cfd

UNIVERSIDAD SIMÓN BOLIVAR

DECANATO DE ESTUDIOS DE POSTGRADO COORDINACIÓN DE POSTGRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA

MAESTRÍA EN INGENIERÍA MECÁNICA

TRABAJO DE GRADO

ESTUDIO NUMÉRICO DEL FLUJO PARTÍCULAS-LÍQUIDO EN REGÍMENES HETEROGÉNEO Y SALTACIÓN EN TUBERÍAS HORIZONTALES

Por

JAIME OSWALDO GONZALEZ MAYA

Enero 2012





Trabajo de Grado presentado a la Universidad Simón Bolívar por

Jaime Oswaldo González Maya

Como requisito parcial para optar al grado académico de

Magíster en Ingeniería Mecánica

Con la asesoría del Profesor

Luis R. Rojas Solórzano

Enero 2012

iii

DEDICATORIA

A mi esposa Soraya y mis hijos Alejandro y Nicolás, por su apoyo incondicional, ya

que juntos disfrutamos de todas las oportunidades y alegrías que Dios nos brindó en esta ardua

tarea, así como también compartimos el sacrificio y las necesidades en el trascurso del

camino, demostrando que con amor, respeto, comprensión y compromiso se puede alcanzar el

triunfo que será el bienestar de todos.

A mis padres Martha, Luis y mi hermano Oscar.

iv

AGRADECIMIENTOS

Pero primero agradezco a Dios por la vida y por todo lo que me ha dado.

A la Universidad Simón Bolívar por brindarme las oportunidades y a todos los sus

profesores en especial al Prof. Luis Rojas Solórzano por su confianza y permitirme haber sido

parte de su grupo de investigación, por brindarme su eterna y grata amistad, así como también

por guiarme y acompañarme en este camino hecho al andar. Igualmente, quiero agradecer

profundamente al Dr. Gustavo Zarruk de IFE (Noruega) por habernos propuesto el tema, así

como por haber dado su apoyo técnico y personal durante toda la realización de este trabajo de

investigación. Asimismo, agradezco mucho al Prof. Armando Blanco por su amistad y

colaboración en el trascurso de este proyecto, su ayuda fue muy importante.

A todos los integrantes y amigos dentro del grupo de investigación del Prof. Luis Rojas

por la ayuda mutua que mantuvimos en el desarrollo de cada uno de nuestros proyectos.

A los profesores Carlos Corrales, Carlos González y Geanette Polanco por su excelente

acogida y apoyo en mi experiencia como ayudante académico del el Laboratorio de Mecánica

de Fluidos, así también como al personal técnico: Luis, Félix y Norberto.

A la Lic. Silvia Pernía Asistente de la Coordinación de Postgrado en Ingeniería

Mecánica por brindarme la información y las facilidades dentro de la USB.

A una amiga en especial Digna Pernía y su Flia., por su acogedora hospitalidad en toda

esta etapa.

A toda la Flia. Maya Díaz y sus descendientes por el apoyo moral y económico que me

brindaron.

Y al Ecuador, en especial al IECE por sus políticas de becas y créditos educativos

impulsando el desarrollo académico del país.

v





Por: González Maya Jaime Oswaldo Carnet N°: 0886650 Tutor: Prof. Luis Rojas Solórzano. Enero 2012

RESUMEN

La investigación aquí desarrollada consiste en la utilización de la Dinámica de Fluidos Computacional (CFD) para el análisis del comportamiento de un flujo disperso de partículas dentro de una fase continua líquida en tuberías horizontales. Las simulaciones se realizaron con el programa comercial ANSYS-Fluent con aplicación en dinámica de fluidos, basado en el método de los volúmenes finitos, utilizando modelaje Euleriano-Euleriano para el tratamiento bifásico (líquido-partículas), y un modelo de clausura para la fase sólida (partículas) basado en la Teoría Cinética Granular (TCG).

El principal objetivo del trabajo ha sido profundizar en la comprensión del flujo en regímenes heterogéneo y de saltación o lecho móvil, tomando en consideración la contribución del término cinético-colisional y friccional dentro del tensor de esfuerzos de la fase sólida, de acuerdo a la TCG. Además, se consideró en lo posible, el modelaje de las fuerzas de sustentación en la interacción partícula-fluido.

Los fluidos que componen el flujo bifásico analizado en las simulaciones son agua y arena, en un amplio rango de fracciones volumétricas, velocidades del flujo y diámetros de partículas. Se obtuvieron los perfiles de concentración de partículas dentro de la sección trasversal de la tubería en condiciones de flujo estacionario. Los resultados numéricos fueron comparados con datos experimentales obtenidos de fuentes confiables.

De esta forma, se determinó una configuración adecuada del modelo TCG, no encontrada previamente, que permitirá utilizar tal modelo dentro del análisis CFD de sistemas industriales relacionados con flujos partículas-fluido, tales como los encontrados, por ejemplo, en separadores de arena en tareas de producción y transporte de petróleo.

Palabras claves: Flujo Bifásico, Flujo de Partículas, Teoría Cinética Granular, Dinámica de Fluidos Computacional (CFD).

INDICE GENERAL

Pág. APROBACIÓN DEL JURADO……………………...…………………………………... ii

DEDICATORIA .................................................................................................................. iii

AGRADECIMIENTOS ....................................................................................................... iv

RESUMEN ........................................................................................................................ v

ÍNDICE GENERAL ............................................................................................................ vi

ÍNDICE DE TABLAS ......................................................................................................... viii

ÍNDICE DE FIGURAS ....................................................................................................... ix

INTRODUCCIÓN ............................................................................................................... 1

CAPÍTULO I EL PROBLEMA .......................................................................................... 5

1.1 Planteamiento del Problema ........................................................................... 5

1.2 Objetivos ........................................................................................................ 7

1.2.1 Objetivo General ................................................................................... 7

1.2.2 Objetivos Específicos ............................................................................ 7

1.3 Motivación y Justificación ............................................................................. 8

CAPÍTULO II MARCO TEÓRICO .................................................................................... 9

2.1 Flujo de Mezclas Sólido-Líquido. .................................................................. 10

2.2 Regímenes de Flujo ........................................................................................ 12

2.2.1 Flujo con Lecho Estacionario ................................................................ 13

2.2.2 Flujo con Lecho Móvil .......................................................................... 14

2.2.3 Suspensión Heterogénea o Flujo Asimétrico. ....................................... 14

2.2.4 Suspensión Homogénea o Flujo Simétrico a Alta Velocidad. .............. 15

2.3 Factores Físicos que Afectan la Conducta del Flujo de Mezcla .................... 15

2.3.1 Tamaño de las Partículas ....................................................................... 15

2.3.2 Velocidad Crítica de la Mezcla. ............................................................ 16

2.3.3 Caída de Presión .................................................................................... 21

2.3.4 Concentración Volumétrica ................................................................... 26

CAPÍTULO III ESTUDIO NUMÉRICO PARA FLUJO DE MEZCLAS ......................... 29

vii

3.1 Antecedentes .................................................................................................. 30

3.2 Esquema Numérico para Flujo Multifásico ................................................... 31

3.3 Modelos Multifásicos Euleriano-Euleriano ................................................... 32

3.4 Ecuaciones de Conservación .......................................................................... 33

3.5 Modelaje de la Fase Dispersa ......................................................................... 37

3.6 Modelaje de la Turbulencia ............................................................................ 44

3.7 Discretizacion y Solución ............................................................................... 48

3.7.1 Discretizacion Espacial ......................................................................... 49

3.7.2 Discretización Temporal ....................................................................... 51

3.7.3 Solución del Sistema de Ecuaciones Lineales ....................................... 52

3.7.4 Normalización del Residuo y Convergencia. ........................................ 53

CAPITULO IV SIMULACIÓN NUMÉRICA DE PARTICULAS-LÍQUIDO EN TUBERÍAS HORIZONTALES ..................................................................... 55

4.1 Data Experimental por Kausal et al. (2005) ................................................... 56

4.2 Geometría y Mallado. ..................................................................................... 58

4.3 Verificación del Modelaje (Mallado) ............................................................. 60

4.3.1 Estudio de Sensibilidad de la Malla ...................................................... 60

4.3.2 Efecto de la Fuerza de Sustentación ...................................................... 66

4.3.3 Efecto del Modelo de Turbulencia k-ε en Comparación con el Modelo RSM ............................................................................................................... 67

4.3.4 Efecto del Tratamiento de Turbulencia en la Pared. ............................. 69

4.4 Estrategia de Simulación, Condiciones Iniciales, Convergencia y Error ....... 74

4.5 Resultados Obtenidos ..................................................................................... 75

4.5.1 Efecto de la Temperatura Granular en la Pared .................................... 76

4.5.2 Efecto del Término Friccional en el Tensor de Esfuerzos de la Fase Sólida .............................................................................................................. 79

4.5.3 Efecto del Diámetro de las Partículas ................................................... 82

4.5.4 Efecto de la Fracción o Concentración Volumétrica de la Mezcla ....... 84

4.5.5 Efecto de la Velocidad de la Mezcla ..................................................... 86

CAPÍTULO V CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ......................................... 90

5.1 Conclusiones .................................................................................................. 90

5.2 Recomendaciones ........................................................................................... 92

REFERENCIAS .................................................................................................................. 92

viii

ANEXO No. 1 VALIDACIÓN NUMÉRICO-EXPERIMENTAL DEL TRABAJO DE KAUSAL ET AL. (2005), (CASOS DE ESTUDIO NO MOSTRADOS EN LOS RESULTADOS ANTERIORES) .................................................................................... 95

INDICE DE TABLAS

Pág. Tabla 2.1: Clasificación de categorías de flujo por Durand y Condolios (1953) ............ 10

Tabla 2.2: Nueva clasificación de régimen de flujo según Newitt et al. (1955) ............. 11

Tabla 2.3: Relaciones empíricas para la velocidad crítica .............................................. 20

Tabla 4.1: Matriz de los casos de estudio experimentados por Kausal et al. (2005) ....... 58

Tabla 4.2: Tipos de mallas segundo caso ........................................................................ 61

Tabla 4.3: Propiedades físicas y condiciones de flujo, segundo caso ............................. 61

Tabla 4.4: Tipos de mallas primer caso ........................................................................... 62

Tabla 4.5: Propiedades físicas y condiciones de flujo, primer caso ................................ 62

Tabla 4.6: Resultados del error relativo del estudio de sensibilidad del mallado. .......... 65

Tabla 4.7: Condiciones de velocidad y concentración para diámetro de 0.125mm. ....... 76

Tabla 4.8: Condiciones de velocidad y concentración para diámetro de 0.440mm. ....... 76

Tabla 4.9: Condiciones de velocidad y concentración para diámetros de 0.440+0.125 mm. ................................................................................................................. 76

INDICE DE FIGURAS

Pág. Figura 2.1: Configuración de flujo gas-líquido: a) dirección horizontal, b) dirección

vertical ............................................................................................................ 9

Figura 2.2: Regímenes de flujo en términos de la velocidad vs. concentración volumétrica ..................................................................................................... 11

Figura 2.3: Regímenes de flujo en términos del tamaño de la partícula y la velocidad promedio ......................................................................................................... 12

Figura 2.4: Cuatro regímenes de flujo de mezclas establecidas en tubería horizontal, .... 13

Figura 2.5: Velocidad de transición de la mezcla vs. caída de presión ............................ 17

Figura 2.6: Concepto simplificado de la distribución de partículas dentro de la tubería en función de la concentración volumétrica y la velocidad del flujo. ............ 18

Figura 2.7: Esquema de representación de los límites entre los regímenes de flujo para mesclas establecidas en tuberías horizontales ................................................ 18

Figura 2.8: Trasferencia de momento entre el líquido, sólido y pared del tubo ............... 22

Figura 3.1: Esquema del flujo granular ............................................................................ 42

Figura 3.2: Esquema del flujo granular en régimen heterogéneo y saltación ................... 43

Figura 3.3: Volumen de control empleado como ilustración para la discretización ecuación de transporte .................................................................................... 49

Figura 3.4: Volumen de control unidimensional .............................................................. 51

Figura 4.1: Esquema del circuito experimental ................................................................ 57

Figura 4.2a: Geometría y malla ........................................................................................... 59

Figura 4.2b: Geometría y malla sección transversal............................................................ 60

Figura 4.2c: Geometría y malla sección longitudinal. ......................................................... 60

Figura 4.3: Comparación del gradiente de presión entre diferentes tamaños de mallas, v = 2.23 m/s; d = 0.30 mm; Cv = 1 % ............................................................ 63

Figura 4.4: Comparación del perfil de concentración entre diferentes tamaños de malla1 v = 2.23 m/s; d = 0.30 mm; Cv = 1 % ................................................ 64

Figura 4.5: Comparación del perfil de concentración numérico-experimental; v = 2.23 m/s; d = 0.30 mm; Cv = 1 % .......................................................................... 65

Figura 4.6: Comparación del perfil de concentración numérico con lift-experimental; v = 2,23 m/s; d = 0.30 mm; Cv = 1 % ............................................................... 67

x

Figura 4.7: Comparación del perfil de concentración para diferentes modelos de turbulencia; v = 2,23 m/s; d = 0.30 mm; Cv = 1 % ........................................ 68

Figura 4.8: Subdivisión de la región cercana a la pared en flujo turbulento .................... 70

Figura 4.9: Esquemas para modelar la región cercana a la pared. .................................... 71

Figura 4.10: Comparación del perfil de concentración para diferentes tratamientos de turbulencia en la pared; v = 2,23 m/s; d = 0.30 mm; Cv = 1 % ..................... 73

Figura 4.11: Comparación del perfil de concentración con el efecto de la temperatura granular en la pared. ....................................................................................... 77



Figura 4.14: Comparación del perfil de concentración con el efecto del coeficiente friccional ......................................................................................................... 79

Figura 4.15: Comparación del perfil de concentración con el efecto del coeficiente friccional ......................................................................................................... 80

Figura 4.16: Comparación del perfil de concentración con el efecto del coeficiente friccional y sin éste ......................................................................................... 81

Figura 4.17: Perfiles de concentración en función del diámetro de las partículas; v = 2 m/s; Cv= 10 % ................................................................................................ 82

Figura 4.18: Perfiles de concentración en función del diámetro de las partículas; v = 2 m/s; Cv= 20 % ...................................................................................... 83

Figura 4.19: Perfiles de concentración en función del diámetro de las partículas; v = 2 m/s; Cv = 30 % ............................................................................................... 83

Figura 4.20: Perfiles de concentración en función de la fracción volumétrica; d = 0,125 mm; v = 2 m/s................................................................................................. 85

Figura 4.21: Perfiles de concentración en función de la fracción volumétrica; d = 0,440 mm; v = 2 m/s................................................................................................. 85

Figura 4.22: Perfiles de concentración en función de la fracción volumétrica; d = 0,125 + 0,440 mm; v = 2 m/s ................................................................................... 86

Figura 4.23: Perfiles de concentración en función de la velocidad del fluido; d = 0,125 mm; Cv = 20 % .............................................................................................. 87

Figura 4.24: Perfiles de concentración en función de la velocidad del fluido; d = 0,440 mm; Cv = 20 % .............................................................................................. 87

Figura 4.25: Perfiles de concentración en función de la velocidad del fluido; d = 0,125 + 0,440 mm; Cv = 20 % ................................................................................. 88

LISTADO DE SÍMBOLOS Y ABREVIATURAS

a = Altura del lecho sobre el fondo del conducto

Cv = Concentración volumétrica

= Concentración volumétrica de sólido en la mitad del canal

= Coeficiente de restitución

= Concentración volumétrica por cada medida de sólidos en la proporción del lecho

= Coeficiente de fricción entre las fases sólidas

= Diámetro interno tuberia d = Diámetro de la partícula

= Coeficiente de transferencia de masa


= Fuerzas de sustentación

= Factor de Durand basado en el diámetro y la concentración

= Factor de Durand modificado

= Factor de fricción de Darcy para mezclas.

= Factor de fricción de Darcy para un volumen de agua equivalente.

= Factor de fricción de Fanning cual es evaluado por la ecuación de Wood

= Generación de la turbulencia cinética

= Generación de energía cinética turbulenta debido a la flotación g = Aceleración de la gravedad

= Función de distribución radial

= Carga por fricción o gradiente de fricción hidráulico para mezclas

= Carga por fricción o gradiente de fricción hidráulico líquido

= Gradiente de presión debido a las partículas distribuidas homogéneamente

= Gradiente de presión debido al flujo del líquido

= Gradiente de presión debido a las partículas distribuidas heterogéneamente

= Constante de von Karman = 0.4 k = Energía Cinética Turbulenta por unidad de masa

= Coeficiente de Durand en la ecuación de la caída de presión

xii

= Término de interacción entre las fases

= Difusión de energía granular

coeficiente de difusión

= Transferencia de masa desde la fase p a la fase q

= Transferencia de masa desde la fase p a la fase q

= Presión del sólido

= Número de Reynolds relativo

= Gravedad específica del sólido.

= Velocidad de fricción

= Velocidad de deslizamiento de las partículas paralelo a la pared

= Velocidad crítica de transición

= Velocidad terminal

= Volumen de la fase q

= Velocidad de deriva o deslizamiento (drift velocity)

= Velocidad de la fase q.

