivamente.
L a s rigideces esthtfcas para 10s modos de traslacibn horizontal y
vertical de un pilote flexible enterrado en un estrato elastico con base
rigida se pueden aproxirnar mediante las siguientes expresiones
(ref. 341:
donde d, E y L representan el d i h e t r o , el m6dula de elasticidad y la P P
langitud del pllate, re~pectivmente; E = 2 [ 1 + v ~ ] ~ ~ es el mbdulo de 8
elasticidad efectfvo del dtpdsito de suelo en cuesti6n.
f Eje centmidal de rotaci6n
Fig. 6.4 Modelo para cirnientos con pilotes
Lo5 coeficientes de rigidez y amortiguarnfento para 10s mdos de
traslacibn horizontal y vertical de un pilote flexible enterrado en un
estrato vfscoel&stico con base rfgida se pueden aproximar mediante las
siguientes expresioms (ref. 341 :
en donde las frecuencias normalizadas p , % Y r b
se definen de las
siguientes formas:
E s t a s funciones de impedancia s o l m e n t e son aplicables a pilotes
flexibles, que se tienen cuando
en donde
es la longitud activa del pllote, es decir la longitud a 10 largo de la
cual el pilote trasmite carp a1 suelo.
, 3.7 ESTRUCTUIUIS TIW 3: W S DE RETENCXOH
Para el anhllsis sismico de mums de retencibn se puede recurrir a dos
rnetodos de an8lisis: a) estatico y b) d i h i c o . El metodo estdtico, que
se describe en la seccibn 3.7.2, se aplicarii en muros c u m funci6n no
sea del todo deterrninante para la estabilidad de la construccibn
principal. En caso contrar io , o cuando la altwa del muro sea superior a
6 m, se justificarh emplear el mbtodo din&mlco que se describe en la
secci6n 3.7.3.
Independienternente del mktodo empleado, se supondrk que se trata de un
problerna plano, por lo que el am&lisis sismico se efectuark por unidad
de lnngitud de muro.
3.7.2 Mlisis Estatico
Para el anhlisis. est8tico de estructuras de retencibn, 10s efectos
d i n h i c o s producidos por el sismo se simularb mediante empujes de
tierra debidos a1 relleno y fuerzas de inercia debidas a las masas d e l
muro, ci miento y re1 I eno con sobrecargas.
L a s fuerzas de inercia se determinara teniendo en cuenta las m a s a s de
tierra y sobrecargas apoyadas directarnente sobre e l respaldo del muro y
su cimiento, en adicibn a las masas propias de la estructura de
re tenc ibn.
El empuje sismico generado por el re l l eno depende d e l nivel de
desplazamiento que experimente el muro. Se considerarA un estado activo
de presihn de tierras cuando el desplazamiento resultante permita el
desarrollo de la r e s i s t enc i a a1 corte del relleno; en cambio, si el
desplazamiento de s u corona e s t A restringido p . e . un cajbn de
cimentaci6n1, el empuje sismlco se calcularA adoptando la condicihn de
tierras en reposo. E l estado pasivo de presi6n de tierras sdlo puede
generarse cuando el muro tenga tendencia a moverse hacia e l r e l l e n o y e l
desplazamiento sea importante.
Los ernpujes de tierra debidos a las condiciones activa y pasiva se
determinarhn considerando el equilibrio limite de una partc del relleno
limitada por la superficie libre, el muro y una superficie de falla
sobre la que desliza como cuerpo rigido. Para la condicibn de tierras en
reposo, el relleno se supondra como un medio seminfinito.
3.7.2.1 Coef iciente sismico
Los muros de retencibn se a n a l i z a r h ante la accibn del componente
horizontal d e l movjmiento del terreno normal a1 eje dcl muro. Para muros
de retenci6n localizados en las zonas sismicas C y D, adicionalmente se
considerara la acci6n de l cornponente vertical, que se t o m a r & como 2/3
del horizontal.
El coef iciente sismico a se determinark multipl icamdo el coef iciente de
aceleracibn del terreno a = c l4 gor un factor de amplificacibn que se 0
tomar& lgual a 1.33 si T p /H r 10 o igual a 2 si T p a 3, siendo T 9 8 B 8 s
y @ el periodo dominante y la velocidad efectiva, respectimente, de l B
sitio donde se u b i c d el m u r o de altura H. Para casos intermedios se
interpolar& ent re esos valores.
3.7.2.2 Estado activo de presi6n de tierrats
Can referencia a la f ig . 7.1, el empuje de tierras actfvo producido por
la cuiia de suelo que obra sobre el muro se determinark mediante la
exprss i bn
en donde W represents la resultante de fwrzas de la cufia de suelo; $ es
el h g u l o que forma W con la vertical, x el -lo que forma el plano de
falla con la horizontal, que sera el que maximice el empuje activo, # el
Angulo de friccibn interm del suelo a lo largo del plano de falla,
0 5 a 5 412 el h g u l o de friccldn en la interfaz muro-suelo, 8 el W u l o
que forma el resplado del muro con la vertical, Q la fuerza de cohesibn
desarrollada en el plano de falla y F la fuerza de adherencia
desarrollada en la interfaz muro-suelo, la cual no debe tomarse mayor
que el 40% de la cohesfbn d e l suelo.
1
3.7.2.3 Estado pasivo de presidn de tierras
Con referencia a la f i g . 7.1, el empuje de tierras pasivo producido por
la cufia de suelo que bbra sobre el muro se determinark mediante la
expres i bn
en donde el hngulo x ser6 el que maxfmice el empuje pasivo; el
significado de 10s demhs par&metros e s el mismo que se indica en
relaclbn con el empuje activo.
Fig. 7.1 Diagrama de fuerzas que intervienen en c l calculo del cmpuje act ivn
3.7.2.4 Hwos con desplazamiento limitado
El desplazamiento del muro se cansiderard limitado cuando su magnitud no
sea suficiente para desarrollar m a condicibn activa o pasiva dc presi6n
de tierras (ver la Tabla 7.1). En ta l caso, el ernpuje sisrnico se
calcularh suponiendo un relleno seminfinito y utilizando el cancepto de
coeficiente de tierras en reposo.
Sobre el nivel frektico, la presibn que ejerce el suelo sobre el muro se
rnientras que bajo el nivel frehtico, dicha presibn se calculara como
donde p es la presibn de tierras a la profundidad del nivel fredtico 0
y el peso volumCtrico de la masa de suelo y ko el coeficiente de
tierras en reposo; la profundidad z se mide desde la superflcie libre.
Conocldas las presiones del suelo que a c t k n sobre e l m u m , el empuje
sisrnico se podrh determinar mediante la integracibn del diagrams de
dichas presiones.
3 .7 .2 .5 Localizacidn del empuje sisrnico
En muros de t fpo gravedad, es decir, aquhllos c u p estabi lidad depende
bksicamente de su peso, la inclinaci6n del empuje sismico dependera d e l
estado de presi6n de tierras. Asi, el h g u l o de inclinacibn con respecto
a la horizontal sera 6+8 para el caso actfvo y 6-8 para el caso pasivo;
si se tiene un estado de tierras en reposo, el empuje sismico serA
horizontal. En muros de tip voladizo, es decir, muros de concreto
reforzado que tienen capacidad de trabajar como una viga en cant iliver,
siempre se considerarg que el b g u l o de inclinacibn con respecto a la
horizontal vale a.
Cuando se trate de presi6n de tierras en reposo, la altura donde se
aplica el empuje sismico se tomar& como h = H/2. En cambio, si el d
estado de presi6n de tierras es activo o pasiva, la altura mncionada se
tormara como
en donde E es el empuje de tierras en condiciones estaticas localirado e
a la altura h . a
Para muros de tipo gravedad, la distancia ent re el componente vertical
del empuje sismlco y el p i e del muro se calcularh con la expresidn
en donde B es el ancho del cimiento del muro.
Para el anAlisis d i n h i c o de rnuros de retenci6n sera necesario
determinar las respuestas modales d e l relleno. Para ello, se supondrh
que el suelo se c o o p r t a esencialmente en e l interval0 elastic0 y que el
muro es infinitamente rigido. En estas condiciones, 10s desplazamientas
de la estructura de retencibn seran 1 imi tados, lo cual se traduelrh en
empujes de tierra conservadores.
De acuerdo con el anAlisis modal, la presibn de tierras m k i m a en e l
n-&sirno modo natural de vibracibn ejercfda sobre un m u r o vertical
sometido a excitacibn normal a su e j e , es igual a
donde g es la aceleracidn de la gravedad, a y 13 son las velocidades de r r
propagacibn de ondas P y S, respect ivamente, del relleno, y un es la
frecuencia d e l n-6simo rnodo de cortante del relleno, e s t o es:
Adernas, B[W ,<I es el espectro de k s s e l amortiguado que representa la n
curva de aceleraciones rnkimas del rellem para las frecuencias u y el n
amortlguamienta t, dado un temblor; pormenores sobre este t i p o de
espectros de respuesta se dan en las refs. 14 y 15.
La fuerza corkante basal m h i m a en el n-Csimo modo se obtendra rnediante
la integracibn del diagram de presi6n de tierras correspondiente, lo
que conduce a
De igual manera, el momnto de volteo basal W i m o en el n-Bsimo modo se
obtendra mediante la integracfbn del diagrama de fuerzas cortantes
correspondlente, lo que conduce a
Ahara bien, las respuestas de disefio se c a l c u l a r h mediante la
combinaci6n de las respuestas modales mkimas, de acuerdo con el
siguiente criterio:
en donde S representa la respuesta modal m h i m E o M y N sigriifica n n n
el menor n$mera de modos que se deben tener en cuenta para propbsitos de
disefio. Tentativamente, se t o m a r h 10s cinco primeros modos.
Finalmente, durante m sismo se generan tambikn fuerzas inerciales
debidas a la masa del muro, que deber- summe a 10s empujes de tierra,
C. I
con su sf gno m&s desfavorable. E s t a s fuerzas se podran obtener a1
anal izar el muro como una viga de cortante, aplicando 10s criterios de
an6llsis d i n h i c o estipulados para estructuras de edificios.
3.7.4 Resiones Hidrodimhicas
Siempre que sea posible debera evitarse la generacibn de presiones
hidrostaticas e hidrodlnhicas en 10s muros de retencibn. Esto puede
lograrse mediante una selecci6n adecuada del material de relleno,
conjuntamente con la colocacidn de un drenaje eficiente en la in te r faz
muro-suelo y en el interior del relleno.
Cuando se tenga una masa de agua 1 ibre, coma en el caso de muros
marginales de muelles, 10s efectos debidos a las presiones
h i d r n d i n h i c a s se p o d r h sumar s61o si son desfavorables para la
estabilidad del mum. En tal situacibn, las presiones, las fuerzas
cortantes y 10s mornentos de volteo inducidos par el movimiento del agua
se p o d r h determinar aplicando 10s criterlos correspondientes
especificados para presas.
3 .7 .5 Desplazamiento en la Corona del M o
Con objeto de revisar el estado de presibn de tierras adoptado en el
anklisis, sera necesario determinar el desplazamiento en la corona del
muro modelbdolo como una viga de c o r t a n t e , y teniendo en cuenta la
rotacibn de su base.
El desplazamiento necesario para desarrollar la resistencia a1 corte del
relleno, en funcibn d e l t i p 0 de suelo y el estado de presi6n de tierras,
se puede obtener de la tabla 7.1. Si el cociente entre el desplazamiento
y la altura del muro, A/H, es mayor o igual que el valor indicado, se
satisfar8 la hip6tesis de mlisis; en caso cont ra r io , debera
considerarse un estada de tierras en reposo.
C. I
Para calcular el desplazamiento en la corona del muro, incluyendo la
rotacidn de la base, sera necesario cmsiderar la rigidez de la
cimentacidn en el mod0 de rotacibn, para lo cual se puede acudir a 10s
resultados que se presentan en la ref. 3 4 .
Tabla 7-1 Cocienten entre el desplazamiento de la corona y la altura del m r o para inducir la resistencia a1 cnrte del relleno
Tipo de suelo
Arena o grava compacta
Arena o grava suelta con finos pl&sticos 0.008 0.020
Limo plastico o arcilla firmes
0.015 0.030
Limo plAstico o arcilla blandos
0,025 0.050
3.7.6 Revisidn de la Estabilfdad
A1 revisar la estabilidad de un muro de retenci6n se verlficara que se
cumpla con 10s factores de seguridad siguientes:
1. Falla por yol~teo: El factor de seguridad contra volteo calculado
como el cociente entre 10s rnomentos resistente y de volteo debe ser
mayor que 1.5.
2. Falla p r deslizamiento: E l factor de seguridad cont ra deslizamiento
calculado como el cociente entre las fuerzas laterales resistente y
de des 1 i zaml ent o debe ser mayor que 1.2 .
3 . Falla por capacidad de carga: El factor de seguridad por capacidad
de carga calculado como el cociente ent re la resistencia ultima del
suelo y la presibn &ima de contact0 debe ser mayor que 2.
4. Falla generalizada: Si ba jo e l cimiento existe un estrato
cornpresible, e l factor de seguridad por falla generalizada debe ser
mayor que 1.5.
3.8 ESTRUCTURAS TIP0 4: CHIHENEAS, SILOS Y SIMILARES
3.8.1 Consi deraci ones Cenerales
Las chimeneas y silos son estructuras especialmente vulnerables a 10s
temblores ya que cuentan con tan s6lo una linea de defensa, lo que
implica que la falla de m a secci6n traiga consigo el colapso de la
estructura. A m d o a esto, por tratarse de estructuras altas y esbeltas,
la contribucibn de 10s modos superiores de vibracidn en la respuesta
t o t a l puede ser determinante. En adicibn, son estructuras que se
caracterizan porque durante vibraci6n disipan generalmente menos energia
que las estructuras de edificios debido a su bajo amortiguamiento.
Por todo lo anterior, en el diseAo sismico de chimeneas y silos se debe
tener presente que, aunque se trata de estructuras en voladizo senclllas
de analizar, son m8s vulnerables que las estructuras de edificios por lo
que para protegerlas es necesario considerar adecuadamente 10s efectos
de 10s modos superiores de vibracidn y el bajo amortiguamiento.
Por tratarse de estructuras donde dominan las deformaciones por flexlbn,
el fuste de la chimenea o el elemento resistente del silo se podra
modelar como una viga de flexldn simple (ref . 481, es decir, sera
posible despreciar la influencia de la inercla rotacional y las
deformaciones por cortante.
Las recomendaciones que se estipulan en el presente capitulo tienen por
objeto determinar las fuerzas sismlcas que obran sabre chimeneas y silos
sometidos a ternblores que se especifican medlants 1 0 s espectros de
disefio establecidos para estructuras de edificlos. Tales fuerzas son
funcibn de la rnasa de la estructura asi como de la aceleraci6n espectral
derivada del espectro de disefio correspondiente a la zona sisrnica y e l
t i po de terreno en que se ubica~-6 la estructura.
3.8.2 Eleccih del Tfpa de Andlisis
El anal isis sismico de chimeneas y silos se puede realizar mediante uno
de 10s siguientes m4todos: a) analisis estbtico y bl d l i s i s d i n h i c o .
E l rnktodo estktico que se especifica en la secci6n 3.8.3 es aplicable a1
analisis de estructuras cuya altura no sobrepase de 60 m; tambikn se
permlte emplearlo en estructuras de mayor altura siempre que se trate de
cAlculos preliminares. El m6todo dinhmico que se describe en la secci6n
3.8.4 se puede aplicar s i n restriccibn, cualquier-a que sea la altura de
la estructura.
3.8.3 Analisis Eotatico
Para el analisis estdtico de chimeneas y silos, 10s efectos dinAmicos
inducidos por el sismo se s imularh mediante una fuerza lateral
equivalente, distribuida a lo largo de la altura de la estructura y
actuando en la direccibn del rnovimiento del terreno.
3.8.3.1 Valuaci6n de fuerzas sismicas
La magnitud de la resultante de la fuerza lateral dlstribuida
verticalmente sera igual a la fuerza cortmte basal determfnada de
acuerdo con lo dispuesto para estructuras de edif icios, pew amplif icada
por un factor de lncremento por el que se aumentan las ordenadas
espectrales con objeto de tener en cuenta que el amortfguamiento en
chimeneas y silos usualmente es menor que en estructuras de edificios.
La distribucibn vertical de la fuerza cortante basal amplificada se
-1levarA a cabo dividiendo la estructura en N segmentos de igual altura,
como se rnuestra en la 'fig. 8.1. En el centro de masa del n-Bsimo
segmento se aplicarh una fuerza horizontal que se define dependiendo del
periodo caracteristico T de las sigufentes formas: b
donde W es el peso del n-Csimo segmento y h la altura de su centro de n n
gravedad medida desde el desplante, Q' es el fac tor reductive por
duct i lidad y a la ordenada espectral correspondientes a1 periodo
fundamental T de la estructura, Q es el fac tor de comportamiento e
sismico, cr y as son 10s coeficientes de proporcionalidad que se 1
especifican para estructuras de ediffcios y es el fac tor de increment0
que se calcula como se indica e n la seccibn 3 . 8 . 5 .
Para tener en c u e n t a 10s efectos de 10s modos superiores de vibracibn,
en el N - C s i m o segmento se aplicara adicfonalmente una fuerza horizontal
que se define corno:
donde W es el peso de la estructura, q = [ T ~ A /I) y r el exponehlte de la
parte curva del espectro de disefio.
Con o b j e t n de tener una aproximacibn adecuada en la valuacibn de las
fuerzas sismicas, la e s t r u c t u r a de inter& se dividirg en a1 menos 10
segmentas.
Fig. 8 .1 b'uerzas sisrrlicas en una cbimcnea
P a r a aplicar e l metodo estktico con la opcibn que toma en cuenta e l
valor aproxirnado d e l periodo fundamental de la estructura, este podrg
estimarse mediante f6rmulas empiricas o expresiones analitlcas que seam
apropiadas a1 t ip0 de estructura en cuestibn.
Por ejemplo, el periodo fundamental de chfmeneas de concreto con base
rigida se puede determinar rnediante la siguiente f4rmula
dimensionalmente inconsistente (ref. 10 1 :
donde H es la altura de la chfmenea, en metros, Do y DH son
respectivamente 10s d i b e t r o s exterLores en la base y punta de la
chirnenea, en metros, E es el mbdulo de elasticidad del concre to , en C
kg/crn2, y M' y M son respectivamente las masas de la estructura de
concreto con y sin revestimiento; T resulta en segundos. e
En chimeneas de acero con base rigida, el period0 fundamental se puede
determinar a partir de la masa y rigidez de la estructura de acuerdo con
la expresfbn
en donde K represents la rigidez de la estructura, que se puede estimar
rnediante la ecuaclbn
en donde 6 es el desplazamiento lateral en la punta de la chimenea,
pr-oducido por una carga distribuida lateralmente que es igual al peso de
la estructura pot- unidad de longitud; g es la aceleracibn de la
gravedad.
Si la chimenea de acero va revest Ida con concreto se debera tener en
cuenta la masa y rfgidez adicionales suministradas por el revestimiento.
Para ello, su rnasa se debe f n c l u i r e n la masa de la estructura y su
espesor se debe considerar corm un espesor equivalente de acero.
En general, para cualquier es t ruc tura de secclbn constante empotrada en
la base y libre en el extremo, el period0 fundamental es igual a
( r e f . 71)
e n donde E es e l m6dulo de elasticidad del material e I el rnomento de
lnercia de la seccl6n trasversal.
3 . 8 . 3 . 2 Homentos de volteo
E l rnomento de v o l t e o en la secci6n correspondiente a1 centro de gravedad
del segmento n, calculado corno la integral del diagrama de fuerzas
cortantes, pod& reducirse de acuerdo con la expresibn
en donde V erj la fuerza cortante que se tiene entre las secciones rn
correspondientes a 10s centros de gravedad de 10s segmentos ~n y m-1.
3.8.3.3 Efectos de segundo orden
En e l ad l i s i s de chimeneas y silos que no Sean dernasiado esbeltos se
podr-An despreciar 10s efectos P-delta, es decir, l a s fue rzas cortantes y
10s momentos flexionantes adicionales provocados por las cargas
verticales actuando sobre la estructura deformada, asi corno por la
influencia de la carga axial en la rigidez del f u s t e de la chimenea o el
elemento r e s i s t e n t e del s i l o .
3.8.3.4 Efectos combinados de 10s rnovimientos del terreno
L a s chimeneas y silos se a n a l i z a r h ante la accibn de dos componentes
horizontales ortogonales de 1 movimiento de 1 tarreno. En es tructuras que
no Sean demasiado esbeltas se pod& despreciar la acci6n del componente
vertical. Las fuerzas internas se cornbinarh sumando vectorialmente las
gravitacionales, las del componente del rnovimiento del terreno paralelo
a la direccibn de anAlisis y 0 . 5 de las del otro componente con el s i p
que para cada concepto resulte m8s desfavorable.
La eleccibn de las direcciones ortogonales para las cuales se efectuara
el anAlisis se had atendfendo a la ubicacibn de 10s orificios o
aberturas que tenga el fuske de la chimenea o el elernento resistente del
s i l o . Las direcciones m&s desfavorables estarh definidas por la menor
resistencia de la estructura, tanto a flexocompresi6n como a fuerza
cortante.
Para e l analisis c i i n h i c o de chimeneas y silos se empleard el analisis
modal espectral jun to con las disposicfones correspondientes estipuladas
para estructuras de edificios, teniendo en cuenta las siguientes
recomendaci ones y sal vedades:
1. Los parhetros d i n h i c o s de una chfmenea o silo se determinark
suponiendo que la estructura posee modos cl&icos de vibraclhn, par
lo que las frecuencias y 10s modos naturales de vibrar se o b t e n d r k
considerando nulo el amortiguamiento. Bastark con tener en cuenta
las tres primeras formas modales para calcular las respuestas de
disefio .
2. A 1 determinar las respuestas modales se aumentarb.1 las ordenadas
espectrales por un factor de incremento, s e g h se especif ica en la
secci6n 3 .8 .5 , con ob je to de tomar en cuenta que el amor t igmien to
en chimeneas y silos puede ser menor que en estructuras de
edif ic ios
3. Las respuestas de diseiio se obtendrh mediante la combinacidn de las
respuestas rnodales mimas, de acuerdo con la expresi6n
la cual representa el promedio de la raiz cuadrada de la suma de 10s
cuadr-ados y la suma de 10s valores absolutes de las respuestas
modales S que pueden ser 10s desplazamientos, las fuerzas cortantes n
o 1 0 s momentos de volteo.
3.8.4.1 Revisi6n por cortante basal
En ninguna situacihn se permitira que la fuerza cortante basal calculada
dinhicamente sea menor que 75 por c i e n t o de la calculada cstkticamente
con la opcibn que toma en cuenta el valor apraximado del periodo
fundament a1 de la estructura. Cuando V /V < 0.75, las respuest as de d e
diseAo se incrementar* en 0.75Y /V siendo V y Vd las fuerzas e d' e
cortantes basales calculadas estht ica y d inh icamente , respect ivamente.
3 .8 .4 .2 Ef ectos especiales
Los momentos de volteo, efectos de segundo orden y efectos combinados de
10s movimientos d e l ter reno s e tratarkn como se especifica en relacibn
con el anal isis est&t ico, con la salvedad de que no se permite reduccibn
de 1 moment o de vo l t e o .
3.8.5 Factor de Increment0
En 10s espectros de disefio para estructuras de edificios esth implicit0
un coeficiente de amortiguamiento igual a 5 por clento del
amortiguamiento crltico. S i n embargo, en chimeneas y silos esbeltos el
mortiguamiento que se t i e n e generalmente es menor que el considcrado en
tales espectros de dlsefio. Usualmente, en estructuras de concreto se
miden valores de 5 Z 0.03, mientras que en estructuras de acero se e
encuentran valores de < E 0.02. En v i s t a de esta situacihn, es e
necesario aumentar fas ordenadas espectrales multiplicAndolas por un
factor de incremento que se define de la m i s m a form que el factor de
amortiguamiento para estructuras de ediffcios. Esto es:
donde k = 0 . 4 para terreno firme ( t i p I , k = 0 . 5 para terreno
intermedio ( t i p o 1 1 ) y k = 0.6 para terreno blando ( t i p o 111). Adem&,
y son e l periodo y amortiguamiento efectivos be la estructura con e
base flexible, 10s cuales se determinan corno se especifica en la secci6n
3.8.6. El amortiguamiento efect Ivo represents la disipaclbn neta de
energia dcl sistema suelo-estructura, product0 del amortiguamiento
material de la estructura y 10s amortiguamientos material y geomCtrico
del suelo.
En terrenos t ipa I o en casos donde no se justifique llevar a caba un
anAlfsis de interaccibn suelo-estructura, el factor de incremento se
podrk tamar como = 1.25 para estructuras de concreto o < = 1.45 para
estructuras de acero.
Para el disefio sismico de chimeneas y silos ubicados en terrenos tipo I1
o I I I se recomienda tomar en cuenta l o s efectos de la interaccibn entre
el suelo y la estructura. Tales efectos se tendran en cuenta s o l m n t e
en el periodo fundamental y el arnortiguamiento de la estructura.
La fnteraccidn suelo-estructura depende fundamentalmente de la rigidez
relativa de la estructura respecto a1 suelo. Par ello, s610 se
justificard consfderar 10s efectos de la interacci6n cuando se tenga una
relacibn de rigideces
donde p es la velocidad efectiva de prapagacidn del dcp6sito de suelo s
en que se desplantarh la estructura y H la altura efectiva de la e
estructura supuesta con base r igida.
Cuando proceda tomar en cuenta la interaccibn en t r e e l suelo y la
estructura, el periodo y amortiguamiento efectivos de la estructura con
base flexible se obtendr8n de acuerdo con lo establecido en e l capitulo
de i nteraccibn suelo-estructura.
Si se recurre a1 anklisis estbtico, las fuerzas sisrnicas se obtendran
considerando el periodo y amortiguamiento efectivos de la estructura con
base flexible, T y , en lugar del periodo fundamental y e
amort iguamiento de la estructura con base rlgida, T y <=. C
Cuando se recurra a1 analisis dinAmico, las respuestas de diseiio se
o b t e n d r h teniendo cn cuenta 10s efectos de la interaccibn entre el
suelo y la estructura exclusivamente en el mod0 fundamental; la
contri buci bn de l o s rnodos super1 ores se deterrninara sugoniendo que la
base de la estructura es indeformable.
El valor calculado para el amortlguamiento efectivo en ninguna situacibn
se tomar& menor que 0.03 para estruct uras de concreto a menor que 0.02
para estructuras de acero. Asimismo, e l fac tor de incrernento resultante
e n ningun caso se tomar& menor que 0.8.
3.9 E S T R U C W TIP0 5: T A N Q W , DEWSITOS Y SIHILARES
3.9.1 Consi deraciones Generales
- - ->,
Para el disefio sismico de tanques y depbsitos es necssario tener en
cuenta 10s efectos hidrodinhicos d e l liquid0 almacenada en adici6n a
10s e f e c t o s de fnercia de la masa del conjunto. L a s paredes y el. fondo
de un recipiente necesitan disefiarse ante presiones h i d r o d i n h i c a s
generadas par movimientos impulsivos y convectivos del fluido. Las
presiones impulsivas son debidas a1 impacto del Iiquido con el
recipiente en movimiento, en tanto que las presiones corivectivas se
d e k n a las oscilaciones d e l f luido.
Los efectos de inercia se pueden tratar en forma semejante a1 caso de
estructuras de cdificias. Para ello, se estableccn las ecuaciones de
equilibrio d i n h i c o de un sistema equivalent@ y se obtienen las
respuestas de diseiio mediante la aplicaci6n d e l metodo modal espectral.
C. I
Para tratar 10s efectos hidrodinAmicos, el f l u i d o almacenado se puede
reernplazir por dos masas virtuales ligadas a1 recipiente: una masa
impulsiva, ligada rigidamente, que representa los efectos hidrodinhicos
debidos a1 movimiento de cuerpu rigido del recipiente; y una nasa
convect iva, 1 igada f lgxiblemente, que representa 10s efectos
hidrodinkmicos debidos a1 mod0 fundamental de vibration d e l liquido.
L a s recomendaciones que se estipulan en el presente capitulo tienen por
objeto determinar Z a s fuerzas sismicas que obran sobre tanques y
depbsitos sometfdas a temblores que se especlfieam mediante 10s
espectros de diseiia establecidos para estructuras de edificios. Tales
fuerzas son funcf6n de la masa def reciplente, las masas impulsiva y
convectiva que simulan el fluido y la masa de la estructura de soporte,
as1 como de las aceleraciones espectrales dcrivadas del espectro de
disefio correspondiente a la zona sismica y el tipo de ter reno e n que se
ubicarh la cstructura.
Para los propbsitos de este capitulo, se entendera como dep6sito a un
recipiente apoyado directamente sobre el terreno y como tanque a un
recipiente apoyado sobre una estructura de soporte o plataforma; sc
tratarAn solamente recipientes con base de forma rectangular y circular.
Para recipientes de car-acteristicas distintas a 1 se6afada.s sera
necesario recurrir a mktodos apropiados de analisis sismico a f i n de
deter'minar las solicitaciones de diseiio.
3.9.2 h p 6 s i t o s Superf iciales
Cuando un depbsito es sometldo a excitacidn se generan dos tlpos de
so 1 ic i tac ianes: presiones hidrodinArnicas sobre las paredes y sl fondo y
f u e r z a s de inercia en la masa del depbsito. A su vez, e l rnovimiento del
liquido oi-igina dos t i p o s de presiones hidrodin&micas: las presiones
convectivas asociadas a l o s modos de vibracibn y las impulsivas
asociadas a1 rnodo de cuerpo rlgido. En terminos de su magnitud, las
presiones convectivas resultan ser menos importantes que las impulsivas
mas por esto no se pueden despreciar, salvo an el anAlisis de
interaccibn suelo-estructura.
En un depbsito con paredes y fond0 supwstos r ig idos , las presiones
hidrodimkmicas y las fuerzas de inercia se podrAn determinar con base en
el modelo equivalente que se muestra en la f ig . 9.1. En esta analcrgia de
masas virtuales adheridas, el fluido se sustituye por las masas M y M 0 1
colocadas a las alturas W y Hi, respect lvamente, sobre el fondo del 0
dep6sit.o; Mo @st& unida rigidamente y simula 10s efectos de las
presiones impulslvas, mientras que M est& unida medimte un resorte I
lineal de rigidez K y simula 10s efectos.de las presiones convectivas 1
debidas exclusivamente a1 modo fundamental de vibrar del lfquida.
a) Modelo original b) Modelo equivale11t.e
Fig. 9.1 Analogia de las rnasas virtuales adheridas para un dep6sito superficial
Para depbsitos circulares y rectangulares, 10s par&metros del modelo
equivalente se pueden determinar de manera aproximada de acuerdo con las
expresiones siguientes (ref. 3 6 ) :
De~6sitos circulares con W R 5 1.5
DeMsitos rectannulares con W L 5 1.5
En estas expresiones, g es la aceleracibn de la gravedad, R el radio de
la base d e l depbsito, 2L la dimensibn d e l dep6sito en la direccihn d e l
movimiento del te r reno, H el tirante y M la masa d e l fluido almacenado.
En ambos casos, a = 1.33 y B = 2 si interesa incluir en el c&Zculo el
momento hidrodin&rnico sobre el fondo del depbsito, o bien a = O y 6 = 1
si s61o interesan 10s efectos de la presibn hidrodina ica que act*
sobre las paredes del dep5sita.
Cuando HlR o W L sea mayor que 1.5, 10s parhetros equivalentes M 1'
K se calcularAn aplicando las expresiones anteriores, sin modif icar la 1
masa ni el tirante d e l liquida. En camblo, el cAlculo de 10s parhetros
equivalentes Mo y H se 1 levara a cabo suponiendo que el 1 iquido que se 0
encuentra por debajo de la profundidad 1.5R. o 1.5L medida desde la
superficie se rnueve unido rigidamnte a1 depbsito, de modo que las
expresiones anteriores se aplfcarh s61o a la porcibn de liqufdo situada
arriba de esa cota.
Para llevar a cab0 un anAlisis de esfuerzos detallado de las paredes y
el fondo de un depbsito es necesario conocer t a n t o la distrlbucibn como
la magnitud de las presiones hidrodin8micas locales. Para ello cabe
acudir a procedimientos rigurosos como 10s que se presentan en las
refs. 35 y 73. Sin emhargo, para f ines p d c t i c o s se puede recurrir a un
procedimiento aproximado de t i p 0 inverso que consta de 10s siguientes
p s o s :
1. Deterrninar la fucrza cortante y el monento de volteo de disefio en la
base d e l depbsito de acuerda con lo especificado en la secci6n
3.9.2.2.
2. Calcular las solicitaciones de disefio por unidad de longitud
correspondicntes a la fuerza cortante y el momento de vo l t eo del
pas0 1.
3. Distribuir las solicitaciones de diseno de l paso 2 a lo largo de la
altura del dep6sit.o suponiendo para esto una distribucibn de presi6n
llneal equivalente.
Sean V y iY respectivamente la fuerza cortante y e l momenta de volteo 8 S
de disefia en la base del depbsito, provenientes de las fuerzas de
inercia asociadas a las masas impulsiva, convectiva y de las paredes del
depbsito. Para valuar las presiones hidrodinAnicas locales se requiere
conocer la fuerza cortante v y el momento de volteo m p o r unidad de a s
longitud en tCrminos de V y N , respectivamente. Tales fuerza y momento B B
por unidad de longitud se determinan como
cuando se trate de dep6sito circular, o bien como
en caso de depbsito rectangular, siendo 2B su dimensibn en la direccion
perpendicular a1 movimiento del terreno.
Fig. 9.2 Distribucidn de presi6n lirieal equivalenle en las paredes de un recipiente
En la fig. 9.2 se muestra la distribucibn de presi6n lineal equivalente
que se propone para val uar 1 as pres 1 ones hi drod i nkrn i cas l ocal es . Usando
simple estAtica se tiene que las presiones equivalentes p y p en 10s 0 H
extremos de las parsdes del dep6sito ss encuentran a1 resolver e l
sistema de ecuaciones algebraicas
Conocidos 10s valores de po y pH, las preniones hldrodin6nicas locales
sobre las paredes del depbsito se calculan como
Z P = [P, + [Po - P H I r ] COS 0
cuando se trate de dep6slto circular, o bien como
e n caso de dep6sito rectangular. En estas expresiones, z y 0 son las
coordenadas del punto donde se v a l h la presl6n; la profundidad z se
mide con respecta a la superficie libre del liquid0 en reposo y la
desviacibn 9 con respecto a un eje paralelo y de igual sentido que el
movimiento del terreno considerado.
Por lo que se reffere a las presiones hidrodin&micas sobre el fondo del
depbsito, se puede suponer que su distribucidn ss lineal s i n que por
ella se introduzca error excesivo.
Para valuar el d i m 0 esfuerzo cortante en las paredes del depdslto es
necesario conocer la fuerza cortante de disefio en la base, mientras que
el a i r n o esfuerzo axial en las paredes del depbsito se puede valuar
conocido el momento de volteo de disefio en la base.
Para Xa cimentacibn, el momento de volteo de disefio es la suma de 10s
momentos que provienen de las presianes hidrod lnh icas que act- tanto
en las paredes como en el fondo del depbsito. Por tal razbn, tambikn es
1.3.102
necesario conocer el momento de volteo de disefio en el fondo.
L a fuerza cortante y el momento de volteo impulsivos en la base, 0
No, se calcular&n teniendo en c u e n t a la interaccibn liquido-recipiente y
la interaccibn suelo-estsuctura, mediantc las expresiones
is . 201
donde es e l periodo efectivo de la estructura con base flexible y ,$ 0
el factor de amrtlguaniento funcibn del amortiguamiento efect ivo to, los cuales se obtienen como se indica en la seccion 3.9.7; a es la
ordenada espectral y Q' e l factor reductivo por ductilidad
correspondientes a1 periodo efectivo.
L a fuerza de inercfa que actfia en el centro de gravedad de la masa de
las parades del depbsito se puede considerar corn un efecto irnpulsivo
adicional. Para ello-, la fuerza cortante y el momento de volteo en la
base asocfados a dicha fuerza se obtendrh con expresiones s i m i lares a
las del modo impulsivo pero sustituyendo M y H por 10s par-etros 0 0
apropi ados.
1.a fuerza cortante y e l momento de volteo convectivas en la base,
MI, se calcular&n sin tener en cuenta la interaccibn liquido-recipiente
ni la interaccibn suelo-estructura, mediante las expresiones
donde a es la ordenada espectral y Q' el fac tor reductivo por ductilidad
correspondientcs al period0 fundamental de vibracldn del liquido, el
cual es igual a
Las m k i m a s respuestas impulsiva y convectiva no ocurren
simultheamente, por lo que la fuerza cortante y el momento de volteo
rnkimos probables se obtendrb mediante la combinaci6n de 10s efectos
impulsive y convectivo de acuerdo con la fbrmula
en donde So y Si representan las fuerzas cortantes o 10s rnomentos de
volteo en la base asociados a 10s efectos fmpulsivo y convectivo,
respect ivamente.
El analisis sismico de tanques se podra realizar utilizando un modelo
equivalente de masas virtuales adheridas similar al empleado para
depdsitos, con las salvedades de que se deben i n c l u i r t a n t o la masa como
la flexibilidad de la estructura de soporte y se puede despreciar la
interaccibn liquido-recipiente.
En la f i g . 9.3 se muestra el modelo equivalente adoptado para
representar el tanque y la estructura de soporte. La masa M expresa la P
sum de las masas deI recipiente y la plataforma, por l o que en rigor su
localizacibn est& dada por la posicidn d e l centro de gravedad de sus
componentes; sin embargo, para fines prhcticos se puede supaner
concentrada en la base del recipiente, a la altura B . El resorte lineal P
K expresa la rigidez lateral de la plataforma supuesta con base rigida, P la cual se define como la fuerza horizontal aplicada en su extremo
superior necesaria para producir un desplazamiento unitario en la
direcci6n de la fuerza; dicha rigidez se puede determinar con la
ecuac i bn
en donde 6 es el desplazamiento lateral en el extremo superior de la
estructura de sopor t e , producido por una carga concentrada aplicada en
la direccihn del movimiento del terreno considerado, cuya magnitud es
igual a M g. P
Fig. 9.3 Sislema equivalente para tanques elcvados
Los efectos de las presiones impulsivas y convect ivas que actdm sobre
las paredes y el fondo de un tanque, asi corn la distribuci6n y magnitud
da las presiones hidrodinbicas locales, se trataran como se especifica
para el caso de un depbsito,
E l madelo equivalente corresponde a un sistema con dos grados de
llbertad definidos por 10s desplazamientos laterales X y XI de las 0
m a s a s %+M y MI, respectivamente. La soluclbn de tal sistema resulta P
basstante simple, razbn por la cual se empleark e l mGtodo modal @spectral
a fin de lograr mayor precisfbn.
L a s respuestas modales mihimas se calcularh como se especifica en
relaci6n con las estructuras de edificios, Para ella, las frecuencias y
10s modos naturales de vibracibn del sistema, w y Zn, se obtendrkn a1 n
2 resolver el problema de vslores caracteristlcos [ K ~ - W ~ M ~ ) Z ~ = 0 en donde
las matrices de masa y rigidez del sistema, Ms y Kg, estfin dadas por las
siguientes expresiones:
Conocidos las frecuencias y 10s modos naturales de vibracibn del
sistema, asi como 10s coeflclentes de participaci6n Cn, 10s
desplazamientos modales mhirnos en el rnodo fundamental se calcular6n sin
tomar en cuenta la interaccihn suelo-estructura, mediante la expresi6n
en tanto que los desplazamientos modales m6ximos en el modo superior se
calcul ark1 t omando
la expreslbn
en cuenta interaccibn suelo-estructura, mediante
donde es el periodo efectivo de la estructura con base flexible y E 2
el factor de amortiguamiento funcibn d e l amortiguamiento efectivo 2'
10s cuales se obt ienen como se lndica en la seccibn 3.9.7; . a es la
ordenada @spectral y Q' el factor reductive por ductil idad para el
periodo natural de vibrar en cuestibn.
Una vez calculados 10s desplazamientos rnodales maximos, las fuerzas de
inercia m6ximas correspondientes a1 n-&sirno modo natural de vibraclbn se
determinan con la ecuacibn
En vista de que las respuestas rnodales mAximas no ocurren
simultbeamente, los desplazamientos, las fuerzas cortantes y los
momentos de volteo rntaimos probables se o b t e n d r h mediante la aplicacidn
del criterio de la ralz cuadrada de la suma de 10s cudrados de las
respuestas modales maximas.
3.9.4 Altura de Onda
La rnAxlma altura de onda del movimiento convective se puede estirnar a
partir del rnAxlmo desplazmiento lateral de la rnasa convectiva con
respecto a las paredes del recipiente, de acuerdo con las expresiones
s iguientes ( ref , 36 1 :
k c i p i e n t e s circulares
Fkcipientes rectangulares
En estas expresianes, il es el desplazmlento vertical de la superficie
del liquid0 rnedido con respecto a1 nivel de r e p s o y gl = Q [ x ~ - x ~ ] 81 desplazamiento lateral de la masa convectiva con respecto a las paredes
del recipiente, eliminando la reduccibn por ductilidad media t e @ I
factor de comportamiento sismico Q.
3.9.5 Efectos Combinadas de 10s Movimientos del Terreno
Los tanques y depdsitos se analizarh ante la accibn de dos componentes
horizontales ortogonales del movimiento del terreno. Para 10s
recipientes locallzados en las zonas sisn~cas C y D, adicionalmente se
considerark la acci6n del componente vertical cuyo efecto se tomar& como
una presibn h i d r o d i n h l c a igual a la hidrosthtioa correspondiente
multiplicada por 213 de la m k f m a aceleracibn horizontal del terreno
dividlda entre la aceleracihn de la gravedad. Las fuerzas internas se
combinarh sumando vectorialmente las gravitacionales, las del
componente del movimiento del terreno paralelo a la direccibn de
anhlisis y 0.5 de las de 10s otros componentes con 10s signos que para
cada concepto resulten m A s desfavorables.
La flexibilidad del recipiente modifica 10s periodos y modos de
vibracibn tanto impulsivo como convectivos que se tendrian si fuera
infinitamente r i g i d o . Para fines practices, 10s efectos de la
interaccibn entre el liquid0 y el reciplente se pueden reducir
exclusivamente a la influencia de la deforlnabilidad de sus paredes en e l
modo de cuerpo rigido. Para ello, la masa lmpulsiva Ma, 1 i gada
rigidamente a1 recipiente cuando kste se supone indeformable, se debe
considerar mida a e l mediate un resorte lineal K que represents la 0
rigidez del recipiente; dicha rigidez se puede estimar con la ecuacibn
en donde 6 es el desglazamiento maxim0 radial o lateral a la altura dc
la masa impulsiva M producido por una carga unifnrmernente distrlbuida 0'
cuya magnitud es igual a Mog/2nRH o M g / 4 B H , ya sea que se trate d e 0
reci piente circular o rectangular, respect ivamcnte.
Ahora bien, el periodo natural de vibrar del sistema 1 iquido-recipiente
es igual a
el cual tambikn se puede interpretar como el period0 natural. de vibrar
d e l modo impulsivo d e l recipiente flexible.
Para el diseiio sisrnico de tanques y depdsi t o s ubicados en t e r r e n o s t ipo
I 1 o f TI se recomienda tomar en cuenta 10s efectos de la interaccibn
enire el suelo y la estructura. Aunque la flexibilidad del suelo
modifica los periodos y modos du vibmci6n tanto impulsive coma
convectivos con respecto a 10s que se tendrian si fuera lnfinltamente
rigido, para fines prkcticos se pueden despreciar 10s efectos de la
interacci 6n suelo-estructura en 10s modos convect ivos.
Con base en lo anterior, el sistema suelo-estructura que procede
analizar para tener en cuenta 10s efectos de la interaccihn en
recipientes superficiales o elevados se puede idealizar como se muestra
en la fig. 9 . 4 . E l suelo se sustituye par 10s p a r h t r o s Kh, 5, ch Y c r
que representan las rigideces y 10s amortiguamientos del suelo en 10s
modos de traslacibn y rotaci6n de la cimentacibn, cuya profundidad de
desplante es D; la estructura se reemplaza por 10s parkmetros M , C , K e e e
y H que representan la masa, el mortiguamiento, la rigidez y la altura u
efectivos de la estructura, respectivamente.
Fig. 9.1 Sistema suelo - estructura equivalente para recipientes
Cuando proceda tomar en cuenta la interaccidn en t r e el suelo y la
estructura, e l periodo y amortiguamiento efecti\vos de la estructura con
base flexible, asi corno el factor de amortiguamiento, se obtsndrh de
acuerdo con l o indicado en el capitulo de interaccibn suelo-estructura.
Para ella, el periodo y e l amortiguamiento de un deposito con base 0 0
flexible se calcularh considerando que
en tanto qw el periodo f y el amortiguamiento % de un tanque con base
flexible se calcular&n considerando que
E l valor calculado para el amortiguarniento efectivo en ningon caso se
tomark menor que 0 .02 . Asimismo, el factor de amortiguamiento resultante
en ninguna situacibn se tomar6 menor que 0 . 8 .
3.10 ESTRUCTURAS TI PO 6 : ETRUCTWRAS I NDUSTRI ALES
3.10.1 C r i terios de Anal isis $4
L a s estructuras industriales a que se refieran las prescntes
recomendaciones son todas aquellas estructuras de plantas industriales
gue requieren de criterios de d i s e b sisaico diferentes de 10s
especificados para estructuras de edificios.
Tales estructuras se analizarh bajo la acci6n de tres componentes del
movimiento del terreno: dos horizontales ortogonales y uno vertical. Los
efectos producidos por dichos componentes se cambinarhn con 10s de las
fuerzas gravitacionales.
Los efectos de 10s componentes horizontal y vertical del movimiento del
terrena se tomarh en cuenta mediante la acci6n de sistemas de fuerzas
laterales y ver t icales equi valentes, respect ivamente, A l ternat ivamente,
puede efectuarse un amklfsis d i n h i c o que considere 10s modos de
vibracidn vertical de la estructura y un espectro de diseiio igual a 0.75
veces el correspondiente a movimiento horizontal,
Se revism8 la seguridad de cada elernento estructural para la condicibn
m & s desf avorable que resul t e de considerar la accibn de cada uno de 10s
componentes horlzontalss y vertical por separado, o para la combinacibn
del 100 por ciento de uno de 10s componentes horizontales m h s e l 30 por
ciento del otro componente horizontal con 0.7 de 10s efectos del
componente vertical, para la condicibn de signos mAs desfavorable.
El anhlisis de 10s efectos debidos a cada componente del roovlrniento del
ter reno debera sat isf acer 10s s iguientes requisi tos :
1, La influencia de fuerzas laterales se analfzar& tomando en cuenta
10s despfazarnientos horizontales y verticales y 10s gfros de todos
1 0 s elementos i n t e g r a t e s de la estructura, asi como la continuidad
y rigidez de 10s mismos.
2. En cada elemento se tendrkn en cuenta todas las deformaciones que
afecten seriamente 10s desplazmientos y esfuerzos de diseiio.
Tambien se tendran en cuenta las deformaciones locales del terreno y
las debidas a las fuerzas gravitacionales que acthan en la
estructura dcformada, cuando 10s efectos de segundo orden Sean
signif icativos.
3. En estructuras rnet&licas revestidas de concreto reforzado. sera
factible considerar la compatibilidad en el c&lculo de esfuerzos y
rigideces, debiendose asegurar el trabajo cambinado de las secciones
cornpues t as.
4. Si el calculo indica la aparicibn de tensjones entre la cimentaci6n
y e l terreno, se admitid que en m a zona de la cimentacibn no
existtn esfuerzos de contacto, debiCndose satisfacer con el resto
d e l h-ea el equilibria de las fuerzas y 10s momentos totales
C. I
calculados, siempre que no se exceda la resistencia d e l terreno. Se
r e v i s a d la seguridad contra 10s estados lirnite de la cimentaci6n.
Si existen elementos capaces de tomar tensiones, tales como pilotes
o pilas, se les prestarfi atenci6n en el an&lisis.
5 . La fwrza cortante en cualquler plano horizontal debera distribuirse
entre 10s elementos r e s i s t e n t e s proporcionalmente a s u rigidez,
considerando la rigidez del sistema de piso, diafragma o
contraventeo horizontal.
Se verif icarA que las def orrnaciones de 10s s istemas estructurales,
lncluyendo las de las Iosas de piso, Sean compatibles entre si. Se
revisark que todos 10s elementos estructurales, incluso las losas y
10s arriostramientos de 10s sistemas de piso o cubierta, Sean
capaces de resistir 10s esfuerzos inducidos por las fuerzas
sismicas.
Como s irnpli f icacihn en e l diseiio sismico de construcciones hasta de
dos pisos o de altura no mayor de 6 m, con sistemas de piso o
cubierta arriostrados mediante sistemas cuya rigidez en su plano sea
pequefia en comparacibn con la rigidez de 10s elementos que
proporcionan la resistencia lateral, podrA considerarse que cada uno
de estos elementos resistentes se ve sometido a la parte de f u e r z a
sismica que corresponde a su Area tributaria en cada nlvel.
6. En el diseiio de marcos que contengan tableros de mamposteria se
supondrA que las fuerzas cortantes que obran en Cstos e s t h
equilibradas por fuerzas axiales y cortantes en los miembros que
constituyen el marco.
Asirnismo, se revisarh que las esquinas del marco seam capaces de
resistir 10s esfuerzos causdos por 10s empujes qwe sobre ellas
ejercen 10s tableros.
3.10.2 Elecci6n d e l Tipo de Anhlfsis
E l anklisis sismico de estructuras industriales se podrh efectuar
empleando dos m8todos: a] analisis estfttico y bl analisis d inh ico . Se
requerirh an&lisis d l h i c o en todas ias estructuras en las que los
efectos de modos superiores de vibracl6n o la amplificacibn dinmica
excesiva puedan afectar significativamente la respuesta de partes
impor tan tes de la construcci6n o de equipo costoso.
3.10.3 Mlisis Estatico
Los efectos d i r h i c o s en la estructura producidos por el sismo se
sirnularan rnediante fuerzas est8ticas equivalentes que act- en la
direcci6n d e l movimiento del terreno.
3.10.3.1 Valuaci 6n de f uerzas sismicas
Para calcular las fuerzas cortantes de disefio en diferentes niveles de
una estructura se supondr&n 10s dos siguientes estados de carga actuando
simultt ineamente:
1. Un conjunto de fuerzas horizdntales que acthan sobre cada uno de 10s
puntos donde se supongan concentradas las rnasas de la estructura.
Cada una de estas fuerzas se tomar& lgual a1 producto del peso dc la
rnasa correspondiente por un coeficiente que varia linealmente con la
altura, desde cero en el desplante de la estructura hasta un &imo
en e l extremo superior de la misma, de modo que la relacibn V/U sea
igual a 0. 95(c/Qn )#. slendo V la fuerza cortante basal, W el peso
de la construcci6n lncluyendo cargas muertas y vivas, c el
coeficiente sismico y Q' el factor reductivo correspondiente a1
periodo fundamental T de vibracibn de la estructura. A d e m , e
$ = T /T es un factor reductivo que depende de la flexibilidad de b e
la estructura, el cual no debe tomarse menor que 0 . 4 ni mayor que 1
cuando el periodo caracteristico T sea mayor que T ; 5 es un factor b e
reductive que depende del mortiguamiento de la estructura, el cual
es igual a 0.8 para estructuras de acero remachadas o atornilladas y
de madera, 0.9 para estructuras de concreto reforzado o presforzado
y 1 para estructuras de acero soldadas o con juntas a base de
tornillos de alta resistencia trabajando a friccibn.
De acuerdo con lo anterior, la fuerza horizontal aplicada en el
nivel n sera igual a
donde W es el peso de la masa n, hn la altura correspondiente sobre n
el desplante y N el n h e r o to t a l de masas de la estructura.
El periodo fundamental de vibraci6n de la estructura se obtendra
aproximadamente utilfzando la expresidn
donde X es el desplazamfento lateral de la masa n asociado a la n
fuerza P , g la aceleracibn de la gravedad y z un coef iciente para n
tomar en cuenta las variaciones en el calculo del periodo
fundamental, el cual se tomar& coma z = 1 para estructuras cuya
estructuracibn no difiera radfcalmente de estructuras de tdiflcios o
como t = 0.75 cuando no se cumpla esta condicfbn.
2. Una fuerza horizontal que act~a en el extremo superior de la
estructura sin incluir tanques, apCndfces u otros elementos cuya
estructuraci6n difiera radicalmente del resto de la construccibn;
dicha fuerza sera fgual a
Lk esta forma, la fuerza cortante basal que resul ta de 10s dos estados
de carga actuando simultAnemnte es V = W ( c / Q T ) g , la cual estA
reducida por la ductilidad, la flexlbllldad y el amortiguamiento de la
estructura.
En estructuras muy irregulares, cam en las que 10s pisos no son
completes, conviene utllizar un an&llsis d i n h i c o donde participen todos
10s rnodos de vibrar qye contribuyan de manera importante en la respuesta
estructural.
3.10.3.2 Apendices y cambi os bruscos de es truc t uraci 6n
La estabilidad de tanques que se hallen sobre las e s t r u c t w ~ , asi corno
la de todo otro elemento cuya estructuracibn difiera radicalmente de la
d e l resto de la construccibn, se verificara suponiendo que pueden estar
sometidos a una aceleracihn horizontal no menor que el doble de la que
resulte de aplicar las especificaciones relativas a las fuerzas
sismicas, ni menor que 0.5 de la gravedad; la ravisibn se harA tambien
baJo una aceleraci6n vertical de 0.5 de la gravedad. Se incluyen en este
requisite aquellos elementos sujetos a esfuerzos que dependen
pfincfpalmente de su propia aceleraci6n y no de la fuerza cortante ni
del momento de volkeo, tal como sucede con las 10s- que transmiten
fuerzas de inercia de las masas que soportan.
Los efectos de torsi6n se tratarh considerando la prcsencia de
excentricidades accidentales en adicibn a las excentricidades
calculadas, como se espectfica en relacibn con las estructuras de
edificios.
Tales especificaciones son aplicables siempre que se garantice la
trasrnisibn de la fuerza cortanta sismica entre rnarcos adyacentes por
media de sistemas de piso rigidos, contraventeos horfzantales u ot ros
sistemas resistentes.
3.80.3.4 Homntos de volteo
Para f ines de disefio, se permltirh la reduccibn de 10s momentos de
volteo tal como se especifica en relaci6n con las estructuras de
edi f icios.
Son admisibles como metodos de an&lisfs dln6mlco el analisis modal
espectral y el anAlisis paso a past, o c8lculo de respuestas ante
temblores espec i f i cos.
3.10.4.1 AnGI isis modal espectral
Cuando se recurra a1 anAlisis modal espectral p o d r h despreciarse
q u e l l o s modos naturales de vibracibn cuya efecto combinado no modifique
10s esfuerzos de disefio sismico en m8s de 10 por ciento, Tarnbih se
podrA despreciar el efec to dinAmico torsional de excentricidades
esthticas no mayores de 10 por cisnto de la dirnensibn del piso medida e n
la misma direccihn que la excentricidad, En tal caso, el efecto de
dichas excentricidades y de la excentricidad accidental se calcularA
como se estipula para el anklisis estatico.
Este M t o d o se aplfcara corno se especifica en relacibn con las
estructuras de edificios, junto con las sigufentes consideraciones:
1. Se supondrh que cada period0 natural de vibracibn de la estructura
puede ser rnenor o mayor que el calculado hasta en 25 por ciento,
adopt-dose el valor M s desfavorable.
C. I
2. Las aceleraciones espectrales para cada period0 natural de vibracibn
de la estructura deber6n multiplicarse por el factor reductive
def in ido en el d l i s i s estatico.
3.10.4.2 Analisis paso a paso
E l anhlisis paso a paso o cB1culo de respuestas ante temblores
especificos se aplicarh como se especifica en relaci6n con las
estructuras de ediffcios.
3.10.5 Estados Limite de Servicio
Los desplazamientos laterales calculados tenlendo en cuenta la reduccibn
par duct i 1 idad se mu1 t ipl icaran por el factor de comportamiento sismico
Q, para verificar que la es t ruc tu ra no alcanza ninguno de 10s estados
1 i m i te de servicio siguientes:
Desplazamientos bor izontales : Se deberh revisar 10s desplazamientos
horizontales de la estructura, partes y equip0 que lo ameriten,
debfdos a las fuerzas inducidas por slsmo. Los desplazamientos
laterales relatives de entrepiso o en t r e niveles de sujecibn de
acabados o piezas de equipo se limitarhn de acuerdo con lo que se
requiera para evitar daAos en dichos elementas. La limitacibn puede
urnitirse cuando 10s elernentos que no forman pwte integrante de la
estructura e s t h ligadas a ella de tal form que no sufran d d o s par
las deformaciones de esta. Sera necesario limitar 10s
desplazamientos laterales sismicos para evitar choqucs entre
estructuras c o n t l g b s , En el cilculo de 10s desp1azaml.entos se
tomar& en cuenta la rigidez de todo elemento que forme parte
integramte de la estructura.
2. En fachadas, tanto interiores como exteriores, 10s vidrios de
ventanas se c o l o c a r h en 10s marcos de 6stas dejando en todo el
derredor de cada tablero una holgura por lo menos igual a la m i t a d
d e l desplazamiento horizontal relativo entre sus extremes, calculado
a partir de la deformacfbn por cortante de entrepiso y dividido
entre l+WB, donde 3 es la base y H la altura del tablero de vidrio
de que se trate. PodrQ ornitirse esta pracaucibn cuando Ios marcos de
las ventanas estCn lfgados a la estructura d e tal manera que la5
deformaciones de Bsta no les efecten.
3. Choques contra estructuras adyacentes: Toda estructura debera
separarse de cualquier estructura vecina una dlstancia minima de-5
.cm, pero no menor que la suma de 10s valores absolutos de 10s
desplazamientos mhxims calculadas para ambas construcci ones, ni
menor que 0.008 de la alkura de la construcclbn rnb baja. Estas
separaciones pueden reducirse si se toman precauciones espeelales
para evitar daiios por choques contra estructuras adyacentes.
3.10.6 Interaccidn Suelo-Estructura
Como m a aproximaci6n a 10s sfectos de la interaccfbn suelo-estructura
sera valida incrementar el per.iodo fundamental de vibracibn y 10s
desplazamientos calculados en la estructura principal bajo la hip6tesis
de que Csta se apoya rigidamente en su base, de acuerdo con Ios
criterios sstablecidos en el capitulo de interacci6n suelo-estructura.
3.11.1 Eleccien del Tipo de An5Iisis
Para llevar a cabo el anAlfsls slsmico de puentes se pueden utilizar
tres mktodos: a) metodo simplificado, b) analisis estatico y c l anhlisis
d i n h i c o , El mbtodo simplificado de analisis s61o es aplicable a puentes
regulares. Aquellos puentes que posean un cierto grado de irregularidad
se podrAn tratar con el mttodo de anhlisis estatico. Para 10s puentes
irregulares y especiales se requiere aplicar un mktodo de adlisis
d inh ico .
3.11.2 Wtodo Simplificado
E l mktodo sirnplificado sera aplicable a1 analisis transversal y
longitudlnai de aquellos puentes que cumplan con 10s siguientes
1.3.121
1. Que tengan dos o m& claros o tramos.
2. Que sean rectos y que la longitud de sus tramos sea muy parecida.
3 . Que se pueda suponer que 10s marcos del puente trabajan de manera
independiente, tanto en scntido longitudinal como transversal.
4. Que sus clams seam menores de 40 m y el ancho de la calzada sea
menor de 30 m.
Este m&todo consta esencialmente de 10s siguientes pasos:
1. Se elige el marco a disefiar.
2. Se obtiene la masa tributaria correspondiente.
3. Se calcula la rigidez lineal del marco en el sentida de analisis,
teniendo en cuenta que el marco en la direccibn longitudinal trabaja
como columnas en voladizo.
4. Se obtiene el periodo natural de vibracibn.
5. Se calcula la ordenada espectral a correspondiente a1 periodo
natural de vibracibn y se define el factor reductive Q' del marco.
6. La fuerza lateral equivaleqte P se obtiene con
donde W es el peso de la masa trfbutaria.
F1 mktodo estatico ser6 aplicable a1 adlisis transversal de aquellos
puentes que cumplan con 10s siguientes requisitos:
1. Que tengan dos o m & s c l a r o s o tramos.
2 . Que sean rectos o alojados horizontalrnente en c:urvas de poco grado.
3 . Que la longitud de sus tramos sea muy parecida.
4. Que la fuerza sismica se distribuya en todos 10s marcos reslstentes.
5 . Que la relacibn de la rigidez transversal de toda la estructura y la
rigidez transversal de la superestructura sola sea menor que 2.
6. Que s u s claros sean menores de 120 m y el ancho de la calzada no
supere 10s 30 m,
E s t e metodo consta esencialmente de 10s siguientes pasos:
1. Se aplica una carga uniforme horizontal de magnitud unitaria, en
direcci6n perpendicular a la superestructura.
2. Se obt ienen 10s desplazamientos y elementos mecZLnicos resul tantes de
la aplicacibn de la carga uniforme.
3. Con base en 10s desplazamientos calculados en el paso ant .e r ior se
escala el va lo r de la carga uniforme para que produzca un
desplazamiento horizontal r n b i m o unitario en la estructura.
4. Se calcula la rigidez lineal t o t a l de la estructura multiplicand0 la
longitud por el nuevo valor de la car- uniforme.
5. Se calcula la carga muerta t o t a l de la estructura.
6 . Se determfna el periodo fundamental de vibracibn.
7 . Se calcula la ordenada espectral a correspondierite a1 periodo
fundamental de vibracibn y se define el factor reductive Q' de la
estructura.
8 . La fuerza lateral equivalente P se obtiene con
donde W es el peso de la cwga nuerta total.
9. La fuerza P se transforma en una cwga uniforme equivalente.
3.11.3.1 Efectos combinados de 10s movfafentos del terreno
Los puentes se analizarh ante la accibn de dos componentes horizontales
ortogonales del mvimlento del terreno. Los efectos de ambos componentes
se combinarh tomando, en cada direccibn en que se malice el puente, el
100 poi- cfento de 10s efectos del componente que obra en esa dfrecci6n y
el 30 por ciento de 10s efectos del que obra perpendicularmente a B 1 ,
con 10s signos que para cada concept0 resulten d s desfavorables.
Cuando no se satisfagan 10s requisftos para aplicar cualquiera de 10s
m&tados de anAlisis estbtico, se empleari alguno de 10s mdtodos de
anal isis didrnico que se indican a continuaci6n.
3.11.4.1 Mlisis modal espectral
La participacibn de cada modo natural de vibracibn en la5 fuerzas que
a c t h sobre la estructura se definir4 con base en las aceleraciones
espectrales reducidas por ductilidad de acuerdo corn se indica en el
C. I
3.11-5.2 Longitud de apoyo
La longitud minima de apoyo D, en mfllmetros, de las trabes o tableros
sobre la subestructura ss calcular-A como sigue
dande L es la longitud, en metros, entre dos apoyos adyacentes, o la
longitud ent re el apoyo y la junta de expansi6n mAs cercana, o la swna
de las longitudes a 10s lados de una articulaci6n dentro de un claro; H
es la sltura, en metros, de la pila cuando @st& formada por una o varias
columnas, o la altura promedio de las columnas o pilas m k cercanas si
se trata de una junta de expansibn, o la altura promedio de las columnas
ent re el e s t r i b o y la j u n t a de expansibn mAs cercana que s o p r t a la
superestructura si se trata de un estribo; H = 0 para puentes de un solo
tramo.
3.11.5.2 Movimientas relativos
Ademas de 10s efectos anteriores, 10s puentes deben ser diseilados para
soportar 10s efectos de movirnientos relativos acasianad~s por 10s mismos
movimientos sismicds o por fall- d e l terreno.
3.11.8 Znteraccidn Suelo-Estructura
Como una aproximacibn a los efectos de la interaccibn suelo-estructura
serh valido incrementar el period0 fundme-ntal de vlbracl6n y 10s
desplazamientos calculados en el puente bajo la hipbtesis de que Cste se
apoya rigidamente en su base, de acuerdo con 10s criterios establecidos
en el capitulo de Interacci6n suelo-estructura.
3.12.1 Elscci6n del Tipo da AnAlisis
Tuberias enterradas
Para llevar a c a b el analisis sismico de tuberias enterradas se pueden
utilizar dos m&todos: a) mktodo simplificado y b) analisis dinhmico.
E l metodo simplificado de analisis es aplicable a tuberias rectas
continuas o a las formadas por segmentos rectos unidos mediante juntas
flexibles. E l mCtodo de anklisis d i n h i c o se puede aplicar en 10s dos
casos anteriores y para cualquler configuraci6n geoo4trica de la - .
tuberfa, siempre y cuando se conozcan 10s parAmetros necesarios para
realizarlo y la importancia de la tuberia l o amerite.
Tuberias sobre la su~erficie
y el tlpo de ondas sismicas s e g h se indica en la tabla 12.1 para
incidencias crit icas,
Tabla 12.1 Coeficientes de deformaci6n y curvatura del terreno
Coeficiente Ondas P Ondas S Ondas de Rayleigh t
Para tuberias forrnadas por un conjunto de t u b s rigfdos de longitud L
con juntas t i p 0 lock-joint, ademAs de la deformacibn axial y la
curvatura rnhirnas d e l terreno, se deben calcular el desplazamiento
relatfvo U y la rotaci6n 0 maximas de la junta con las expresiones
siguientes:
La informacibn que se obt iene de la aplicacibn de es te procedimiento
permite verificar la capacidad de expansi6n y contraccibn de la junta,
la capacidad de g i r o de la misma y el nivel de esfuerzos que se generan
en el t u b durante el sismo.
Tuberias sobre la superficie
E l mktodo simplif icado de analisis tambikn sera aplicable a tramos de
tuberla sobre la superficie que sean rectos y se puedan considerar
f ormados por un conjunto de vigas s implemente apoyadas.
La aplicacibn de este metodo requiere del cAlculo d e l periodo natural de
vibraci6n del tram en estudio, el cual se determina como
donde m es la -msa por unidad de longitud de la tuberia, L la longitud
del tramo en cuestibn, I el momento de inercia de la seccibn trasversal
y E el mbdulo de elasticidad del material,
Conocido el periodo natural de vibracibn se obtiene la aceleracibn
sismica del espectro de diseiio correspondiente. E l producto de esta
aceleracibn y Za masa por unidad de longitud de la tuberia proporciona
la fuerza sfsmica por unidad de longitud que act6a. en el tram en
cuest i6n.
El mktodo pseudoest&tico sera aplicable a1 adl i s i s de tuberias sobre la
superf f cie. Cuando se recurra a este metodo se proceded como se indica
a cant inuacibn:
1, Se calcula el vector de desplazamientos Uo orfginados por el sismo
en 1 0 s saportes o apoyos de la tuberia.
2. Para cada elemento del vector Uo se obtfenen 10s vectores de
desplazamientos pseudoest&ticos U en la tuberia. n
3. E l vector de respuestas mimas probables, Ur, se calcula mediante
la expresibn
en donde N representa el nQmero de apoyos o soportes de la tuberia
en c u ~ ,,t ibn.
Tuberias enterradas
Para tuberias enterradas se emplearh como d t o d o de an&lisls d i n h i c o e l
anal isis paso a paso, Para e l l o podrA acudirse a ace lerogrm de
temblores reales o de movimientos simulados, 0 a combinaciones de Bstos ,
slempre que se usen movimientos representatives cuyas caracteristicas de
intensidad, duraci6n y contenido de frecuencias sean compatibles con el
riesgo sismico del sitio en cues t ibn .
Tuberias sobre la superficie
Para tuberias sobre la superficie se empleartvl como m8todos de analisis
din&mico el analisis modal espectral y el anAlisis paso a paso.
Si sc utiliza el analisis modal espectral, la respuesta t o t a l de la
tuberia se obtendrg mediante la contribucitjn de cada modo natural de
vibracibn. Para ello, las respuestas modales S se cornbinarhn para n
caleular la respuesta total S de acuerdo con la expresibn
en donde N e s el niimero de modos naturales d e vibracibn a considerar en
la respuesta t o t a l .
Si se utiiiza el anAlisis paso a paso, caben las mismas recomendaciones
establecidas en relacibn con el anklisis ,din&rnico de tuberias
enterradas.