= Contribución debido a los efectos de compresibilidad. y = Distancia desde el fondo del conducto

= Factor que expresa el la diferencia entre las pérdidas de fricción debido a la mezcla y el equivalente al volumen de agua

Símbolos griegos

= Fracción volumétrica del sólido

= Máximo factor de empaquetamiento

= Constante de proporcionalidad = 1

= Disipación de Turbulencia de los Eddies

= Disipación de energía de choque o colisional

= Coeficiente de especularidad entre las partículas y la pared

= Angulo de fricción interno

= Intercambio de energía entre las fases líquido-sólido

= Segundo coeficiente de viscosidad del sólido

= Constante

= Densidad del sólido

= Densidad del líquido

xiii

= Temperatura granular

= Viscosidad del líquido

= Viscosidad dinámica del sólido

µt = Viscosidad turbulenta

= Gradiente de presión del líquido

= Gradiente presión del sólido

= Divergencia del tensor de esfuerzos de la fase líquida

= Divergencia del tensor de esfuerzos de la fase sólida

= Tensor de la fase sólida

Abreviaturas

ASM = Algebraic Slip Mixture

LES = Large Eddy Simulation

MTPA= Millon tons per annun

RSM = Reynolds Stress Model

RNG = Re normalización

TCG = Teoría Cinética Granular

QUICK= Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics

VOF = Volume of Fluid

INTRODUCCIÓN

Numerosos sistemas de trasporte de mezclas de partículas-líquido a través de tuberías

están construidos y operando alrededor de todo el mundo. Está tecnología ha ido progresando

sobre todo para trasportar gran cantidad de materiales a granel conocido como hidrotransporte.

Estos sistemas de transporte por tuberías son considerados económicos y amigables con el

medio ambiente comparado con el transporte por carretera y sistema de trasporte por cadenas

y su diseño está asociado a facilidades como bombas, válvulas, accesorios, etc. En la fase

temprana de diseño es importante y necesario obtener información precisa respecto a: caída de

presión, velocidad del fluido, tipo de régimen de flujo, concentración de sólidos, etc., para

conseguir sistemas de trasporte óptimos. También los ingenieros de operación necesitan saber

exactamente las velocidades críticas a las que pueden ajustar el flujo de mezcla para tener una

mínima caída de presión y asegurar el mínimo costo operacional.

El comportamiento de sólidos inmersos de una fase líquida que fluyen a través de

tuberías ha sido tema de continuas investigaciones desde inicio de siglo XIX. En 1950 un

significativo avance técnico se realizó en varios países mediante un gran esfuerzo de

investigación. En el Reino Unido trabajos experimentales fueron encaminados particularmente

en el manejo muestras grandes de carbón. Dichos trabajos fueron realizados principalmente

por la Asociación Británica de Investigaciones Hidráulicas (BHRA, por sus siglas en inglés)

conjuntamente con la Junta Nacional del Carbón, UK. En Francia Durand y Condolios (1952)

realizaron una gran cantidad de trabajos sobre el transporte hidráulico de agregados. Durante

los años 60’s varios países llegan a involucrarse en el desarrollo del trasporte hidráulico para

minería y un número de sistemas de transporte de carbón fueron instalados. Rigby (1982)

tomó una amplia visión histórica respecto al transporte de mezcla refiriéndose a un temprano

desarrollo en América por la fiebre del oro a mediados del siglo XIX. Desde entonces una

línea (tubería) para trasporte de carbón “Ohio Cádiz” fue construida en 1957 dando inicio al

2

trasporte en gran escala (147 km de longitud x 254 mm de diámetro) de materiales con

grandes rendimientos en el proceso (1.5 MTPA: million tons per annun), fue más tarde

superado por “Mesa Negro” 439 km x 457 mm x 5 MTPA, supliendo de carbón a la estación

de generación “Mohave” en el sureste de Nevada. La primera línea de concentrado de mineral

de hierro “Rio Savage” fue construida en Tasmania (1967) con especificaciones conservadoras

para de hacer frente a la gravedad específica; ésta fue superada por la línea “Brazilian

Sumarco”, transportando 7 MTPA de concentrado de mineral de hierro sobre 400 km; desde

entonces, otros materiales se han incluido, como piedra caliza (UK), limo de oro (Australia,

Sur África), fosfato (Canadá, Sur África), concentrado de cobre (Papúa, Nueva Guinea),

tizones de cobre (Chile) y sulfato de zinc (Japón).

Igual que la industria minera donde el material que se procesa es el sólido, también, la

industria del petróleo y el gas requiere de sistemas de transporte sólido-líquido, con la

diferencia que el material a procesar es el fluido en la mayoría de los casos. La producción de

arena en la extracción del petróleo es inevitable sobre todo en arenas de bitumen que deben ser

trasportadas hasta las unidades de separación líquido-sólido dentro del proceso de producción.

La formación de hidratos de metano en la extracción de gas offshore a condiciones dadas de

presión y temperatura es ineludible, los hidratos son sólidos suspendidos en la línea de gas y

que en condiciones críticas suelen adherirse en la pared de la tubería y entre sí mismos,

ocasionando taponamiento de la línea y suspendiendo la producción.

En el amplio rango de aplicación del hidrotransporte o el trasporte de sólidos

suspendidos en una fase líquida dentro de la industria minera, petróleo, energía, alimentos y

otras, independiente de cuál sea la fase a procesar o el material útil requerido, existe un

objetivo común al implementar un sistema de transporte por tubería, el cual es, el

aseguramiento constante del flujo evitando que se forme un lecho fijo o que se depositen

sólidos en el fondo de la pared del tubo resultado de condiciones de operación impropias del

flujo. Dentro de este objetivo se incluye minimizar los costos de operación disminuyendo el

consumo de energía específica y un adecuado dimensionamiento del sistema, que involucra

tubería, accesorios, válvulas y equipos (bombas). En la actualidad las correlaciones

disponibles en literatura abierta para parámetros mencionados como, caída de presión,

velocidad promedio, concentración volumétrica, regímenes críticos del flujo, etc., fluctúan con

un error de 25%-35% (Lahiri y Ghanta, 2009).

3

Un básico entendimiento de los fenómenos subyacentes es vital para el control del

sistema de trasporte de mezcla, y la literatura revela que estudios concernientes a mezclas de

sólidos - líquidos se han realizado con una de estas tres importantes aproximaciones:

Empírica, basado en los estudios experimentales de la cual se ha obtenido

correlaciones para la predicción de algunas variables.

Reológica, basada en el estudio la relación entre el esfuerzo y la deformación en los

materiales que son capaces de fluir, cuyo objetivo es encontrar ecuaciones constitutivas

para modelar el comportamiento de los materiales.

Vía Modelación del flujo multifásico, la cual revela los efectos de la interacción entre

líquido, sólido y las condiciones de borde y proporciona el marco más racional para

describir mezclas tales como flujos heterogéneos sólido-líquido.

Este trabajo de investigación fue desarrollado con el objetivo de realizar el estudio

numérico o modelaje del flujo de partículas-líquido dentro de tuberías horizontales en

regímenes de flujo crítico como heterogéneo-saltación y saltación, en un esquema Euleriano–

Euleriano, empleando un modelo de clausura para la fase sólida basado en la Teoría Cinética

Granular (TCG) que permite ajustar el comportamiento cinético-colisional de las partículas, y

un sub-modelo friccional basado en los esfuerzos de fricción de Coulomb para representar el

comportamiento friccional de las partículas en el fondo de la pared de la tubería. El

comportamiento de la fase sólida es analizado a través de la representación de los perfiles de

concentración volumétrica o fracción volumétrica en una sección del flujo completamente

desarrollado.

El planteamiento del problema asociado con el trasporte de partículas a través de

medios fluidos mediante sistema de tuberías, antecedentes de trabajos similares en simulación

así como los objetivos de este trabajo son presentados en el Capítulo I.

En el Capítulo II, se presenta el marco teórico donde se hace una amplia revisión

bibliográfica con el fin de comprender la física del fenómeno de trasporte de partículas a

través de medios fluidos dentro de tuberías horizontales. Todas las variables dependientes e

independientes que intervienen en la hidrodinámica de este flujo multifásico son entendidas

http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo

http://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_constitutiva

4

reconociendo de esta manera la influencia de cada una de aquellas en el comportamiento del

flujo, observando que la relación entre un par de estas variables puede caracterizar un régimen

de flujo diferente.

Estudios previos de simulación para este tipo de flujo se presentan en el Capítulo III,

así como también una descripción de los esquemas empleados para modelar flujo multifásico.

Se describe igualmente en dicho capítulo, el sistema de ecuaciones de conservación a resolver

para cada fase, detallando el modelo de clausura para la fase sólida basado en TCG y cómo se

relaciona con la ecuación de momento de la fase sólida, a través del tensor de esfuerzos y la

temperatura granular. También se presenta el sub-modelo friccional caracterizado por los

esfuerzos de fricción de Coulomb, escritos en forma newtoniana para que puedan sumarse con

los esfuerzos obtenidos de TCG; en este capítulo también se describe el procedimiento de

simulación del flujo de partículas a través de líquidos en tuberías horizontales iniciando con la

creación y selección de la geometría, construcción de la malla, validación del mallado,

condiciones de borde y parámetros para las simulación. El software comercial con licencia

académica ANSYS v12 FLUENTTM se escogió para desarrollar las simulaciones; esta

herramienta se basa en el método de volúmenes finitos basado en elementos finitos para

resolver las ecuaciones de conservación para cada fase.

El Capítulo IV contiene los resultados obtenidos, los cuales son examinados,

analizados y discutidos en base a las variables, ecuaciones y parámetros escogidos; éstos son

comparados y validados con data experimental de estudios previos conseguidos de fuentes

bibliográficas afines al trabajo. En este mismo capítulo se incluye al final, las respectivas

conclusiones y recomendaciones de este trabajo.

CAPÍTULO I

EL PROBLEMA

1.1 Planteamiento del Problema

El flujo de partículas dispersas dentro de líquidos es una aplicación del flujo

multifásico que tiene gran relevancia a nivel industrial, especialmente en la perforación,

producción y transporte de petróleo, y la industria minera. En algunos casos, como en el flujo

de fluidos de perforación que transportan los cortes de roca en la limpieza del pozo mientras se

va perforando, este flujo bifásico es necesario, así como también lo es trasportar los materiales

sólidos que se extraen en una explotación minera; mientras que, en otras aplicaciones, como

en la producción y trasporte de petróleo con arena o sedimentos, dicho transporte es muy

común, aún cuando es indeseado y perjudicial.

En la industria del petróleo, minería, energía, alimentos y otras, el trasportar sólidos

suspendidos en medios líquidos, ocasionan abrasión, corrosión y taponamientos de la tubería,

modificando la condición de flujo, por lo cual, predecir estos comportamientos no es una tarea

simple (Salama, 2004). El análisis y los efectos de la interacción que se produce entre cada

una de las fases y cómo se comportan las mismas, es importante para identificar las leyes

físicas fundamentales que dominan la cinemática del flujo y poder prever efectos

desfavorables dentro de estos sistemas de transporte, así como también para realizar mejores

diseños y selección de equipos (Matoušek, 2009).

La necesidad y la ventaja de predecir con precisión los perfiles de la velocidad, los

perfiles de la concentración y la caída de presión en las tuberías de la mezcla durante la fase de

diseño son enormes, pues permite una mejor selección de bombas de la mezcla, la

optimización del consumo de energía y de tal modo se ayuda a maximizar la ventaja

económica. Por otro lado, la distribución de la concentración se puede utilizar para determinar

6

parámetros de importancia directa (mezcla y flujos de sólidos) y los efectos secundarios tales

como degradación de la partícula y abrasión de la pared en el fondo de la tubería.

La Dinámica de Fluidos Computacional (CFD, por sus siglas en inglés), ha llegado a

ser una herramienta de predicción indispensable para la recopilación de información a ser

empleada en el diseño y la optimización de sistemas que involucren flujo de fluidos,

trasferencia de calor y masa, reacciones químicas y fenómenos relacionados, solucionando las

ecuaciones matemáticas que gobiernan estos procesos a través de algoritmos numéricos

avanzados ejecutados en cada vez más potentes computadoras.

La combinación de CFD y flujo multifásico ha emergido como una importante dupla,

pero con ediciones y características únicas, como por ejemplo, la variedad de aproximaciones

que involucran el flujo multifásico, dependiendo del marco de referencia (Euleriano-Euleriano

o Euleriano-Lagrangiano), el acoplador de las fases (una, dos y cuatro vías), detalle del flujo

(alta resolución alrededor de una sola partícula o descripción a granel de millares o millones

de partículas). Siendo así, la simulación del flujo multifásico disperso requiere el estudio

detallado de los regímenes del flujo y de los aspectos numéricos relevantes.

A la fecha, un número considerable de investigaciones teóricas, experimentales y

numéricas relacionadas a flujo multifásico han sido desarrolladas. En este caso en particular,

el flujo de dos fases o flujo bifásico de partículas-líquido, donde muchos fenómenos físicos

están involucrados, diversas investigaciones han abordado con muy limitado éxito las

diferentes configuraciones que tiene este tipo de flujo, y han predicho con serias desviaciones

aún, los perfiles de velocidad promedio del flujo, los perfiles de concentración de la fase

dispersa, velocidad de deposición de partículas y el comportamiento turbulento del flujo

(Brennen, 2005).

Investigaciones en simulación numérica de flujo multifásico de partículas-líquido en

régimen heterogéneo y saltación, no han podido todavía representar los perfiles de

concentración de partículas en la zona cercana a la pared, siendo éste un aspecto fundamental

en la predicción del potencial taponamiento de tuberías y su erosión-abrasión. Para estos

estudios no se consideraron las fuerzas de sustentación y además, al modelar la fase sólida con

la TCG solamente se considera el término cinético-colisional como contribución para el tensor

7

de esfuerzos en la ecuación de conservación del momento de dicha fase, según Chemloul

(2009) y Hernández (2008).

Marval (2009) realizó un amplio estudio desde el punto de vista experimental-teórico

mediante simulaciones numéricas, empleando ANSYS-Fluent, del movimiento de las

partículas de arena en saltación y reptación, en un canal abierto horizontal utilizando arena y

aire. El modelo matemático empleado estuvo basado en la TCG y un sub-modelo friccional,

acoplado a la solución de las ecuaciones de gobierno para un flujo bifásico gas-sólido. Marval

introdujo cambios en el modelo original que permitió describir el transporte de partículas de

arena que ocurre dentro de la capa de saltación y ajustar los resultados numéricos con los

obtenidos experimentalmente.

Con estas referencias, se propone hacer un estudio numérico del flujo multifásico

partículas-líquido en condiciones de régimen heterogéneo-saltación y en saltación en tuberías

horizontales, basado en un esquema Euleriano-Euleriano para el comportamiento bifásico, y

un modelo de clausura para la viscosidad de la fase sólida basado en la TCG, tomando en

consideración la contribución del término cinético-colisional y friccional dentro del tensor de

esfuerzos de la fase sólida. Adicionalmente, se pretende explorar igualmente el modelaje de

las fuerzas de sustentación en la interacción partícula-fluido en la zona cercana a la pared,

donde la predicción de la concentración de partículas ha sido deficiente hasta ahora.

1.2 Objetivos

1.2.1 Objetivo General

El objetivo general de esta investigación es desarrollar y validar un modelo que aporte

mejores características predictivas para la simulación del flujo partículas-líquido en régimen

heterogéneo y saltación en tuberías horizontales.

1.2.2 Objetivos Específicos

Analizar las variables que intervienen en el flujo multifásico partículas-líquido en régimen

homogéneo y saltación.

8

Investigar los esquemas y modelos numéricos para la simulación de la interacción

partícula-líquido en estas condiciones de flujo multifásico.

Determinar la influencia de la contribución friccional dentro del tensor de esfuerzos de la

fase sólida, según la TCG, dentro del comportamiento partícula-líquido en la zona cercana

a la pared.

1.3 Motivación y Justificación

La motivación de este trabajo de investigación es realizar un aporte al estudio de flujo

de partículas-líquido, donde la inclusión del término friccional conjuntamente con el modelo

de TCG ayude a predecir de mejor manera el comportamiento de las fases en régimen

heterogéneo y saltación, contribuyendo en el análisis de la predicción de los perfiles de

concentración de partículas en estos regímenes, ayudando a la conformación de una base de

información que será de utilidad para otros proyectos de investigación relacionados al

transporte de partículas o hidrotransporte donde se requiere establecer rangos óptimos para el

funcionamiento de estos sistemas.

Además, este trabajo puede ser el inicio de investigaciones posteriores donde se

requiera analizar o simular flujo multifásico de tres fases líquido-gas-sólido, con partículas

uniformes o con varios tamaños de partículas, en el cual las condiciones de las fases sólido-

líquido se encuentren entre los rangos establecidos en esta investigación.

CAPÍTULO II

MARCO TEÓRICO

Trasportar fluidos a través de sistema de tuberías forma parte de los procesos

industriales empleados en el campo de la ingeniería en minas, petróleo y gas, alimentos,

energía, farmacéutica, y otras. Este trasporte de fluidos puede estar constituido por una sola

fase, líquido o gas, lo que se conoce como flujo monofásico, pero también puede estar

constituido por dos o más fases conocido como entonces como flujo multifásico. El flujo

multifásico, se pueden caracterizar como: gas en líquido, líquido en gas, sólidos en gas,

sólidos en líquido y sólidos-gas-líquido.

Dependiendo del tipo y la dirección del flujo multifásico que se quiere trasportar,

vertical, horizontal o inclinado, se pude tener algunas configuraciones de flujo con diferentes

presunciones, tratamientos, métodos y ecuaciones para poder dar con la solución aproximada

al problema que se quiere abordar. Las diferentes configuraciones de flujo multifásico pueden

verse en la Figura 2.1, para flujo gas-líquido en tuberías horizontales y verticales.

a

b

Figura 2.1: Configuración de flujo gas-líquido: a) dirección horizontal, b) dirección

vertical.