3.12.5 Cruce de Fallas Geolbgicas Activas
1.3.131
Para el analisis sismico de tuberias que crucen una falla geoldgica
activa se debe llevar a cabo el procedimiento de cdlculo que se indica a
cont InuaciSn.
1. Se supone un esfuerzo axial maxima permisible en la tuberia, cr, y se
calcula la longitud correspondiente para reducir este esfuerzo a
cero, esto es:
donde R es la resistencia axial maxima por unidad de longitud del
terreno y A el k e a de la seccibn trasversal de la tuberia.
2. Se calcula el carnbio de longitud que se presenta en la tuberla, con
la expresibn
donde E es el mbdulo de elast.icidad d e l material de la tuberia.
3 . Se calcula el cambio de longitud que se requerfra en la tuberia
debido a1 movimiento en la falla, es decir:
donde AX, AY y A2 se calculan con base en la magnitud y el t ipo de
movimiento producido por la falla, corno se ilustra en 10s
comentarios.
4. Finalmente, se obtiene la difcrencia ALt-ALL Si el resultado no es
razonablemente cercano a cero, se repite el procedimiento de
anhlisis suponiendo un nuevo valor de r.
3.13.1 Elecci6n del Tipo de Anilisis
E l analisis sismico de presas se puede realizar mediante uno de 10s
siguientes d t o d o s : a) metodo de la masa virtual y bl metodo del
espectro de respuesta. El mktodo de la rnasa virtual que se indica cn la
seccibn 3.13.2 solamente sera aplicable a presas que cumplan con el
requf sito
T Y < T s (13.1 I
En esta condiclbn, T s represents el periodo darninante del sismo de
disefio que se puede aproximar coma
siendo Vo y A respectivanrente la velocidad y aceleracidn m h i m a s d e l 0
terreno asociadas al periodo de recurrencfa seleccionado para d i s e h ; T v
representa el perfodo fundamental del vaso que es igual a
siendo H la altura de la superficie libre del agua y C la velocidad de v
propagacibn del sonfdo en el agua (C 3 1440 d s ) . Cuando no se cumpla
este requisite, es forzoso aplicar el mktodo del espectro de respuesta
s e g h se establace en la seccibn 3.13.3.
En el disefio sismico de presas altas, donde H > 50 m, tanto el mCtodo v
de la masa virtual como e l d t o d o del espectro de respuesta se deben
emplear s4lo para el diseiio preliminar. Para el diseiio final es
necesario efectuar un estudio de riesgo sfsmico detallado del s i t i o en
cuestidn y un adilisis d i n h i c o riguroso de la presa de interes.
10s criterios de disefio sismico que se presentan solamente son
apl icables a presas de gravedad de mamposteria o concreto con pantal la
de forrna plana. AdernAs, para prasas de tnrocamiento con cara de concreto
tales crlterios se pueden emplear para evaluar 10s efectos
hidrodin&micos.
3.13.2 Metodo de la Hasa Virtual
E l m15todo de la masa virtual consta esencialmente de 10s siguientes
pasos :
--'7 1. Determinar las gresiones hidrodinaicas sobre el paramento de la
cortina origfnadas por el temblor de disefio, suponiendo e l liquid0
incompresible.
C. I
2. Reemplazar el lipuido del vaso por una masa virtual adherida a1
paramento de la cortina, con la misma distribucibn que la de las
presiones hidrodinhlcas calculadas en el paso 1.
3 . Obtener las fuerzas de inercia de la presa su je ta a1 temblor de
dlsefio, considerando la masa de la presa corm la m a s a de la cortina
m 8 s la masa virtual evaluada en el paso 2 corregida por la
compresibf lidad del agua.
3.13.2.1 Presiones hidrodidmicas
Suponiendo que el liquid0 almacenado en un vaso de seccion rectangular
es incompresible, la presibn hidrodi-ica que actua sobre un paramento
v e r t ical debida a un movimiento horizontal arbitrario puede expresarse
en form de una serie i n f i n i t a , corno se demuestra en 10s comentarios. El
valor m k i m o de la soluci6n incampresible exacta es
en donde
y p signif ica la densidad del agua; la coordenada z se mide desde el
fondo del vaso. Esta serie converge rgpidamente, por lo que bastar& can
emplear no m & s de 10 tbrminos para obtener una sulucibn suficlentemente
aproximada.
Para fines pr&cticos, la distribucibn de presiones hidrodinhicas que
act- sobre pantal las incl inadas se puede aproximar razcnablemente
utilizando soluciones empiricas calibradas con resultados
experimentales, como la dada par la expresibn (ref. 791
en donde la coardenada z se nlde desde el fonda del vaso. Adern&, CB es
el coeficiente de presi6ii en la base de la cortina, que se obtiene con
base en resultados experfmentales, pero que puede aproximarse mediante
la ecuacidn [ref. 48)
donde B es el a g u l o que forma la pantalla con la vertical, en grados, y
C = 0.743 es el coeficiente de presl6n en la base de la cortina con 0
paramento vert icaI .
Fig. 13.1 Presa de gravedad con pantalla formada por un plan0 vertical y otro inclinado
Las distribuciones de presibn hfdrodinsSlmica en pantallas constituidas
por dos planos de d i s t i n t a inclinacibn, fig. 13.1, pueden ser muy
dlferentes de las que corresponden a paramento vertical, por lo que
deben considerarse explicitamente si no se quiere errar demasiada del
lado de la seguridad. En este caso, la presibn hidrodinhfca ejercida
sobre la cortina puede aproximarse razonablemente segW la serie
infinita (ref. 20)
en donde C [n = 1,2, ..., m) son coeficientes desconocidos que se n
determinan a1 resolver el sistema i n f i n i t o de ecuaciones algebraicas
donde el coeficiente F y el ttrmino independfente G esthn dados por Inn rn
las siguientes expresiones:
en donde 0 es el -10 que form la parte inclinada de la pantalla con
la vertical, en radianes, y h = H /H la relacibn de alturas entre e l P v
paramento inclinado y la supcrficie libre del agua; 6 es la delta de mn
Kronecker (=1 si m=n; =O si m#n). Los factores que intervienen en la
definicibn d e l coeficiente F son: mn
M = [ COS{M ] - exp[-M tan 01 ] tan 0 ml m . M
N = ( C O S [ N . ~ - exp[-M t an 8 ) ] tan e Mn Dn
Para resolver el sistema infinito de ecuaciones algebraicas, el orden de
los arreglos se trunca en un nwero finito N de suerte que el sistema
resultante es de N ecuaciones con N inc6gnitas. Bastar& con emplear
entre 10 y 15 t8rminos para obtener una solucibn suficientemente
aproximada. En las ayudas de diseflo se presenta un programa de c6mputo
para calcular la distribuci6n de presiones hidrodinarnicas en presas con
paramento no vertical.
3.13.2.2 Masa virtual
L a s hiphtesis referentes a c o r t i n a rigida y liquido incompresible
permiten expresar la presi6n hidrodinhica directamente proporcional a
la aceleracibn d e l termno. En vista de esta circunstancia, el efecto
hidrodin&mico se puede simular alternativamente mediante m a m a s a
virtual de agua adherida a1 paranto de la cortina, con una
distribucidn igual a la de las presiones hidrodln&micas.
Entonces, carno la forma general de la presibn hidrodinhica es
en donde C representa el coaficiente de presibn, la masa virtual por P
unidad de superficie d e l paramento vale
" = HY CP C13.173
Esta masa virtual se debe interpretar como la masa efectfva del l lquido
en movfmiento, la cual produce una fuerza Impulsiva sobre la cortina
proporcional a la aceleracibn dtX terreno.
C. I
3.13.2.3 Fuerzas de inercia
Durante un temblor, adenx5s de las preslones hidrodinhicas se generan
fuerzas de inercia que actiian en la cortina misma, La combimcibn de 10s
efec tos hidrodinhicos y de inercia debidos a exci tacibn horizontal se
determinard analizando la presa dinArmicamente, considerando que su masa
est& compuesta por la masa real de la cortina mAs la masa virtual d e l
agua corregida para tomar en cuenta la compresibilidad del liquido.
E l despreciar la compresibilidad del agua introduce errores inadmfsibles
en presas de altura considerable. Para f ines dc ingenieria, estos
errores del lado de la inseguridad se pueden reducir a niveles
aceptables, incarporando aproxirnadamente el efecto de la cornpresibilidad
del liquido mediate la correccibn de la masa virtual d e l agua de
acuerdo con la expresi6n (ref. 481
En tbrminos de presi6n h i d r o d i d m i c a , esta aproxirnac i6n sobrest ima las
presiones cerca de la superficie mientras que las subest im cerca de la
base de la presa, m a s el error en la fuerza hidrodin2dnica resultante es
insignificante.
Las fuerzas cortantes y 10s momentos de volteo se p o d r h determinar
modelando la cortlna como una viga de cortante y aplfcando 10s crittrlos
de adlisls d l n h i c o especlficados para estructuras de edificios que
procedan para el disefio sismico de presas.
3.13.2.4 Efectos conbinados de 10s mvimientos d e l terreno
L a s presas se analizarhn ante la accibn del componente horizontal
perpendicular a1 e j e de la cortina y d e l componente vertical. El efecto
del componente vert ical se tomar& como una presibn hidrodidmica igual a
la hidrostht ica correspondiente mu1 t ip1 icada por 2 /3 de la mima
C. 1
aceleraci4n horizontal del terreno dividida entre la aceleracibn de la
gravedad. Los efec tos conjuntos de 10s componentes horizontal y vertical
del terreno se combinara de acuerdo con el criterio de la raiz cuadrada
de la suma de los cuadrados d e 10s componentes individuales.
3.13.3 %todo del Espectro de Respuesta
El mktodo del espectro de respuesta recurre a1 uso dt modos naturales de
vibraci6n tanto de la presa como del vaso, y por ende, al empleo de
espectros de respuesta tanto de aceleracibn como hidrodin8micos. Consta
esencialmente de 10s siguientes pasos:
1. kterminar las fuerzas hidrodinhicas sobre el paramento de la
cortina orlginadas por el temblor dc disei io , considerando
explicitamente la compresibilidad d e l agua.
2. Corregir las fuerzas hidrodinbicas del paso 1 para tener en cuenta
10s efectos del oleaje, la form del vaso, la forma de la pantalla y
la flexibilidad de la cortina,
3 . Obtener las fuerzas inerciales de la corti'm m i s m a generadas por el
sismo de disefio, considerando explicitamente la flexibilidad de la
presa.
4. Definir las fuerzas de disefio para la presa, mediante la combinacibn
de las fuerzas hidrodinbfcas corregidas del paso 2 y las fuerzas
inerciales del pasa 3.
La solucibn transitoria de presiones hidrodfn-icas en presas se puede
determinw recurriendo a1 aMlisls modal, siendo nscesario para esto el
conocimiento de las frecuencias y l o s modos naturales de vibracibn del
agua almacenada en el vaso. Esth claro que para realizar el analisis
modal se debe considerar explicitamente la compresibilidad del liquido.
Si se tiene una presa con vaso de seccihn rectangular y pantalla
vertical, la presl6n hidrodinhica que obra contra la cortina debida a
un movimiento horizontal arbitrario tlene la form de una ser ie
in f in i ta , como se demuestra en 10s comentarios. E l valor en cualquier
instante de la solucihn compresible exacta es
donde wn representa la frecuencia natural de vibracibn del n-eslmo modo
del vaso y C el coeffciente de participacibn de dicho modo; estas n
cantidades se definen como:
AdemAs, ~ [ t , oJ es una funcibn que representa la sceisraci bn del agua en
el n-8simo modo natural de vibracibn debida a un movimiento arbitrario
xO( t ) de1 terreno.
L a forma de la soluci6n transitoria es similar a la correspondiente a la
respuesta de una estructura con varios grados de libertad s u j e t a a
movlmiento del terreno, Por esta rarbn, on y Cn se pueden interpretar
como la frecuencia y el coef iclente de part icipacibn, respectivamente,
del n-&sirno nodo natural de vibracibn del vaso, el cual est& dado par la
funcibn cos [w z/c]. De acuerdo con lo anterior, la frecuencia n
fundamental del vaso es u = nC/2H y en conseeuencia su periodo Y Y
fundamental es T = 4H /C. v Y
For otra parte, en vista de que la presibn hidrodinhica en cada modo
natural de vibraci6n es proporclonal a la aceleracibn del agua, el
tCrmino pH C cos[w ZIC] se puede interpret= como la masa efectiva del v n n
liquid0 vibrando en el mod0 n, es decir, la masa virtual de agua
adherida al paramento de la cortina.
E l analisis modal de presas es ssmjante al de estructuras con varios
grados de libertad. Elsto es, en un principio se determinan las
respuestas modales &imas para cada uno de 10s modos naturales de
vibracibn significankes y posteriormente se combinan estas respuestas a
fin de obtener las respuestas de disefio, que pueden ser fuerzas
cortantes o raomentos de volteo,
3.13.3.2 Espectroa hidrodinhicos
Se entiende por espectro h i d r o d i n h i c o de un temblor, o espectro de
Bessel no arnortiguado, la curva de respuestas m&ximas dcl agua en cada
modo natural de vibracibn, en fmci6n de1 periodo natural
correspondiente. De acuerdo con esta definicibn, el espectro
hidrodin&rnico SF deterrnlna como ~ ( w ] = naxtll\(t,wb) 1, siendo b [ t , w ) la n n
aceleracidn del agua para la frecuencia natural o ante un moviraiento n
arbitrario xo( t 1 del terreno.
En virtud de que 10s espectros hidrodinhicos difieren poco de 10s
espectros de aceleracibn con amortiguamiento moderado, como se muestra
en 10s comentarios, para la detarminacibn de fuerzas hidrodinhmicas en
presas se p o d r h emplear espectros de aceleracibn con amortiguamiento
igual a 15 por cfento del crltico, que Sean compatibles con el rlesgo
sismico asociado a1 s i t i o de inter& y la seguridad astructural
aconsejable para la pr,esa en cuestibn. En caso de ser necesario el
ebleulo del espectro hidrodin&mico, se puede recurrir a un eficlente
algoritmo asi coroo el respective programa de c6mputo que se presentan en
la ref. 64 para tal fin.
La presi6n hidrod inh ica es funcl6n tanto de la posici6n z como del
tlempo t. Sin embargo, para fines de disefio interesa determinar
solamente la &ima distribuci6n espacial de presibn, Xa cual se puede
obtener dc manera probabilists a partir de las respuestas mdales
dximas.
La respuesta modal maxima no es nhs que la maxima respuesta del agua que
se presenta en cada modo natural de vibracibn. Para el modo n, dicha
respuesta es igual a1 n-&sirno tCrmino de la presibn hidrodinkmica pit)
deda por la ec. 13.19, reemplazando la aceleracibn del agua ~ ( t , w ~ ] par
su valor mkximo o espectro hidrodin6mico B[uJ. Esto es:
Pn = p Hv Cn B [un] cos
en donde B @ ] se debe interpretar como la aceleracibn espectral n
asociada a1 n-&sirno modo natural de vibraci6n del agua,
Las respuestas de disciio en una cortina idealizada como bidimensional no
son propimente las presiones hidrodinhicas, sino las fuerzas
hidrodinhicas representadas por la fuerza cortante y e l momento de
volteo. L,a fuerza cortante en cualquier seccibn horizontal es igual a la
integral, desde la superficie libre del agua hasta la seccibn
considerada, de la presihn hidrodirnica. Para el mado n, la fuerza
cortante modal m6xima vale
E l momento de volteo en cualquier seccibn horizontal es igual a la
integral, desde la superficie libre del agua hasta la scccibn
considerada, de la fuerza cortante. Para el modo n, el momento de volteo
modal m k i m o vale
* Las respuestas modales rnAxirnas no ocurran simultheamente por lo que no
cabe superponerlas directamente. Si un sistema posee m ~ d o s naturales de
vibracibn, 10s periodos correspndientes no e s t h demasiado pr6ximos
en t r e si y 10s amortiguamientos equivalentes no son excesivamente
elevados, como sucede en el caso de presas, 1- respuestas de disefio se
pueden determinar con la f6rmula (ref. 483
donde S represents la respuesta modal m k i m a en el n-Bsirno modo natural n
de vibracibn, que puede ser la fuerza cortante, el momento de volteo o
cualquier combinacibn de estos elementos mecbicos; N es el niunero de
modos que cont r i buyen apreciablemente a la respuesta de diseiio.
Por otra paste, la solucibn transitoria presentada corresponde a un
mode lo de presiones hidrodidmicas en donde no se t ienen en cuenta 10s
efectos del oleaJe, la forma del vaso, la forma de la pantalla y la
f l e x i b i 1 idad de la cortina, entre otros. En vista de que no se dispune
de una soluci6n de aplicacidn prhctica que cansidere s1multAneamente
tales efectos, cabe incorporarlos de manera aproximada en el rnodo
fundamental exclusivamente, por ser dicho mod0 el que mAs contribuye a
la respuesta de diseiio.
Las respuestas mhximas en el modo fundamental se calcularAn entonces
segm las ecs. 13.22-13.24 pero util~zado las distribucfones n rnodificadas 2 , 2' y ZI para la presi6n hidrodinhica, la f u e w
1
cortante y el momento de volteo, respectivamente. Esto es:
Los modos superiores se tratar&n como en el caso en quc se desprecian
10s efectos mencionados.
3.13.3.4 Efecto d e l oleajs
Los efectos del oleaje afectan casi exclusivamente la parte superior de
la cortina. Por ende. se pueden tomar en cuenta de manera aproxlmada
incrementando la presidn hidrodin&mica en la porcibn superior de la
misma. Para esto, se propone que la dfstribucibn de presi6n
hidrodinhica en el modo fundamental, dada por la funci6n trigonom6trica
c o s [ a z / 2 ~ $ , se reemplace por la distribuci6n modificada dada por la
funcfbn parab6lica
Esta aproximacihn implica que la distribucibn modif icada de fuerza
cortante en el modo fundamental sea
y que la distribucidn modificada de momento de volteo en el modo
fundamental sea
La distribucibn propuesta de presibn hidrodinhica resulta adecuada para
el diseiio de presas contra temblores de periodo dominante m&s carto o
d s largo que el fundamental del vaso.
3.13.3.5 Efecto de la form del vaso
Existen soluciones para 10s modos y periodos naturales de vibracihn del
C. I
liquid0 almacenado en boquillas infinitas con secci6n trasversal en
form de semicirculo, segmento circular y t r i h g u l o agudo (ref. 43). Con
base en estas soluciones, se concluye que para tener en cuenta de manera
aproximada los efectos de la forma del vaso resulta conservador y
sat isf actor io proceder coma sigue:
1. Suponer que la distribucibn de presibn h i d r o d i h i c a es uniforme en
planos hor izontales.
2. En el plano vertical que pasa por el fondo del vaso, tornar la
distribuci6n de presfdn hidrodin&mica en el modo fundamental
proporcional a la correspondiente a boquilla rectangular con
profundidad Hv, siendo la constante de proporcionalidad igual a
~ H J ' ~ ; fiv y Hv son respectivamente las profundidades media y
m k i m a de la boquilla que interesa.
3. Tomar el periodo fundamental del vaso proporcional al
correspondiente a boquilla rectangular con profundidad H , siendo la v
constante de proporcionalidad la misma que se utiliza en el paso 2.
4. Para 10s modos superiores de vibracibn, suponer que 10s periodos
naturales y las distribuciones de presibn hidrodinbica son 10s
mismos que se t ienen en un vaso de seccfbn trasversal rectangular
con profundidad H . Y
Por consiguiente, las respuestas a i m a s en e1 modo fundamental se
determinarh segb las ecs. 13.26-13.20, pero donde B[?] se tomarb coma
la aceleraei6n espectral correspondiente a1 periodo T multiplicado por 1
la cantidad P/H]"' y do& la presibn hidrodinhlca p la f u e n a v v 1'
cortante V1 y e l momento de volteo M se multiplicar8n por la misrna I
cant idad.
3.13.3.6 Efecto de la forme de la pantalla
Las soluciones para presiones hidrodimhicas en presas despreciando la
compresibil idad del agua pueden tomarse como guia para estfmar
aproximadamente 10s efectos de la f o r m de la pantalla. Parece razonable
suponer que, par influencia de la forma del paramento, la distribuci6n
de presibn en el mod0 fundamental cambie en la misma proporcibn que se
modifica la distribucibn de presi6n resultante a1 despreciar la
compresibilidad del liquido.
Los efectos de la forma de la pantalla se pueden tomar en cuenta usando
10s resultados que se presentan en las tablas 13.1-13.4, para pantallas
constituidas par un paramento vertical y otro inclinado. Tales
resultados corresponden a paramentos inclinados con diferentes
elevaciones: h = 1/4, 2 3/4 y 1, asi como distintas inclinaclones:
€I = lo0, 20°, 30°, 40O y SO". Para valares intermedios de h y 8 vale
int erpolar 1 inealmente. 0 bien, cuando se juzgue necesario, es posf ble
recurrir a1 programa de cbmputo que se presenta en las ayudas de disefio
para calcular la distribucibn de presiones hidrodinhicas en presas con
paramento no vertical.
Una vez modificada la distribucibn de presibn hidrodinhica en el moda
fundamental debido a la influencia de la forma del paramento, las
distribuclones de fuerza cortante y momento de valteo a cualquier
elevacibn z de la cortina se podrAn determinar mediante las siguientes
integrales:
L a s distribuciones de presibn hidrodlnhica en 10s modos superiores no
se afectarAn debido a la influencia de la forma de la pantalla, por lo
que tales distribuciones se tornarAn corm las eorrespondientes a pantalla
vertical.
C. I
Tabla 13.1 Coeficientes de presibn; pantallas formadas por dos planoa
Tabla 13.2 Coeficientes de presi6n; pantalla~ formadas por dos planos
Tabla 13.3 Coeficientes de presi6n; pantallas formadas por dos planos
H /H = 0.75 P v
z/H 8 = 0 O 8 = 10' 9 = 20' 0 = 30' 0 = 40° 8 = SO' v
. 0 0 0 . 7 4 3 . BBO .S82 . 4 7 S .382 .275 , 029 , 7 4 2 , 6 9 4 . 5 7 0 , 4 8 7 .386 ,289 . 050 7 4 1 656 ; p! , 4 9 7 ; !$! .304 - 0 7 5 1740 : 657 + g P 8 .318 . I 0 0 -737 .658 ,333 . 1 2 S - 7 3 4 , 658 . S86 : 517 . 4 4 3 . 3 4 6 , 1 5 0 .73 1 ,837 , 6 8 7 - 6 1 . 450 .3SB
: :?ti : i i i ; !if , 4 5 4 .370
: 250 : 71 1 : 6 4 5 .583 -518 ; {if i 513
.275 - 7 0 4 . 8 4 1 , 5 7 8 . S 1 8 . 4 5 1 .387
: 311 ,697 : 181 ;if! ,515 - 4 4 8 - 3 8 4
+ HZ : 833 ; Eg ,379
: 376 : 670 : 615 ,559 .502 . 4 0 0 .Be0 . H O B . S S Z , 4 8 8 . 4 3 5
+ #it : 3 6 4 , 4 2 5 :#I ; , 4 8 9 .42B .381
: 1s: : 1% . 4 2 3 . 4 6
. S O 0 : 610 - 5 8 4 -517 . 4 6 5 t Jii
,525 . S96 .552 . S O B , 4 5 8 : I!? - 3 3 6 ,580 .881 , 4 9 4 , 4 4 7 , 3 9 3 .330 . 5 7 5 - 5 6 4 i I# t i i i Ef : , 3 2 4 , 6 0 0 : El8 -317 . 6 2 5 . 3 1 1 . 6 5 0 . S O 9 : 4 7 7 . 4 4 3 . 4 0 4 : 360 .306 ,875 . a 8 8 - 4 8 0 . 4 2 8 ,393 .352 -303 . ? O D . B E 8 . 4 4 1 , 4 1 4 383 - 3 4 8 -302 ,725 , 4 4 3 . 4 2 2 . 4 0 0 : 374 ,343 -308
i f # . 4 1 7 -40s ;pi i a # . 3 4 7 .319
: 3 4 : 348 a 372 -310 - 2 9 4
.a26 .332 ,327 , 3 1 9 .308 : 294 - 2 7 9
.a50 .298 , 2 8 4 ,288 , 2 7 8 ,280 -252 -875 : ZE + $84 : E8 : 3:: ,238 ,225 -900 . 2 0 6 - 1 9 6 - 9 2 s . 182 : l e a - 177 .173 .167 - 1 6 0 .950 . 137 - 1 3 4 -132 -129 , 2 2 5 .I21 ,973 , 0 7 8 - 0 7 8 - 0 7 7 . 0 7 8 , 0 7 4 , 0 7 2
1 .000 , 0 0 0 . O D 0 .ooo - 0 0 0 , 0 0 0 , 0 0 0
Tabla 13.4 Coeficientes de presibn; pantallas formdas por dos planos
r H /H = 1.00 P v
z/H El = o 0 Q = lo0 B = 20' 8 = 30' 8 = 40° B = 50' Y
. O D 0 . 8 4 2 . 5 4 9 , 4 8 0 . 3 6 3 . 25 I
.02s : 7%; . 6 4 6 . 5 5 7 .471 .376 2 6 3 , 0 6 0 . 7 4 I - 5 6 4 : iga . 3 8 S : 2 7 6 .078 .740 : % , 5 8 8 -401 -289
.737 - 6 5 0 .571 . 4 97 : tb4 .302 : E 8 7 3 4 .eso .673 ,503 .a15 . I 5 0 : 731 . 6 4 9 . 5 7 4 5 0 6 . 4 3 1 .I76 .727 , 2 4 7 .573 : S O . 5 0 S
. 4 3 7 .722 ,572 . 4 4 2
: SS& . 3 4 9
: ,717 : s i t 1 i i i . S O 5 4 4 4 .357 .711 , 6 3 6 . S O 2 : 4 4 3 . 3 B 5 : 275 . 8 3 1 . 4 99 - 4 4 1 .370 -300 1 Z;? . e z ~ : seo 4 96 . 4 36 .325 .a89 619 .554 : 4 9 . 4 3 1
, 6 7 8 8 4 8 . 4 8 # . 4 2 4 i 328
. 3 3 0 . 8 7 0 ! : 5 4 1 - 4 8 1 . 4 1 8 . 3 6 4
: # , 6 6 0 .595 . 4 7 4 4 11 -356 . 6 4 8 . 5 B 5 : 4 8 8 : 4 0 5 , 3 4 8
: 4 5 0 : E E .575 : 457 -398 -475 : 505 4 4 8 .390
.4B4 .381 1381
,900 . E l 0 , 529 . 5 B 6
!if: . 4 8 2 ! .370 ,305
, 5 6 1 . 5 2 4 4 6 8 - 4 1 4 .35E .2S6 1 2%' . S O B : 4 5 4 . 4 0 1 . 3 4 . 2 8 8 . 6 0 D : 228 . 4 9 2 - 4 3 3 .332 .276 : 3% . 8 2 6 .528 - 4 2 3 .318 - 2 6 4 6 S 0 . S O 9 : 127 .356 1 8:; . 2 4 Q : 6 7 5 .a83 - 4 3 8 1311 - 3 3 9 . 2 3 4
. 7 0 0 4 6 6 -417 .321 . 2 7 2 . 2 1 9
.725 : 4 4 3 1993 . 3 4 9 : 2:z -254 , 7 5 0 . 4 1 7 .327 .238
.26 1 -217 : Pg%
.775 . 3 9 1 .I73 . 3 8 3 .32 1 11%3 .238 - 1 9 7 ,155
1 BE .293 .21S - 1 7 6 ,137 - 8 5 0 : # g .262 .226 . 1 9 D . I 5 4 - 1 1 9 .87S -265 , 188 . 163 . I 3 1 -100
900 .225 1 f 8 g .I64 , 1 3 5 : .081 : 925 .I82 , 1 S 6 . 106 : A88 .4B2 .950 137 .I13 .073 . O S 6 , 0 4 1 . Q 7 S : 0 7 . 0 6 4 . O S O 039 -029 i. ooo - 0 0 8 .ooo ,000 : ooo . ooo
C. I -
3.13.3.7 Efecto dc la flexibilidad de la cortina
Actualmente no sa dispone de soluclones de aplicacibn prktlca que
wrmitan cuantIficw 10s efectos de la flexibilidad de la cortina. Sin
embargo, es probable que el reconocimlenta explicito de la flexibilfdad
y la inelasticidad de la cortina lleve a disminuciones importantes de
las fuerzas hidrodinAmfcas de diseflo. Para e l l o , cabe acudir a programas
de elemento finito con 10s que se pueda modelar explicitamente la
interaccibn entre la cortina y el a m , a f i n de evaluar tales efectos.
Durante un sismo, adeds de las presiones hidrodinbicas se generam
fuerzas inerciales que actaan en la cortina misma. Tales fuerzas se
p o d r h determinar modelmdo la cortina como una viga de cortante y
aplicando 10s criterfos de anAlisis dinAmico especificados para
estructuras de edificios que procedan para el diseAo sismico de presas.
Las fuerzas de disefio s e r h las fuerzas cortantes y 10s momentos de
volteo. Para f h e s practices, dichas fuerzas se t o m a como la sum de
10s m k i m o s absolutes de las fuerzas h i d r o d i a i c a s e inerciales, s in
que par ello se introduzca error excesivo Iref. 561.
3.13.3.9 Ef ectos combinados de 10s mvimientos del terrene
Las presas se analizara ante la acci6n del componente horizontal
perpendicular a1 eje da la cortina y del componente vertical. Los
efectos combinados de 10s movimientos del terreno se tratarh como se
especifica en relaci6n con el metodo de la masa vlrtual.
3.1 CLASIFICACION DE TERRENOS DE CIMENTACION 1
3.1.1 Amplificac16n de S i t i o por Efectos Locales 1
3 . 1 . 2 Mlcrozonif icacibn Sismica 8
3.1.3 Caracterizacibn del S i t i o 12
3.1 .4 Efectos no Lineales 13
3.2 CLASIFICACION DE ESTRUCTURAS 15
3.2.1 Clasificacfdn de Construcciones se* su Destino 15
3.2.2 C l a s l f icacibn de Construcciones segh s u
Estructuraci6n 16
3.2.3 Factor de Comportamiento Sismico 17
3.2.4 Factor Reductive por Iluctilldad 24
3 . 3 REGIONALIZACION SISMICA Y ESPECTROS DE D ~ S E ~ 27
3.3.1 Introduccibn 27
3.3.2 Sismicidad Local 28
3.3.2.1 Modelos y parhnetros de la sismicidad local 29
3.3.2.2 El proceso de Poisson 30
3.3.2.3 El proceso del temblor caracteristico 3 1
3.3.3 Atenuaci6n de las Ondas Sismicas 33
3 . 3 . 3 . 1 Temblores superf iciales 34
3.3.3.2 Temblores profundos 36
3.3.4 Cnrnportamiento EstructuraI 36
3.3.5 Modelo de Riesgo Sismico 4 0
3.3.5.1 Proceso de Poisson 43
3.3.5.2 Proceso d e l temblor caracteristico 46
3.3.5.3 Distribuci6n espacial de 10s temblores 46
3 . 3 . 6 Espectros O p t imos 4 7
3.4 ESTRUCTURAS TIP0 1: ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 49
3 . 4 . 1 Eleccidn del Tipo de An&lisis 49
3.4.2 Mktodo Simplificado 50
3.4.3 Condiciones de Regularidad 5 I
3.4.4 Analisis Estatico 53
3 . 4 . 4 . 1 Valuaci6n de fuerzas sismicas sin estimar el
periodo fundamental de la estructura
3 .4 .4 .2 Valuacibn de fuerzas sismicas estimando el
periodo fundamental de la estructura
3 . 4 . 4 . 3 Momentos torsionantes 3.4.4.4 MDmentos de volteo
3.4.4.5 Efectos de segundo orden
3 . 4 . 4 . 6 Efectos combinados de 10s movimientos del
t erreno
3.4.4.7 Comportmiento asimetrico
3 . 4 . 5 Anal isis DinAmico
3 .4 .5 .1 -1 i s i s modal espectral
3.4.5.2 Analisis paso a paso
3.4.5.3 k v i s i b n por cortante basal
3 . 4 . 5 . 4 Efectos especiales
3.4.6 Revisit511 de Estados L i m i t e
3.5 ESTRUCTURAS TIP0 2: PENDWlOS INVERTIWS Y APENDICES
3.5.1 F&ndulos Invertidos
3.5.2 Apkndices
3 . 6 INTEFiACCION SUELO-ESTRETURA
3.6.1 Introduccibn
3.6.2 Sistema Equivalante
3.6.2.1 Solucidn aproxirnada
3 . 6 . 2 . 2 Solucibn rigurosa
3.6 .2 .3 Parhetros caractertst icos
3.6.3 Rigideces DirAmicas
3.6.4 Sistema Completo
3.7 ESTRLKTURAS TIP0 3 : MUROS DE RETENCION
3.7.1 Generalidades
3.7.2 Eleccibn del Tipo de Mlisis
3.7.3 Movimfentos Combinados del Terreno
3.7.4 AnAl isis Estitico
3.7.4.1 Presi6n activa de tierras
3.7.4.2 Presibn pasiva de tierras
3.7.4.3 Presibn de tierras con desplazamientos
1 imitados
3.7.5 mlis is Dinh i co
3 . 7 . 6 lnf luencf a de la Presi6n debida a1 Agua
3.7.7 Estabi lidad de Taludes
3.7.8 Tablestacas
3.8 ESTRUCTURAS TIPO 4: CHIMENEAS, SIWS Y SIMILARES
3.8.1 Consideraciones Generales
3.8.2 Eleccibn del Tipo de Mlisis
3.8.3 Mlis i s EstAtico
3.8 .4 Anal f sis D i n h i c a
3 . 8 . 5 Factor de Incremento
3.8.6 Interaccibn sue lo-Estructura
3.9 ESTRUCTURAS TIPO 5: TAPIQUES, DEPOSITOS Y SlMILARES
3 .9 .1 Consideraciones Generales
3.9.2 mectos Hidrodinhicos
3.9.3 Efectos de Inercia
3 . 9 . 4 A l t u r a de Onda
3.9.5 Efectos Combinados de 10s Mvimientos del Terrcno
3.9.6 Interacci6n Liquido-Recipiente
3.9.7 Interaccidn Suelo-Estructura
3.10 ESTRUCTURAS TIPO 6 : ESTRUCTURAS INDUSTRTALES
3.10.1 Consideraciones Generales
3.10.2 Criterios de Analisis
3.10.3 Sisternas de Piso con Diafragma Flexible
3.10.3.1 Funciones del diafragma
3.10.3.2 Diafragma como elemento concentrador
fuerzas laterales uniformes
3.10.3.3 Diafragma como e lemento distri buidor
f uerzas 1 at era1 es concentradas
3.10.3 .4 Anal isis de diafragnas f lexibles
3.11 ESTRIICTURAS TXPO 7: PUENTES
3.11.1 Eleccibn d e l Tipo de Analisis
3.11.2 Mtodo Simplificado
3.11.3 Analisis Esthtico
3.11.3.1 Efectos combinados de 10s movimientos
terreno
3.11.4 khlisfs Dinh ico
3.11.4 .1 Mlis i s modal espectral
3.11.4.2 Analisis paso a paso
3.11.4.3 Efectos combinados de 10s movimientos
terreno
3.11.5 Estados Llrnite de Servicfo
3.11.5.1 Longltud de apoyo
3.11.5.2 Movimientos relatives
3.11.6 Interacci6n Suelo-Estructura
3.12 ESTRUCTURAS TIP0 8: TU8ERIAS
3.12.1 Elecci6n del Tipo de Analisis
3.12.2 Mtodo Simp1 i f icado
3.12.3 Mtodo Pseudoest6t ico
3.12.4 Adlisis Dinhico
3.12.5 Cruce de Fallas Geol6gicas Activas
3.13 EbSTRUCTURAS TI PO 9 : PRESAS
3.13.1 Introduccibn
3.13.2 Wtodo de la Masa Virtual
3.13.2.1 Solucibn incompresible
3.13.2.2 Efecto de la compresibilidad del liquido
3.13.3 *todo del Espectro de Iiespuesta
3.13.3.1 Soluci6n compresible
3.13.3.2 Espectros hidrodin&mlcos
3.13.3.3 Efecto del oleaje
3.13.3.4 Efecto de la form del vaso
3.13.3.5 Efecto de la foma de la pantalla
3.13.3.6 Efecto de la flexibilidad de la cortina
REFERENC I AS
3.1.1 Amplificaci6n de Sitio por Efectos Locales
E l modelo de propagacibn de ondas empleado para cuantificar la
amplificaci6n del movimiento sisrnico en terreno blando con respecto a
terreno firme se muestra en la fig. 1.1. Se trata de un depbsito de
suelo formado por un solo estrato apoyado sobre un semiespacio; la
f ron te ra lateral d e l depbsfto que establece la transicihn entre terreno
firme en la estacfbn I f 1 y terreno blando en la estaci6n ( b ) , se supone
que se encuentra 10 suf'icientemente lejos de ambas estaciones como para
despreciar la dffraccibn de ondas que ocwre por tal interfase.
El movimiento trasversal del suelo, perpendicular a1 plano x-2,
producido por la propagaci6n de ondas armbnicas de cortante esth
gobernado por la ecuacibn reducida de onda [ref. 1 )
donde k = w / @ es el nhero de onda de c o r t a n t e del suelo, siendo w la
frecuencia de excitacibn y 13 la velocidad de propagacibn de ondas S.
Terreno ( f ) firme x Terreno (b) blando
Fig. 1.1 Idealizaci6n de un ,dep6sito de suelo
Si se considera que las ondm incidentes son dc frente plano, lo cual es
razonable para sitios distantes ds la fuente , la solucibn de la ec. 1.1
para propagacihn verttcal esth dada por
w = W exp i C w t f kz) 11.21
donde W representa la amplitud del movimiento, el cual se propaga en el
sentido pasitivo de z si se escoge el sfgno negatlvo o viceversa; t
significa tiempo e i es la unfdad fmaginaria.
De acuerdo con lo anterior, el campo incidente en el semiespacio se
expresa c o w
donde k es el nQmero de onda de cortante de la roca basal. En e l (1
af loramienta de la roca basal, estacibn (f), el campo incidente sufre
una reflexi6n producigndose un campo reflejado dado por
wr = $ exp i [ot - koz] [I 0
En tanta que en la roca basal, estacibn (r), se genera el c a p o
difractado
d w = wd exp i [ut - k0z)
0 0
producto de una reflexibn pero tambikn de una refraccibn debido a quc la
roca basal no es perfectamente rigida sino el&stica. Por lo que se
refiere a1 estrato, se originan un campo incidente y o t r o reflejado por
la superficie libre que se expresan como
1 w = W' exp i [ w t + k z] m 9 3
donde k es el numero de onda de cortante del estrato. Todos 10s campos 8
son desconocidos excepto el incidente. Para detarminarlos se requiere
encontrar sus amplitudes en funcibn de la del campo incidente, lo que se
logra a1 imponer las condiciones de frontera del problems.
Los movimientos en terreno firme, terreno blando y la roca basal son
aqukllos que se presentan en e l afloramiento de la roca basal, la
superficie y base del depbsito. respectivamente, esto es:
En el afloramiento de la roca basal asi como en la superficiealfbre del
estrato 10s esfuerzos cortantes deben ser nulos, es declr:
en donde G es el m6dulo de rigidez al corte de la roca basal o del 0,s
estrato. Estas dos ecuaciones iaplican que W' = W: y b f = w'. For tanto, 0 6 s
10s movimientos que se tienen en terrenos firme y blando se reducen a
w = 2 U' c a s k 2) e i w t b 8 S
En la interfase entre la roca basal y el estrato se debe cumplir la
continuidad tanto de desplazamientos corn^ de esfuerzos, esto es:
E l . 153
Estas dos ecuaciones en combinacibn con la ec. 1.14 conducen a1 skstema
dea ecuaciones algebraicas
i I cuya eoluci6n para W y < en terninos de Wo es
9
k G W' = W: e x p ( i k H ) s s sen (k H )
s B (1.191
19 0 s k ~ G ~
La amplificaci6n didrnica de un sistema se determina mediante el
concepto de funcibn de trasferencia, la cual se def ine como e l cociente
en frecuencia entre la respuesta o movimiento de salida y la excitacibn
o movimiento de entrada. P a r a calcular la arnplificacibn de las ondas
sismicas en terreno blando se presentan do5 alternativas que dependen de
la localizaci6n del movirniento de control. El punto de control se puede
seleccionar ya sea en el af lormiento o bien en la roca basal. Si se
elige en la roca basal, la amplificaci6n se e v a l h con respecto a la
base del depbsito y esta dada par la funcibn de trasferencia
~ ~ ( 0 1 1 HIw3 = - (1.21) ., PSI cos [k s H s ]
Pero si se fija en el afloramiento, la ampllficacibn se mfde con
respecto a terreno firme a travks de la funci6n de trasferencia
~ ~ ( 0 ) cos (k o H s ] + i sen[k o H s ] d - HIwl =
wf (01 cos [k H ] + i p sen [k H ] s S 9 s
en donde
es la relacibn de impedancias entre el estrato y la roca basal, siendo
Ps, 0 la densidad del estrato o de la roca basal.
Dado que para f ines de mfcrozonificacf6n sismica interesa conocer la
amplif icacibn en terreno bland0 con respecto a terreno firme, el punto
de control se supondrh entonces en el afloramiento de la roca basal .
Para mnortiguarniento nulo, la magnitud de la funclbn de trasferencia en
cuestibn es
El denominador de esta ecuaci6n nunca llega a ser cero si el valor de p
e s finito, l o cual se tiene cuando la roca basal es elbtica. Esto
signif ica que la resonancia no ocurre, aun s l no exfste amortiguamiento
material en el estrato, debido a la presencia da amortiguamiento
geomCtrico producto da la radiaclbn de ondas hacia el infinito en la
raca basal. Por este misma amortiguamiento, la w i t u d de la funcibn de
trasferencia con respecto a1 afloramiento siempre es menor o cwndo
rnucho fgual que la que se mide con respecto a la roca basal, como se
deduce de las ecs. 1.2 1 y 1.24.
Los perlodos naturales de vibracibn del estrato se pueden obtener a
partir de l o s valores estacionarios de la magnitud de la funci6n de
trasferencia no amnrtiguada, o bien de manera mAs simple mediante la
condicibn de resonancia en la ec. 1.21 que sa traduce en la ecuacidn
caracteristica
cuyas raices son
k H = 12n-1 )r 2 ; n = 1,2, ..., w
s s
De acuerdo con en esta expresibn se desprende pue 10s periodos naturales
de vibrar da un estrato son iguales a
E l amortiguamiento material de t ipo histeret ico se puede introducir
aproximadamente reemplazando en la ec, 1.22 las velocfdades de
propagacibn del estrato y la roca basal por p y fl R, g 8 0
respect ivamente, siendo < y co 10s amort iguamientos correspondi enies 6
del estrato y la roca basal.
Fg. 1.2 Funcior,es de trasferencia de u n estrato sobrc un serniespacio
En la fig. 1.2 se rnuestran funciones de trasferencia amortiguadas para
diferentes relaclones de velocidades de propagaci6n ,9 /Bo; se supuso m a s
relacibn de densidades p /po = 1 y 10s amortiguamientos < = < = 0.05. S S 0
Estas funciones indican que las amplificaciones &ximas dependen tanto
C. I1
dcl amortiguamiento material < como del amortiguamiento geomktrico 8
representado por la relacibn de impedancias p. Si la frecuencia crece,
10s efectos de atenuacibn producidos por 10s amortiguamientos material y
geomhtrico se incrementan y reducen, respectivamente. En consecuencia,
para la frecuencia fundamental se tiene que la influencla del
amortiguamiento por radiacihn resulta ser dominante en la ampl-ifkcacibn
que se genera en el estrato. Se observa que aun para contrastes de
velocidades de propagacibn entre la roca basal y el estrato del orden de
10, 6=/@,, = 0.1, la diferencia en ampliflcacibn con rcspecto al estrato
supuesto con base rigida, f3 / p = 0, es m8s del doble. Ad@&, en todo a 0
el espectro de frecuencias la m&im ampliflcacibn se presenta cuando se
tiane roca basal perfectamente rigida, debido a la ausencia de
amortiguamiento geomt5trico.
En este modelo de propagaci6n de ondas se supuso que la incidencia es
vertical. Esto se justifica para temblores que proverigan de focos
cercanos puesto que en este caso las ondas arriban a la superficie con
direccibn sensiblemente vertical. Para temblores lejanos esta hip6tes is
es cuestionable, per0 s i n embargo, para f i n e s practices se puede usar
conservadoramente ya que las amp1 if i cac i ones que se present an para
incidencia inclinada siempre son menores que las que se obtienen con
este modelo unidimnsional. Para mayores detalles se racomienda acudir a
la ref. 63, donde se presenta una revisibn prafunda sobre 10s m4todos
disponibles para el estudio de 10s efectos de las condiciones de sitio
en el movimienta del terreno.
3.1.2 Microzonif icaci6n Sismica
La microzonificacibn sismica consiste gross0 rnodo en agrupar 10s suelos
de acuerdo con criterios adecuados, en f uncibn de 10s valores esperados
de ordenadas espectrales mAximas, y en asignar a cada grupo su espectro
de disefio. Para llevar a cabo esto, el modelo de microzonificacibn debe
tener en cuenta l o s efectos relevantes de aquellos elemantos que
influyen en la respuesta espectral tales como son la fuente, el
trayecto, el s i t l o y la estructura misma. Un modelo simple de este t i p o
consta de las siguientes partes (ref. 491:
1. Def lnir las caracteristicas del temblor de disefio en te r reno firme
tales corno son la intensidad, e l contenido de frecuencias y la
duracibn, mediante su espectro de amplitudes de Fourier o a travCs
de su densidad espectral de potencia.
2. Obtener la capacidad de mplificacidn del sitio mediante su funcl6n
de trasferencia. Para ello, el sitio se puede idealizaf coma un
estrato equivalente sobre un semiespacio, definido r dos
parhetros que reflejam las caracteristicas m&s relevar-tes del
s i t i o : e l periodo fundamental de vibracihn y la velocidad efectiva
de propagacibn del dep6sito de suelo.
3. Calcular la amplificaci6n de3 temblor de disefio en terreno blando en
terminos de su espectro de amplitudes de Fourier, mult iplicando el
espectro de amplitudes de Fourier definido en la parte 1 por la
magnitud de la funcibn de trasferencia obtenida e n la parte 2.
4. De terrni nar 1 os valores esperados de ordenadas espectral es miuc i mas.
Para ello, se e v a l k el espectro de amplitudes de Fourler
correspondiente a la respuesta de la estructura, mult iplicando el
espectro de amplitudes de Fourier calculado en la parte 3 por la
magnitud de la funci6n de trasferencia del oscilador
correspondiente. Los valores esperndos de las respuestas
estructurales m&ximas se cal culan mediante la teoria de vi braciones
casuales.
Para ilustrar la form en que se pueden clasificar 10s suelos desde el
punto de v i s t a sismico, a continuacibn se aplica un criterio para
calcular solamente la amplificaci6n del s i t i o con respecto a terreno
firme producida por un temblor de diseAo supuesto.
A menudo se supone que 10s sismos en terreno firms tienen una densldad
espectral de potencia de la forma de Kanal-Tajini (ref. 481, la cual se
expresa como
donde w 0
y 5, representan la frecucncia domlnante y un factor de
amortiguamiento del tarreno, respactivmente; S: es una densidad
espectral de potencla constante. Para el temblor de diseiia hipotetico se 2 2 3 supondra que S = 12.5 cm / s , w = 5n rad/s y C0 = 0.65. 0 0
La amplificacibn esperada del s i t i o se puede obtener adaptando el
criterio estadistico propuesto por Tajimi (ref. 48) para la
determinacibn de la respuesta rnelma de una estructura excitada por un
temblor. De esta forma, la amplif icacibn de la respuesta de un estrato
resulta ser
Corno la b d a de frecuencias de intares en ingenieria sismica se
encuentra definida por 0 .2 S f a 10 Hz, resulta adecuado fijar 10s
lfmites de integracibn en a = 0 . 4 ~ y b = ZOtr rad/s. La amplificacibn del
sitio es funci6n de varlos pir&metros; sin embargo, solamente se
consideran variables a TB y B //3 porque se est ima que el rango de a 0
variaclbn de ps/p,, y c0 es pequefio para la mayor parte de suelos que
se encuentran en la prhctica.
Suponiendo que pplpo = I y ZB = < = 0.05, la amplkf lcacibn en terreno 0
blando con respecto a terreno firme que resulta de aplicar la ec. 1-29,
sbstituyendo la funcibn de trasferencia de la ec, 1.22 y la densidad
espectral de potencia de la ec. 1.28, se muestra mediante contornos en
la fig. 1.3. Se observa qus las amplificaciones dependen claramente
tanto de T corm de pS/po; con base en la forna de 10s contornos se s
propone que la clasificacibn de 10s suelos sea en tres tipos con niveles
de amplificacibn marcadamente diferentes, como se indica en la misma
f igura.
. cl .3 5 " .O 1.5 2.0 2.5 3 0
F e r i c d ~ Ts(s> k~g. 1.3 Ccntornos de amp ificacion de sttmo relativa a terreyo f i r r r e
L.a frontera ent re 10s tipos de suelo I y I 1 @st& rnarcada por la
velocidad de propagaclbn de la roca basal, . En tanto que el limite
en t r e 10s tipos I 1 y 111 est& fijado por la velocidad y el period0
caracteristicos. fl y Tc, 10s cuales dependen del nive l de arnplificacl6n C
seleccionado para distlnguir en t re ambos tipos asi como del temblor de
disefia. En vista de que el riesgo sismfco asociado a cada una de las
zonas sismicas en que se divide el pais es diferente, 10s valores de 10s
paritmetros caracteristicos tambikn son diferentes para cada una de
dichas zonas.
Cabe destacar que 10s critarios de microzonificacibn sisrnica no se
establecen atendiendo exclusivamente a la respuesta del sit io ante
excitaci6n sisrnica, sin0 con base en la respuesta de la sstructura ante
una fmilia de temblores representada por el temblor de diseiio.
3.1.3 Carac&erizacidn del S i t i o
La caracterfzaci6n de 10s dephsitos de suelo en tkrminos del periodo
domfnante de vibracidn y la velocidad efectiva de propagacibn de ondas
de cortante es adecuada para prop6sitos de micrazonificaci6n sismica.
Sin embargo, para fines de lnteraccibn suelo-estructura es necesarlo
conocer otros parhmetros caractaristicos tales como la velocidad de
propagacibn de ondas de compresi6n y el coeficiente de Poisson efectivos
del sitio.
La velocidad efectiva de propagaci6n de ondas de compresibn se puede
determinar de manera similar a1 caso de ondas de cortante. De esta forma
se t i m e que
es la velocidad efectiva derivada a partir d e l promedio de lentitudes,
es la velocidad efectiva derivada a partir del promedio de velocidades;
h y o: son respectivarnente el espesor y la velocidad de propagaci6n de m rn
ondas de compresi6n del m-bsimo estrato del depbsito de suelo en
cuestfbn. Conocidas las velocidades efectivas de propagacion de ondas de
cortante y compresi611, el coeficiente de Poisson efectivo se puede
obtemr a part ir de la relaci6n
En algunas situaciones, 1 0 s canceptos de microzonificaci6n sismica y
espectro de disefio no son adecuados para la deterrninacibn de
intensidades sismicas de disedo. En 10s casos en que s e requieran
estudios especificos de riesgo sismico del s i t i o de in te r&, tales
intensidades se pucden establecer como la aceleracifin y velocidad
Wimas del terreno asociadas a un periodo de recurrcncia dado. Estos
p a r h t r o s de diseiio se pueden obtener a partir de curvas de intensidad
contra periodo de recurrencf a.
Generalmente, e l p a r h e t r o que se determina de un estudio de riesgo
sismica es fa aceleracihn d x i m a del terreno A Para determindr la 0'
velocidad maxima del terreno Vo, considerando las caracteristicas del
depbsito de suelo de interbs, se puede utilizar la relacfbn entre
seudovelocidad y seudoaceleraci6n de un sistema simple, esto es:
en donde w = 2n/T es la frecuencia dornimnte de vibracibn del s i t i o en s S
cuest i 6n .
3.1.4 Efectos no Lineales
Los valores del periodo dominante y la velocidad efectiva del terreno de
cimentacibn se determinan a partir ds analisis de dinkmica de suelos que
t ienen en cuenta expl icitamente el perf f 1 estrat igrhf ico y las
propiedades mecbfcas del subsuelo en condiciones elasticas, las cuales
se pueden obtener mediante tkcnicas experimentales in situ y de
laboratorio.
L o s efectos del comportamiento inelastic0 del suelo se reflejan en una
reduccih de la velocidad efectiva y por ende en un alargamiento del
period0 dominante que se tendrian bajo el supuesto de comportamiento
el8stico. Para tomar en cuenta tales efectos, aunque sea de manera
aproximada, se adopt6 un criterio sencillo que consiste en reducir la
velocidad efectiva en condfcfones elasticas multiplic&ndola por un
factor de camportamiento 00 lineal que es funcibn de la velocidad m k i m a
del terreno esperada en el s i t i o de interks.
En vista de que no se dispone de soluciones confiables para considerar
10s efectos d e l comportamiento lnel&?.tico d e l suelo y de que 10s
registros sismicos de diferentes sitios del pals no muestran que dichos
efectos Sean significativos, 10s factores de comporttunLento no lineal
del sitio que se especifican en funci6n ds la deformaci6n a1 corte son
en gran medida product0 de la intuicibn. Ellos se obtuvieron a partir de
un anklisis cualitativo de algunos resultados exparimentales y tomando
corn referencia 10s valores de factores sirnilares que se recomiendan en
la5 normas del ATC Cref. 131, donde las reducciones pueden llegar a ser
hasta de un 35 por ciento.
3.2 CLAS 1 FT CACI ON DE ESTRUCTURAS
3.2.1 Clasificaci6n de Construcciones segh au Destino
La naturaleza de 10s temblores es a tal grado impredecible que un
analisis probabilista del problema lleva a elegir cargas de diseiio que
sean funci6n de la importancia de la estructura. La eleccihn d e l temblor
de diseRo de rnanera probabilista equivale a aceptar un valor para la
probabilidad de falla o da5o de la estructura, Esta situacian obliga a
asignar un grado de seguridad a la estructura de acuerdo con su
impartancia, el cual debe basarse en una comparacibn entre 10s costos de
la estructura d i s e s d a para diversas intensidades, 10s valores esperados
de 10s costos debidos a las p s i b l e s fallas y 10s beneficios que se
deriven de la estructura mientras se encuentre en servicio.
En vista de l o anterior, la clasificacibn de las construcciones segrln su
dest ino se ha establecido con base en la seguridad estructural
3.2.3 Factor de Comportamiento Sismlco
Es irnprdctico pretender que las estructuras resistan 10s grandes
ternblores s i n rebasar su ln te rva lo de comportamiento el6stico. Por ello,
en la clasificacibn de las construcciones s e g h su estructuracibn se ha
tenido en cuenta explicitamente la duct i lidad de las estructuras,
separada de la estructuracibn misma.
No todo el exceso de la capacidad estructural real ante sisrno respecto a
la calculada se debe a comportamiento ductil. La mayoria de las
estructuras posee reservas de capacidad ante carga sismica no
consideradas en el disefio conventional. Estas reservas extras s o n
consecuencia de diversas situaciones tales como: a) el uso de factores
reductores de la resistencia en el disefio, bl las resistencias reales de
10s materiales exceden en promedio a sus resistencias nominales, c) las
fbrmulas que se emplean para calcular la capacidad de Ja seccibn de un
miembro estructural ante diversos tipos de solicitacibn son siempre
conservadoras y dl a1 redondear 10s c 6 l c u l ~ s en el diseiIo se yerra
sistedticamente del lado conservador, lo rnismo que a1 escoger las
dirnensiones de 10s elementos estructurales,
En vista de lo anterior, la manera de caracterizar las estructuras de
acuerdo con su capacidad para absorber energia es por medio del factor
de comportamiento sismico Q, el cual no solamente depende de la
estructuraci6n y ductilidad s ino que tambihn refleja reservas en
capacidad estructural que actualmente no se pueden considerar
expl i c i tamente.
En lo que sigue se cornentan 10s valores recomendados del factor de
comportamiento s i srnicn para 10s distlntos tipos de estructuras
consfderados.
TIP0 1 Sobre 10s rsquisitos que deben satisfacerse papa usar Q = 4 cabe
sefialar lo siguiente:
1. Los rnarcos drlctlles tlenen la capacidad de desarrollar las
d s altas ductilidades de todos 10s sistemas estructurales. La
reduccibn que la ductilidad pueda sufrir porque se recurra a
muros o contravientos se ve contrarrestada por la doble linea de
defensa, la cual suministra el requisito de que 10s marcos por
si solos puedan reslstir a1 menos la mitad de la fuerza cortante
en cada entrepiso, como si 10s muros y contravientos hubieran
fallado totalmente. Para wriflcar este requislto, se d e b
comparar la fuerza cortante que le corresponde a 1 0 s marcos con
la fuerza cortante t o t a l .
En el analisis donde se tomen en cuenta 10s muros de concreto
debe verificarse que Cstos scan continuos en su plano desde la
cimentaci6n, de lo contrario deben tornarse precauciones
espec i a1 es.
2. E s t e requisito es semejante a1 anterior pero mhs restrictive
puQs, dada una cabacidad en cortante, la energia que se
disiparia a1 fallar 10s muros de mamposteria seria
apreciablemente menor que la disipada en la falla de muros de
concreto o contravientos de acero o concreto reforzado.
3. UM causa frccuente de falla en estructuras de varios pisos
es la denominada planta baja dkbi l o, con mayor generalidad,
planta debil. No necesariamente ocurre cuando un entrepiso es
lnas debil de lo que requeriria un c6digo de construccf6n, sino
cuando el resto de 10s entrepisos es demasiado resistente. Dado
un movimiento del terreno, la situacibn rn&s favorable es aquella
en que la disipacibn de energia por deformacibn inelastica se
reparte uniformemente en todos 10s entrepisos. Si todos 10s
entrepisos menos uno, 0 menos unos cu&os, est-
sobredfseiiados, aqukl o aqukllas que no lo est&n tienen que
encargarse de la totalidad de la energia que ha de disiparse en
deformacibn i n e l b t i c a , l o cual les impone una enorme demanda de
duct i lidad.
Para que pueda aprovecharse un factor de ductilidad elevado, hay
que asegurarse de que en n i n g h entrepiso el cociente de la
fuerza cortamte resistente entre la aetuante sea muy inferior a1
promedio. Una estimaclbn burda del cociente menclonado se puede
obtener mediante la suposicibn de que la estructura se comporta
como una de cortante. Asi, la fuerza res i s ten te de e n t r e p i s o se
cafcula como la suma de las fuerzas cortantes resistentes de l a s
columnas m&s las de 10s muros.
4. Para que puedan desarrollarse altos factores de ductilidad y
sus beneficios no se picrdan por deterioro, deben satisfacerse
requisitos que se marcan en las normas tecnicas para estructuras
de cancreto ( r e f . 6 ) . Ettos esencialmente tienden a asegurar,
bajo la condici6n de que no se presente una falla frStgll, que la
capacidad de marcos y mums se alcanza por fluencia del acero de
refuerzo longi tudinal en tensi6n o bien del concreto en
compresi6n si est4 debidarnente confinado.
5. Tra thdose de marcos m e t A l i cos , las l i m i taciones que tienden
a asegurar su ductilidad sin deterioro significative son tales
que prActicamente impiden que se presenten fallas frzlgi les o pot-
pandeo. El pandeo comparte con las fallas frhgilas el hecho de
que la capacidad disminuye rapidamente en cuanto sc alcanza la
carga maxima, lo que implica que se disipe poca energia en el
proceso.
Los requisitos para el empleo de Q = 3 son parecidos a 10s
amteriores, salvo que pueden no satlsfacersa el 1 o el 3 y que,
en vez de marcos de concreto reforzado, cabe que haya losas
planas siempre que su disefin asegure el desarrollo de una
ductilidad razonabfe para impedir fallas muy concentradas en las
intersecciones losa-col m a . A tal grado son vulnerables las
losas planas que, siempre y cuando se curnpla con 10s requisitos
establecidos en las normas t6cnicas para estructuras de concreto
(ref. 61, no parece excesivamente optimists permltir Q = 3.
L o s requisites que permiten el uso de Q = 1 a 2 no merecen mayor
comentario como no sea sefialar que la mayor vulnerabilidad de
10s muros de mamposteria hechos con piezas huecas respecto a 10s
fabricados con piezas macizas proviene de que, ante
deformac i ones relat i vamente pequehs, se desprenden las paredes
de 10s blopues que constitwen dichos muros, lo cual 10s hace
particularmente frhiles.
TIPO 2 En vista de que 10s factores de comportamiento sismico para
phndulos invertidos y apkndices son 10s mismos que se
especifican para estructuras de edificios, no ameritan mayor
comentario.
TIP0 3 Para muros de retenci6n no se requiere de l factor de
comportamiento sismico porque el concept0 de ductilidad no es
aplicable en este t ipo de estructuras, En ellas, el efecto
sismico que gobierna el disefio esth relacionado con la fluencia
plastics del suelo inducida durante temblores intensos; el
cornportamiento no lineal del muro rigid0 resulta ser
irrelevante. Ante esta situacibn, el mecanismo de falla del
sistema se encuentra controlado por el comportamiento del suelo
y no por el del muro. Es por ello que el m6todo que se prapone
para el an&lisis sfsmfco de muros de retencibn se basa en un
estado de equilibrlo limlte del suelo independlente de la
ductilidad del muro.
TIPO 4 Los valores de Q = 2 en estructuras de concreto reforzado y
Q = 3 en estructuras de acero especificados para chimeneas y
silos pueden parecer bajos. Sin embargo, en su defensa se puede
argumentar que el comportamiento InelAstico en este t i p o de
estructuras no es rigurosamente deseable, ya que la formaci6n de
una sola articulaci6n plhstica seria suficiente para inducir el
colapso de toda la estructura. Am para ductilidades moderadas,
ante temblores severos pueden aparecer grietas visibles en
estructuras de concreto o pandeos locales en estructuras de
acero. A diferencia de las estructuras de edificios, la falta de
redundancia incrementa la vulnerabllidad por lo que las
chimeneas y silos deben diseiiarse s i n sacar gran provecho d e l
concept0 de ductilidad, lo que obviamente se traduce en fuerzas
sismicas de diseiio mayores.
TIP0 5 Lus valores de Q est ipulados para tanques elevados obedecen a
que la estructura de soporte debera ser capaz de proporcionar la
disipacibn de energia por comportamiento i n c l k t i c o necesarfa
p r a reduc ir s i g n i f icat ivamente la respuesta si mica con
respecto a la que se calcula bajo el supuesto de cornportamiento
elgstico, ya que la disipaci6n de energia que ocurre en el
f luido y las paredes del tanque suele despreciarse. Por el
contrario, para depbsitos apoyados directamente sobre el
terreno, 10s valores de Q = 1 . 5 en recipientes de concreto
reforzado y Q = 2 en recipientes de acero pretenden reconocer la
liberacibn de energia por el comportmiento viscoso del fluido y
el comportamiento no lineal de las paredes, Estos valores
tanbien se justif ican por el hecho de que las consecuencias de
la falla de dap6sitos apoyados directamente sobre el terreno
generalmente son proportional mente menores que las de 1 co lapso
de tanques elevados, lo que permite la reduccidn de los
coeficientes sismicos de disefio,
TIP0 6 Se carece de resultadas te6ricos y experimentales que permitan
recomendar valores adecuados del factor de comportamiento
sismico para la gran w i e d a d de estructuras industriales
existentes. Por ello, 10s valores de Q que se proponen en las
recornendaciones deben tomarse shlo como una guia para
seleccionar el orden de magnitud apropiado del factor de
comportamiento sismico para la estructura de que se trate.
T I P 0 7 Principalmente, la subestructura y la cimentaci6n son las
encargadas de disipar la energia induclda por sismo en puentes.
En el diseEo de la superestructura, donde se concentra la mayor
parte de la masa, generalmente rigen 10s efectos de las cargas
muertas, cargas vivas y temperatura.
Con todo rigor, para elegir el factor de cornportmiento sismico
se deberia tener .en cuenta no solo el t i p o de subestructura s ino
tamblkn e l t ipo de cimentacl6n y la dificultad para reparar las
zonas de posible generacibn de artfculaciones p l h t i c a s , las
cuales seria deseable que se produeran en la subestructura.
Cuando la subestructura se disefie adecuadamente las demandas de
ductilidad se transmitirih a 10s pilotes originwdose en ellas
articulaciones pl8sticas. Dependiendo de la profundidad en que
aparezcan tales mecanism05 sera el grado de dificultad para la
inspecci6n y el costo de reparacibn. En aquellos casos en que no
sea deseable la generacibn de articulaciones plkticas se pueden
utilizar dispositivos disipadores de energia,
Se sabe que un marco de varias columnas disefiado apropiadamente
se caracteriza p r un comportamiento dQctil en su plano. Esta es
la raz6n por la que se asigna el valor de Q = 3 para este tip0
de subestructura, arnkn de qua ella posee la caracterfstica de
ser redundante. En la direccibn ortogonal se d e b e h usar el
valor de Q asignado a las pilas de una sola columna.
A las p i l a s de una sola columna se les asigna un valor de Q = 2
debido fundamentalmente a qus carecen de redudancias. Pero
ademh, en este tipo de subestructura la zona m&s afectada
durante sismo es generalrnente la base de la columna, lo que
refuerza la decisi6n de adoptar un valor de Q menor que el
correspondiente al caso de marco de varias columnas.
El sisterna pila-muro posee una gran rigidez en la direcci6n
trasversal a1 puente, pero su capacidad de disipar energfa no es
tan alta corno se desearia. Para tener en cuenta La1 situacibn,
se asigna el valor de Q = 2 a las pilas-muro. En la direccibn
ortogonal se debera usar el valor de Q aslgnado a las pi las de
una sola columna.
E l valor de Q = 1.5 asignado para estribos pareceria demasiado
pequeso. S in embargo, este valor se eligib debido a la evidencia
de d d o s , a la falta de estudios especificos sobre el tema y a
que se trata de un components vital para el funcionamiento del
puente. Durante sismo, el material de relleno de 10s accesos
puede inducir empujes d i n h i c o s importantes sobre cste t i p o de
subestructura, 10s cuales son dificiles de cuantificar.
Asimismo, dependiendo del t i p o de conexibn en t r e el estribo y la
superestructura, Bsta lnducirg fuerzas de inercia considerables
en aquel, las cuales no son faciles de valuar.
Con el valor de Q = 1 para e l disefio dc las conexiones en t r e las
pilas con la superestructura y las p i l a s con la cimentacibn, se
busca que estos elementos perrnanezcan en el rango elastico
duranta la acci6n de un sismo. E l objetivo de tal recomendacibn
es proporcionar ductilidad mediante la formacibn de
articulaciones plzksticas en estos puntos, por lo que para su
disefio deben utilizarse 10s mornentos pl8sticos. Lo anterior no
siempre es f k i l de lograr; por ejemplo, en 10s puentes de un
s o l o claro y cuando e l cornportmiento de la cimentacibn es
dificil de predecir, l o que puede afectar la distribucibn de
cargas laterales en las pllas.
Las conexiones de 10s estr ibos con la superestructura dekrian
disefiarse prkcticamente con las fuerzas sismicas e l k t i c a s . Sin
embargo, ya que es muy importante que dichas conexiones no
sufran d d o s o que bstos Sean muy 1 igeros, se opt6 por aumentar
tales cargas asignando el valor de Q = 0.8. Con csto se reduce
la posibilidad de falla de estas partes vitales de la
estructura.
TIPO 8 Para tuberias no sc requitre del factor da comportamiento
sismico porque el concept0 de ductilidad no es aplicable en este
t i p o de estructuyas, donde 10s daRos m8s severos ocasionados
durante sismos fuertes e s t h asociados con las grades
deforrnaciones del suelo. Es por ello que para reslstir tales
def ormac iones se deben adoptar disefios conservadores conf inados
a la hipbtesis de que las tuberias se comportan elkticamente.
TIPO 9 Los valores de Q = 1 p*a, presss de enrocamiento con cara de
concreto y Q = 1.5 para presas de gravedad de mamposteria o
concreto in tentan reconocer, par un lado, la disipacibn de
energia q ocurre por el cornportamiento ine l e t i co de la
cortina y en menor medida por el comportamiento viscosa del
liquido, y por otro, la necesidad de limitar la reduccibn de 10s
coef icientes sismicos de disefio debido a las consecuencias que
implicaria la falla de presas.