Dire

cció

n de

l flu

jo

Burbujeante

Tapón

Estratificado

Anular

Disperso Dirección del flujo

Ondeado Burbujeante Tapón Anular Disperso

Intermitente

Oscilante

10

En el estudio del flujo multifásico, una fase se puede definir como una clase

identificable de material la cual tiene una respuesta de inercia particular e interacción con el

flujo y el campo potencial en los cuales se sumerge (Brennen, 2005).

2.1 Flujo de Mezclas Sólido-Líquido

Dos escuelas se acreditan en la creación de las leyes de la ingeniería moderna del

hidrotransporte, SOGREAH en Francia, y la Asociación Británica de Investigación

Hidromecánica del Reino Unido, iniciando en 1952, Durand y Condolios (1952) de

SOGREAH publicando numerosos estudios del flujo de arena y grava en tuberías de hasta 900

mm (35.5 in) de diámetro.

Basado en la gravedad específica de las partículas con un valor del 2.65, propusieron la

clasificación del flujo de mezclas en tuberías horizontales dentro de cuatro categorías basadas

en el tamaño promedio de partículas, tal como se muestra en la tabla 2.1

Tabla 2.1: Clasificación de categorías de flujo por Durand y Condolios (1953) Clasificación de la mezcla (slurry) Diámetro de la partícula

Suspensiones homogéneas < 40μm Suspensiones sostenidas 40μm a 0.15 mm Suspensión con saltación 0.15 mm y 1.5 mm Saltación >1.5mm

Esta clasificación inicial fue depurada durante los siguientes 18 años por Newitt et al.

(1955), Ellis y Round (1962), Thomas (1964), Shen (1970) y Wicks (1971), creando una

relación entre el tamaño de las partículas representado por el diámetro, la velocidad terminal y

la velocidad de deposición del sólido, modificando la clasificación anterior a cuatro regímenes

basados en el flujo de partículas y su diámetro, tal como se indica en la Tabla 2.2.

También observaron la relación entre los diferentes parámetros que controlan el flujo

como: velocidad del fluido, concentración de partículas, tamaño de partículas, caída de

presión, donde la combinación de estos parámetros para diferentes valores pueden

corresponder a cualquier régimen mostrado en la Tabla 2.2. La representación de estas

relaciones se caracteriza por definir zonas para cada tipo de régimen (ver Figuras 2.2. y 2.3).

11

Volumetric concentration

Volumetric concentration

Tabla 2.2: Clasificación de régimen de flujo según Newitt et al. (1955)

Mezcla homogénea con todos los sólidos en la suspensión (symmetric flow regime)

Mezcla heterogénea con todos los sólidos en la suspensión (asymmetric flow regime)

Flujo con una base/lecho móvil y saltación (con o sin suspensión)

Flujo con una base/lecho inmóvil (sliding bed regime)

Figura 2.2: Regímenes de flujo en términos de la velocidad vs. concentración volumétrica. (Newitt et al., 1955)

Completamente suspendido

Suspendido con Saltación

Deposito

estacionarios

con ondas

Deposito

estacionarios

con ondas

Deposito

estacionarios

con ondas Deposito

lenticular

Tubería

obstruida

Vel

oci

dad

Concentración Volumétrica de sólidos

12

Figura 2.3: Regímenes de flujo en términos del tamaño de la partícula y la velocidad

promedio (Shen, 1960)

2.2 Regímenes de Flujo

Para entender el comportamiento del flujo de partículas a través de medios fluidos

dentro de tuberías horizontales es muy importante conocer los diferentes regímenes de flujo, la

tendencia que la partícula sólida tiene a establecer (caer al fondo de pared del tubo) bajo la

influencia de la gravedad causa un significante efecto en la conducta de la mezcla que es

transportada.

Esta tendencia de las partículas a sedimentarse lleva a una gradación significativa en la

concentración de sólidos en la mezcla, para la cual la concentración es mayor en la sección

más baja de la tubería horizontal y el grado de acumulación de sólidos en esta sección depende

fuertemente de la velocidad de la mezcla en la tubería. A mayor velocidad, mayor es el nivel

de la turbulencia y mayor es la habilidad del líquido portador para mantener las partículas en

suspensión. Esto responde como consecuencia del movimiento ascendente de los remolinos o

vórtices en la dirección trasversal del flujo principal de la mezcla el cual es responsable de

mantener las partículas suspendidas.

A muy alto nivel de turbulencia, la suspensión es siempre homogénea con muy buena

dispersión de sólidos, mientras que a bajo nivel de turbulencia, las partículas se colocan hacia

el fondo de la pared de la tubería. Naturalmente a baja turbulencia, las partículas tienden a

permanecer en contacto con el flujo siendo trasportadas como un lecho que se mueve bajo la

Tam

añ

o d

e p

art

ícu

la

Velocidad media

Flujo homogéneo o

suspensión seudo-

Flujo heterogéneo co

n todos

los sólid

os en su

spensió

n

Flu

jo c

on

lech

o m

óvi

l

con

o sin

susp

ensio

nes

Fluj

o co

n le

cho

fijo

13

influencia del gradiente de presión del líquido. Entre estos dos comportamientos extremos,

otras dos más o menos claramente definidos regímenes de flujo pueden ser definidos.

Cuando el nivel de la turbulencia no es tan alto se previene cualquier deposición de las

partículas en el fondo de la tubería y el régimen de flujo es descrito como suspensión

heterogénea de flujo. Mientras la velocidad de la mezcla se reduce un distinto modo de

transporte conocido como saltación se desarrolla. En el régimen de lecho móvil, hay una capa

visible de partículas en el fondo de la tubería y éstas están siendo realzadas continuamente por

vórtices turbulentos adyacentes. Los sólidos, por lo tanto, pasan algo de su tiempo en el piso y

del resto en la suspensión del líquido que fluye. Debajo de la condición de lecho móvil

condiciona la concentración de sólidos que es fuerte y no uniforme. Los cuatro regímenes del

flujo se ilustran en la Figura 2.4.

Figura 2.4: Cuatro regímenes de flujo de mezclas establecidas en tubería horizontal, (Brennen, 2005)

2.2.1 Flujo con Lecho Estacionario

Cuando la velocidad de la mezcla es baja, el lecho se concentra. Como el fluido sobre

el lecho intenta mover los sólidos, por el arrastre estos tienden a rodar, formar dunas y luego

caer. Las partículas con menor velocidad de deposición se mueven como suspensión

asimétrica, considerando que las partículas más gruesas se acumulan en el lecho. A medida

que se acumula el lecho, la velocidad tiende a caer y la presión para mantener el flujo llega a

ser muy alta y eventualmente la tubería se bloquea. El llamado flujo en saltación y suspensión

asimétrica ocurre a velocidades sobre la velocidad de bloqueo. Esto significa que las partículas

Lecho movil Saltacion

Suspensión Heterogénea Suspensión Homogénea

14

más gruesas se establecen en el fondo, mientras que las partículas más finas continúan

moviéndose. El flujo en saltación puede eventualmente llevar a la obstrucción de la tubería,

dando lugar a un número de problemas, tales como golpe de ariete, erosión y abrasión de la

pared. La mayoría de las especificaciones de ingeniería requieren que la tubería esté diseñada

para funcionar sobre velocidades asociadas a flujo en saltación.

2.2.2 Flujo con Lecho Móvil

Cuando la velocidad del flujo es baja y hay un gran número de partículas gruesas, el

lecho se mueve como dunas de arena del desierto. Las partículas superiores se arrastran en el

fluido moviéndose sobre el lecho. Consecuentemente, las capas superiores del lecho se

mueven más rápidamente que las capas más bajas en una tubería horizontal. Si la mezcla

estuviese compuesta de una amplia gama de partículas con diversos tamaños y velocidades de

deposición, el lecho estaría compuesto de las partículas con la velocidad de deposición más

alta. Partículas con moderada velocidad de deposición son mantenidas en la suspensión

asimétrica, con la mayoría de las partículas concentradas en la mitad inferior de la tubería. Por

otro lado, las partículas con menor velocidad de deposición se mueven como suspensión

simétrica.

2.2.3 Suspensión Heterogénea o Flujo Asimétrico

Con el incremento de la velocidad, la turbulencia es suficiente para levantar los

sólidos. Todas las partículas se mueven en un patrón asimétrico siendo las más gruesas

ubicadas en el fondo de la tubería horizontal cubierta con capas sobrepuestas de partículas

clasificadas en medias y finas. Muchas partículas pueden alojarse en el fondo de la tubería y

rebotar. El desgaste en la parte inferior de la tubería se debe considerar en rutinas de

mantenimiento y las tuberías se deben girar en los intervalos sugeridos para mantener incluso

un patrón de desgaste de la pared interna del tubo. Aunque el flujo no sea simétrico, desde el

punto de vista del consumo de energía, este régimen pueda ser el más económico para

transportar cierta masa de sólidos.

15

2.2.4 Suspensión Homogénea o Flujo Simétrico a Alta Velocidad

A velocidades superiores de 3.3 m/s (10 ft/s), todos los sólidos pueden moverse en un

patrón de flujo simétrico (pero no necesariamente uniforme). Algunas veces este flujo es

llamado seudo-homogéneo debido a su simetría alrededor del eje de la tubería. El consumo de

energía es una relación proporcional al cubo de la velocidad necesaria para superar las

pérdidas por fricción.

2.3 Factores Físicos que Afectan la Conducta del Flujo de Mezcla

2.3.1 Tamaño de las Partículas

Govier y Aziz (1972) definieron una clasificación para partículas finas o gruesas de la

siguiente manera:

Partículas ultra finas: dp (diámetro) < 10 μm, donde las fuerzas gravitacionales son

despreciables.

Partículas finas: 10μm < dp < 100 μm, normalmente suspendidas en su totalidad, pero

sujetas a los gradientes de concentración y las fuerzas gravitacionales.

Partículas de tamaño medio: 100 μm < dp < 1000 μm, se mueven con un depósito en la

parte inferior de la tubería y con un gradiente de concentración.

Partículas gruesas 1000 μm < dp < 10.000 μm; rara vez se suspenden y forman

depósitos en el fondo de la tubería.

Partículas ultra gruesas: con diámetros mayores a 10.000 μm, son trasportadas como un

lecho moviéndose en el fondo de la tubería.

No tiene sentido tomar en cuenta los diferentes tamaños de partículas sin considerar su

densidad. No hay duda de que unas partículas de polietileno de alta densidad se comportan de

manera diferente que partículas de arena con el mismo diámetro promedio ya que las primeras

son más livianas que el agua, mientras que las segundas son 2,65 veces más pesadas que el

agua.

16

2.3.2 Velocidad Crítica de la Mezcla

La velocidad crítica (Vc) se define como la velocidad mínima en la cual los sólidos

forman un lecho en el fondo de la tubería que delimita con el flujo de las partículas

completamente suspendidas. También se describe como la velocidad límite en la cual

comienza a depositarse las partículas o la velocidad correspondiente a la mínima caída de

presión, siendo ésta, la velocidad de transición más importante en trasporte de mezclas. Una

velocidad de operación menor a la velocidad crítica es económicamente desfavorable ya que la

caída de presión aumenta considerablemente. Aparte del peligro obvio de tapar la tubería,

también produce una erosión excesiva en el fondo de la misma. Así la estabilidad de largo

plazo de un flujo heterogéneo depende de la predicción confiable de la velocidad crítica.

Cuatro diferentes regímenes son definidos para los sistemas de de flujos de mezclas en

tuberías dependiendo de la velocidad media del flujo; estos regímenes descritos en la sección

2.3, pueden ser representados por una gráfica de gradiente de presión versus la velocidad

promedio de la mezcla (ver Figura. 2.5).

Las velocidades de transición están definidas como:

V1: velocidad en o sobre la cual el lecho es inmóvil en la mitad inferior del tubo. En la

mitad superior, algunos sólidos pueden moverse por saltación.

V2: velocidad en o sobre la cual fluye la mezcla como flujo asimétrico con las

partículas más gruesas formando un lecho móvil.

V3: velocidad en o sobre la cual se mueven todas las partículas como suspensión

asimétrica y debajo de la cual comienzan los sólidos a colocar y formar un lecho móvil.

V4: velocidad en o sobre cual se mueven todos los sólidos como suspensión simétrica.

17

Figura 2.5: Velocidad de transición de la mezcla vs. caída de presión

Desde la Figura 2.5, es evidente que la caída de presión en la curva pasa por un valor

mínimo (3), donde la operación de sistemas de transporte a esta velocidad asegura un menor

consumo de energía. Para propósitos prácticos la velocidad de la mezcla se mantiene sobre

este valor (3), en consecuencia es importante conocer el valor de esta velocidad.

Un gran esfuerzo para relacionar las velocidades de transición en función del tamaño

de la partícula y de la concentración volumétrica de la fase sólida se encuentran representadas

en las Figuras 2.6 y 2.7.

Lech

o f

ijo

Lech

o m

óvi

l

Flu

jo a

sim

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co

Flu

jo s

imét

rico

Velocidad de flujo

Caíd

a d

e p

resi

ón

po

r u

nid

ad d

e lo

ngi

tud

Mezcla

Agua

18

Figura 2.6: Concepto simplificado de la distribución de partículas dentro de la tubería en función de la concentración volumétrica y la velocidad del flujo.

Figura 2.7: Esquema de representación de los límites entre los regímenes de flujo para mesclas establecidas en tuberías horizontales

Como se observa en la Figura 2.6, el eje de las ordenadas está representado por el valor

de la concentración volumétrica; cuando este valor es bajo, al igual que la velocidad

representada por el eje de las abscisas, las partículas se deslizan en el fondo de la tubería y a

medida que aumenta la velocidad, rápidamente y con facilidad la turbulencia suspende las

partículas en la fase transportadora. Esto se debe a que la solución es diluida y la interacción

entre las partículas es nula; lo contrario sucede cuando la concentración de partículas es mayor

y la velocidad va aumentando.

Co

nce

ntr

ació

n v

olu

mé

tric

a %

Velocidad (m/s)

Velocidad (ft/s)

Dirección de flujo

Tam

añ

o d

e p

art

ícu

la

Velocidad media

Flujo homogéneo o

suspensión seudo-

Flujo heterogéneo co

n todos

los sólid

os en su

spensió

n

Flu

jo c

on

lech

o m

óvi

l

con

o s

in s

usp

ensi

on

es

Fluj

o co

n le

cho

fijo

19

Estudios para obtener la magnitud de V3 fueron dirigidos por Wilson (1942),

básicamente, midiendo la caída de presión por unidad de longitud de la tubería, Wilson

expresó el gradiente de presión de sólidos proponiendo una corrección a la ecuación de

Darcy-Weisbach. Durand y Condolios (1952), derivaron una ecuación para la velocidad de

transición V3 centrándose en la coeficiente de arrastre para arena y grava. Newitt et al. (1955)

expresaron la velocidad de transición entre el flujo de lecho móvil y heterogéneo en términos

de la velocidad terminal de partículas. Zani y Govatos (1967) y Zandi (1971), extendieron el

trabajo de Durand y Condolios (1952) a otros sólidos y diferentes mezclas, definiendo un

número que relaciona la velocidad por el coeficiente de arrastre sobre la fracción volumétrica

por el diámetro, la gravedad y la relación de las densidades (Ne), proponiendo que: cuando

este índice es igual a 40 ocurre la transición entre flujo de régimen saltación a heterogéneo.

Durand, et al. (1970), estudiaron más ampliamente las suspensiones en regímenes heterogéneo

y saltación, deduciendo una correlación para el gradiente de presión debido a la presencia de

sólidos. Wasp et al. (1970) en un esfuerzo por representar concentraciones mas diluidas,

propone una relación entre el diámetro de la partícula y el diámetro de la tubería. Oroskar y

Turian (1980) dedujeron una correlación para la velocidad crítica empleando un análisis

basado en un balance de energía requerido para suspender la partícula que se deriva desde una

fracción apropiada de la disipación turbulenta de los vórtices.

Los modelos provenientes de Newitt et al. (1955), basados en la velocidad terminal,

fueron objeto de investigaciones realizadas por Wilson (1992), Shook y Gilles (1999) en

Canadá; estos autores propusieron que la mezcla compuesta por partículas gruesas y finas

puede simplificarse a un flujo llamado “estratificado” en el cual las partículas finas se mueven

sobre un lecho móvil de partículas gruesas. Wilson (1991), propuso que se considere que el

flujo se mueve a través de una transición gradual desde flujo completamente estratificado a

flujo completamente suspendido con un cambio gradual en el gradiente de presión. En este

modelo parcialmente estratificado se discute que la elevación de partículas por turbulencia es

afectada fuertemente por su diámetro; así, las partículas finas tienden a ser mejor trasportadas

por el fluido que las partículas gruesas en el fondo de la tubería. Esas partículas son

trasportadas por los vórtices, pudiendo ser el vórtice más grande del orden del diámetro de la

tubería. La resistencia al movimiento de las partículas sólidas se propuso como el resultado de

una carga de contacto asociada con el mecanismo de fricción por deslizamiento del lecho

20

grueso y la fricción del fluido asociado con la velocidad de fricción del medio o fluido

considerado como continuo. Shook y Gilles (1999) propusieron una ecuación más compleja

donde consideran la viscosidad de la mezcla y la densidad de la partícula. Giles (1999)

desarrolló una ecuación para el número de Froude en términos del número de Arquímides.