TIP0 10 Para estructuras que no sa sncuentrsn comprendidas dentro de las
clasificadas en 10s tipos 1 a 9. 10s valores de Q se padr6.n
obtener a partir de procedimientos que tengan en cuenta el
comportamiento no lineal de la estructura en cuestibn y las
incertidumbres de sus paraetyos, calfbrados con base en la
experiencia sobre la respuesta real observada ante temblores
intensos.
3.2.4 Factor Reductive por Ductilidad
Los prfmeros estudios sobre el comportamiento sismico de estructuras
d ~ i c t i l e s se realizaron en sistemas elastopl6.sticos con un grado de
libertad sujetos a movimientos de banda ancha. En esas investigaciones
se determinb que, rnlentras el periodo natural i n i c i a l del sistema no sea
excesivamente corto, las deformaciones maximas en valor absoluto que
sufren dichos s is tems son en promedio casi iguales a las que
experimentam sistemas e l ~ t i c o s con el misrno periodo natural y grado de
amortiguamiento que tienen inicialmente 10s sistemas elastoplAsticos
(ref. 48). Con referencia a la f ig. 2.1, s l p es el factor de ductilidad
del sistema elastopl&stico, es dscir, el cociente de la deformacibn
maxima correspondiente a la falla entre la deforrnacihn a la f luencia,
entonces la fuerza m&xima que desarrolla ese sistema es 1/p veces la que
desarrol la el sistema e l k t ico cuyas propiedades co inciden con las
iniciales del que se considera. Por t m t o , la aceleracibn e i m a e n
valor absoluto que se presenta en el sistema elastopl&stlco se obt iene
dividiendo entre p la que corrcsponde al sistema el$stico de referencia.
De manera aproximada, este concepto es aplicable a estructuras reales.
Fig. 2 l Curva fuerza-dcformaci6n de un sistem a elastoplAst.ico
Por otra parte, cuando el periodo inic ial del sistema tiende a cero, las
aceleraciones que experiments tienden necesariamente a ser las de1
t e r reno , cualquiera que sea la relacibn fuerza-deformaci6n existente. Si
se admite que la divisibn de las aceleraciones e n t r e p vale para
periodos naturales mayores que el perlodo caracteristico Ta y que es
razonable una interpolaci6n lineal del fac tor reductive entre 1 y p
cuando T se halla entre 0 y T , se concluye que las aceleraciones a
C. I I
horizontales adecuadas para un slstema elhstica han de dividfrse entre
p ' , siendo p' = p si T > T o p' = 1+(p-1)T/T si T < T . E s t a reduccibn a a a
tiene como f i n pr inc ipa l considerar e l comportamiento ine lkt ico de la
estructura.
La seme janza entre p y Q as i como entre p' y 8' podr ia hacer pensar que
Q es el factor de ductilidad, pero no es asi, nrfrs bien represents un
factor de comportamiento sismico que se diferencia de aqukl
esencialmente por las siguientes razones:
1. La rnayoria de las estructuras posee reservas de capacidad ante carga
lateral no consideradas en el dlseflo conventional, por lo que las
ordenadas espectrales con respecto a las cuales se hace la reduccibn
por ductilidad ya est6.n reducidas por sobrerresistencia.
2. Las estructuras que poseen doble linea de defensa ofrecen mayor
seguridad ante sismo que las que solmente tienen una. La doble
linea se logra usando para la primera materiales rigidos y fr-lles
y para la segunda marcos doctiles capaces de tomar m a porcibn
significativa de la energia sismica.
3. Sistemhticarnente las aceleraciones horizontales en las bases de las
estructuras son menores que las de campo libre. El l o obedece a la
interaccibn cinem&tica suelo-estructura debida a la mayor rigidez de
la clmentacidn respecto a1 suelo.
Por las razones expuestas, en el diseAo se pueden ernplear valores de Q
que no necesar imnte coinclden con factores de ductllidad, por lo que
conviene definirlos como factores de comportamiento sismica.
3.3 REGIONALIZACION SISHXCA Y WECTROS DE D I S E ~
Deterrninar cuAles son las fuerzas pma las que han de dlse5arse las
estructuras es un problema de toma de decisiones. La naturaleza del
fenbmeno sisrnlco, asi como nues t ro estado de conocimiento sobre 61,
haccn que las decisiones hayan de tomarse en un arnbiente de
incertidumbre. Esto implica, por una par te , saber modelar
probabi l istamente 10s fenbmenos invol ucrados y , por okra, tener medi o s
para estirnar las consecuencfas de las hipdtesis y decisiones adoptadas.
InteresarA entonces saber quk tan frecuentemente se presentan
intensidades sismlcas de cierto nivel en e l s i t i o de in te r&, c6mo se
relacionan las in tens idades con el comportamiento estructural dada una
resistencia nominal y cuhles serian las consecuencias de haber adoptado
un diseAo en particular, en tkrminos de cos to de la construccibn y
perdidas esperadas debidas a1 sismu.
Usual mente es i mpos f bl e de terminar qu& tan f recuentemente se present an
cfertas i n t e n s i d d e s sismicas en un sftio con base s61o en datos
locales, debido a su escasez y, en ocasiones, a su ausencia. A h en 10s
sitios de la Repdblica Mexicana en que se dispone de 10s registros
instrumentales de intensidad m & s antiguos, no es posibla estimar
confiablemente las relaciones intensidad-frecuencia, a las que se conoce
como sismicfdad regional. b s u l t a entonces indispensable estimarla
indirectamente a travCs del es tudio de la actividad sismica en las
fuentes, o sismicidad local, y del sstudio de la atenuacibn de las ondas
sisrnicas, para establecer relaciones entre las caractsristicas propias
del temblor tales como su magnitud, e l tipo de falla que lo produjo y la
posicibn de su foco, y la intensidad en el s i t i o da inter&.
En lo que sfgue se presentan algunos de los crlterios que se han
empleado recientemente en nuestro pais para evaluar la sismicidad
regional y , a partir de Bsta, derivar 10s coeficfentes de diseiio por
s i smo. Cabe sefhlar que para llevar a cabo el estudio de riesga sismfco
se utiliz6 la base de datos de sismicidad y la regionalizaci6n
sisrnotectbnica elaboradas para tal f i n que se rtportan en la ref. 00.
3.3.2 Sismicidad Local
Se conoce como sismicidad local a1 proceso de ocurrencia de temblores
generados en una zona determinada. Se entenderd por evaluar la
sismicidad local determinar 10s p a r w t r o s de las distribuciones de
probabilidad que describen la ocurrencia de temblores en m a regi6n
dada .
L a generaci6n de temblores es un procestl complejo que apenas empieza a
entenderse. Aunque se conocen algunos grandes rasgos del fendmeno, lo
que se sak no es suficiente para describlrlo con base exclusivamente en
teorias fisicas. Las incertidumbres existentas obligan a considerar las
variables en juego como aleatorlas, por lo que deben sujetarse a la
teoria de prohabilidades.
De todas las variables que caracterizan la sismicidad local, son tres
las m8s relevantes: la distribucibn de las magnitudes de 10s temblores,
sus instantes de ocwrencfa y la localizacidn de sus focos, las cuales
conviane estimarlas en tkrminos de probabilidad.
3.3.2.1 Modelos y p a r k t r o s de la ~ismicidad local
Aqui se describen modelos tebricos usados para estimar dos de las
caracteristicas del proceso de ocurrencia que para nuestros fines
resultan mAs relevantes: la distribucidn de probabilidad del tiempo
entre eventos y la distribucibn de sus magnitudes.
Ha sido pr&ctica corntm idealizar el proceso de ocurrencia de 10s
temblores como uno de Poisson. En este proceso los tiempos e n t r e eventos
se encuentran expomncialmente dlstribuidos y puede demostrarse que su
distribucidn no se altera a1 aumentar el tiempo trascurrido s i n temblar.
A esta propiedad se le llama falta de memoria, Aunque e s t a idealizacibn
resulta razonable para la mayor p a r t e de 10s temblores que ocurren en
MGxico, 10s datos estadisticos muestran que la distrlbucibn de 10s
tiempos entre eventos con magnitud grande dista rnucho de ser
exponenc ial . Se encuentra que 1 os grmdes t emblores ocurren de acuerdo
con procesos que se acercan mAs a la periodicidad que a1 proceso de
Po isson.
POT otra parte, se ha argiiido que en diferentes zonas de la trinchera
d e l Paclflco mexicano -regibn d e l pals en que se presentan 10s tsmblores
de mayor magnitud- est6n ocurriendo procesos de acumulaci6n y liberaci6n
de energia con ciclos de diferentes duraciones segun la zona. Si la
sisrnicidad local de 10s grandes eventos de subduccibn se analizara
considerando tada la trinchera del Pacifico mexicano como m a sola
regibn, la superposicibn de estos procesos, sea que se consideren
independientes o no, resultaria en uno nuevo en que la hipbtesis
poissonimra podria justificarse. Sin embargo, la ocurrencia de uno 5010
1.3.29
C. I1
de estos grandes temblores puede gobernar el riesgo sismico de muchos
sitios del pais. k t o obliga a describir su ocurrencia m&s
cuidadosamente In cual implfca analizar por separado cada m a de las
zonas de la trinchera y tomar en cuenta que, en estas condiciones, cada
proceso estA lejos de ser adecuadamente descrito par uno de Poisson.
Por estas razones, una idea que se ha usado con &xito consfste en
d i v i d i r el praceso generador de temblores d subduccibn en dos
subpracesos: el primero, responsable de 10s eventos con magnitud M < 7,
se supone poissoniano; el segundo, para eventos con magnitud M > 7, se
ldealiza corn un proceso de renovaci6n cuyos detalles se dan
posteriormente.
3.3.2.2 El proceso de Poisson
En este proceso la densidad de probabilidades d t l tiempo entre eventos
con magnitud mayor o igual a M es exponencial y e s t h dada por
donde t es el t iempo en t r e eventos con magniLud mayor que M y h IMI es la
tasa de excedencia de la magnitud M, definida como el valor esperado del
nhe ro de temblores con magnitud mayor o igual a M, por unidad de
tiempo. De la ec. 3.1 puede deducirse que el tiempo esperado sntre
eventos con magnftud M o mayor vale l/h(M): su periodo de recurrencia.
Entonces, si se conoce h(M1, la distrfbuci6n de 10s tiempos entre
eventas estA totalmente determinada, h(M) es una funcibn que decrece con
la rnagnltud. Se le han asignado diferentes formas funcionales, las
cuales cumplen con las siguientes caracteristicas generales: a) si hCM)
se represents en papel semilogaritmico se observa que para magnitudes
pequefks es una linea recta, de acuerdo con lo observado en todo el
mundo y congruehte con 10s criterios de auto-semejanza, b) conforme M
aumenta la curva en papel sernilogaritrnico se vuelve c6ncava hacla ahajo
y cl h(MI vale cero para magnitudes superiores a un cierto valor.
reconociendo el hecho de que ests valor es la magnitud m&xima que puede
generarse en la fuente sismica correspondlente.
Los par&metros que definen la relacibn A(H) contra M deben estimarse con
base en e l catdlogo de ternblores de la zona y en informacibn de regiones
tectbnicarnente similares. Existen diversas tknicas estadisticas para
llevar a cab0 estos ajustes; ver por ejemplo la ref. 58.
Con respecto a la distribucibn de probabilidades de las magnitudes basta
no ta r que, dada la definici6n de htMI, la densidad de la magnitud vale
donde M es la minima magnitud de in ter& para fines de ingenieria, M 0 U
la maxima magnftud que puede generarse en la zona en estudio y
3.3.2.3 El proceso del temblor caracterfstico
L a observacibn del prsceso de ocurrencia de 10s grandes temblores de
subducci6n muestra dos hechos lmportantes: a) dada una regi6n
sismog4nica individual, 10s tiempos entre eventos distan mucho de estar
exponencialmente distribuidos y se observan h i s t o r i m de recurrencia
casi peribdicas y b) las estadfsticas muestr-an aye en algunas regiones
de la costa mexicma del Pacifico la relacibn magnitud-frecuencia tiene
anomalias que consisten en la falta de ternblores de c ier tas magnitudes
en relacibn con 10s promedios mundiales; los temblores parecen asi
preferir algunas magnitudes, dando lugar al llamado temblor
caracterist f co.
Para representar, en tkrminos de probabilidad, la ocurrencia en el
t iernpo de estos temblores puede usarse un proceso de renovacibn en que
el tienpo ent re eventos tiene distribucf6n lognormal. E s t a eleccibn
obedece a lo encoht rado en 1 a ref. 4 1, donde se propone que la me jor de
ent re un grupo de distribuciones fisicamente admisibles e intuitivamente
atractivas, es aquella que hace minima la pt2rdida econbmica esperada
como resultada de posibles errores en la elecci6n. A 1 aplicar este
&todo formal de toma de decisiones a1 problem de seleccionar la
distribucibn de probabilidades m8s convenfsnte para describir la
ocurrencia de grades temblores raexicanos de subduccibn se concluy6 que,
hajo circunstancias muy generales, la lognormal es la mejor eleccibn
trathdose de temblores en la costa mexicana del Pacifico.
En estas condiciones, la densidad de probabilidades del tfempo entre
eventos puede escribirse como
en donde
y to es el tlempo que ha trascurrido desde l a Qltirna ocurrencla de un
gran temblor en la zona; mt %t
son la mediana y desviaci6n esthdar
del logaritmo del tiempo, respectivamente.
Las ecs. 3.3 y 3,4 definen, en t8rminos de probabilidad, 10s instantes
de ocurrencia de 10s temblores de este t lpo. Queda gor determinar la
distribucibn de las magnitudes de estos eventos.
En la m i s m a ref. 41 se establece que la magnitud de un temblor esth
correlacf onda con el tiempo que hubo que esperar para que ague1
ocurriera. E s t a relacibn da origen a1 llamado modelo de deslizamiento
predecible. Para el rango de magnitudes de inter& se encuentra que
donde ~ [ ~ l t ] y r[M(t] denotan, respectlvamente, esperanza y desviacibn
tipica de la magnitud d e l pr6ximo evento dado que han trascurrido t aAos
desde el iiltirno.
Si se postula que la magnitud, condicionada a1 tiempo, tiene
distribucibn normal con par&netros dados por las ecs. 3.5 y 3 .6 , el
hecho de que para e l tiempo se haya asumido distribucibn lognormal
conduce a que la distribucibn marglnal de la magnitud es normal con
p a r h e t ros
de donde se deduce que, para tlempos moderados y grandes, E(M) = 7.66 y
~ ~ 1 ~ 1 = 0.36.
3.3.3 Atenuacidn ds las Ondas Sismicas
En virtud de 10s problemas ya seiialados para evaluar en forrna directa
las tasas o probabilidades de excedencia de intensidades, es necesario
contar con expresiones que relacionen la magnitud y posici6n focal de un
temblor con las intensidades que pueden generarse en un sitio dado. Se
conoce a estas relaciones como leyes de atenuacidn.
Resulta conveniente, par su relativamente alta correlaci6n con el daiio
estructural, tlegir coma medidas de inkensidad las ordenadas del
espectro de respuesta e l h t i c a Iseudoaceleraciones para 5% del
amortiguamiento critical, por lo que las leyes de atenuacibn a que
haremos referencia relacionan estas cantidades con magnitud y posicibn
focal del sismo.
3.3.3.1 Ternblores superficiales
Los registros de movimientos fuertes en sitios localizados sobre la zona
de ruptura de grandes temblores costeros en Mexico muestran que para
magnitudes grandes ( M > 7 ) las aceleraciones mkximas de l ter~eno, a , I M X
no crecen como lo predicen 10s modelos usuales de atenuacibn, En estos
modelos, log a cx kM sisndo k una constants que vale en t r e 0.2 y 0.3, max
dependiendo de la regidn de que se trate. Por otra parte, 10s modelos
tebricos de atenuacidn &is usados predicen para k un valor de 0.3 en
todo el rango de magnitudes. Sin embargo, 10s datos a distancias
cercanas d e l foco en la costa mexicana del Pacificn sugieren que existe
un fenomeno de saturacibn de a a1 aumentar la magnitud. Eh otras max
palabras, la aceleracibn m h i m a del terreno no crece indefinfdarnente con
la magnitud
Con el fin de tratar adecuadamente esta situacibn se desarrollb un
modelo [ref. 681, en el que se toma en cuenta explicitamente el tarmi50
f i n i t o de la fuente sisrnica y se llega a una form paramktrica del
espectro de amplitudes de Fourier de la aceleracihn, a(f 1, como funcibn
de magnitud y distancia focal. Una vez conocidos el espectro de
amplitudes de Fourier y la duraci6n de la ruptura, Td, es posible
calcular la aceleracidn maxima del terreno con el uso de resultados de
la teoria de vibraciones aleatorias. El c&lculo de las ordenadas del
espectra de respuesta. Sa (fe, qB) siendo fe y Se la frecuencia y e l
amortiguamiento estructural, es direct0 si se considera que, para
sistemas lineales, el cspectro de Fourier de la respuesta puede
calcularse multiplicando el espectro de la excitacibn por la func46n dc
trasferencia del sistema.
Para un oscilador elemental, la fmci61-1 de trasferencia definida por el
cociente en t r e la seudoaceleracibn de la estr-uctura y la aceleraci6n del
terreno vale
Se desprende entonces que la respuesta tendr6 como espectro de
amplitudes el dado por .
Pucde adoptarse este tipo de ley de atenuacibn tanto para a corno para I M X
toda ordenada espectral en el campa cercano. Se observa, s i n embargo,
que conforme la distancia a1 s i t i o Ro crece, el mktodo expuesto tiende a
subastimar a , aunque la forma espectrmal e s adecuadarnente M X
representada. Puede conservarse este rnodelo para describir la forma del
espectro de amplitudes de Fourier en el camp lejano, pero no para
describir su tamafio. Para este f i n se efectu6 un aniil isis de regresibn
( ref . 49) a part ir de 10s datos disponibles de aceleraciones registradas
en el c a m p lejano. Con esto se pretende que a1 predeci r correctamente
la aceleracidn a i m d e l terreno se este prediciendo correctamente
tambiCn el tamafio del espectro de Fowler. Puesto que la forma espectral
queda correctamente descrita con e l modelo de fuente finita, si se usa
un modelo adecuado para calcular a este tambikn sera adecuado para mx'
o t r a s ordenadas espectrales. En otras palabras, el espectro obtenido con
e l rnodelo en cuestibn es escalado para que produzca la aceleracidn
&ima del terreno dada por la regresibn ernpirica de 10s datos de cmpo
lejano. E s t a ultina arroja 10s siguientes resultados:
l lo^ a I M , R ~ ) = m i n [ ~ , max
donde R como en el caso del rnodelo te6ric0, debe entenderse como la 0'
distancla minima a la falla, y A es la acelcracibn maxima calculada con C
el modelo de fuente f i n i t a p a r a la magnitud correspondiente y una
distmci a Ro de 16 km.
3.3.3.2 Temblores profundos
Se ha utillzado para modelar la atenuacihn de temblores pmfundos un
mdelo de espectro de fuente conocldo como wh2 (ref. 25). Se considera
adecuado este modelo para todo 133 rango de magnitudes y distancias de
interes. Los valores de 10s parwetros pueden consultarse en la ref. 59.
El estado actual d e l conocimiento sobre respuesta estructural no permite
establecer relaciones te6ricas confiables entre las caracteristicas del
movimiento del terreno y el nivel de daiio que sufrirh ma estructura
dada sometida a ese movimiento. En 10s Qltimos a o s se han desarrollado
importantes. programas de investfgacibn, tebricos y experimentales,
encaminados a establecer criterios adecuados para medir el d 6 0
estructural acumulado dwante c i c l o s de carga alternate para p d e r
relacionarlo con las caracteristicas relevantes de 10s movimientos del
terreno. Sin embargo, estos mktodos son todavia de dificil aplicacihn
p r k t ica; las pr incipales incert idumbres provienen de nuestra
incapacidad para modelar de forma realista el comportmiento inelastic0
de sistemas estructurales complejos.
Actualmente, 10s parhetros de la perturbacfbn sismica que se consideran
mejor correlacionados con 10s d a h s o la posible falla estructural son
las aceleraciones espectrales. Es evidente que la rsspuesta de un
sistema inelastic0 no puede predecirse razonablemente cuando s b l o se
define el movimienta del terreno con base en la aceleraci6n espectral.
Si adeds el sistema suf're deterloro en su resistencia, la importancia
de otros par&metros es segufamente mayor que la d e l valor mkximo de la
respuesta del oscilador lineal usado para idealizar a la estructura. En
particular, la duracibn y la velocidad de aplicacibn de las cargas
pueden llegar a gobernar la respuesta da estructuras reales.
Por otra parte, en el context0 de un reglamento de construcciones, no es
Mi- -
posible dejar de lado la existencia de numerosos factores que inciden
para lograr niveles de seguridad intuitivamente aceptables. Estos
factores, implicitos y expllcitos en 10s reglarnentos, hacen que exista
una diferencia notable entre la resistencia real y la resistencia
nominal de la estructura, definfda la nominal corno el conjunto de
acciones que tebricamente har ian a la estructura a l c a n z a r un estado
lfrnlte cuando se ha disefiado ds acuerdo con las dispasiciones
reg1 amentarias.
E s t a s circunstancias, prfncipalmente, hacen que por el momento sea
imposible determinar el nivel de daiio real de estructuras disefiadas con
ciertas especificaciones, sometidas a ciertos movimientos del terreno.
Persiste el problema de correlacionar la excftacibn en la base de la
estructura con el deterioro experimentado.
En estudios anteriores se ha adoptado un rnktodo basado en datos sobre
1 as consecuenc i as que han produc ido di f erent es t ernb 1 ores en e 1 pasado.
El metodo e s t A inspiradd en la ref. 32, donde se calcularmon curvas que
relacionan intensidad sismica, medida con la aceleracfbn &xima del
terreno, con el monto t o t a l de 10s d&os por sismo, expresado corno una
fraccibn de la suma assgurada total. Para ello, se ajustaron curvas de
la forma
a 10s d a t o s de daiios ocasionados por todos 10s grandes temblores que han
azotado a la ciudad de MBxico desde 1973. En la e.cuaci6n anterior. x
denota aceleraci6n m h i m a d e l terreno y VIx) monto de 10s daiios; K y r
son constantes. De acuerdo con este criteria, si se presentara un
temblor con aceleracihn m h i m a de1 terreno igual a x, l a s daiios
esperados valdrian K X ~ veces el valor total de las construcciones
aseguradas. Las constantes K y r dependen de dos factores: e l t i p o de
terreno en que estC desplantada la estructura y su altura.
La evaluacibn del riesgo sismico en un sitio requiere de la existencia
de una funcibn, F[a ,c , t ) , que mida la proporcibn de ddos que acontecen
si la resistencia nominal vale c y ocurre en el instante t un temblor
que imponga la solicitacibn a (ver ec. 3,151. Las curvas determinadas en
la ref. 32 sirven precisamente para relacionar intensidad del movimiento
del terreno con monto asperado de 10s dailos. Sin embargo, para poder
aplicarlas a la evaluacibn del riego sisrnico en sitios distintos a1
valle de Wxico, se han h e c k algunas modificaciones:
1. Se introduce la variable z , definida como el cociente de aceleracibn
espectral, S , a la resistencia nominal de la estructura, c, a
2. Se asigna a la relaci6n V{zl contra z la slguiente forma
en q w ( 0 denota densidad normal acumulada y ir y mz son 1I-m
parAmetras. Puesto que z = Sa/c, esta funci6n relaciona daiio
estructural con acelerac ibn espectral y coef iciente da disefio.
La primera modificacibn as necesaria, por m a parte, para poder aplicar
10s datos de la ciudad de Mhxico a otros sitios, y por otra, para
relacionar 10s dafios con las aceleraciones espectrales h i m a s , que son
las medidas de intensidad seleccionadas en este estudio. En efecto, las
curvas originales relacionan aceleraci6n mhxima del terreno en la ciudad
de Mxico con dafios esperados, mientras que para este estudio se
requiere relacionar aceleraciones espectrales m6ximas con daf~os
esperados. Para conseguir esto, se normalizaron las abscisas de las
curvas originales d i v i d i h d o l a s entre la aceleracibn de diseiio, supuesta
igual a 0.16g en terreno firme y 0.24g en terreno blando, y
~nultiplicAndolas par el cociente de la aceleracibn espectral mhxima a la
aceleractbn m&xirna del terreno, supuesto constante. N6tese que suponer
que las aceleracioms nomlnales de disefio en la cludad de Mxico valen
0.16g y 0.24g es conservador puesto que, si se supusieran menores, 10s
daiios inducidos por 10s ternblores previos estarian asociados a valores
rnayores de z . k t o querria declr- que las estructuras son capaces de
admitir, para un nivel de daiio f l j o , aceleraciones espectrales mayores.
Los valores 0.16g y 0.24g son las miximas aceleraciones para diseiio de
edificios que tuvo la ciudad de Mkxico hasta antes de los sismos de
1985. Por tanto, si se supone que todas las estructuras poseian estas
acelerac iones nominales de disefio, las curvas de comportamicnto
estructural que se obtengan serAn tarnbibn las m B s conservadoras.
A1 introducir la variable z = Sa(c y, hacer que las perdidas sean s o l o
funcibn de este cociente, se han aceptado algunas hipbtcsis adicionales:
1. Para todos 10s temblores considerados en el es tud io en cuestibn, la
relaci6n en t r e aceleracibn maxima del terreno y ordenada mAxima del
espcctro dc respuesta para 5% de amortiguamiento es constante.
2. Los dafios durantc todos los temblores ocurrieron en estructuras con
periodos de vibrar tales que les correspondian ordenadas de disefio
cercanas a la maxima del espectro correspondiente.
La primera hipotesis resulta razonable s i se trata con estructuras
localizadas en el mismo t i p o de suelo y sugetas a temblores de origen
similar. En virtud de que se calculan curvas para dos distintos tipos de
terreno y de que 10s daiios proceden casi exclusivamente de temblores de
subduccidn, la h i p b t e s i s parece aceptable.
Con referencia a la segunda hip6tesis, es de esperarse que a1 menos la
mayor contribucibn a 10s daf~os provenga de las estructuras que se vieron
m&s solicitadas y que Cstas sean aqugllas para las que el reglamento
exigia mayares acciones de disefio. Por otra parte, 10s cspectros de
disei io tienen una meseta ancha, por lo que con esta hipbtesis s61o se
e s t a n dejando de considerar estructuras con periodos muy largos o muy
c o r t o s . Aun este error actua d e l lado de la segurldad, puesto que
estructuras en este Qltimo supuesto estarian disefiadas para valores
menores a l a m i m a ordenada espec tra l reglamentaria, por lo que el
procedimiento que se discute subestirnaria su resistencia.
C. I1
La segunda modificmi6n respecto a las ideas originales obedece a
diversas razones. En primer lugar, parece estetica e intuitivamente mfrs
atractiva una funci6n que tienda asintdticamnte a 1 cuando z crece; el
valor mhimo de 1 es adecuado cuando no se consideran otras Hrdidas que
el valor de las estructwas. En segundo lugar, hay cierta justificacibn
tedrica para el uso de densidades lognormales a1 describir confiabilidad
estructural,
Nbtese que las gCrdidas evaluadas con este procedimiento no e s t h
asociadas solamente a fallas to ta les ; de hecho, s61o una fracci6n
relativamente pequefia de las perdidas esparadas se debe a colapsos.
3.3.5 Hodelo de Riesgo Sismico
Ha sido comlln en estudios de rissgo sismico cuantificarlo en tkrrninos de
cantidades camo la tasa de excedencia de intensidades, o con base en
descripciones m&s completas tales como las distribuciones de
probabilidad de las intensidades maximas en un lapso dado. Sin embargo,
se considera m8s adecuado ut ilizar la esperanza del valor presente de
10s dafios debidos a temblores como rnedida del riesgo, y como medidas de
intensi'dad, las aceleraciones espectrales para 5% del amortiguamiento
critico. A continuaci6n se define el concepto de esperanza del valor
presente de 10s d a o s por temblor.
ConsidCrense un s i t i o y m a zona sismogenica dados, Sea Llc) el costo
total de todas las estructuras en el s i t i o , si todas ellas hubieran sido
diseiiadas con - F a capacidad nominal definida por el vector c y la
cat&strofe ocurriera el dia de hoy, Supongamos que ocurre un temblor en
el instante t. Entonces, el valor presente de la pbrdida vale
donde F ( a , c , t ) es m a funci6n que cuantiffca la proporcidn da daiios que
acontecen si el vector de resistenclas nominales toma el valor c y en el
C. T I
instante t ocurre un temblor que impone un vector de solicitaci~nes a.
El factor e-rt actualiza el valor ds la p6rdida; a. es la tasa de
descuento, supuesta igual a 0.05/afio en muchos estudios.
Si se conocieran con precisibn el instante de ocurrencia, el vector de
s o l icitaciones y el cornportamicnto tstructural que permit iera calcular
la proporci6n de daXo, la ec . 3.15 seria suficiente para evaluar el
valor presente de la p$rdida asociada a ese temblor en particular. Tal
conocimiento, sin embargo, esth lejos de nuestro alcance. Dada nuestra
incertidwnbre, debemos modelar las variables en juego como aleatorias.
asignarles distribuclones de probabilidad y calcular el valor esperado
de Dlc).
Por definicihn, la esperanza del valor presente de la perdida debida a
la ocurrencia del primer temblor va le
donde la integral en a debe entenderse con multiplicidad igual a la
dimensibn del vector de solicitaciones y p(a , t l es la densidad conjunta
de probabi lidades de a y 't; RC o ) denota el rango posible de valores del
vector en cuest i6n. Interesa entonces deterrninar las f unciones Fla, c , t l y pla, t ) . Para este f i n sd han hecho las siguientes hipbtesis
simplif icatorias:
1. E l ~comportamiento estructwal est& gobernado por un solo p a r h t r o
igual a la fuerza cortante basal dividlda entre el peso de la
e s t ruc tu r a . Esto implica que el vector c se convier te en un esca la r .
2. E l movImiento d e l terreno queda deflnldo totalmente por la ordenada
espectral correspondiente, S . Consecuentemente, el vector de a
solicitaciones es de dimensibn uno.
w y Q son donde # C 0 ) denota distribucibn normal esthdar; mZ, Inz
p h e t r o s . El primer termino del miernbro derscho de esta ecuacibn
es m a funci6n que rnide la proporcibn del valor de las estructuras
que se p i e r d e por efecto del sismo, El tCrmino cuadr&tico cuantifica
las perdidas de contenidos de las estructuras que sufren daTtos, asi
como otros costos causados a la sociedad por el sismo. Nbtese que
para valores pequeAos del argument0 dk @ ( a ) el tbrmino cuadrktico es
dcspreciable, l o cual indica que para intensldades bajas o
resistencias altas 5610 se pierde el monto de 10s daiios
estructurales. En contrario, para intensfdades altas o resistencias
bajas, la perdida puede ser 1+Q veces el valor de las estructuras.
4. Las aceleraciones espectrales, dadas la rnagnitud y distancia focal
del temblor, son variables aleatorias can distribucidn lognormal.
Los par-tros que definen %us distribuciones son precismente 10s
valores dados por las leyes de atenuaci6n. En otras palabras,
sup6ngase que para cierta combinaci6n de magnitud y distancia focal
la ley de atenuacibn predice un valor de aceleracibn espectral igual
a S y que a esa l ey de atenuaci6n le esta asociada una desviacihn a
esehdar de1 logaritmo igua1 a =1na . Entonces, la aceleracfbn
espectral es una variable aleatoria lognormalmente distribuida con
mediana S y desviacibn estbdar del logaritmo igual a cr . a I na
5 . La resistencia es independiente tanto del tiempo como de la
solicitacibn irnpuesta por el temblor.
Con estas consideraciones y susti tuyendo la ec. 3.17 en la ec. 3.16,
resulta que
Esta ecuacibn proporciona la pkrdida esperada, aetualizada a su valor
presente, debida a la ocurrencia del primer temblor, cuando las
estructuras estLan disefiadas para resistir un coeficiente de c o r t a n t e
basal c, considerando que tanto e l instante de ocurrencia del temblor
como la aceleraci6n espectral que produce s o n i n c i e r t a s .
La escasez de datos impide generalmente f i jar m a distribuci6n de
probabilidades conjunta sobre S y t , s i n recurrir a la slsmicidad local a
de las fuentes potenciales. Resulta entonces necesario escribir dicha
distribucihn de la siguiente manera:
donde ps ( s ~ I H, Ro. t) es la densidad de probabl 1 idades de 1 a aceieraci6n
espectral dados 10s valores de magnitud, distancia focal e instante de
ocurrencia del temblor; p H [ ~ l t ] es la densidad de probabilidades de la
magnitud dado el instante de ocurrencla del temblor y p * ( ~ ~ ) la densidad
de probabilidades de la distancia focal. Para derivar e s t a ecuacibn se
ha supuesto que la minima distancia a la zona de ruptura , dada por Ro,
es una variable independiente de todas las d e h s .
A continuaci6n se describen las formas particulares que toman las
ecs. 3.18 y 3.19 para 10s procesos considerados.
3.3.5.1 Proceso de Poisson
En este caso, se hacen las siguientes hipbtesls particulares:
1. La magnitud del prbximo temblor no se ve influida por el tiernpo
trascurrido desde la ocurrencia del Qltfmo. Esto implica que
2. El tiempo entre eventos de magnitud M o mayar tiene distribucihn
exponential con par-etro h(M).
3, Dada la magnitud, las aceleraciones espectrales son independientes
del instante de ocurrencia del temblor.
4, '3610 son relevantes, para f ines de riesgo sismlco, 10s eventos con
M > Mom
Nhtese que la ec. 3.18 proporciona la pbrdlda debida a la ocurrencia del
primer temblor. Supondremos que todas las estructuras que suf'ren daiios
dwante algQn temblor son reconstruidas y que el costa de la
reconstruct i6n es igual a1 costo original. En estas condiciones deben
considerarss todos lus temblores dtl proeeso y no s61o el primero. Con
esto en mente, y aplicando las hipbtesis fndicadas, se obtiene
donde DT(c1 denota la pkrdida debida a todas las fallas que puedan
ocurrir en el fu tu ro , supniendo que despubs de cada temblor a todas las
estructuras les sea restituida su resistencia original, y
La ec. 3.21 se aplica para una sola regibn con sismicidad uniform. La
&rdida debida a todas las regimes sismg&nlcas es Xa suma de las
donde Lm(c) = (l+QlL(c), indicando que un proceso cualquiera con tasa de
excedencia equivalente w ( c ) producirh perdidas iguales a las de un *
proceso de Poisson con v [ c l = v [ c ) en que todo fuera determinista,
excepto 10s instantes de ocurrencia de 10s temblores.
3.3.5.2 Proceso del temblor caracteriat ico
En este caso, se hacen las siguientes hip6tesis particulares:
1. El tiempo entre eventos tiene distribuci6n lognorml.
2. Coma ya se ha s e h l a d o , se supone para la magnitud, condicionada a1
t iempo, una distribucibn normal.
3. Se supone que, dada la magnitud, la aceleracibn espectral es
independiente de1 tfempo que haya trascurrido desde el dltimo
temblor caracteristico.
Con estas consideraciones resulta que
donde t es el tiempo trascurrido desde el dltlmo temblor caracteristico 0
en la zona. Puede demostrarse que esta expresibn crece conforrne to
crece; en otras palabras, e l valor esperad0 de las perdidas es creciente
con el tiempo que trascurra sin temblar.
3.3.5.3 nistribucidn espacial de l oe temblores
Para que las ecuaciones presentadas sean vdlidas se requiere que la
sismicidad sea uniforme en la regi6n considerada. Sin embargo, dada m a
regf bn, falta especif icar la distribucibn de probabilidades de Ro,
p A [ ~ ) . A falta de informaci6n en contra, es comb asignar a la posiclbn 0
del epicentro ma distribucibtl uniforme dentro de la zona
correspondiente; las zonas, por su parte, pueden idealizarse como &reas,
1 ineas o puntos, eventualmente.
Los criterios sefialados anteriormente permitirian la construccibn de
eurvas ds tasa de excedencia equivalente contra aceleracibn de diseiio.
Son posibles dos interpretaciones de estaa curvas. La primera consiste
en suponer que 10s procesos de ocurrencia de todos 10s temblores de
inter& son poissonianos. Si este fuera el caso, v ( c ) serla sirnplemente
la tasa de excedencia esperada de la aceleracfbn espectral c. E l
reciproco de v (c) podr i a entonces interpretarse corno el periodo
esperado de recurrencia de la aceleracihn espectral c. Sin embargo,
puesto que 10s procesos de ocurrencia de 10s temblores mhs .importantes
no son de Poisson, la interpretacibn anterior es s61o un artlficia para
estiraar intuitivamente los niveles de seguridad de las estructuras,
refiriendose a periodos de recurrencia equivalsntes.
Con todo rigor, las relaclones v*~cl contra c establecen que, si se
usara para diseiio la aceleraclbn c en estructuras con c i e r t o periodo
n a t u r a l , las perdidas esperadas por d a b sismico, actualizadas a su *
valor presente, valdrian v Icll~ veces el valor de la p6rdida maxima que a
podria teherse el dia de hoy, o bien ( 1+QJv ( c ) / r el valor t o t a l de las
estructuras con ese periodo de vibrar. Esto se desprende de la *
definicibn de v ( 0 1 dada en la ec. 3.27.
* A partir de las curvas v ( c ) contra c , que a travbs de la ec. 3.27
tambi&n relacionan c con las pCrdidas esperadas, es posible calcular 10s
coeficientes 6ptimos de disefio de acuerdo con el sigulente razonamiento:
sea CT(c1 el costo total inducido por el fenbmeno sismico en estructuras
con cierto periodo de vibrar, T. Este cost0 se forma con la suma del
costo de las estructuras, LCcJ, mas el costo esperado de las pkrdidas,
. El costo de las estructuras es funci4n de su capacidad para
resistir carga lateral. De acuerdo con la ref. 41,
donde K es un costo ffjo, independiente de la resistencia lateral de la 0
estructura, cD represents la resistencia lateral que la estructura t ime
aunque no se haya d i s e k d o por sismo y a y K son constantes. 1
POP 0tra partt?, de E % c u ~ ~ ~ Q con la ec, 3.27 se .tiem que
por lo que
o bien, si se expresa el costo total en ttrrninos del valor de las
estructuras sin disefio sismico, K se tiene que 0'
en donde E = KI/Ko. Se postula que el coef fcfente bptimo de disefio, c OP'
es aqukl para el cual CT(c1 es rninfmo. Por tanto, debe cumplirse que
3.4 ESTRUCTURAS TIP0 1 : ESTRUCTURAS IIE ED1 FICZ OS
3.4 .1 Elecci6n del Tipo de Andl isis
Se recomiendan tres procedimientos de anzilisfs para estructuras de
edificios sometidas a sismo: a} mbtodo simplificado, b) &lisis
esthtico y c) andlisis d i n h i c o . La diferencia en t r e 10s procedirnientos
esthtico y dinamico radica fundamentalmente en la distribucibn de las
fuerzas laterales con la altura de la estructura. En el anklisis
d i n h i c o , las fuerzas horizontales se obtienen en funcibn de la
Xspuesta dinmica de la estructura, teniendo en cuenta la distribuci6n
t an to de las m a s a s como de las rigideces, mientras que en el mlisis
est8tic0, tales fuerzas se determinan suponiendo formas simples lineales
o cuadrhticas para la variaci6n de las aceleraciones con la altura,
ajustadas para que el cortante basal de la es t ruc tu r a sea proportional a
la ordenada espectral multiplicada par el peso de la estructura, E l
metodo slmplificado es semejante al analisis esthtico en cuanto a la
1 .3 .49
distribucibn de fuerzas laterales; se diferencian porque en aquel no se
consideran 10s dssplazamientos horf zontales, momentos torsionantes y
momentos de volteo.
Aqui se presentan algunos cornentarios breves en relaci6n con estructuras
de edificios; comentarios d s amplios sobre el tema se encuentran en la
ref . 57.
Las timitaciones qus se fijan para que sea aplicable el metodo
simp1 i f icado de anklisis sismico son menos restrict ivas que antes.
Actualmente se permite que 10s muros de carga sean de madera, que los
diafragmas horizontales no sean losas de concreto reforzado siempre que
tengan suficiente resistencia y rigidez y que baste con una dfstribucibn
aproximadmente sirnktrica de 10s rnuros de carga cuando no existan dos
muros perimetrales sensiblemente paralelos entre si.
La aplicacion del mktodo sirnplificado conduce a disefios menos
conservadores que 10s obtenidos con el mktodo estktico, tanto par las
aproxirnaciones empleadas para caIcu1a.r 10s coeficientes sisrnicos como
por no tener en cuenta 10s efectos de segundo orden, ni 10s
desplazamientos laterales, momntos torsionantes y momentos de volteo. A
pesar de esta situaclbn, 10s requlsltos para su aplicaci6n se han
liberado debido a1 excelente comportamiento sismico que en general han
tenido las estructuras que cumplen con dichos requisltos. Esto es valid0
para grandes temblores de foca lejano y para sismos de foco somero,
cuyos efectos sblo han causado grietas pequefias aun en estructuras muy
rigfdas, pero no daiios mayores.
Los coeficientes sisrnicos reducldos para el mktodo sirnplificada se
obtuvferon a partir de 10s espectros de disefio, estimando
conservadoramente el psriodo fundamental de la estructura en funcibn de
su altura y del tipo de suelo ds cimentacidn y reduciendo por ductilldad
en tkrminos del factor de comportamfento sismico, que se tom6'como Q = 2
y 1.5 para muros de piezas macizas l o diafragmas de rnadera
contrachapada) y de piezas huecas ( o diafragrnas de duelas de madera),
respectivamente.
3 .4 .3 Condicianes de Regularidad
L a s condiciones de regularidad que se establecon para edificios son el
resul Lado de la intuicibn f recuentemente conf irmada par la experiencia.
No exfsten anAlisis n i experimentas que fundamenten cuantitativamente la
reducci6n en un 20 por ciento del factor reductive Q' para 10s edificios
irregulares, sirnplemente parece una forma razonable de conslderar la
mayor vulnerabilidad de tales estructwas. Con respecto a cada condicibn
se pueden formular 10s siguientes comentarios:
1. Con la condicibn de sirnetria aproximada se tratan de lirnitar las
torsiones que puedan presentarse, puesto que a pesar de que se
tengan en cuenta las torsiones que pueden introducir las asimetrias,
cuanto mayor es la torsibn en una estructura t m t o mayor es la
incertidurnbre respecto a 10s resultados del anAlisis.
2. A rnedida que crece la esbeltez de un edif icio se incrementan 10s
momentos de volteo, lo que trae consigo mayor importmcia de los
efectos P-delta y problems en la cimentaclbn. De nuevo el10 implica
incertidumbfes mayores sobre 10s resultados d e l andlisis y
frecuentemente modos de falla m&s ppeligrosos.
3 . En edificios muy alargados, la mayor flexibilidad y la menor
capacidad de 10s sistemas de piso trabajando como diafragmas
horizontales pueden disminuir la eficiencia de los sistemas
resistentes vertlcales, aumentar la incertidurnbre sobre 10s
resul tados de 1 anal is is e introducir nuevos modos de fa1 la.
4. L a presencia de entrantes o salientes puede ocasionar flexiones en
10s sistem de pfso con lo que se incurre en situaciones semejantes
a las de edificios muy alargados, Asimfsmo, se disminuye la
eficiencia de la estructura pa-a resistir torsiones, ya sea que
Cstas provengan de asimetrias en msas, rigideces, amortfguamientos
o resistencias, o sean inducidas por movimientos del terreno.
5. La escasez de rigidez o resistencia en 10s diafragmas horizontales
puede ocasionar situaclanes como las descritas para edIf ic ios nuy
alargados. Por ello la necesidd de veriffcar que la resistencia de
10s sfstemas de piso sea adecuada y que su rigidez sea suficiente
para no introducir modif icaciones en las fuerzas que segh el
anttlisis obran sobre 10s sistemas resistentes verticales.
6. La presencia de aberturas puede disminiur la efectividad de Ins
diafragmas horizontales o inducir excentricidades cuya valuacibn sea
complicada. Asimismo, la variacibn de posicidn de las aberturas de
un piso a otro puede origin= fuerzas internas en los sistemas
resistentes verticales de dificil cuantiflcacf6n.
7. Las variaciones bruscas de masa de un piso a otro pueden producir
cambios en 10s modos naturales de vlbracl6n que invaliden las
hipbtesis slrnplificadoras de 10s &todos de analisis establecidos
para la determinacibn de fuerzas sismicas, introduciendo asi
incertidumbres en 10s resu l tdos de 10s analisis usuales.
8 . Los argumentos que llcvan a fijar la limitacibn sobre variaciones
bruscas de b e a de un p i s o a otro son los rnismcrs que operan para la
Z imitaci6n referente a las masas.
9. La presencia de columnas que, en m a direccibn o en ambas, trabajen
corno de doble altura o rnb se debe evitar, ya que esta situacibn
conducirla a m a distribuci6n de mornentos flexionantes muy
diferentes de aquella con que se tfens myor expriencia y ade-
podrla inducir efectos P-delta dificiles de cuantiffcar.
10. De no respetarse el requisito sobre las rigideces de entrepisos
consecutivos, se tendrian estructuras para las cuales la experiencia
no ha sancionado suficientemente 10s k t o d o s usuales de ~ A l i s i s .
11. Para el requisito sobre las exentricidades torslonales valen 10s
mismos argumentas esgrimidos en relacibn con la condicibn de
sirnetria aproxirnada.
3.4.4 AnAlisis Estdtico
La limitacibn de altura que se establece para aplicar el an8lisis
estatico proviene de que este mbtodo puede no dar suficiente importancia
a la contribucibn de 10s modos superiores de vibracibn en la respuesta
estructural , sobre todo cuando e l periodo fundamental T sobrepasa el e
periodo caracteristico T o la construccibn en cuestibn tiene m a altura b
considerable. Algo de este fenbmeno se corrige tomando una variacibn
cuadrhtica de las aceleraciones con la altura cnmo se especifica en las
recomendaciones, pero a h dicha correci6n es imprecisa y puede ser
insuficiente cuando a1 periodo fundamental es muy largo.
3.4.4.1 Valuaci6n de fuerzas sismicas s i n estilllar el periodo
fundamental de la eatructura
Para la valuaci6n de las fuerzas sismicas s i n estimar el periodo
fundamental de la estructura se consideran dos hipbtesis. Por un lado,
se supone una variaci6n lineal da las aceleraciones con la altura sobre
el nivel en el cual cabe suponer nulos 10s desplazamientos de la
estructura respecto al terreno, y por el ot ro , se supone que la
aceleraci6n espectral, expresada como fracci6n de la aceleracibn de la
gravedad, es igual a1 coeficiente sismico lndependientemente del periodo
f undarnent al .
La primera da estas hiphtesis es congruente con el hecho de que el mado
fundamental es casi una linea recta que pasa por e l punto de
desplazamiento igual a1 del terreno y con el hecho de que el modo
fundamental contribuye con much0 a la mayor parte de las respuestas
estructurales. La segunda es congruente mientras el periodo fundamental
no sea axcesivamente largo. Cuando T > T resul ta conservador no 8 b
reducir las fuerzas sismicas en f'uncibn del perfodo fundamental de la
estructura, sino s61o de su factor de comportmiento sismico. Sin
embargo, en estas condiciones se contrarrestan el efecto de 10s mdos
superiores de vibracldn y el de tomar la ordenada espectral igual a1
coeficiente sismico independientemente del perfodo fundmental.
3.4.4.2 Valtoaci6n de fuerzas sismicas eatimando el periodo fundamental
de la estructura
El cociente de Schwartz que se emplea para estimar el periodo
fundamental de la estructura produciria su valor exacta si la
distribuc i6n de aceleraciones fuera la correspondiente al modo
fundamental; s i n embargo, aun cuando las aceleraciones s41o se asernejen
a las del modo fundamental, este cociente suministrarh una excelente
aproxi maclbn.
Para la valuaci6n de las fuerzas sismicas estimando el periodo
fundamental de la estructura, se adopta una distribucidn lineal de las
aceleraciones con la altura sobre el nive l en que 10s desplazarnientos de
la estructura son lguales a 10s d e l terreno, que se ve justificada
mientras el periodo fundamental no sea demasiado largo, digamos T < T F b'
En caso contrario, en vez de la variacibn lineal de la aceleracidn de
di sefio se adopta una variac 16n cuadrht ica que da proporc ionalmente
rnayores aceleraciones en 10s niveles altos, tanto mayores cuanto W
grande sea e l cociente T /Tb. e
La excentricidad torsional de disefio para cada sistama resistente se
considera igual a la que resul te rnh desfavorable e n t r e 1.5e +O. lb y n R
e -0.lb . La cantidad 1.5e represents la excentricidad d i n h i c a n n n
producto de la amp1 if icaci6n d i n h i c a que experirnenta la excentricidad
calculada est&ticamente, en tanto que la cantidad O.lb representa una n
excentricidad accidental que se d e k , por un lado, a las discrepancias
que existen entre las distribuciones d~ masa y r ig idez calculadas y las
reales a1 ocurrir un sismo, y por otro, a que 10s movimlentos del
terreno t ienen siempre cornponentes de rotacibn, incluso con respecto a
un eje vertical, que no se consideran explicitamente en el anklisis. L a
arnplificaci6n dinAmica considerada en la excentricidad de disefio
1.5en+0.1bn resulta escasa en ciertos casos donde e es mucho menor que n
b , pero en ellos la excentricidad accidental cubre el exceso en n
ampliflcacibn. La razbn para no considerar ninguna amplificacibn
dinarnica en la excentricidad d s diseiio e -0. lb es porque para algunos n n
casos la amplificacibn resulta insignificante.
Par otra parte, las disposiciones que tienen en cuenta las torsiones que
obran en entrepisos dist intos del que se cansidera, lo hacen de manera
toscamente aproximada; no se basan en anAlisis cuantitativos, son
simplemente especificaciones que parecen razonables.
3.4.4.4 bmntos de volteo
Existen dos razones principales para reducir el momento de volteo
calculado esthticamente. Por un lado, las fuerzas sismicas que se
adoptan d m lug= a una anvolvente conservadora para las fuerzas
cortantes de entrepiso correspondientes a una intensidad de disefio, y
p a r e l otro, las m k i m a s fuerzas cortantes de entrepiso no ocurren
sfmult$neamente ni con el mismo signo. For todo ello, el mornento de
volteo calculado a partir de la envolvente de cortantes de entrepiso
estarh demasiado sobrest lmado .
Con base en lo anterior, y tenlendo en cuenta que el costo de diseiiar
una cimentacidn para resistir 10s momentos de volteo que cn ella obran
suele ser sumamente elevado, se justff ica permit i r m a reduccibn en el
valor del rnomento de volteo calculado como la integral del diagrama de
cortantes de entrepiso.
E l criterio para reducir el momento de volteo obliga a comiderar como
cota inferior el producto de la fuerza cortante en el nivel en cuestibn
par su distancia a1 centro de gravedad de la parte de la estructura que
se encuentra por encima de dicho nivel. Tal requisite tiene por objeto
evitar reducciones importantes en aquellos casos en que la myor parte
d e l momento de vo lteo provenga de masas que respondan prkticamente en
fase.
3.4.4.5 Efectos de segundo ordsn
E l limite X'/h' C 0.08V /WY establecido para que puedan despreciarse 10s n n n n
efectos de segundo orden conduce a un factor de amplificaclbn An 5 2.09.
Esto equivale a admitir la introducci6n de errores menores de un 10 par
ciento d e l lado de la insegurfdad en las fuerzas cortamtes y momentos
flexionantes de disefio.
En el calculo de 10s desplazamientos laterales para revisar y en su caso
tener en cuenta 10s efectos P-delta, deben incluirse 10s desplazmientos
debidos a cortantes de entrepiso, el acortamiento y alargamiento cle
columnas y ffexidn de rnuros por momento de volteo, asi coma la rotacidn
de la base por interacci6n sue lo-es t ruc tura .
3.4.4.6 Efectos combinados de los moviaientos del terreno
b s e f e c t o s combinados de 10s mavirnientos d e l terreno se podrfan
calcular mediante la raiz cuadrada de la suma de los cuadrados de las
respuestas a 10s t r es carnponentes de traslaci6n. Sin embargo, tal
criterio resulta demasiado conservador cuando 10s efectos individuales
son cornparables entre s i . For ello y en aras de la sencillez, parece
adecuado adoptar el erlterlo estipulado en las recomendaciones.
Cabe destacar que se introducen errores del lado de la inseguridad a1
despreclar el efecto del componente vertical. Esta es la razdn por la
que para las zonas sismScas C y D se exige considerar tal componente.
3.4.4.7 Comportamiento asimtStrico
lnvestigaciones recientes [ref. 61) revelan que el criterio estipulada
en las recomendaciones para tener en cuenta el cornportamiento asimetrico
es poco conservador, por lo que es neccsario tomar precauciones
adicionales en tal caso.
3.4.5 An&l iais Df n h i c o
Para aplicar el ad l i s l s d i m i c o no se espeeifica restrlccibn alguna.
Por el contrario, se exige emplear alguno de 10s metodos d i m i c o s
reconocidos, coma el a d l i s i s modal espectral y el analisis paso a paso.
cuando no se satisfagan las limitaciones qua se estipulan para aplicar
el m A l isis estAt ico.
3.4.5.1 Nl i s i s modal espectral
El analisis modal espectral es aplicable a1 chlculo de la respuesta
lineal de estructwas con varios grados de libertad sujetas a movfmiento
sismico definido por medlo del espectro de discfiu. En rigor, este m6todo
d i h i c o no puede utilizarse para determinar la9 fuerzas de diseiio
puesto que Bstas son funcibn de la respuesta no lineal de la estructura.
E s t a situaci6n se resuelve si el cornportamiento inelastic0 se introduce
artificialmente usando espectros reducfdos por ductilidad. As?, la
respuesta no l i neal se puede obtener aproxi madamente como 1 a respuesta
lineal per0 modificada por ductilldad. Para que este artificio sea
aceptable se necesita que la disipacibn de energia por cornportamiento
inelastic0 sea m a r c a d a n t e uniforme en la mayor parte de la estructura
y que las torsiones de entrepiso en condiciones no lineales guarden
cierta relacibn con las que obran an condiciones lineales.
El requisite de conslderar por lo menos 10s tres primcros modos
naturales de vibraci6n en traslaci6n para cada direccibn de analisis
1.3.57
C. 11
intenta despreciar solamente aquellos modos naturales c u p efecto
combinado no modif i caria las fuerzas de dissiio slgnlf icat ivamente; este
requisl t o es fundamentalmente necesario cuando se trata de estructuras
de periodo fundamental largo. Sf se reconoce explicitamente el
acoplamlento entre 10s grados de libertad en traslacibn horizontal y
rotacihn con respecto a un e j e vertical, el n-&sirno modo natural en
determinada direccibn de a l i s i s debe interpretarse camo el modo
natural acoplado que mayor sem janza guarda con el n-bsirm modo natural
desacoplado.
Cuando en el analisis modal espectral se considera el acoplamiento entre
10s tres grados de libertad que se pueden asignar a cada nivel, bastar&
con tener en cuenta la disposicibn concerniente a la excentricidad
accidental, puCs ya se estarh incluyendo en el a d f i s i s la
amplificaclbn dinhica y las torsiones que obran en entrepisos distintos
del considerado.
3 . 4 . 5 . 2 Anglisis paao a paso
En el mAlisis paso a paso se exige que se usen p r lo menos cuatro
movimientos representativos. E l lo pretende evi tar que se real icen
disedos inseguros cuando la estructwa en cuestl6n sea poco sensible a
las caracteristicas detalladas de un temblor particular, pero responda
en condiciones rn&s desventajosas ante ot ro , que difiera en los detalles,
pero que sea representative de la mism intensidad, duracibn y contenfdo
de frecuencias que el primero. En lo relativo a tener e n cuenta la
incertidumbre que se tenga en cuanto a los parAmetros estructurales,
esto se refiere tanto a las propiedades de la estructura (rigidez y
amor t iguami ento 1 para pequeiias def ormac i ones como a las propiedades mAs
desfavorables de la curva carga-deformacibn.
Cuando cabe cspemr que se presente e l acoplamienta entre 10s tres
grados de libertad que se pueden asfgnar a cada nivel y en el anhlisis
paso a paso se d e c i d e ignorarlo, d e b e r b tenerse en cuenta todas las
disposiciones concernientes a torsibn de entrepiso.
3.4.5.3 Revisidn por cortante basal
La revisibn por cortante basal asegura que el cortante en la base no se
tomar& menor que el 80 por ciento d e l que suministraria un an&lisls
estatico can la opci6n que toma en cuenta el period0 fundamental de la
estructura. Esto obedece a dos consideraciones; por un laxlo, 10s
anAlisis dinkmicas se prestan mas a error que 10s estgticos y para ello
e s hecesarlo cierta protecci6n en caso de error importante del lado de
la inseguridad, y por el otro, la mayor parte de lo que se sabe sobre el
desempefio de las estructuras sujetas a temblor tiene un caracter
empirico basado en lo observado en estructuras analizadas con e l metodo
est8t ico.
3.4 .5 .4 Efectos espcciales
L a s disposiciones que se re f ie ren a los momentos torsionantes, efectos
de segundo orden, efectos combinados de 10s movimientos del terreno y e l
comportmiento as idtr ico obedecen a las mismas consideraciones
establecidas en relaci6n con el analisis est8tico.
Por lo que se refierc a 10s mornentos de volteo calculados d lnh lcamente ,
si Bstos se determinan incorrectamente a partir de las fuerzas cortantes
de disefio en lugar de una combinacihn de mornentos modales, procederia en
teoria la reduccibn establecida para 10s m o ~ n t o s de vol teo calculados
esthticamente. Sin embargo, cuando el analisis modal se apllca en forma
rigurosa no se requiere de tal reduccibn puesto que se calculan
directamente 10s mornentos de volteo rnhximos asociados con una
probabi 1 idad de excedencia.
Existe todavia ma raz6n para reducir e l momento dc volteo calculado
dinhicamente: el volteo de la cirnentacibn puede ocasionar que sus
bordes se levanten del suelo durante cortas intervalos de tiempo. lo que
se traduce en dismlnuciones de las solici taciones sismicas. En
consecuencia, se puede permitir reduccibn de l momenlo de volteo
3.4.6 Revfsi6n de Estados L i m i t t
Es evidente la necesfdad de verificar que no se alcance ninguno de 10s
estados limite de servicio estipulados en las recornendaciones. Cabe
destacar que la holgura especiflcada en el estado limite par rotura de
vidrios se expresa en tkrminos de la deformacibn del entrepiso que se
trata causda exclusivamente por cortante en ese entrepiso. No es
necesario incluir el giro del entrepiso en cuesti6n debido a1
acortamiento o alargamiento de columnas, nl a la rotacidn de la base por
interacc 16n suelo-cstructura.
El coeficiente de aceleracibn del terreno a con que debe calcularse la 0
fuerza de inercia horizontal concerniente a1 estado limita de falla de
la cimentacidn, e s el que corresponde a1 diseAo de estructwas
rigidamente ligadas a1 terreno.
3 . 5 E S T R U C W TIP0 2 : PENDULOS I W E R T I W S Y APENDICES
3.5.1 Pindulos Invertidos
En p&ndulos invertidos es evidente que ademas de la fuerza de inercia
horizontal que act6a en la masa superior se presentan fuerzas de inercia
verticales debidas a la aceleracibn angular de dicha masa, las cuales
inducen un momento flexionante adfcional en el elemento resistente, que
debe tomarse en cuenta.
E l rnbtodo propuesto para considerar las fuerzas verticales s i n necesfdad
de acudir a un anA2isis dinAmico consiste en aplicar la fuerza
hor izon ta l , valuar el desplazamiento horizontal y la rotacibn, y con
B s t a y el radio de giro de la mssa determinar el desplazamiento
vertical. Entonces, la fuerza vertical se toma igual a la horizontal
multiplicada por la relacibn entre 10s desplazamientos vertical y
horizontal, la cual a1 multiplicarla pur el radio de giro de la masa y
por un factor igual a 1.5, que cubre en general 10s efectos de
amplificacibn d i n h i c a , se llega a la expresibn para el mornento
equivalente que se presenta en las recomendaciones.
E l criterio de proporcionalidad supuesto entre las aceleraciones
horizontal y vertical y 10s correspondientes desplazamientos cs una
aproximacibn que seria rigurosa si la respuesta d i d m i c a se debiera a la
participacibn de un solo modo natural de vibrar y si la configuraci6n
obtenida ante la carga lateral coincidiera con la forma de dicho modo.
El efecto d e l componente del movimiento de l terreno normal a la
direccibn de analisis se considera mediante un factor de superpasicibn
que para estructuras de edificios es fgual a 0.3 y para phdulos
invertidos se elevd a 0.5. Esta diferencia proviene de que un p4ndula
invertido sometido a vibracibn libre en una direccibn dada tiende
posteriormente a oscflar con fuerte componente perpendicular a dicha
direccibn, aunque sea infinitesimal su grado de asimetria. Por esta
razbn, tal efecto adquiere mayor importancia en pCndulos invertidos que
en estructuras de edificios.
E l analisis de la respuesta de 10s ap5ndfces es importante tanto para su
propio diseiio como por la influencia que puedan tener sobre la respueska
de la estructura en conjunto. Usualmente, para la determinaci6n de
fuerzas sismicas sobre apbndices se fijan coeficlentes rnuy superlores a
10s correspondientes a1 resto de la estructura, debido a que
frecuentemente ocurren fuertes amplificaciones d i n h i c a s en estos
el ementos.
El criterio propuesto en las recomendaciones introduce sfkplificaciones
importantes a f i n de eliminar la necesidad de acudir a mCtodos de
analisis de interacci6n entre el ap5ndlce y la estructwa. Para ello, la
fuerza sismica de disefio del ap8ndice se toma como s l fuera la que se
deberia considerar para valuar su influencia sobre el conjunto, pero
modificada para tener en cuenta 10s efectos de interacci6n
apbndice-estructura,
En las fuerzas sismicas de disefio de ap5ndices se incluye e l factor de
amplificaci6n dinh ica P+c /ad], que resulta igual a la unidad para n
elementos que se desplamtan directamente sobre el terreno y tiende a
c /a a medida que la altura de la estructura principal crece. Este n 0
factor no abarca las Wirnas amplificaciones que pueden presentarse e n
las situaciones m8s desfavorables, aunque si cubre la gran mayoria de
10s casos de inter& prhctico. La posible deficiencia en amplificacibn
se puede justificar con base en que la falla de 1 0 s apCndices es siernpre
mucho menos grave que la de la estructura misma en que se apoyan.
La interaccibn d i n h i c a suelo-estructura consiste en un conjunto de
efectos cinemhticos e inerciales producidos en la estructura y el suelo
como resultado de la flexibilidad de &ste ante solicitaciones dfnlunicas.
La interacci6n modifica esencialrnente 10s parfrmetros din&nlcos de la
estructura asi como las cwacteristicas del movimiento del terreno en la
vecindad de la cimentacibn.
E l fendmeno de interaccibn suelo-estructura se puede descompner en una
parte inercial y otra cinedtica. El alargamiento del periodo
fundmenial de vibracibn, el awnento en amortiguamiento y la reduccibn
en ductilfdad de la estructura respecto a la supuesta con apop
indeformable son product0 de la interaccibn inercial, debido
fundamentalmente a la inercia y elasticidad del sistema
suelo-estructura. Por su parte, la interaccf dn c i n e d t fca reduce e l
movimiento de la cimentaci6n e induce tors1611 y cabeceo en ella por su
efecto promediador asi corn filtra 10s componentes de alta frecuencia de
la excitacl&n, debido esencialmente a la rigidez y geometria de la
cimentaci6n.
Para la mayoria de las estructuras resulta conservador efectuar sblo el
anhllsis de interaccibn inerctal, siempre y cuando 10s efectos de
amplificaci6a de s i t i o Sean considerados a1 determinar el movimiento
sismico en la superficie del terrsno, el cual se aslgna como la
exci taci6n de d i s t i i o en la vecindad de la cimentacibn. En general, esta
exci taci6n resulta ser r n h desfavorable que el movimiento efectivo qus
se obt iene de un anal isis de interaccibn cinemhtica.
El periodo fundamental de un sisterna sue lo-es t ruc twa siernpre se
incrementa porque el conjunto tiene una flexibilidad mayor que la de la
estructura desplantada sobre suelo indeformable. El amortiguamiento del
sistema generalmente se incrementa porque exis te una disipaci6n
adicional de energia producto de 10s amortlguamientos material
(comportamiento h i s t e r b t i c o ) y geometrico (radiacibn de ondasl del
suelo. Sin embargo, como la interaccibn causa una pCrdida del
amortlguarniento cstructural, es posible que se presente una reduccl6n
del amortiguamiento d e l sistema cuando la disipacibn adicional de
energia por el suelo no compense tal pCrdida. Por 6lt imo, se est ima que
la ductilidad del sistema se reduce, s e g h se infiere del comportamiento
de ma estructura de un grado de 1ibertad con comportamiento
elastopldstico ( r e f . 60) cuya ductilidad es funcibn decreciente del
alargamiento del periodo por interaccibn.
Estas modificaciones por interaccibn del periodo fundamental, el
amortiguamiento y la ductilldad pueden dar lugar a respuestas
estructurales mayores o menores, dependiendo de la posici6n de 10s
periodos resonantes del espectro de respuesta y 10s niveles de
amortiguamiento y ductf lidad. En este manual se consideran 10s efectos
de interaccibn solamente en el periodo fundamental y el amortiguamiento.
A pssar de que se introducen errores del lado ds la Inseguridad, los
efectos de inter~ccibn en la ductilldad suelen despreciarse puesto que
no se conocen con certidumbm las implicaciones que tienen en la
respuesta es t ruc tura l .
3.6.2 Sistem Equivalente
En el sfstema equivalente considerado para el d l i s i s de la intcraccidn
entre el suelo y la estructura, en el modo fundamental, se toman en
cuenta s61o 10s efectos de la lnteraccibn inertial. En la ref. 17 se
presenta un procedimiento de superposicibn para el adl i s i s completo de
interaccibn suelo-estructura, teniendo en cuenta expl icitamente los
efectos de la interaccibn cinemAtica.
- xo Fig. 6 .1 Sistema suelo-estructura equivalente
Si el suelo se sustituye por un conjunto de resortes y amortiguadores
equivalentas que expresen su rigidez y amortiguamiento, respectivmnte,
el sfstema equivalente por analizar queda representado como se muestra
en la fig. 6.1. Este sistema no tiene modos naturales cl&sicos de
vibracibn par el t i p o de amortlguamiento que lo caracteriza. Par es ta
razbn, en rlgor no es posible realizar el analisis modal. Aunque se
puede aplicar el mtilisis paso a paso, teniendo en cuenta explicitamente
el comportaraiento no lineal y el amortiguamiento de la estructura, asi
como 10s amortiguamientos material y geom4trico del suelo, tal sistema
se analizarii mediate el &todo de la respuesta cornpleja en la
frecuenci a.
El sistema equivalente tiene de tres grados de libertad que son: %e*
1 a
deformaci6n de la estructura, Xc'
el desplazamiento de la base de la
de la cimentacibn. S e g h esto, el desplazamiento total de la estructura
= x +x +[H +D)# +x . Para obtener las ecuaciones de movimiento del es xt o c e c e
sistem equivalente se deben establecer fos e q u i l i b r i o s d i n b i c o s de la
masa de l a estructura en traslacibn y la masa de la cimentacibn en
traslacihn y rotacibn. Formulando estos equilibrios d i n h i c o s y
ordenando t&rminos, se encuentra que matricialmente las ecuaciones de
movimiento mencionadas tienen la siguiente forma:
donde M , Ka, Ct y H son la masa, Ia rigidez, el amortiguamiento y la e e
altura de la estructura, respectivamente, que representan 10s p a r h e t r o s
modales de la e s t ruc tu r a real vibrando en s u modo fundamental; M es la
masa de la cimentacibn, J el momento de lnercfa de dicha masa con C
respecto a1 eje de rotacibn de la base del cimiento y D la profundidad
de desplante de la cimentacidn. Ademds, K y C son la rigidez y el h h
amortiguamiento del sue lo , respectivamente, en el modo de traslacibn de
la cimentacibn, KT y Cp la rigidez y el amortigumfento del suelo,
respectivamente, en el modo de rotac idndc la cimentacidn y KL = R y rh
Chr = C la rigidez y el amortiguamiento del s u e l o acoplados. rh
respect ivamente.
La ecuacibn matricial de equilibria d i m i c o en el dominfo del tiempo
tambien se puede escribfr en forma candensada como
donde x9 es el vector de coordenadas generalizadas del sistema
equivalente, M un vector de carga y kl , C y K son respectivamente las 0 8 a a
matrices dc masa, amortiguamiento y rigidez de dicho sistema.
Si se considera que el movirniento de campo libre es armbnico, I W t xo( t ) = x e , en el estado estacionario la respuesta del sistema
0 1 W t equivalente se exprssa co rn x [ t l = X e , xc(t) =xCeiut
e e Y
# t = e m A s , despreciando la masa de la cimentaci6n y el mnento
de inercia de dicha masa, asi como el acoplamiento entre la traslacibn y
rotacibn de la cimentacibn, se t i e m que la ec. 6.1 se reduce a
2 Dividiendo e l primera y segundo renglones de esta ecuacibn en t re w Me y
e l tercero entre u2* +D] , se 1 lega a e a
en donde <' = [w/w ] l; . En esta ecuacibn, w es la f recuencia natural de e e e e
vibracibn de la estructura supuesta con base rigida y w h y ur son las
frecuencias naturales de vibracibn que tendria la estructura si fuera
infinitarnente rigida y su base sblo pudiera trasladarse o girar,
respectivamente; dichas frecuencias e s t h dadas p r las siguientes
expresi ones:
Adeds, Ce es el mrtiguamiento viscose de la estructura supuesta con
base indeformable y 5 , y Cp son 10s anortiguamienios viscosos del suelo
en el modo de traslacibn y rotaci6n de la cimentaci&n, respectivamente;
dichos amortiguamient,~~ e s t h dados por las siguientes expresiones:
Resolviendo el sistema de ecuaciones algebraicas dado por la ec. 6.4, se
encuentra que la deformacibn de la estructura se puede expresar corn
La frecuencia y el amortfguamiento efectivos de la astructura
interactuando con el suelo se pueden obtener igualando las partes real e
irnaginaria de la seudoaceleraci6n en resonancia del sfstema equivalente
con las correspondientes de un oscilador de reernplazo cuyos frecuencia
natural y amortiguamiento son fguales a la frecuencia y el
amortiguamiento efectivos.
La seudoaceleraci6n del oscflador de reenplazo, sujeto a1 mismo
movlmlento dcl terreno x del sistema equivalente, est i dada por la 0
expresibn
S e g h la ec. 6.11, si se desprecian 10s tkrminos de amortiguamiento de
segundo orden, la seudoaceleracibn del sfstena equivalente se reduce a
M
Para la condfcibn de resonancia, w = o la igualacidn de la9 partes e'
reales de las ecs. 6.12 y 6.13 conduce a que la frecuencia efectiva dt
la estructura interactuando con el suelo sea
En tanto que la igualaci6n de las partes imaginarias de las mencionadas
ecuaciones para la condicidn de resonancla conduce a que el
amortiguamiento efectivo de la estructura interactuando con el suelo sea
Los amortiguamientos del suelo para 10s distintos modos de vibracibn de
la cimentacibn son m k elevados que el amortiguamiento de la estructura,
en especial el amortiguamiento en traslac i6n. En consecuenc ia, el
despreciar los terminos de amortiguamienta de segundo orden introduce
errores f undamentalmente en el amort iguamiento ef ect ivo, 10s cuales son
inaceptables cuando la rlgidez relativa del suelo y la estructura,
definlda por la relacibn 6 T /H , es menor que 5. Por esta razbn, y con a e e
base en analisis paramCtricos, se propone que para f i n e s de diseiio el
arnortiguamiento efectivo sea
Esta fbrmula es adecuada para rigideces relativas de1 suelo y la
estructura mayores que 2, lo que cubre la mayor parte de condiciones de
inter65 prkct ico.
3.6 .2 .2 Solucidn rigurosa
Si se considera que el movimlento de campo libre es armbnico,
t 1 = x an el estado estacionario la respuasta del sistema 1Wt
equivalente se expresa como x ( t 1 = X e . En consecuencia, la ec. 6.2 n S
se reduce a
La forma A s conveniente de obtener simult&nemente el periodo y
amortiguamiento efectivos de la estructura interacturndo COT^ el suelo
consista an resolver directamente la ec . 6.17, a fin de calcular
espectros de respuesta en frecuencla como el que se muestra en la
f ig. 6 . 2 , 10s cuales tienen como abscisas el perlodo de excitacibn
normalizado con respecto a1 periodo ds la estructura supuesta con base
rigida, Tfl , y como ordenadas la seudoaceleracibn de la estructura e
intaractuando con el suelo normalizada con respecto a la aceleracibn del
t err t?~ , $X %. e e
Fig. 6.2 Espectros de respuesta del sistema equivalente con y sin interaccibn
Los espectros de respuesta asi obtenidos son realmente las funciones de
trasferencia del sistema equivalente, definfdas pot- la aceleracibn t o t a l
de la estructura con base flexible entre la aceleracidn del terreno. Las
frecuencias y amplificaciones resonantes de estas funciones de
trasferencia estAn asociadas con el period0 y amortiguamiento efectivos,
respectivaments, de la estructura interactuando con el suelo.
El perlodo y amorkiguarniento efectivos pueden interpretarse como 10s
parhetros d i n h i c o s de un oscilador de reemplazo cuyo cortante basal
resonante es igual a1 que se desarrolla en la estructura de l sistema
equivalente, para la misma excitacibn gsmbnica estacionaria de la base.
E s t e razonamiento conduce a igualar las seudoaceleraciones m h c i m a s y las
frecuencias naturales asociadas del sistema y el oscilador.
Sea 2 la deformaclbn del oscilador de reernplazo. Entonces, el cortante
basal de dicho oscilador sera
donde a = M G~ es la rigidez del oscilador de reernplazo. El cortante e IS e
basal de la estructura del sistema equivalente es
2 V = K X = M x e e e e e e
En estas ecuacioncs, 2 represents la seudoaceleracibn del osci lador
rnlentras que la seudoaceleraci6n d e l sistema. Igualando ambos e e
cortantes basales o seudoaceleracfones, para la condici6n de resonancia ...
w = w , se abtiene que la deformacibn de la estructura d e l sistema e
equivalente, en tkrminos de la deformacibn del oscilador de reemplazo,
es igual a
en donde px y fimax son X y R , respect ivamente, pero evaluadas en e e e -
w = w . Esta ecuaci6n establece la relacibn que existe entre las e
deformaciones mAximas de las estructuras real y equivalente.
Por otro lado, s e g h la ec. 6.12 la magnltud del valor resonante de la
seudoaceleracidn del oscilador de reemplazo vale
Tgualmdo esta magnitud con la de la seudoaceleraclbn correspondiente a1
pico resonante del espectro de respuesta del sistema equivalente, el
amortiguamiento efectivo se determina como
Mientras que el periodo efectivo simplemente es igual a1 period0 de
excitacibn correspandiente a la posicidn d e l pic0 resonante d e l espectro
de respues ta.
Con este enfoque, 10s espectros de respuesta en frecuencia para el
sistema equivalente y el oscilador de,reemplazo concuerdan en un amplio
rango de frecuencias de excitacidn en ambos lados del periodo de
resonancia. Esto sugiere que para movimi ento s i srni co las respuestas
mAximas del sistema y el oscilador s e r h parecidas, ya que la excitacldn
transitorla se puede tratar como una cokbinacf6n lineal de movimientos
estacionarios con diferentes periodos y amplitudes, y porque 10s
componentes de excitaci6n con periodo sernejante a1 resonante son 10s que
producen la mayor respuesta.
La interaccibn jnercial depends de numerosos parametros tanto del suelo
como de la estructura. Para flnes de aplicacidn pr&ctica es convenlente
identificar 10s parhetros adimensionales que Sean caracteristicos de
10s sistemas suelo-estructura, asi como conocer la importancia y 10s
rangos de varlacibn de cada uno de el 10s. Sobre tales parhetros cabe
cornentar lo siguiente:
1. Relacibn de masas de 'la cimentacibn y la estructura, def lnida coma
la cual generalmente varia entre 0.1 y 0.3. Este parhnetro
prktfcamente no influye en la respuesta de slstemas
suelo-astructura, de suerte que a1 despreciarlo se introducen
errores insignificantes Iref. 7 8 ) .
2. Relacidn de momentos de Inercia de masa de la cimentacibn y la
estructura, definida por
cuyos valoras son en general menores que 0.1. Vale el m i s m o
comentario de la relacI6n de masas de Ia cfrnentacibn y la
estructura.
3 . Densidad relativa de la estructura y el suelo, deftnlda corn
la cual generalmente varia entre 0.1 y 0.2. La variacibn de este
p a r h t r o tiene poca influencia en la respuesta de sistemas
suelo-estructura Iref. 72).
4. Coeficientes de arnartiguamiento del suelo y la estrustura, Ts: y Te. La i n f l u e n c i a del amort1guamient.o en la respuesta de sistemas
suelo-estructura es determi nante. Aunque su rango de variacibn esta
comprendido gruesamente entre el 2 y 10 par ciento, tanto para el
suelo corn0 para Ia estructura, frecuenternente se utiliza un valor
tipico de 5 por ciento.
5 . Relacidn de Poisson de1 suelo, v . La respuesta de sistemas 8
suelo-estructura depende significativamente de este p a r a e t r o . Los
valores tipicos que comhmente se empIean son 113 para suelns
granulares y 0.45 para suelos pl&sticos.
6. Profundidad ralativa del dapbsito de suelo, dada por
Los efectos de sitio en la interaccibn inerclal son parcialmente
funcl6n de e s t e parkmetro, cuyo rango de variaci6n se encuentra
comprendido normalmente en t r e 2 y 10.
7 . Profundidad de desplante relativa de la clmentacibn, dada por
E l alargamlento del perlodo y el aumento del amortiguamiento de
estructuras con base flexible son funcibn decreciente de este
parmt ro, cuyo rango de varf aci6n se sncuentra comprendido
normalmente entre 0 y 1/2.
8 . ReIaci6n de esbeltez de la estructura, definida como
la cual generalmente varia entre 1 y 5 ; su influencia en la
respuesta de sistsrnas suelo-estructura cs fundamental. El periado
efectivo es funcibn crecfente de este p a r h e t r o , rnientras que el
amort iguamiento ef ect i v o es funcldn decrec'iente.
9. Rigidez relativa de la estructura y el suelo, definfda corn0
la cual generalmente varia e n t r e 0 y 2; su influencia en la
respuesta de sistemas suelo-estructura es tal que con ella se wide
la importancia de la interaccidn inertial.
Fig. 6.3 Periodos efectivos calculados rigurosa { j y aproxixnadarnerl te (---I
En las figs. 6.3 y 6 . 4 se muestran variaciones del perlodo y
amort iguamiento ef ec t ivos, respect ivamente, calculados con las tecnicas
rigurosa (linea continua) y aproximada (linea discontinua), para
sistemas suelo-estructura cuyos parhrnetros caracteristicos son: = 0.2,
j = O . O S , p = O . I S , < = C e = 0 . 0 5 , v =0.45, k = 5 , i = 0 . 2 5 y g = l s S
y 5 , Con base en resultados sirnilares se concluyb que las aproximaciones
C. XI.
para el periodo y amortfguamiento efectivos son adecuadas para aquellos
sistemas suelo-estructura en donde la rigidez relativa de la estructura
respecto a1 suelo cumpla con la condicibn 0 < 4H I@ T < 2; asirnismo, se e s e
encontrd que 10s efectos de la interaccidn inercial resultan ser
despreciables siempre y cuando 4H / B T < 0.2. e s t
Fig. 6.4 Arnortiguamientos efectivos calculados rigui-usa (-1 y aproxirnadamente (---I
Para fines de aplicacibn pr&tfca se puede recurrfr a la ref. 19, donde
se reporta un campendlo de periodos y amortiguamientos efectivos de
sistemas suelo-estructura tipicos.
Por otra pwte , los efectos de la interaccidn cinembtica se pueden
reconocer irnplfcitamente no permitiendo que el amortiguarafento efectivo
calculado sea menor que el mortiguamianto astructural original, con lo
cual se estima que se logra el mismo efecto neto, Por esta razdn, se
juzg6 conveniente imponer la condicibn V/V 5 1, la cual se cumple
mediante la restriccibn b <*. Aslmismo, debido a posibles errores de u
c~lcula o lnterpretacidn tamblen se considerb pertinent@ limitar 1a.s
reducciones por interaccidn estableciendo la condicibn q/V z 0 . 8 , la
cuaZ slmplemente parece ratonable.
Las rigideces d i n h i e a s o funclones de impedancia de un sistema
suelo-cirnentacibn se definen como la relacihn en estado estacionario
entre la fuerza [momento} excitadora y el desplazaraiento trotacibn)
resultante en la direccibn de la fuerza, para una cimentacibn rigida
carente de masa y excitada arm6nicamente.
Los significados matemBtico y fisico de las rigideces d i d m i c a s se
pueden ilustrar ernpleando una analogia con un sfstema discreto de un
grado de llbertad. Para esto, supbngase la ecuacibn de rnovirniento de un
oscilador elemental, esto es:
donde M, C y K son respectivamente la masa, el amortiguamiento y la
rigidez del oscilador, p es la fuerza excitadora y x el desplazamiento. IWt
Para una excitacibn armbnica p ( t ) = Pe se tiene en el estado i W t
estacionario una respuesta tarnbien arm6nica x ( t ) = Xe . En estas
condiciones, la ec. 6.30 se reduce a
For deflnicibn, la rigidez d i n a i c a del oscilador es la relacibn en
estado estacionario entre la fuerza excitadora y e 1 desplazamiento
resultante, es decir:
E s t a expresibn muestra que la rigidez di-ica del oscilador es una
funci6n compleja depndiente de la frecuencia de excltacibn. La parte
real expresa la rigidez e ine~cia d e l sistema y la parte imaginaria la
energia disipada a traves dc su amortlguamiento.
La funcibn de impedancia del oscilador se acostumbra presentar en
tkrminos de la rlgfdez sstatica y 10s coeficlentes de impedancia
dependientes de la frecuencia, de la siguiente m a n e r a
en donde k = 1-[u/w l2 y c = 25 l o , siendo o la frecucncia natural y e e e
el amortiguamiento del oscilador. L o s par&metros k y c se conocen e
como coeflcientes de,rigidez y amortiguamiento, respectivamente. Para el
oscilador, k decrece con la frecuencla y se hace nula para la frecuencia
natural, en tanto que c permanece constante. La ec. 6.33 Implica que la
rigidez d i n h i c a se puede expresar como e l producto de la rigidez
estLtica K por m factor dimkmico complcjo ( k + i w ) que considera las
caracteristicas de lnercia y amortiguamiento del sistema; para la
frecuencia cero el factor d i n h i c o se reduce a la unidad real y por
tanto la rigidez d i n h i c a coincide con la estPtica.
Con base en la analogla con el sistema dfscreto de un grado de libertad,
la rigidez d f n a i c a de un sistema continuo suelo-cimentacibn, como el
que se rnuestra en la fig. 6.5, se puede expresar mediante una funcibn
compleja dependiente de la frecuencia de excitaci611, de la forma
en que rn indica el modo de vibracibn de la cimentacibn; KO es la rigidez m
estAtica, k y cm son 10s coeficientes de impedancia y < cs el m 8
amo,rtiguamiento efectivo del sitio. El factor de normalizacibn [1+i2<) s
i n t e n t a aislar el efecto del mortiguamientcl material en 10s
coeficlentes de rigidez y amortigumfento, s e g b e l principio de
correspondencia (ref. 33).
Fig. 6.5 Sistema suelo-cimentaci6n
Los modos de vibracibn de inter& son la traslacibn horizontal y
rotaci6n de la base de la cirnentacibn. En consecuencia, sa deben def inir
impedmcias lineales a partir de las fuerzas y 10s desplazmientos a h
lo largo de 10s ejes principales de la base, asi como irnpedancias
rotacionales R a partir de 10s momentos y las rotacfones alrededor de
10s mismos ejes. Adem&, corm las fuerzas horizontales a lo largo de 10s
e jes principal es de 1 a hase producen tanto desplazami entos como
rotaciones, se deben definfr impedancias acopladas las cuales son hr '
originadas fundamentalmente por el enterramiento de la cimentacidn. Este
acoplamiento entre la traslacidn y rotacibn es despreciable para
cimentaciones desplantadas sobre la superficie, y a m para cimentaciones
poco prof undas se puede ignorar.
Si Km representa el resorte y Cmel amortiguador equivalentes del suelo,
como se ilustra en la fig. 6 . 6 , la funci6n de impedancia del sistema
suelo-cirnentaci6n se define alternativamente mediantt la expresibn
comple ja
Por tanto, el resorte y amortiguador se relacionan con 10s coeficientes
de impedancia a travCs de las expresiones
en donde el amortiguamiento material del suelo interviene t a n t o en el
amortiguador como. en el. resorte.
Fig. 6.6 Resortes y amortiguadores equivalentes del suelo
La pwte real de la funci6n de impedancia, K , representa el resorte m *
equivalente que expresa tanto la rigidez como la fnercia del suelo; la
dependencia de la frecuencia se debe solamente a la inf luencia que ksta
tiene en la inercia, ya que la rigidez del ,suelo es esencialmente
independiente de la frecuencia. En tanto que la parte imaginaria, Cm, representa el amortiguador equivalente que expresa 10s amortiguamientos
material y geometric0 del suelo; el primer0 es pr&cticamente
independiente de la frecuencia y se debe a comportamiento histeretico,
mientras que el seguhdo es dependiente de la frecuencia y se debe a
comportamiento viscoso product0 de la irradiaci6n de ondas.
3.6.4 Sistem Completa
C. I 1
Para tener en cuenta 10s efectos de la interaccibn inercial en 10s aodos
superiores de vlbracibn es necesario analizar el sistema
suelo-astructura cornpleto (ref. 173, tal como se muestra en la fig. 6.7
donde la estructura con N grados de libertad e s t A apyada sobre 10s
resortes y amort iguadores equivalentes del suelo. Por las
caracteristicas de su amortiguamiento, dicho sistema no posee modos
naturales cl&sicos de vlbracibn, sino modos no clAsicos; es decir, sus
modos naturales de vibracibn no necesariamente existen en el dominio
real, s i n o en el complejo. Par ello, y porque 10s resortes y
amortiguadores de apoyo dependen de la frecuencia de excitacibn, la
solucibn se obtendrb en el dominio de la frecuencia mediante la sintesis
de Fourier.
Fig. 6.7 Sistema suelo-estructura cornpleto
Los grados de libertad del sistema suelo-estructura son: xe, el vector
de desplazamientos de la estructura relatives a su b e . Xc*
el
desplazamiento de la base de la cfnentaci6n relativo a1 rnovinieato xo de
campo libre y #=, la rotaclbn de la cimentacibn. Asi, el vector de
desplazamientos totales de la estructura es xt = [ X ~ + X ~ ] J + # ~ ~ + X ~ , siendo T
J un vector de orden N formado por mas y H = {hl+D,h2+D ,..., H l i + a . Las ecuaciones de equilibrio d i ~ l c o del sistema suelo-estructura%e pueden
formular a partir del equilibria de fuerzas en la estructura y del
equilfbrfo dc fuerzas y monentos en la cimentacidn, esto es:
donde bI , C y K son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez, e t t
respectiramente, de la estructura supuesta con base rigida. AdemBs,
V = J={c; +K x 1 es el cortante en la base de la estructura y erne e e
H = H'{C x +K r } el momento de volteo en la base de la cimentaci6n. Si 0 6 * a
el cortante y momento de volteo basales se sxpresan en tkrminos de la
ec. 6.38 y sustituyen en las ecs. 6.39 y 6.40, respectivamente, se
obtiene la ecuaci6n matricial de movimiento
T T d~nde x = {x , x c , es el vector de coordenadas general izadas del B e
sistema cuyo orden es N+2. Adem*, H - es un vector de carga definida por 0
mientras que M , C y K son respectivamente las matrices de masa, 8 6 B
amortiguamfento y rigidez del sistema, estructuradas de las siguientes
f ormas:
Si se supone que la excltacidn es arnbnica, co( t ) = xoeiOL, en el estado iwt
estacionario la respuesta tambikn es arrn6nica, x ( t J = X e , lo que S S
imp1 ica que la ec. 6.41 se reduzca a
la cual represents un sistema complejo de ecuacfones algebraicas que se
puede resolver con procedimientos esthdar de eliminacibn gaussiana.
En el dominio de la frecuencia, la respuesta del sistema
suelo-sstructura se puede obtcner usando la trasformada inversa de
Fourier (ref. 271, dada por la expresibn
donde r ( t l es la respuesta original en el t iernpo y x * ( w ) la respuesta 8 s
trasformada en la frecueneia, que se define como
en donde ;*I@) es la trasformada dlrecta de Fourier (ref. 27) de la 0
excitacibn, dada por la expresi6n
represents el vector de funciones de trasferencia del sistema, el cual
se calcula a1 resolver la ec. 6.46 para las frecuencias de inter&.
L a s ecs. 6.47-6.49 corresponden a lo que se conace como la sintesis de
Fourier. Para implemantar en la pr&ctica este metodo es necesario
formularlo ndricamente. Asi, para calcular las integrales en su forma
discreta se supone que la excitacibn es peribdica de periodo T. Con
objeto de minimizar 10s errores en el caso de excitaciones no
peribdicas, el periodo considerado se debe extender m h all& de la
duracibn de la excitaci6n mediante la inclusi6n de un intervalo
significante de ceros. La selecci6n de tal periodo permite definir el
incremento en la frecuencia
Y si el periodo seleccionado se divide en M intervalos iguales, se
define el incremento en el tiempo
En terminos de sus incrementos, la fmcuencia y el tiempo toman las
siguientes f o r m discretas:
tk - k A t ; k = 0 , 1 , . . * , M - 1
C. I1
Empleando estas expresiones en las ecs. 6.47 y 6.49. se encmntra que el
par de trasformadas de Fourier discretas por calcular son:
en dande W = e 21Ci/H . La forma m b eficiente de calcular estas integrales
discretas se tiene apllcando un algoritmo de la trasforruada rAbida de
Fourier, el cual se puede encontrar en la ref. 51 implementado m e d i a t e
un program dc cbmputo.
Las fuerzas inducidas en la masa del sue10 por 10s movimientos del
terreno generaran incrementos de esfuerzos y rotaci6n de direcciones
principales de esfuerzos y deformaciones, c u p s efectos pueden llevar en
ocaslones a tener que considerar de manera explici ta la degradaci6n de
las propiedades mechicas del suelo , sobre todo cuanda el a w n t o de la
presi6n lntersticial pueda conducir a1 fen6meno de licuaci6n del suelo.
I3ebe1-A revisarse la poslbi l f dad de que se produzcan impactos sabre el
muro, tal corn guede suceder en apoyos de puentes, cuazldo el
desplazamiento de 10s muros sea del orden de 100 nun [ref. 4).
La cons t rwci6n de un dentellbn en la base del cimiento solamente es
aconsejable cuando se desea Pncrementar el factor de seguridad contra
deslizamiento d e l muro, pues sl por una parte su presencla increments el
factor de seguridad ante deslfzamiento, por la otra, cuando el dentellbn
se localice en la vecindad del rellano, se increraenta la altura de
relleno y adem&, puede orfginar efectos secundarios que reducen la
estabilidad, aun en condiciones estbticas. Por e l l o , conviene colocarlo
a una distancia intermedia entre el centro y el taldn del cimiento,
cuidando que el plano de falla del relleno no lo intarcepte,
Una manera stncilla de dimensionarlo consiste en determinar su posici6n
y peralte, 1 y h respectivamente, con respecto a1 cen t ro del cimiento de
manera que se cumpla h 5 (1 - 8 ) tanC0.8~1, para 1 > B/2.
3.7.2 Eleccidn dsl Tipo de Mlia i sr
Estudios experimentales en centrlfuga y tabla vibratoria han mostrado
que independientemente de la flexibilidad del muro, la cinemkt ica de la
falla en el relleno corresponde aproximadamnte a la formacibn de una
cuKa, donde la deformacibn se localiza en una superf icie de fall& con
kngulo de inclinacibn X .
En realidad, la distrlbuci6n de presibn de tierra sobre el muro no
corresponde a1 caso de cuerpo rigido, To que se hace rn- notorio cuando
aumenta la flexibilidad del muro y el espesor del relleno. Los
resultados muestran que en la corona del muro la aceleracibn es casi
siempre 30X mayor que en la base, lo cual permite proponer como factor
de amplificacibn minim el valor de 1.33.
El ardlisis esthtico de presi6n de tierras con desplazamiento limitado
propuesto en las recomendaciones, podria sobrestimar el empuje y
conducir a muros muy pesados e irreales; por el lo, es recornendable en
esos casos efectuar un analisis dln8mico para calcular la respuesta
cuando 10s desplazmientos del rnuro Sean pequefios.
C. I 1
3.7.3 hvimientos Combfnados del Termno
Frecuentemente, 10s estructuras de retencibn tienen una longitud
considerable y las ondas sisrnicas que se propagan en la direccibn
longitudinal pueden generar fuerzas cortantes y rnomentos flexionantes
importantes que deberh tenerse en euenta para el disefio de la
estructura.
No existe a h un procedimiento simple para considera- 10s efectos del
sismo actuando en la direccibn longitudinal de l muro. S i n embargo. una
manera aproximada de estimarlos consiste en determinar m a longitud
critica L , def inida a part lr de las secciones donde se producen 10s C
momentos flexionantes y 10s cortantes rnhimos.
De esta manera, el disefio de la estructura podrh efectuarse reforzando
adecuadamente la estructura o bien, considerando la posibilidad de
colocar algdn t ip0 ds juntas de construcci611, espaciadas a wna distancia
menor que L f 4. C
Para determinar L se supondrk que el muro sigue 10s desplazamientas C
relativos del suelo sometido a 10s efectos de ondas de corte que se
propagan en la direccibn longitudinal del muro. Se adoptarh una
configuracibn senoidal para 10s desplazamientos horizontales a lo largo
del muro, y su magnltud sera funcfbn de la longitud de onda para el
n-8simo modo de cortante del estrato equivalente, de acuerdo a
4H s
h = n
17-11 (2n - 1)
El objeto de emplear la longitud de onda A en vez de la longitud del n
muro permitIra definlr un valor minima F a L , pues puede suceder que C
mientras 10s momentos flexionantes mhfrnos se presentan con el primer
modo de vibracibn del dep6sit.o de suelo, las fuerzas cortantes m&xlmas
st presenten con el segunda modo de vibracihn.
La deterrninacibn de la rnagnitud del empuje de tierras en sstado ac t ivo o
pasivo empleando las ecs,. 7.1 y 7.2 de las recomendaciones, se realiza
mediante un proceso de tanteos, rnodificando en cada paso el valor de X .
A partir de un valor i n i c i a l grande, se proceder& a disminuir el a u l o
;r hasta asegurar que se ha encontrado el valor a i r n o posible para el
empuje resultante. En general conviene iniciar con x > (45 + $12) + 5'.
Cuando las propledades mechicas del relleno no sean hornog&neas, se
debera considerar un relleno estratificado. Puede apreciarse que para un
relleno estratificado y si, adem*, hay n i v e l freatico, el chlculo del
empuje resulta camplicado, par lo que conviene d i v i d i r el relleno en
secciones con el f i n de tomar en cuenta estos aspectos.
3.7.4.1 Presion activa de tierras
En ocasiones se recomienda utilizar el metodo de Richards-Elms (ref.
531, habiendo sido ya adoptado en guIas de disefio [ref . 4). Dada su
actual popular idad, parece conveniente hacer algunos c o m n t a r i os a1
respecto. El objetivo de este procedimiento es determinar el peso que
debe tener el muro para mantener a1 desplazamiento por traslacidn
hor izonta l del muro i d e r i a r o igual a un valor tolerable, cuando e l
muro es sornet id0 tanto a 10s empujes de tierra corn a las fuerzas de
inercia debidas su propia masa. El peso def init ivo del muro se obtiene
rnultiplicando el peso resultante del anAlisis por un factor de 1 . 5 .
Por una parte, cste procedimiento no incluye la contribucibn de 10s
efectos de rotacihn del muro a1 desplazasliento horizontal de la coroha y
en consecuencia, a la generaci6n de una condici6n activa de presibn de
tierras. Por otra parte, el procedimiento sblo conduce a estimaciones
razonables de la masa d e l muro cuando el desplazamiento admisible para
discfio es 10 suficientemente grande como para garantfzar ampliamente el
desarrollo de la resistencia a1 corte del relleno, en cuyo caso, el
C. I I
El nomento de volteo debido a1 empuje de tierras se calcularh en este
case como
3.7.5 Analisis D i n h i c o
Actualmente, 10s criterios de disefio descritos en manuales y normas sblo
presentan un adl f s i s estktico equlvalente. E l comportamiento dinhico
de estructuras de retenci6n ha sida objeto de estudio desde hace 60
aiios, cuando se propuso el mktodo de Mononobe-Okabe. Sin embargo, a
pesar del tiempo trascurrido, 10s avances y resultados obtenidos por
diversos autores medlante el uso de modelos numCricos o analiticos que
permften explicar y cuantificar 10s efectos de la solicitacibn d i n h i c a
a h no han podido ser incorporados en una metodologia para analisis y
disefio lo suficientemente simple como para p d a r ser implementada en la
prktica profesional .
Por lo que respcta a resultados nuaa4ricas obtenidos mediante e l
espectro de respuesta de Bessel amortiguado para mums de retencihn, y
su comparacibn con 10s espectros de respuesta observados en estructuras
reales, Cstos son prActicamente inexistentes y par ello, a h no puede
concluirse satisfactoriaments sobre 10s factores de reduccibn del
espectro no amortiguado que pudlesen aplicarse en la pdctica cuando
pueda suponerse un amortiguamiento significativo para el relleno.
Las calibraciones numtricas presentadas en la ref, 14 indican que a
diferencia del caso del oscflador simple amortiguado, para la funci6n de
transferencia del problem de muros de retencibn dada por una funcibn de
Bessel amortiguada, las respuestas a i m a s normalizadas decaen conforme
aumenta la fraccidn d e l amortiguamiento crltico en razbn de -1/2
aproxlmadamente [ 2< ] .
En rnuros donde se requfera evaluar con fineza la influencia de todo el
1.3.93
con junto, muro, cimiento, rel lcno y subsuelo estrat if icado, sieinpre se
justificar6 efsctuar un arhlisis d i n h ~ i c o m 8 s complete, para lo cual
puede utilizarse el metodo de elementos f i n i t o s .
A este respecto, existen c6dlgos de elementos finitos bidimensionales
bien conocidos y comrcializados, corn por sjemplo, el program QUAD-4
(ref. 39), desarrollado en la Universidad de California Berkeley, que
incluye la dependencia de G y 5 con el nivel de deformacibn. El
mvimiento de control en la base dsl modelo, consideracia como base
rfgida, puede obtenerse, para cada temblor de disefio, mediante un
proceso de deconvoluci~n del registro de aceleracibn, empleando el
programa SE?AKE (ref. 65). Ambos programas son distribuidos por el
National Information Service for Earthquake Engineering y por el EERC de
la Universidad de California, Berkeley.
3.7.6 Influencia de la Presi6n dsbida a1 Agua
Cuando la prasencia del agua en el relleno sea inevitable, deberA
incrementarse la seguridad multiplicando el coeficiente sismico a1 menos
por un fac tor igual a Y/(;Y - 1); ademds, debera adicionarse in tegrmnte
el empuje hidrost&tico cuando la probabilidad de que exista nivel
fredtico en el relleno durante el sismo sea alta.
DeberA siernpre cuidafse el aspecto del drenaje del relleno, pues !US
efectas debidos a1 agua alrnacenada en el relleno s e r h un feztor
preponderante para la valuacidn de la solicitaci6n. E s t a influem5 .I
puede demostrarse mediante un ejemplo sencillo: considerando solamenhe
condiciones est&ticas, cuando el nivel freatico se encuentra en la
superficie libre del relleno, la presi6n debida a1 agua a una 2 profundidad z sera pw = a tlm , mientras que la debida al suelo sera
3 p = zkIr-11, sienda por lo general k < 1 y r < 2 t/m ; si se toma 3 = 1.8 t/m y k = 0.4, el empuje del suelo represents solamente el 32X
del empuje hidrostAtlco.
Los efectos debldas a1 empuJe de una masa de agua libre solamente
d e b e r h considerarse cuando vayan en el sentido de la inseguridad, corn
podria ser el caso de perdida de confinamiento del muro prirnetral de un
depbsito enterrado, sometido a1 empuje de tierra en una cara y del
fluido en la cara opuesta.
3.7.7 Estabilidad de Taludes
Cuando la estructura de retencibn se encuentre desplantada en la
vecindad o directamente sobre tin talud de tierra, debe revisarse la
estabilidad del talud en condiciones esthticas y sismicas.
El analisis sismico de estabilidad de taludes debe incluir las fuerzas
lnerciales que abran en la masa del suelo del talud. Existen en la
actualidad autores que proponen la incorporaci6n de un mCtodo de t i p
trayectorias de esfuerzos en un mlisis elastodinAmico o
elasto-plAstodinhmico. Cuando el empleo de un modelo refinado no se
justifique, una alternativa simple consiste en realizar un d l i s i s
estktico equivalente, simulando los efectos del sismo mediante fuerzas
de inercia que actl ian en e l centro de gravedad de la masa de suelo,
calculadas mediante un coeficiente sisrnico.
Cumdo sea aceptabla suponer un mecanismo de fa1 la rotational, la masa
de suelo que desliza @star& delimitada p r la superficie del terreno y
por el circulo o espfral logaritmica que representa l a superficie de
falla; es recornendable emplew el mktodo de Spencer, que se describe con
dctalle en la ref. 69.
Cuando el mecanismo de falla se aleje significativamente del caso
anterior, es recomendable adaptar a1 caso sismico el mCtodo de Janbu 0
el de Morgestern y Price, que permiten tratar un problema con rnecanismo
de falla generalizada. Para efectuar la adaptaci6n de esos netodos
bastar& con i n c l u i r la fuerza inercial actuando en el centro de gravedad
de cada seccibn considerada.
Cumdo la funci6n del muro sea corregir la estabilidad del talud, la
determinacibn del empuje sismico sobre el muro an estas condiciones
corresponder& al caso de un relleno f ncl inado, donde el volmen de la
masa de tierra que act~a sobre el muro corresponder6 a la masa del talud
inscrita entre la superficie libre, el muro y 10s planos ds
deslizamiento potenciales.
Las estructuras de tierra armada pueden dimensionarse utilizando 10s
lineamientos aplicables a muros de ratencfbn y taludes. El an&lisls
sismico de estas estructuras considerando un estado mtivo de presi6n de
tierras permitirh deterrninar las fuerzas actuantes sobre el refueno
[ref. 541.
3.7.8 Tablestacas
El emuje sismico de tierras sobre tablestacas que cumplen una funci6n de
soprte permanente puede calcularse de la misma manera w e para 10s
m u m s , p r o en este caso sera necesario adecuar el procedimiento de
an81isfs debida a1 efecto de enterramiento que constituye un factor
fundamental para la estabilidad de la tablestaca. La colocacidn de un
sistema de anclaje constituye siempre un elemento estabilizador que, por
ma parte, puede contribuir a reducir slgnificatIvamente 10s
desplazamientos permanentes de la tablestaca y por la otra, iacide
favorablernente de manera signfficativa sobre la relac1611 beneficio/costo
de la construccibn.
La localizacibn de las anclas y la rigidez axial del anclaJe tienen una
gran relevancia, mientras que la flexlbilidad de la tablestaca,
considerando el interval0 de valores frecuentes en la prktica,
contribuye poco a modificar las respuestas maximas del sistema, es
decfr, la tablestaca tIende a seguir 10s movimlentos del suelo retenido
casi de manera fndependiente de su flsxibilidad. La rfgidez axial del
ancla es un factor importante pues a medida que la rigidez crece, la
fuerza dinhica que obra sobre el ancla aumenta y el desplazarniento
permanente disminuye, y Bste puede llegar a ser casi inapreciable en el
caso de tablestacas firmemente ancladas.
Las anclas pretensadas parecen ser las m8s adecuadas. En efecto, una
rigldez axial importante combinada con un pretensado del ancla del orden
de 0.7 a 1.3 veces el empuje de tierras de disefio, limitan notablemente
10s desplazamientos mkimos de la tablestaca, sobre todo durante la
etapa de construccidn que es cuando generalmente ocurre la porcibn rnk
significativa del desplazamiento permanente. Durante la acci6n del sismo
el ancla solarnente es efectiva para limitar 10s desplazamientos en una
zona relativamente reducida, siernpre y cuando se disponga de una rigidez
axial impartante. La consideraci6n de estos aspectos puede contrlbuir a
racionalizar la distribucibn de las anclas,
El pm-&metro importante para disefio es el cociente k en t r e la rigidez us
axial del ancla k y el mbdulo de corte del suelo, que se calcula de a
acuerdo a
donde E , Aa y La son el m6dulo de Young, el Area transversal y la a
longitud del ancla, respectivamente; s es la separacibn entre anclas y G
el mbdulo de corte del suelo.
A partir de resultados mostrados en la ref. 28, puede establecerse que
para conseguir un disefio bpt imo del anclaje debe considerarse una
rigidez axial del ancla k mayor que 0.08 G. Este valor deben5 a
incrementarse cuando la relacibn entre la longitud de onda
correspandfente a1 segundo modo de corkante del suelo y la altura de la
tablestaca indique que pueden presentarse momentos y f uerzas cortantes
irnportantes. Para ello, deber8 calcularse el cociente f mediante
donde T2 y p son el periodo en el segundo modo de cortante y la
velocidad de propagacibn de ondas de corte efectiva del depbsito de
suelo, incluyendo el estrato de suelo retenido, y H es la altura de la t
tablestaca. Cuando f sea mayor que 10, 10s valores de k calculados as
para condlefdnes est6ticas podrAn conservarse; para valores f entre 6 y
10, d e b e r h tomarse valores mayores para kas que podrian ser del orden
de 0.15 a 0 . 2 5 , o inclusive m&s fmportantes. Para valores de f nenores
que 5 la rigidez axial a considerar en el disefio debera determinarse
mediante un analisis detallado del problema. Cabe mencionar que una
rig idez axial del ancla del orden de k = 0.25 G puede conducir a u
diseiios irreales o antieconbmicos,
E l b u l b de inyeccibn o la placa de empotramiento dsl ancla d e b e r a
alojarse en la rnasa del relleno a una distancia que sea suficiente para
que se desarrolle la tensi6n en el ancla. Generalmente bastark con
localizar el empotramiento del ancla fuera de la cuiia de ernpuje activu
de t ierra que actua sobre el muro.
Para evaluar la seguridad de una tablestaca o de un muro mclado a1
relleno, debera determinarse 10s valores d e l factor de segwidad global
con respecto a dos superficles de deslizamiento potential, una que cruce
las anclas y otra que incluya a m el suelo donde se aloja la zona de
empotramiento de las anclas. Dicho d l i s i s puede efectuarse empleando
un mktodo conventional de arhlsis de taludes, modificado de forma que
permita i n c l u i r 10s efectos de la fuerza de pretensado y la capacidad de
las anclas en tensihn.
3 .8 ESTRUCTWAS TIP0 4: CHTMENEAS, SILOS Y SIMILARES
3 .8 .1 Consideracianes Generales
Para propbsit os de disefio s f smico parecer ia necesario establecer
crfterios de anAlisis para chimeneas y silos diferentes de 10s
establecidos para estruc:turas de edificios. Esto obedece
fundamentalmente a que cl comportmiento de estructuras de edificios sc
asemeja a1 de vigas de cortante, puesto que dominan las deformaciones
por cortante, lo que no sucede con chimeneas y silos cuyo comportamiento
es similar a1 de vigas de Euler-Bernoulli, ya que dominan las
deformaciones por flexibn.
L a s recomendaciones establecidas para estructuras de edificos tienen en
cuenta que en ssas estructuras las deformaciones por cortante y flexion
contribuyen en dlstintas proporciones a la respuesta t o t a l . Por esta
razbn, y atendiendo a1 estado actual del conocimiento, para chimeneas y
C. I I
silos se juzgd convenfente adoptar criterios de disefio sismico que no
difieren radicalmente de 30s correspondientes a estructuras de
ediflcios.
En vista de esta situacibn, buena parte de 10s comentarios para las
estructuras de edificios son extensivos a las chimeneas y silos. E s por
ello que en el presente capitulo solamente se presentarh algunos
comentari os complementaries,
3.8.2 Eleccion del Tipo de k l i a i s
Se recomiendan dos procedimientos de anklisis para chimeneas y silos
somtidos a temblor: uno estatico y el o t ro dihico. El mttodo d i m h i c o
que se propone es el anklisis modal espectral. Intencionalmente no se
sugiere el andllsfs paso a paso por 10s siguientes inconvenientes:
1. El anhlisis paso a paso conduch-4 a disafios seguros siempre y cuando
se disponga de un nhe ra suficiente de registros sismicos fidedignos
que representen las condiciones locales del sitlo donde se
d e s p l a n t b la estructura.
2. El uso de movimientos sismicos que seam representativos, p r o que no
Sean compatibles con el riesgo sismlco esperado del sitio en
cuesti6n, llevar& a respuestas de diseiio inaceptables.
3. La asigmcibn del comportamfanto no lineal de la estructura y la
eleccibn del algoritmo de integraci6n resultan de especial
importancia en el cAlculo de la respuesta.
Por estos inconvenientes, asi como por otras complejidades e
incertidumbres, el empleo del adlisfs paso a paso no se recomienda para
el disefio sismico de chimeneas y silos, salvo cuando se pueda justificar
ampliamente a la luz de estudios de riesgo sismico y compartamiento
estruct ural .
E l crfterio que se especifica para distribuir la fuerza cortante basal a
lo largo de la altwa de la estructura esta inspirado en las normas d e l
ACI (ref. 101, las cuales reconlendan que el 15 par ciento d e l cortante
basal se aplique en el extremo superior de la estructura, a f i n de tener
en cuenta la contribucibn de 10s modos superiores de vibracibn en la
respuesta total. El resto de la fuerza cortante basal se distribuye
verticalmente de acuerdo con lo dispuesto para estructuras de edif icios,
donde el criteria de distribuci6n ds carga lateral es mhs conservador
para vigas de c o r t a n t e que para las de flexibn cuando se tiene que el
periodo fundamental T sobrepasa el pariodo caracteristico T Las leyes 8 b'
de variaci6n en dichn intervalo, tanto de las aceleraciones con la
altura como de las ordenadas espectrales, son tales que se protege a 1 s
estructuras de psriodo largo donde dominan las deformaciones par
flexihn, como es el caso de chimeneas y silos.
Las f6rmulas que se sugieren para estimar el periodo fundamental de la
estructura con base riglda son suf icientemente precisas y gozan de gran
aceptaci6n. M a s uno puede recwrir a expresiones reconocidas en la
literatura que S e a n apropiadas a1 tipo de chimenea o silo que se tenga,
a fin de determinar aproximadamente su periodo fundamental. Para ello.
se recomienda acudir a la ref. 37 cuando se trate de estructuras en
voladizo con secci6n variable.
E l criteria que se estipula para reducfr el momento da volteo en
chimeneas y sllos, debido a que la envolvente de cortantes corresponde a
fuerzas cortantes m k i m a s que no ocurren sfmult&neamente ni con el rnismo
signo, es similar a1 que se recomienda para estructuras de edif i c i o s .
Tal criterio implica una reducci6n lineal que es Wima en la base y
nula en el extremo de la estructura. En v i s t a de que e n chimeneas y
silos la contribuci6n de 10s modos superiores a la respuesta total es
mayor que en estructwas de edificfos, se cstableci6 que la reduccibn
del momento de volteo basal fuera del 25 y no del 20 por ciento como se
especifica para estas hltirnas, can objeto de tener en cuenta el
desfasarniento en la respuesta que se presenta en dichos rnodos.
La raz6n por la que se pueden despreciar los efectos de segundo orden y
el componente vertical d e l movimiento del terreno obedece a que en
chimeneas y silos que no Sean excesivarnente esbeltos tales efectos son
de menor importancia qua en estructuras de edificios. Lo contrario
sucede con el efecto del componente del movimiento del terreno normal a
la direccibn de anAlisis; por ello, e l factor de superposicibn de dicho
efecto se elev6 a 0 . 5 .
3.8.4 Anal isis D i n h i c o
Para la determinacibn de las frecuencias y 10s rnodos naturales de
vibracfbn de la estructura con base rigida se recomienda recurrir a1
mktado iterativu de Stodola-Vianello. Esta tCcnlca es muy fitil cuando se
desean conocer solamente 10s primeros rnodos de vibrar, coma sucede a1
aplicar el anhlisis modal espectral a chimeneas y silos. La formulaci6n
detallada de este metodo se puede encontrar en la ref . 71, asi como un
programa de c6mputo para el calculo de 10s tres primeros valores y
vectores caracteristicos.
Con base en resultados de adlisis de chimeneas, en la ref . 62 se
asegura que la raiz cuadrada de la suma de 10s cuadrados de las
respuestas modales surninistra una aproximaci6n satisfactoria para la
respuesta t o t a l ; en cambio, en la ref. 38 se asegura que tal criterio
conduce con f recuencia a respuestas de disefio que son apreciablemente
menores que las calculadas con el anAlisls paso a paso. Ante este
cuadro, para la determinacibn de las respuestas de disefio en chimeneas y
silos se opt6 por un criterio alternative que represents el punto medio
entre la raiz cuadrada de la suma de 10s cuadrados y la suma de 10s
valores absolutos de las respuestas modales.
La revisi6n por cortante basal est& inspirada en el requisito
correspondiente para estructuras de edif icios donde el cortante basal
calculado dinhicamente se l i m i t a a 0.8 del cafculada est8ticarnente.
Para chimeneas y s i l o s e s t e limite se redujo a 0.75 bkicamente porque
su analisis dinamico se presta menos a error que el de e s t r = u c t u r a s d e
edificios. l o que trae consigo que la protecci6n necesaria en caso de
errar se pueda reduci r.
L a s disposiciones que s e ref ieren a 10s efectos de segundo orden y 10s
componentes de 10s movimientos d e l terreno obedecen a las nismas
consideraciones establecidas en relaci6n con e l anklisis estatico.
3.8.5 Factor de Incremento
El awnento de las ordenadas espectrales, propuesto para tomar en cuenta
que el amortigumiento en chirneneas y silos puede ser rnenor que e n
estructuras de edificios, se lleva a cabo rnediante un factor de
increment0 que esta inspirado en 10s resultados conocidos sobre la
inf'luencia d e l amortiguamiento en la respuesta sismica de estructuras
desplantadas sobre diferentes t i p s de tet-reno.
En vista de que el factor d e increment0 depende d e l periodo y
amortiguamicnto efectfvos, su c&lculo estarA supeditado a la realization
de un ma1 isis de interaccibn suelo-estructura. Solamente cuando la
intcraccihn entre e l suelo y la estructura sea despreciable vaien 10s
valores de < = 1.25 y = 1.45 para estructuras de concreto y acero,
respectivamente. Estos valores se determinaron aplicando la expresibn de
6 para periodo largo, T > T , con k =: 0.4 y qe = 0.03 o < = 0.02 para e a e
estructuras de concreto o acero, respectivarnente.
3.8.6 Interaccidn Suelo-Estructura
Los efectos de la interacclbn entre el suelo y la estructra han s i d o
C. I I
amplimente estudiados para estructuras de ediflcios. En carnbio, para
chimeneas y silos los estudios sobre dichos efectos son escasos, por lo
que 10s resultados que se obtengan del an&lisis d inferaccihn
suelo-estructura deben tomarse con cautela.
Con la finalidad de cubrir casos de chimeneas y silos donde el analisis
de interaccibn suelo-estructura podria llevar a resultados poco
confiables se establecieron dos limitaciones: una da seguridad y otra de
economla, Por seguridad, se juzg6 conveniente limitat- las reducciones
por interaccibn estableciendo la condlci6n E 2 0 . 8 , la cual simplsmente
parece razonabl e. Por economia, se consider6 pert inente imponer las
restricciones z 0.03 o z 0.02 para estructuras de concreto o e e
acero, respectivamente, las cuales corresponden a 10s niveles rnk baJos
de amortiguamiento que se pueden tener en chimeneas y silos.
3.9.1 Consideraci ones Generales
Los tanques y depbsitos ameritan criterios de anhlisis sismico que
difieren de 10s estipulados para estructuras de edificios, puesto que en
adicibn a 10s efectos de inercia es necesario especificar c6mo tomar e n
cuenta 10s efectos dinhmicos del fluido sobre las paredes y el fondo de
rec i pi entes .
En un recipiente cerrado, perfectarnente rigido y completamente lleno
toda la masa del liquido, junto con la d e l recipiente, se mueve como
cuerpo rig ido. Sin embargo, basta con que el recipiente alrnacenc un poco
menos de su capacidad para que las presiones hidrodimlmicas sobre las
paredes y el fondo Sean prk t icamente iguales a las correspandientes al
caso de recipiente con superficie libre. En v i s t a de esta situacibn,
para fines de disefio sera suficiente con estudiar dos condiciones:
C. I1
recipiente completamente lleno y reclpiente con superflcie libre.
Para la condici6n de recfpiente cornpletamente lleno cabe acudir a 10s
procedimientos de anhlisis sismico descritos para estructuras de
edificios. En cmbio , para la condicibn de recipiente con superficie
libre se recomienda un procedimiento de d l i s i s sismico que a pesw de
ser d i d i c o no deja de ser aproximado, pero que s i n embargo conduce a
resultados suficientemente precisos desde e l punto de vista de disefio
estructural. La recomendacibn de tal procedimiento no excluye la
posibilidad de recurrfr a e t o d o s d i h i c o s mhs rigurosos, como e l
d l i s i s modal ordlnario basado en espectros hidrodfnbicos, siernpre y
cuando se consideren adecuadamente 10s efectos de inercia y d i n h i c o s
del liquido.
En lo que se refiere a los efectos de inercia, buena par te de 10s
comentarios para estructuras de edificios son extensivos a tanques y
deMsitos, raz6n por la cual, en el presente capitulo se presentarb
fundarnentalmente comentarios camplementarios en relaci6n con 10s efectos
hidrodinhicos .
For otra parte, en tanques elevados se pueden despreciar los efectos de
segundo orden y el comportamiento de pCndulo invertido. A1 parecer no
existen evidencias tebricas y experimentales que indiquen la importancia
de estos fenbmenos, por lo que se carece de argumentos de peso para
exigir que se consideren en el analisis sismico. En cmbio, cuando par
las caracteristicas de la estructura de soportc se tenga comportamiento
asimktrico, k s t e no se podrd ignorar en el disefio s3smico.
3.8.2 Efectos Hidrodidmicos
La analogia de las masas virtuales adheridas se desprende de la forma de
la soluci6n de la ecuaci6n de equilibria dinAmfco del liquldo, obtenida
a1 suponer que el recipiente es rigldo y el f luido es incompresible as1
como a1 considerar la presencfa de andas superficiales mediante la
C. I1
condicibn de Poisson (ref, 48); 10s pormenores de la solucibn son
sirnilares a 10s que st presentan para el caso da p r e s s . A 1 resolver
este problema se encuen t r a que el liquido se puede reemplazar por un
numero infinito de masas llgadas a1 recipiente mediante resortes
lineales a diferentes alturas, cada una asociada a un mod0 natural de
vibracibn del fluido; adeds, por una masa adicional ligada mediante un
elemento rigido a cierta altura, asociada a1 modo de cuerpo rigido del
rec ipiente.
En funci6n de la participacibn de las masas impulsiva y convectivas a la
respuesta t o t a l , se sabe que 10s efectos hidrodinhicos rnk importantes
son los relacionados con el modo de cuerpo rigido del recipiente y e l
modo fundamental de vibraci6n del liquido; de ahi que sea posible
depreciar la contribucibn de 10s modos superiores de este Qltimo sin que
por ello se cometa error excesivo.
En estas condiciones, cuando un recipiente se somete a excitaci6n
lateral cierta porci6n del liquid0 actlla como si f'uera un cuerpo sblido
de masa M unido rigidamente a las paredes. Si se supone que el 0
recipiente se mueve como cuerpo rigido de modo que las paredes y el
fonda tengan la m i s m a aceleraci6nI esa masa ejerce sobre las paredes una
fuerza lateral impulsiva proporcf onal a la ace leraci6n del recipiente.
Asirnismo, otra parte del l iquido actlla como si fuera un cuerpo s6lido de
masa M unido elksticamente a las paredes. Debido a1 soporte flexible se 1
presenta un fenbmeno de amplificacibn d i n h i c a , por lo que asa masa
ejerce sobre las paredes una fuerza lateral convectiva proportional a la
aceleracibn amplificada que experiments el la .
E l momento flexionante en una seccibn inmediatamente arriba del fondo de
m recipiente provlene solamente de las presiones hidrodinarnicas que
acthan sobre sus paredes. En una secci6n inmediatamente abajo del fondo
el momento de volteo es mayor, puesto que se d e b sumar el par producido
por las presiones hidrodinhicas que obran sobre el fondo. Por esta
razbn, 10s valores de las alturas H y H a las que se colocan las masas 0 1
impulsiva y convectiva, respectivamente, se deben calcular con a = 1.33
C. I 1
y p = 2 para valuar el momento en la cimentacibn del dep6sito a la
estructura de soporte del tanque, o bien con a = O y #? = 1 para valuar
el mmento en la base del recipiente.
En rigor, las distribuciones de presi6n h i d r o d i m i c a tanto en las
paredes como en el fond0 de un recipiente son no lineales. Sin embargo,
para prop6sitos de diseiio se puede suponer que la distribuci6n de
presibn sobre las paredes es lineal equivalente Cref. 311, lo cual
producira en l a secci6n critica la m i s m a fuerza cortante y el mismo
momento de volteo que la dfstribuci6n real. Algunos autores recomiendan
que la variact6n vertical de la preslbn sea praporcional a d?, lo que
implica ciertamente una mayor semejanza con la distribuci6n real pero
violando con ello el momento flexionante en la base del recipiente. Par
otra parte, el suponer que la distrlbucibn de presi6n sobre el fondo
sigue una ley lineal es menos cuestionable que lo supuesto para las
paredes .
3.9.3 Efectos de fnercia
En tanques y depbsitos, la disipacidn de energia debida a la viscosidad
del liquido se puede eqresar como un porcentaje equivalente del
mortiguamiento critico. Tal disipacibn se reduce rkpidamente cuando se
incrementan las dimensiones llneales del recipiente, de suerte que el
nivel de amortiguamiento apenas llega a ser del orden de 1 por ciento
para recipientes de inter& prhctico. Esto implica que el f lu ido disipa
una cantidad insignificante de energia durante su vibracibn.
En vista de lo anterior, para la determinacibn da fuerzas de inercia en
recipientes parecerfa convenfente tratar por separado las disfpaclonss
de energia que ocurren en el liquido y el recipiente. Para ello, el
amortiguamiento del mod0 natural de vibrar asociado predominantemente a1
mado convective se tomaria igual a1 del 1 lquldo. Entonces, la ordenada
espectral correspondiente se aumentaria por un factor de increment0 con
obJeto de tener en cuenta que el amartiguamiento en e l liquid0 es menor
que en el recipiente. Sin embargo, como en terminus de magnitud la
amortiguamiento para el modo impulsivo que para el convectivo.
L a s caracteristicas estructurales y e l cornportmiento s i smico de tanques
y depbsitos son tales que algunos autores proponcn que la respuesta del
sistema formado por e l l iquido y el recipiente se obtenga a partir de
espectros de disefio con niveles de amortiguamiento pequeiios, digamos
alrededor de 2 por ciento. Para el mod0 impulsivo, esta situacibn queda
cubierta a1 aplfcar las recomendaciones sobre interaction
suelo-estructura considerando como amortiguamiento de la estructura con
base rigida aquel que se juzgue m A s conveniente, en lugar d e l
amortiguamiento de 5 por ciento implicit0 en 10s espectros de disefio
para estructuras de edificios.
En tanques elevados, a1 resolver el problema da valores caracteristicos
se encuentra que el primer periodo natural del sistema tiende a1 periodo
fundamental de vibracibn del liquido que se t endr ia si el recipiente
descansara sobre el terrend, es decir TI + 2n[H1/~l] I". E l segundo
periodo natural del sistema tiende a1 que tendria la estructura de
soporte si se ignorara la presencia de la masa convectiva, esto es
T2 + 2 n [ [ ~ + M ] / K ) " ~ . ES par ello que 10s efectos de interacci6n O P P
suelo-estructura se consideran en el modo superior asociado a3 modo
impulsivo y no en el fundamental asociado a1 convectivo. Por atra parte,
el desplazamiento lateral Xo es el que experimcnta la masa total
constituida por la masa de la estructura d s sopor t e s la masa
impulsiva. Por ende, la fuerza de inercia correspondiente se debe
distribuir proporcionalrnente a las m a s a s M y M con objeto de calcular 0 P
el momento de volteo en la base del recipiente.
En tanques y depbsitos s i n cubierta o con cubierta flotante, la altura
. ... . . . -. . . . - --- - - . w r u r ur . 1"-
. -
3.9.4 Altura de Onda
1.3. 109
C. I ?
convective esperada, En el disefio de reciplentes con cubierta fija se
debe respetar la altura del horde lfbre a fin de prevenir daiios en la
cubierta, o de lo contrario se deben considsrar las presi~nes
bidrodin&micas causadas sobre a l l a por el movimiento convectivd.
3.9.5 E P e c t o s Combinados de 10s Hovimientaa del Terrcna
La razbn por Is pue 10s efectos de 10s componentes d e l movimiento del
terreno, vertical y normal a la direccibn de mhlisis, se consideran
mediante un factor de superposicibn igual a 0.5 obedece a que en tanques
y depbsitos tales efectos adquieren mayor importancia que en estructuras
de edificios donde dicho factor se t o m igual a 0.3.
3.9.6 Interaccidn Liquido-Recipients
Los periodos y mdos' naturales de vibrar impulsivo y convectivos
dependen de la deforrnabilidad del reclpiente. Del d l i s i s riguroso de
recipientes flexibles se desprende que la interaccibn entre el liquid0 y
el recipiente tiene una influencia despreciable en 10s modos
convect ivos. Pox- tal razbn, y para prophsf tos de disefio, las presiones
convectivas del caso f lexible se pueden suponer iguales a las del caso
rigido.
A 1 consfderar la f lexibil idad del recipiente, la respuesta de la masa
impulsiva se increments debido a que se genera amplificacibn d i h i c a
causada por la condicibn de oscflador que se tiene cuando dicha masa se
liga el&ticamente a1 recipiente. La respuesta impulsiva se puede
incrementar tan significativamente que es recamendable cansiderar la
interaccibn liquido-recipiente en el diseiio.
La interaccibn suelo-estructura usualmente alarga el periodo de
vibracibn del modo impulsivo y aumenta el amortiguamiento asociado. Por
lo general, el alargamiento del perlodo se traduce en un increment0 de
la respuesta, que se ve contrarrestado por el aumento en e l
amort iguamiento.
L o s efectos de la interaccihn entre el suelo y la estructra han s ido
amplimente estudiados para estructuras de edificios. En cambio, para
tanques y depbsitos 10s estudios sobre dichos efectos son escasos por lo
que 10s resultados que se obtengan del an&lisls de interaccibn
suelo-estructura deben tomarse con cautela.
Con la finalldad de cubrir casos de tanques y dep6sitos donde el
an&lisis de interaccibn suelo-estructura podria llevar a resultados poco
confiables se establecieron dos limitaciones: m a de seguridad y otra de
econornia. Por seguridad, se juzgb conveniente limitar las reducciones
pox- interacci6n estableciendo la condicibn < 2 0.8, la cual simplemente
parece razonable. Por econornia, se consider6 pertinente imponer la
restriccibn ,t z 0.02, la cual corresponde a1 nivel m&s bajo de 0 2
amort iguamiento que se sospecha podria tenerse en tanques y dephsitos
t ipicos.
Las estructuras de plantas industriales son demasiado variadas y
diferentes entre si como para establecer criterfos de dissfio sisrnico de
carhcter general. Par el l o , las recomendaciones que se presentan para
estructuras industriales estAn limitadas en su alcmce, pues son
aplicables solamente a aquellas estructuras que no difieren radicalmente
de las estructuras de ediffcfos en cuanto a la caracteristicas que
influyen en la respuesta sismica.
En forma simplista se puede pensar que t o d o edificio consta de trabes y
columnas, por l o que no tendria ninguna importancia el distinguir un
edificia de t i p o urbano de otro de tipo industrial. Sin embargo, existen
diferencias importantes en l o que se refiere a cargas y estructuraci6n
que implican tratamientos diferentes para ambos tipos de edificios.
En edificios industriales se tfene que considerar una serie de
condiciones de carga que en edificios urbanos generalmente no aparecen,
como serian cargas de grira en diferentes posiciones y condiciones de
izaje, pesos de equipo en condiciones de operaeibn y prueba, equipos con
caracteristicas vibratorias, variantes en la carga viva para diferentes
condiciones de operacibn y montage de equipo, en t r e otras.
El n h e r o de condiciones de carga para el d l i s i s de este tfpo de
edificios generalmente es mayor que 8, y en ocasiones puede llegar a ser
hasta de 12; el nrlmero de combinaciones de condiciones de carga puede
ser hasta de 25. Las solicitaciones sismicas usualmente se tienen que
combinar con otras condiciones de carga.
Las estructuraciones que resultan en 10s edificios industriales son muy
variadas y a1 rnismo tiempo diferentes de las de edificfos urbanos. Esto
se d e b a la necesidad de adaptarse al arreglo de equipo que haya que
albergar en el edlficio y a1 proceso industrial que se lleve a c a b en
1 , lo que trae consigo irregularidades importantes de estructuraci6n,
tales corn las que se describen a continuacibn:
1. Ausencia de diafragmas rigidos en 10s slstemas de piso, debido a la
presencia de grandes huecos o a la falta de losas de concreto en
&reas importantes.
2. Estructuracibn no uniforme en planta, como por ejemplo la presencia
de entrantes o salientes y la adherencia de cuerpos a la estructura
principal.
3. Estructuraci6n no unlforme en elevacibn, como por ejemplo la falta
de algunos niveles en ciertas crujias, las diferencias en alturas de
entrepiso y la falta de tramos de columnas en ciertos entrepisos-
4. Distribucibn no uniforme de masas en 10s pisos a lo alto del
edificio, debido fundarnentalmente a la presencia de partes o equipos
pesados .
5. Rigideces de entrepiso muy diferentes de 10s marcos de la estruckura
y a lo alto de un mismo marco, causadas por la presencia irregular
de contraventeo vertical y cambio en la posicibn del contraventeo de
entrepiso a entrepiso.
L s estructuras industriales requieren de criterios de an81isis sismico
m8s rationales, el irninando la posibi 1 idad de consideraciones
simplificatorias que en ocasiones se utilizan en estructuras
convencionales. Algunos aspectos que deben considerarse con frecuencia
en el an8lisls ds edificios industriales sometidos a sismo son:
1. Influencia de la flexibilidad de 10s sistemas de piso en la
respuesta estructural.
2. Anhlisis d i n h i c o en lugar de anhlisis estkt ico squivalente; esto no
necesariarnente por la gran altura de la estructura, s i n o m&s bien
por las irregularidades de masa y rigidez.
3, Analisis dinhico de la estructura ante la accibn de 10s componentes
horizontal y vertical del movimiento del terreno.
4. Efectos de la interaccibn suelo-es-tructwa en la respuesta
es t rue t ural .
Merece un comntario especial la necesidad de considerar 10s
desplazamientos verticales que sean significativos en la respuesta de la
estructura. !&to se refiere no solo a la consideraci6n de 10s grados de
libertad verticales a1 efectuar el mdlisis de la estructura sametida a
un sistema de fuerzas dadas, s in0 implica tambien considerar las fuerzas
de lnercia debidas a las aceleraclones vertlcales que resulten en
C. 11
diversos puntos de la estructura como respuesta a las aceleraciones del
terreno.
LA= estructuras se deben analizar para las combinaciones de condiciones
de carga que procedan, suponiendo los sentidos de acci6n k s
desfavorables. Hay que considerar, entre otros: 10s efectos de fuerzas
sismicas horizontales y verticales, las cargas rnuertas de 10s elementos
estructurales y todos 10s elementos de la planta industrial que estkn
ligados a la estructura, 10s efectos de temperatura, la Influencia del
cnntenido de tuberias, tanques, tovas y otros recipientes, las cargas de
mantenimiento, de impact0 y en zonas de almacenamfento, asf como las
cargas de gruas incluyendo, adem& de su peso propio, una fraccibn del
peso que levantan.
3.10.3 Sistems de Piso con Diafragm F l e x i b l e
La distrlbuci6n de fuerzas sismicas en una estructura proporcionalrnente
a las rigideces de 10s sistemas resistentes verticales que la conforman,
es aplicable solamente a construcciones en que 10s pisos se comportan
carno diafragmas rigidos , tal como suele suceder en las estructuras de
edificios.
Los sistemas de piso de edificios industriales en pocas ocasiones pueden
ser considerdos como indeformables en su plano; por el contrario,
resultan ser bastante flexibles, ya sea por la necesidad funcional de
dejar huecos o por la utilizacibn de pisos de rejilla o placas
antiderrapantes.
Tradicionalmente las estructuras industriales son anal izadas
considerando 10s sistemas resistentes verticales en forma alslada
m e d i a t e el concept0 de hrea tributaria, sin tomar en cuenta e l
comportmiento del conjunto fomnado por 10s sistemas resistentes
verticales y horizontales. En el casa limite de sistemas de piso sin
losa de concreto ni contravientos horizontales, 10s marcos tanto
C. 11
transversales como longltudinales se comportan en farm independiente.
Sin embargo, en cualquier otro caso 10s sisternag de piso trabajan como
difragms flexibles, lo que trae consigo que la distrlbucibn de fuerzas
sismicas sea con base en la compatibflidad de desplazamientos laterales
del diafragma.
3.10.3.1 Funciones del diafragma
Un diafragma, sea rigido o f lex ible , hace que la fuerza sismica total en
un cierto nivel sea trasmitida a 10s mareos en f m c f d n de sus rigideces
de entrepiso y la rigidez del diafragma.
Entre las aplicaciones m& importantes de 10s diafragrnas se encuentran
dos: a) concentraci6n de fuerzas laterales uniformes en marcos snks
rigidos y b) distribuclbn de fuerzas laterales concentradas entre marcos
adyacen tes.
La primera aplicaclhn seria pot- ejemplo en edificfos industriales en 10s
que se proporciona contraventeo vert i cal en 10s rnarcos trasversales
cabeceros o exteriores; esto resulta en una diferencia grande de
rigideces de entrepiso entre 10s marcos trasversales intermedios y 10s
de las cabeceras. Asi, las fuerzas sismicas se concentraxdn en 10s
marcos cabeceras a trav6s de 10s diafragmas de piso.
La segunda aplicacidn seria por ejemplo en ediflclos industriales con
masas concentradas, para qus: la fuerza sismica asociada a una masa
localizada en un rnarco no solamente sea absorbfda por dicho marco, sino
entre 10s marcos paralelos.
3.10.3.2 Diafragm corn elemento concentrador de fuerzas laterales
mi f o ~ m s
En ciertas ocasiones es conveniente acentuar la diferencia de rigideces
de entrepiso en t r e marcos paralelos, con objeto de a1 iviar a 10s marcos
rnenos rigidos de 10s efectos producfdos por fue rzas laterales y
cancentrar en 10s marcos ITAS rigidos dichos efectos. Un casa particular
serIa el de naves industriales en las que se contraventem 10s marcos
exteriores y se procura qw 10s mareos intermedios no sean penalizados
por absorber f uerzas laterales.
En relaci6n con lo anterior, se efectub un estudio param&trico (ref . 46)
sobre la concentracibn de la fuerza uniform lateral en 10s rnarcos
exteriores a travks de varias configuracianes y rigideces de diafragrnas
flexibles. Los parhetros que se consideraron son a) el t i p o de
contraventeo, b) la geometria del contraventeo, cl las rigideces de
entrepiso de 10s marcos intermedios y exteriores y d ) las dimensiones en
planta del diafragma.