Kausal et al. (2002) consideraron mezclas con partículas de diferente tamaño para tuberías de

55 y 105 mm de diámetro, concluyendo que la velocidad crítica se tiene cuando la velocidad

de la mezcla en el fondo de la tubería es igual a tres veces la concentración volumétrica por la

concentración estática establecida.

Algunas ecuaciones empíricas desarrolladas por los investigadores arriba mencionados

se muestran en la Tabla 2.3; las mismas fueron desarrolladas para condiciones particulares de

los experimentos con los correspondientes márgenes de error, y por ello su aplicabilidad es

limitada.

Tabla 2.3: Relaciones empíricas para la velocidad crítica Autor Expresión Nomenclatura Durand y Condolios (1952)

= Velocidad crítica de transición = Factor de Durand basado en el diámetro y la concentración = Diámetro interno tubería g = Aceleración de la gravedad = Densidad del sólido = Densidad del líquido

Newitt et al. (1955)


Zandi y Govatos (1967)

= Concentración volumétrica = Coeficiente de arrastre

Durand, Condolios y Worster (1970)

= Constante

Wasp et al. (1970)

= Diámetro partícula = Factor de Durand modificado

Wilson (1992)

= Viscosidad del líquido

.

Cada investigador ha empleado diferentes variables o grupo de variables en sus

correlaciones, basándose en una nomenclatura estándar, pudiéndose concluir que la velocidad

crítica es una función expresada por:

21

[2.1]

2.3.3 Caída de Presión

La caída de presión es uno de los parámetros más significativos para el trasporte de

mezclas sólido-líquido, y de hecho, el consumo de energía y toda la economía del

hidrotransporte dependen de este parámetro. Por esta razón, el diseño de tuberías está

principalmente basado en la optimización de la caída de presión y de la inversión inicial.

Cuando una mezcla es transportada, importantes gradientes en la concentración de

sólidos se desarrollan bajo la influencia de la gravedad. Las partículas sólidas que están

presentes en la mezcla generan otros procesos de transferencia de momento que deben

considerarse al desarrollar modelos que permitan transferir el momento desde la mezcla a la

pared de la tubería.

La presencia de partículas sólidas incrementa la tasa de trasferencia de momento entre

el fluido y las paredes del conducto. Frecuentemente las partículas trasportadas golpean las

paredes, haciendo que la partícula transfiera momento a la pared disipando algo de su energía

cinética. La partícula también transfiere parte de su momento al fluido, si se mueven más

rápido que el líquido a su alrededor, o recibe el momento del fluido cuando se mueven más

lentamente que el líquido a su alrededor.

Estos procesos aseguran un continuo intercambio de momento entre el fluido, partícula

y pared del tubo, como se observa en la Figura 2.8.

Trasferencia de momento por interacción partícula-líquido, caracterizado por el coeficiente de arrastre en la velocidad terminal.

Trasferencia de momento por la viscosidad de corte, caracterizado por el factor de fricción del líquido.

Líquido

Partículas Pared tubo

Trasferencia de momento por colisiones partículas-pared, caracterizado por el número de Froude.

22

Figura 2.8: Trasferencia de momento entre el líquido, sólido y pared del tubo

Los mecanismos directos de transferencia de momento como líquido-partícula, líquido-

pared, partículas-pared más el mecanismo indirecto de transferencia de momento de líquido a

pared a través del líquido a partículas y desde partículas a pared conduce a un aumento en la

caída de presión.

Algunos investigadores (Wasp et al., 1970; Doron et al., 1987; Wilson et al. 1988;

Gillies et al., 1991; y Ghanta, 1996; entre otros) han intentado mostrar y proponer

correlaciones relacionadas a la caída de presión con otros parámetros afines al flujo sólido-

líquido como la densidad del sólido, densidad del líquido, tamaño de partículas, concentración

de sólidos, diámetro de la tubería, viscosidad media del fluido, velocidad de las suspensiones,

etc.

Hay un gran número de modelos para predecir las pérdidas por fricción que están

esencialmente basados en la interacción de fuerzas entre los sólidos y el líquido. Algunos

consideran el coeficiente de arrastre, mientras que otros, la velocidad terminal del sólido, y

varios más consideran a los sólidos moviéndose como un lecho con una capa de líquido y

suspensiones finas de sólidos sobre éste.

Desde que el primer sistema de trasporte de mezcla fue construido, ingenieros e

investigadores han intentado correlacionar las pérdidas por fricción y el gradiente de fricción

hidráulica para mezclas , el cual es mayor que el gradiente de fricción para un volumen

equivalente de agua. Inicialmente se consideraba que el factor por pérdidas por fricción podría

incrementarse en proporción a la fracción volumétrica de sólidos.

Para reflejar el incremento en la carga por fricción debido a la presencia de sólidos,

Durand y Condolios (1952) proponen una relación adimensional.

[2.2]

23

donde:

= Factor que expresa la diferencia entre las pérdidas de fricción debido a la mezcla y

el equivalente al volumen de agua

= carga por fricción o gradiente de fricción hidráulico para mezclas

= carga por fricción o gradiente de fricción hidráulico líquido

= Concentración volumétrica

Empleando la aproximación desarrollada por Durand y Condolios, el factor de fricción

de Darcy-Weisbach para mezclas se correlaciona con el factor de fricción equivalente para un

volumen de agua por la siguiente ecuación.

[2.3]

donde:

= Factor de fricción de Darcy para mezclas

= Factor de fricción de Darcy para un volumen de agua equivalente

= Coeficiente de Durand en la ecuación de la caída de presión

Wasp el al. (1977) dedujeron que el coeficiente está entre 80 y 150, dependiendo de

las propiedades de la mezcla.

Zandi y Govatos (1967) y Shook et al. (1991) desarrollaron modelos empíricos para

determinar la caída de presión a través de métodos basados en el coeficiente de arrastre de

partículas.

Modelos basados en la velocidad terminal para determinar la caída de presión en

mezclas son conducidos por Newitt et al. (1955), Hayden y Stelson (1968).

Hill et al. (1986), Wasp et al. (1977) propusieron clasificar las partículas para flujo de

mezclas compuestas en: partículas finas que pueden moverse como flujo heterogéneo y

24

partículas grandes que pueden moverse como un lecho o por saltación, para poder determinar

las pérdidas por fricción.

Wasp et al. (1977) fueron pioneros en desarrollar este método conocido después como

modelo estratificado, extendiendo la aproximación de Durand a un concepto de capas

múltiples y superpuestas de partículas de diversos tamaños y concentración volumétrica con

una distribución logarítmica de concentración de partículas.

Este método se basa en asumir que el total de la caída de presión en flujo bifásico

puede dividirse en dos partes: caída de presión debido a movimiento (partículas distribuidas

homogéneamente) y exceso en la caída de presión debido a la formación de lecho (partículas

distribuidas heterogéneamente o lecho). Este método es iterativo donde en la primera

aproximación o iteración se asume una suspensión de partículas completamente homogénea,

luego, basados en esta primera aproximación, el gradiente de presión para la primera parte

(distribución homogénea) es computado usando la fórmula de Darcy-Weisbach para mezclas,

dada por:

[2.4]

donde:

= Gradiente de presión debido a las partículas distribuidas homogéneamente

= Factor de fricción de Fanning cual es evaluado por la ecuación de Wood

En la segunda iteración las partículas en suspensión se dividen en 4 a 6 medidas. Por

cada fracción de tamaño el porcentaje de sólidos se calcula a partir de:

[2.5]

C = concentración volumétrica del tamaño de partícula considerado

= concentración volumétrica de sólido en la mitad del canal


25

= Velocidad de fricción

= Constante de von Karman = 0.4

= Constante de proporcionalidad = 1

La velocidad de fricción es calculada desde la caída de presión en la primera

iteración, mientras que la velocidad terminal se calcula para las diferentes medidas de

partículas utilizando las relaciones estándar del coeficiente de arrastre para el correspondiente

número de Reynolds de la partícula.

La caída de presión para la segunda parte (distribución heterogénea o lecho) se calcula

empleando la correlación de Durand dada por la siguiente ecuación.

[2.6]

donde:

= Gradiente de presión debido a las partículas distribuidas heterogéneamente

= Gradiente de presión debido al flujo del líquido

= Concentración volumétrica por cada medida de sólidos en la proporción del

lecho

= Gravedad específica del sólido

La caída de presión total debida al lecho es la suma de las caídas de presión dadas por

cada tamaño de partícula presente en el lecho.

Sumando cada parte de las caídas de presión se obtiene la caída de presión total de la

mezcla. El modelo de Wasp et al. (1977) fue considerado como un estado del arte cuando este

fue desarrollado a inicios de 1970, sin embargo, ignorar o minimizar un parámetro importante

como los esfuerzos de corte entre las diferentes capas superpuestas puede causar

incertidumbres. Esta es el área que el método de dos capas (Gillies et al., 1991) ha intentado

abordar.

26

Wilson (1992) refina el modelo original de Newitt et al. (1955) con un método basado

el incremento gradual del gradiente de presión debido a la presencia de sólidos, haciendo que

el flujo vaya a través de una transición gradual desde flujo completamente estratificado a

completamente suspendido.

El modelo de dos capas fue desarrollado por Gillies, Shook y Roco (1991) para flujo

estratificado de mezcla. Este modelo se basa esencialmente en un balance de masas y un

balance de fuerzas para las dos capas de mezclas superpuestas. La capa más baja consiste en la

carga de contacto contribuyendo a la fricción con la pared de la tubería, y la capa superior

abarca la carga suspendida para la cual el peso sumergido se transfiere al líquido portador.

El balance de masa relaciona la velocidad promedio y la fracción volumétrica de

sólidos, mientras que el balance de fuerzas relaciona el gradiente de presión axial con los

esfuerzos en los perímetros de las capas.

2.3.4 Concentración Volumétrica

La literatura señala que los perfiles de concentración de sólidos tienen un significativo

efecto en la caída de presión haciendo que ésta sea altamente dependiente de cómo los sólidos

están distribuidos en el plano vertical para flujo en régimen heterogéneo y saltación. Por lo

tanto, no se espera que las correlaciones para la caída de presión que no han considerado el

perfil de concentración de sólido estén bien establecidas. El modelo de Wasp et al. (1977) fue

el primero en considerar un perfil de concentración para los cálculos de caída de presión.

O’Brien (1933) y Rouse (1937) fueron los primeros en proponer un tipo de modelo

simple de difusión para la predicción del perfil de concentración de sólidos en corrientes

turbulentas. Ismail (1952) modificó el modelo simple de difusión correlacionando el

coeficiente de trasferencia de masa a esfuerzos de corte o gradientes de velocidad que fue

derivado del perfil universal de velocidad de von Karman y comparó estos resultados con los

generados en un canal rectangular cerrado, deduciendo que la constante de von Karman era

una función de la concentración de los sólidos y que disminuía con el aumento de la misma; su

trabajo demostró que la concentración puede ser expresada en términos de una función

exponencial como la mostrada a continuación:

27

[2.7]

donde:

= Coeficiente de transferencia de masa

a = Altura del lecho sobre el fondo del conducto

y = Distancia desde el fondo del conducto

C = Concentración volumétrica del tamaño de partícula considerado

= Concentración volumétrica de sólido en la mitad del canal


Hsu (1986) reexamina el trabajo de Ismail (1952) para proponer un sistema en

coordenadas polares (r,θ) para el análisis de concentración distribuido en una tubería.

Wasp et al. (1977), examinando la distribución de concentración de sólidos en un

sistema de transporte de carbón para la compañía Coal Consolidation en Ohio, consideran el

valor de

igual a 0.08D para algunas tuberías y reinterpretando el trabajo de Ismail (1952)

derivan una función logarítmica para la concentración de sólidos en régimen heterogéneo, la

cual fue empleada en su modelo para determinar la caída de presión.

[2.8]

donde

= es la velocidad de fricción

Son numerosas las investigaciones relacionadas al estudio y desarrollo del

hidrotransporte a través del tiempo (1952-2002), cada quien con sus diferentes condiciones

28

específicas en cada uno de sus experimentos, desarrollándose relaciones empíricas y modelos

matemáticos que ayudan en la predicción del comportamiento del flujo.

Los factores físicos que se mencionaron anteriormente tales como: diámetro de la

partícula, velocidad crítica, concentración volumétrica, caída de presión, son los que mayor

influencia tienen en el proceso de trasporte de sólidos tanto para la operación del sistema

como para la rentabilidad del proyecto.

Considerando que el desarrollo de estos modelos y ecuaciones fueron para

experimentos específicos, la aplicación de los resultados de estas investigaciones para otros

sistemas donde los parámetros cambien o varíen producirían una incertidumbre o error que

está asociado a estos cambios que se verán reflejados cuando el sistema diseñado con estas

ecuaciones este operativo.

CAPÍTULO III

ESTUDIO NUMÉRICO PARA FLUJO DE MEZCLAS

Uno de los métodos para investigar el comportamiento del flujo de partículas a través

de medios líquidos por tuberías es el método experimental mencionado en el capítulo anterior,

el cual desarrolla correlaciones empíricas y modelos a través de experimentos para determinar

parámetros importantes y de interés para el investigador.

Otro de los métodos es el que se desarrolla en este capítulo que es el estudio numérico

o simulación numérica a través de la Dinámica de Fluidos Computacional (CFD, por sus siglas

en inglés), la cual representa una técnica que se ha venido desarrollando desde la década de los

70´s para la solución de problemas de ingeniería. La investigación tecnológica en el campo de

la dinámica de fluidos y el desarrollo de CFD ha venido vinculado a la evolución de las

computadoras.

La resolución de las ecuaciones propias de la dinámica de fluidos, trasferencia de calor,

trasferencia de masa, reacciones químicas y otras, se realiza de forma iterativa a través de

métodos numéricos y modelos matemáticos que son programados en un computador

(algoritmos), obteniéndose soluciones aproximadas y no analíticas. Mientras más complejo sea

o más completo queramos resolver nuestro problema, mayor carga computacional debe

soportar el computador, y por lo tanto, mayor tiempo transcurrirá en poder obtener una

solución.

Las ecuaciones que describen los procesos de transferencia de momentum, calor y

masa, cuando el fluido de trabajo es newtoniano, son conocidas como las ecuaciones de

Navier–Stokes y de continuidad (conservación de masa). Estas, son ecuaciones diferenciales

en derivadas parciales que no presentan una solución analítica general, pero que pueden ser

numéricamente discretizadas y resueltas. Asimismo, las ecuaciones de Navier-Stokes y

30

continuidad pueden resolverse en conjunto con otras ecuaciones que describen otros procesos

como los modelos de turbulencia o de combustión.

El objetivo de la dinámica de fluidos computacional es reducir, mediante herramientas

numéricas, las ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento del flujo de fluidos,

a ecuaciones algebraícas equivalentes que proveen una solución aproximada de las ecuaciones

originales.

3.1 Antecedentes

Estudios previos de CFD para flujo de mezclas sólido-líquido en tuberías han sido

desarrollados recientemente por varios autores. Ling et al. (2003) presentan en su trabajo una

versión simplificada 3D del modelo algebraíco de deslizamiento de mezcla (ASM, por sus

siglas en inglés), para obtener la solución numérica de un flujo de mezcla arena-agua en

condiciones de flujo turbulento completamente desarrollado, incorporando el modelo k-ε de

re-normalización (RNG) para modelar el fenómeno causado por la turbulencia. En su trabajo,

una malla estructurada por bloques no-uniforme fue escogida para discretizar el dominio

computacional y el método de diferencias finitas en un volumen de control fue utilizado para

resolver las ecuaciones de gobierno.

Hernández et al. (2008) y Ekambara (2009) modelan el flujo de mezcla arena-agua en

tuberías horizontales con un esquema Euleriano-Euleriano en régimen de flujo homogéneo y

heterogéneo; mientras que para determinar los efectos de la turbulencia escogen el modelo de

dos ecuaciones k-ε.

Un modelo matemático basado en la Teoría Cinética Granular (TCG) es utilizado por

ambos autores para describir los esfuerzos de la fase sólida, considerando las colisiones

inelásticas de las partículas. Igualmente, utilizaron los términos cinético y colisional de la

viscosidad dentro del tensor de esfuerzos de la fase sólida. Tanto Hernández et al. como

Ekambara utilizan el software comercial ANSYS-CFX v10.0 para realizar sus simulaciones.

Los resultados de las simulaciones y estudios realizados por los autores arriba

mencionados muestran buena concordancia con los datos experimentales cuando el flujo esta

en régimen homogéneo y seudo-homogéneo para la mayoría de los parámetros, mientras que

cuando el flujo esta en régimen heterogéneo y saltación las predicciones de los gradientes de

31

concentración o los perfiles de concentración volumétrica no concuerdan del todo con los

datos experimentales, mayormente en la zona cercana al fondo de la tubería.

Este capítulo muestra en detalle el esquema numérico y modelo matemático que se

utilizó en el presente trabajo para desarrollar las simulaciones que permitieron obtener los

perfiles de concentración para flujos en régimen heterogéneo y saltación, incluyendo términos

y modelos que no fueron considerados en los estudios arriba indicados.

Para el cumplimiento de los objetivos planteados en esta sección se utilizará el código

comercial ANSYS Fluent v.12.0, el cual utiliza como formulación matemática base las

ecuaciones de Navier-Stokes y de continuidad.