Los resultados mas importantes que se obtuvieron indican que: a) a
rnedida que se robustece el contraventeo aumenta el porcentaje de fuerza
que absorbe el marco transversal exterior contraventeado, b) a mayor
rigidez de entrepiso de 10s marcos interrnedios se requiere mayor
contraventeo para alcanzar el mismo porcentaje de fuerza absorbida y cl
para mayores relaciones de rigideces de entrepiso de inarco exterior a
interior se tiene una mayor concentracibn de fuerza en 10s marcos
cabeceros .
En estructuras industriales cuyos sistemas de piso corresponden a
diafragrnas flexibles se debe efectuar un andlisis de diafragma para cada
nivel de la estructura, aplicando para ello la fuerza sismica t o t a l en
e l nivel que se consfdere en forma distribuida entre 10s nudos del
diafragma, de modo que la resultante de las fuerzas nodales quede
localizada en el centro de masas de dicho nivel. De este andllsis se
obtienen las fuerzas en 10s resortes del diafragma, las cuales se
aplican sobre 10s marcos ligados a1 diafragma para efectuar su anAlisis
como estructuras planas independientes.
3.11). 3 .3 Diafram c o r n elemento distribuidor de fuerzas laterales
concentradas
En algunos edificios industriales existe la necesidad de trasportar
cargas pesadas de un lugar a o t ro por medio de grhs viajeras, Las
fuerzas sismicas horizontales debidas a g r b s de alta capacidad pueden
llegar a ser la condicibn de carga que rija el disefio de 10s marcos
t rasversales . Por e 1 lo, conviene que estas f uerzas concent radas se
distrlbuyan antre varios marcos paralelos, mediante diafragrnas o
elementos horizontales de contraventeo, de manera que se reduzcan 10s
efectos sismicos en 10s marcos de carga.
Para la distribucibn de una fuerza lateral concentrada entre varios
marcos p m l e l o s a travbs de un diafragma flexible se deben cowiderar
10s mismos parkmetros que se consideran en el problem del diafragma
corn0 elemento concentrador de fuerzas laterales uniformes.
Es necesario que en este caso se consfderen como condiciones de carga la
acci6n de la grQa colocada eh las partes central y extrema de la viga de
soporte. Conocidas las rigideces del diafragma y el marco de carga se
puede obtener e l porcentaje de la fuerza concentrada que absorbe el
w c o en consideraci6n.
En general, si los sistemas de piso de estructuras industriales se
consideran como diafragmas flexibles, se estar&n utilizando
racionalmente l o s elementos estructurales y en consecuencia se tendran
diseiios seguros y m&s econ6rnicos.
3.10.3.4 An&lisis de didragmas flexibles
Un sistema de piso cantraventeado en su plano se puede considerar como
un diafragma f l e x i b l e . E s t e diafragma se puede tratar como una armadura
horizontal soportada en las columnas del entrepiso inmediatamente abaJo
del piso en consideracibn.
Las barras verticales y horizontales en 10s ejes de la estructura
representah las vigas de 10s marcos. Todas las diagonales y otras barras
son parte del cantraventeo horizontal del sistema de piso. En.el chlculo
de las rigideces de entrepiso se puede considerar la participaci6n d e l
sistema de piso.
Los sistemas de piso pueden contraventearse a veces uniformemente pero
muchas otras veces de form irregular. Sea cual fuera la situacibn, 10s
porcentajes de la fuerza sismica t o t a l que absorben 10s resortes que
simulan la flexibilidad del sistema de piso resultan ser diferentes con
respecto a1 caso de diafragma rigido.
En algunas estructuras industrfales, como 10s edificios de proceso de
concreto reforzado, se requieren grandes huecos en varios niveles pam
alojar equipo. En tales casos existiria la duda si se pueden o no
considerar 10s sistemas de piso como diafragmas rigidos. Sin embargo,
todo sistema de plso puede ser modelado y analizado, sea como armadura o
placa o como modelo simplif icado.
3.11 ESTRUCIVRM TIW 7: PUENTES
For ser las prfmeras recomendacfones que se editan para puentes se
proponen criterios de anklisis razonablemente sencillos. Las
recomendaciones se obtuvieron de la revisibn y comparaclbn de diferantes
cbdigos de diseRo sisrnico existentes y de la revisidn de la literatura
sobre el tema.
La filosofia b6sica de disefio adoptada radica en el c&lculo de fuerzas
obtenidas de un an&l isis el&stico lineal y reducidas por un factor para
obligar a 10s elementos estructurales a ingresar en e l rango i n e l k t i c o .
Con esto se asegura un comportamlento dtictil de los rniembros de la
estructura y una cierta disipaci6n de la energia inducida par el sismo
sobre el puente. kt6 implicit0 en esta fflosofia de disefio que bajo la
acci6n de un sismo moderado a intenso puede ocurrir a l g h t Ipo de dafio
estructural en el puente.
riguroso; sin embargo, deben revisarse la magnitud de las fuerzas
longitudinales y transversales en las conexiones entre superestructura y
subestructura. v 10s reauisitos de servicio aue se indican en la secci6n
3.11.1 Elecci6n del Tipo de Aniliais
I.,as recomendaciones para el anhlisis estktico son sirnilares a las
reportadas en las refs. 4, 9 y 12 para puentes regulares, esto es ,
aqu&llos que no presentan variaciones bruscas de masa, rigider o
geometria en la superestructura, en la direccibn def eje de la
carretera. TambfCn, la rigidez transversal de las pilas debe ser muy
parecida, d e l orden de 25 por ciento de diferencia entre apoyos
intermedios adyacentes .
Los puentes colgantes, 10s puentes atirantados, 10s puentes de grandes
claros y 10s puentes con p i l a s de gran altura requieren de un disefio
sismico especial, ya que su comportmiento estructural e s diferente a1
de 10s puentes convencionalss o comunes. En algunas de estas estructuras
10s cambios de geometria inducen efectos no lineales importantes; en
ot ras , 1 a demanda de duct i 1 i dad puede ser mayor a 1 o esperado a medi da
que el period0 fundamental de la estructura aumenta.
Los mCtodos de an&llsis estdt ico se basan e n el c~lculo de una carga
estatica horizontal que es equivalente a las fuerzas de inercia
inducidas por el sisrno sobre el puente. La magnitud de esta carga
depende, entre otros factores, d e l periodo fundamental de la estructura
y de la ordenada espectral asociada a dicho periodo.
Los mCtodos de analisfs dinhnico toman en cuenta 10s diferentes modos de
vibraci6n de la estructura, corn en el anAlisis modal, o reproducen la
respuesta de la estructura en el dominio del tiempo, corn en el anAllsis
paso a paso.
Como alternativa de 10s criterios de analisis descritos st pueden
utilfzar rnetodos de d l f s i s mAs complejos siempre y cuando se
justifiquen las hipbtesis en que estb fundamentados.
El uso de disipadores de energia para reducfr la magnitud de 'la fuerza
de inercia de la superestructura a las p i l a s y estribos d e b estar
avalado por estudios especificos, En ellos se debe consign- el diseflo
detallado y la frecuencia de reemplazo e inspeccibn de 10s misms.
3.11.2 Hktodo Simplificado
Es obvio que el m4todo simplificado de anAlisis esta basado en hipbtesis
delnasiado simplificadoras. Para fines prhzticos es el m8s sencillo de
utilizar, ya que se modelan 10s marcos del puente como sistemas de un
grado de l i k r t a d .
Fig. 11.1 Idealizaci6n e~tructural para el k t o d o aiwplificado dm anglisis; sismo en direcci6n transversal
La utilizacibn de este criteria de andlisis implica que las pilas d e l
puente, que pueden ser columnas aisladas o marcos, vibran de manera
independiente coma se ilustra en la fig. 11.1, y que la rigidez de la
superestructwa no contrfbuye a la rigidez de la estructura pero su masa
si influye en el chlculo de las fuerzas de inercia. Por ello, su
aplicacibn puede llevar a diseiios muy conservadores.
Este metodo de a d l i s i s se recomienda para puentes de geometria muy
sencilla, esto es, rectos, llgeramente esviajados, s i n variaciones
bruscas de msa y rigidez, longitud de trams parecida, etc. Se puede
utilizar para el d l i s i s del puente tanto en el sentido transversal
como longitudinal. E s t A implicit0 en este procedimiento de mhlis i s que
la estructura responde ante un sismo en una de las dos direcciones
menciomdas, s i n que exista interacci6n de la respuesta cntre ellas.
El periodo natural de vibracibn de un sistema de un grado de libertad se
obtiene como T = 2r[rn/~)"~, siendo rn la -a y K la r lg idez dcl
sistem. Es evidente 3a Importancia que tiene la eleccidn, par parte del
diseiiador, de la masa tributaria que se utilice para e l cklculo dei
perlodo de vibrar, tanto para la direccibn transversal como
longitudinal. El c&lculo de la rigidez no representa mayor problems, ya
que una vez elegida la parte de la estructura que contribuye a la masa
tributaria, solamente se requieren canocer las propiedades geodtricas y
elkticas de 10s elementos que la constituyen.
En la actualidad, la mayaria de 10s puentes carreteros en el pais se
camtruyen con base en trabes prefabrfcadas, formando trams simplemente
apoyados. Debido a problems inherentes al proceso de montaje de las
mismas, es dificll utilizar trabes de & de 30 m de longitud, por lo
que se consider6 razonable utilizar el valor de 40 m como limite para la
aplicaci6n de este mbtodo.
E l valor de la ordenada espectral a se abtiene d e l espectro de disefio
sisnico correspondiente a la zona sfsmica y el t i p o de suelo donde sera
construido e l puente. El uso del factor reductive Q' se introduce para
tener en cuenta la respuesta inel-tica del puente y se obtiene a partir
de 10s factores de comportamiento sisraico estfpulados para este tipa de
estructura.
Ante un evento sismico moderado, el puente debe sar capaz de responder
corn un conjunto de elementas estructurales, esto es, la estructura debe
estar diseiiada para repartir las fuerzas de inercia entre todos 10s
elementos resistentes. E l mbtodo de d l i s i s estAtico propuesto toma en
cuenta, con ciertas limitaciones, l o anterior y en consecuencia conduce
a diseiios menos conservadores que 10s obtenidos con el metodo
simplificado de analisis.
E s t h implicit0 en este metodo que el puente responde fundamentalmente en
el primer modo de vibracidn, No se descarta el uso de alguna otra
tbcnica de anAlisis dinAmico de estructwas para el calculo del period0
fundamental .
Fig. 61.2 Aplicaci6n de la carga uniform para el d t o d o de anslisis estitico
Otra de las ventajas del uso de este &todo es que considera la
continuidad de la estructura; ademhs de que se pmde incluir en el
modelo estructural la rigidez de la cimentacibn y de 10s estribs. En la
fig 11.2 se muestra esquedticamente la forma de aplicar la carga
uniforme.
Se incluye este metodo de a d l i s i s debido a la proliferaci6n de
prograrnas de analisis de marcos y a la facilidad de acceso a una
rnicrocomputadora que actualmente tienen los ingenieros proyectistas de
puentes.
En un estudio realizado con modelos de puentes de diferentes
caracteristicas geom6tricas y estructurales, ref. 40, se encontrb que e l
parhetro que mejor clasifica a 10s puentes a1 ser analizados con este
mktodo es el indice de rigidez, con el cual se mide la contribuclbn de
las columnas o pilas a la rigidez transversal de toda la estructura. En
la f ig . 11.3 se muestra esquedticamente la forma de calcular e s t e
indice, el cual debe ser menor que 2 a fin de aplicar este mktodo.
Fig. 11.3 Definici6n del indice de rigidez
P a r a la determinacibn del periodo fundamental de vibracibn cs necesario
conocer, en adicibn a la masa de la carga muerta t o t a l , la rigidez
C. I 1
lineal total de la estructura, la cual se obtiene como K = wWA siendo w
la carga uniforme lateral aplicada, L la longitud total del puente y A
el desplazamiento m h i m de la estructura.
E l llmite de 120 m para la longitud libre entre apoyos estA asociado a1
hecho de que para c l a m s mayores que este valor se recomfenda construir
puentes suspendidos o atirantados.
3.11.3.1 Eftctos combinados de 1m mvfmientos de l terreno
La combinaci6n de efectos debidos a sismo se realiza para tener en
cuenta las incertfdumbres en la direcci6n de d l i s i s . Se considera que
el efecto del componente vertical del movimiento del terreno no es
significative.
Es necesario que el diseiio se realice con aquella combinacidn que
produzca 10s efectos sismicos m&s desfavorables.
Sin lugar a dudas, 10s rnktodos de analisis dinwico propuestos
proporcionan resultados m8s cercanos a la real idad que 10s mhtodos de
Ceneralmente, la aplicaci6n de cualquiera de 10s: m6todos de anAlisis
din-ico requiere de la utilizacibn de una computadara. El uso de ellos
se recomienda para todos aquellos puentes que no esten clasif icados en
la categoria de regular.
3.11.4.1 Anal i s i a modal espectml
En este mktodo esta implicito un comportmiento lineal de la estructura.
Adem&, se supone qye las maimas respuestas modales ocurren
sirnulthsamente, la cual no es cierto, por lo que se recurre a una
combinacibn de las respuestas con objeto de obtener acciones de disefio
mBs realistas. Por otra parte, no se tama en cuenta la duraci6n del
temblor, efecto que fnfluye en la degradacibn de rigidez y resistencia
de 10s elementos estructurales, prtieularmente de las pilas.
Una alternativa para combinar 10s modos de vibracibn de la estructura y
tener en cuenta la duraci6n del temblor la representan 10s metodos de la
doble suma, ref. 48, o el de la combinacibn cuadratica completa,
ref. 77.
Para la utilizacibn de este metodo se requfere de la integracibn
nwnerica de la ecuacibn de movirniento de la estructura. Se supone que la
excitacibn sismica es la rnisma en 10s apoyos d e l puente, tanto en
amplitud como en fase. Esto es, no se considera la posible variaci6n
espacial del movimlento del terreno. Esta hipbtesis es vhlida cuando las
longitudes de las ondas sismicas son muy grandes cornparadas con la
distancia entre apoyos del puente. Cumdo esto no ocurre, 10s
movimlentas diferenciales de 10s apyos pueden ser la causa de fallas
por sismo en estas estructuras.
Con este rnktodo es posible considerar el comportamiento no lineal del
puente, la naturaleza de diferentes modelos de comportamiento
estructural y el nivel de deformaci6n alcanzado durante el d l i s i s .
La eleccibn del registro sismico a ser utilizado e n el analisis paso a
paso debe estar fundamentada en un a l i s i s de riesgo slsmlco. Ademhs,
se debe considerar la vida util del puente.
3.11.4.3 Efectos combinados de 10s movimientos del terrena
Esta disposicibn obedece a la misma consideracibn establecida en el
mktodo de an&lisis esthtico. Para - 10s puentes no regulares siempre se
debe incluir el efecto del componente vertical del movimienta del
terreno, ya que se pueden generar fuerzas axiales adlcionales en las
pilas y en consecuencia amentar la demanda de ductilidad de estas.
3.11.5 Estados L f m f t e de Servicio
Las recomendaciones de esta seccl6n se basan en o b s e r ~ c i o n e s repartadas
durante la evaluaci6n del dafio ocasionado en puentes por sism. La fall=
mhs frecuente a1 respecto est& relacionada con superficies de apoyo de
longitud insuficiente en las trabes sobre 10s marcos transversales o
columnas. La especificaci6n propuesta esth t o m a de las refs. 4 y 9.
3.11.5.1 Longi tud de apoyo
Est r lbo Columna o Pila
Fig . 11.4 Dimnsionea para longitudes minims de apoyo
En la literatura sobre el t e m a no se reporta ning6n rnktodo analitico
para diseiiar las conexiones y juntas de la superestructura con 10s d e d s
elementos estructurales dsl puente. For otra parte, tampoco existen
mktodos que permitan calcular con certeza las longitudes minimas de
apoyo en pilas y estribos y las holguras en t r e las trabes o tableros que
forman la superestructura; tales longitudes y holguras se indican en la
fig. 11.4.
La falta de estudios experimentales sobre este punto sugiere las
siguientes alternativas para evitar este t i po de fallas: a) amentar la
longitud de apoyo, b) restringir el movimiento de la superestructura o
c ) restringir el movirniento de los dispositivos de conexibn
superestructura-subestructura.
3.11.5.2 Hovimientos relat ivos
Para tener en cuenta 10s efectos de movimientos relatives de los
sopor tes , aunque sea de manera aproximada, se puede suponer que la forma
del movimiento del terreno contra t iempo no d l f iera apreciablemente en
10s distintos puntos de apoyo y que la bica variacibn importante sea su
desfasamiento. De esta form, la respuesta estructural se puede predecir
tornando en cuenta las caracteristlcas del temblor en un punto de
referencia y Ios conceptos fundamentales sobre propagacibn de ondas.
La evidencia de dafios en puentes ha demostrado la influencia del terreno
de cimentaci6n en la respuesta sismica de estas estructuras. Para
puentes cortos y de poco peso los efectos de la interaccibn
suela-estructura son minimos, sin embargo, la distribuci6n de fuerzas en
la superestructura, y en consecuencia sobre las p i l a s , se puede ver
afectada por las fuerzas d i n h i c a s ejercidas poi- el terreno sobre 10s
estribos.
L o s efectos da la interaccibn auelo-estructura pueden ser significativos
en puentes con cimentaciones profundas o en terranos blandos; tales
efectos tambitn pueden set- importantes en puentes muy esvfQados.
Las principales causas que originan la falla de tuberias enterradas
durante la acurrencia de un sismo son 10s movimientos vibratorios del
suelo y la falla del terrena (ref . 16). Los primeros inducen en las
tuberi as def ormac iones axiales c u p s magnitudes generalrnente son mucho
mayores que las de f lexihn. La falla del terreno ocasiona deformaciones
de magnitudes muy grandes cornparadas con las provocadas por el paso de
las ondas sismicas.
Por lo-anterior, 10s crfterios de diseiio adoptadas se basan en el hecho
de que las tuberias enterradas d e b e r h estar diseiiadas para permitir
mov~mlentos de expansibn y contraccibn e n las juntas, de tal m a m r a que
se disipen las fuerzas ocasionadas par el sismo. Se proponen tambibn
algunas recornendaciones para el diseiio sismico de tuberias que cruzan
sobre una falla o que e s t b construldas en terrenos inestables o en 10s
cuales puede ocurrir el fenbmeno de licuacibn.
Aunque en mucho menor cant idad que en 10s sf s-teema con juntas, en 10s
sistemas continuos tambi6n sa han producido fallas durante un sismo.
Generalmente las fallas son ocasionadas por e l pandeo de la tuberia y
ocurren en zonas cercanas a vhlvulas y puntos de intersecci6n.
Por lo que respecta a las tuberias sobre la superficie, un d l i s i s
sismico riguroso de estas estructuras llevaria a calcular, ade& de 10s
efectos de las fuerzas de inercia, 10s efectos de 10s movinientos
relatives de 10s apoyos, Sin embargo, dadas las dificultades que existen
en la adopci6n de un metodo de analisis que permita considerar ambas
efectos simult&neamente, s61o se presentan en estas recomendaciones
criterios independientes de disefio. En este grupo de tuberias se
incluyen aquPllas que son soportadas en apoyos directamente sobre el
terreno o en apoyos sobre otras estructuras, por ejemplo, edificios y
racks.
3.12.1 Elecci4n d e l Tipo de Ml iain
Tuberias enterradas
Las recomendaciones para el mgtodo simp1 i f icado de anhlisis se basan en
la hipbtesls de que la m i i x i m a deformacfbn axial de la tuberia ocurre
cuando C s t a se mueve igual que el suelo que la rodea, esto es, no se
toma en cuenta el efecto de interacci6n entre el suelo y la tuberia. Con
este rnCtodo se desprecian 10s efectos inerciales y se ,le da una mayor
importancia a 10s efectos ocasianados por la diferencla de amplitudes de
desplazamientos del terreno a lo largo de la tuberia.
La aplicacibn del metodo proporciona limites superiores de deformcibn,
ya que no se torna en cuenta el h g u l o que forman el eje longitudinal de
la tuberia y la direccibn de propagaci6n de las ondas. A la vet, se
considera que no se presenta el fenhmeno de deslizamiento de la tubaria
con respecto a1 suelo. Este hecho conduce a disefios conservadores.
Tuberias sobre la superficie
A diferencia de las tuberias enterradas, el mbtodo simplificado de
an8lisis que se prapone toma en cuenta el periodo fundamental del trarno
de tuberia y la zona sismica en que @st& instalada la misma. E l
principio basic0 de disafia adoptado es que 10s apoyos deben estar
disefkdos de tal manera que soporten las fuerzas inducidas en e l l o s por
el sismo.
3.12.2 MGtodo Simplificado
Tuberias enterradas
E l mktodo que se propone fue desarrollado por Newmark (ref. 47) con base
en un modelo de tuberia enterrada en un scmie.spacio elhstico, como se
muestra en la fig. 12. 1, y considerando una excitaci6n sismica producida
por una onda de cuerpa. Los coeficientes de deformacidn y curvatura que
se proponen proporcionan valores iguales a 10s mBximos que se abtienen
con 10s h g u l o s critlcos de incidencia de las ondas.
E s t A implicito en las recornendaciones la dificultad que existe para
predecir el t i p o de onda de cuerpo que inci.dir-8 sabre la tuberia. Por
otra parte. si las ondas de superflcie son las que predominan en e l
sitio en cuestibn, su velocidad regira el d i s e i i o de la t u b e r i a . De
particular importancia son las ondas de Rayleigh, ya que son las quc
provocan las deformaciones axiales de la tuberia las cuales modifican en
mayor grado el comportamiento sismico de la misma [ref. 50). No s e
considera explicitamente este tipo de ondas, ya que la deterninacibn de
su velocidad es cornpleja puesto que depende, entre otros factores, de la
frecuencia de excitacidn. Tambih e s t A implicita e n las recomendaciones
la necesidad de llevar a cabo estudios geofisicos y sisrnol6gicos para
determinar la velocidad aparente de propagacibn de las ondas sismicas en
un sitio especifico.
Velocitlod oparenlc !e propqocron = - cos 3 L.
- - - Eje de la tuberlo
a) Efecto de las ondas de corfanfe sobre la luberia
Veloc idod opaiente Je propagoci6n =
cos e - . --- "
Eje de la -7---- tuber lo
Oiraccidn de propogocidn Y cos u
b) Efecto de los ondas de compresi6n sobre la tuberia
Fig. 12.1 Hodelo de tuberia en un rsemiespacio elastlco
En la literatura reciente se reportan otros dos metodos de anhlisis que
se pueden utflizar para estudiar la respuesta sismica de tuberias rectas
formadas a base de segmentos unidos mediate juntas flexibles: a1 el
&todo de Juntas friccionantes [ref. 5 2 ) y bl el metodo cuaslesthtico
(refs. 66 y 751. A diferencia del crfterio de anfilfsis propuesto, ambos
mktodos toman en cuenta la r ig idez del suelo y las juntas. Sin embargo,
no se incluyen como crfterios de analisis debido a la gran cantidad de
informacibn que se requiere para su aplicacibn, corno se verb en 10s
siguientes Wrafos.
El modelo matemBtico de juntas friccionantes considera un comportmiento
e l k t i c o d e l tubo, el suelo y las Juntas. Corno su nombre lo indica, el
fendmeno de fricci6n entre el empaque y el tubo se modela con una j u n t a
friccionante. La resistencia d e l suelo se incluye en el analisis
mediante un elemento elkstico longitudinal con una rigidez por unidad de
longitud.
El d t o d o cuasiest6tico suministra una rnejor precisihn que el mbtodo de
juntas friccionantes, ya que considera un mayor nllrmero de propledades
del tubo y el suelo. E l modelo te6rico se muestra en la f i g . 12.2; 10s
resortes entre cada segment0 de tuberia representan la rigidcz de la
junta, pudienda suponerse para cada uno de el 10s una relacibn
carga-desplazamiento elastics o elastoplastfca. La resistencia del suelo
se representa tambikn mediante un resorte con una relacf6n
carga-desplazamiento elastopl8stica.
Fig. 12,2 Modelo de tuberia para el &todo cuasiestatico
En ambos mbtodos, con ayuda de conceptos del analisis rnatricial de
estructuras se establece la ecuacibn de equilibrio del sistema
suelo-tuberia. Para su soluci6n es necesario conocer 10s desplazamientos
del terrena en las diferentes secciones de la tuberia. Estos se obtienen
de reglstros sismicos obtenidos en el sitlo de i n t e r & o lnediante un
proceso de simulacibn de temblores.
E l an&lisis se lleva a cab0 para cada segaento de la tuberia y para la
histor ia completa de desplazamientos del terreno. Conocidos 10s
desplazamientos de la tuberla, se calculan las extensiones o
contracciones en las juntas y 10s desplazamientos relatives entre el
terreno y las diferentes secciones de la tuberla, y en consecuencia las
deformaciones y curvaturas maximas de la mlsma.
Tuberlas sabre la superficie
La hipbtesls de que la tuberia se puede modelar mdiante elementos viga
se utiliza generalmnte en an4lisis m&s refinados, por ejemplo cuando se
recurre a1 mktodo del elemento finlto. Para aquellos casos en que 10s
tramos de tuberla no se encuentren sirnplemente apoyados en sus extremes,
se puede acudir a la ref. 24 para determinar el periodo fundamental ante
diferentes condiciones de frontera.
P a r a el anAlisis de tramos de tuberia enkre dos apoyos consecutivos que
incluyan un codo o cambio de direccibn, o una msa concentrada, se puede
recurrir a1 calculo de una longitud equivalente, obtenida Bsta como el
producto de un factor de modificaci6n por la longitud entre 30s apoyos.
El resultado se sustltuye por L en la fbrmula para el c&lculo del
periodo fundamental.
El d l i s i s estktico convencioml de es t ruc turas sobre la superficie
considera que la cxcitacibn sismica es la misma en todos 10s apoyos. Sin
embargo, debido a ,que las tuberias son de longitudes rnuy grandes, es
razonable utillzar un mktodo de anAlisis que tome en cuenta, aunque sea
de manera aproximada, la variacibn espacial de 10s movimientos en los
apoyos .
Con el m4todo que se propone se obt iene la respuesta de la tuberia con
base en 10s movimientos sismicos de 10s apoyos. No se toman en cuenta
C. IT
10s posibles efectos de amplificacibn d i m i c a ni la c o r r e l w i 6 n en t re
estos movimientos.
E l vector de desplazamientos U se forma con ayuda de 10s registros 0
sismicos generados en 10s apoyos o soportes de la tuberia. Se recomienda
que 10s desplazarnientos que se utilicen como excitacibn de la tuberia
sean 10s mhs desfavorables.
Usando como excitaci6n cada urn de 10s elementos del vector Uo se
calculan 10s desplazamientos en e l resto de 10s apoyos. Esto da lugar a
N vectores de desplazamientos, U , uno para cada soporte. Asi, el vector n
de desplazamientos mhximos probables en 10s apoyos, Ur, se puede est imar
mediante el criterio de l a raiz cuadrada de la suma de 10s cuadrados de
10s desplazamientos en 10s soportes.
Se incluye este metodo de analisis, ya que se puede llevar a cabo con
programas dc cB1culo estructural convencionales, suponiendo que la
tuberia se modela con elementos viga,
E l d l i s i s modal espectral se pref iere sobre e l a r h l i s i s paso a paso
debido a las dificultades que se presentan para deflnir el registro
sismico caracteristico del s i t i o en que esta construida la tuberia.
Influye tambitn el costo y tiempo de cbmputo que se requiere para el
analisis mediante integracibn directa respecto a1 anAlisis con
superposicibn modal,
La regla de combinaci6n de las respuestas modales parece razonable. Cabe
mencionar que para tuberias apoyadas en diferentes puntos en una misma
estructura, o apoyadas en ,diferentes estructuras, lo m&s conveniehte
desde el punto de vista del analisis es recurrir a1 concept0 de
espectros sismicos de piso [ref. 6 7 ) . Sin embargo, no se prapone un
criterlo de esta naturaleza debido a la falta de herramientas de cbmputa
que permitan llevar a c a b este t fpo de d l i s i s y a las dificultades
inherentes en la utilizaci6n de este concept0 tales como el c&lculo de
la correlaci6n espacial y modal entre 10s espectros de cada apoyo, la
definici6n dc la contribuci6n a la respuesta total de la respuesta
estatica y didmica, la falta de un criterio de cornbinaci6n modal
apropiado, la evaluacibn de 10s efectos del arnortiguamiento de sfstemas
estructurales acopldos y la interaccibn entre el sistema primario y
secundario, entre otros.
Los efectos ocasionados en una tuberfa par 10s movimientos de m a falla
pueden ser mucho m&s importantes que 10s ocasionados por el paso de las
ondas sismicas.
Lt es la longitud requerida para trasmitfr la fuerza t o t a l axial que se
desarrolla entre el terreno y el tubo e inducir la deformaci6n m&xima en
este elemento. La expresibn que se propone se obtfene de integrar en
esta longitud la fuerza axial mencionada e igualarla a la fuerza desarrollada en el tubo.
Deslizo - Eje X (parcllelo o miento ce;+o, \ I , lo tuberia)
~ i r e c c i d n del movimiento
Fig. 12.3 kvimientos relatives en una falla por deslizamiento r e c t o
La fbrmula para el c&lculo de Lt requiere del conoclrniento de la
resistencia axial R del terreno. Esta se puede obtener de pruebas de
camp que se realicen en el sitio o de expreslones derivadas con base e n
pruebas de laboratorio. Generalmente estas expresiones requieren del
conocimiento de otras propiedades del suelo tales coma la resistencia a1
corte, el coeficiente de presibn lateral y el peso especifico.
Para una interpretacibn de ALf, basta con referirse a las figs. 12.3 y
12.4 donde se apreciam 10s movimientos relativos en una falla par
deslizamiento recto o normal, respectivamente.
(vertical) Eje t
e deslizarn~ento
bn sen g fLEVJACION
Fig. 12.4 Movirnientos relativo~ en ma falla por deslizamiento norm1
L o s efectos que se deben tener en cuenta para la determinacibn de las
presiones hidrodinhicas generadas par sismo sobre la cortina de una
presa son tales que la s o l u c i b n rigurosa resulta demasiado compleja. For
esta razbn, la mayoria de las soluciones disponibles se basan en
simplificaciones que en algunos casos son excesivamente burdas. La
primera soluci6n c lk ica la abtuvo Westergaard (ref. 761, considerando
que la presa esth farmada par m a cortina rigida con paramento plmo y
vertical, el vaso es de seccibn rectangular, longitud fnfinita y fondo
rigido, el efecto del oleaje es nulo y el movimiento del t e r r e n o es
mmbnico estaclonario con frecuencia de excitacibn menor que la
fundament a1 de l vaso .
Estudios posteriores han permitido sustituir las hip6tesis
simplificadoras par otras mAs realistas con objeto de incorporar 10s
efectos m& importantes tales como el de l oleaje, la forma de la
pantalla, la forqa del vaso, la flexibilidad de la cortina y
fundamentalmente la compresibilidad del liquid0 a f i n de considerar la
particlpacldn de sus modos naturales de vibraci6n.
Para fines pr&t lcos , es conveniente f ormular el problema de presiones
hidrodinAmicas a partir de un modelo sirnplificado, cuya solucibn se
pueda modificar posteriormente para tomar en cuenta de manera aproximada
10s efectos que implican las mayores complicaciones de a d l i s i s .
E'ig. 13.1 Presa de gravcdad con pantalla formada por u1-1 plano vcrtical
Considbrese el modelo que se mwstra en la f i g , 13.1 para representar un
sistema formado por la cortina, el agua y el vaso; en relaci6n con tal
sistcma se adoptan las siguientes hipbtesis:
1. La cortina y e l fondo del vaso son rigidos.
C. I1
2. El paramento mojado de la cortina es plano y vertical.
4. La superficie libre del agua permanece horizontal.
5. E l vaso es de secci6n trasversal rectangular y longitud infinita.
6. El movimiento del te r reno es paralelo a1 eje del vaso.
La salucibn de este nodela se puede determinar considerando 0
despreciando la compresibflidad del agua, Si se desprecia este efecto,
se encuentra que la masa del agua almacenada se puede reemplazar por una
masa efectiva adherida a la cortina; a partfr de esta interpretacidn se
formula el metodo de la masa virtual, En cambio, si se considera, se
1 lega a que la respuesta del 1 iquido almacenado se puede expresar
mediante la suprpos ic i6n de sus respuestas modales; con base en esta
representacfbn se formula el d t o d o del espectro de respuesta.
3.13.2 Mtado dc la Masa Virtual
El metodo de la masa virtual conduce a estimaciones adecuadas de las
presiones hidrodidmicas siempre y cuando el periodo fundamental del
vaso sea significativarnente mAs corto que el perlodo dominante del
temblor de disefio. Para c o r t Jnas relativamente altas, H E 100 m, el V
periodo fundamental del agua almacenada es alrededor de 0.3 s . En vista
de que 10s periodos dominantes de 10s ttmblores destructivos en terreno
f irme son en general m h grandes que este valor, el mktodo de la masa
virtual se p d r 8 aplicar a m en presas altas slempre y cuando sean
sometidas a sismos con periodos dominantes largos.
Cabe aclarar que con este mktodo no se tiene en cuenta el efecto del
oleaje, p r lo que para su aplfcaci6n ss requiere que 10s periodos de la
excitacibn sean suficientemente largos respecto al periodo fundamental
del vaso, pero no tan largos corm para excitar ondas de gravedad.
3.13.2.1 SoluciBn incompresible
Cuando se desprecia la compresibilidad del agua, la presibn
hidrodinhica satisface la ecuaclbn de Laplace (ref. 481, que para el
--problem bldimensional se expresa corn
Si la cortina se ve sometida a un movimiento arbitrarlo x l t 3 , las 0
condiciones de frontera que se deben cumplir son:
Lim p = 0 X 4 m
Resolviendo la ecuaci6n de rnovimiento con el mktodo de separacibn de
variables, imponiendo las condiciones de frontera y usando las
propiedades de ortogonalidad de las funciones trigonom&tricas, se
encuentra que la presi6n hidrodinhica en cualquier punto del agua
almacenada tiene la siguiente forma:
en donde h = (2n-I)lr/2; p es la densidad del liquid0 y B la altura de n v
la superficie libre del agua.
La f o r m de la soluci6n indica que la respuesta es instantbea en
cualquier punto del agua almacenada, ya que la velocidad de propagacldn
de las ondas en un rnedio incornpresible es infinita. En consecuencia. el
valor m h i m o de la solucibn incompresible se tiene cuando la aceleraci6n
del tarreno adquiere su valor mAximo, es decir cuando xo(t 1 = A . 0
3.13.2.2 Efecto de la compresibilidad del liquida
En el caso de presas de dimensiones moderadas o grandes, digamos Hv > 30
m, e s indispensable tener en cuenta la compresibilidad del liquido.
Considerando este efecto se ha encontrado que el error relativo en la
fuermza hidrodinhmica t o t a l que se introduce' al despreciar la
cornpresibilidad crece monot6nicamente con Tv/Ts (ref. 261, siendo T y
T respectivamente 10s periodos del vaso y la excitacibn. Este error s
resulta ser menor que 5 por c ien to cuando T /T = 0.3 pero tiende a 100 v s
por clento cuando T /T tienda a 1. v s
La soluci6n de Westergaard para el modelo que nos ocupa, pero
considerando la compresibilidad del agua, tiene la siguiente forma:
2 en donde pn = h2-(x/212[~ /T 1'. En el paramento rnajado de la cortina, n Y s
x = 0, y para el tCrmino fundamental de la serie, n = 1, la relacibn
entrc 1 as pres iones correspondientes a 10s casos compresi ble e
incompresible se reduce a1 cociente p Esta relaci6n se puede 1 1
utilizar p y a incorporar de manera aproximada e3 efecto de la
compresibilidad del agua. Para esto, bastar& con multiplicar la presibn
incompresible p pox- la cantidad hl/pl para obtener la presi6n
compresible p ' , esto es:
Para la condicibn de resonancia, T /T = 1, esta expresi6n predice v S
presianes hldrodin&micas inf in i tas . Sin embargo, esta situaci6n no
ocurre en la realidad debido a la viscosidad del liqufdo y la
flexibilidad del fondo, las cuales se desprecian en este modelo.
Por otra par te . suponiendo que 10s efectos dc la compresibilidad del
agua y la forma de la pantalla son completamente independientes, Q
guardan poca correlacibn, esta forma de incorporar la cornpresibllidad
del agua se puede hacer extensfva a cortinas con paramento no vertical.
En la flg. 13.2 se muestran distribuciones dc presibn h i d r o d i n h i c a
considerando la compresibilidad del agua, calculadas de maneras rigurosa
y aproximada. St? puede confirmar que la aproximacibn sobrestima las
presiones cerca de la superficie en tanto que las subestimtl cerca dc la
base de la presa. Aunque el error qus se introduce crece con la relacibn
T /'I , la aproximacibn resulta ser bastante buena cuando T /T < 0.9. Y 4 v s
Fig. 13.2 Efecto d e la campresi1:)ilidad dcl agua en la presi6n hidrodin5mica
3.13.3 Wtodo de l Espectro de Respuesta
El periodo dorninante de un sisrno puede llegar a ser del misraa orden que
el periodo fundamental de un vaso, e inclusa llegar a ser menor que
&ste. Tal situacibn suele suceder cuando el afloramiento del s i t i a es
roca dura, el foco del temblor se localiza cerca del vaso, la magnitud
del sisrno es maderada, la profundidad del vaso es grande y la
interaccidn entre la cortina y el agua alarga el pr ioda fundamental del
vasn debido a la flexlbilidad de la cortina. En eatas circunstancias,
las presioncs hidrodfnhicas se deberh estimar considerando la
prticipaci61-1 de las respuestas modales del agua, utilizando para ello
el metodo del espectro de respuesta.
Cuando se considera la cornpresibilidad del agua, la presihn
hldrodin&mlca satisface la ecuacibn de onda (ref. 481, que para el
problema bidimensional se expresa como
en donde C as la velocidad del sonido en el agua. Si la cortina se ve
sometida a un movimiento arbitrario x ( t ) , las condiciones de frontera 0
que se deben cumplir son las rnismas que las del caso de
incornpresibilfdad. Adicionalmente, en el caso de cornpresibilidad se
deben cumplIr las condiciones iniciales
Aplicando la trasformada de Laplact, resolviendo la ecuacibn de
movimiento con el metodo de separacibn de variables, irnponiendo las
C. I I
condicianes de frontera e iniciales y usando las propiedades de
ortogonalidad de las funciones trigonom&tricas, se encuentra que la
presidn hidrodidmica que obra contra la cortina t ime la siguiente
f orma:
en donde:
AdemBs, z (z, w ) = cos @ ZK] representa el n-Bs imo modo natural de n n
vlbracibn del vaso cuya frecuencia de vibrar es w = h C/II , n n v
C = 2(-11""/~~ es el coeficiente de participaci6n del rnoda n y Jo n n
significa la funci6n de Bessel de primera especie y orden cero. Los
modos naturales de vibracibn del vaso describen las forms en que el
agua almacenada puede ascilar libremenbe.
3.13.3.2 Espsctros hidrodin&nicos
Para fines de disefio interesa obtener solamente la respuesta maxima d e l
liquido alrnacenado, la cual no necesariamente ocurre en el instante que
se presenta la aceleracibn m k i m a del t e r r e n o debido a la
compresibilidad del agua. Tal respuesta se puede estimar combinando
mediante un criterio probabilista las respuestas m h x i m a s que ocurren en
cada mndo natural de vibracibn.
Partiendo de la ec. 13.12, la m i m a distribucibn de presiones
hidrodinarnicas en el modo n se presenta cuando la aceleracibn del agua
A @ , un] alcarua su valor d i m % eeto es:
en donde ~ ( w ) = m t [ ~ [ t , w n ] / representa La que se conoce como el n
espectro de respuesta hidrodinhico.
Las distribuciones de presibn hidrodinhica en 10s modo naturales de
vibraci6n s o n proporcionales a las distribuciones de fuerza co r t an t e en
una viga unfforme de cortante figa en la base y libre en el extremo,
como se muestra en la f i g . 13,3 para 10s tres primeros modos mturales.
La misma situaci6n se guarda con 10s periodos naturales de vibracibn. La
contribuci6n dominanta del modo fundamental es evidente; las presiones
hidrodidmicas m&ximas en la base de la cortina son 0 . 8 l l p ~ ~ ~ ( u 1 ] ,
0.O9pH BW y 0.O32pH ~[03) para 10s tres prlmeros modos naturales. V v
Fig. 1 3.3 Distribucio~les de presibn hidrodin3mica en 10s modos naturales de vibraci6n del agua
El espectro hidrodinhico difiere d e l espectro de aceleracihn, mejor
conocido como espectro de respuesta, en la funcibn de trasferencia
asociada a cada caso. La funcibn de trasferencia en el tiempo se define
como la respuesta de un sistema ante m a excltacidn instant-ea
unitaria. Para e l espectro de aceleracibn del oscilador dicha funcibn
e s t A dada por una funcibn armbnica amortiguada, en tanto que para el
C. I1
espectro hidrodinAmico del agua par una funci6n de Bessel.
Exlste una semejanza estrecha ent re la porcibn i n i c i a l de la funcibn de
Bessel J ( t ) y la funci6n armbnica amortiguada exp(t,<lcos(t,<) can 0
< 0.15. Aden&, la aceleracibn espectral ~ [ w ) tiende a la aceleracibn n
Wima del terreno cuando el periodo natural de vibracihn T tiende a n
ce ro . En vista de estas colncldencias, el espectro hidrodinhico de un
temblor podrla ser aproximadamente igual a1 espectro de aceleracion del
mismo temblor para un nivel de amortiguaniento de2 orden mencionado.
En efecto, en la ref. 15 se confirma ampliamente que para fines de
disefio se puede sustituir el espectro h i d r o d i n h i c o por e l espectro de
ace leracidn absoluta con amor t iguamiento vi scoso de aproxi madamente 15
por ciento. E s t a semejanza de 10s espectros de respuesta se ilustra e n
la fig. 13.4, en donde se comparan 10s espectros h i d r o d i n h i c o y de
aceleraci6n para el componcnte trasversal del temblor registrado en la
base de la presa La Vlllita el 14 de marzo de 1979.
Fig. 13.4 Espectros hidrodinamico (-) y de aceleracibri (---) con atnortiguamiento del 15 %; comporlerite tl-asversa t dcl t e m b l o r cn la presa L a Srillila del 14 d e tnar7,o de 1979
C. I 1
Para periodos natwales de vibracibn cortos, Tn < T , 1 s ordenadas S
espectrales difieren poco de la aceleraci6n rnairna del terreno. En
promedio, 10s factores de amplificacibn d i n h i c a son alrededar de 1.3 en
el interval0 de interts , lo que concuerda con la amplificacibn espectral
en terreno firme Ears un oscilador con amortiguamiento de
aproximadamente 15 por ciento.
Por otra parte, las respuestas de disefio se determinan mediante la raiz
cuadrada de la suma de 10s cuadrados da las respuestas modales mtulmas.
Por ello, 1- fuerzas cortantes y 10s momentos de volteo de diseiio no se
deben calcular mediante lntegracibn de las presfones hidrodidmicas de
disefio, sino medimte combinacihn de las correspondientes respuestas
modales m&ximas. Esto obedece a que la presi6n de disefio represents la
envolvente de l a s presiones modales m&ximas asocfadas a una cierta
probabilidad de que Sean excedidas y a que 10s k i m o s no ocurren
sirnultheamente ni con el mismo signo a todas las elevaciones.
3.13.3.3 Efecto dsl oleaje
Para tener en cuenta e l efecto del oleaje en las presiones
h i d r o d i m i c a s , la condici6n de frontera referente a que la supefficie
libre del agua permanece horizontal se deberia sustituir por la
condicibn de Poisson (ref. 481. Considerando este efecto se ha
encontrado que el error relativo en la fuerza hidrodlnhica total que se
comete a1 despreciar las ondas de gravedad es menor que 5 por ciento
siempre que T /T > -185 (ref. 261, en donde H est& en metros. Por v s v v
ejemplo, tratdndose de una cortina de 50 m de altura, la fuerza
hidrodinhica total que provenga de excitaciones con periodos menores
que 1.7 s podrh caleularsa despmciando el efecto del oleqje, sin que
por ello se introduzca un error mayor que 5 por ciento.
Aunque el efecto del oleaje se pueds despreciar para la mayor parte de
las condiciones de interts p r k t ico, se debe reconocer que las ondas de
gravedad modifican las presiones hidrodinhicas esencfalmente en la
vecindad de la superficie libre. Para ello, ss propone que 10s efectos
del oleaje se aproximen reemplazando la distribucidn de presi6n
2' = COP ( U Z / ~ H ~ ) en el modo fundamental por la distrlbucibn modif icada 1
2: = I - ( Z / H J ~ que se suglere en la ref. 48. La farina en que se
increments la presl6n hidrodinhica s e g h esta propuesta se muestra en
la f ig . 13.5, en donde se aprecia que 10s mayores incrementos de presibn
se tianen en la porcidn superior de la cortina. Es evidente que las
fuerzas cortantes y 10s momentos de volteo resultantes tambiCn se
incrementarh; en la base de la cortina tales incrementos son menores
que 5 y 8 por ciento, respect ivamente.
Fig. 13.5 Dist,ribuciones de presi611 hidrodin8rnica con y sin oleaje
3.13.3.4 Efecto de la f orma del vaso
El efecto de la forma del vaso no se lirnita exclusivamente a1
relacionado con la geometria de la boquilla. En la realidad, el vaso se
encuentra acotado por fronteras irregulares lo que implica considerar la
presencia de irregularidades tanto en planta como en elevacfbn.
Para vasos prismAticos de secci6n trasversal rectangular y longitud
finita, el period0 fundamental del q u a almacenada prkcticamente no
difiere del correspondiente a vaso infinito siempre y cuando la relaci6n
entre la longitud y profundidad del vaso sea mayor que 5 (ref. 261. Esta
conclus16n se obtiene suponienda reflexibn completa de las ondas de
presibn en la pared opuesta a la cortina. Sin embargo, existen
evidencias experimentales en el sentida de que las irregularidades de
los depbsitos naturales casi anulan las reflexiones. Par el 30, debido a
la rugosidad de las paredes parece razonable despreciar la influencia de
la extensi6n del vaso perpendicularmerite a la cortina. Cabe destacar que
cuando las laderas del vaso convergen hacia la cartina es posible que
cancentren las ondas de presibn, provocando mayores presiones
hidrodinkmicas que en el caso de Iaderas paraielas.
3.13.3.5 Efecto de la forma de la pantalla
L a s presiones hidrodfnhicas en presas con pantal la no vertical siempre
son menores que las correspondientes a paramento vertical, y por tanto.
es siempre conservador adoptar la soluci6n para este 6ltimo caso.
Para pantallas inclinadm, la presibn hidrodidmica m a i m a ocurre a
cierta altura sobre el fondo del vaso. En cambio, la soluci6n que se
presenta en las recomendaciones predice que tal presi6n ocurre en la
base de la cortina. A pesar de esta inconsistencia, que se puede
observar en la fig. 13.6, las fuerzas corkantes y 10s mrnentos de volteo
resultantes a cualquier altura de la cortina no difieren marcadamente de
10s que se calcularian rigurosamente. Es obvio que la solucibn aludida
es aproximada; el error que introduce es insignificante cuando el a u l o
que forma el paramento con la vertical no excede de 75O.
Para pantallas constituidas por das plan05 de distinta inclinacibn, 10s
resultados experimentales y analiticos muestran q w cuando M s de la
mitad de la altura de la pamtalla es vertical la distribucihn de presibn
hidrodinhica se puede tomar como la correspondiente a paramento
vert ical , sin que par el10 se cometa un error inaceptable. En caso
contrario se cuenta con la solucibn que se presenta en Ias
recomendaciones, la cual resulta suficientemente aproximada slempre que
el A ~ g u l o que forma la parte inclinada de la pantalla con la vertical no
exceda de 50'. Para kener en cuen ta adicionalmente la long1 tud del vaso,
en la ref. 21 se puede cncontrar una extensibn de la soluci6n en
cues t l6n.
Fig. 13.6 Coefiuierltes de presibn en cortinas can pantalla irlclinada
3.13.3.6 Efecto de la flexibilidad de la cortina
Los estudios existentes para establecer si 10s efectos de la
flexibilidad de la cortina y la deformaci6n de su cimentacibn son
Importantes, indican que t r a thdose de cortinas de dimensiones moderadas
o grandes las fuerzas h i d r o d i n b i c a s totales se reducen notablemente por
tales efectos, lo que sugierc la conveniencia de tenerlos e n cuenta en
la pr8ctiea.
-.
- - -
- -- Fc. 13 6 (RE comendacioncs) 1
- E c . 13.8 (HE comendacinnts)
-. .
-
-
-
- - -
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CAPITULO 3. D I s E ~ POR SISMO
3.1 PROGRAM PARA EL CALCULO DEL PERIODO WMINANTE Y LA VELOCIDAD
EFECTIVA DE DEF'OSITOS DE SUELO ESTRATIFICADOS
3.1.1 Ejemplo de Aplicacibn
3.2 PRUGRAMA PARA EL CALCULO DEL PERIODO Y AMORTIGUAMIENTO
EFECTIVOS DE SISTEMAS SUELO-ESTRKTURA
3.2.1 Ejemplo de A p l icacibn
3 . 3 ANALISIS DE INTERACCION SUELO-ESTRUCTURA DE UN EnIFICIO
3.3.1 Caracteristicas del Sistema Suelo-Estructura
3.3.2 Perlodo Dorninante y Velocidad Efectiva del Suelo
3 . 3 . 3 Par&metros Modales Equivalentes de la Estructura con
Base Rigida
3.3.4 Periodo y Amortiguamiento Efectivos del Sistema
Suelo-Estructura
3.3.5 Factor Reductive por Interacci6n
3 . 4 TAELAS DE FUNCIONES DE IMPEDANCIA PARA CIMENTACIONES
SUPERFICILES ENTERRADAS EN UN ESTRATO SIMPLE
3.4.1 Ejemplo de Apl icaci6n
3.5 ANALISIS SISMICO DE UN MURO DE RETENCION
3,5.1 Caracterist icas Principales d e l Muro y del Relleno
3.5.2 Coef iclente Sismico
3 .5 .3 Determinacibn del Empuje Sismico de Tierras
3.5.4 Determinacibn de Fuerzas y Momentos debidos a1 Muro
3.5.5 Revisibn de la Estabilidad del Muro
3.6 ANALISIS SISMICO DE UNA CHIMENEA
3.6.1 Caracteristicas Principales de la Chimenea
3.6.2 Periodo Fundamental de la Chirnenea
3.6.3 Aceleracihn Espactral y Factor de Incrementu
3.6.4 Fuerzas Cortantes y Momentos de Volteo
3.7 ANALISIS SISMfCO DE UN TANQUE ELEVAW
3.7.1 Caracterlsticas Pr inc ip l e s del Tanque Elevado
3.7.2 Masas Impulsiva y Convectiva del Liquido
3.7.3 Modos Naturales de Vibracibn del Sistema
3 .7 .4 Respuestas Modales Wimas 93
3.7.5 Fuerza Cortante y Momento de Valteo Basales 95
3.8 PRGGRAMA PARA EL CALCULO DE PRESIONES HIDRODINAMICAS EN
PRESAS DE CRAVEDAD 97
3.8.1 Ejemplo de Aplicaci6n 101
C. I 1 1
3.1 PROGRAMA PARA EL CALCULO DEL PERIOW WHINANTE Y LA VELOCI DAD
EFECTIVA DE DEPOSIMS DE SUELO ESTRATI FICAWS
En las recomendac iones sobre clasif icacibn de terrenos de c imentac i6n se
prcsenta un metodo riguroso para la determinacihn. del periodo domina te
de vibraci4n y la velocidad efectiva de propagacibn de depbsltos de
suelo estratificados.
Para implernentar en la p r k t i c a este mktodo es necesario r e c y r i r a
tkcnicas numkricas. Aqui se presenta un programa de cbmputo en lenguage
FORTRAN para la soluci6n del problerna generalizado tic valores
caracteristicos definido por la ec. 1.7 en recomendaciones, a fin de
determinar 10s par6metros d i n h i c o s d e l s i t i o .
Este programa requiere de un archivo 1 lamado "INPUT" con 10s datos d e l
terreno de cimentacibn, y suministra un archivo 1 lamado "OUIPW" con el
periodo dominate y la veloeidad efectiva del s i t i o .
PROGRAM MVS C C ***********Y************#a***111**#111w***m*************************s***
C * Y
C * PRDCRAMA: MODOS DE VIBRACION DE SITIO C * OBJETO: PERIOW IKlMINANTE Y VELOClDAD EFECTIVA * C * * c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * f f * * * * * * * *Y* * * * * * * * * * * * *a * *w** *s* * *s * * * * * *
C c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 Y * * * * * % * * s * * * a * * ~ M * * s * f f * * * ~ ~ E ~ *
C Y
C * ENTRADA: * C * * C * NE = NwRO DE ESTRATOS * C * GN = VELOCIDAO DE ONDAS S DEL ESTRATO N(m/s) * C * RN = PESO VOLUMETRIC0 DEL ESTRATO N(t/m31 * C * HN = ESPESOR DEL ESTRATO N(ml I
* ZN = MUI105 DE VIBRACION I3E SITIO * TN = PERIOWS DE VIBRACION DE SITIO(s) * * TS = PERIODO MlMINANTE DE SITIOls)
c BS = VELOCIDAD EFECTIVA DE SITIOWS) * C * * c f************~*****#~***a***********+*****m*******************a**
C PARAMETER [NEWSO 1
C NEM = N W R O DE ESTRATE MAXIM0 IMPLICIT REALtS (A-H, 0-Z) REAL*^ K , M , K l , M l , K N , m DIMENSION GNINEMI , RFI(NEM1, HN(NEM1 CHARACTERYlO INPUT,OWPUT COMMON KINEM, NEM), MINEM, NEMI, ZN(NEM, NEMI, THINEM)
C C LECTURA DE DATOS C
WRITE(*,'(" ARCHIVO DE DAMS=",$)') READ(*,' ( A l O ) ' )INPUT OPEN ( 10, Fl LE= I NPUT , STATUS= ' OLD' , ACCESS= ' SEQUENT I AL ' ) READ( 10, * )NE JlO 20 N=l,NE READ( 10, *)GNINI, RNlN), m(N) RN(Wl=RN(N1/9.81DO GNCN)=GNEN3*GNIN)*RN(Nl
20 CDNTINUE READ( 10, ' IAIOI' ]OUTPUT CLOSE[ 10 )
C C CENERACION DE MATRICES DE RIGIDEZ Y MASA C
W 30 I=l,NE W 30 J=l,NE KII, JI=O.DO M I I , JI=O. W
30 CONTINUE KN=GNIl)/HN(11 MN=RN(l)*HN{l] KI1, II=KN K(1,21=-KN MI 1,13=MN/3. W M(1,21=MN/6.DO DO 40 Nz2,NE-1 NM=N- 1 NS=N+ 1 Kl=m KN=GNIN)/HNINI Ml=MN MN=RN(N)*IINCNI K(M, NM)=-K1 KCN, NI=Kl*KN K( N, NS)=-KN M( N, N M I - M I A , W
M(NlNI=[M1+MN1/3. W MtN,NSI=MN/B. W CONTINUE Kl=KN KN=CN(NEI/EIN(NEI M1 =MN MN=RNCNE)*HN(NEI KC NE, NE-1 I=-K1 K(NE, NE]=KI+KN HINE, NE-1 )=MI,-%, W MINE, NEI=[Ml+MN1/3. W
WDOS Y PERIODOS DE VIBRACION
CALL JACQB I ( NE I
TS=O. W HS=O. DO DO 50 N=l,NE TN(N)=6.233l85308~/DsQRTCTHINll TS=DMAXI(TS, TNIN) I HS=HS+HN(PJ) CONTINUE BS=4. DO*HS/TS OPEN(60, FILE=OVTPUT, STATUS=' W E U ' , ACCESS-' SEQUENTIAL' 1 WtITE(60, ?01TS, BS FOFWTIIX, 'PERIOW WMINANTE =' ,F6.2, ' s' ,SX, 'VELOCIDAD EFECTIVA = "' , F6.2, ' d s ' ) CLOSEISO) STOP END
SOLUCION DEL PROBLEM CENERAtIZADO DE VALORES CARACTERISTICOS: [ K I { X ) = W [ M I ~ X )
VARIABLES : A = MATRIZ DE RIGIDEZ 3 = MATRIZ DE HASA X = MATRIZ DE EIGENVECTORES NORMALIZAWS EIGV = VECTOR DE EIGENVALORES 19 = QRDEN DE MATRICES RTOL = TOEFMICIA DE CONVERGENCIA(lO**-121 NSMAX = LIMITE DE 'ITERACIONES(l5) IFPR = 1; CON IMPRESIONES INTERMEDIAS IFPR = 0; SIN IWRESIONES INTERMEDIAS
NEM = NUMERD DE ESTRATOS MAXIM - , -\ - > , ! ? ; ' , > A '.
IMPLICIT REAL*8 [A-H, 0-2 i ' T ', . 7 . - 7
DIMENSION D(NEM1 . . . . COW AINEM,NEMI,B(NEM, NEMI, X(NEM,NEMI,EIGVINEMI DATA RTOL/l. D-12/, NSMAX/lS/, IFPWO/ . .- b z , x
W 10 I=l,N IF{A(I, I).GT.O.DO.AND.B[I, Il.CTTO.aO)CO TO 4 ' L:
WRITE(*,*)'***ERRQR-MATRICES NO POSITIVAS DEFIN~IDAS"**"., RETURN - ) I
D~II=A(I,II/B~I,II EIGV(II=D(II > I i I _ 1
DO 30 I-I,N DO 20 J=l,H , .
. ' 4 ' k . . > -
X ( I, J)=O. a0 XCI, Il=l. w I
IFIN. EQ. 1 IRETURN NSWEEP=O c l + -) . 1 6 3 % U s :t
NR=N-1 NSWEEP=NSWEEP+l IF( IFPR. EQ. 1 IURITE(#, * I 'NUMERO DE ITERACION EN JACOBI', NSWEEP EPS=CO. OIDO**NSWEEP) **2 W 210 J=I,NR . I I ,
JJ=J+l DO 210 K=JJ, N ) j L
EPTOLA=[A(J,K)*AtJ,K1 ) / ( A ( J , J ) w K , K ) I EPToLB=(BIJ, K)*B( J, K) )/CB( J, JI*BIK, 8 ) 1 I , , ,
IF I I EPTOLA, LT . )J;AA~D.,-'~.~PQLB :LT . WS) )GO ' M 21 0 , . .
AW=A(K,K)*B(J,K~-B(K,K)*A( J , K ) 1 ,
AJJ,=A(d, JI:*B[J, K)-B(J\J)>At J:, KI. , L 1 - f L I I < - - ' _ . I
AB=ACJ, JI*B(K,Kl-A(K,KI*BIJ, J) CHECK= I AB*AB+4. W* AKK* AJ J 1 14. DO IF(CHECK)50,60,60 WRITE{",']"**ERROR-MATRICE1S NO POSITIVAS DJiFINIDAS***' . mURM SQCH=-DSQRT t CEmE] ,
D 1 =AB/2. DO+SQCH D2=AB/2.DO-SQCH 1 , . > I ,,I . i
DEN=D 1 ~IF~D~S~D2d~GT,DaBSIQJ)I?EN=~.'~~.,~:-!~-~: > . : a > , , . " + . IF(DENl80,70,80 CA=O. I#) CG=-A(J, K)/A(K, K) GO TO 90 I . I
CA=AWDEN L . I . 1 .. , . $,
CC=-AJJIDEN f , . "", >,!": " ' , 1 , - I -
.,, ( , , , , . ' . IF(N-2)100,190,100 I
JP 1= J+ 1 > .
JMl=J-1 - . d . , > I s - . . ,
K P l = K + l . $ / . < I \
KMl=K-3 2 - . , - , I . I ' I
IF( JM1-1)130,110, I10 - .: . . . I a
DO 120 I=I , JMl AJ=A( I , J l
W=B( 1, J) AK=AII, K) BK=B( I , Kl A[ I , JI=AJ+CG*AK B(I,J)=BJ+CG*BK A(I,K)=AK+CAYAJ ., I . . B ( I , K) =EK+CA*BJ I a
IF( W1-N1140,140, 360. , . W 150 I=KPI,N AJ=A( J, I1 ar=BIJ, I ) AK=AIK, 1 ) BK=B(K, I ) A[ J, I )=AJ+CGRAK B(J,Tl=BJ+CG*BK A(K,I)=AK+CAffAJ H(K,I)=BK+CA*BJ IF(JP1-KM1)170,170,190 W 180 I=JPl, KM1 AJ=ACJ, I ] BJ=B( J, I ) AK=A( I , K) BK=B( I , K) A I J, I )=AJ+CG*AK BI J, I l=BJ+CG*BK A( I, K)=AK+CA*AJ BII,K)=BK+CA*BJ AK=A( K, K1 BK=B( K, K) A(K,K)=AK+2.W*CA*A[J,Kl+CA*CA*AIJ,J) B ~ K , KI=BK+Z. DO*CA*BIJ, K)+CA*CA*B[ J, JI A( J, J)=ACJ, J)+2. WYCG*A(J, K1 +CGqCG*AK BCJ, J3=B( J, J)+2. Do*CG*B( J , K)+CG*CG*BK AC J, KI=O. no BIJ,KI=O.DO DO 200 I=1,EI XJ=X(I, J) XK=X( I , K) X(I,J)=XJ+CG*XK X ( I , K)=XK+CA*XJ CONTINUE W 220 I=1,N IF(A(1, I1,GT.O. W.AND.B(I, II .GT-0. WIG0 TO 220 WRITE(*,*]'***EMOR-MATRICES NO POSITIVAS DEFINIDAS***' RETURN E~GV[I~=AII,I1/B(I,I) IFIIFPR.ML.O)CO TO 230 WRITE(*,*)'EIGENVALORES ACTUALES EN JACOBI' WRITE[*, * I IEIGVII), I = l , N I DO 240 I=1, N TOL=RTOL*DII) DIF=DABS(EIGV(I)-D(r1) IF(DIF. GT. TOLIM TO 280
c; I I I
240 CONTINUE EPS=RT0La*2 W 250 J=l,NR 3 J=J+ 1 W 250 KaJ3.N EPSA=IA( J, KI*A(J .KI j / ( A t J , J ) * A ( K , K I 1 EPSB=IB(J, KI*BIJ, K))/(BIJ,J)*B(K, K) f IF( (=A. LT. EPs) . AND. ( ~ s B . LT. EPS) )GO TO 250 GO TO 280
250 C O N T I N E 255 DO 260 l = l , N
DO 260 J=1,N A ( J , I )=A( I , J)
260 B(J, I)=BII, J) DO 270 J=l,N BB=DSQ.RT(B( J, JI I DO 270 K=l,N
270 XIK, JI=X(K, J)/BB RETURN
280 DO 290 I=l,N 290 D(I)=EIGV(I)
IFlKWEP. LT. NSMAXICO TO 40 GO TO 255 END
0 m ---- b l = 60 m/s, 71 = 1.5 t/m3. h l = 2 rn - - - - - - - - . - , . . - - - # r = BQ m/s, 7~ = 1.5 t/m3. ha= 2 m --------------
----a ---- - B s = 6 0 m / s r T s = l 1 5 t / m 3 . h ~ = 2 r r ~ - - - - -
----+ @a= 60 m/*. Td= 1.5 t/ma. h4= P m -- ---------- --
----+ --------- B s = ~ o m / s , Y s = 1 . 5 t / m s , h s = 2 m - - - A -
12 m Be = 60 m/a, 7 8 = 1-5 t/m3, hs= 2 rn
. . . - - - - - - - - - - - - - b~ = 60 m/s, 75 = 1.5 t/m3, h7 = 3 m ------------ -- - - -- - - - - - - - - - - - k- 60 m/s. ?a= 1.5 t/ma, ha- 3 m ...- ----------
B g - 80 m/s. Y e = 1.5 t/ma, hp= 3 m - - . . . . . . . - - - - - - - - -
----- &om 60 m/s. %o= 1.5 tima. h a ~ 3 m
- - - - - . , - . . - - - - - -
-------------- &I- 60 m/s. Kt= 1.5 t/m3, hat- 3 m - . . . - - - - - - - - - - -
----- ".. -------- h8' 60 m/s, ?e= 1.5 t / d . ~ I F 3 m - - - - - . . . . . - - - - - -
- - - - - - - - - ,- -. - - - As= 60 m/s, Xa- 1.5 t/ms. h13= 3 m - - - - - - - - - - - - . .
- - - - - - - - - - - - -- - &a= 80 m/v. ?I,= 1.6 t/ma, h e 3 m -------------- -------------- a s ~ 80 m/s, "/IS= 1.5 t/ma, hm- 3 m
---*----------
As= 60 m/s, %- 1.5 t/ma, h , e 3 rn 42 m
C,V= 110 m/s. Y ~ T = 1.5 t/ms. h17~ 3.5 m -- -- - - - - .. ,.. -. - - - - - - - - - - - - - - . . . . - - Baa= 110 m/s, 746= 1.5 t /ma, h18r 3 5 m
- . -. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Pro= I t o m/s. YIP- 1.5 t/m3. hw= 3.5 m -------------- --- --------- -- &I= 110 m/s. 720: 1.5 t/rn3. 4pD= 3,5 m
Archivo de entrada:
20 60.0 ,1 .5 ,2 .0 60 .0 ,1 .5 ,2 .0 6 0 . 0 , l . 5,2.0 6 0 . 0 , 1 . 5 , 2 . 0 60.0,1.5,2.0 60.0,1.5,2.0 60.0,l. 5,3.0 60.0,1.5,3.0 60.0,1.5,3.0 60.0,1.5,3.0 60.0,1.5,3.0 60.0,l. 5,3.0 60.0,1.5,3.0 60.0,1.5,3.0 60.0,1.5,3.0 60.0,1.5,3.0 110,0,2.5,3.5 110.0,l. 5,3.5 110.0 ,1 .5 ,3 .5 130.0,1.5,3.5 MVS. SAL
Archivo de salida:
; NQmero de estratos ; Velocldad(m/sl, Peso volurnetrlco( t/m:l. ; Velocidad(m/sl, Peso volum&trico( t/rn31, ;VclocidadIm/s), Peso volum~trico(t/m3), ;Velocidad(m/s), Peso volum&trico(t/m3), ; ~elocidad(m/s), Peso volurn~trico(t/m3), ;~elocidad(n/sl. Peso volunt5trico( t / m 3 ) , ;Velocidad(m/sl . Peso volumetrico( U r n 3 ) , ;~elocldad(EJs), Peso volun8trico[ t / m 3 ) , ; Velocidad(m/s), Peso volumetrico(t/~~, ; ~elocidad(rn/s), Peso volum8trico( t /m31, ; Velocidad(m/s), Peso volurnetrico( t / m 3 ) . ;~elocidad(m/s), Peso vo lu rn~ t r i co ( t lm3) , ; ~elocidad(rn/s), Peso volum8tricol t / m 1,
3 ;~elocidad(m/sS, Peso volum~trico(t/m31, ; ~elocidad(m/s), Peso v o l , u m ~ t r i c u ( t / r n ~ ) , ; Yelocidnd[m/s), Peso volum6trico( t / m 3 ) , ;,Ye locidad( m/s 1, Peso volurnetrico ( t / m 3 ) , ; Velocidad(m/s), Peso volum8trico It/\), ;Velocidad(m/s), Peso volum6trico~t/m3I. ;Velocidadlm/s), Peso volum4trico(t/m 1, ;Hombre del archivo de salida
Espesor Cml Espesor Cm) Espesor 1 m 1 Espesor (rn) Espesor (m) Espesor [ rn ) Espesor(m) Espesor ( m) EspesorIm) Espesor(m1 Espesor(pl) Espesor(m1 Espesor(m) Espesor ( m I Espesor ( m) Espesor ( m) Fspesor ( m 1 FspesorCm) Espesor(m1 Espesor (ml
PERIOD0 DOMINANTE = 3.08 s VELOCIDAD EFECTtVA = 72.70 m / s
, m ,
, ,
> .
En las recomendaciones sobre interacci4n.suelo-estructura se presenta un
m&todo riguroso para la dcterminacibn'del periodo y amortiguamiento
efectivos de sistemas,suelo-qstructura,
Para implementar en 'la br~ctica este rnktqdo es necesario recurrir a -. . " - . - - - -
tbcnicas numericas. A q u i se presenta un ,grogrwna de c6mpuko en lenguage
FORTRAN para la solucibn del problem complejo de ecuaciones algebraicas
definido por la ec. 6.24,'en r&comkndak~bnes, a fin de detemninar 10s
parhetros d i d n i c o s efectldos,.de- la'estructtua. inbe~actuando con el
E s t e programa requiere de un archivo llamado "INPUT" con 10s datos tanto
de la estructura como del s o , y kuniiinistra un. archivo llamado , # . . , . , .
I - :
"OUTPUT" con el - periodo: y 4 . mort iguamlento. 4 <efectivos del sistema
sue1 a-estructura. \ I
, . . \
PROGRAM PAE -
m-
b
C " PROGM: PERKOW Y PRTIGUAMIENTO EF'ECTIVOS * C * OEJETO: PERIQTX) Y AMORTIGUkMIENM F.FECTIVOS C * * c * s * * * * * * * * * * * u u * i a ~ ~ w n ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 4 ~ e * ~ m ~ * ~ ' ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ t * ~ ~ ~ ~ s ~ ~ w e ~ ~ ~ ~ ~ - L c * * * * * * * * * * * * s * * w n ~ ~ ~ ~ i * ~ ~ ~ ~ # s ~ + * U : ~ ~ * ~ a ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ' ~ ~ ~ * ~ ~ ~ * * * * * * ~ * * * * w * * * e *
c' C * ENTRADA: * C " * c * ME = PESO EFECTIVO DE LA E S T ' R W : T ~ ( t~ * C * TE = PERIDW FUNDAMENTAL DE LA ESTRUCTURA[s) * C * ZE = AMORTI GUAMIENTO DE LA ESTRUCTURA I X 1 * C * HE = ALTURA EFECT-IVA DE LA. ESTRKTURA( ml C * bE = PEsd DE LA C I & A C I O N ( ~ I *
C * JC = MOMENTO DE INERCIA DE PESO DE LA CXMENTACIONlt-MI * C * R H = RADIO EQUIVALENTE DE LA CIMENTACION EN TRASLACfON(ml w C * R R = RADIOEQUIVALENTE DE LA CIMENTACION EN ROTACIONlm) a C * D = DESPLANTE DE LA CIMENTACIQNCml a
C * TS = PERXOW JIOMINANTE DEL SUELO(sl C * BS = VELOCIDAD EFECTIVA DEL SUELO(m/sl a C * RS = PESO V O L W R I m l DEL SUELO ( t /m3 1 A a C * ZS = M R T I GUAM1 ENTO DEL SUEM ( X ) rn C * NS = CDEFICIENTE DE POISrnN DEL SUELO Ilfl<NS<0.45 NO VALIDO) * C * t
C SALIDA: a
C * a
C * TE = PERiODO DE LA ESTRUCTURA SIN INTERACCIONCs) * C * ZE = AMORTTGUAMIENTD DE LA ESTRUC'I'URA SIN INTEXACCION(%) * C TS = PERIOD0 DE LA MRUCTURA CON IMTERACCIOHIsl * C * ZS = AMORTIGUAPIIENTO DE LA ESTRUCTURA CON INTERACCION(%I * C * * C * * * * * * * * * * * + * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * w s * * w s * * w * * * = * * * e * * * m * * *
C TMPLICIT REAL*8 (A-H, 0-21 REAL*8 ME,MC, JC, NS,KHO,KRO, KHRO,KH, KR, KHR REAL*8 MMRt3,3),MCR13,3),tlKR13m,3) COMPLEX*l6 MAC13,3), VEC(33, W(3) CHARACTER* 10 I NPW , OUTPUr DATA NF/lOD/
C C LECTURA DE D A T E C
WRITE(*,'(" ARCHIVO, DE DATOS=",$]') READ[*, ' (AlO]' )INPUT OPENllO,FILE=INPUT,STATUs='OLD', ACCESS='SEQUENTIALp 1 READ(l0, *]ME, TE, ZE, HE READ(10, *)K, JC,RH,RR, D READ(lO,*ITS,BS,RS,ZS,NS READ( 10. ' ( A 1 0 ' IQUTPW CLOSE( 101 bE=ME/9.81lM MC=MC/9.8 1DO JC=JC/9.81W RS=W9.8 ID0 ZE=ZE/lOO. Do . . . . . ZS=ZS/ 100. DO HT=HE+D
C C VECTOR DE TERMINOS INDEPENDIENTES DEL SISTEMA C
VET ( 2 I=-DCMPLXE M E , O . W ) W T ( 2 )=-DCMPLXI ME+MC, 0. W 1 VEX I 3 I=-DCMPLXI ME*HT+MC*D/2. W , 0 . W )
C + >
C MATRIZ DE MASA DEL SISTEMA C
MMR(l,l)=ME
RIGIDECES ESTATICAS
KH=1. Do TF(ETHS.LE. 1. W)THEN CH=O. 65W*ZS*ETHS/ ( I , W - [ 1.00-2. W*ZS) *ECHS*ETHS 1 ELSE CH=O. 576M END IF MKR(2,2)=KHO*(KH-2. W*ZS*rnHaCH) KR[~,~)=K~IO*IETH*CH~~.W*ZS*WI)MJ m = m CHR=CH MKR(2,3 1 =KHR04 ( KHR-2. W*ZSm~H*CHRI
K R ( 2 , 3 ) = ~ * [ F T H * C H R + 2 . W * Z S * K H R 1 / W J IF(ETR.LE. 2 .5W)THEN KR=1. W-0. 2WWETR ELSE IF[NS. LE. (1. D0/3. DO1 lKR=OO 5 W IFINS. GE. 0.45W)W1=1. W-O02IM*ETR ENDIF IF(ETRP.LE. 1. D0)THEN CR=O. SW*ZS*ETRP/( 1. W-( 1. IM-2. D O * Z S ) * E T R P l ELSE CR=O.3 W*ETR*ETW ( I . W+ETR*ETR) END IF MKR(3,3)=KRO*(KR-2.W*ZS*ETR*CRI MCR(3, 32=KRO*(ETRQCR+2. DO*ZSrKRl/WJ
C C MATRIZ DE COEFICIENTES DEL SISTEMA C
DO 30 M=1,3 VECIMI=VET(M) DO 30 N=M, 3 MACIM, N)=MKR(M, N)+(O. DO, 1. W) *WJ*MCR( M, N)-WJ*WJ*MMR(M, N1 MACIN, M)=MACIM, N)
30 CONTINUE C C FUNCIDN DE TRASFERENCIA DEL SISTEMA C
CALL DES 1 3, MAC 1 CALL RESC3, MAC, WCI SAJ=39.4784176PDO/TE/TE*CDABS[VEC[1) 1 IF(SAJ. LE. SMAXJGO TO 20 SMAX=SAJ FMAX=F J
20 CONT I NUE ZE=100. W*ZE TS=I. DO/FMAX ZS=SO. D0,'SMAX OPEN 1 40, F I LE=OUI'PUT, STATUS=' NEW' , A C C E S S N T 1 AL' 1 WRITE[40,50)TE,ZE, TS, ZS
50 FOMT(lX,'P~IOWSININTERACCION=',F6.2,'s', h
A
3X, 'AMIRTIGUAMIENTD S I N INTERACCION =',F6.2,' % ' , A X , 'PERIOW CON INTERACCION =' , F5.2, ' s' ,
.-. 3X, 'AMORTIGUAMIENTU CON INTEMCCION =' ,F6.2, ' %' 1 CLOSE( 40 STOP END
C C A C * A h C C C A A C A A ~ A h A A A A h A * ~ A A A A A h A A A A A A A A h A A A & h A A A A A A A h ~ + A A A A A A A A A & A A
C SUBROUTINE DES(N,AI
C C FACTORIZACION LU DE UNA MATRIZ COMPLEJA Y SIMETRICA C C VARIABLES:
C. I I I
C A = MATRIZ DE COEFICIENTES C N = ORDEN DE LA MATRIZ A C
IMPLICIT REAL*& (A-H, 0-21 COMPLEX*16 S W , A I 3 , 3 1 DO 100 1=2,N DO 80 J=l,I-1 SUMA=(O. DODO, DDI IFIJ. EQ. 1) W TO 70 DO 60 K=1, J-1
60 SvMA=SuMA+AIK,KI*A(I,K)*A(J,Kl 70 A ( I . J ) = ( A ( I , J ) - ~ ~ / A ( J , J ) 80 COW I NUE
SuMA=(D. m,o. WI DO 90 K=l,Z-1
90 SUMA=SUMA*A(K, K)*A( I, K1**2 A I I , II=A(I, 11-SUMA
100 CONTINUE RETURN END
C C * e A n - ~ C a ~ n A n n e ~ ~ ~ * C C C ~ C A A * * A A * A * A * * * I h * C C * * ~ * * * * * ~ * * * A * * * * * ~ ~ * * A A * A
C SUBROUTINE RES(N,A,B)
C C SOLUCIOH DEL PRDBLEMA FACTORIZAW DE ECUACIONES ALGEBRAICAS: C ILUI € X ) = i B ) C C VARIABLES: C A = LU C B = VECTOR DE TEEWINDS INDEPEMIIENTES C N = ORUEN DE LA MATRIZ A Y EL VECTOR B C
IMPLICIT REAL*8 [A-H,O-2) COMPLEX*16 SUMA,A13,3),B(31 DO 50 I=2,N SUMA=IO.DO,O. W) W 40 K=I, 1-1
40 SUMA=SUMA+A( I , K) *BlK) BI I )=BI I )-SUM
50 CONTINUE BIN)=B(NI/A(N, N) W 100 IF=1, N-1 I=M-IP SuMA=IO. m,o. DO) W 90 K = l , IP
90 SW=SUMA+A(I+K,I)*B(I+KI B~Il=B(I)/A(I,I)-SUMA
100 CONTINUE muRN END
3.2.1 Ejemplo de Aplicacidn
Archivo de entrada:
2600.73,l. 16,s. 0,2123
900.0,26000.0,11.28,11.41,5.0
3.08,72.7,1.5,5.0,0.45
PAE. SAL
Archivo de sal ida:
; M ( t 1 . T ( s l ,< (%),H e e e
: M (t 1, J ( t -mZ) . ~ ~ ( r n ) , R Id. D[ml C C
; T IS), p (R/SI, P ( t/rn3). <=(./.I, vS s
;Nombre del archivo de salida
PERIOD0 S I N INTEMCCION = 1.16s AMORTIGUAMIENTO S I N INTERACCION = 5.00%
PERIOD0 CON INTERACCION = 1.45s AMORTIGUAMIENTO CON INTERACCIQN = 5 .60%
C. 111
3.3 ANALISIS DE IMTERACCION S W - E S T R E W R A DE UN EDIFICIO
En la f i g . 3 . 1 se muestra un edificio de 10 niveles estructurado con
marcos de concreto que se desplanta en un dep6sito de suelo
estratiflcado con profundidad a la roca basal igual a 56 m. La
construccidn se ubica, de acuerda con la regionalizacidn sfsmica del
pais, en la zona sismica B y pertenece, s e g h su destino y
estructuracibn, a1 grupo B y tipo 1, respectivamente. Como parte del
anAlisis de interacci6n suelo-estructura se pfde determinar el periodo y
amartiguamiento efectivos de la estructura interactuando con el suelo.
Asimism, se requiere obtener el factor reductive por intgraccibn
definido mediante el cociente </V1 siendo 5 y V1 los cortantes basales
con y sf n i nteracc ibn, respect ivamente, correspondientes al modo
fundamental de la estructura.
En vista de que la construccibn p s e e las mismas caracteristicas en las
do9 direcciones ortogonales en que ss d e b analizar, el d l i s i s de
interaccidn suelo-estructura se reduce solamente a una direccibn.
3.3.1 Caracteristicas del Sintern Suelo-E~tructura
L a estructura se modela corn una viga de cortante cuya rigidez se define
en terminas de las rigideces de entrepiso que se indican en el esquema
del edificio. Se considera que el peso en cada nivel es igual a 1 t/m2 y
que el amortiguamiento de la estructura supuesta con base rigida es de 5
por ciento.
La cimentacibn se modela coma un caj6n rigid0 que se desplanta a una
profundidad de 5 m y cuya base de forma cuadrada tiene una superficie de
contact0 igual a 400 in2. Por razones de ssncillez sc despreciar& la
contribucibn de 10s pilotes en la rigidez de la cimentacibn.
Vista isornktrlcu
arcilla
lirriu a!-erluso y arcilla linlosa
52 m
arcilla dura e4 = 110 m/s
P'ig. 3.1 Sistema suelo-estructura
El suelo se modela corn un depbsito eatratificado horizontalmerite, con
estratos de velocidad y espesor variables que se fndican en el esquema
del dep6sito de suelo. El peso v o l d t r i c o de 10s estratos se considera 3
constante e igual a 1.5 t / m . Se suponen un coeficiente de Poisson de
0.45 y un amortiguamiento de 5 por ciento como p a r h e t r o s efectivos del
si t io. Las propiedades mechicas del subsue lo se consideran cornpat ibles
con 10s niveles de deformacidn esperados durante temblores intensos, por
l o que se despreciar&m 10s efectos no lineales del suelo.
3.3.2 Periodo Dominante y Velocidad Wectiva d e l Suelo
Para determlnar el periado dominante de vibracibn, Ts, y la velocidad
efectiva de propagacibn. del depdsito de suelo se aplicarA la
tecnica aproxirnada basada en el concepto de lentitudes. En la tabla 3.1
se muestran 10s c&lculos necesarios para obtener, s e g h la ec. 1.4, la
velocidad efectiva en terrninos del promedio de las lentitudes de 18
formacidn estratificada del sitio.
Tabla 3.1 k t e r m i m c i 6 n de la velocidad efectiva dt propagacibn del rsitio
Estratc h m 6 m
C m 1 (m/s 1 hm'%i
1 5 60 0.083 H - - 8
@a H h = 67.71 m/s
m 3 10 110 0.091 C -
m = 1 pp 4 4 110 0.036
X h = H = 5 6 h = 0.827 m a a m m m
Ik acuerdo con la ec. 1.6, el period0 dominante de vibracibn del s i t i o
resulta ser igual a
3.3.3 P a r k t r o s Hodales Equivalentes de la Estructura con Base Rigida
El periodo fundamental de vibracibn, T , de la estructura supuesta con t
base rigida se puede encontrar a1 resolver el problem de valores
caracteristicos clef infdo por la e c . 4.19. Para e l l o , la matriz de masa
de la estructura se construye con las rnasas de 10s pesos por nivel y
esth dada par la matriz diagonal
'33.03 33.03
33.03 ( ceros ) 33.03
33.03 33.03
33.03 ( ceros ) 33.03
33.03 33.
t
2 t -s /m
03 - En vista de que el edificio se modela como una viga de cortante, la
matriz de rigidez de la estructura se ensambla con las rigideces de
entrepiso y e s t a dada por la matriz tridiagonal
'1120 -460 -460 884 -424
I -424 828 -404 ( ceros ) -404 784 -380
-380 752 -372 -372 736 -364
-364 692 -328 (ceros 1 -328 640 -312
-312 564 -252 -252 252
Resolviendo el problem de valores caracteristicos resultante se
encuentra que e l periodo y modo fundamentales de vibraci6n de la
estructura en su condici6n de base rigida son:
S e g h las ecs. 6 . 2 y 6.5, la masa y altura efectivas de la estructura
con base indeformable vibrando en su modo fundamental se deterrninan corn0
sigue:
De acuerdo con 10s valores de 10s parametros #ls, T y H del sistema 0 e
suelo-estructura, se tiene que
raz6n por la cual se justifica realizar el a.n&lisis de interaccibn
sue lo-estructura.
3.3.4 Psriodo y llraortiguamiento Efectivos del Sistsm Suelo-Estructura
Para determlnar el period0 y amortlguarnlento efectivos, y 9, del e
modo fundamental de la estructura con base f lex ible se aplicarA la
tecnica aproximada que se describe en la seccibn 3.6.5 de
recomendac~ones. Se optarh por la alternatfva que consiste an obtener el
periodo efectivo mediante iteraciones en la frecuencia usando para ello
rigideces didmicas aproximadas.
En orden de aparicidn, las cantidades invariantes con la frecuencia de
excitacidn que intervlenen en el procesa del cAlcula de P y ee son las e
siguientes:
0 8G R~
K = . [, + + $1 [I + 2 ;] [, + 0.71 +] = I,,,,,,, ,-. 3[l-\]
E l periodo efectlvo definido por la ec. 6.18 se puede obtener a1
resolver la ecuacibn
mediants aproximaciones sucesivas en la frecuencla.
En la primera iteracihn se supone que la frecuencia efectiva es igual a
la frecuencla fundamental de la estructura con b e rigfda. De esta
w r a se puede llevar a calm el proceso de c&lculo que se detal la a
cont i nuaci6n:
C. I I I
En la segunda itaraci6n se toma como frecuencia efectiva la
carrespondiente a1 periodo efectivo que se obtuvo en la primera
iteracibn. De tsta form se puede llevar a cab0 el proceso de cAlculo
siguiente:
K h = l?[k,,-2< ~ h h q c ] = 64733.67(1-2~0.05~0.68~0.576) = 62198.18 t / m
K = K' @ -25 IJ c ) = 10422874 (0.862-2x0.05~0.688~0.026) = 8965873 t - m r r r E r r
En la tercera iteracibn se toma corn0 frecuencia efectiva la
correspondiente a1 period0 efectivo que se abtuvo en la seglmda
Iteracibn. b esta forma se puede llevar a cab0 el proceso de c&lculo
siguiente:
Kh = KO [k -25 q c ] = 64733.67 ( 1-2xD.05x0.689~0.576 ) = 62164.62 t/m h h s h h
E l proceso iterativo se puede detener, ya que la diferencia que se t i e n e
en dos cifras significativas entre 10s periodos efectivos calculados en
la segunda y tercera iteraelones es nula.
Una vez conocido el periodo fundamental de la cstfuctura con base
flexible, e l amortiguamiento efectivo definido p r la ec. 6 - 2 1 se puede
obtener a1 resolver directamente la ecuacibn
Sustltuyenda val~res se tfene:
; C = K: (n c +2< k ) = 10422874 (0.697x0.027t2x0.05x0.8611 = 1093558 t - m e r r r s r
3.3.5 Factor Reductiw por Interaccidn
Segtin la tabla 1.1 de recomendaciones, la velocidad y el period0
caracteristicos para la 20na slsnlca 8 son fguales a
Los valores de 10s parwetros d i n h f c o s del s i t i o y 10s parhetros
caracteristicos de la zona sismica satisfacen la desigualdad
Entonces, seg6n la carta de mlcrozanificaci6n sismica, el terreno de
C. I I I
cimentacibn pertenece a1 t i p o 111.
E l espectro de disefio para un terreno de cimentacibn del tipo I 1 1 en la
zona sismica B se caracteriza por 10s siguientes valores:
L a s caracteristicas de la estructura son tales que puede tomarse un
f a c t o r de comportamiento sismico Q = 4, para propbsitos de reducci6n de
las ordenadas espectrales por ductilidad.
Ahora bien, el cortante basal reducido por interaccidn correspondiente
a1 modo fundamental de la estructura con base f l e x i b l e se determina con
la ec. 6. 15, esto es:
En form similar, el cortante basal s i n reducir por interaccibn
correspondiente a1 modo fundamental de la estructura con base rigida se
obtiene coma:
Finalmente, el f a c t o r reductive por interaccidn
es el valor por el que se debe multiplicar cualquier respuesta calculada
s i n interaccibn para obtener la respuesta con interaccibn, siendo
aplicable exclusivamente en el mod0 fundamental.
Problem: Determinar las rigideces est&ticas y 10s coeficientes de
rigldez y amortiguamiento del sistema suelo-cimentacibn
mostrado en la figura, para una frecuencia de excitacibn
f = 1 HZ ( w = 2a rad/s); utilizar las tabla5 de funciones de
impedanc ia.
Los parkmetros geomCtricos y mechicos que se requieren son
10s siguientes:
Resultados: Como v = 1/3, H/R.= 6 y D/R = 1/2, se. debe utilizar la
tabla 1.3.3. Para obtener 10s coeficientes- de impedancia es
necesario conocer la frecuencfa normalizada, la cual es
igual a
Para q/2tr = 0.125 se encuentran finalmente 10s sigujentes
valores:
Pared lateral en contacto total
Pared Lateral en contacto nulo
Tabla 1.1.1 Rigideces estaticas y cneficientes de impedancia
Pared lateral: contacto total v = 113 H/R = 2 D/R = 0
K~ K~ - - K' - 6.289 r - - - 4.563 - - hr - -.275
q GR G R ~ 2 n
kh C h
k c k c r r hr hr
. O D 0 1,0000 . 0000 1.0000 . 0000 1 .0000 .OD00
.025 . 9 B 9 8 . Q O B 6 , 9 9 6 8 ,0020 -0033 ,050 4 9575 i I281 ,9871 .075 . 8967 : !i!H : 88%
.OD93 .8518 : 8 P8$
: E g : MA . 1997 .0113 .Ox32 . G I 8 1 .2283 . 0 4 4 0
. 150 .S770 , 4 8 6 2 , 8 8 5 8 ,0186 ,8237 .8388 . 1 7 8 ,8387 . 5 4 7 6 . 8041 ,0297 ,7506 , 3 6 7 5
.200 ,7169 ,7190 . OSDS 1 . 1 4 8 5 1 . 4 0 7 7 : f .8263 ,5134 , 1 0 8 5 2 . 6 6 3 2 I . 8280 .7077 . 5 9 4 7 .I823 4 . 5 3 6 5 .6371
7 4 8 1 : 5604 ,8950 .2132 4.5523 -. 2828 . 3 0 0 : SSl 5 ,5648 .S877 . 2 3 4 1 4.3234 -. 8698 .325 , 9829 , 8 2 3 4 3.7178 -1 .3097 ;[if8 .3SO ,3950 . 4 3 3 4 .375 .7777 , 3976 -1.2321 . 4 0 0 , 5 1 2 4 . 4 I D 2 . 5 9 0 6 : 2866 . 4 2 5 . 3 9 6 4 . 4 9 0 4 , 5 9 2 1 ,291 5 I. 9700 -1 .1767 . 4 5 0 .3729 ,5754 .5847 .2959 1.6863 . 4 7 5
-1.3819 . 4 775 . 8 8 4 2 ,601 0 . 298B ,7582 - 1 . 5 9 0 6 . $ 0 0 .7937 . 6 1 0 0 . 2 Q 8 4 - .9577 - 1 . 6 3 7 5 . S Z S .6113 . 2 9 3 9 - 3 . 0 4 2 4 - 1 . 2 7 2 4
.3889 .2875 -3.9858 -. 5468 .3967 , 5 4 7 2 .2888 -3 .2347 .0522
. 6 0 0 1.2552 .2977 .SO47 ,2917 -1 .7952 .3222
.625 .7B61 .4672 . BSU . 3 8 3 3 . 4 3 5 1 :%38 -*#I! .2030 .3394
.675 - : kg85 . 4 1 9 9 .3226 1 : 2 7 2 0
.7QO .os73
. 4 7 5 9 . 4 2 3 B .3343 1.7307 .725 - . I 2 7 8 .5705 . 4 4 B B ,3438 2.0130 - . 2 9 6 1
- . 0 9 8 B .750 .0288 ,8789 . 4 8 1 4 . 3 4 9 1 .77S . 8 5 4 8 .766B .5203 .SO0 - 5 4 8 8
* 7 1 : 5 4 8 Z 1834 : 22Z3 : iIE3 - 1 : 0797 -.7936 .a25 - 5 5 ~ 8 . m a @ -?. 47oa - .s318
7 1.szr2 - 4 5 6 0 . 5 4 0 3 . 3 3 5 4 -2.8370 - , 2 4 1 4 -3638 . B I Z 6 .3339 - 1 . 9 4 1 1 - .0892
- 9 0 0 1 . 0 4 4 7 ,3233 - 4 8 2 5 . Q2S . 4 5 5 7 . # ? l ! A -1 1 2% - -0533 - . 0 4 7 2 . 5 3 3 0 : ::+s + 950 -. 1$3E . 4 3 4 9 : 3427 - .744a -. 0777
1 -12875 .4S15 .420Q 3474 - .8883 - . I 0 8 8 . 8 3 4 5 .4118 : 3622 - . 8 3 8 8 - . 1326
Pared lateral: contact0 nulo v = 1/3 H/R = 2 D/R = 0
K" KO 0 h - - - 6.289
P -- - 4.563 Kh r - = -.275 1) GR G R ~ GR'
2 ?I
kh h k c k c
I- r h r h r . 000 1 .0000 . O O O O .0000 1 .0000 .OD00 - 0 2 5 . 9 8 9 8 . 0s o : 8P2S . DO20 . 9 Q 5 1
. 9 5 7 5 . O D 3 3
.0042 .075 . 8 8 6 7
,8779 . O D 8 1 -0254 -9703 .OOBS -9383
. 7881 - 0 4 8 2 .Q457 . 0 093 '- .0179
: 188 .5630 . I 897 .9113 . I S 0 .0132
.5770 . 4 8 6 2 . B E 5 6 .Dl 96 : %a45
. I 7 5 .8367 . B 0 4 1 0297 . 7 5 0 6 .6389
- 5 4 7 6 .200 .716Q . 5 7 9 3 . 7190 : OSOS
.Q67S .225 .8263 . e l 3 4 . 1088 2 .6632 1.82 0
1.1485 .539 1
1 . 4 0 7 7 . 2 5 0 - 7 0 7 7 , 4 9 5 3 - 2 7 5 - 7 4 8 1 .5950 :&?28 4 . SS23
, 5 9 4 7 . 5 6 0 4
4 . 5 3 6 5 -63% - 3 0 0 ,8515 . 5 6 4 8 . 2 3 4 1 4.3234 -. 2828 32 5
- 5 8 7 7 .9629 .5234
-. 8698 : 350 .5798 .2523
. 9 9 5 Q . 4 3 3 4 3.7178 -1.3097
. S T 7 1 . 375 . 7 7 7 7 .3378 2 6 0 - 1 4828
. 400 . 5 B 5 0
.?I24 . 4 1 0 2 - 5 9 0 6 1:785Q -112321
. a 2s 1.8968 -1.071 1 . d B 6 4 . 4 904 . 5 9 2 1 . 2 9 1 5 1.9700
. 4 SO -1.1787 - 3 7 2 9 : Z Z 5 % . 5 9 4 7 . 295Q 1 . BR43 -1.3819
. 4 7 5 : 3239 .6010 . soa .7316 2888 - 7 5 8 2 - 1. S 9 0 6
. 5 2 5 .B100 : 2984
1.3138 .7109 .el13 2 S 35 -. 9577 -1 .6375
5 5 0 1.7085 12875 13 .04 24 - 1 .2724
: 575 . S 6 8 8 : EB$E .9856 - . 5 4 68
1 w? . S O 4 7 . 2 8 6 8 . 2 B 1 7 -3 .2347 -1.7952 .0522
. Z B 6 Q . 4 6 7 2 .3833
. 2 9 9 4 -334 1
-. 238" ,3100 . 6 0
: :::: . 6 7 5 .I205
.2030 , 7 0 0 1131 .3226
1.2710 - .0607 ,0573
+ 725 . 3 3 4 3
- . 1278 1 .7307
. 4 4 5 6 - 0988
, 7 5 0 .343B
.0789 2.0130 -: 2963
775 : !Gi: ,4814 ,3491 1 . 8 6 1 7 -. 5 4 4 7 -7888
1 4 3 2 1 . S 2 0 3 , 3 4 9 5 .a132
. 7 S 7 6 -. 7 7 B 8
2 : ~ 7 9 4 825 : #!! .3457 -1 .0787 .6203
-. 7936 2 0746 - 4 560
- 3 3 8 9 -2.4709 . 5 4 0 3
-. 5316 .875 116212 .3539 .3354 . 51 28 - 2 4 1 4 90 0 1 . 0 4 4 7 .3233 I?: 8P:P - 1 0882 : 925 .5330 , 3 4 1 9 : t Egg : iiz? -1.3542 -. 0 4 7 2 -950 ,1338 . 4 3 4 Q .3427 . 3 3 8 3
. 3 872 - .QB33
- 9 7 s - 4 5 1 5 ,4208 1 : 8558
1. 000 : 6g4E . 5 3 4 5 , 4 1 1 8 1. g388 - . l o s s : -18388 -. 1326
Tabla 1.1.3 Rigideces estaticas y coeficientes de impedancia
Tabla 1.2.3 Rigideces estAticas y coeficientes de impedancia
Paredlateral: c o n t a c t o t o t a l v = 1/3 H/R = 4 D/R = 1/2
KO h
KO - -
KO
- 9.540 - - - 8.640 t ~ r - - - I . 198 rl GR G R ~
2 I7 G R ~
k h
C h
k c r
k r h r
C hi-
.OD0 1.4000 *
. 0 2 5 . 9 6 6 4 . O O O O 1 .0000 . O D 0 0 i . O D 0 0 . Q330 .DO45 .BE27
. ocloo .oso .a288 : 8S82 . B ~ O Z , 0 1 0 4 ,0250 . 0 7 S , 8 8 6 2 . 7 8 7 4 . 9 2 9 4 .ST72 .0290 . 6 7 6 2
-0821 .lo0 ,8093 ,8933 ,8566 . a 4 8 7
. 7 5 2 4 .I25 .a139 .7974 . 7 6 7 4 . 7 4 2 9 . 6 4 2 8 ,2013 : :550 .Qil6 . a 3 4 6 -7839
. 1638 , 2 6 1 8
. Y 08 1 ,9830 - 7 0 8 4 .7888 ,2835 .SO59 1.3214
- 2 0 0 .7745 6573 .7734 .7880 .2933 .612S 1 . 2 2 1 4
-225 1 7 6 4 8 7717 .3070 6 2 7 0 1.1065
. 2 Y O : ? $ ! $ . 8 5 2 8 : 7684 -3182 1.2705
.275 -9176 .a120 .7677 .3188 :a637 3;Cg .300 1.2094 .7513 1.3668 .325 . B 8 0 8 : ::?% . 703'1 ,3120 1.7558 .9237
.350 .7810 67 12 . 8 8 6 8 : . g Q 4 0 . E l 4 1 3
7 2 4 7 .375 .6659 : 7213 . 6 8 1 4 .3523 : 874 1 - 4 0 0 . 6 1 1 6 . 7889 .6823 .5350
.3816 1 .a127
. B 6 4 8 .6887 - 6 1 12
.3669 1 . 1 4 5 6 ::a I:%% .8739 . 8896 .3661 . 9 7 1 2 1 . 2 3 6 4
. 4 7 8 1.108 7763 -6707 .3879 1 . 5 0 1 3 1 . 4 0 2 8
1.1361 ,500 . n e s i : 7235 -6555
. 3 7 3 s .9703
. S 2 S -7171 6473 1 . 1 2 6 9 .3805
. 9 4 8 8 . S S O : 6624 : 6 4 4 7 3 8 6 4 , 9 6 0 9 .Qq22 . 5 7 5 ,8274 : . R 4 S 3 . 9 B 5 S 1.0538 .BOO .7953 1.2174
. 8 4 3 2 :3910
1 . 4 B 0 7 . 3 9 4 8 1.0886
.625 : 81 82 . 6 4 3 X . 4 0 0 1 1 . 4 5 8 5 1.0425
. B B O 1:GQ .7711 .6535 . 4 0 4 8 .9733
.675 . 8 8 5 7 , 7 4 1 6 .6683 1 . 2 6 9 4 . 4 0 7 0
.95s3 . T O O .7038 .6804 4 0 7 3 .9863 . 7 25 . S 8 6 1 : ?875 .8871 : 4 0 6 7 112103
I4O7 1 . 0 2 8 4
-750 .8238 . 6 8 6 9 1 . 4 4 8 2 G 5 g 6 . 4 4 6 1
1.0453 -775 ,8379 1 .'7130
.4nRS 1.7988 1.0119
.a00 1:0183 .8108 :%$ . 4 0 8 4 . 9 4 2 9 1 . OOSB -7662 .6716 ,4114 1 . 5 9 6 1
: ZE8 . 8 B 4 2 .809D .7432 . B 7 4 3
1 . 2 3 5 4 + 4 1 4 6
.8813 .87S .7573 6330 . Q S 4 7
. 4 1 7 Q 0 3 2 5
.BOO : E#f .7B72 : 6995 . 4 2 0 7 1 . 0 3 8 6 1.3280 : 9 9 7 7
. 5 4 0 6 . 8 4 1 5 .7226 .4221 1 . 0 3 7 4 : E8 .8138 .8635 . 7 4 5 8 1 + 7351 1.0311 -975 1.1265 . 8 3 8 4 - 4 2 1 9
7848 2.0508 . j209 . S T 4 4
1.000 1.2040 .7821 : 7820 2.0358 . 193 1.7145 .8530 .a967
Tabla 1.3.1 Rigideces estdticas y coeficientes de impedancia
Pared lateral: contact0 t o t a l v = 113 H/R = 6 D/R = 0 I
Pared lateral: contact0 nulo v = 1/3 H/R = 6 D/R = 0
r hr - + - 5.530 -- - 4.543 - = -.368
9 GR C R ~ GR' 2 a k c k c k c
h h r r hr h r
. 000 1 .0000 1 .0000 . O O O O 1 .0000 : 8558 . 0000
.025 . € IS84 - 9 9 4 2 .On38 : 8E:: ,0178 - 8 8 4 8 . 6 8 3 7 . 0137 : 8 3 8 .7588 : 872 .5385 1 . 5 1 6 7 . 6 0 2 8
-100 . 5 9 1 8 . Q 1 4 4 - .439 . I 2 5 . 8 8 7 0 .IS0 .9173 .8S82 1 . 2 0 3 4 ,175 1 . 0 0 8 1 , 8 2 8 4 .I527 -. 2684 .200 . B216 .7 973 . I 7 4 8 -,3297 , 2 2 5 .7 9 2 4 : s o l s 7743 . I 9 3 0 - . 3 5 4 4
. g o 2 1 , 6 5 3 4 : 751 , 2 0 7 0 I . 4094 - . 4 6 5 8 $ 7 1 . 0 1 S 3 .sRa7 -2201 1 . a 6 7 8 .300 . a 7 6 9 . 3 2 7 4 1.1025 . B851 :$$Sz 1.21'74
: SS% .325 . 7 9 5 9 6114 - . 4 6 6 7 350 . S I 62 : e & 7 , 8 8 4 8 .253s : AzE: - . S 4 2 7 :375 .1.0103 58% .2830 - .9878 : !$SsS . d o 0 . s 3 7 0 : 5057 . 2 7 1 4 ,8660 - 5179 . 4 25 : is49 . 8 2 4 8 ,6313 2787 .8186 - 1 5 4 0 3 . 4 50 6362 . S 8 2 8 : 2 8 5 5 6275 -. 5 4 5 5
.a972 :8781 , 2 9 2 ~ -. 5086
.8231 - 9 7 6 9 ,3008 !ti87 -.sool 8 2 4 4 - 6 2 4 0 .3085 .3029 - S46 . SSO : 98a8 : 5326 -. 1438 - 1 5252 : i38: . B75 .963(1 .523S - ,3238 -, 3989
. B O O ,7824 ,3252 - 3861 . B O ~ ? .625s : H8tt .3308 1 : - : roo2 . B250 .3363 -. 5663 1 : 8 P A h . s 7 1 9 . a s s 7 ,3413 - .7932
,3463 1 : W Z
.700 , 8 1 4 5 -5875 . 4 8 0 3 1 : ZEi? - .287 1
.725 .7708 - 6 0 5 1 ,3514 : 127: - . 2 4 7 1 ,750 . 9 4 1 0 .I3201 . 3 5 5 8 - 1 .01 11 - . 211 - 7 7 5 1 . 0 81 .5792 . 4 8 8 3 -1.0543 -. 1 4 J : ggj33 ,800 -0815 . 4 9 2 2 - ,9215 - , I 1 2 2 . a 2 5 .7081 -3632 1: 08:: -, 1 0 6 4 , 8 5 0 . 7 4 0 3 - 3 6 5 9 - . 1004 .a78 . 883 3 . 5982 . 36Q1 - . g o 6 9 - 0836
,8897 , 8 7 8 4 . 3 7 2 4 - 9113 .7981 . S836 . 5 20 3790 - : 9092
8626 .59rlf . 9 4 3 : 3798 - 1 . 0 4 9 6 r i
- 8 7 5 : 9606 .3794 .5612 , 3747 - . 9 4 3 8 .13216 1 .000 -891 4 .5593 . 3 6 7 8 .373 2 - . 6 8 8 2 .0389
Pared lateral: contacto t o t a l v = 113 W R - 6 D / R = 1 / 4
KO - - r KO
- 7.490 -- - 6.387 hr - - . 147 rl GR G R ~ GR= 2 lr
kh C
h k c k c
r r hr hr 0 0 0 : 02s
1.00OD . O O O O 1 .oooo ,3461 0 4 0 7 . a000
.9929 1 . OODO
.On46 . 0000
. 050 1 8 4 2 6 , 9 6 9 1 - 0 L 14 . a 7 8 7 . O B I a
.07S : #%& ,7OSl . 9 1 1 0 .0537 .5638 - 1 .I030
. 4 9 7 8
: iss .9578 ,7487 .8912 .I333 -. 1371 .87a% .1fia4 1617 4 5765
. 1 S O . 8 8 6 2 : 989g .841z -.5362
2 BBBS .a403 -176 . 7 7 t Q : 1836 .5271
- 8 1 17 . 2 0 4 7 4.0212 . z o o ::88tA . s a 4 4 .?a34 . 2 2 7 z 1 . 1 4 ~ 7 3.6243
. 79Q3 .6913 . 7 6 1 1 -2191 - . 2 5 6 2 .BE399 2.7605 1 5% . B E 3 4 . 7 8 6 0 . 74SC) 3.3889 .275 1 . 0 4 4 5 7 7 3 4 .2530 4 . 0 7 2 0 .2687
.7303 . 3 0 0 . 9 93 : 6421 .7144 1 6250 ' 27a5
1 :8832 .2881 4.1247
8847 . B B S 7 . 6 9 6 6 .2989 3.3220 : 8732 .7655 . 6 8 3 5 .3092 1 . 6 5 7 3 1.1751 3 . 4 7 2 4 .
1 0 6 4 0 . 7 4 8 3 .6733 3 .a369 . 4 00 . 9 r s s ROB 3 2 4 2 .3173 3 . 7 0 Q B . 4 25 . 8 4 2 6 : %!: . B S 0 3
2-9769 3.2713 2.7762
, 4 5 0 .7527 :3 13 2.5337 , 6 4 1 4
3.461 9 .475 1 : E343 . 733'1 . 6289 :3%1 ?:%: 3.5971
: 2 2 . B 8 6 8 .6797 . 6 1 3 4 .3477 . 8 B R S 6982 .6038 3 . 8 3 4 6
.590 . a 9 4 8 : 7375 .6037 3623 . 3 S B S 4 . 8 2 4 3 .575 1 . 0 5 3 71 7 2 .BOB3 ' ' 5522
3 . 4 8 6 0 . B O D : 6772 6 . 4 B 6 3
.6000 :3657
5.7287 3.0673
,625 . 8 8 D 2 . 3 6 B G , 6 5 0 1817s : 2.848 .3773 5 . 4 3 7 5 .3730
. 7 2 B 4 4.9929 5 1 ?;8: . 6 7 5 . B B S 6 . 5 9 4 6 2.9785 .700 1 . 0 1 6 4 1 .3808
. 5 s 4 4 6 . 8 4 8 7 2. B 9 6 5
.725 . a 6 6 5 .6786 .5957 7.0968 '3839 6.7381
2 . 6 1 Y O ,750 . 7 6 5 1 , 7 0 3 4 .602 .3912 .3876 2.5466
- 8 5 7 6 .7325 6 . B B & O . 3 9 3 6
2 . 5 9 4 6 8 3 . 0 2 7 B . 3 9 4 1 7 . 9 4 3 6 2 . 5 4 0 3 .82S . a032 : Z i ? : .6343 7: 2.2766 . 8 5 0 . 6 7 4 7 . 8 3 8 4 . 3 9 4 7 . 3 9 4 2 2 . 1 0 9 5 .876 . 6 8 Q 8 7 . 2 2 6 B
.6376 2 . 1 0 5 7
- 9 0 0 . €3957 1 a?? 7 . 2 4 9 9 2.1352 : 8 4 5 4 . 6 8 3 8 : 89% 7 . 4 4 4 6
1 .+?el8 . 6 6 5 7 , 4 0 2 3 - 4 0 0 2 7 .224 . $:[ ig$ -975 1. DO0
7226 : 7924 : B8hi A 690s -6989
. 4 0 2 .TI02
S:Bi!H! . QOO'! 8.0781 1.9524
Pared 1at.eral: contact0 nulo v = 1/3 H / R = 6 D / R = 1 / 4
KO h KO - -
KO - 6,956 -- - 4.885 hr = - .527
1 GR G R ~ 2 K
kh C h
k c k r
C r hr hr 0 0 0 1 .0000 . 0000 1.0400 : 02s . 9 4 9 7
. o o o o ,0381
1 . O O O O . 9 9 2 9 . 00 0 7
. O D 0 0 .050 .837 1 . Q G B E -981 6 .0309 .a75 .El428 1 EH! . a 8 4 4 . 8 7 8 2 . I 0 0
,9228 . 687D
. 0 5 3 9 . 8930
' 0 1 8 4 1.3336
, 1 0 7 8 - 8 3 4 7 a88 ,5719 . a 5 9 8 1 . 2 4 4 7 -. 0724
: ;% .922B .7303 - 8 2 5 9 .I389 . S 5 4 2 - 1 6 S Z
- . o 12 3 . 0 4 7 3 ,7010 .?a88 .I891 .9358 ,9257 1824
. Z O O 1 + 287 - 5 4 1 3 : 1762
. 2 2 5 . 7521 . B 4 3 1
. 2 1 4 2 .7217 .2378
. 9 2 8 1 . 1676 .250 1 . 6 9 4 3 .2561 .8567 . 93C)B .2108 -275 1.0936 .6657 .I81 1 - 3 0 0 1 . 0 5 5 8 -2718
-8388 .8865 . I 3 2 9
-325 . 6 3 7 1 .6102 . ""'g . 6 6 5 9 . I B S S .350 1 Z i ? ? .6887 : 35317 .6856
. 5 8 4 9 , 2 8 2 7
1 1431 .6735 ,7595 .3269
,265s 8 1:0923 ,8133 : 5 5 a . (120 . 4 2 5 1.0053 .33S2
.51 !36 .5268
.3505 : % I 8
. 4 50 : Z38i . 1 9 8 2 : ? $ # .3210
. 4 7 6 . 6 6 0 5 .3603 . 4 747 - 3 3 0 4
.SO0 . 6 1 8 0 .3695 . S O 3 4 , 4 5 2 1
. 3 2 8 4 . S 2 5 0 47 ,8282 .3793 . 4 0 8 0
. 4 3 1 6 . 3 S 0 1 .3762
1 1262 . BE22 . 4 83B . 4 0 1 4
. 4 1 2 5 8 1:2607 , 8 4 2 4 . 4 1 1 8 . S125 - 3 9 4 2 . B O O 1 . 2 4 1 0 : TEE . 4 0 2 6 .BZS 1.1644 9 1 8 8 . 4 1 B7
.3883 .51363
.BE30 1 . 1 6 2 6 . 6 3 4 5 : %% . 4 1 7 4 .3882
. '388'7 1 3014 . 8 4 2 E . 4 4 1 8 . g o 9 9 . 6 R 4 7 5599 $ 8 1 : 3 7 7 2 . B 1 1 9 : Z!J! . 4 4 8 9 . 3 8 4 5 : 5223
.725 1 . 3 1 2 8 ,5939 , 3 8 9 4 5725 , 7 5 0 1 . 2 4 2 2 ,6023 ,4573
.3880 .5077
. 4 6 5 3 : 6565
1 2907 . 6 2 4 7 . 4 0 1 D .4735 .8398 1 . 0 8 4 6
. 6 9 5 3 . 8 0 0 '77"
1 : 4 8 4 2 . 6 2 0 D . 4 2 4 0 , 4 7 9 9 . 6 7 8 5 . 8 2 S 1.6263 . a 4 4 1 1 :?%f . G84 1 .850 1.4696 .8$8! , 4 8 4 2
.4581 .7501
.a75 : 5730 ,4722 : % 8 8 i 2 . 0 3 8 5 1 . 5 5 2 8 . 7 9 9 4
.goo : : % & i l B ,925
.5778 1 . S I S B : 28E-g . SOQO 2.6311 . 5 0 I a
, 8 6 8 9 2.3391
.9SO : 77%
2 . 4 8 8 1 . 5 5 3 4 -5820 .7859 .5SS6 3.0965
. 6 4 8 S 'S154
3.5030 .S196 .7816
1%: k $ d ! g .S817 . 7172 - 5 2 0 5 3.6913 .7437 .?I77
Tabla 1.3.3 Rigideces estaticas y coeficientes de impedancia
Pared lateral; contacto total v = 1/3 H / R = 6 D / R = P / 2
KO 0
r - - - 9.027 - - - 8.729 - - Ihr - 1.024
7) GR GR" G R ~ 2 rr
kh c k c khr c h r r hr
1.0000 1 . O O 0 0 . OQQO 1 .oooo . 0 0 0 0 1 8;: , 3 3 8 8 9910 . O O 5 9 9 2 8 2 ,0524 - 0 5 0 : 9 6 l . a 2 4 0 : 753 .8862 .07s : Z8i8 .a888 r IaHi . S E ~ I
, 9524 : # 8 G , 8 7 4 8 8788 .8047 : 8455 .8816 ,2392 1 : ?8# 1.4781
, 1 7 6 . Q83f . 0 0 0 8 1.3986 1.053 7s:; , 7 8 9 1 1 . 1 1 5 4
7858 ,7628 ' 8 5 5 4 7 5 5 2 : 798%
-275 1 : 8418 : 8 ~ 7 3 : 7 ~ 8 i
-73 . 300 . 7 B O B .325 - 8 4 , 7727 . 7 2 1 4
- 7 1 4 8 .350 .?a90 .37S - 8 8 8 0 :s$gB : 7128 7010
-8818 .81 - 8637 -794 - 6937 . 3 B 9 8 ,0931 1 I717 -7813 . B 2 3 8 ,3745 1 : 2360 .84Qf3 .8807 .377t 1 : i ~ ? ? I . 3.4. : sat, 8372 . 3812 . Papi 1 1.1358
.S26 : 0102 ,6637 .3881
.580 : 7844 : 48% : i fd! 1 : i197 : O#P? . B e 6 1 8032 1.5179 3 -2211
: 8;: : soss , 8 4 3 5 -3989 1.1405 ,625 . as48 . ~ I S P
77 0 .I082 . @ 7 0 4 ; : saz7 . 338 , 8 5 7 3 , 4 1 0 0 1 . 1 4 4 5
.725 8 4 4 8 .4125 1.1099
.750 ,4155 1 .5300 i. ;St4 ,775 ,7012 . 6 S 7 B 11!z 1.8321
8088 ,7123 , 4 1 8 2 lm:g?l 1 : 130f : w : 8734 , 8824 : 73;: 1.1006 . 8 5 0 , 8 8 8 2 1 : 7477 1 .0684 .875 1 KG! 8393 ,7377 1 . 8 7 5 2 . S O 0 .7250 ; sas: ,7422
,7108 e727
1 ,0545 1 8g8 , 8 4 7 4 . Q 7 5 .8333 ,4197
1 - 0 0 0 , 8 2 8 0 .?744 , 4 1 9 8 1.5628 1.0643
Pared lateral: contact0 nulo v = 1/3 H / R - 6 D / R = l B
KO P
KO hr - - - 7.537 - = 5.315 - = -. 680
r) GR G R ~ GR' 2 5r
kh c k c k c h r r hr hr
.DO0 1.0000 1 ."""" . O O O O I. QOOD . 0 0 0 0 , 9 4 8 4 1 Et6 . o o s s : 82EFi . 0370 : 8% ,8307 . 8 3 ~ 0 ,0238 .El181
,075 : 1888 . ~ Z E S 1 13:; 1 . 1 ~ 4 2 . g3sg , 1 0 0 8 7 6 6 1.1525 .I25 . 9374 : 8381 ,8904
. 8 0 2 0 .2052 ,8597 : 1g48
. 9 6 3 4 . 4 2 8 6 : 17; 1.0673 ' 7159 .7853 , 2 3 4 1 .BOOB . z o o 1. & l a 4 : ssas , 2 6 4 2 : m i ,9321 -225 8183 ,2378 .6612 . 250 1 1 O m : 8 8 1 4 . 6 7 0 4 .3242 1 : 0 ~ 2 0 .275 1.3271 .647B 1 2oie -300 1-21 7 2 1: 0787
. 3 9 6 1 ,325 1 . 1 7 0 8 -7889 - 3 0 l.lSZ9 - 5 9 8 . 4 1 6 7 ,7752 .3?5 1 . gas6 -8193 , 4 3 8 1 . B 3 9 0 . 4 0 O .BOO3 1.8738 . 4 2 S : : 32jg 5584 .6763 2 . 1 8 9 4
:54l , 7188 2 6370 : 9 E E
. 4 5 0 1 . 2 7 4 0 . 6596 1 . 2 4 2 3 . s a d : ZZ98 . 4 Q 9 7 $ ; iz1; ,6177 : : a s 1 . 1 7 0 1 . Sf371 . S O 4 2 -4802
.525 1. 363 ,9291 3.3545 4 4 7 7
.950 3 . 3 3 2 1 1 .a218 3 .8519 :%:1 02
12867 .as15 .OBI3 , 4 7 2 2 3: 2g34 . 0 4 9 8
, 6 2 5 , 4 8 8 0 . 4 S S 3 3 4 6 5 9 . 0 4 5 4 . 650 . 4 4 4 B 1. 3314 4 3 8 3 3 : 5 ~ 4 0 ,676 I. 0699 : 88E% 1: 3 7 4 ~ 14AE4 3.1672
1.3886 : PZS?
700 1.1183 -. 1 6 B 6 : 7 2 5 1 . 3 4 3 7 ,531 26 ..,,, a : 1 : 88:; -. 1385 . 7 5 0 : 9 8 E . 4 S B S 2 5 8 1 .77S - 4 37Q 1,3771 2: 1384 -. - a ggZ9 179 . Ql02 1.3541 1.8582 : 4224 -. 1684
1.3318 ,3379 -. 081 9 . S184 1 : z i i : ,3322 - . 0681 .a75 ,3270 1.8128 - . 0 7 S ,900 3 . 1 1 4 0 ii:! 1.2635 8 1 1:2564 2852 -. 0 4 g 4 - 9 2 5 1 . 1 0 0 3 -0078
1.2ls5 4959 . 3 3 6 6 1 : 3385 .0277 : 4722 , 3 1 8 4 . 0 2 0 8 T . o m f : H i 8 . 4 6 4 1 . 3 1 a 1 1 . ~ 1 5 7 -0328
-
Tabla 1.5.1 Rigideces estaticas y coeficientes de impedancia
Pared lateral: cantacto t o t a l v = 1/3 H / R = 1 0 D / R = O
K" h
KO r
K" hr - = 5.353 - - - 4.535 - = -.373
V GR G R ~ GR' 2 7E k c k c k c
h h r r hr hr
.ooo : 898: .oooo 1 .oooo .OOOO : 8855 .oooo
.025 4 0 6 6 ,3931 .a067 ,060 . 9 4 0 1 : 6506 . 9 7 3 4 0 3 1 5 1 . 2 3 5 1 . 0 7 5 . 9280 .5485 . 9 4 8 : 0 9 4 9 1.0985
: $ 8 & i -. 2422 . L P O .9 982 ,6083 :fa88 igli -. 0537 . 1 5 ,6225 -. 2082 : t l s . a 5 8 8 . I 3 2 6 -. 2721
,8269 . 1 6 S l 1.2816 ,200 . 9171 . 8 0 0 7 . I 7 5 4 3 . 3 2 7 1 .2ZS , 9 7 0 1 .59 .I925 1 . 3 0 8 0
1: 253; : 7 3 ; -. 4278
. 2 9 0 .a868 ,8107 1 . 2 8 0 8 - . 4 1 1 9 : E;: : 8;: . 8 2 3 B .7290 -. 4 8 8 1 ,7071 .2330 -. 4715
.325 . B 0 6 5 , 2 4 3 8 . QS07 6668 ,2837 . 3 S O 1 . 0 3 85 ,375 .8733 . 6 0 8 5 : 6470 1 . 0 1 4 0 -. 4 9 7 4
, 9 1 1 2 .8515 . 6 2 6 9 - . S 4 9 1 1 . 0 2 1 0 ,8237 . BOQI -, 3584
: i!%3 . S82l . 2 8 7 0 -. 4978 - 4 75 . S 7 4 8 , 2 9 4 3 . 500 . gag3 ,3016 ,3276 : 22:: ,525 . 8 1 4 3 .5959 . 1713 -. 4750 11811 , 8 8 1 7 ,8272 -5313 . 1071 -. 4875
1 liit . B38S .S208 1: hiti: - . 4 5 0 8 . S 1 2 1 . 3 2 6 7 -. 4101 : 625 ,5027 ,3319 -. 3617 -. 386 . tisa .8767 . 4 0 4 6 .3372 -, 5S72 - . S T 4 8
. 8 7 5 1 .0437 -8367 - . 8 0 6 2 - . 3 2 4 3 : t SE: .70a 1.oIas ,5983 - . a 8 2 5 - . 2 5 7 e 725 .BOO8 . 4 8 4 9 - 8959 - . 2 1 7 4 : 7 5 0 . 4 8 2 8 -3542 - 1 9133 - .I794
. 7 7 5 . 3 5 7 9 - .8691 , 6 0 0 . B 5 0 3 , 3 8 2 0 - .8762 .825 -8973 . 8 0 3 7
1: 124z - . I 2 1 6
. 8 5 0 - 8 0 8 8 .5823 - . 0 7 8 0
. 8 7 5 - 7 2 % 1 . S752 - . 8 6 1 4 -. 0493 .!3921 . B 0 8 0 - 5199 -372 - , 7 4 1 3 - - 0 6 1 6
8 9 3 4 :859 :,,,, . B 4 9 9 . S Z 7 4 . 3 7 3 1 - - 0 6 1 7 -950 B 5 6 6 . 5 3 4 7 ,3742
- 5 4 5 1 . 3 7 5 5 ':Z886 , :gqfg . Q 7 S 1 . 2 0 2 5 :612l -, 9657
1 . 0 0 0 1.086 1 - 5 7 3 1 ; - 5 6 0 1 . 3 7 6 4 -. 8084 -0095
Pared lateral : contact0 nulo v = 1/3 H/R = 10 D/R = O
KO 0
- - - 5.353 - - - 4.535 Khr - = -.373
rl GR G R ~ G R ~ 2 a
kh =h k c k c
r r h r hr
. D O 0 1 . 0 0 0 0 . a 0 0 0 1 . 0 0 0 0 3 ,0000 .no00 : g::? : :E; . 8 7 2 6 .40B% , Q931 1 : 852'3 - 4 0 1 3
9401 , 9 7 3 4 .0315 . 0 7 5 : 9280 . 0 5 4 8 I .09aS , 1 0 0 .9BB2
-:PEE -.a637
. I 2 5 . SBSH . S225 -.2082
.I90 ,9650 . B382 : 8568 - .2721
. I 7 5 9 7 8 4 ,8289 : 1551 - 3633
. Z O O : 9 1 7 1 8 0 0 7 , 1 7 5 4 1 . 3 2 7 1 - : 3 3 7 9 ,225 . 9 7 0 1 : 7754 . 4 S Z S 1.3090 -. 4278 -290 : , 6107 . 7 5 2 2 . 675 : : 535: - . 4 1 1 9 - 2 7 5 , 7 2 8 0 .2206 - . 4 6 8 & - 3 0 0 7071 . 2 3 3 0 1 . 1 8 7 7 - . 4 7 1 .328 : 8 0 4 7 : 6865 . 2 4 3 8 i ifla - .502S ,350 .St307 , 8 1 5 8 . 6 6 6 8 .2537 - , 5 2 0 2 .375 ,8733 . BOBS , 6 4 7 0 . 2 6 2 4
.B112 , 6 5 1 5 .828B .27 1 1 . 9 6 1 :I89 1 : g g ~ g .6237 ,6091 .2788 .?038 . 4 5 0 : 8398 ,2870 , 8 1 8 9 - 1 4978 . 4 76 .8B66 . 2 9 4 3 . S 8 9 0 -. 5227 . S O 0 . gBQ3 . 6 2 7 5 . 3275 -. 5307 : 3898 . S Z 5 - 8 1 4 3 . S B 5 Q . 5 4 4 9 . t713 -. 4750 - 5 5 0 ,8517 . 8 2 7 2 ,5313 . 3 1 4 8 - . 4 6 7 5
5 7 5 : , 8 3 6 5 . 5 2 0 8 . 3 2 1 2 -:I??i - 4 6 0 8 . 3 2 6 7 : 6 0 0 , 5 1 2 1 -. 2935 - 1 4101
.a25 . 8027 ,331 9 -. 361 7 -. 3864 -650 : 8767 - , 6 6 7 2 - . 3 7 4 6 . 8 7 S 1 . 0 4 3 7 : 6367 -. 8082 -. 3 2 4 3
1 . 0 1 8 5 . 5 @ 8 3 ,6006 : 8PAi . B O d B
- 7 7 5 . Q 2 0 8 . 5 9 0 9 . B O O .%SO3 . 5 @ 7 3 : 4792 .825 . B973 .6037 . Q B 4 S . 3 6 6 1
.5823 . 650 . $887 - 8 7 5 - 5 7 5 2 .3713 -. 861 4 -. 0493 .GOO : sazl .Boa0 - 7 4 1 3 :353P - 1 7 ~ 5 4
-. 0515 .929 , 6 3 3 4 , 8 4 9 8 . S 2 7 4 .950 3:88B8 : E88Ei .3742 -. 8966 . S 7 5 ,3755 -. 90S7 -. 88AZ 1: 0210
1 .OOO 1.0861 - 5 7 3 1 - 3 7 6 4 -. 4064 .OOB6
Tabla 1.5.3 Rigideces estiticas y coeficientes de impedancia
Pared lateral : contacto t o t a l v = 1/3 H/R = 10 D / R = 312
-. . -. . -. . . . .
Tabla 2.1.1 Rigideces estiticas y coeficientes de impedancia
Pared lateral: contacto t o t a l v - 0.45 H/R = 2 D/R = 0
K:: KO KO - - - 6.771 = 5.506 - - hr - .081 7) GR GR" G R ~
2 m k c k c k c h h r r h r h r
: 882 1 . 0 0 0 .4*88
. O O O O 1. D O 0 0 0000 1.0000 . O O D D , 0 0 6 6 .9968 : 0021 -990 B 0058 . 050 .9576 -0143 .9870 . D O 4 2 . 9 6 4 4 :0109
.075 . B 9 G 7 .02SS .9703 .0065 . 9 2 4 0 . 0 1 4 6
. I 00 . 7 8 7 4 . 0 4 87 - 9 4 6 0 .DO91 .8725 .0196
.12s .ss8g .202s . ~ 1 2 9 . n i 2 2 .7974 .1s1 I
.I50 .5698 .4783 . BEEIS . D l B Y 1.2712 -1226
.I75 . 6 2 8 6 .5728 - 8 1 13 , 0 2 4 7 1.7817 - . 5822
. Z O O . 7 1 1 9 : !E32 :$322 -0389 1.0351 - 1.8872
.225 . U522 0691 455 - 3 . 9 0 4 0
.250 1 . 0 5 4 4 . 5 8 S 6 . a48 1 11327 -519385 - 4 . 7 7 7 9
. 2 7 5 1 . 1 3 2 8 .4458 .528 1 . I 9 0 5 - 1 1 . 3 4 4 1 - .9682
.300 1.0493 .3287 , 5 2 4 8 ,2208 - 10.2888 1.9808
.325 .77 13 . 2 8 0 4 ,5221 .2397 -8.66 1 1 2.3155
.354 .6241 .3768 ,5096 .2519 -9.9634 3.3758
.375 - 5 8 7 4 .3768 .50 19 .2652 -7.5687 4.1225 , 4 0 0 , 4 0 0 1 .4184 .4968 .2721 -7.6297 3.9762 ,425 .2971 .4958 .4860 .2772 - 8 . 3 4 2 B 4.5705 . 4 5 0 . 2 7 0 4 . 5 8 4 3 .4733 -2818 -8.1305 5.6394 .475 .3668 . 6 8 4 1 .4613 .2056 -6.2650 6.7190 . S O 0 . B Q S O .7726 .a513 . 2 8 7 7 -1.2996 7.7022 .525 1.2382 ,7731 . 4 3 9 4 .2883 6 . 5 2 5 7 7 . 1 4 3 1 .5SO i : 6242 .4128 .2823 12.371 8 5.5814 .575 : 4309 . 3 6 6 4 .2802 1 2 . 5 2 6 6 3.5863 . 6110 1.4992 ,3103 .3110 .2825 9.8720 2.5427 . HZB 1 . 0 2 S Z ,2747 . Z S S Q .2880 6 . a 4 8 5 2.1664 . B 5 0 .5997 . 3 0 S 4 . Z U 4 7 . Z S S S 3.9871 2 .2625 .678 ,3471 ,3637 .I592 . B U 4 0 1.9726 2.6958 .700 .I181 . 4 3 8 B ,1201 .3129 1 . 1 0 4 2 3 . 3 4 2 4
: : ? 8 z ; . S Z S S . o a g l ,3217 1 . 9 8 3 1 4 . 1 3 4 5 . 6 2 0 7 : aw .3293 5.5815 4.8717
-775 .6333 .6939 3341 12.4000 5.0437 . a 0 0 1.3273 .6861 .a336 13354 19.5134 4.0875 - 8 2 5 1 . 8 4 5 B . $816 - . a 0 4 7 ,3351 21.3787 2.4262 .860 1.8881 .4821 - .a608 .3382 17.4 134 1.248 1 . 8 7 5 1 .SS08 .3628 - . 127B ,339.1 3 1.7852 . R S 6 6 . g o 0 1.0622 .3311 - . 2012 . 3 4 5 5 7 . 1 4 B 5 1 . Z Z Y U . S2S . G O 4 2 .3487 - . 2771 . 3 5 4 2 3.8217 1.7659 .950 .2508 . 3 B n l -.34FJ4 .3GS7 1 . 5 2 8 8 2.5220 .975 . O I B B . 4 s2.t - . 4105 .380:! . a 15s 3 . 5 6 2 4
1.000 - . 0391 .5321 -.4480 . 3972 3.4530 4.8976
Pared lateral: contact0 nu lo v = 0 .45 H / R = 2 D/R = 0
K: KO KO - = 6.771 - - - 5.506 - - hr - .081
rl GR G R ~ G R ~ 2 n
kh c k 1 c k c
h r r hr hi-
- 0 0 0 1.0000 . o o o o 1. Q O O O .oooo 1.QOOO . D O 0 0 .025 , B B 9 8 . O D 6 6 .9968 .OD21 .9908 .0058 , 050 .9676 . D l 4 3 , FI R 7 0 .0042 . 9 6 4 4 .0109 .075 .8967 .0255 . 9'103 . On65 .924C .0146 . l o 0 .787 . 0 4 8 7 .9460 . O D 9 1 .872S .0196 .I25 5588 .2025 .9129 .0122
.OlSS 1:;71: .I611 .I50 : 5695 .4783 . 8689 ,1226 .I78 - 8 2 8 % ,5728 .8113 .0247 1.7817 - . 5 8 2 2 .200 : zih: , 6 2 6 6 7387 .038B 1.9351 - 1 . 8 8 7 2 .225 .6482 : 6382 .0691 , 4 5 5 2 -3.9040 .250 1 . 0 S 4 4 . 5 8 5 6 . 5 4 8 1 .I327 -5. 387 -4.7779 .275 1.1328 . 4 4 5 8 .629 1 .I905 -1 1 . 3 4 4 1 - .9682 .300 1.0493 .3267 .5248 . Z X i 7 8 -10.2668 1.960D .325 .7713 - 2 8 0 4 . 5 2 2 1 ,2397 -8.88 1 1 7.3155 .3SO .6201 .3768 .5096 .ZS19 -9.9634 3.3758 . 375 .5874 .3768 .SO19 .2652 - 7 . 5 6 8 7 4 . 1 2 2 5 , 4 0 0 . 4 0 0 1 .41R4 . 4 9 6 8 .2721 -7.6297 3.9762 - 4 2 5 .2971 - 4 9 5 8 . 4 8 8 0 .2772 - 8 . 3 4 2 8 4 . 5 7 0 5 . 4 5 0 . 2 7 0 4 . 5 8 4 3 ,4733 ,2828 -8.1805 S . S S 9 4 .475 .3666 . 6 8 4 1 .4613 , 2 8 5 6 -8.2850 5.7480 . sao .69so .7726 . 4 5 1 3 .z877 - 1.2998 1 :to22 . 5 2 S 1.2982 .7731 -4394 . 2 8 6 3 6.5257 7.4431 . 580 1.8245 .6242 .4128 2823 12.3718 5 . 5 6 1 4 .575 1 . 8 5 0 2 . 4 3 0 8 . 3 8 6 4 :2802 12.5266 3 5863 .60Q 1 . 4 9 8 2 . 3 1 0 3 .3110 .282S 9.8720 215427 .625 1.0252 . 2 7 4 7 .2559 .2880 8.8485 2.1664 .650 .5997 . 3 0 5 4 . 2 0 4 7 ,2955 3.9871 2.2825 . 8 7 S .3071 -3657 .I592 .3040 1.9726 2.6958 . T O O ,1181 ,4388 .I201 .3123 1.1042 3.3424 .725 :Pa$ ,5285 ; f f g ; .3217 1.FlE31 4 . 1 3 4 5 . 7 5 D .6207 .3293 5 . 5 8 1 s 4.871 7 . 7 7 5 .6333 -6939 . 3 3 4 1 12.4000 5 . 0 4 3 7 . 8 0 0 I . 3273 .6861 .0336 .3354 19.5134 4.0875 ,823 1.8458 .S816 -.no47 .3351 .3382 21.3787 17.4134 2.4262
:RE 1.8861 ; if s k - . O B O Y 1.2481 1 . S 5 0 B - . 1278 ,3397 11.7852 - 9 5 6 6
.900 1 .a622 - . 2012 3 4 5 5 7.1485 1.2290
. R Z S .6042 .34G7 - .2771 : 3542 3.8217 1.7650 ,350 ,2506 .3901 - . 3 4 9 4 ,3857 1 . 5 2 B O 2.2220 ,975 .a168 .4627 - . 4105 .3802 .8158 3. a G 2 4
1.000 - . a 3 9 1 .5321 - . 4 4 9 0 .3372 3.4530 4 . 8 8 7 6 .