3.2 Esquema Numérico para Flujo Multifásico

ANSYS Fluent v.12.0 emplea dos sistemas de referencia para analizar el flujo: a)

Euleriano; y b) Lagrangiano. En el modelo (sistema de referencia) Euleriano, se utiliza el

concepto de volumen de control y el Teorema de Transporte de Reynolds para transformar las

derivadas materiales. Este modelo estudia las propiedades de las partículas sólidas como un

campo, es decir identificar un punto en el espacio (volumen de control) y luego observa la

velocidad de las partículas diferenciales que pasan por el punto. El modelo (sistema de

referencia) Lagrangiano, aplica las ecuaciones de movimiento a cada partícula y se sigue su

trayectoria; el movimiento de la partícula se observa como función del tiempo.

Para más de dos fases se puede emplear la combinación de estos sistemas de

referencia, teniendo dos esquemas: Euleriano-Euleriano en el cual las diversas fases líquida

(continua) y sólidas (dispersas) se analizan matemáticamente como fases continuas. Puesto

que el volumen de una fase no se puede ocupar por las otras fases, el concepto de fracción

volumétrica para cada fase se introduce. Estas fracciones de volumen se supone que son

funciones continuas del espacio y el tiempo y su suma es iguales a uno en cualquier volumen

de control.

Las ecuaciones de la conservación para cada fase son derivadas para obtener un

sistema de ecuaciones, que tiene estructura similar por todas las fases. Estas ecuaciones son

cerradas proporcionando las relaciones constitutivas que se obtienen de información empírica,

o, en el caso de flujos granulares, por la aplicación de la TCG.

32

Euleriano-Lagrangiano es la otra combinación, donde la fase líquida es tratada como

medio continuo resolviéndose a través de las ecuaciones de Navier-Stokes, mientras que la(s)

fase(s) dispersas sólidas es resuelta siguiendo una gran cantidad de partículas. Este modelo es

comúnmente utilizado para la simulación de sprays o para la combustión de combustibles

líquidos o donde del número de partículas no sea muy elevado, ya que esto implicaría un gran

costo computacional. Sin embargo, es un modelo útil en CFD al momento de seguir las

trayectorias de algunas partículas continuamente dentro del fluido.

El esquema utilizado en esta investigación es Euleriano-Euleriano, debido al gran

número de partículas sólidas que están presentes durante la resolución del problema; además,

se justifica por ser un modelo previamente utilizado en otras investigaciones y el cual ha

brindado muy buenos resultados.

3.3 Modelos Multifásicos Euleriano-Euleriano

ANSYS Fluent v.12.0, cuenta con tres modelos multifásicos Euleriano-Euleriano

disponibles: modelo de volumen de fluido (VOF), modelo de mezcla, y modelo Euleriano.

Modelo Volumen de Fluido (VOF): Puede modelar dos o más fluidos inmiscibles

resolviendo un único conjunto de ecuaciones de momento y el seguimiento de la fracción

volumétrica de cada uno de los fluidos a través del dominio. Las aplicaciones típicas incluyen

la predicción de la ruptura de chorro, el movimiento de grandes burbujas en un líquido, el

movimiento del líquido después de una rotura de presas, y el seguimiento permanente o

transitorio de cualquier interfase líquido-gas.

Modelo de Mezcla: Utilizado para modelar flujo multifásico donde las fases se mueven

a velocidades diferentes, pero asumen el equilibrio local sobre las escalas de longitud espacial

pequeñas. Puede aplicarse a flujos en régimen homogéneo con acoplamiento muy fuerte y

movimiento de las fases a la misma velocidad. Adicionalmente, los modelos de mezcla se

utilizan para calcular la viscosidad no newtoniana.

Este modelo puede modelar n fases (líquidas o de partículas), resolviendo las

ecuaciones de momento, continuidad y energía para la mezcla, las ecuaciones de fracción de

volumen para las fases secundarias, y expresiones algebraícas para las velocidades relativas.

33

Modelo Euleriano: Es el modelo más complejo para modelar flujo multifásico en

ANSYS FLUENT v.12.0. Este resuelve un conjunto de n ecuaciones de momento y

continuidad para cada fase. El acoplamiento se logra mediante la presión y los coeficientes de

intercambio en las interfaces. La forma en que se maneja este acoplamiento depende del tipo

de fases implicadas; el flujo granular (fluido-sólido) es manejado de forma diferente que

cuando se trata de flujo no granular (líquido-líquido). Para flujos granulares, las propiedades

se obtienen de la aplicación de la Teoría Cinética Granular (TCG). El intercambio de

momento entre las fases depende también del tipo de mezcla que se está modelando.

Para cumplir con los objetivos propuestos se selecciona el modelo Euleriano, porque

permite modelar el flujo granular considerando todos los términos de viscosidad dentro del

tensor de esfuerzos de la fase solida a través de la TCG, y un sub modelo friccional, así como

también la interacción entre las fases.

3.4 Ecuaciones de Conservación

La fase continua en ANSYS FLUENT es la fase primaria o líquido, la fase secundaria

es considerada la fase dispersa o partículas en esta investigación. Ya que las fases son

inmiscibles, el concepto de fracción volumétrica se incorpora, teniendo las siguientes

expresiones.

[3.1]

[3.2]

[3.3]

donde:

= Volumen de la fase q

= Fracción volumétrica

34

= Densidad física de la fase q

= Densidad de la fase q

Una de las ecuaciones de conservación es la ecuación de la continuidad o conservación

de la masa, donde la facción volumétrica de cada fase es calculada con la siguiente ecuación.

[3.4]

donde:

= Velocidad de la fase q

= Caracteriza la transferencia de masa desde la fase p a la fase q

= Caracteriza la transferencia de masa desde la fase q a la fase p

La ecuación de conservación de momento para la fase continua esta dado por:

[3.5]

La ecuación de conservación de momento para la fase dispersa (partículas) está dado

por:

[3.6]

donde:

= Gradiente de presión del líquido

= Gradiente presión del sólido

35

= Divergencia del tensor de esfuerzos de la fase líquida

= Divergencia del tensor de esfuerzos de la fase sólida

= Fuerza gravitacional

= Término de interacción entre las fases

= Fuerzas de sustentación

A pesar de que el esquema Euleriano-Euleriano considera a las dos fases como

continuas, el tratamiento de las ecuaciones en algunos términos es diferente, como en el caso

del tensor de esfuerzos para cada fase, el término de la presión granular que se

incorpora en la ecuación [3.6] y el coeficiente de intercambio de momento entre las fases

sólida-líquida , el cual depende del número de Reynolds y el coeficiente de arrastre

principalmente.

El tensor de esfuerzos de la fase líquida está dado por la siguiente expresión:

[3.7]

donde:

= Viscosidad dinámica del líquido

El modelo de Gidaspow (1992), es el modelo utilizado en esta investigación para

definir el intercambio de momento entre las fases. Este es un modelo que se aplica a

soluciones con fracciones volumétricas de sólidos moderadas.

Cuando >0.8, el coeficiente de intercambio líquido-sólido está dado por:

[3.8]

donde:

36

[3.9]

[3.10]

Cuando 0.8,

[3.11]

donde:


= Diámetro de la partícula

= Número de Reynolds relativo

Para modelar flujos con diferentes diámetros de sólidos, la estrategia es crear otra u

otras fases dispersas para el o los diámetros correspondientes, teniendo un coeficiente de

intercambio sólido-sólido representado por el modelo de Syamlal (1987) con la siguiente

expresión:

[3.12]

donde:


= Coeficiente de fricción entre las fases sólidas

= Coeficiente de distribución radial

37

3.5 Modelaje de la Fase Dispersa

Un modelo granular describe el comportamiento del flujo de una mezcla de líquido-

sólido. Los esfuerzos de la fase sólida se derivan al hacer una analogía entre el movimiento

aleatorio de las partículas resultantes de las colisiones y el movimiento térmico de las

moléculas en un gas con la teoría cinética de los gases, teniendo en cuenta la falta de

elasticidad de la fase granular o choques completamente inelásticos. Como es el caso de un

gas, la intensidad de la velocidad de las fluctuaciones de las partículas determina los esfuerzos,

la viscosidad y la presión de la fase sólida; esta analogía es conocida como Teoría Cinético

Granular (TCG). La energía cinética asociada con la velocidad de las fluctuaciones de las

partículas está representada por una "pseudo energía térmica" o temperatura granular, que es

proporcional al cuadrado de la media de movimiento aleatorio de partículas.

En la ecuación de momento de la fase dispersa [3.6] los términos que son apoyados

con el concepto de Teoría Cinético Granular son:

La presión del sólido vinculada al esfuerzo a compresión por el aumento de la

concentración esta compuesta de un término cinético y un segundo término colisional

determinado según Gidaspow (1992) por los conceptos presentados por Lun et al. (1984).

[3.13]

donde:

= Temperatura granular


= Función de distribución radial

En la energía disipada por lo choques entre las partículas y la compresión de la fase

dispersa interviene el coeficiente de restitución. Es un valor de mediana dependencia para la

solución homogénea y heterogénea, pero altamente dependiente en soluciones con elevada

acumulación. Por defecto, ANSYS Fluent fija este valor en 0.9. Estudios recientes

recomiendan valores cercanos a 1 (Cornelissen et al., 2007).

38

La función de distribución radial es un factor de corrección que modifica la

probabilidad de las colisiones entre partículas cuando la fase sólida granular llega a ser densa.

La función puede ser interpretada como una distancia adimensional entre esferas, para

soluciones muy diluidas y para soluciones muy densas .

Data reciente recomienda la distribución radial de Gidaspow (1992), con buenos

resultados para moderadas concentración de sólidos (Wachem et al., 2001). ANSYS Fluent

modifica la expresión de Gidaspow para ser utilizada con más de dos fases sólidas:

[3.14]

donde:

= Máximo factor de empaquetamiento

[3.15]

y k son las fases sólidas únicamente.

El máximo factor de empaquetamiento determina la concentración volumétrica

máxima de la fase dispersa, de acuerdo con determinado arreglo de empaquetamiento.

Normalmente se recomienda 0.62, pero se encuentra empaquetamiento cúbico simple 0.52,

cúbico centrado en el cuerpo (bcc) con 0.68 y un máximo para empaquetamiento cúbico

centrado en la cara (fcc) o empaquetado compacto hexagonal (hcp) de 0.74 (Shackelford,

1995). Debido a que siempre se encuentran espacios vacíos entre los distintos elementos, los

valores de la concentración nunca pueden alcanzar el 100%.

Fedors y Landell (1979) definen una relación para el máximo factor de

empaquetamiento en una mezcla binaria (con más de un diámetro de partícula), debido a que

las partículas pequeñas se acumulan entre las partículas grandes incrementando este factor.

Para una mezcla donde , la composición de la mezcla es definida por:

39

[3.16]

El máximo valor de empaquetamiento para la mezcla esta dado por:

[3.17]

La temperatura granular para la fase sólida es proporcional a la energía cinética del

movimiento aleatorio de partículas y la ecuación de transporte derivada de la TCG es

representada por Ding y Gidaspow (1990) como:

[3.18]

donde

= Generación de energía por el tensor de esfuerzos de la fase sólida

= Difusión de energía granular

coeficiente de difusión

= Disipación de de energía de choque o colisional

= Intercambio de energía entre las fases líquido-sólido

Gidaspow et al. (1992) definen el coeficiente de difusión para la energía granular

como:

[3.19]

40

Lun et al. (1984) define la disipación de la energía colisional, que representa la tasa de

disipación de energía en la fase sólida debida a las colisiones entre partículas.

[3.20]

El término transferencia de energía debido a las fluctuaciones aleatorias de la velocidad

de las partículas desde la fase sólida a la fase líquida o sólida es representada por Gidaspow et

al. (1992) como:

[3.21]

Para una fase granular se puede escribir las fuerzas de corte en la pared de la siguiente

forma:

[3.22]

donde

= Velocidad de deslizamiento de las partículas paralelo a la pared

= Coeficiente de especularidad entre las partículas y la pared

Johnson y Jackson (1987) establecen una relación para la condición de borde para la

temperatura granular en la pared de la siguiente forma:

[3.23]

Para el flujo multifásico granular, se puede especificar el coeficiente de especularidad

de tal manera que cuando el valor es cero, esta condición es equivalente a cero esfuerzo

41

cortante en la pared, pero cuando el valor es cercano a la unidad, hay una cantidad importante

de transferencia de momento lateral.

El tensor de esfuerzos de la fase sólida es una expresión que interviene en la ecuación

de momento de la fase dispersa y la ecuación de temperatura granular, esta expresión

involucra términos relacionados con la viscosidad dinámica de la fase sólida y la viscosidad de

bulto.

[3.24]

donde:

= Segundo coeficiente de viscosidad del sólido

= Viscosidad dinámica del sólido

Lun et al. (1984) propusieron una expresión que ha sido comúnmente aceptada en la

literatura para la viscosidad de bulto, la cual describe la resistencia de las partículas

suspendidas contra la compresión.

[3.25]

La viscosidad dinámica de la fase sólida se presenta como la suma de contribución

cinética colisional y friccional en un flujo granular.

[3.26]

La Teoría Cinética Granular ayuda a determinar la viscosidad de corte dentro del

tensor de esfuerzos de la fase sólida para las dos primeras zonas, la cinética y la colisional,

donde el régimen de flujo granular es rápido. Los modelos basados en las relaciones de Lun et

42

al. (1984), como el modelo de Gidaspow (1992), Syamlal (1994), Wen You (1992), son

utilizados para determinar estas viscosidades (ver Figura 3.1).

Figura 3.1: Esquema del flujo granular

Cuando la fracción volumétrica del sólido es muy alta, la TCG subestima la viscosidad

sólida. De hecho la temperatura granular es muy baja como resultado del alto

empaquetamiento de partículas y la débil fluctuación de las velocidades de las partículas (ver

Figura 3.1).

Este nuevo régimen es caracterizado por largos contactos entre partículas. Johnson y

Jackson (1987) y Johnson et al. (1990) modelaron un flujo granular siguiendo el trabajo de

Lun et al. (1984), pero añadieron los esfuerzos de fricción de Coulomb a la fase sólida en la

ecuación de momento para cuantificar este fenómeno. Estos esfuerzos pueden ser escritos en

la forma newtoniana, lo que se traduce en que simplemente a la presión y la viscosidad sólida,

dadas por la TCG, se le debe añadir la contribución debido a los esfuerzos por fricción a la

presión y viscosidad.

La Figura 3.2 muestra el flujo granular donde actúan los tres términos de la viscosidad:

cinético, colisional y friccional.

43

Figura 3.2: Esquema del flujo granular en régimen heterogéneo y saltación

Sobre la viscosidad colisional hay un acuerdo entre los investigadores para emplear la

expresión propuesta por Lun et al. (1984) dada por:

[3.27]

La primera expresión dada por Lun et al. (1984) para la contribución cinética sobre la

viscosidad es:

[3.28]

La expresión de Gidaspow (1994) es una versión simplificada de Lun et al. (1984), la

cual no considera la naturaleza inelástica de las partículas:

44

[3.29]

Syamlal et al. (1993) descartaron la expresión de transferencia de momento debido a la

traslación de la partícula (contribución cinética):

[3.30]

Johnson y Jackson (1987) propusieron una ecuación semi-empírica para el esfuerzo

normal friccional:

[3.31]

Donde Fr, n y p son constantes dependientes del material.

La viscosidad friccional propuesta por Johnson y Jackson relaciona la presión

friccional y el ángulo interno de cohesión entre partículas de la forma:

[3.32]

donde es el ángulo de fricción interno.

3.6 Modelaje de la Turbulencia

La turbulencia es una condición de flujo, caracterizada por las fluctuaciones de todas

las propiedades de campo del fluido, que ocurren en el espacio 3D y el tiempo. Los efectos

turbulentos ocurren cuando el número de Reynolds es muy alto, es decir, cuando las fuerzas de

inercia presentes en el fluido tienen un mayor peso que las fuerzas viscosas.

Estas fluctuaciones pueden ser de pequeña escala y altas frecuencias, siendo

computacionalmente muy costosa la simulación directa.. En cambio, las ecuaciones de

gobierno instantáneas pueden ser promediadas en el tiempo, promediadas en conjunto o

manipuladas de otra manera para remover las pequeñas escalas, resultando en un grupo de

45

ecuaciones que son computacionalmente menos costosas de resolver y que contienen

cantidades desconocidas. Sin embargo, estas cantidades contienen variables adicionales

desconocidas donde los modelos de turbulencia son necesarios para determinar estas variables

en términos de cantidades conocidas (Fluent, 2006).

Existen una gran variedad de modelos para emplear en el tratamiento de la turbulencia

entre los cuales se puede destacar los siguientes: modelo k- , modelos k-w, RSM (“Reynolds

Stress Model”), modelos v2-f, DES (Detached Eddy Simulation), LES (“Large Eddy

Simulation”), entre otros.

Los más simples, pero aun suficiente modelos de turbulencia son los de dos ecuaciones

donde la solución de dos ecuaciones de transporte separadas permite determinar la viscosidad

turbulenta y las longitudes de escala de forma independiente.

El modelo de k- estándar está dentro de este tipo de modelos, siendo el más utilizado

en la práctica ingenieril para el cálculo de flujos desde que fue propuesto por Launder y

Spalding (1972). Este modelo resulta ser robusto, económico y con razonable precisión en un

amplio rango de flujos turbulentos, lo que le ha ganado su popularidad dentro de las

simulaciones en transferencia de calor y flujos industriales.

El modelo k- es un modelo semi-empírico basado en las ecuaciones de transporte para

la Energía Cinética Turbulenta (k), la cual representa una medida de la intensidad de las

fluctuaciones temporales de la velocidad y para la tasa de Disipación de Turbulencia de los

Eddies ( ), la cual representa la tasa de disipación de k.