Tabla 2.1.2 Rigideces estaticas y coeficientes de impedancia
Pared lateral: contacto to ta l v = 0 .45 H/R = 2 D/R = 1/2
K: KO - = r KO
12.366 h r - - 11.152 - - - 2.433 rl GR G R ~ C R ~
2 R h
C h
k c k r
C r hr h r
.ooo 1.0000
.oa5 : 8858 1.00oo . 0000 1 . 0 0 0 0
.9877 .OODO . Q Q S S
,050 01 71 .a022 . 9 8 S B
.9B87 . DO73 ,075 : 8 7 7 : 0x97 .9671 : 8845 .9529 . ~1 s s .I00 7529 . O F 3 3 7 .8853 .0283
. 125 : soao 1 E E Z .Q110 . I949 , 7 8 4 0 . O S 4 0
. I SO . 4 833 . 0 2 2 4 . a 5 6 7
. S O 9 9 ,175 . 4 5 4 : # 8 # . 0 4 3 D
,8099 .5137 . 5 8 9 6
: E388 ,200 . 6 4 2 2 : 8 E 5 .BF i30 :taPe . 7 1 9 6 , 7 4 8 8 -0896 .6969 . a 6 4 0 .?I 34 1 8:: . 4 5 1 B -275
.a372 .719& . 9 4 1 5
: !Z$t . I 3 1 7 .5430
1 . 1 1 3 6 . I 8 8 2
: 4;;: .300 - 9 4 9 4 . 5 3 3 4 : : id$l .5370 .32S k$8$! . S O 6 2 .2333 1.0232
. 2 1 6 4 ,5825
.3238
. 9 4 S O . 6 8 0 9 . 1 0 0 4
: ?!St . Q Q 4 4 : tE8 .2590 . SSSS . 5 4 0 8 .2743
. 2 1 7 8 . 4 0 0 .SO90 .5083
. 4 2 5 7723 : H!$ . 4 6 3 6 ,2863 .3267 - 4 4 9 2 , 2 9 5 7 .I549
: z a z .450 : 6396 . 4 7 7 8 , 4 3 4 8 . 3 3 Q 1 .47S - 5 0 3 8 . 4 8 4 8 :SP!8 - : l 1 0 1 0151 .387S . S O 0 -3603 . 4 8 8 9 .a029 3208
, 4 1 9 s . 4 3 4 5 - 5 2 5 -2052 . s z o 2 .385 1 : s z a s -.2311 . 4 8 1 3 - 5 5 0 .0368 . 3 6 6 3 .3370 - . 3 5 8 1 .5309 -575 -. 1 4 1 1 1 . 3 4 8 1 .3467 - . &a93 ,5893 . BOO 8774 .3387 - 8 02 - 16808 . 6 6 6 4
I 1 $!z! : 7885 .3587 .7759 !i1i - . 0 6 0 0 ,3433
.go29 ,3729 - . 5 2 4 4
. 3 8 9 4 . B l S 4
.8507 .3834
. 9 5 4 S - 4 503 -1043
. 3 ~ 1 a 1.0318
.700 1 . 2 1 3 0 . 8 9 6 1 .4811 .3715 1 . 0 2 0 2 1 . 0 0 9 0
.725 1.9579 . 7 6 8 9 . 4 7 3 1 1. B 6 3 7
. 7 6 0 .3818
. 6520 . 4 4 5 7 . 3 S 6 1 ' : 854P .775 ;:2?$8 ,5770 41 24 .5680 . 8 0 0 1.0394 .5378
.3536 : 3757 . S33Y .825 .7833
.3529 .870b .3362
.5303 .850 .so06 : ES58 , 3 5 4 0
.2858 4 53s
.3567 .5613
.875 . 2 5 0 5 .5306 .2S71 : 3173 .5883 .0133
.3609 . S 4 B B
. 2 4 3 7 .2228
- 6 1 5 6 8 -.2025 .I943 .3721
.3662 ,5778
.a210 .B410 . 9 S O -. 3 8 7 1 . 6 1 9 .I725 .2422 .6636 ,975 - 5 2 1 2
.3783 .I578
.3070 . 3 8 4 1
- 6 8 2 9 I . o o o - : ssss : B ~ P .I491 .3891 : 88:: . 6 9 6 9 . T O 0 4
Pared lateral: contact0 nulo v = 0 . 4 5 H / R = 2 D / H = 1 / 2
- = - .255 D
2 ?I k h h
k c k r
C r br hr
: :zt 1.0000 .DO00 1.0000 .0004 1 . 0 0 0 0 . Q Q O B .DO61 - 9 9 6 7 . U O O O
. OSO .Be07 .0021 .B735
. 9869 -00 .12 0170
.07s . so46 : 88% .970 1 . DOBS ,8306 : 0364
. I00 - 8 0 4 2 -0445 . 8 4 5 7 - 7 3 8 3 . 0 6 2 4 - 5 9 6 6 - 1 8 2 4 3126 :8P% . 4 8 1 4 .I085
: .6017 .4233 : 8 7 0 2 .0076 . 3 4 8 1 . I 7 5 .8416
.0107 . 4 9 2 7
- -1779 . 8 f 5 6
,7574 .200 . 6 6 4 7 . 5 2 0 4 . O F 2 0
. 7 4 4 6 - .4220 . 8 9 6 4
.225 . 6 7 17 ,0293 - . 8 8 2 2 . SG4B . 8 4 9 5 1 . 0 1 2 6
.250 . 6 9 9 5 . 0 4 4 9 - 1 . 7 6 3 8
. 6 4 10 1.2671
. 2 7 5 .5267 .0621 -3.0816 . R 0 5 8 . 7 0 8 4 , 4 270 . 1490 -2.6Qg3
7.2103 .300 I . iclas .647? .3?51 . z ~ g g 3 . B578 .32S 1 . 3 1 15 . 4 905 - . 3803 . 3 4 3 8
4 . 6 5 4 8 .350
.258l . 4 4 3 8
2 . 1 1 1 7 .3258 2987
4 . 5 4 0 3 .375 kiBH . 4 3 6 1 4 . 3 B 2 0 4.2238 , 4 00 1 . 2 5 7 0
. 3 3 4 3 .3818
6 . 1 2 0 7 :338' 6 . 4 0 7 6
3 .363f l
. 4 2 5 .3479
1 a 2271 . J723
.3529 . 3 8 9 4 2. YQZZ
. 4 50 .390:!
1.1682 ,3234 7.3998
. 4 2 8 3 2 . 7 5 1 1
. 4 75 30 16 .+I675 4 1 0 2 . 402u
1 . 0 1 2 8 . 6 4 1 3 2 . 1 7 4 4
. S O 0 1 2885 5083 2 1326
. $25 : zlea .2857 : 4 1 6 0 1 1 1 1 8 9 4 : 5523 9201
1 : 7 4 1 8 . S O .8347 2 9 6 1
. 4 2 0 0 1 2 . 4 5 0 3 1.3019 .675
.6017 : 3248 . 4 2 2 1 19.7220 .4193 . E S B 2 .7904
.BOO . 1766 . 4 2 1 7 14.0764 .3823 .7284 , 4 1 6 6 15.8368
14 29 . 6 2 5 - . 0362 .4B18 .?"I29 -'7719 . 6 S O .0859 . 6 R 0 9
4059 14.6498 -1 : 9879 . 6 7 5 . 7 8 7 3
. a 0 2 1 : 4005 9 . 8 8 8 1 -8.8261 .7738
.700 . a 6 7 2
1 . 6 8 0 7 7 4 1 0 .3969 3 . 5 3 4 1 -2.'!077
.725 . 9 4 6 3 , 3 8 4 2
2.2788 1 O l O G - . 0 8 7 2 -1.6533
. ?S D 2 . 4 3 6 7 : 6 0 4 2
110573 . 3 f i 5 Z - 1 . 1 5 6 3
. 4 5 2 3 - . 4 2 5 8 . 7 ' 7 5 2.2938 .3346 , 3 4 1 8
1 .O'f 3 7 1 . 7 9 1 1 .2368
8 0 D 1 .9990 .2883 5 . 1 3 3 3 1.0327
'3135 7 . 0 4 6 8
.2288 : 82s 1.6383 . 2 1 6 3
,2828 ,9202
- . 1751 .a50 1.2S3t .2575
.2016 7 . U O 8 8
, 7 5 6 5 - .6398
.875 8 6 8 2 - 2 1 0 4 ,5867 . 2 4 4 9 5.5118 - .9257
. 900 : 5157 .240F; -2465 3.5728 - .9528
.925 2 3 4 9 . 4 4 3 2 . 2 8 8 D
- 2 5 8 0 2.1632 .3S62
- .7938 ,950 : 0301 ,3406 .3023 .2731 I. R 3 3 0
.2879 - 6075
.975 - . O@BU , 4 0 4 7 . 2 8 0 O 1 . 5 6 4 B .ZOO3
-: 4 9 5 4 1.000 - ,0961 .4843 1 . 4 5 4 0 - . 4 5 1 6
.2832 .3090 1 .Or64 -. 4 2 6 2
Tabla 2.2.1 Rigideces estaticas y coeficientes de impedancia
Pared lateral: contact0 to t a l v = 0 . 4 5 H / R = 4 D / R = O h
- KO KO
hr - - - 6.028 = 5.194 - - - -. 087 II GR C R ~ GR'
2 a k =h
k c k c h r r hr hr
. D O 0 1.0000 . 0000 1 .000 .OOOO 1.0000 . OD00
.025 . i 7 5 5 . 0 1 B e : S S S ~ .0032 1 .0108 -, OD50
.050 : 7ZZ2 ,061 0 ,0068 .@@I7
.075 6330 .8507 . 9 B 9 0 ,9020 : 8 h E 1 . 7 e o 4
1: 82% . I 0 0 .@I70 ! BE3 2.2675
125 . SBSS 8326 . 0914 5 . p468 1.9207 : 150 . 9 1 2 3 .3Q00 . 1476 5. 184 ! :%fi -2.8389 . I 7 5 : 73:; . *Bas . I 8 8 3 4 . 2 4 8 6 -3.6867 .200 .8562 .7818 3 3442
* i i2! -3 3 70 . 22s . B o L s .64zo .756o s : izas - 3 : 4837 .250 . Q4SO .7280 i sn%: : 8W 2 , 6 4 3 8 - 3 . 4 3 2 4 ,275 1 . 1 0 5 8 .6928 -3 2 9 1 4
304 1 .0679 - 4 4 5 6 6612 -2287 .2407 FffJt -3:o.q~ 1325 .7577 . 4 4 3 6 -2 .7153 .350 : 73;: .5563 - 2 5 0 4 3 3948 -3, 154 -375 .5829 3:1781 -3.&941 : 32:; . 4 0 0 1.0023 ,9563 1.8854 - 4 - 0 2 3 1
4 2 S 1 . I 7 4 8 5284 . 2 7 2 8 3378 -3 .8126 : 450 9962 . 4 7 1 3 : 49% . 2 7 9 0 12642 -3.3194 . 4 7 5 1 : 747i - 4 6 5 9 ,500 . 7 2 1 - 4 3 4 6 . S Z S . 9061 .4077
: 2% 1 .1811 . 5995 1 .1671 ,5021
. 6 0 0 . $78" .490B
.625 . 3 4 4 4 . B S O ' 787g . 2 4 0 6
.675 1 : 0 4 ~ 5 .2053 7 0 0 1.2889 .I714 : 725 1.1208 : b E 8 . ? S O .SO49 . 3 4 4 0 - 7 . 4 6 5 2 -3. 181 .775 , 5 4 9 5 , 0 9 4 7 - 7 . 8 9 9 4 -3 . ? ~ 3 9 . 8 D O . 8 4 6 59 18 .015Q : -9.8822 - 3 .2B84 .825 1 . 1 1 8 6 : 5951 -. 0237 .3800 -3.1029
: R: 1 , 2 8 0 8 . 5 4 4 4 -. 0671 . 3 6 5 0 4 : 8 -2.6314 1 .1040 , 4 9 7 7 - .I13 3709 - 1 2 . 2 7 2 9 - 3310
.goo : E88t . 5 0 4 S - .15& :3776 - 1 1 3138 . B2S . 5 4 4 8 - ,2027 -1 : $ g $ g 1 : 8170 I! I
.950 .8012 : ZZiE - .2397 4 . 0 2 3 1 -2.8280
.975 1.11 15 - .274 1 -2.7045 1.004 1.3827 .5579 -. 3076
Pared lat era1 : con tac t0 nulo v = U . 4 5 H / R = 4 D / R = O
KO KO hr - - - 6.028 2 = 5.194 - = -. 087
tl GR GR" GR'! 2 n
h c k c
r r 'hr C ----- h hr
. 000 l . 0 0 0 0 . 0000 1.0000 . O O O O 1.0000 .0000
.025 : 87% . OIBB , Q Q S O 1.0108 -. 0050 : 88% . O ? O 0610 .9795 ,9417 .0387 . 0 I S .7952 : 6330 .9507 ,0126 : qp3f 1 . 0 9 1 B
.I00 . 91 70 .6399 9020 .a271
: iE2 . 9 B Y 9 , 4 9 5 8 : 8 3 2 . 0 9 1 4 5 . 2 4 68 f ' .820! 9123 .3900 5 4184 -218389 : 188: . I 7 5 : 7 8 2 8 - 4 9 8 5 ,8026 4 : 2486 -3 .6867
. 2 0 0 -73 5562 .7818 .I826 -3 3270
.225 . 8 0 1 0 : 6420 . 7 9 6 0 . I 9 3 3 : ?hi: -3 : 4237 .2037 . aso . S Q S O . 6 6 0 1 2 . 6 4 5 8 - 3 . 4 3 2 : GBX . 2 7 5 . S B S Q .2153 2.2488 -3.291%
.300 , 4 4 9 8 . 6 6 1 2 .220 1. 9056 - 3 . 0 9 4 8 -325 4436 . B 3 4 G -2.7153 ,350 -6713 : 5563 .6030 #:!I:: -3.1151 m " 4 0 '
,2504 .375 -7722 . 8 3 4 8 5829 .2S88 3 1781 - 4 0 0 1.0023 . 8 4 6 6 : 5563 .2B62 118884 19:884i - 4 2 5
l 1 4 8 8 . S 8 0 1 - 5 2 8 4 .3378 -3.81 26 ZTZ! .a50 . g 7 1 3 . 4 9 a 1 -3 3 x 8 4 , 4 7 5 ,7471 . 11Q -4657 .2857 1:3i8? -3: 2 S 8
. 7 2 1 4 -5853 . 4 3 4 6 ,2931 1 . 3 3 3 8 - 3 . 9 6 4 2
. g o 6 1 . B340 . 4 0 7 7 - . 7118 - 4 . 4 8 3 8 . ! i s0 1 . 1 9 1 1 . 3 8 4 7 '388; - 2609 - 4 . 2 8 0 8 .S75 1 .1671 . 3 5 6 S 13085 -5:45)a I 3 .2718 ,800 ,8612 .3185 . 3 1 2 0 - 3 . 5 2 2.8893 .625 . 7 1 R 7 - 5 4 4 4 2787 ,3172 -2.3650 -3 160
.7879 . I 3004 : 2406 . 3231 -2.827s -3: 599g : : ; g g .817Ei . 2 0 5 3 .3290 - 3 1267 - 3 . 8 4 9 3 .6823 . I 7 1 4 - 7 : 7822 -3 .5524 : 3%; . 7 2 5 1 . LO08 ,1338 -3.0732
. 7 5 0 .8460 Og3B - 8 ' -7 a?gs -3.0181
.775 .7378 : 5 4 9 5 : 0547 ! ! -7.8894 -3.1839
. 8 0 0 . a 4 6 7 ,5918 ,0159 - 3 5 4 9 -9 .6822 -3.2884
.825 1.1166 5 9 S 1 -. 0237 . 3 6 0 0 -12.0996 -3 .1029
.850 1.2806 : 5 4 4 - .057 1 .3650 - 13 .2491 -2.6314
. 8 7 5 1 . 1 D 4 Q : 8 8 d :::A38 .3709 -12.2729 -2.3310
.900 . 8 2 4 4 -11.3138 - 2 . 4 1 4 1 , . 5 9 6 S , 6 4 4 8 -. 201 7 :3923 3 i .a170 - 2 . B S S S
1: . 5 876 - .2397 . 0 2 3 1 -2.8280
.975 : z::: -. 2741 , 3993 -17.3663 - 2 . OPS 1 .000 1 . 3 8 2 7 -. 3076 ,9080 -19.7538 - 2 . z 0 8 3
W O N M N ~ O f l ~ ~ ~ C W b ~ N ~ ~ ~ ~ O ~ O 7 1 7 W ~ O O W W ~ O O W 7 ~ 1 0 ( U N ~ P ID
~ ~ M ~ ~ m m ~ m r m m Q ~ ~ ~ m M F O ~ N N ~ w O U 1 O O m O m ( 7 m m m a m m ~ '2; L O ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ W N N ~ ~ ~ W O O ~ ~ ~ L ~ ( I ) N ~ ~ ~ + ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( ~ N ~ O C ~ Cd h O W F D ~ W ~ ~ * W ~ ~ ~ W ~ F W M ~ ~ R ~ ~ ( D ~ M ~ N ( ~ ~ + N P - - ~ ~ ~ P - F ~ ~ M B
b 0 7 P m P 0 m ~ 4 ~ ~ 0 0 0 ~ N d ~ ~ ~ + d [ O O * 0 1 r D ~ P ) ~ ~ ~ I O I U N ~ n o l n N 2; CO A O ~ ~ ~ ~ F ~ N ~ + ~ ~ ~ O W ~ ~ ~ ~ ~ ( C ~ C L I ~ ~ P W * ~ U ~ ( O O M ~ ~ ~ Q ~ M ~ O ~ ~ F W ~ ~ e,' O O O + N N ~ ~ ~ N N ~ ~ ~ ~ ~ U N M ~ M N M ~ ~ C U N M N n d N C U d r l r l r l d O d r t O N U Q O m ~ ~ W O N + O O c 0 0 0 0 3 + + Q c C U N N ~ ~ ~ ~ m P - m ~ C Z ] O d ~ N ~ ~ ~ ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 11
d4rtdd++dd443d4dddddrldrld++++~d++rrlrl++++
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& .-rl*,+,-dd
1 II
O M ~ N N ~ ~ W N m ~ 4 N O N m N U m b W L n O P ~ N ~ 7 ~ 7 r ) m ~ O + f f l O m ~ O O ~ , - l ~ ~ ~ ~ O ~ ~ ~ ~ ~ ~ M r t ~ O P C U * ~ b N ~ I O ( D ~ ~ ~ N 0 ) N ~ ~ P ~ W + L O I O ~ ~ W ~ D ~ ~ ~ ~ ~ P M O O ~ N ~ L [ ] U ~ Q I O ~ ~ ~ ~ O ~ ) ~ I O L O O ~ ~ I U V I C L ~ N ~ ~ ~ h o ~ ~ ~ M I M F o ~ ~ ~ N N ~ ~ ( D ~ ~ ~ ~ ~ ) L I I w o c ~ w o o w ~ w ~ ~ ~ ~ ~ ~ E ~ O O ~ ~ a m ~ ~ - ~ ~ ~ ~ O ~ I P N ~ m O M I D [ P N b b ) M ~ L I ) N M k m m ~ N ~ C O ~ l W ~ ~ ~ * ~ P F d N 0 m ~ 7 m W 1 C L n W C R O * r ~ O D D D m N p - F - P - N V 1 ~ ~ @ N
o a ~ N ~ ~ m a ~ ~ ~ ~ m m N r r l l ~ ~ 1 1 1 o o o ~ ~ m m m m r D m ~ m m ~ ~ m r t o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 .-I 4 44 dddddd++dW++NNNNNNNNNNNNCUam II n nnn I I I I l ~ d ~ d d ~ ~ N N N N N ~ N N M N + + ~
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 l 1 1 ~ 1 1 1 1 I I
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L O O ~ M ~ ~ ~ O ~ @ ~ ~ ~ ~ ~ O ~ ~ N ~ ~ ~ ~ ~ U W P - ~ M M ~ ~ ~ ~ ~ O O ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 0-J L O Q d ~ d ~ ~ ~ ~ W ~ O . " N O 4 [ r ) ( O F 0 0 ( I I O e ~ ~ ~ L n [ d ~ P - ~ ~ ~ n ~ ~ ~ ~ I m U 0 0 0 0 - n n ~ ~ N N N O W ~ ~ M M M C 1 M P 1 1 7 m r ) C 1 r ] r ) P 1 m m r ) q r 9 1 w ~ ~ ~ ~ ~ PC U 0 0 0 0 + + d d N N M O l N m m m m ~ M m M m M * * * W f ~ * d ~ * + ~ t n m W m m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V) LO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . * r-: ro
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d dr z 0 4 ~ ~ m - b ~ m m m ~ m ~ 0 ~ 0 ~ m b m ~ - m m n ~ m ~ m 0 1 0 ~ b m m ~ ~ n 0 Q) A o ~ N ~ ~ N ~ ~ w ~ o ~ ~ ~ > N ~ c ~ c ~ ~ ~ ~ w o ~ I D L o ~ ~ u ~ I R ~ ~ ( u ~ ~ o ~ ~ Cr Ln u O O ~ ) - ~ ~ ~ ~ ~ P ~ ~ ~ F ~ ~ F F F M ~ ~ ~ ~ ~ D ~ ~ ~ ~ M P - F . I O ~ O U ~ W ~ + CU O OO~P~mbbUI~PF-(LI~W(DLD(L1~(O(D(MO[D~MIOIO[O(DLPM~LCI~IP~~~~~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................... 0 Ln
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0 x o m m m m m m n o ~ m ~ m m m p m m m o c n m m m m ~ ~ o l m [ c r ~ m m ~ m ~ ~ - o 3 ~ ~ ~3 x o ~ ~ m ~ m m o o m m o o o l m ~ ~ m o 1 + ~ 0 0 ~ + o o ~ ~ + ~ a m m ~ m m ~ n m ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 0 .-I d 4 rl w H 4 + eennnHddddd4dmrlrlddHddd 4 Id
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O ~ P W W W O W O ~ O ~ ~ ~ ~ ~ ~ L ~ ~ C O O I I ) O ~ O I D O ~ O ~ O ~ O ~ ~ ~ O ~ ~ : O ~ ~ ~ ~ a ~ ~ O ~ O ~ O ~ O ~ ~ ~ O ~ O ~ O ~ D L ~ O ~ O ~ O ~ O ~ ~ L ~ M ~ O ~ O ~ O L I I O L I I ~
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O N ~ ~ O N [ r ) ~ O N ~ ~ O ~ ~ ~ O N ~ I - O h l ~ b d I U [ D ~ O N ~ P O C U L O ~ O N ~ ~ O F O N ~ ~ O N ~ b O ~ ~ ~ O ~ F O N W O N 1 1 3 p C O I U L B P O N ~ ~ Q N W P O ~ ~ ~ O Q O O O n n ~ n N N N N m m m m l ~ w e u 7 1 1 1 I I I [ I I ~ M ( D ~ b r b W ~ m ~ ~ ~ ~ O O D 0 0 ~ d d d N N N N ~ ~ ~ ~ d 7 ~ L R I I ) [ D L D C I ) 1 0 C O ~ ~ b ~ 1 2 ~ m L b m C n ~ ~ ~ O
N N n - a A
Eu?mmmwU---- --
Tabla 2-3.3 Bigideces estaticas y coeficientes de impedancia
Pared lateral: contact0 t o t a l v = 0.45 H/R = 6 LI/K = 112
KO h
KO KO - - - 9.691 - 10.041 hf - - - i . 4-16 r - -
r) GR GR" G R ~ 2 x k c k c k c
h h t+ r hr h r
.OD0 1 . OODO .OODO 1 . 0 0 0 0 .OD00 1 . 0 0 0 0 .DO00
.025 9383 . 0 4 6 S .9910 . 0 0 8 0 ,9362 ,0475
. 0 5 0 : 7 S S 8 .9680 .9627 .0325 ,7893 .9420 ,075 . SSOG . 9 4 6 8 .go58 ,0529 ,8969 . 6 8 15 . I O U . Q4B3 .B158 . 8 6 3 6 .I757 , 6 7 5 1 . 8 4 4 3 . 1 2 S . a 1 4 6 .729Y . 8 4 8 8 , 2 1 5 8 . 6 8 6 4 1 . 0 0 7 1 . I 5 0 . B O B 3 8954 . a 2 8 8 .Z40S .7619 1 . 2 4 3 8 .I75 . 9 4 6 5 1 . 0 1 8 0 1 .PO89 ! Y24! . 8 0 9 5 : . Z O O 1 . 0 6 9 4 .7852 1 . 1 3 1 8 . Y O 9 2 . 225 . 8 D 2 9 - 7 2 3 7 .7853 . 7 4 6 4 - 0 1 1 4 .250 .7823 .8312 . 7 4 2 7 . 3 1 0 4 .? 42
.9&4 1 . 0 7 2 3
.275 . 8 7 5 4 , 8 8 3 1 . 7 3 5 0 .320G 1 . 0 9 8 0
.300 1 pij ,7904 .7170 , 3 2 5 1 1.0229 .9358
.325 .7792 . 6 9 6 5 .3384 .7932 .9720
.350 .839 . 6 8 7 1 . 3 4 5 9 . B Z 4 7 1 .058B
.376 . 8 4 7 3 . 6 B 1 0 . 3 4 9 4 1 . 0 8 2 8 3 ,0525 : :a4i . 4 DO .8971 . 8 5 7 3 . I 5 1 8 1 . 0 0 7 3 .9317
. 4 Z S . 7 B 9 4 .7B42 .63f i9 . 5 9 4 .9552
. 4 5 0 . 6 7 8 5 . B 2 8 2 . 8 2 4 0 -3REO : 7893
. 4 7 5 . 7 2 7 8 - 8 6 5 5 .El26 .3698 , 9 3 0 6 1.0305
7982 1 .a169
. SO0 . B 3 0 7 .8438 5930 .373 1 . 95 4 7 .8837
.52S -7736 -8153 : 5740 .378 2 .8286 . Y 8 U Z
. 5 S O .8888 .8200 . S 5 8 5 .3834 , 7 8 8 2 1 . 0 0 9 7
.S78 , 6 4 8 6 .8476 .5422 . 3 8 6 6 . 8 7 4 1 1.0200 6 0 0 .7188 . 8 4 7 8 , 5 2 1 5 .38E)7 .8769 .9937 : 625 . 7 0 7 2 - 8 2 6 6 .SO25 .3958 .7601 .9917
.6SO .6030 . a196 , 4 8 7 6 , 4 0 0 0 , 6 8 8 9 1 . n2llEi
. R 7 5 . 5 1 8 0 . 8 4 0 2 . 4 7 5 0 ,4052 . 7 6 1 9 1 . 0 4 8 3
. 7 0 0 . 5888 . 8 8 9 2 . 4 6 0 8 . 4 0 8 9 -8733 1 . 0 4 0 3 , 7 2 5 , 6 3 4 1 . 8 4 8 8 . 4 4 5 9 . 4 1 2 8 -86 4 4 1 . 0 2 0 4 . 7 5 0 .5938 .8272 . 4 3 2 2 ..I167 .778% 1.0152 .775 . 4 5 3 4 8229 . 4 2 0 Q . 4 2 0 3 .7321 1.0348 . 8 0 0 .351P : 8 4 4 9 - 4 0 7 3 .4236 ,7785 1 - 0 4 R 4 .825 .3838 .8673 .3934 .4269 .a307 1 . 0 4 B H - 8 8 0 . 4 7 19 .8886 . 3 7 9 4 .4302 ,8300 1 . 0 4 0 3 .875 .4713 ,8308 .385Q . 4 3 3 7 . 7 9 7 4 1 . 0 4 2 1 .900 .385 -8477 .3527 .4371 .SO18 1 . 0 4 9 1 .925 : 3281 .a572 .3394 ,4407 . H303 1 . 0 9 9 4 .950 .a670 .3270 . 4 4 4 6 . 8 170 1 . 0 4 5 9 . 9 7 S .3792 .a440 .3180 . 4 4 8 7 . 7 7 0 1 1 . 0 5 0 7
1 . 0 0 0 , 2 6 9 B .a383 , 3 1 3 3 . 4 5 2 5 .7734 1.0639
Pared lateral : contac t0 nulo v = 0.45 II/R = 6 D/R = 1/2
K: KO KO h r - - - 8.154 = 6.246 - - - -. 455
V GR G R ~ G R ~ - 2 K k c k c k c
h h r r hr fir
. o o o 1 . 0 0 0 0 . 0000 1 . 0 0 0 0 . O O O O 1 . UOOO . aooo
. 0 2 5 . 9 4 7 4 0399 . 9 9 1 9 . 0 0 5 3 .F142S . l i 4 4 0
. 0 5 0 . 8 2 5 7 : 8834 9652 0 1 6 4 . T O 0 2 -97 12
.075 . 9 8 6 2 . 8 1 1 4 : 9104 : 0429 1 . 0 1 7 9 1 . 2 8 3 8
. 1 DO . 9 B 1 8 .5238 ,8638 . 1307 1.3439 -2868 . 125 . 8 6 7 6 -6293 . 8 2 6 8 . 1729 . 9 3 7 9 . 1838 ,150 . 9 1 9 S . 7 5 0 2 . 7 6 9 5 . 2 0 5 8 .82B3 . 4114 . I 7 5 1 . 0 3 7 0 . 7 5 4 2 . 7 4 8 8 .2333 .7446 ,4973
; 1 . 1 2 S Q . 8 2 9 4 . 7 0 4 6 .2613 ,6399 . 5 7 13 . 0 7 6 5 . 6 1 5 7 .BB50 .2919 .5763 -8167
1 : 1783 ;1$# .6330 .318P . BOO1 . 8 7 6 7 . 2 7 5 . 6 0 3 1 . 3 4 0 1 .R070 .8235 . 3 0 0 1 . 1 5 9 1 . 5 7 2 0 . 3 6 1 3 . 7 0 8 2 . 8 2 4 8 . 325 1 . 1 2 0 4 . I3310 . 5 4 6 0 .3B17 . 7 9 6 4 1 . 0 2 8 3 .380 I . 1085 . 6 4 3 S .5217 .4014 1 .1730 1 . 0 7 2 2 .375 1 . 1 6 3 9 . B B S S . S O 2 6 . 4 2 1 9 1.3741 .9759 . 4 0 0 . 4 2 5 k : %:: . 6 4 3 8 . 4 973 . 1 4 0 4 1.1548 1.0457
.El20 .a900 . 4 5 4 8 1.5356 1.2265 .450 l.2SS4 . 5999 . 4 8 3 7 -4716 2 . 2 8 4 8 1.2486 ,475 1.2423 . R I ~ O . 4 9 2 8 . 4 9 1 0 2.8871 I . 0 7 4 - t - 5 0 0 1 . 3 7 4 8 ,8280 - 5 2 8 2 .SO48 2 . 7 5 7 5 ,9943 .525 i 1 IE!E .5870 .5595 -5135 3 . 1 7 7 2 3 . 1 4 D . 5 5 0 : g # Z $ . 5979 .5233 4 . 1 4 0 6
.8303 4 . 7 1 2 6 1 . O g 2 9
.575 1.3311 . 6 6 0 3 . a 0 0 0 . BOO 1 . 4 1 8 1 . 5 7 5 0 ,7277 .5292 4 . 5 7 9 8 .709 0 . E Z S 1 . 5 4 0 6 .S44S - 7 8 7 6 .5266 5 . 1 3 0 6 . T O 8 2
. 6 S O 1 ; #;; . 4 9 9 0 . 8 S 8 5 .5223 6 . 0 1 4 0 . S 2 0 5
.675 ,4333 . 9 3 4 5 - 5 1 1 4 6.0210 .2020
.700 . 5 3 9 4 .9858 , 4 8 6 0 5.3141 . 1090 , 7 2 5 3 , 4 9 5 8 -5321 1.0200 5 . 3 B 1 2 .I313 : tES : 3% 1.5309 . 4 8 1 9 1.0511 5.7722 .Of 26
1 . 3 0 4 9 ,4523 1 . 0 8 9 8 . 4 5 2 7 5 . 5 0 8 5 -. 1960 .a00 1 . 0 8 8 1 . 4 8 4 0 1 . 0 6 4 5 .4373 4 . 5 8 6 9 -. 2673 .825 1 , 1 5 1 5 . 5 2 6 1 1 . 0 4 3 6 .4248 4 . 1 0 9 1 -. 2055 , 8 6 0 1 . 3 4 B R . 6 2 4 3 1.0162 . 4 1 4 2 4.1742 -. 1980 . a 7 5 1 ,377'7 .4B16 .9780 . 4 0 4 5 4 . 0 0 3 2 - . 2 7 4 6 . g o o .92S 1 :$E3 . 4 8 3 B ,11205 . 3 9 6 8 3.3835 - .3026
. 4 9 9 9 . 8 6 8 8 . 3 Y 19 2.9639 -. 2588 . 950 1 .3209 . 497B .a079 . 3 8 8 B 2 . 8 5 7 3 -. 2398 . S 7 5 1 ,3206 . 4 7 4 5 . 7 4 2 2 -3870 2.6048 - ,2821
1.000 1 . 1 7 2 2 . 4 6 7 3 . 6 7 4 1 .3875 2 . 0 9 8 4 - . 2 5 4 9
Tabla 2.4.1 Rigideces estdticas y coeficientes de impedancia
Pared lateral: contact0 t o t a l v = 0 . 4 5 W R = 8 D / R = O
KO KO - - - 5.886 - - h r - 5.417 - - - -. 117
r) GR G R ~ GR' 2 A
kh c k c k c h r r hr hr
. O O O 1.0000 . O O O O 1 .a000 .OOOO 1 .0000 . OD00
.a25 .9281 ,0725 . Q 9 3 B .0042 .9813 .0378 . aso . ~ 7 0 3 , 8 5 6 4 ,3713 . o 13s 1.3894 I . 2392
.a75 ,331 3 0631 2 1757 -1 7091 r 1441 . l o 0 . 8 9 7 4 : 0871 1 : 6 7 2 8 -1 : 6992 - 1 2 5 : 8:!2 - 1109 1.7706 -1 - 6 1 4 3 . I 5 0 : 4873 . a 4 2 5 -1381 1 .a763 -1.8202 - 1 7 5 . 8 7 9 7 - 6 2 7 9 .a118 . I 6 1 5 2.072B -3.901 3 . 200 -9783 . e l 4 4 -7813 .1BOg 2.0102 -2.1802 . 2 2 5 9221 . S 4 3 7 .7617 .I982 1 .8057 -2 .1920 .2so :agog ,6197 .7236 .2132 1.g418 - 2 . 3 4 4 3 . 275 .87B6 - 6 0 7 1 6981
.5809 : 6683 - 6 3 0 3 -6394
:Z3% : : S : 4 8 3 . 2 4 7 3 1 .5555 - 2 . 5 8 7 0
- 6 0 6 9 .6115 . 2 5 6 8 .8905 -2.6978 .375 . 5 9 4 4 ,5833 .ZBS 1 . 7123 -2.5820 . 4 00 .S2B l . B 2 9 5 ,5536 . 2731 4630 -2.7312 .425 1 + 0086 .6059 : 8E43 . 2 8 Q S .450 . 5 9 4 0 .2873
72 4 : 8288 . 6 2 6 4 . 4 6 2 5 - 2 9 4 2
1: a??! 15: 6384 - . 9 1 8 8 -2.7688 1 . 0 4 7 3 .El01 . 4 3 2 1 .3006 -2.0058 -2.7251
.96211 .5738 .3988 - 3 0 8 3 -2.3291 -2 ,4998 . SSO . 8 7 5 8 .3658 3124 - 2 4 g 2 :31as -3:4337 13 .5688
.575 . 9 7 4 2 .3326 . 6 3 9 4
: E8t 1 . 0 6 0 4 .2990 -3240 -4 .4855 -2 .4565 . 9 4 4 8 - 5 7 9 3 .2630 -3896 - 4 .6885 -2.3239
-660 .9218 - 6 0 4 5 .2273 .3353 -6 .2790 -2 .3511 .875 1 .0379 . 6059 . I 9 1 7 . 3 4 0 8 -6 .4303 -2 .2508 .700 ,5732 - 1 5 4 2 .3463 -6.9632 - 2 .0207
5734 . I 1 5 9 .3521 -7 .0490 - 1 .9697 : 5962 0787 .3578 -7.0278 - 1.9558 -775 1.0813 .5910 : 0 4 1 1 .3633 -8 .8907 - 1 .8003 .BOO 1 .0548 - 5 5 4 7 . 3 6 8 9 - 9 .1062 - 1 .5744 -: :i88 . 626 . 8 7 2 4 . 5 4 7 8 .3750 . BSO . 7901 . B ~ S : E h ! 1.4132 1:: 5 3 3
. 8 8 B .5795 - : l s s s . sir+ -it l%%i - 1.5228
: E!: : 3 9 4 1 -11.4224 - 1 .3523 : 9 4 0 1 .5668 - . 1827 , 4 0 0 8 -1 1.7888 - 1.2282 .950 .B120 .S707 - .2270 . 4 0 7 4 -12 .3749 -1 .1347 .B75 .Be70 . 5 8 8 8 , 4 1 3 7 -12 .4871 - 9793
1 :$:;: 1 ,000 . 9571 . 5 5 4 4 - 4200 -13 .0884 - : 8338 Pared lateral: contacto nulo v = 0 . 4 5 H / R = 8 D / R = O - -- KO - 5.417 - = 5.886 - - KO hr - - . I17
V GR G R ~ G R ~ 2 I7
kh c k c k c
h r I- hr hr . O D 0 1.0000 . O O O O 1.0000 . O O D O I . 0000 . ODD0 .025 .9281 .0719 . B 9 3 8 ,0042 , 9 9 1 3 .0378 .050 - 8 7 0 3 .OX39 . 0 7 5
1 3604 ,3313 - 8974
.0631
. 0871 2 : 1 7 5 7 -1 :38ZT 1.6729 -1.8992
- 9 966 : 8779 .I109 1.7706 -1 .61 4 3 . 8 4 25 . I 3 8 1 1.8783 -1 .8202
-8797 . 6 1 7 8 .8318 . l S l S 2.0728 -1.9013 : 200 - 9 7 9 3 . e l 4 4 ,7813 .I808 2.0102 -2 .1802 .225 .9221 . 5 4 3 7 ,7517 1 .8037 -2 .1920 ,250 . 8809 . 7 2 3 6 .275
2 . 3 4 4 3 ,9796 ,6961 2.4896
.300 . 8 82 8683 : 2370 I. 5200 -2 .3387
.325 : .6303 : 63Q4 .2473 1. SSSS -2.5870
.350 . B O B 8 . 2 5 6 9 .8905 -2.6978
.37S . S S 4 4 .2651 .7 123 - 2 . 5 8 2 0
. 4 0 0 . 6 2 Q 5 .2731 . 4 6 3 0 -2.733 2 .6059 : 5 2 4 3 .280S - .3069 -2.7284
. 4 5 0 . Q 1 4 1 ,5940 . 4 9 3 7 ,2873 - ,471 1 -2 .6334
.475 ,9362 ,6254 .2B42 . S O D 1 . 0 4 7 3 . 6101 -~:8h!! 3: E!2 ,5738 1 :?E . 6 0 3 6 : 3658 8 -2.3291 -2.4998
- 3 1 24 - 2 . 4 2 8 2 -2 .5888 .9742 . 6 2 5 6 ,3328 .318S -3.4237 -2.8394
. G O O 1.0604 .6B43 ,2930 . 3 2 4 0
.625 . 9 4 4 6 .5793 , 6 5 0 . 6 0 4 5 : $835 :::8::iz :$:!233
1 : 8 4 8 .6059 . I 9 1 7 8 - 5 . 2 7 9 0 - 2 . 3 5 1 1
8 1 . 0 4 4 2 3408 -8.4303 -2 .2508
,5732 .I642 13483 -6.9632 -2.0207 ,725 ,9173 . 7 5 0 r .SiSA :T:Zb?! -1 .9SS6
-1 .9597 : 3633 -8.8907 - 1 .8003
.!is47 .Q008 .3689 -9 .1062 - 1 .S744 .8724 . S 4 7 8 - . a 4 0 0 .3750 -8.3025 -1 .5322 : a s o .-?SO1 -574 0 - , 0 7 9 3 .3814 - 9 . 4 8 S Z
.87S .a828 ,8323 - . I 1 7 6
. 9 0 0 . 9 8 4 2 3877 3 :%88
. 925 13841 1i9:588i -1.3523 .4008 -11 .7668 -1.2262
.9SO - . 2 2 7 0 .4074 -12 .3745 ' 5 6 8 6
- 1 . 1 3 4 7
1 : 388 - .25@8 - 4 1 3 7 -12.9871 .9571 :5544 - .2 924 -4200 -13 .0884 - .8338 - .9799
kh&uru*uur -- -<*
Tabla 2.4 .2 Rigideces estdticas y caeficientes de impedancia
i ,
Pared lateral: contact0 to ta l v = 0.45 H/R = 8 D/R = 114
rl 2 n
.ooo
.a25 . as0
.075
.I00 . 125
.I50
. I 7 5
. Z O O
.225
. 2 5 0
.275 . noo
. 3 2 5
.350
.375
. 4 00
. 4 25
. 4 50
. 4 7 5 . SO0
.525 ,550 , 5 7 5 .600 .825 . 0 5 Q . 6 7 5 .700 - 7 2 5 .?SO .778 . 8 0 0 -825 - 8 5 0 .875 . BOO 1
1.000
KO
- - hr - .438 GR'
k h r
i . o n n o . a 9 3 8 . 8 4 BB . 4 5 8 8 .6473 . 8 7 4 3 .a812 .6407 .8902 . 9 6 2 5 .8323
1.1627 1.0964
1 : m 2 y 1.3436 1.3517 1.6588
'11'
L # a s g 1:5787
1.8485 1.9226 2.2883 2.3262 2.2505 2.4658 2.7979 2.7871 2.7028 2.9070 3.2412 3.2318 3.0278 2.9798 3.1395 3.2730 3.2959 3.3971 3.5670
c hr
.0000
. OQ63 , 5 8 4 8
1.3420 1.6649 1.6257 1 . 3 4 5 5 1.5335 1.6417 1.4530 1.5843 1.621 9 I. 4480 1.5683 1.5847 1 . 4 7 5 6 1 . 5 4 1 1 1.5267 1 . 4 3 8 1 1 . 4 9 5 8 1.5163 1 .3917 1 3841 1 : 4487 1.4399 1.3660 1.3790 1.4099 1.3641 1.3029 1 . 3 1 0 7 1.3304 1 . 2 8 7 5 1.2125 1.1953 1.2168 1 . 2 2 7 D I . 2069 1. lQSS 1 . 1 9 6 0 1.1788
KO - - - '1.846
Pared lateral : contact0 nulo v = 0 . 4 5 H / R = 8 D I R = 1/4
KO P
- = 7.493 G R ~ GR
h
1.oooo . S I O Z . 9 s 8 0 .93SZ
1 I I!@ . 8 5 6 9 .9760 . a 6 9 5 . 8 7 B 8 . 9 8 5 5 . ~ 2 9 9 .a879
. B B 0 1 , 9 8 4 0 .877S ,9578
1.0203 8909 : 8325
. 9 2 0 6 ,951 8 . 8 4 4 4 .8132 . D O 9 9 .9070 . 7 Q 7 4 .754 1 , 8 6 3 8 ,9387 . a 4 8 6 .7238 . 6 8 8 4 . 1231 . 6 9 4 0 .6371 . 6 4 7 1
k r
1 .a000 .ggzo . 9 6 4 2 . 0 2 S 4 .8SRO . a 6 4 1 .a204 .8005 .7763 .7526 .7298 .7116 .6901 .6685 .65134 .6294 . 6 0 8 4 .S890 .5661 . 5 4 3 9 .5243 . S D f S . 4 783 . 4 536
4 3 1 8 : 4069 .3828 . 3 6 0 S .3387 3147 : 2928 .2729 .25 13 .2263 .2013 -1777 , 1 5 4 9 -1327 . I 1 3 3 . 0980 . 0 8 5 0
c h
a o o o : ass6 . a 6 1 6 . S S 18 . 7808 .SO89 . 6 1 B X . 7 4 0 5 . 7 7 8 4 . B 7 D R .7402
: a78 ,7484 ,7530 .7081 . 7 4 1 7 . 7 4 8 5 .709 1 .7307 ,7529 .+?I24 . 0 9 9 3 . 7 2 7 2 . 7 4 1 2 . 7109 .7067 . 7 2 8 8 .7322 .7072 .7043 .7250 .73S8 . 71 0'7 .6891 .6913 . 7 0 5 5 - 7 0 6 4 .6993 7022 : 7080
c r
. O O O D
.0053
.Or70
.a928
.I258 . I S 3 7
.I841 21 2 0 : 2337
.2507
.2668
. 2 7 9 B
:611H .3078 . 3 1 4 B . 3 2 2 0 . 3 2 8 2
: $453 . 3i38 .3901 ,3554 ,3810 . 3 6 5 ~ .370S . 3 7 5 8 .3809 .38S5 .3902 .3953 . J 9 9 8 . 4 0 3 7 . 4 0 7 9 .412.S .4175
: I $ ; : -4332 , 4 3 8 5 , 4 4 3 6
rl 2 n
. o o o , 0 2 5 . 050 .075 .I00 .I25 . 150 .I75 .200 .22S .250 . 2 7 5 ,300 .325 ,350 , 3 7 5 , 4 0 0 . 4 2 5 . 4 5 0 . 4 7 5 . B O O .525 .550 - 5 7 s ,600 .625 .650 -875 .700 .7 25 , 7 6 0 .77S .800 .82S . 8 5 0 .875 .go0 ,925
187: 1. O O D
KO .- h r - - - -.268
GR'
k hr
1.0000 - 9 3 0 0
1.0782 1.4695 1.0727 1.0252 ,9886 .9373 . B e 2 2 .6811 .8547 .5313 .3339 .3036 .2336
- , 0 4 1 0 - . 0019 - . 2353 -.5011 - .5745 - . 7243 - 1.1228
- 1 . 2 8 5 7
- 1 -1:4531 2873 -1.8709 -2.0430 -2.1093 - 2 . 3 9 3 B - 2 . 7 2 8 6 - 2 7281 -215948 -2.7181
-0239 2 .9301 -2.491 0 -2.0966 -1.3729 -1.7373 - 1 . 2 B 5 O - .9301
KO
= 5.780
c hr
,0000 -0782
1 . 1 BOO - , 3782 - . 3027 - .I777 - . 1 8 7 1 - -0979 - .I576 -. 1462 -. 0758 - . 1099 - .0210 ,0087
- . a 4 1 1 - 0 1 6 6 .0660 .052Y ,1063 . 1590 .I436 -1877 -2920 . 3 2 Q S .3 1 BR .3743 .4703 .5212 .SS4:!
: S%i: - 8 4 0 4 . 8 R 8 1 -9593
1.1140 1.21 14 1.2449 1.2842 1.3624 1 . 4 1 9 7 1 . 4 5 4 4
k r
: 888; .96GO . S Z R S - 8 9 4 0 . 8 5 3 4 . a 1 0 9 . 7 7 3 5 .7377 .7020 .6679 ,6347 .6013 .5681 .5338 .5003 . 4 6 6 5 . 4 3 2 0 . 3 97 7 .3632 ,3295 2950
12614 .2266 .I919 . I S 9 1 .I264 .0930 . 0 6 0 4 ,0287 - 0006 - : 0307 - . 0595 - .a862 - . 1 1 3 6 - . 1 4 1 5
- 1662 - 1 1841 -. 1863 -. 2030 -. 2027
K: - = 7.349
c r
.ooao 0051 :4175 .Q733 .I052 .I345 I663 : 195s
.23 92
. 2 4 0 0
.2887
.2751 . Z B 9 4
.SO24
.3147 - 3 2 6 4 .337 1 .3474 - 3 5 7 4 .3870 ,3788 ,3888 . 3 9 4 4
-t??g : 4245 .4287 .4370
4 4 5 5 : 4539 4823 :4704 . 4 7 8 B . 4 8 7 1 .4952 . S O 3 9 . 5 1 3 4 .5232 .S328 .5422 .5S12
GR
kh 1.0000
.B153
. 9 6 4 8
. B 4 4 8
. B e 8 2 I. 0076 1.0137 .8945
1 . 0 0 7 6 . 9 9 9 8 . S3S2
1.0308 .9887 .9692
1 . 0 6 4 0 1.0281 1.0040 1 . 916 : : I:ne 1.1092 1.1789 1.1028 1.0732 1.1983
4 : fm 1 . 1 4 7 4 1.2388
1 :Si&$ 1.2162 1.3122 1.4288 1.4 279 1.3718 1.3576 1.4177 1 . 4 5 4 7 1 . 4 5 3 8 1 . 4 9 5 0
c h
. o o o o
. 0 8 4 0 . R 1 3 8 , 5 1 6 8 -7336 . 7 4 6 7 . 5 7 5 8 . B D 3 1 .7179 . 6 2 5 2 . 8 8 7 0 .6986 .5502
: : z 3 2 .6S92 . B e 5 8 .B910 . 6 6 0 7
: E 3 7 . 6 6 4 1 .6S20 .67 1 1 .8830 ,6613 ,6553 -6692 . E 7 4 3 ,6557 . 6 4 8 9 . 6 6 0 7 .6721 .8585 ,8353 6290 : 6359 .6377 ,8300 6270 : 6297
Pared lateral: contact0 total v = 0 . 4 5 W R = 8 D / R = 1 / 2
KO h
KO KO - = 9.399 - = 9.987 - = 1.397 hr
B .- GR G I ~ ~ GR' 2 n
h c k c k c h r r hr hr
. a 0 0 .0000 1 . 0 0 0 0 .OOOO 1 . Q 0 0 0 . Q 0 0 0
.025 .I007 .9893 .a077 .8923 . 1028
. a 5 0 1.0173 . 9 5 B 5 ,0339 ,9155 ,8808
.a75 ,8398 . B341 .a123 , 1 2 9 B , 7 4 4 4 .9222 , 100 . a 4 0 3 , 8 6 9 8 . 8 8 8 4 .I732 . 7 6 6 9 .12S 861 4 . l s o : 8 3 0 4 :$%Sf I : 88%b i i .I75 .8011 .2589 .7852 1 . 0 8 9 2 . 200 . 9 2 0 0 . 8 964 , 7 8 6 3 ,281 0 . QSS? 1.1720 .225 ,9703 .793 9 .7€376 .2930 1.0086 1.0059 .250 . a 3 9 4 ,8279 .7477 1.0836
. 8981 . a 7 4 4
. g o 4 6 .8138 : R i g :@@ 1:013[ . 1.1222 1.0076
.8140 .a403 .TO27 : 3381 : 8 8 3 7 1 . Q66Q .350 . a 5 8 6 .a730 , 6 9 2 4 .a452 1.0079 1.0908 .37S ,8775 ,8356 . 8 7 4 7 - 3 5 0 1 .8810 1 . 02'79 . 4 00 .7911 . a 4 2 1 . 6 5 8 9 .3573 . 8 9 9 4 I. O S 7 7 .42S ,7384 . 3621 . 9861 I. 0758 . a 5 0 .a433 .475
1.0316
. 5 0 0 :??z - 5 9 7 3 8 1 . 0 4 7 2 .go01 1 . 0 8 2 4
. 5 2 5 . 7 8 1 8 . 5 8 1 3 . 3 8 0 2 1 . ( lQ8B 1.061 R
. S S O , 7998 . 8 5 4 7 .5812 . 3 8 4 8 .920? 1.034 4 , 5 7 5 .7129 + 8 4 3 4 , 5 4 4 2 . 3 8 9 4 , 8 1 9 7 1 .0518 ,600 ,6350 . 8606 : 8 f Z : : 3835 , 8 4 2 0 1 ,0772 : x: . 6 7 2 8 ,8751 . 8 9 4 7 1 .0693
- 6 9 4 7 . a624 . 4 9 1 S - 4 0 1 7 , 8 3 4 0 1,0617 . 6 7 5 .I3211 .8518 .4753 .4084 .7724 1 . 0 7 8 0 .700 .5368 . 8 8 4 8 . 4 1 0 6 .a108 1.0973 .72S ,560 1 . a801 . 750 . i f 4 7 1 -0933
: EW . 8 7 1 9 .775 . 8 5 5 6 . 4 1 8 9 : 4 2 3 1
:!la8 3.0841 . 7 8 8 1 1 . O s l o
- 0 0 0 .4122 . 8 6 8 7 . a 0 8 3 .a267 .7845 3.1088 -825 3518 ,8828 . 3 9 8 4 . 4 2 9 8 .8730 I. 1 1 4 5 : 4188 .a50 .8388 .3830 ,4330
.SO07 1.1053
- i Y 5 8 .3693 ,4363 , 4 6 5 8 - 3 5 6 4 - 4 3 8 8
8 1 .0962 -8393 I . 0998
. 3 7 6 7 : 8737 . 3 4 4 3 . a 4 3 4 -8372 1 .1090 - 9 5 0 . 3 5 8 Q - 8 8 0 s .3334 . a470 . a 6 1 4 1.1123 -978 .3885 . B 7 8 4 .3250 4507 .863
1.000 - 3 0 4 1 . B 6 9 2 - 3 1 9 1 - : a s a r . e s 4 & 1: £ i g 8 Pared lateral : contacta nulo w = 0 . 4 5 H / R = B D / R = 1 / 2
K" KO 0
h - - - 7.949 r - - - 6.226 Kh r - = -.464 'r7 GR GR" G R ~
2 n kh
c k c k c h r r hr hr
.DO0 1 .0000 . 0000 . 0000 1.ObOO - 0 D O 0 : 8878 . 0 2 5 : 8849 . 0 8 7 Q .0061 . 91 03 -091 4 -050 - 8 7 8 0 .9612 .0224 -075 9645
. a 633 1.1075 .5391 ,9179 .Of360
-100 : 9018 - 7 4 6 6 -8779 . 1272 .2759 . 1549
.I25 1 . 0 1 8 8 . g757 -8338 . 1 6 2 9 1 . 0 6 1 1
. 4 089
: 1:: . 179 . 7 8 6 8 ,1887 . 7 8 8 0 .4286 . 9 5 2 9 ,6930 .7453
- 2 0 0 1.0433 ,2364 , 7251 .6316
,7270 - 2 2 5
.7073 1.0800
-250 1 . 0 4 5 9 .e582 . '"$8 : !?so . 8 2 ~ s : 8!H . 27s 1.1008 .8131 .8278
-300 1.1399 .5751 . 7 0 2 2 .a752
I : l%I . 6 6 9 9 . S4Q7 ,3824 .8784 .E;758 . 5231 , 4 0 1 7 1 . 1 3 4 9
1.2378 . B S B 2 .SOSB . 4 2 2 6 : :
. 4 00 1 . 2 4 4 9 ,8447 - 4 25 1 . 2 6 2 4 : %w . 4 3 9 9 I : i g s a I : I,,, . 4 5 0 1 %fi . 4 5 7 9 1 . a 1 4 0
1.3410 1 .lo89
. 4 8 s 5 .4760 I . seas I . O S B ~ 6171 f : % I 5 . 5 0 0 8 . 4 9 0 4 2 . 3 8 4 2 : 6044
1.lS74 . s t 9 2
1 . 3 8 1 8 . S O S 6 3.1119
.Elf36 5187 3.4004 . 9 4 0 3 1.1052
, 5 8 2 4 1 . SO56 , 6 0 2 2 . S7B
, 6 1 0 2 : 5245 3.5782 1 . 5 2 5 5 , 2 6 0 4 .6590 -5299
-9630 . 6 0 0 1 . 4 1 6 2 . 4 3 6 ,7267 5.1306 .7181
4 . 3 9 5 4 .9416 ,625
.5330 1 . 4 1 0 1 ,5872
. 6 5 0 ,8012 - 5 2 8 4
1 . 5 3 4 9 .SZll ?!#8 - 5 3 6 5 ,675 1 E# . 5124 5.8896 . 3 8 5 8
. SO36 1.SZOZ
. 7 0 0 , 7 2 5 i:iEgi .9890 .a988 5 . 8 1 3 0 : 5380 1.0264
- 1 0 5 1 750 1 .4971 . S278
5 . 2 6 2 9 : 775 1 . 4 7 3 5 4 8 5 6 5 .3179
5 . 4 4 5 5 : #9%2
.a00 1 . 2 3 6 6 - ,1265 1.1112 - 5 1 3
: 4 7 5 3 1.0469
4 8407 -. 2773 . 8 S O m 8 2 5
1 . 2 5 0 5 . 4 2 8 0
- 5 4 5 0 1 .a183
: 4 3 9 2 3 : 9 9 8 3
. 8 7 5 1 . 4 3 0 2 -5281 , 979 - 4 0 6 6 .4157 3 7 5 2 2
3: 8 2 ~ 5 1: 8483
. BOO 1.39SB . 4 9 S 9 3,5329 -. 2734 -. 2171 ,925
- 3 9 8 8 1 . 2 6 7 0
, 950 : a!i28 -3932 2.9883
i : 32%! ,8218 . 3 9 0 0 . 4966 ,7471
1 : 3Z8S3 1 1.2419 . 4 8 4 7 . 6 8 0 8 Z : BZSB -. 2470 3 2.0607 -. 2399
Tabla 2 . 4 , 3 Rigideces estaticas y coeffcfentes de impedancia
Tabla 3.1 ; 1 >..Ri.gideces .est&ticas y coef iciente~ de impedancia
Pared Lateral: contact0 t o t a l v = 112 W R = 2 D/R = 0
K" KO - - - 7.144 I. = 6.385 - - ,257 hr -
rl GR G R ~ C R ~ 2 R
kh c k c k c
h r r hr h r
. 000 1.0000 . D O 0 0 1.0000 . 0000 1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 2 5 -8896 . D O 6 7 -9987 . B330 10045
: 858 : 4B'j .Dl46 . Q S 6 6 .9710 , 0 0 9 7 . Be94 : ZEi . a 1 7 0 , 1 0 0 ; Iili . 9 4 r l ~ .0093 . 0 3 4 4 .12S : 5499 . 0128 ,6872 : ZbSB : $7; ,5539 - 4 39 . 0 17 5 .8953
6 0 6 0 . E384'1 - 8 1 1 1 1 . 1 7 9 9 : a a z s .2817
. 2 0 Q : 6804 .7397 - . 08 41
. 2 2 S .8076 , 6 4 9 8 - . 5 5 0 4 . 250 1 . 0 1 4 5 . 5 5 2 4 . I 0 3 8 - 1 5 0 4 -1.9362 , 2 7 6 1.1948 .5439 ,1607 - 1 -9763 - 3 0 0 1.2238 . 4 0 4 5 .1!390 -2 5859 -329 1 105s , 2885 2242 - 1 19607
- : 356i . s o
-350 : 817s .2308 : 4 4 3 : 2423 -1.2875 .9114 -375 .2922 . 4 2 8 2 - 1 . 5 4 3 4 : .82i39
4 0 4 . 3 7 6 1 . 4 0 @ 0 - 1 .9279 .F16363 : 425 4586 .3876 2711 - 2 . $ 6 8 8 1.2015 .450 : 1824 : 5 4 6 9 12784 - 2 . 452 1 . 5 2 8 1 .475 . 2 1 R 8 - 8 4 7 6 . ZSS4 - 2 . 2 3 9 5
, 4 3 3 3 , 7 5 4 0 2916 -1.2082 ,8163 ,3201 : 2953 1 . 1 7 2 9
8 : 8 8 5 5 2.6773
. 6 5 0 : zgzi , 3 1 3 4 .2S3B 2 . 3 2 8 5 , 575 I ,9645 .2881
.3515 ,2832 4 : g z $ & 1 . 4 6 4 3
.600 1.8823 4 . 8 9 5 5 . 8190 6 25 1 . 1 7 3 2 .2880 2 8 0 8 3 . 1 1 0 1 . 61 76 : 650 , 3 1 3 5 : 1378 :2802 1 .9193 , 6 7 7 1 .875 3694 . 0 7 4 6 .281 . 8 0 8 8 ,700 : 435 , 2 8 4 2 -8834
,1289 . 2 8 8 5 , 6 0 2 1 2 9 4 2 . 8 3 2 3 , 8 8 2 4 -. 1838 :30 8 2.2538
1:$15? 1 , 8 0 4 3
. 8 o o -. 2337 .3089 9 : 8 E 4 1.8787
.82S 1 . 8 6 6 4 : - .28OZ ,3210 1 . 5 1 5 7
. 8 9 D 1.9547 . a 5 6 6 , 3 1 4 0 8.3862
. 8 7 5 1 5728 ,3633 .3176 7.1842 900 I : 070s , 3 3 6 4 8 . 8 4 3 1
: . 4 6 5 1
; 2 8 .3538 -. 501 2 4 . 8 2 4 0 . 5 1 4 5 ,3941 -, 5809 ' Ji . 5 9 5 0
. 9 7 5 4 4 8 9 -. 6027 .B744 1 .000 : 5 1 4 4 - . 6 8 0 8 .7543
Pared lateral: contact0 nulo v = 1/2 H/R = 2 D/R = O 4
KO r
KO h r - - - 7.144 - - - 6 .385 - = .257
1) -- GR G R ~ G R ~ 2 Jr
kh c k c k c
h I. IS hr hr
1.0000 .OOQO 1.000 . O O O O '1. aooo . oooo 113 .0067 At:; -9710 , 9 9 3 0 . 0 0 4 5 . O O R ~
. 0 7 S . 8 8 9 4 - 0 0 6 7 : li%& .0170
.I00 : 7 8 2 5 9 4 4 5 .0083 - 0 3 4 4
.I25 . 6 4 9 @ , 2 0 4 1 , 0 1 2 8 , 6 8 7 2 .I969
:UP .483B - 0 7 5 ,8953 . 4 1 5 7 . 5 8 4 1 .8111 . O h 4 6 1.1799 .2817
.2QO 6463 .7387 .a366 1 . 4 8 5 1 3397 -. O B 4 1
. ?as . B O ~ E . 6 4 g s . O S Q ~ - .6so4 ! ZE22 . d S O 1,014s 5 5 2 4 . I 0 3 8 : 1 ~ 0 4 - 1 . 2 3 6 2
.275 I . 1948 , 5 4 3 9 : 4958 .I807 -1.9763 -. 7517 1 . 2 2 3 9 . 4 0 4 5 . 4 737 - 2 . 5 8 S Q : -1.9807
.3205 .28BB . 4 566 , 8 0 5 4
.3SO 2308 . 4 4 3 1 . 2 4 2 3 ,2539 11 : 9%;: . 9 1 1 4
.375 .SO37 : 2922 . 4 2 6 2 .a263 ' .3388 . 3 7 6 1 : .2%31 - 1 . 9 2 7 9 . 9663 .2353 . 4 5 B B - 2 2888 1 . 2 0 1 5
, 3 8 5 5 : $ 7 : - 2 : 4 4 5 2 1. SZR1 , 4 7 5 . 216 ' , 3 4 4 8 , 2 8 5 4 - 2 . 2 3 9 5 1.9*65 .600 . 4 333 3287 . 2816 - 1 . 2 0 9 2 . S 2 5 , 9565 : 81 63 : 3201 29'33 1. 1729
1,6563 ,7351 ,3134 . : 2938 : 4 . 2 7 2 4 %: $933
.5SO 2.3265
. 5 7 5 1 . 9 6 4 5 . S 2 4 4 . 2 8 1 9 . 2 8 B 1 2: !EiE 1.4643 ,600 1 .B923
, , : . 2 4 9 3 ,2832
,625 1,1732 . i 898 ,2808 -3;1101. , : # % , 7 1 2 9 .313!i . 6 7 7 1
- 3 8 8 4 : 0746 . 8098 : .4357 . O D 8 2 9 8 3 4 : 725
:zoo7 . .iiza - . 0683 . T 5 0 - . 1246 - 7 7 5 -8579 : 5 8 2 4 - . 3838 :!E i : . B 9 8 4 - .2337 1. B787 . 6038 - . 2 8 0 2 1,5157 . 8 5 0 1 . 9 5 4 7 . 4 5 8 6 - . 3 3 3 8 . 3 1 4 0 8 . 3 6 6 2 .875 1.5729 - 3 6 3 3 ,3176 7 . 1 8 4 2 : 982': . 3 0 0 1.0705 -3364 5 . 5 4 3 1
: :%I2 : : % 8 t 4 : 6 2 4 0
: 4 6 5 1 . g Z S . 6 3 4 8 .3538 - . S O 1 2 .5145
1 8 % . 3 8 4 1 -, B 8 0 B 3290 :3309 9:8 i ig -5950
. 4 4 8 9 - . 8027 - 6 7 4 4 1 . q O O , 5 1 4 4 - . 6998 ,3320 3.8331 - 7 5 4 3
Tabla 3.1.3 Rigideces estgticas y coeficientes de impedancia
Pared lateral : contacto t o t a l v = 112 W R = 2 D / R = 1 / 2
KO KO - = 12.820 - - * - 12.827
hr - - - 2.712
II GR G R ~ GR' 2 lr
h I C h
k Cr
k c r hr hr
- 0 0 0 1.oooo .no00 1.0000 . o o o a 1.0000 . 0000 -025 . Q 8 7 3 . 0 0 8 1 . BSSB . D O 2 2 . 9883 ,0075 - 0 8 0 .B476 .0175 .El881 : -0163 , 0 7 5 . a 7 4 2 . 0 3 0 3 .El680 . 100 . 7 4 7 8 . 9 4 0 5 -0553
.0291 . PZt8 .12S
I S O - 281% .8983 ' 0225 -2229
14618 . 8 6 1 4 : 0439 , 4 9 4 8 . 5 4 4 4 : 175 : 4370 . S 6 5 8 . 818S .OS84 .S810 .6818 -200 . 4 138 .8388 .?es3 . o ~ e 4 , 6 5 2 7 -225 .3828 , 7 0 6 5 - 7 8 9 0 . 260 -3619 9942 ,275 1 : 2 3 4 5 .6810
- 5 4 4 5 : 1927 1 .4534 . 5 4 8 8 ; .9201 -5288 .2106 1 . 5 7 9 1 , 3 2 9 0 :
1 . 5 3 5 0 - 6 2 1 5 - 4 9 7 9 . 2 2 2 8 1.2828 .0927 - 3 7 5 1.2029 - 4 8 0 7 , 4 6 5 7 : H3iI , 1 0 7 2 - 4 0 0 . Q S 4 0 -460s . a 4 8 5 - 4 2 5 -832 . 4 5 4 9 - 4 3 3 1
6058 . 4 5 0 . 4 5 7 0 - 4 1 6 4 : 2746 1 115s : a?:& .3290
. 4 7 5 : 540s .a650 .3975 .3776 - 5 0 0 .3Q37 .3763 .525 . Z Q 1 6 . SSO .3523
.0819 . 3 2 5 4 . 2 9 6 8 - : I a 7 7 : 1825 - 4 8 9 0
. 5 7 5 - . 0 8 5 0 : S 5 9 6 . 2 Q 8 5 .3020 - . 2 8 4 6 -8227
.BOO - . 249S . e l 0 6 . 2 8 2 7 , 3 0 7 8 - . 3247 .SS92
.626 - . 3718 .882B .2278 .3180 - . 3871 6 5 0
- 5996 - . 3884 : 875 .7733 . 3 2 4 4 - .3815 - 6 4 7 5 - . 1 5 0 1 . a 6 4 4
: 2783 .la05 4 9 5 h :.8?8E : 3519 : 3674
: 5888 - 7289
1.3105 . I 943 .3S5S .5833 - 8 8 1 8 - 7 7 5 1.2543 . 8 4 1 1 .ZOBS ,3586 .5592 .5355 .BOO . 8 B 9 B ,5725 .3551 . 4 0 0 0 - 8 2 8 . 5 9 1 6 .53Q9 . 8 5 0 ,3858
: . 8 7 5 - : I N 8 - : 1674 : 5465 - 9 0 0 : 1 S S S . 3 3 4 2 - . 2 Q S S . S 5 9 8 - 9 2 5 - . 3 Q 4 5 . S B 2 6 1032 . 3 3 1 4 - . 4260 . S T 4 8 . QSO - 6045 . Bf 88 : 0 4 6 0 ,3309 - , 5476 . S S S S - 8 7 5 - .7679 6663 - . 0 1 3 S -3322 -. 6433
1 . 0 0 0 - .a336 : 7272 - . 0 6 9 4 .3349 - - 6 7 4 6 : %%4 Pared lateral: contacto nulo v = 1/2 H/R = 2 D/R = 1/2
KO K - - - 10.157 I' - = 8.263
hr - - - -. 054 V GR G R ~
2 rc kh
c k c k c h r r hr hr
- 0 0 0 1 . 0 0 0 0 - 0 000 1 . 0 0 0 0 . O O D O 1 . 0 0 0 0 .OD00 - 0 2 5 . QBOO .OOB5 . 8988 . 050 - 9 6 8 4
, 0 0 2 1 , 8 9 1 1 . 9 8 7 0 . 0 0 4 2
, 0 7 5 .8 990 . S T 0 5 . O D 6 4 - : m * iE : iM8 . 9 4 6 7 .DO88 -. 9787 - 3 7 4 1 . 1851 .Q149 . O f 16 - 2 . 4 8 0 8 - 8 8 8 5 ' 150 - 5 7 7 3 , 4 3 0 7 . 8 7 4 0 . 0151 - 3 . 8 2 7 8 1 . 8 8 8 2 : 175 . B 0 6 2 .6OEfO ,8222 , 0 1 9 8 - 5 . 2 1 7 8 1.9193 , 2 0 0 . s t a a : , 7 5 7 0 ,225 -6179
2 . 1 2 3 0 , 6 7 4 0
, 6 0 9 3 . 5 6 9 1 : 8375 - 2. ,207
: 3: .0602 - 1 8 . 8 5 6 0 5.0577 . 6 B 7 0 : 7356 ,4592 ,1035 - 2 4 , 4 3 5 4 11 .0392 . 3 0 0 ,8325 ,7823 , 3 7 6 5 ,1952 -22.4862 17.5938 .325 1 .2898 . 3 1 6 8 20 0 $[ i f ,350 1.5535
2 1 . 4 7 4 4 .375
. 2 6 7 0 1 . 4 4 3 9 .2263
12487 f : 21.3850 .2818
. 4 0 0 .3778 4 . 9 ~ 9 9 z o . oass
, 4 1 3 5 , 2 1 9 9 .3188 10.B256 19.6372 . 4 2 5 1.3313 ,3803 ,2267 ,3437 1 7 . 8 4 1 1 1 9 . 1 2 7 4 . 4 5 0 1 . 2 7 5 2 .2362
1.1987 . s o 0 ' 4 7 5
1.0 63 . 2 4 7 7 .2613
7 35 : Zt58 1 !d : 4% . 5 2 5 9837
13893 41.2930 1 5 . 1 5 1 8 . 2 9 5 7 .2773 .3993 4 B . 9884 1 3 . 2 8 4 6 . s s o : 7953 , 2 9 2 7 .29?4 . 4080 5 6 6199
,575 .Sf305 , 3 0 1 8 .BOO
3245 , 3 0 1 0 : ssse 6 4 : 1412 '81 h3:3 : 8 7 , . 2523 4 . 8 3 5 5
. 4 1 6 3 .a200 6 R . a R 7 3 .2116 , 4 4 6 3 - 4 1 1 1 SB.19BO - 2 . 4 5 8 7
,7204 . 4 4 0 5 ,4064 4 6 . 0 0 8 7 . 7 0 0 ,881 8 , 8 2 5 1 . 4 3 5 0
.a856 ,725 1.8922 . 7 8 7 5 .790 2.5718 ,6089 : d % 3 - 4221 29 .4399 .775
.0392
. a o o 3 : 28f8 . 4 2 2 6 . 5 8 6 7 . 4 2 5 3 33.6L58 ,3034
1.3764 825
. 7 0 8 1 I. 8073
, 4 2 0 6 4 1 .33 12 . 2 4 4 1 . a 4 9 7
1. 799 : BSO 1.3632 . 2 2 4 B 4 7 - 9 0 2 6 . I 2 9 6 ,875 .9237 : 8% 8 - 3 2 6 4 4 8 . 9 0 5 3 4 2 . 1 8 8 1 -1.5271 - 3 . 0 2 2 4 : 528t : SZ!? .a914 .287S 3 1 . B 9 2 X - 3.0675
. 3 130 ,728s .2632 28 llQ . 0 4 3 8 . 3 8 8 4
- 1 . 8 2 3 7 ,975
, 5 5 3 8 0 9 0 1 . ~ H P 3118tai - . 4 2 " 3
1.000 -. 0980 : 4381 .3909 , 3 8 4 1 - 2 4 3 9 : 2 5 0 8 4 1 . 7 0 1 2 . 2 8 9 S
Tabla 3.2.1 Rigideces estaticas y coeficientes de impedancia
Pared lateral: contacto t o t a l v = 1/2 H/R = 4 D/K = 0
KO KO
- - - 6.352 - - - 5.926 -. h r - ,040
11 - , -- GR G R ~ GR
2 K h
c k c k c h r r hr h r
.OO0 1.0000 0000 1. OODO .0000 1.0000 . 0000
.025 .Q750 : 0170 9 9 4 8 .0033 ,9295 ,0439
.o50 .8705 . ORZI : 9708 -0070 .7415 . 0 7 0 4
.075 . 7 8 7 ? .64Y4 . 9 4 Q 4 .0123 .7735 - . 2981
.I00 .911 6690 . 9 U 10 ,0246 . 0 6 0 4 -2.9322 ,125 1.0067 : 5507 ,8273 .0701 - 5 . 3 9 5 2 -5.0147 . I SO ,9770 .a109 .7 920 . 1447 -10.3621 4.5355 .I75 .8033 . 3 4 8 9 . 7 7 4 8 .I763 -6.8981 7.7863 .zoo : $ Z 8 S , 5 4 2 0 ,7543 1938 -6.4343 7. R ? Q 7 -225 .643a .-{ass : 2064 -5.7383 8.9333 . ? S O .8815 .6796 .7025 -2166 -3.9129 9.6090 . 2 1'5 1 . 0 6 0 S . 6 3 4 0 .6719 .2254 - 1.3293 9.4046 .300 1.1037 - 4 9 3 9 6383 -2340 .57 16 B 1172 -325 . B I 44 ,4563 : 602s .2427 - 1 . 1 fiso s:osrs .350 .7486 .S517 . 5 6 6 8 -2519 -3.4484 7.5967 -375 .7683 . 6 2 4 7 ,532 1 - 2 6 1 Q - 3.4506 8 . S O 7 0 . 4 0 0 .9593 . 4 Y Q S .2692 5111 a . 9 4 8 4 : EE ,425 1.1472 . 4 6 8 8 .2758 4: 3 3 2 4 9 . 4 6 3 6 . 4 5 0 .9933 . 4 9 1 6 ,4350 .2803 4.6466 7.8860 .475 .7718 .5245 .3970 2 . 1 3 7 1 7.9214 . ~ O O -7395 , 5 8 6 4 . ns79 :BIG I . a 4 6 6 2 8 6 7
8.761 1 .525 .8679 .6306 .3187 . 2 9 4 6 9.5863 . 550 1.0997 . 2 7 9'1 2988 9 : 2 4 6 2 :ti22 i; E:zg . S ' I S 1.1624 .2387 : 3027 12.7037 . 6 0 0 ,8378 .S191 .I932 ,3055 11 . 4 9 8 0 7.9896 ,625 .a122 .5571 . I 4 6 8 1 1 3927 :!?8: 14:0900
8 . 3 4 1 1 . 6 5 0 8 6 8 D .5378 .lo11 8 . 7 1 2 9 -675 1 : 0 5 8 ~ 6072 . O S S Z .3161 18.6496 8.5342 .700 1.2148 : 5653 .no67 . 3 1 R R 22.0262 7 . 5 7 3 2 .725 1 . O B 3 7 .5151 - 0 4 6 8 3208 20.8764 6 6585 7 5 0 .8520 -5229 - 1 1030 13236 18.8140 6 : 6974 : 775 7830 . S B 3 1 -. 1 6 0 1 .3264 18.9516 7.3 5 0 4 .800 : 8944 . S 9 7 9 -. 2188 .3291 21 9336 7 . 4 5 1 3 .825 1 . 1 2 9 8 -5978 -. 2 8 0 2 .3315 26: 1635 7.2344 .850 1.2660 . 5 5 3 5 -. 3480 .3340 28 4 0 2 4 .875 l . l l ? S .5121 -. 4162 .33',0 2 6 : 8793 g - 2;;: . 900 . 8 B L I -51 88 -. 4g76 .3407 25.3278 G: 2662 .925 .7580 . S 5 5 0 -. 5581 . 3 4 4 7 26.8074 6.7709 .950 8621 .5904 - , 6 275 .3487 31.3871 7.04fi3 . 9 7 S 111218 .5978 - . 8974 .3924 37 2609 6. 7402 I. 0 0 0 1 . 3 4 1 0 . 5 6 3 4 - , 7 6 9 9 . 355a 40: 7727 5.8743
Pared lateral : contact0 nulo v = 1/2 H/H - 4 D/R = 0
KO KO - - - 6,352 - - - 5.926 hr - - - - .040
r -. .- , GR GR= G R ~
2 T l
h c k c k c h r r hr h r
. 000 1 .UOO0 .0000 1 . oooo . OOOU 1 . 0 0 0 0 .4000
.025 .9750 .0170 . 9 9 4 B -0033 . Y29S . 0 4 3 9
. 050 .8705 . 0 6 2 4 .S7S8 .a070 .7415 .0704
.075 .?877 6 4 9 4 . 9 4 9 4 . a123 .7735 -. 2981
.lo0 .Sly7 : 6690 -90 10 .0246 0604 -2.9322
.12s I. 008-r .5507 .a273 .0701 - 5 : 3952 -5.01 47
.I50 .9770 .4109 .7920 .I447 -10.3621 4.5355
. I 7 5 .8033 . 3 4 6 9 .7748 .I763 -6.6981 7 . 7 B B 3
.ZOO . 8 7 4 2 . rJ420 7 5 4 3 1938 -6.4345 7 8297
.225 .745 1 . 6 4 3 8 : 7299 : 2064 -5.7383 a : 9333
.250 . S B l g ,6738 .7025 2166 -3.9129 s.Fioga
. 2 7 8 1.0603 , 8 3 4 0 . B - l l S : 2254 -1.3293 8 . 4 0 4 8
. 3 U O 1 .I037 . 4 93s .6383 2 3 4 0 ,5716 8.1172
.325 . 8 1 4 4 . 4 5 6 3 . 6 0 2 8 :2427 -1.1680 6.8646 -350 .7088 -5517 .5668 ,2519 -3.14.64 7.5967 .375 -7683 . B 2 4 7 .5321 .2610 -3.4506 8.9070 . 4 00 . 9 5 9 3 .6488 .4 B Q S .2692 -.5111 9. B464 .425 1.1472 .5782 . 4 6 8 8 .a758 4.3324 9.4638 ,450 , 9 8 3 3 . 4916 6350 .2803 P . 6466 7.8860 - 4 7 5 .7718 .5245 : 3970 . 2 8 4 9 2.1371 7 . 9 2 1 4 . S O 0 .739S . 6 8 0 4 .3579 2898 1.8488 8.7611 .525
1 : 8!28 .6308 -3187 : 2946 4 . 2 8 6 7 9.5963 . 5 S O , 2 7 8 7 . 2988 9 . 2 4 6 2 9. B g R ? . 5 7 5 1 . 1 6 2 4 ,238 3 .3021 12.7037 8.6138 . B O O .9378 .I932 . 3 f l 5 S 11.4980 7.9806 , 6 2 5 -8122 .I468 .SO93 11.3927 8 . 3 4 1 1 ,650 ,8880 . 5 9 7 5 .lo11 .3130 14 .0800 8 . 7 1 2 9 .675 1 . 0 5 8 B .fi078 . 0 5 5 2 . 3 1 6 1 18.8498 p . 5 3 4 2 .740 1 . 2 1 4 6 .5833 .00f?7 3185 : 3208 :$ : 85: ; f . 5732 ,725 1 .a937 . S 1 5 1 .75D : 9:;: . s 2 2 8 : 78% .3238 1 8 . 6 1 4 0 .775 ,5631 - . 11301 ,3264 10.9516
:: E 7 7 7.1504
. 8 0 D . 8 9 4 4 - . 2 1 8 B .3?9l , 21.9336 7.4513 : 2 3 8 .825 1.1298 - 2802 ,3315 26.1635 7 . 2 3 4 4
. a 5 0 1.2880 .5535 - 1 3460 .3340 28.4024 6.5085 1.1108 .5121 - . 4 1 G Z .3370 26.8793 8 . 1 3 3 0 4 : 89% .a621 , 5188 - - 4 8 7 6 3 4 0 7 25 3278 6.2882
.925 .7590 .SSSO -. 5581 13447 2618074 6.7709
. S 5 0 .8621 .5904 - .6275 .3407 31.3871 7.0463
.375 l . l Z 1 R .S978 -. 6 9 7 4 .3524 37.2809 6.7402 1.000 1.3410 .S t334 -. 7699 .3558 40.7727 5.8743
Tabla 3.3.1 Rigideces estaticas y coeficientes de impadancia
Pared lateral: contacto t o t a l v = 1/2 H/R = 6 D/R = 0
KO KO - = 6.435 - - - 6.451 h r - = .a25
11 GR G R ~ 2 TI
h C
h k c k
r C
r hr h r .OOO 1.0000 . a000 1. 0000 .oooo . o z s . 8 3 4 6 9936
1.0000 . O S D .858 : 9 3 2 5 ,0041 : 9728 ,8033
.0097 .075 . 6 3 5 4 ,3281
.4425 .8889 .6835 -5: 4925 r . S 4 9 I .8640
' 0 2 g 2 1 i : Z S B S 1 0 0383
.a785 ,690s .8333 8 -5.OQ61 13' 01 81
. I 7 5 .g502 .I531 -3.2574 13: 6274 r i@r .7985 .200 .I713 -1.1413 . 126
. Z Z S ,7818 ,1901
- 5 7 4 4 .7275 i f : !%8
.250 .8GB1 . 8 4 9 7 . 6 8 5 7 - 8 3 1 2005
.275 .!3812 .6232 .6655 :8%!? -1.7262 1310339
.300 .2368
. a 8 3 4 - 6 3 4 2 1.7580 13.4492
.323 . a 2 4 2 : . 2 4 8 B -6003
2.7759 .350 .9230 .6560
.2559 -5854
i$:88!8 1.0135 ,6088 .5294
" . "859 13.400s : 9 8 .8678 .6837
1:!071 12.6913 . 4 2 S . 8 4 3 7 .8340 8 . 4 0 1 8 11 -7941 .4SO .Be82 -2850
.647B 9.1003 12.5430
.475 1.0232 . 2 9 1 7 13.1880 12 .8531
. so0 1 W8 .3716 .a705
.2!377 16.6501 -3290
.SZS .3038
.I3293 .2882 . 3093 i : : 2 3 2 : . ~ 3 3 8 ij;iibf 1Z.on.4
. g q # 1.0040 11.9277
: sou .5920 .BB80 ,8964
£ 9 26.1086 1 0 8203 . 6 Z S ,6280
: 3242 26.1321 10: 7255 .850
: 1024 .3291 29.741 1 .62(56
,675 .0538
. 5 8 S Q .0030 ,3336 ,3380
3 s . z t a ~ t ib:4121 .700 8917 ,6823 9.3372 . 7 2 5 : 8716 .8108 - .099S - . 0 4 8 6 8 : 3 3 2 9.1909 750 1.0113 a 61 80
: itqz 4 0 . 7 2 5 6 9.3818 : 775 1 . 0 9 4 4 -. 1508 .3512 46,5413 8.8097
.800 - 2045
. 9 4 3 5 : -: z s o z . 3 8 4 8 4 9 . 0 1 8 3 7.5570 . 8 2 5 , 8 0 4 6 .5753
,3584 47,4812
.850 8 3 8 4 -. 31 88
, 5 8 8 6 ,3619 48 3301 $:q!!?