Las ecuaciones de la energía cinética k y la tasa de disipación son las siguientes:

[3.33]

[3.34]

46

donde representa la generación de la turbulencia cinética debido al gradiente de la

velocidad media, es la generación de energía cinética turbulenta debido a la flotación,

es la contribución debido a los efectos de compresibilidad.

La viscosidad turbulenta es calculada por combinación de k y de la siguiente manera:

[3.35]

Las constantes del modelado son las siguientes

[3.36]

Estos valores fueron determinados en experimentos con aire y agua para flujos

cortantes turbulentos fundamentalmente homogéneos y con decaimiento isotrópico de la

turbulencia.

El modelo presentado anteriormente es para un solo fluido homogéneo. Para aplicar a

flujo multifásico se implementan ciertas variaciones. Entre las variantes del modelo k- para

ser aplicado a simulaciones con dos o más fluidos se tienen: el modelo de turbulencia de

mezcla (mixture model), el modelo disperso y el modelo de turbulencia por cada fase.

El modelo de turbulencia para flujo multifásico utilizado en esta investigación es el

modelo de mezcla; éste representa la primera extensión del modelo k- para una fase, y este es

aplicable cuando las fases están separadas o cercanas a la estratificación. En flujo multifásico,

empleando propiedades de mezcla y velocidades de mezcla, es suficiente para capturar

importantes características de flujo turbulento.

Las ecuaciones de la energía cinética k y la tasa de disipación son las siguientes:

[3.37]

47

[3.38]

donde la velocidad y la densidad de la mezcla, y , son calculadas desde:

[3.39]

y

[3.40]

La viscosidad turbulenta es calculada desde:

[3.41]

y la producción de energía cinética turbulenta, es calculada desde

[3.42]

El término resistencia turbulenta para flujo multifásico ( de la ecuación de

momento [3.6] es modelado de la siguiente manera:

[3.43]

Donde están ponderados por la velocidad de cada fase.

El segundo término del lado derecho de la ecuación contiene la velocidad entre las

fases (drift velocity).

48

El efecto de la velocidad entre las fases está influenciado por la ecuación de momento

y, en menor medida, por la ecuación de la turbulencia. Esta velocidad resulta de las

fluctuaciones turbulentas de la fracción volumétrica y cuando se multiplica por el coeficiente

de intercambio , se hace una corrección del término cantidad de momento para flujos

turbulentos.

La velocidad entre las fases se define como:

[3.44]

Donde y son coeficientes de difusividad, que son supuestos iguales, es el

número de Prandtl de dispersión, que es igual a 0.75 (Teoría de Tchen, citada en Hinze 1975)

(Fluent, 2006)

3.7 Discretización y Solución

El primer paso en la solución numérica de las ecuaciones de gobierno es crear un

sistema acoplado, linealizando las ecuaciones algébricas resultantes, el cual puede ser

solucionado por métodos numéricos clásicos. Este paso se denomina como discretizacion.

El método de discretización de las ecuaciones más comúnmente utilizado en la

actualidad se basa en la técnica de los volúmenes finitos de control. Consideremos una malla

de discretización del espacio fluido. En torno a cada punto de esta malla se construye un

volumen de control que no se traslapa con los de los puntos vecinos. De esta forma el volumen

total de fluido resulta ser igual a la suma de los volúmenes de control considerados. La

ecuación diferencial a resolver se integra sobre cada volumen de control, lo cual entrega como

resultado una versión discretizada de dicha ecuación. Para realizar la integración se requiere

especificar perfiles de variación de la variable dependiente entre los puntos de la malla, de

modo de poder evaluar las integrales resultantes. La principal propiedad del sistema de

ecuaciones discretizadas resultante, es que la solución obtenida satisface en forma precisa las

ecuaciones de conservación consideradas, independientemente del tamaño de la malla,

(Fluent, 2006).

49

Utilizando una ecuación para el transporte de una cantidad escalar ( ) en estado

transitorio [Ec. 3.45] escrita en forma integral para un volumen arbitrario de control (V), se

puede realizar la discretizacion de la ecuación de gobierno:

[3.45]

La ecuación [3.45] se aplica sobre cada volumen de control o celda en el dominio

computacional que se ha mallado previamente. Utilizando como ejemplo celdas

bidimensionales, que se muestran en la Figura 3.3, se obtiene la ecuación [3.46].

[3.46]

Figura 3.3: Volumen de control empleado como ilustración para la discretización de la

ecuación de transporte

3.8.1 Discretización Espacial

Los valores discretos de la variable escalar ( ) se definen en el centro de la celda

(celda1) en la Figura 3.3, sin embargo, los valores de se definen sobre las caras y son

requeridos para los términos covectivos en la ecuación [3.46]. Estos valores deben ser

interpolados desde el valor en el centro de la celda, lo cual es logrado usando un esquema

hacia delante.

50

Existen varios esquemas de este tipo, siendo los más conocidos: primer orden, segundo

orden, ley de potencia y Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics,

(QUICK por sus siglas en inglés).

Este apartado sólo describirá el esquema QUICK, el cual fue utilizado para las

simulaciones en esta investigación.

QUICK, es un esquema de segundo orden, donde las cantidades en las caras de la celda

son computadas usando un enfoque multidimensional lineal. Este enfoque de alto orden de

precisión es aplicado en el centro de la celda. Cuando este esquema es utilizado, los valores en

las caras son calculados empleando la siguiente expresión:

[3.47]

Esta formulación requiere de la determinación previa del gradiente de , el cual puede

ser calculado usando el Teorema de Green-Gauss en el centro de la celda, quedando como se

expresa a continuación:

[3.48]

El promedio de la variable es calculada sobre el centroide de las caras , donde se

toma un promedio aritmético de los valores en los centros de las celdas vecinas. Por ejemplo,

al utilizar las celdas de la Figura 3.3 queda como:

[3.49]

El esquema QUICK es recomendable para mallas hexaédricas y cuadriláteras, donde

solo las caras aguas arriba y aguas abajo y las celdas se pueden identificar; este esquema

calcula valores de orden superior de la variable de convección en la cara. QUICK se basa en

una media ponderada de segundo orden-upwind y el centro de interpolaciones de la variable.

51

Para la cara e en la Figura 3.4, si el flujo es de izquierda a derecha, este valor puede ser escrito

como:

[3.50]

Figura 3.4: Volumen de control unidimensional

Si =1 en la ecuación [3.50] resulta en una interpolación central de segundo orden

mientas que =0 se obtiene un valor de segundo orden upwind y si =1/8 se obtiene el

esquema QUICK tradicional, (Fluent, 2006).

3.8.2 Discretización Temporal

El termino transitorio de la ecuación [3.46] (primer término) debe ser discretizado

tanto en espacio como en tiempo. La discretizacion espacial para las ecuaciones con

dependencia temporal es idéntica al caso estacionario. La discretización temporal envuelve la

integración de cada término en las ecuaciones diferenciales sobre un paso de tiempo . La

expresión genérica para la evolución temporal de esta dado por:

[3.51]

donde la función incorpora cualquier discretizacion espacial. Para la discretizacion de la

parte temporal se emplea comúnmente diferencias finitas de primer orden hacia atrás, que

pueden proporcionar un sistema implícito o explicito de acuerdo a como se escoja la función

:

52

[3.52]

[3.53]

donde representa la solución que se desea en el tiempo actual y es la solución en el

tiempo anterior.

La ecuación [3.52] produce un sistema de carácter explicito, ya que puede ser

despejada la variable de transporte como función de lo que ocurre en el tiempo anterior,

mientras que la ecuación [3.53] produce un sistema implícito, donde la variable de transporte

depende a su vez de lo que ocurre con sus celdas vecinas en el mismo tiempo por medio de la

función .

El esquema implícito es incondicionalmente estable con respecto al tamaño de paso

temporal, mientras que el esquema explícito posee una estabilidad limitada. (Fluent, 2006)

3.8.3 Solución del Sistema de Ecuaciones Lineales

La ecuación de transporte escalar discretizada [3.46] contiene la variable escalar

desconocida en el centro de la celda, así como también los valores desconocidos en las celdas

vecinas. Esta ecuación, en general, es no-lineal con respecto a estas variables, por lo que una

linealización puede ser escrita como:

[3.54]

donde el subíndice cv significa celdas vecinas, y son los coeficientes linealizados para

y , respectivamente.

El número de vecinos por cada celda o elementos depende de la topología de la malla,

pero típicamente será igual al número de caras que encierran la celda.

53

Ecuaciones similares pueden ser escritas para cada celda que compone la malla, lo que

resulta en un conjunto de ecuaciones algebraícas con una matriz A con escasos coeficientes,

que se escribe de la siguiente forma.

[3.55]

con como el residual, obtenido de:

[3.56]

Repitiendo la aplicación de este algoritmo se lleva a una solución con precisión

controlada. Los métodos iterativos tienden rápidamente a desmejorar su desempeño con el

incremento del número de elementos o celdas, dado el costo computacional asociado a ésto. El

desempeño también decrece rápidamente si existen elementos contiguos con grandes

relaciones de aspecto entre sí. Estos métodos iterativos están estrechamente ligados al mallado

de la geometría. Por ello, se han desarrollado a su vez técnicas que refinan la malla para

mejorar la solución y disminuir el residuo local o globalmente. (Marval 2008)

3.8.4 Normalización del Residuo y Convergencia.

Como se describió anteriormente, el vector de los residuos es calculado como el

desbalance en el sistema de ecuaciones discretas linealizadas. Los residuos son normalizados

con el propósito de monitorear la solución y obtener un criterio de convergencia. Un

procedimiento general de normalización es el siguiente:

[3.57]

donde son los residuos normalizados, fue descrito anteriormente y es representativo del

coeficiente del volumen de control y es un rango representativo de la variable sobre el

domino. Algunos rasgos importantes de citar son:

Los residuos normalizados son independientes del paso del tiempo escogido.

54

Los residuos normalizados son independientes de la condición inicial supuesta.

Para flujos multifásicos, la fracción volumétrica es considerada. Esto previene grandes

residuales en sitios donde la fracción volumétrica es despreciable y tiene una gran

influencia.

No hay una medida universal sobre el juicio para la convergencia, sin embargo el

residuo es la principal variable para realizar este proceso. El criterio de convergencia de

acuerdo con el residuo normalizado adoptado en este tipo de simulaciones es de 10-6 para la

ecuación de energía y 10-3 para el resto de ecuaciones; sin embargo, estos valores pueden ser

disminuidos cuando se desea incrementar la precisión en la solución. (Marval 2008)

CAPÍTULO IV

SIMULACIÓN NUMÉRICA DE PARTÍCULAS-LÍQUIDO EN TUBERÍAS HORIZONTALES

En este capítulo se muestran los resultados del estudio numérico del flujo de partículas-

líquido en régimen heterogéneo y saltación en tuberías horizontales utilizando un modelo

Euleriano de dos fases con relación constitutiva para la fase sólida basada en la Teoría

Cinética Granular (TCG). ANSYS-Fluent v.12.0 es el software utilizado para realizar las

simulaciones ya que presenta una plataforma adecuada para activar los esquemas numéricos y

modelos matemáticos enunciados en el capítulo anterior.

Los resultados de los casos de estudio a simular son validados con el trabajo

experimental de Kausal et al. (2005) que trata sobre el efecto del tamaño de la partícula en la

caída de presión y los perfiles de concentración en tuberías con flujo de alta concentración de

mezcla. Los resultados a obtener, permitirán comparar los perfiles de concentración

volumétrica.

Se presenta en primera instancia un resumen de trabajo de Kausal et al. (2005) del cual

se escogerá algunos casos representativos que servirán para cumplir los objetivos propuestos,

seguidamente y con detalles, se muestra la geometría, análisis de sensibilidad de la malla,

estrategia de simulación, condiciones iniciales y las características de la convergencia para el

modelo matemático implementado, el cual ya fue presentado en el capítulo anterior.

La segunda parte, muestra los resultados de los casos de estudio, con énfasis en cómo

afecta la predicción del perfil de concentración los siguientes aspectos del modelado: (a)

tratamiento de pared en el modelo de turbulencia; (b) fuerza de sustentación; (c) temperatura

granular en la pared; (d) término de viscosidad friccional dentro de la viscosidad de la fase

sólida. Finalmente, se presentan las conclusiones y recomendaciones.

56

4.1 Data Experimental reportada por Kausal et al. (2005)

Kausal et al. (2005) realizó experimentos en tuberías horizontales de 54,9 mm de

diámetro interno para dos diferentes tamaños de partículas de vidrio, de los cuales el diámetro

promedio y la desviación estándar son 440 μm @ 1.2 μm y 125 μm @ 1.15 μm,

respectivamente. Igualmente, los experimentos de Kausal et al. exploran combinaciones de

dos tamaños de partículas en igual fracción de masa; el valor promedio de la densidad relativa

de estas partículas fue de 2.47. La velocidad de flujo máxima alcanzó 5 m/s y la concentración

volumétrica límite fue del 50 %, donde la caída de presión y los perfiles de concentración

fueron medidos.

Los perfiles fueron obtenidos atravesando zonas isocinéticas en los planos: horizontal,

inclinado a 45° y vertical, incluyendo también el eje de la tubería. La mezcla es muestreada y

recogida en un plano vertical donde se analizaron los perfiles de concentración de cada lote de

partículas que constituye la mezcla.

Se encontró que la caída de presión se reduce a concentraciones altas de mezcla,

excepto para velocidades de 5 m/s. Además, se observaron marcados cambios de perfiles de

concentración en partículas de 440 μm, lo que indica un régimen de lecho móvil, mientras que

los perfiles en el plano horizontal se mantienen casi constantes, independientemente de la

velocidad del flujo, la concentración total y el tipo de mezcla.

La Figura 4.1 muestra un esquema del banco de pruebas que Kausal et al. (2005)

utilizó para sus experimentos.

57

1. Bomba multifásica 2. Medidor de flujo electromagnético 3. Sonda de muestreo isocinética 4. Tomas de presión 5. Transductor diferencial de presión 6. Cámara de observación 7. Tanque de la mezcla 8. Mezclador 9. Válvula 10. Tanque de agua

Figura 4.1: Esquema del circuito experimental de Kausal et al. (2005)

La mezcla es provista desde el tanque de mezcla (7), donde un agitador con motor

eléctrico mezcla el agua y las partículas sólidas mecánicamente y la velocidad de rotación del

mezclador es suficientemente alta para obtener una distribución homogénea de sólidos en el

tanque. La mezcla es transportada por el sistema a través de una bomba centrífuga donde el

flujo volumétrico es controlado utilizando un variador de frecuencia para cambiar la velocidad

de rotación de la bomba al valor deseado.

El flujo volumétrico de la mezcla es medido empleando un medidor de flujo

electromagnético (2).

58

Una sonda de muestreo (3) mide el perfil de concentración, tiene 5 mm x 6 mm de

ranura rectangular y 3 mm sobre el final. El perfil de concentración fue medido en diferentes

planos a las velocidades de flujo correspondientes y en todas las concentraciones; estos

resultados presentan desde el 10 % al 90 % del diámetro del tubo en un incremento de 10 %.

En la Tabla 4.1 se muestra la matriz de todos los casos experimentados en el estudio de

Kausal et al. (2005), de los cuales se escogieron los que se encuentran sombreados debido a

que representan de forma más aproximada el tipo de flujo a estudiar para validar el modelo de

este trabajo y para alcanzar los objetivos de esta investigación. Los resultados gráficos

experimentales se presentan junto con los resultados de las simulaciones.

Tabla 4.1: Matriz de los casos de estudio experimentados por Kausal et al. (2005)

Concentración volumétrica de sólidos Diámetro

[μm] Velocidad

1 m/s Velocidad

2 m/s Velocidad

3 m/s Velocidad

4 m/s Velocidad

5 m/s 125 10 10 10 10 10 125 20 20 20 20 20 125 30 30 30 30 30 125 40 40 40 40 125 50 50 50 50 440 10 10 10 10 10 440 20 20 20 20 20 440 30 30 30 30 30 440 40 40 40 440 50 50

125+440 20 20 20 20 20 125+440 30 30 30 30 30 125+440 40 40 40 40 40 125+440 50 50 50 50

4.2 Geometría y Malla.

Seleccionar y diseñar la geometría es el primer paso para una simulación CFD y

consiste en representar todo el volumen de fluido sobre el cual se quiere tener información,

analizar y predecir el comportamiento. Hay que considerar que si la geometría y las

condiciones de flujo son simétricas se puede representar solamente una de las partes simétricas

del dominio, obteniendo así una considerable reducción del número de elementos, ayudando

así a reducir los tiempos de simulación.

59

El diámetro del volumen de fluido a analizar es de 54.9 mm y es fijo para todos los

casos de estudio, la longitud del dominio computacional es basada en las sugerencias de Wasp

et al. (1979) y Brown y Heywood (1991) a través de la ecuación [4.1], donde x es la longitud y

d es el diámetro de la tubería, asegurando así resultados con flujo completamente desarrollado.

[4.1]

Dado que la dirección del flujo principal está alineada con el eje axial del tubo y

asumiendo condiciones simétricas de flujo, se escoge como geometría del dominio

computacional un cilindro cortado por el eje axial de longitud mayor o igual a 50d, tal como se

muestra en la Figura 4.2a.

Un sistema de malla no uniforme estructurado por bloques con elementos hexaédricos

fue empleado para discretizar el dominio computacional, como se muestra en las Figuras 4.2a

y 4.2b/c. Este sistema de malla estructurada tiene cinco bloques que forman todo el dominio

cilíndrico computacional. La distribución de la malla en la circunferencia del cilindro es

refinada en la zona de la periferia y va aumentando en dirección al centro.

Figura 4.2a: Geometría y malla para CFD

60

Figura 4.2b: Geometría y malla

sección transversal Figura 4.2c: Geometría y malla sección longitudinal.

4.3 Verificación del modelaje (malla)

4.3.1 Estudio de Sensibilidad de la Malla

Se realizó el estudio de la independencia del mallado para seleccionar la distribución

óptima de los elementos en la misma para esta investigación. Este estudio de sensibilidad fue

basado en el error relativo, Ec. [4.2], que existe entre la comparación de los resultados de una

variable crítica (fracción volumétrica, velocidad de la mezcla y gradiente de presión) entre

diferentes tipos de distribución y tamaños de malla.

[4.2]

donde es la solución numérica de la malla refinada respecto a la malla previa en grosor,

para la cual la solución numérica es .

El estudio de sensibilidad de malla se realizó para dos casos:

61

El primer caso es independiente de los trabajos de Kausal et al., donde la concentración

volumétrica de sólidos es diluida con un valor de 1 %. Este caso particular fue para

determinar el efecto en la pared del tubo con parámetros como: modelo de turbulencia,

tratamiento de pared en la turbulencia y fuerza de sustentación. Estos efectos no se

podían verificar con el trabajo de Kausal et al. (2005) debido a que los resultados se

presenta a partir del 10 % del diámetro del tubo.

El segundo caso es basado en el trabajo de Kausal et al. (2005), ver Tabla 4.2 y 4.3.

Tabla 4.2: Tipos de mallas segundo caso

Número de Celdas Malla Geometría: Diámetro x Longitud = 54.9 mm x 3.00 m

Sec. Transversal

Sec. Axial

# Total Celdas

Tamaño promedio del elemento mm Altura Ancho Longitud

Gruesa 237 237 56.169 2.34 2.23 12.65 Media 415 400 166.000 1.68 1.68 7.50 Fina 727 675 490.725 1.20 1.20 4.44

Tabla 4.3: Propiedades físicas y condiciones de flujo segundo caso, Kausal et al. (2005)

Fases Continua Dispersa

Estado Líquido (agua) Sólido (partículas) Densidad kg/cm3 998.25 2465

Viscosidad Dinámica kg/ms

0.001 Por calcular

Diámetro mm --- 0.125 Concentración Volumétrica %

80 20

Velocidad m/s 2 2

El trabajo experimental de Chemloul et al. (2009), utilizó como base para la

verificación de los resultados del estudio de sensibilidad para del primer caso, donde se mide

la concentración volumétrica de sólidos para mezclas diluidas menores al 2 %, en tubería de

20 mm, con velocidades menores a 2,23 m/s y diámetro de sólidos de 130 μm, 400 μm y 700

μm. Las características de la malla y condiciones de flujo para esta verificación se muestran en

la tabla 4.4. y 4.5.

62

Los resultados de la verificación de la malla para la fase diluida o del trabajo

experimental de Chemloul et al. (2009), sirvieron para establecer y considerar el modelo de

turbulencia, tratamiento en la pared de la turbulencia y sustentación (lift) que se aplicará en

todas las simulaciones de los casos de estudio escogidos anteriormente a partir del estudio de

Kausal et al. (2005). Esta última fase de contrastación de los resultados numéricos contra los

experimentos de Kausal et al. (2005) corresponde a la llamada validación de los modelos

empleados.

Tabla 4.4: Tipos de mallas primer caso

Número de Celdas Malla Geometría: Diámetro x Longitud =20.0 mm x 1.50 m

Sec. Transversal

Sec. Axial

# Total Celdas

Tamaño promedio del elemento mm Altura Ancho Longitud

Gruesa 136 150 20.400 1.07 1.07 10.00 Media 250 250 62.500 0.79 0.79 6.00 Fina 460 416 191.360 0.58 0.58 3.50

Tabla 4.5: Propiedades físicas y condiciones de flujo primer caso, Chemloul et al. (2009)

Fases Continua Dispersa

Estado Líquido (agua) Sólido (partículas) Densidad kg/cm3 998.25 2640

Viscosidad Dinámica kg/ms

0.001 A Calcular vía TCG

Diámetro mm --- 0.130 Concentración Volumétrica %

99 1

Velocidad m/s 2.23 2.23

Como consecuencia de que la malla es no uniforme, en otras palabras, el tamaño de los

elementos en la sección transversal del cilindro es variable y la distribución de los elementos

en el eje axial es uniforme pero con una dimensión de un orden de magnitud mayor, el estudio

de sensibilidad (verificación) se realizó para estas dos secciones (trasversal y longitudinal),

comparando las variables fracción volumétrica “Cv” en el eje vertical de la sección transversal

del tubo donde el flujo está completamente desarrollado y el gradiente de presión “Dp/Dz” a

lo largo del eje axial del tubo respectivamente, tal como se muestra en las Figuras 4.3 y 4.4.

63

Se puede observar a partir de la Figura 4.3 que los efectos de refinar la malla o

disminuir el tamaño de los elementos no afecta en gran medida los resultados al comparar el

gradiente de presión en la dirección del eje axial; dicho de otra forma, la longitud del elemento

en la dirección axial no influye en los resultados del gradiente de presión permitiendo que esta

longitud pueda ser de un orden de magnitud mayor que la longitud de los elementos en la

dirección transversal.

Figura 4.3: Comparación del gradiente de presión entre diferentes tamaños de mallas,

v = 2.23 m/s; d = 0.130 mm; Cv = 1 %. (Tabla 4.4 y 4.5)

El error relativo entre las soluciones del gradiente de presión Dp/dz en la dirección

axial del tubo entre la malla gruesa de 20400 celdas o elementos y la malla mediana de 62500

celdas es constante en todos los puntos con un valor del 1.96 %, mientras que el error entre

esta malla mediana y la malla fina de 191300 celdas es de 0.99 %.

En la Figura 4.4, se observa que refinar la malla en la sección trasversal, sobre todo en

la zona cercana a la pared del tubo, tiene un efecto significativo en la obtención de los

gradientes, en mayor medida en la zonas muy cercanas a las paredes de la tubería.

-1,6E+04

-1,5E+04

-1,4E+04

-1,3E+04

-1,2E+04

-1,1E+04

-1,0E+04

-9,0E+03

-8,0E+03

-0,1 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5

DP

dZ

kg m

^-2

s^

-2

Longitud tubo m

GRADIENTE DE PRESIÓN

20.400 celdas

62.500 celdas

191.300 celdas

64

Figura 4.4: Comparación del perfil de concentración entre diferentes tamaños de malla v =

2.23 m/s; d = 0.30 mm; Cv = 1 %. (Tabla 4.4 y 4.5)

El error relativo entre la comparación de los resultados de concentración volumétrica

en la dirección vertical de la sección transversal del tubo donde el fluido se encuentra

completamente desarrollado z = 1.4 m es aparentemente uniforme excepto en la pared del

fondo de la tubería, donde se aprecia una considerable sensibilidad en los resultados con

respecto al refinamiento del mallado. Como consecuencia de aquello, el error relativo en la

comparación de los resultados de la malla gruesa respecto a la malla media en la zona cercana

a la pared del tubo Y/D < 0.1 está entre 19.0 % y 0.42 %, en la zona superior e intermedia

del tubo Y/D > 0.1 el error relativo está entre 7.40 % y 0.8 %; teniendo un error relativo

promedio entre estas dos mallas (gruesa y mediana) del 1.42 %.

El error en la comparación de la malla media y la malla fina en la zona del fondo de la

tubería Y/D < 0.1está entre 10.7 % y 0.13 %, mientras que el zona superior e intermedia Y/D

> 0.1 el error relativo está entre 4.1 % y 0.15 %, teniendo un error relativo promedio entre

estas dos mallas (mediana y gruesa) de 0.22 %.

El error relativo es mínimo para la malla más fina (Tabla 4.6), asegurando de esta

manera que los resultados son independientes del tamaño y número de elementos del dominio

discretizado.

0

0,25

0,5

0,75

1

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025

Y/D

Cv

PERFIL DE CONCENTRACIÓN z=1.4 [m]

gruesa media fina

65

Tabla 4.6: Resultados del error relativo del estudio de sensibilidad del mallado.

Error relativo %

Zona Malla

Gruesa Media (62.500 elem) Fina (191.360 elem.) (20.400 elem) Máx. Mín. Prom. Máx. Mín. Prom.

Cercano al fondo de la pared Y/D = 0.1

19.00 0.42 1.42

10.7 0.13 0.22

Intermedia de la tubería y tope

7.40 0.82 4.10 0.15

Obtenida una malla apropiada (proceso de verificación del mallado), se comparan los

resultados obtenidos en ésta con los datos experimentales, evaluando la capacidad que tiene el

modelo numérico en representar el modelo físico propuesto para esta validación.

Figura 4.5: Comparación del perfil de concentración numérico-experimental;

v = 2.23 m/s; d = 0.30 mm; Cv = 1 %

Se observa en la Figura 4.5, que existe aproximación entre las curvas de los resultados

experimentales (Chemloul et al 2009) y los resultados numéricos; el error relativo mayor se

encuentra en la zona Y/D < 0,25 cercano a la pared del fondo con un valor promedio de 14.01

%, mientas que el error relativo promedio en la zona Y/D > 0.25 es de 9.14 %. Se podría decir

que el modelo numérico con las condiciones mencionadas en la Tabla 4.5 sí representa con

buena aproximación al modelo físico del trabajo experimental de Chemloul et al. (2009)

considerado para esta validación.

0

0,25

0,5

0,75

1

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Y/D

Np/Npt

PERFIL DE CONCENTRACIÓN

Numerico

Experimental

66

Es importante mencionar que los resultados numéricos de la concentración de sólidos

están dados en fracción volumétrica, mientras que los resultados de Chemloul et al. (2009)

para la concentración de sólidos están dados en número de partículas sobre el número de

partículas totales Np/Npt, por lo que fue necesario a través de las ecuaciones [4.3] y [4.4]

trasformar los resultados de las simulaciones numéricas.

[4.3]

[4.4]

donde:

= Número de partículas a una altura Y/D en la tubería

= Número de partículas totales

= Fracción volumétrica a una altura Y/D en el tubo (simulación)

4.3.2 Efecto de la Fuerza de Sustentación

El efecto de modelar la fuerza de sustentación dentro de las ecuaciones de momento es

evaluado, comparando estos resultados con la data experimental y los resultados obtenidos

anteriormente, determinando de esta manera si es conveniente o necesario modelar o no las

fuerzas de sustentación.

En flujo multifásico se puede incluir o no los efectos de la fuerza de sustentación en la

partícula dentro de las simulaciones. Esta fuerza actúa sobre una partícula principalmente

debido a los gradientes de velocidad en el campo de flujo de la fase primaria o continua y tiene

mayor influencia sobre partículas gruesas y ultra gruesas (dp > 1000μm).

La fuerza de sustentación que actúa en una fase secundaria p dentro de una fase

primaria q es calculada desde la ecuación [4.5] (Drew y Lahey, 1993):

67

[4.5]

En la mayoría de los casos la fuerza de sustentación (lift) es insignificante comparada

con las fuerzas de arrastre (drag).

Figura 4.6: Comparación del perfil de concentración numérico con lift-experimental; v =

2,23 m/s; d = 0.30 mm; Cv = 1 %.

La Figura 4.6 muestra la comparación de los resultados cuando se modela la fuerza de

sustentación. La comparación entre los resultados experimentales y numéricos (con y sin

sustentación) permiten observar un efecto desfavorable en el uso de esta fuerza sobre la

predicción de la concentración volumétrica de sólidos, sobre todo en la zona de la pared del

tubo tanto en el fondo como en el tope, aumentando el error relativo promedio en un 6 % para

la zona Y/D < 0,1 y 11 % en la zona Y/D > 1 con respecto a los resultados experimentales (ver

Figura 4.6). Por esta razón las fuerzas de sustentación no serán modeladas.

4.3.3 Efecto del Modelo de Turbulencia k-ε en Comparación con el Modelo RSM

El modelo de turbulencia k-ε descrito en el capítulo anterior es comparado con el

modelo de turbulencia Reynolds Stress Model (RSM) desarrollado en 1975 por Launder que

pretende corregir los defectos del modelo k-ε, agregando captura de efectos anisotrópicos. El

modelo RSM establece una ecuación diferencial para cada uno de los llamados esfuerzos de

0

0,25

0,5

0,75

1

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Y/D

Np/Npt

PEFIL DE CONCENTRACIÓN

Numerico

Experimental

Numerico lift

68

Reynolds, modelando los términos de producción, difusión, transporte y rotación, incluyendo

también la ecuación para la tasa de disipación turbulenta ε (la misma del modelo k-ε). Este

modelo no se describe en esta tesis ya que no es parte del alcance.

Ventajas:

Es el modelo más general de todos los modelos RANS

Válido para muchos flujos industriales, incluyendo chorros, conductos no circulares y

flujos con gran curvatura

Inconvenientes:

Muy costoso computacionalmente (7 ec. diferenciales en 3D o 5 ec. diferenciales en

2D)

No está tan validado como el modelo k-ε

Problemas en chorros axisimétricos y flujos no confinados con recirculación

Se observa en la Figura 4.7 que el modelo de turbulencia k-ε y el modelo RSM

predicen muy similares resultados; la diferencia está en el tiempo de cálculo donde el modelo

RSM es más costoso computacionalmente. Por esta razón se conserva el modelo k-ε para las

subsiguientes simulaciones, sobre todo las correspondientes al caso de estudio de Kausal et al.

(2005).

Figura 4.7: Comparación del perfil de concentración para diferentes modelos de turbulencia;

v = 2,23 m/s; d = 0.30 mm; Cv = 1 %

0

0,25

0,5

0,75

1

0,000 0,050 0,100 0,150 0,200

Y/D

Np/Npt

Perfil de Concentración

Experimental

St_k-e_std

RSM

69

4.3.4 Efecto del Tratamiento de Turbulencia en la Pared.

El modelado cercano a la pared impacta significativamente en la fidelidad de la

solución numérica, ya que las paredes son la principal fuente de vorticidad media y de

generación de turbulencia. Después de todo, es en la región cercana a la pared que las

variables de solución tienen pendientes o gradientes más grandes. El campo de velocidad

media se ve afectada por la condición de no-deslizamiento que tiene que ser satisfecho en la

pared, por ejemplo. Por lo tanto, la representación precisa del flujo en la región cercana a la

pared determina el éxito de las predicciones de flujos turbulentos.

Los modelos k-ε, RSM, son principalmente válidos para los flujos de núcleo turbulento

(es decir, el flujo en las regiones un poco lejos de las paredes). Por ello, especial consideración

debe tenerse en cuenta para suponer modelos adecuados en flujos limitados por una pared. El

modelo k-ε estándar fue diseñado para ser aplicado en turbulencia libre, sin embargo el uso de

funciones de pared permite su aplicación en toda la capa límite, siempre que la resolución de

la malla cercana a la pared sea apropiada.

Numerosos experimentos han demostrado que la región cerca de la pared o capa límite

puede ser subdividida en tres capas. La capa más interna, llamada “subcapa viscosa”, es donde

el flujo es casi laminar y la viscosidad (molecular) juega un papel preponderante en el

momentum y la transferencia de calor o masa. En la capa más externa, llamada capa

completamente turbulenta, la turbulencia tiene un papel preponderante. Por último, hay una

región de transición entre la subcapa viscosa y la capa completamente turbulenta donde los

efectos de la viscosidad molecular y la turbulencia son igualmente importantes. La Figura 4.8

ilustra estas subdivisiones de la región próxima a la pared, trazado en coordenadas semi-

logarítmicas.

70

Figura 4.8: Subdivisión de la región cercana a la pared en flujo turbulento

Hay dos aproximaciones para modelar la región cercana a la pared. En una

aproximación la viscosidad afectada en la región interna (subcapa viscosa y la región de

transición) no son resueltas. En su lugar fórmulas semi-empíricas llamadas “funciones de

pared” son utilizadas para reducir la viscosidad de la región afectada entre la pared y la región

completamente turbulenta.

En otro enfoque, los modelos de turbulencia se han modificado para permitir que la

región afectada por la viscosidad sea resuelta con una malla en todo el camino a la pared,

incluyendo la subcapa viscosa. A los efectos de la discusión, este enfoque se denomina

"modelado cerca de la pared”. Estos dos enfoques son representados esquemáticamente en la

Figura 4.9.

capa interna

subcapa viscosa

región de mezcla

región completamente turbulenta o región ley-logarítmica

capa exterior

límite superior depende del No. Reynolds

71

Figura 4.9: Esquemas para modelar la región cercana a la pared

En la mayoría de flujos con alto número de Reynolds, el enfoque de la función de

pared sustancialmente ahorra recursos computacionales, debido a que la viscosidad de la pared

afectada cerca de la región, en el que la solución de las variables cambian más rápidamente, no

necesitan ser resueltos. El enfoque de función de pared es popular porque es económico,

robusto, y puede ser bastante preciso.

Se realizó la comparación entre dos funciones de pared: funciones de pared estándar y

funciones de pared escalables para poder escoger la función que mejor se ajuste en las

simulaciones siguientes.