875 : 9435 8 55.1157 52: 1eso 7 . 0 0 0 6
: SO0 .9173 8.3372 . Q Z S .8S47
.3711 55.2818 - 1 5 6 8 0 5 . 8 8 0 6
. 9 S O , 9 1 6 5 .5939 -. 8367 1.0035 . S802 -. 7 0 B 1
i 1 8 8 . 9 4 0 2 ,5619 - . 781 1 4.6328
Pared lateral: contacto nulo v = 112 H A 3 = 6 D/R = 0
KO h
KO KO - - - 6,435 r - - - 6 , 4 5 1 - - hr - -025
r) GR G R ~ G R ~ 2 .rr
kh C h
k c k I'
C r hr hr
.ooo 3 . oaoo . boo0 1.oaoo
.025 .0000 ' : 889g . 8 5 4 6
* 0 0 0 0 . a s 0 : ?a22 . 0 0 4 t
.8582 .8033
.9728 - 1 1 9 8
.a75 . O D 9 7
- 9 8 7 - 6 3 5 4 - 4 9 4 5
95% . B29l
- 1 0 0 . P 2 3 2
. 4 4 2 S -5 : 248E
- 125 . : 7775 . R ~ S I EJH 8 10 0383 . IS0 -8786 8 . 1 531 -3.2574 - 5 . 0 9 6 1 13:0181 -175 1 3 . 6 2 7 4
.a353 -200
.7985 1713 -1.1413 12.8526
:::ill .761 S .I801 . 5 7 4 4 .7273
- , 2 8 7 8 11.3922 B B ~ I . ~ 4 a 7 1T:38A3 13.0338
11.2005 : a812
.69S7
. 6 6 5 5 . 3 a a . 8 a s 4 1.7560 13.4492 .325 . 8 2 4
6342 : 6003 . 2 4 6 6 2.7753 11.9805 .350 9238 . 6 S 6 0 . S 8 5 4
. 2 5 9 8 2.3063 12 .6618 1 : 0135 ,2637
,8088 $: 9931 13.4005
1 2 3 .8678 9071 12 6913
. 4 25 .8837
. 8 4 3 7 : 8.4015 11:7941
, 4 5 0 ,9682 : i 3 4 8 . 4 1 1 9 .28SO B.1003 12.5430
,475 5966 ,291 7 13.1880
. SO0 ' : :3%z ,371 8 : 5QOO .28'77 3290
: T : $333: .525 . 8615 .8293 : 2862 :9::z9i! 1 1 4 7 0 2 . 5 5 0 . SS04 . 2 4 3 0 3 1B.2292 1 2 ' 0 8 5 4
. S 7 S 1.0040 - 3 1 4 s 23.4521 31 :9277
.I976 -3192 26,1085
.ISOI , 3 2 4 2 i8:$2# . 6 2 B B
E : + 3 T l 11 o z s s . 6 7 5 1 . 0 4 3 9 .5859 : 35.3214 1014753 .?OD .8917 .3380 37.2830
. 3 4 2 7 37 .0932 9.3372
.72S 9.1909
.750 1:EE -6180 3472 -. 1508 9.3816
. 7 7 5 1 .a944 .5830 % 8 : Z H ! 8 .8097
.a40 - 9 4 35 .8377 - . ""3 : s z a ~ ,,. ,,,, 7.5670 - 8 2 5 -8048 I: 8 6 8 - 3 5 8 4 47.4822 6.9965 . 8 5 0 .8384 8 - . 3 7 4 9 .3818 48.3341
-3860 7 1424
.875 . 5 9 4 3 - . 4 3 8 8 .388 gg: 7: 000s
. go0 .if $3 , 5 7 8 4 -.SO14 3717 5 5 . 2 6 1 8 6.3372
.925 :as47 .5047 - . 5 6 8 0 : 3 7 4 3 5 8 . 7 0 8 1 5 . 8 8 0 8
.950 . Q185 ,875 1.0035 : E'M8 -. 7081
-. 6387 .3778 60.2530 g:g8!i 1 . O O O ,9402 - 5 6 1 8 .3810 6 2 . 2 9 4 3 4 . 9 6 1 2 -. 7811 , 3 6 4 6 61.9800 4 + 8325
Tabla 3.4.1 Rigideces estgticas y coeficientes de impedancia
1 Pared lateral: contacto t o t a l v = 1/2 WK = 8 D/R = O
L
KO h
KO KO - - 6.302 - - - 6.435 - - h r - .006
rl GR G R ~ I ; R ~ 2 11
h c k c k c h r r h r hr
. OD0 1.0000 0000 1 . 0 0 0 0 . OD00 1 . O O D O . OOO(3 .9253 : 0743 .9931 . OD45 0 4 54 4 9 1 3 .9703 . 6980 -9693 .0133 - 4 : 6 1 1 2 - 1 2 : 5064 .9607 . 4 1 8 3 . 9 3 1 5 . 0 6 7 8 -27.6208 32.4443
.lo0 .862 , 6 8 7 4 .B030 0992 - 1 8 . 6 B g O 47.4389
.12S .98(3k .6630 . 8 6 8 6 : 1238 -1 1,3188 47.9266
.I50 . B805 .5237 .8313 . 1 4 8 7 - 8 9 5 8 4 4 4 . 4 6 4 9 -175 . B B O 1 .6181 7958 . I 7 3 0 -14'0537 45 5898 .200 -8607 .8306 : 7633 . 1938 - 9 : 3398 5 1 : 7043 . ?2S . 153 . 5 8 8 1 -7329 .2 01 -3.5596 4 8 . 9 6 7 6 . C S O .8830 : E 2 E . 6 B S 7 : $kQg -1.3838 6 1 . 7 3 4 7
.BS71 . 6 6 7 4 4 . 9 2 5 5 53.8883 , 8971 . 6 0 4 9 - 6 3 4 6 .2467 9.6886 50.8128 .90S2 . 8 4 5 3 .6007 .2982 13.3685 .9333
.350 , 9 7 2 4 .8280 .5663 2 6 4 7 24.9102
.375 : 8837 ,6180 .5302
. 4 0 0 . 6 4 9 1 ,4928 : 2721 Z B . P R 1 1 3::: .2793 34.2230 5 2 : 3339
. 4 ZS . SS53 8 2 7 9 . 4 S 4 9 2958 47.8815 Sn.7631
. 4 5 0 .SORI :slss , 4 1 3 8 12820 49 7886 4 8 . 9 2 1 2 4 7 5 ,9229 . G 4 5 9 , 3722 .2982 5616219 5 0 . 7 0 4 8 : 200 1 . 0 2 3 8 ,6333 3 3 0 3 , 3 0 4 1 7 5 . 7 4 0 1 4 9 . 2 5 1 8
. a 2 5 9534 . B O O 1 : 2864 . 3 0 9 B 7 9 . 8 8 5 4 45.9426 . S S D : 8 7 2 .6ZB7 . 2 4 1 6 3152 8 4 1 8 6 4 4 7 38 2 . S75 .980& . 6 4 7 3 .I870 : 3206 103: 0830 4 7 : 8811 . BOO 1 . 0 4 0 9 . I S 1 1 3 2 5 3 1 1 9 7188 4 4 . 2 2 8 8 : !iE .625 .9350 . l a 3 0 13301 121:9551 42.3221 650 .9184 .6300 . O S 4 6 .3348 134.2026 4 2 . 3 9 8 4 : 675 1 . 0 2 9 9 631 3 . 00s 3392 154.6629 40.7787
. 7 o o 1.8396 : sesa -. o 4 6 3 13433 182.4~65 36 7803
. 7 Z S . 191 . 5996 -. OQ90 .3476 1 6 4 . 8 4 4 5 36: 1138 750 -9320 .6213 -. 1515 .3517 180 S 4 S S 35.9244
1. D B 0 8 . G I 5 8 - 2055 .3554 199: 3128 3 2 . 6995 1.OSS9 . 5 8 0 4 -: 2618 .3590 201.0635 28 5893
- 0 7 8 1 ,5734 - .3193 3627 198.8906 28:0512 .850 .7992 .5988 - .3774 13661 206 5987 2 8 . 7 1 6 1 .87S .8898 .616Q - -4378 ,3882 224 : 523 1 27.3500 . 900 . 9 8 4 1 .€i032 - .SO1 .3721 233.S192 24.3748 .925 . 9 6 6 .5907 .3753 234 1885 22 9 6 8 . Q S O Sf14 .5967 212:1506 22:4821
:3777 .875 : 9737 . s o 4 9 -, ? o a ~ 2 5 2 4 8 0 8 20.777s 1 .aoo - 9 6 7 2 .5ao1 - . 7R7.7 .3gs2 ~ S S : O H O S la.1831
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0 ~ 0 ~ ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ ~ 0 ~ 0 ~ ~ 0 ~ n 0 ~ 0 1 0 0 ~ ~ ~ 0 ~ 1 0 ~ 0 ~ 0 v 0~0~0~0~~0~0~0~0~0~]0~0~00~00~1)0~011101110~00~0~0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O ~ ~ P O N W ~ O N W P O N ~ ~ O N ~ P - O C U t n P - O N L t r ~ 6 * 1 L n C - O W n ~ O N ~ b O b O N ~ ~ O N ~ P O N ~ P Q N W ~ O F U ~ ~ O ~ ~ b O C U t l ) C - C ) N y l C I O N ~ O ~ ~ ~ ~
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L + L + 1
Tabla 3-5.1 Rigideces est6ticas y cosficisntes de impedancia
Pared lateral : contact0 t o t a l v = 112 H/R = I0 D/R = 0
KO KO - = 6.225 -- - 6.435 h r - = -.OD2
rl GR G R ~ G R ~ 2 K
h c k c k c h r P h r hr
. o o q 1.0000 1 .0000 . OOQO 1 .0000 .OQOO ; B S H H .025 8659 : 9980 *!!H 8209
. a 8 2 6 -6013 : 9379 :8868 4?:4410 3 i :?882 .0675 47.0600 - 1 2 4 . 3 4 1 5
.St386 , 0 5 8 8 - 9 0 4 8 .0947 37.0054 -131.4SS2 . 1 2 S ,9479 .5200 - 8 8 7 8 . I 2 2 7 38.2717 -12S.2361 . IS0 . 9 4 0 5 .6359 ,8321 .I503 43.7007 -141.9379 r .58f 2 , .7989 28,8012 -149.7502
: !f85 : 7563g 95 -152.6779
.250 .SO00 - 6 2 7 s .7(115 .2228
.27S .SSZX . 8 4 0 7 .BE392 , 2 3 4 9 -18.0028 -161.9918
.300 .Dl61 , 6 1 4 9 ,6362 .2452 -36.8275 -154,1813
.32S .9180 6017 -45.3117 -159,1494 :Em ,350 . 9 8 4 1 : 5 6 6 2
.375 .BOB5 -6263 .5288 $ 8 -78.1011 -156.7671 .2704 -81.9616 -150.7589
. 4 0 Q ,9387 . R S 9 1 , 4 8 0 2 -2779 -101.8994 -157.3591
. 4 2 5 1.0232 ,6382 .4512 ,2843 -143,7793 -193.7513
.450 .9374 .6153 -2914 -150.4579 -116.5271 : $6;: . 4 7 5 . 9 2 4 6 . 6 4 4 6 -2978 -170.3690 -152.0045
. S O 0 1.0080 .6378 .3268 .3038 -217.5600 -148.4732
.52S . S 4 4 0 . B 1 4 3 .2828 - 3 0 9 4 -232.0857 -142.1529 ,550 : .2377 -3152 -253.6215 -146.3623 . S 7 5 .I923 . 6 Q O .I452
1 5 0 4 0 .62S .a900 . 6 2 8 8 .0973
:8E8S 13!8:%!3 11!5:6g59 -3311 -3S5.8334 -136.9378
, 9 4 9 7 .8563 .0801 .3392 -417.4927 -138.7944 .875 .6S0
I . O Q Z S .6430 .0024 . 3 4 0 8 -480.0482 -128.8655 .709 1,0725 . 6 0 8 7 - .0472 . 3 4 5 2 -912.7758 -115.7730 .725 .9997 ,3494 -535.0247 -1 11.7151 .750 1,0 87 :m :I& 8 : 6006 - . 2 5 4 4 . a 2 5 . 9666 .6058 - .3103 .3633 -645.6102 -86.5954 . a s 0 -9723 .5873 - .3892 .3802 -6S3.8902 -77.6684 .a75 , 8174 .S808 - . 4301 .3892 -840.9244 -76.1820 -900 . Y O 7 5 ,6083 - . 4 3 2 5 ,3721 -889. 8818 -78.5760 ,925 ,7965 .64 12 . 3 7 4 7 -729.6976 -78.3969
1 : 8ZZ8 1.0375 'z5g 1.1832 . 6 4 4 2 .3772 -788.5165 -68 .8453 .Eon7 - .7006 .3799 -793.2178 -57.0047
1 :OOO 1 . 0 8 2 S .8785 - .7778 .?a31 -766.7808 -53.3846
Pared lateral : contact0 nulo v = 1/2 H/R = 10 D/R = 0
KO KO - - - 6.225 P - - - 6.435
hr -- - -. 002 'I) GR G R ~ C R ~ 2 R
kh c k ' c k c
h r P hr hr
.ooo 1.0000
. a 2 5 : 888g - 8828 0000
- 0 5 0 : 883! 5391 : 9663 : 0222 b : 888Z r : 3987 41.4410 34.1090
- 0 7 5 . 8 6 2 6 : 6 0 1 1 .Q379 . 0 6 7 5 4 7 . 0 6 0 0 - 1 2 4 . 3 4 1 8 .I00 a B a 8 B . B 8 8 8 . S O 4 9 ,0947 37.0854 -131.4552 ,125 . 3 4 7 9 .520O * 150 .ITS : EQPZ : : :537
.79a9 3 iE:%61 : l55:8559 : 1735 28.B012 -149.7502
-200 .9178 -6248 .?BE32 . 1926 28.9385 -1 52.6779 ,225 .9551 .7338 ,2089 9.7526 -158.5612 .290 : E % S .7015 .2228 3.6115 -156.4686
: :28 6692 2349 -18 0026 -161.B518 .9161 . 6 1 4 9 : 6362 12452 - 3 4 : 8 2 7 ~ - 1 5 4 . 1 8 1 4
.325 .9180 -8528 .8017 . 2 5 4 4 -46.3117 -15Q.1*94 ,350 . B S 4 1 .6362 . 2 B 2 7 -78.1011 -156.7671 : .375 .906S . 4 0 0 . 9367 : 8m : gSya -r88: #"6 9 4 -157.3591
-150.7589 . 4 2 5 1.0232 .6382 '4812 , 2 8 4 9 -143.7793 -153.7515 . 4 6 0 ,9374 .%I53 * :4105 , 2 9 1 4 -154,4579 -146.3271 . 4 7 6 . 9 2 4 8 . 6 4 4 % 3689
1.0080 .6378 : szsa : 8 :$.I?: E Z S 1 149.4732 152.0045 - 9 4 4 6 . 6 1 4 3 -2828 .3094 -232.0657 -142,1529 .QOIB .6396 . 2377 .3162 -253.8228 -146.3623
. S 7 S - 9 9 4 6 .64fi8 . 1923 ,3206 -303. S361 -1 45.0740
.I300 . B g O 1 , 6169 , 3 2 5 7
.825 39 7 s . ~ 9 1 1 0 . 6 2 8 8 -35s : 5331 I 4 % : 8358
.650
. 6 7 5 t . I191 : ma . OD24 4 1417.4927 -138.7914 .3408 -490.0462 -128.53655
: 3 8 -6097 -. 0472 .34S2 -532.7758 -115.7730 .9997 - 6 1 08 -. OH70 , 3 4 8 4 -535.0247 -111 7152
. 7 5 0 1 . 0287 .8107 -. 1477 ,3832 -576.8485 -104: 53 7
. 7 7 5 . 9883 - 2004 3568 -592 4167 -95 7 2 g 0
. a 0 0 13602 -60915923 - 82 :4806 -. 31 03 ,3633 -845.8102 -BB 5954 : sa73 - 3092 .3862 -663.8902 - T ~ : ~ s B . B174 . S B 0 8
.SO0 -7075 -: 4301 ,3892 -640 9 . BDBS -. 4925
.Q25 . 7 Q % S . 6 4 1 2 -. 5576 ,: ,ste 3 8 : 4 $ 8 8
. Q S O 1. 0375 .6 42 -. 8268 ~ $ 8 9 . 6 9 7 5 - 7 B .39S9
.975 1.1832 .st87 13772 - 788 .5185 - B B . 8 4 5 3 -. 7006
1.00Q . 0825 . 37Q9 -793.2178 -57.0047
.S785 -. 7 7 7 6 .3831 -766.7809 -53.3546
Tabla 3 . 5 . 3 Rigideces estgticas y coeffcientes de impedancia
h
Pared lateral: contact0 t o t a l v = 1/2 D / R = 1 / 2 b
KO KO r K" - - - 9.629 -- - 11.694 L= 1.446
9 GR G R ~ GR'
2 n c k c k C h h c I' hr hr
1.ODoa 1.0000 ,0000 1.0000 . O O O O : 8E .8100 : $18; , 9874 0168 .8076 ,5790 . O F i O . 8 4 8 9 ,9532 : 0 4 1 6 .9263 . 6 6 4 3
re01 : 1496 ,131 1 1 078 . 075 . t 00 : 9640 171 3 7033
1:2633 :9 32 . BE67 .7492 . 8 62 : 19'78 929 9536 .8950 i . 8 3 3 6 18763 1:1211 .962B 8151 . B B ~ S 1 osoa
.20O : 7938 -8057 1 : 0680
.225 .8716 -7787 . 2 B 9707 1 0668
.2SO . 8 4 7 S .29f38 : B817 1 0347
.27S .8887 . 3 0 8 3 1.0699
. 3 0 D ! . 8 5 9 1 ,3140 1.0064 3 2 5 8 7 3 1 .7094 .3214 1 0396
: 35 : 7 9 4 7 ! iYlJ .8938 - 8Ei8 .912S 1 : 0491 .37g .6718 ,8422 9946 , 4 00 , 8 8 1 4 , 6 5 2 1 '3348 . 7 8 3 4 1 : 0 2 4 2 . 4 25 .DlOg : 3 3 7 8 . q063 1.0377 - 4 50 . ~ 0 1 4 : H i 8 .34os . 783 , Q S S O . 4 7 5 .5837 :WE .6480 1.0027 . s o 0 -6410 : 8881 .5607 ,8350 1 0 35 .52S , 9 0 8 9 .3500 .8343 1 : 0 8 3 7 .6SO : W E , 8 8 0 7 .3S33 . 5 7 5 . 5706 . 8 B 8 4 .3680
- 5 3 3 4 : 888: .4506 13$# 1 ZE . 5 8 S 6 ,4185 .333 2 .6 50 . 5 2 5 8 . 8856 .3867 .I749
.3662 , 0835 1.835
.675 - 8 8 1 2 1 : 0304 ,700 .8072 . 3 8 8 8 1 . 0 4 1 5 .725 . B O B 7 .3717 : 2 7 ~ 1 . #a43 2466 . 3 7 4 8
.2079 : 2083 . 3 7 7 8 - . I 6 1 7 : 9485 .1704 -. 2189 8 -.2983 ,825 . g i 5 5 .A":
. 8 S O .QlOB . 3 8 7 4 1 0942 , 8 7 6 ,3268 0 .3906 .3939
-'3399 1: ,001
900 .0202 9 4 9 8 . 0 1 1: 3 3 8 8 1.097s : 925 . 1659 : 953 - ,0232 1 $8z - - 4 3 6 6 . 950 . 2 5 0 0 -.0614 : n a ? i - ,5131
,4035 - , 5 6 8 2 1 :
-975 1 . 1 0 1 8 I . DO0 . 8 8 7 H 1: ?%$ .4063 - . 5903 1 .I021
Pared lateral: contact0 nulo v = 1/2 H/R = 10 DIR = 1/2
KO KO h r - = 8.432 2 = 7.345 - = -.343
9 GR GR= GR" 2 n: c k c k C
h r r h r h r
.OOO 1.0000 . O O O O 1. a000 0000 1.oaoo - 0 0 0 0
. 0 2 5 .8305 .9321 . SSOO : 8 2 7 5 .8210 5 04 1.0130 ,9655 : asPi I : 2808
: 858 .as30 : 78P8 . ~ l 4 0 . I108 .I00 . 9 9 4 4 ,8332 . I 3 4 1 : :E:; - 2 4 7 2 .125 . gga , 8698 ,1738 .291S ,150 - 9 6 8 8 771 1 ,7730 :8m . 6 6 6 3 5537 17s 1.0294 : 732z , 7 2 8 8 ,5087 15130
: Z O O .9873 . 7 4 5 ,2790 , 4 0 0 0 , 6 7 4 7 , 2 2 5 : 8355 7507 3015 1 I t 2 , 7 1 8 3 .250 1 4 4 : 7372 : 3282 . a286 . 2 7 S 1 . 0 3 7 7 1 8 0 3 .30O 1.0766 .S373 :#I$ -:0081
. S O 4 8 -38 -. 1083 : ist i 1 .Of348 1.0868
1 %% 1.1088 .4710 ,4013 1 1568 .375 1 1 6 4 B . 7 S 6 4 : % X 8 .417Q
. 4 3 1 2 i i i! iz!z .400 1 : 1752 ,7502 . 4 2 B 1 2 0 5 4 , 3 7 4 0 . 1:"; .0272 1 6086
I: zas? ,3481 .0728 1: 6 8 7 0 : %% 1.3569 .3272 : 4 7 9 4 3698 I . m a 3 .SO0 ,7259 .4913 : 8823 2 . 0 0 8 9 . S 2 5 .7278 . SOBS . S 6 0 1 . 5 3 2 , 3 0 4 2 .S75 1 . 5 4 8 2 .3104 2 : 1122
1 . 5 0 4 8 , 3 3 4 4 3 . 9 6 1 0 : 1 .5912 -673 ,3659 . S 4 S 6 4 . 8 0 0 2 1.801S .65Q 1.6945 ,8413 . S 4 8 2 : 23% 1.8283 .675 598 1 .SS1B F : ei!# 1.7395 i 1 : 5 9 5 1 . 4 8 6 3
. % 0 6 2 .63SO
; : 9 2 t g - 5 8 8 7 1.0092 : 776 -8814 : : azss Q 4 5 6 8
.a00 - 5 9 2 8 .5926 9 : 2 ~ 8 7 1 . 5 1 7 9 8954
: ;f!E : E427 . 4 3 5 4
,1887 , 5 7 7 3 . a 8 5 8 . 0 6 2 4 .8187 , 4 7 8 2 7 . 5 5 6 9
.925 , 6 2 4 8 a 7 2 2 7 . 8 1 0 7 : 4663 8.3487 : 14::
. 8 5 0 ; G8; - 0 699
. 9 7 6 1 ,6818 .4601 . 4 5 4 2 ?:8888 - . 1184
1.004 1 .4002 . 4 ? q 2 - . Z D Q B
En la fig. 5.1 se muestra un muro de tipo voladizo cuya funcibn es
confinar un relleno sabre el que se apoya el pavimento de concreto
hidrhulico de un patio de rnaniobras para tractocamiones. La estructura
se ubica en la zona sismica C de acuerdo con la regionalizacibn sismica
d e l pals. E l estrato equivalente del subsuelo t ime una velocidad de
prapagacibn cfectiva pB = 280 d s y un periodo dominante T = 0.314 s, S
po r lo que segGn la carta de microzonificaci6n sisrnica al suelo l e
corresponde una clasificacibn de terreno t i p o 1 1 1 , Por su destino y
estructuraci611, la estructura pertenece a1 grupo B y tipo 3,
respectivamente. Se trata de determinar las acciones mecanicas para el
disedo sfsnico y de revisar su estabilidad ante mecanismos de falla.
Fig 5.1 Datos generales dcI muro d e r ~ t e n c i 6 n del ejemplo 3.5.
5 0
y = 1.65 t,/rn3
0 - 33'
cu = 0.1 1/m2 n
A '? C 1
L a b v . b T A
0 75
V
h 5
'7
F
L
Arcna tlledla gruesa, Ilrnosa (17=2DX), ma1 g r a d u ~ d a ; de compac~diid medla, cafe, y seca en el lugar; SM
3.5.1 Caracterfstlcas Prlncipales del Hmo y del Relleno
La estructura de retencidn es de concreto rtforzado. El tablero del muro
tiene un espesor de 0.5 m y una altura de 4.4 n la cimentacibn consiste
en una zapata corrida de 3,s m de ancho y 0 . 6 m de espesor, desplantada
a 2.0 rn de profundialad por lo que la altura del muro para anhlisis es
H = 4.4+0.6 = 5.0 rn. O t r a s caracteristicas de la geometria del muro se
muestran en la f iz . 5.1.
S e g h el informe geot&cnico, el relleno estd constituido por ma arena
ma1 graduada con pocos finos pl&ticos y de compacidad media. 10s
valores para el h g u l o de friccibn interna y la cohesihn del relleno son 2 respectivaraente, 4 = 33' y c = 0.1 t/m , en condiciones no drenadas; el
U 3
peso v o l ~ t r i c o promedio ts r = 1.65 t / m . Debido a1 pequego valor de
la cohesibn, su contribucibn se despreciwg en el anAlisis.
No se esperan presiones debidas al agua dado que el nivel freatico en el
s i t i o se encuentra a una profundidad de 15 rn y tanto eI muro c o r n el
relleno estAn dotados de un bum sistsma da drenaje.
La superflcie libre del relleno tfene una pendfente uniforrne de SO hacia
el muro y la sobrecarga que representa el patio de maniobras se estim6
para fines de disefio- sismico en 0 . 5 t/m por metro de longitud de muro.
3.5.2 Coef iciente Siamico
Para la zona C y terreno t i p 0 I f f se tiene c = 0.64; el factor de
amplificaclbn a considepar para determinar el coeficiente sismico es de
1.33. pues se t iene
C. I I I
El coeficiente sismico a considerar en el an&lfsis se calculd como
AdemAs, debido a que la estructura se ubica en la zona C de la
regionalitaci6n sismica del pais, se considerarA m a aceleracibn
vertical igual a 213 de la aceleracibn horizontal. Los efectos debidos a
este componente se cornbinarhn rnultiplicandolos por un factor de 0.50.
3.5.3 b t e r m i n ~ i d n del Empuje Sismico de Tierraa
Para valuar el empuje debido a la presibn de tierras sobre el respaldo
del muro se considerH la condici6n de estado activo, debido a que se
trata de una estructura flexible desplmtada sobre un espesor de suelo
r e l a t i v m n t e importante. Par ser un muro de t ip0 voladizo el empuje se
calcularA a p a r t i r del diagrama de cuerpo libre mostrado en la f i g . 5.2.
I
0.20
1 7---
0
d
v
v
cb
R es la fnar7a II de resis tencia
por l r icc~on i - -\*:\Q:\Q
A
I Hrv es la fuerza I
d du gravcdad de D 7 la cuiia y
sobrecarga
1 . t I
- B A
Fig. 5.2 Diagrama de fuerzas que intervienen en el cquilibrin de la cufia en estado limite de falla activo.
Para el cAlculo del empuje se empleb la ecuaci6n 7.1, que es
Como en este caso se consider6 cU = 0, las fuerzas Q y F son nulas;
adem&, @ = 33O, e = 0 O y B = #/2, par l o que la ecuac i6n se reduce a
E l Angulo Ip que forma W con la vertical se calcul6 considerando 10s
efectos del cornponente horizontal y 0.5 del componente vertical de la
aceleracidn, media t e
Si el componente vertical de la aceleracibn a c t h hacla arriba se tendra
@ = 12.914~.
Para la geometria mostrada en la fig. 5.2, se tiene que la resultante de
fuerzas inerciales de la cufia W puede calcularse a prtfr de la
resultante de fuerzas gravitacionales W de acuerdo a v
cosx cosi senC90 - X I w = a csc, W* = a cat$ [o-5 r ~ sen ( y - H sen(x - i ) I 0.213 sen ( 90-x 1 W = sen[ 12.914) 0 . 5 x 1.65 x 5 sen X-S
Los empujes de t ierra obtenf dos fueron: Ed = 10.227 t con = 43.48' si
la aceleracibn vertical obra hacia arriba y, Ed = 10.97 t con y = 45.67O
sf la aceleracihn vertical obra hacia abajo. Despues de realizar el
anklisis completo d e l muro, 10s efectos m&s desfavorables se obtuvieron
a1 considerar a la aceleracibn vertical actuando hacia arriba, por ello
s61o se presenta la sustitucibn de valores en las expresiones anteriores
para este caso.
1.a altura h. donde actda el empuje E . sa calculb con la ec . 7.5
E l empuje E se calculb ernpleando la misma ec. 7.1, pero considerando que e
en este caso el angulo @ y el coef ic iente sismica valen cero; se obtuvo
un valor para Ee = 6.536 t. Suponiendo por sencillez que el ernpuje E e
obra a una altura h = 0.33H, se tiene t
Para mums de t i p o voladizo, se considera que el empuja sisinico E actha d
sobra la interfaz vertical imaginarfa que se muestra en la f ig . 5.2, por
l o que 1 = B, medida desde el pie del cimiento. Adeks, se considera d
que E es ta inclinado con respecto a la horizontal de 8 = 16.5'. d
3.5.4 kterminaci6n de Fuerzas y Homentos debfdos al M r r o
P a r a la determinaci6n de las fuerzas sismicas que intervienen en las
revisiones de segurfdad ante volteo y deslizamiento, se considerb que el
componente vertical d e l movimiento actda hacia arriba, por ser este caso
el mAs desfavorable para el muro del ejemplo. Para el cAlculo de las
fuerzas inerciales del m w o se consider6 un peso v o l d t r i c o 3
Tc = 2 . 4 t/m para el concrcto. Asimismo, se consider6 que el volumen de
re1 leno que descansa sobre el cimiento forma pa r t e de la masa del muro.
Con estas masas se calcularon las fuerzas inerciales para las t res
secciones mostradas en la f i g . 5.3.
El Area y centroide con respecto a1 pie del muro para las secciones
consideradas se d&n en la tabla 5.1, a continuaclbn.
C. I r I
Tabla 5.1 Caracteristicas geodtricas de la^ seccfones del muro
seccibn . h-ea h 1
m21 (ml (m)
1 2.200 2.800 1.000 2 2.100 0.300 1.750 3 10.121 2.850 2.383
I I \ I
A
L
-+- - -
I I
1125 3.798 0 1
I I Fuerzns en t.
5,O &$-! Acotaciones en rn. 16.556
4.9W I P
I I h d = 2.047
d h l O 7 4 -
Pre 4 882
F i g 5.3 Diagrama de fuerzas que intervienen en el analisis.
Las f u e r z a s inerciales en cada seccibn se calcularon en tCrrninos de sus
componentes horizontal y vertical , as1 como 10s momentos actuantes
asociados a ellas, con respecto a1 p i e del muro y por metro de longitud
de Cste. Lns componentes de la fuerza inertial, horizontal y vertical en
la n-Csima seccibn, con peso volum&trico rn y Wea A n , son:
cornponente horizontal = A = 0.213 yn An n
2 ccnponante vertical = (1 - 0. S [ 7 a I) an An = 0.923 rn An
Los resultados obtenidos se resumen en la tabla 5.2, donde tambiCn se
indica la magnitud de las fuerzas resultantes horizontal y vertical, asi
como el momento resultante inducido. Para el relleno se consider6
tambien el peso de la sobrecarga s i n modificar 10s valores de h y 1. Ias
fuerzas y momentos calculados son por metro de longitud de rnuro.
Table 5 . 2 Fuerzas y m o ~ e n t o a por el efecto sismico sobre la -a del muro
3.5 .5 Revisibn de la Estabilidad del Huro
secc.
1 2 3
SUMA
Una vez calculadas todas las fuerzas sismicas actuantes, se procede a
evaluar la seguridad de l muro considerando los mecanismos de falla
posibles en este caso, con 10s valores consignados en la tabla 5.2.
Revisi6n de falla Dor volteo
Fuerza horizon.
Ctl 1.125 1.074 3.796
E l momento de volteo se debe a la accibn tie las fuerzas horizontales que
obran sobre el rnuro:
M = Mh + h E cosB = 14.291+2.047x10.227~~~~~16.Sl = 34.364 t-m v m d d
h
(m)
2.800 0.300 2.850
E l momento resistente corresponde a la sum de mornentos producidas por
el efecto de las fuerzas verticales:
5.995
M = M~ + 1 E sen6 = 52.550+3.5x10.227xsen(16.5) = 62.716 t-m r m d d
momento
( t - m l
3.150 0.322 10.819
14.291
Fuerza vart ical
It)
4.905 4.682 16.555
26.142 52.550
1
I m l
1.000 1.750 2.383
moment o
(t-m)
4.905 8.194 1 39.451
M > Mv; el factor de seguridad ante volteo del n w o es
Siendo mayor que 1.5, el factor lndica que se cumple con la segwidad
ante la posibilidad de una falla por volteo.
Revisitin de falla por desllzamiento
Para valuar la fuerza horizontal que se opone a1 deslizamiento d e l
cimiento, el informe geot&cnico reporta un a u l o de friccihn
suelo-cirniento igual a 9 = 25' y = 1.65 t/rn3; asimismo, se tom6 en b
cuenta que el terreno en el frente del muro estard cubierto por un
pavlrnento asfkltico y no se efectuara ninguna excavacibn en la vecindad
del muro, por l o que puede considerarse la contribuci6n de la presidn de
tierras que se opone al deslizamiento. Para ello, se consider6 s61o el
67% del empuje pasivo resultante del criterfo de Rankine Ik = 2.27). P
Dada una profundidad de ciesplante DF, la fuerza horizontal resistente
puede calcularse como
La fuerza deslizante que obra sobre el cimiento se calcul6 como
F > Fd; el factor de seguridad ante la fa l la por deslizamiento es
calculado como
Siendo mayor que 1.2, se cons idera que el mum es seguro ante la f a1 la
por desl izamiento.
Revisi6n de falla m r canacidad de caraa
Para revisas este mecanismo de falla es necesario cons idera- la
totalidad de las fuerzas gravitacianales, incrementadas por 10s efectos
de las fuerzas sismicas, es decir, debera considerarse el componente
vertical del movirniento actuando hacia abajo. Para e l l o , se tom6 el
empuje de tierras obtenido Ed = 10.97 t con h = 2.095 m; las fuerzas d
verticales debidas a1 muro, indicadas aqui corno fv, se recalcularon a
partir de 10s valores consignados en la tabla 5.2 para cada una de las
tres secciones, considerando tambiCn el voltmen de tisrra apoyado en el
f r e n t e del cimiento, y empleando la expresihn
Para la estimaci6n del factor de seguridad ante falla por capacidad de
carga d e l suelo que soporta e l cimiento, se calcularon 10s esfuerzos de
contacto tomando suma de momentos con respecto a1 centro del cimiento.
Para fines de camparacibn, en la tabla 5.3 se reportan 10s esfuerzos de
contacto lnaxirnos obtenidos para 10s dos sentidos del componente vertical
del movimiento del terrena.
C. I11
Tabla 5.3 Fuerza, momento y s~ftterzo de contacto sobre el cimiento
coeficiente B/6 e B ' Q 1 mdx sismico
vertical (m 1 ( t l I t-ml (ml l m l I t/mz 1
(1 - d3) 0.58 27.751 -24.633 -0.89 1.72 21.5
11 + d 3 ) 0 . 5 8 31.997 -25.586 -0.80 1.90 22.5
E l informe geotecnico reporta que la capacidad de carga maxima del suelo
es de 55 t /m2 por lo clue el factor de seguridad es
siendo mayor que 2.0, se considera que el mura es seguro ante la falla
por capacidad de carga del suelo.
Revisibn de falla aeneralizada
Debido a que la resistencia de l suelo bajo el cimiento tieride a amentar
con la profundidad y no se detectaron estratos de suelo compresible
hasta la rnAxima profundidad explorada, 15 m, que es mayor que 1.5H desde
la base del cimiento, no se prevee que pueda desarrollarse este
mecanismo de falla. Sin embargo, un anhlisis simplificado del problem
consisti6 en conslderar circulos que Interceptan el tal6n del cimiento,
obteniendose un factor de segwidad ante falla por mecanismo rotational
de cortante netmente superior a 1.5, por l o que se considerb que el
rnuro cs seguro ante este t i p o de falla.
C. 111
3.6 ANALISIS SISMICO DE UNA I=HIMEEA
En la fig. 6.1 se muestra una chirnenea de seccibn variable que se
desplanta en terreno f irme con v e l o c i d d de propagacibn Ps = 700 m/s,
Por lo que s e g h la carta de microzonificaci6n sisnica el suelo
pertenece a1 tipo I . La estructura se ubica, de aeuerda con la
regionalfzacibn sisrnica del pais, en la zona sismica C y perteneca,
segiin su destino y estructuracibn, a1 grupo B y t i p 4, respectivamente. .&
Se pide determinar las fuerzas sismicas asi como las fuerzas cortantes y
Por razones de sencillez se fgnorard la presencia de orificios u
aberturas en el f u s t e de la chirnenea de manera que las direcciones de
mlisis son i n d i s t i n t a , ya que no existen direcciones
desfavorables. Asimismo, la velocidad de propagacibn del s i t i o se
considera compatible con 10s niveles de deformacl6n esperados durante
temblores intensos, por lo que se despreciarh 10s efactos no lineales
del suelo.
La estruct- es de concreto de f' = 200 kg/cm2, 10s df&metras C
exteriores en la base y punta de la chimenea son Do = 9.25 m y DH = 7 . 5
m, respctivamente, las masas de la estructura con y s in revestimiento 2
son M' = 172.99 t-s2/m y M = 150.43 t-s /m, respectivamente, y se supone
que el amortiguaniento de la chimenea es < = 0.03. e
Se considera aceptable discretizar la chirnenea de altura H = 60 m en 10
dovelas de la misma altura, igual a 6 m, cuyos pesos se indican en el
esquema de la estructura.
3.6.2 Periodo Fundamental de la Cbimenea
En v is ta de que la altura de la chfmenea no sobrepasa de 60 m se puede
aplicar el d l i s i s estatico que se describe en la saccibn 3.8.3 de
recamendaciones. Para ello se requiere conocer el valor aproximado del
perfodo fundamental de la estructura el cual se determina con la
ec. 8.5, es to es:
Los efectos de la interacci6n suelo-estructura en el periado y
amortiguamiento no se tendrhn en cuenta debido a que se trata de te r reno
firme. Por tal razbn, el periodo y amortiguamiento efectivos se torn-
iguales a 10s correspondientes a la condici6n de base rigida.
3.8.3 Aceleracibn Espectral y Factor de Incremento
El espectro de disefio para un terreno de cimentaci6n del t i p o I e n la
zona sismica C se caracteriza por 10s siguientes valores:
En vista de que se trata de una chimenea de concreto reforzado se puede
tomar un factor de comportamiento sismico Q = 2 , para prop6sitos de
reducc ibn de las ordenadas espectrales por duct i 1 idad.
Ahora bien, el coeficientc de aceleraci6n espectral y el factor de
incremcnto se obtienen corno se indica a continuacf6n:
3.6.4 Fuerzas Cortantes y Homentos de Volteo
. - -.. - , - . Coma T- - > TL7 la . . . fuerza . . -. . Lateral que s-e- debe aplicar en.. E.a.=.dg~.e_Ja
superior para tener en cuenta 10s efectos de 10s modos superiores de I
vibracibn se obtiene con la ec. 8.4 , esto es:
a P s = 0 . 1 5 W ( 1 + 0 . 5 r - 0 . S r q ) ~ E 1
P = 0.15x1697.0x(1+0.5x0.S-0.5~0~5~0.866)x~.312x1.227 = 50.03 t S
n
En la tabla 6.1 se rnuestran 10s c&lculos necesarios para obtener, s e g h
la ec. 8 . 2 , las fuerzas sismicas por dovela y a partir de ellas las
f uerzas cortantes de diseiio.
Tabla 6.1 Fuerzas sismicas y cortantes para la chimenea de la fig. 6.1
En la tabla 6 . 2 se presentan 10s c~lculos necesarios para determinar,
s e g h la ec. 8.9. l o momentos de volteo de diseiio en diferentes
! secclones de la chfmenea.
Tabla 6.2 Homntos de volteo para la chimnea de la fig. 6.1
Dovela h n
v n
MO n
0.75+0.25h /I1 n
M~ n
( m ) ( t l I t-ml (t-m)
10 57 92.22 0 0.988 0 9 51 133.09 553.32 0.963 532.85 8 45 172.15 1351.86 0.938 1268.04 7 39 208.81 2384.76 0.913 2177.29 6 33 242.40 3637.62 0.888 3230.21 5 27 272.13 5092.02 0.863 4394.41 4 21 297.15 6724.80 0.838 5635.38 3 15 316.49 8507,70 0.813 6916.76 2 9 329.04 10406.64 0.788 8200.43 1 3 333.56 12380.88 0.763 9446.61
BASE 13381.56 0,750 10036. 17
N
H Z = C vm 1 4 - h , - , 1 m-n+l
H Mr n = (0.75+0.25 h / H ] 1 Vm [ h m - hm-l ]
n m=n+ 1
1
Finalmente, la estructura debera diseiiarse de acuerdo con 10
especif icado en la seccibn 3.8.3.4 de mcomendaciones, es decir, para la
superpos i c i6n de 100 % del componente del movi m i en to de l terreno
paralelo a la direccibn de andlisis y 50 X del componente ortoganal.
C, I I I
3.7 ANALISIS SISMCO DIE WN TANQUE ELEVAW
En la f i g . 7 . 1 se rnuestra un tanque elevado que se desplanta en terreno
firme con velocidad de propagacibn pa = 770 d s , wr lo que scgm la
carta de micmzonificaci6n sisrnica el suelo pertenece a1 t ipo I . La
estructura se ubica, de acuerdo con la regionalfzaci6n sismica del pais,
en la zona sisrnica D y pertenece, s e g h su destino y estructuraci6n, a1
grupo B y t i p o 5, respect ivamente. Como parte del d l i s i s sismico del
tanque elevado se pide determinar la fuerza cortante y el momento de
volteo de disefio en la base de la estructura de soporte.
Fig. 7.1 Tanque elevado
El recipisnte y la estructura de soporte poseen las mismas
caracteristicas en las dos direcciones ortogonales en que se debe
C. I I I
analizar la estructura, de manera que el a d l i s i s sismica del tanque
elevado se reduce s o l m n t e a una direcci6n. Asirnismo, la vclocidad de
propagaci4n del s i t i o se considera compatible con 10s niveles de
deformacibn esperados durante ternblores intensos, por l o que se
despreciar* 10s efectos no lineales del suelo.
3.7.1 Caracteriaticas Principales del Tanque ELevado
El recipiente es de concreto con base de forma cuadrada; e l tirante del
liquid0 almacenado es de H = 7 . 5 m y la dimensibn del recipiente es de
2L - 15 m. La estructura de soporte tambi6n es de concreto; la altura y
rigidez Iat-era1 de la plataforma son H = 15 m y K = 1250 t / m , P P
respectivamente. La masa del conjunto formado por el recipiente y la
estructura de soporte e s de M = 40 t - s 2 / m . P
Se supone que el tanque elevado sera destinado a1 almacenamiento de agua
cuyo peso volumktrico es 1 t / m 3 , por l o que la masa del f l u ido
almacenado es igual a
Por otra parte, 10s efectos de la interaccidn suelo-estructura en eI
perlodo y amortigunmiento no se t e n d r h en cuenta puesto que se trata de
ter reno firrne. AdemAs, en tanques elevados se puede despreciar la
interaccibn Iiquido-recipiente, l o que se justifica aun s en
recfpientes de concreto.
3.7.2 Hasas Impulsiva y Convectin d e l Liquid0
P a r a prop6sitos de analisis, el liquid0 almacenado se debe reemplazar
por las masas impulsiva y conmctiva, colocadas a diferentes alturas
sobre el fondo d e l recipiente y ligadas respectivamente de forma rigida
y e l k t i c a a las paredes del recipiente. Tales parametros se determinan
C. I I I
con las ecs. 9.6-9.10 como se indica a cant inuacibn:
Comc, lntercsa calcular el momento de volteo en la base de la estructura
de soporte se tom6 a = 1.33 y p = 2, a f i n de incluir el momento de
volteo en el fondo del recipiente.
3.7.3 Hodos kturales de Vibracidn d e l Sistelna
Los modos dominantes de vibraci6n del tanque elevado se pueden
determinar a1 resolver el problema de valores caracteristicos
P - w 2 1 ( ] 2 = 0 , cuyas matrices de -a H= y rigidez K se defimn. s n s n s
se- las ecs. 9.26 y 9.27. como sigue:
M +M 0 94.65+40 0 134.65 0 I 2 t -s l r n
S 82.25 0 82.25
K + K -K 1250+154.32 -154.32 1404.32 -154.32
D . = I 1 I = [ - 154.32 154.42 I = [ -154.32 154.32 ] t h
Resolviendo el problema de valores caracteristicos resultante sa
encuentra que las frecuencias y 10s modos naturales de vibracibn son:
Los periodos naturales de vibraci6n asociados predominantemente a 10s
modos convective e i,mpulstvo resultan ser TI = 4.91 s y T = 1.92 s, 2
respectlvamente.
E l espectro de disefio para un terreno de clmentacibn d e l t i p I en la
zona sismlca D se caracteriza por 10s siguientes valores:
L a s caracteristicas de la estructura de soporte son tales que puede
tomarse un factor de comportamiento sismico Q = 3 , para propbsitos de
reduccibn de las ordenadas espectrales por ductilldad.
L o s desplazamientos mhimos que ocurren en el modo fundamental se
determinan con la ec. 9.28, esto es:
Los desplazamientos , lnaxlmos q e ocurren en el mdo superior se
determfnan con la ec. 9.29, esto ea:
La5 fuerzas. de inercfa rnhximas correspondientes. a: 10s modes naturales de
vibraci6n del sistema se obt ienen con la, ec. 9.30, corn slgue;
" -,- A* --LA. .". - -
C. 111
3.7.5 Fuerza Cortante y Hotaento de Volteo k a l e s
L a s fuerzas curtantes en la base de la estructura de soporte asociadas a
cada uno de 10s modos naturales de vibracibn del sistema se obtienen
1 sumando las fuerzas de inercia del mod0 correspondiente. k esta forma
Los momentos de volteo en la base de la estructura de soporte asociados
a cada uno de 10s modos naturales de vibracibn del sisterna se obt ienen
sumando 10s momentos flexionantes originados por las fuerzas de inercia
del mod0 correspondiente. De esta forrna se tiene qse
MI = 1395.05 t - m
Mz = 1700.54 t-m
Cabe recordar que las fuerzas de inercia P = 11.55 t y P12 = 104.05 t 11
se deben tanto a la masa impulsiva como a la masa de la plataforma,
razbn por la cual se tuvieron que distribufr proporcionalmente a cada
una de estas masas a f i n de calcular el mornento de volteo en la base de
la estructura de soporte.
Para estimar la fuerza cortante y el momento de volteo basales debidos a
fa combinaci6n de 10s modos naturales de vibraci6n d e l sistema se
recurre a1 criterio de la raiz cuadrada de la suma d e 1 0 s cuadrados de
las respuestas modales. De esta forrna se tiene que la fuerza cortante y
el rnomento de volteo de disefio en la base de la estructura de soporte
resul tan ser
M o = J ( 1 3 g 5 . 0 5 ) ~ + ( 1 7 0 0 . 5 4 ) ~ ' = ZI~S.SS t-n
For tiltirno, la estructura deber* diseiiarse de acuerdo con lo
especificado en la seccibn 3 .9 .5 de recornendaciones, es decir, para la
superposici6n de 100 X de l componente del movimfent~ dal terreno
paralelo a la direccfbn de d l i s i s y 50 % dc Los componentes ortogonal
y vertical. Cabe asentar que la fuerza corkante y e l rnomento de volteo
basales debidos a la accibn del componente vertical son nulos.
-. . . - . -. .
C. 111
3.8 PROGRAM PARA EL CALCULO DE PRESI ONES HI IIRODI N M I CA!S EN PRESAS DE
GRAVEDAD
I En las recomendaciones sobre presas se presenta un mCtoda aproximado
para la determlnaci61-1 de presiones hidrodinhlcas en cortinas con
paramento mojado no vertical. 7
Para irnplernentar en la practica este &todo es necesario recurrir a
tecnicas num&ricas. A q u i se presenta un programa de chmputo en lenguage
FORTRAN para la valuacibn de la serie y la solucibn del sistema de
ecuaciones algebraicas definidos por las ecs. 13.8 y 13.9 e n
recomendaciones, respectivamente, a f i n de determlnar la distribucihn de
presiones hidrodinkmicas sobre la cortina.
Este programa requiere de un archivo llamado "INPLK" con los datos de la
geometria de la cortina, y suministra un archivo llamado "OUrYbT" con
los coeficientes de presidn.
* PRERAMA: PRESIONES HIDRODINAMICAS EN P E A S * OBJETU: COEFICIENTES DE PRESION R
* RH = RELACION DE ALTURAS(Hp/Kv) * TE = INCLINACION DEL PARAMENTO INCLINAW(grados) * NT = NUMERO DE TERMINOS DE LA SERIE * * SALIDA: *
C * CP = COEFICIENTES DE PRESION * C * w
C f * * * * * * * * * * * * * * * * * *#* * * *a* * lwm*** * * * * * * *~* *ae** * * * * * * * * * * *~~** * * * * * * *
C PARAMITER (NTM=25)
C NTM = NWGRO DE TERMZNOS MAXlMO IMPLICIT MAP8 ( A-H, D-Z) REALP8 KMN, LMN, MMN, N W REALW8 LMIMTM), F(NTM,MTM) ,G(NTMI CHARACTER* 10 I NPUT , OUTPUT DATA 132/0.025/
C C LECXURA DE DATOS C a
HRITE(*,'(" ARCHIVO DE DATDS=",$J8 READ(*, ' ( A I O ) ' INPm OPEN~~O,FILE=IW~,STATUS='OLD',ACC~='~Q~TI~~') REAI)( 10, * )RW READ{ 10, * )TE READ( 10, * INT READ[ 10, ' C A I O ) ' )OUTPUT CLOSE[ 10 1 TE=O.Q17453293W*TE W 20 M=l,NT
20 LM(~)=l.570796327a0*I2*M-l] C C SISTEMA DE ECUACIONES: IFI{E3={G) C
DO 30 M=l,NT G(M)=~-~)**~M*~)+(~,W/DCOS[TE)-~,DO)*DSIN~RH*LM~M)~ DO 30 N=M, NT KMN=LMIM)+LM(N) LMN=LH(M)-LM( N) MMN=IDCDSIRW*KMNJ-DWIPI-RH*K~*DTAN~TE~~I*DTAN~TE~ M=[Dcos(RH*WI-DEXPI-RH*KMN*MAE'JITE)))*DTAN(TEI IF{M. EQ. NITHEN F(M,N1=l.M-W+DSIN(W*KMN)/KMN ELSE F(M,N1=DsIN(M'KMN)/KMN-D6IN(RH*LMN1/L,M END1 F F ( M , kl)=F(M, N)*( [ 1. DO-2. DO*DCOS(TE) ]*DSIN(RH*KMN]-W~JK~/~OS~TE) F(M, N)=F(M, N)*[LMM*DSIN[W*LMN]+M4NMN]/[ [KMN*DTAN(TE] )**2fLMN**2 - )/KOS(TE3**3
FtM,N)=O. 5Do*LMIMI*LM(N)fF(M, N) F(N, M)=F(M, N)
30 CONTINUE C C SOLUC I OH C
CALL DESINT, F l CALL RES(NT, F,G}
C C COEFlCIENTES DE PRESION
OPEN ( 40, FILE=OUTPUT , STATUS=' N W ' , ACCES!+' SEQUENTIAL' WRITE(40,50) FORMAT( EX, ' zAv' ,8X, ' Cp' 1 MF=IDNINTI 1. W/DZ) W 60 b0, MP ZK=M*Dz IFIZI. LT. RHITHEM XI=(RH-ZI)*DTAN(TE) ELSE XI=O. W ENDIF CP*. W DO 70 N=l,NT CP=CP+G(N)*DEXPC-LM[N)*XI~'DCOS(U(N)*ZI~ HRITE(40,801ZI, CP FORMAT12(5X, FS.31) CONTINUE CLOSE ( 40 I STOP END
SUBROUTINE DES(N, A)
FACTORIZACION LU DE UNA MATRIZ SIMETRICA
VARIA3LEs: A = MATRIZ DE COEFICIENTES N = ORDEN DE LA MATRIZ A
PARAMETER (NTM=ZS) NTM = NUMERO DE TEFMINOS MAXIM0 IMPLICIT REAL*8 ( A-H, 0-2) DIMENSION AINTM,NTMI W 100 T=2,N DO 80 J= l , I . - l SUMA=O. Do IF(J. a. 1)GO TO 70 DO 60 K = 1 , J-1 SW=SW+A(K,K)*A[I,K)*A(J,KI A ( I , J ) = [ A [ I , J)-SUMAl/A(J,J) CONT I NUE SUMA=O . DO DO 90 K=l,I-1 SUMA=SUMA+AEK, Kl *A[ I , K) -2 A(I,I)=A(I, 11-SUMA CONT I HUE RETURN END
SUBROUTINE RESIN, A, Bl
SOLUCIQN DEL PROBLEMA FACTORIZADO DE ECUACLONES ALGEBRAICAS: ILUl{X)={B)
VARIABLES: A = LU B = VECTOR DE TERMINOS INDEPENIIIENTES N = ORDEN DE LA MATRIZ A Y EL VECTOR B
PARAMETER (NTW2SI NTM = MUMERO DE TERMINOS MAXIM0 IMPLICIT REAL,*8 [A-H,O-Z) DIMENSION AINTM,NTM),B(HTHI DO 50 1 = 2 , N S W = O . Do DO 40 K=l,I-1 SUMA=SW+A[ I , K)*H(K) B(I)=B(I)-SUMA CONTINUE B(N)=B{Nl/A(N, Nl W 100 IP=l,N-I I=N-IP suMA=o. W Do 90 K=l, IP SW=SUMA+A(I+K,II*B(I+KI B(I]=B[I)/A(I,II-SUMA CONTINUE FiE'mRN END
Archivo de entrada:
0.5 30.0 25 PIP. SAL
Archivo de salida:
; Relacibn de a1 turas: h ; Incl inacibn del paramento: e0 ;Niunero de terminos de la serie: N ;Nombre del archivo de salida
Tiraje: 3000 ejemplares [rnpreso par: Grupo Fogra, S.A. de C.V.
Edicibn: Depto. de Ingenieria Civil, lnstituto de lnvestigaciones ElGctricas Disefio de portada: NBstor S. Medina