Las funciones de pared estándar están basadas en el trabajo de Launder y Spalding

(1974), y han sido ampliamente utilizadas para estimar el campo de velocidad media, se

representa con la ecuación [4.6] y también es conocida como ley logarítmica.

[4.6]

regi

ón

turb

ulen

ta

región de mezcla y subcapa

Tratamiento con función de pared

Tratamiento con modelo cercano a la pared

La capa viscosa no es resulta; en su lugar se usa la función de pared, útil para alto número de Reynolds

La región cercana a la pared es resuelta y el modelo de turbulencia debería ser resuelto en esta region

72

donde:

[4.7]

es la velocidad adimensional

[4.8]

siendo la distancia adimensional desde la pared

= Constante de von Kármán (=0,4187)

E = Constante empírica (=9.793)

= Velocidad promedio del fluido en el nodo P cercano a la pared

= Energía cinética turbulenta en el nodo P cercano a la pared

= Distancia desde el nodo P a la pared

= Viscosidad dinámica del fluido

La ley logarítmica para velocidad media se sabe que es válida para 30 < < 300.

El propósito de las funciones de pared escalables es forzar el uso de la ley logarítmica

junto con el enfoque de la función de pared estándar. Esto se logra introduciendo un límite en

los cálculos de tal que:

[4.9]

donde debe ser igual a 11.225. El uso de la ecuación [4.9] en el contexto del concepto de

función de pared escalable es sencillo, es decir, la formulación empleada para cualquier

fórmula de función de pared estándar es remplazada por .

73

Figura 4.10: Comparación del perfil de concentración para diferentes tratamientos de

turbulencia en la pared; v = 2,23 m/s; d = 0.30 mm; Cv = 1 %

La Figura 4.9 muestra la comparación de los resultados utilizando funciones de pared

estándar y funciones de pared escalables, con el modelo de turbulencia k-ε y el RNG-k-ε o de

re-normalización k-ε. Se observa que existe un considerable efecto en la zona cercana a la

pared del tubo donde los resultados son completamente diferentes entre sí, pero el modelo k-ε

de turbulencia con funciones de pared estándar es el que más se aproxima a la data

experimental. En las zona intermedia se observa una similitud entre los resultados

experimentales y los numéricos para todos los modelos explorados.

El modelo RNG-k-ε, fue derivado utilizando una rigurosa técnica estadística llamada

Teoría de Re-normalización de Grupo, que es similar al modelo estándar k-ε, pero incluye los

siguientes refinamientos:

El modelo RNG tiene un término adicional en la ecuación de la tasa de disipación

turbulenta que mejora considerablemente la precisión de los flujos rápidamente

forzados.

El efecto de los vórtices sobre la turbulencia está incluido en el modelo RNG para

mejorar la precisión.

La teoría RNG proporciona una fórmula analítica para números de Prandtl turbulentos,

mientras que el modelo estándar k-ε usa valores constantes especificados por el

usuario.

0

0,25

0,5

0,75

1

0,000 0,050 0,100 0,150 0,200

Y/D

Np/Npt

PERFIL DE CONCENTRACIÓN

Experimental

St_k-e_std

k-e_st_fn_scl

Ke_RNG_fn_std

74

Mientras que el estándar k-ε es un modelo de alto número de Reynolds, la teoría RNG

proporciona una fórmula diferencial analítica derivada de la viscosidad efectiva que da

cuenta de los efectos para bajo número de Reynolds. El uso eficaz de esta función, sin

embargo, depende de un tratamiento adecuado de la región próxima a la pared.

Comparando los resultados entre el modelo de turbulencia k-ε y el RNG k-ε con

funciones de pared estándar, los efectos son desfavorables para el modelo RNG k-ε,

concluyendo finalmente después de analizar lo anteriormente detallado, que el modelo k-ε con

funciones de pared estándar y sin considerar las fuerzas de sustentación es el esquema que

mejor se aproxima y representa la realidad experimental considerada en este estudio.

4.4 Estrategia de Simulación, Condiciones Iniciales, Convergencia y Error

Estableciendo las condiciones basadas en los resultados anteriores, se realizan las

simulaciones para los casos de estudio escogidos en la Tabla 4.1; para esto, se plantea una

estrategia de simulación, que es un procedimiento que se aplica para realizar el análisis y

obtener resultados en tiempos de simulación menores, además de ayudar a la convergencia en

la solución de las ecuaciones. Esta estrategia de simulación es única para cada caso y depende

de las condiciones de flujo, características del fluido y del tipo de problema a analizar.

Considerando que se trata de analizar flujo multifásico (sólido-líquido) y que las

ecuaciones (continuidad, momento, turbulencia, fracción volumetría y temperatura granular)

se resuelven para cada fase, donde además se considera la interacción entre éstas, se

establecieron dos etapas en esta simulación para favorecer la obtención de resultados y la

convergencia de la solución en cada una de las ecuaciones

La primera, una simulación de flujo monofásico resolviendo solamente las ecuaciones

de continuidad, momento y turbulencia de la fase líquida (agua), obteniendo así el campo de

velocidades de esta fase en todo el dominio. Este campo de velocidades sirve como condición

inicial o semilla para la segunda fase donde se activa la ecuación de fracción volumétrica y

temperatura granular, resolviéndose todas las ecuaciones para ambas fases.

Las condiciones de borde para la primera etapa de simulación se establecieron igual a

las condiciones experimentales del trabajo de Kausal et al. (2005). En particular, la condición

en la entrada es la velocidad promedio del flujo, en el borde de pared del tubo la condición es

75

de no-deslizamiento, para la sección simétrica se emplea condición de simetría y para la

condición de salida se escoge una presión de referencia (atmosférica en este caso).

Para la segunda etapa de simulación (flujo multifásico), se cambia solamente la

condición de entrada de velocidad de flujo se pasa ahora a flujo másico correspondiente a cada

fase. La condición en la pared se establece con el coeficiente de especularidad para la fase

dispersa, al igual que se ajusta el valor de temperatura granular en la pared; todo lo demás

queda igual a la primera etapa.

La convergencia y los errores normalizados aceptados en las simulaciones fueron del

orden de 10-5 para las ecuaciones de momento, turbulencia, fracción volumétrica y

temperatura granular. La ecuación de continuidad tuvo dificultad para que convergiera

alcanzando una cota de error de 10-3. Sin embargo, la diferencia del flujo másico total entre la

entrada y salida no excedió el 0.75 % para todas las corridas.

Se utilizó al inicio un esquema de segundo orden Upwind para la discretización

espacial del término convectivo como primera aproximación. Luego se cambió por un

esquema de orden superior QUICK. El modelo matemático fue implementado en ANSYS-

Fluent v.12.0, donde se monitorearon los residuales y se ajustaron la temperatura granular y la

viscosidad friccional del modelo TCG para determinar el efecto que causan en los resultados.

El tiempo promedio de simulación estuvo alrededor de las 8 horas para cada caso de estudio y

fue llevado a cabo en un procesador Intel Core 2 Duo de 2.4MHz con una memoria RAM de

3GB, en el Laboratorio de Mecánica de Fluidos de la Universidad Simón Bolívar.

4.5 Resultados Obtenidos

Las tablas 4.7, 4.8, 4.9 muestran las condiciones para el análisis numérico de flujo de

mezcla (sólido-líquido) con un diámetro de partículas de 0.125 mm, replicando los datos de

Kausal et al. (2005)

76

Tabla 4.7: Condiciones de velocidad y concentración para diámetro de 0.125 mm. DIAMETRO DE SÓLIDO = 0.125 mm

Velocidad 10 m/s

20 m/s

30 m/s Conc. Vol.

10 % X 20 % X X X 30 % X

Tabla 4.8: Condiciones de velocidad y concentración para diámetro de 0.440 mm.

DIAMETRO DE SÓLIDO = 0.440 mm Velocidad 10

m/s 20 m/s

30 m/s Conc. Vol.

10 % X 20 % X X X 30 % X

Tabla 4.9: Condiciones de velocidad y concentración para diámetros de 0.440+0.125 mm. DIAMETRO DE SÓLIDO = 0.440+0.125 mm Velocidad 10

m/s 20 m/s

30 m/s Conc. Vol.

20 % X X X 30 % X

4.5.1 Efecto de la Temperatura Granular en la Pared

La Figura 4.11 presenta los resultados del estudio numérico analizando el efecto de la

temperatura granular en la pared para diámetros de partículas 0.125 mm, 0.440 mm,

0.440+0.125 mm, respectivamente, con los parámetros definidos en las secciones anteriores.

El valor por defecto de la temperatura granular en la pared es de 1.0e-08, el cual es muy bajo.

No obstante, esto tiene mucho sentido ya que es consecuencia del alto empaquetamiento de

partículas y la débil fluctuación de las partículas en la zona de la pared. Este término se va

ajustando a un valor mayor que 1.0e-05, produciendo con este incremento, un aumento de la

fluctuación de las partículas en la pared de la tubería.

77

Figura 4.12: Comparación del perfil de concentración con el efecto de la temperatura

granular en la pared; Cv = 20 %; v = 3 m/s; d = 0.440 mm

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 10 20 30 40 50 60

Y/D

Cv [%]

Experimental Vel 3 [m/s] T.G. 1.0e-5 [m2/s2]

T.G. 1.0e-8 [m2/s2]


granular en la pared; Cv = 20 %; v = 2 m/s; d = 0.125 mm

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 10 20 30 40

Y/D

Cv [%]


T.G. 1.0e-8 [m2/s2]



78


granular en la pared; Cv = 20 %; v = 2 m/s; d = 0.440 + 0.125 mm

En las Figuras 4.11; 4.12 y 4.13 se aprecia que la temperatura granular en la pared al

tener un valor muy bajo para la fase continua produce mayor concentración de sólidos en el

fondo en comparación con los resultados experimentales; el valor para la simulación que

mejor se ajusta a estos resultados es 1.0e-05.

Para partículas de 0.125 mm de diámetro, un valor muy bajo de la temperatura granular

en la pared causa mayor efecto negativo sobre los resultados en comparación con las

simulaciones de 0.440 mm y 0.440 + 0.125 mm de diámetro. Esto se debe a que el efecto

gravitacional, comparado al arrastre, es mucho mayor en partículas de gran tamaño y por lo

tanto, las partículas más pequeñas son arrastradas con mayor facilidad. Análogamente, las

partículas más grandes, son más afectadas por la gravedad que por el arrastre, propiciándose

su rápido depósito en la pared inferior de la tubería. Para la mezcla de sólidos de dos tamaños

(0.440 + 0.125 mm) las partículas más pequeñas pueden ocupar los intersticios que dejan las

partículas grandes al empaquetarse, aumentando así el factor neto de empaquetamiento y la

concentración de sólidos en las paredes.

En las simulaciones para el caso anterior de Chemloul (2009) este efecto fue

despreciable debido al valor muy bajo de fracción volumétrica (1%) de los sólidos presentes.

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 10 20 30 40 50

Y/D

Cv [%]



T.G. 1.0e-8 [m2/s2]

79

4.5.2 Efecto del Término Friccional en el Tensor de Esfuerzos de la Fase Sólida

Definido el valor del término de temperatura granular como condición de borde en la

pared del tubo, se procede a estudiar la influencia del coeficiente de viscosidad friccional

dentro del tensor de esfuerzos de la fase sólida sobre la distribución de la concentración de

sólidos con respecto a la data experimental.

En las Figuras 4.14 y 4.15 se observa la comparación de los resultados incluyendo y

sin incluir el coeficiente friccional para diámetros de partículas de 0.125 mm y 0.440 mm,

respectivamente y la data experimental. Como se observa, hay poca influencia de este

coeficiente sobre el perfil de concentración ya que los sólidos en el fondo de la tubería se

transportan sin ejercer suficiente esfuerzo de fricción entre ellos, además que la concentración

máxima en el fondo es menor al 50 %, valor sobre el cual el efecto friccional es generalmente

más sensible. (Marval, 2009)

Figura 4.14: Comparación del perfil de concentración con el efecto del coeficiente friccional

y sin este; Cv = 20 %; v = 1 m/s; d = 0.125 mm

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 10 20 30 40

Y/D

Cv [%]


Experimental Vel 1 [m/s] Sin Coef. Friccional

Con Coef. Friccional

80


y sin este; Cv = 10 %; v = 2 m/s; d = 0.440 mm

Para flujo de mezcla de partículas de 0.440 + 0.125 mm el efecto del término friccional

es diferente a lo encontrado anteriormente, es decir, este término ayuda a predecir con mayor

exactitud el perfil de concentración cuando la fracción volumétrica de sólidos en el fondo del

tubo es mayor al 50 % (ver Figura 4.16). Esto resulta como consecuencia de que las partículas

pequeñas ocupan los intersticios que dejan las partículas grandes en la zona cercana a la pared

del fondo, produciendo un considerable esfuerzo de fricción entre las partículas que es

calculado correctamente al incluir el término de viscosidad friccional dentro del tensor de

esfuerzos del sólido. De hecho, hacia el centro y la parte superior de la tubería, el coeficiente

friccional desmejora la predicción, toda vez que en dicha zona la concentración de partículas

sólidas es menor.

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 10 20 30 40

Y/D

Cv [%]




81


y sin éste; Cv = 20 %; v = 1 m/s; d = 0.440 + 0.125 mm Verificados los parámetros recomendados para la predicción del comportamiento del

flujo sólido-líquido a través de simulación numérica como: el modelo k-ε de turbulencia

(apartado 4.3.3), funciones de pared estándar para tratamiento de turbulencia en la pared

(apartado 4.3.4) y establecido los términos y valores que influyen en el comportamiento de

éste tipo de flujo como: no consideración de la fuerza de sustentación, el valor de la

temperatura granular como condición de pared para la fase dispersa y el empleo o no del

término o viscosidad friccional dentro del tensor de esfuerzos de la fase sólida, se realizan las

simulaciones con ANSYS-Fluent v12.0, para predecir el comportamiento de la concentración

de sólidos en el eje vertical de la sección transversal de tubo donde el flujo se encuentra ya

completamente desarrollado.

Los resultados que se representan en las figuras siguientes, son las soluciones

numéricas de las simulaciones, agrupadas en los términos o las variables que afectan el

comportamiento de flujo como son: concentración volumétrica, diámetro de sólidos, y

velocidad de flujo tal como se mencionó en el Capítulo II. Esta agrupación se hace en función

de una variable independiente que puede ser cualquiera de las mencionadas anteriormente,

pudiéndose observar a través de estas representaciones los cambios o las variaciones en el

perfil de concentración de sólidos en función de la variable independiente.

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 10 20 30 40 50 60

Y/D

Cv [%]




82

4.5.3 Efecto del Diámetro de las Partículas

Las Figuras 4.17, 4.18, 4.19, representan el perfil de concentración de sólidos para flujos con

fracción volumétrica del 10 %, 20 %, 30 % respectivamente, es observa la influencia de

tamaño de las partículas en la configuración del régimen de flujo (homogéneo, heterogéneo,

saltación) manteniendo constante la velocidad del fluido a 2 m/s.

Figura 4.17: Perfiles de concentración en función del diámetro de las partículas; v = 2 m/s;

Cv = 10 %

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 10 20 30 40 50

Y/D

Cv [%]


d = 0.125 [mm]

d = 0.440 [mm]

seudo homogéneo

heterogéneo

83


Cv = 20 %


Cv = 30 %

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 10 20 30 40 50

Y/D

Cv [%]


d = 0.125 [mm] d = 0.440 [mm] d = 0.125+0.440 [mm]

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 10 20 30 40 50

Y/D

Cv [%]


d = 0.125 [mm] d = 0.440 [mm] d = 0.125+0.440 [mm]

seudo homogéneo

heterogéneo

heterogéneo

seudo homogéneo

heterogéneo-saltacion


84

Cuando la mezcla sólido-líquido está constituida de partículas finas de diámetro 0.125

mm en las condiciones mencionadas anteriormente, el flujo es dominado por régimen seudo-

homogéneo, manteniéndose un valor de concentración promedio a lo largo de tubo igual al

valor de la fracción volumétrica inicial de la fase sólida en el fluido bifásico: 10 %, 20 % y 30

%.

Con el incremento del diámetro de partículas a 0.440 mm, el régimen de flujo cambia

drásticamente de seudo-homogéneo a heterogéneo-saltación y saltación donde la

concentración en el fondo de la tubería se incrementa considerablemente entre un 300 %, 100

% y 50 % con respecto al valor de fracción volumétrica inicial de la fase sólida en la mezcla

que era de 10 %, 20 % y 30 %, respectivamente. Asimismo, en la zona cercana a la parte

superior de la tubería el valor de concentración está entre 0,1 y 1 % para todas las

concentraciones consideradas (ver Figuras 4.17, 4.18, 4.19).

En una mezcla líquido-sólido con partículas de diferente diámetro: 0.125 + 0.440 mm

distribuidas en igual porcentaje para una fracción volumétrica determinada (Figuras 4.18 y

4.19), se observa que el régimen de flujo es heterogéneo, la concentración en el fondo del tubo

disminuye en un 10 % con respecto al flujo con partículas de 0.440 mm de diámetro y la

concentración aumenta considerablemente en la zona cercana a la parte superior como

consecuencia de la homogeneidad de flujo con partículas de 0.125 mm.

4.5.4 Efecto de la Fracción o Concentración Volumétrica de la Mezcla


partículas de diámetros 0.125 mm, 0.440 mm y la mezcla de los dos diámetros 0.125 + 0.440

mm, respectivamente. Se observa la influencia del aumento de la fracción volumétrica de

sólidos de la mezcla inicial, sobre el perfil de concentración desarrollado, manteniendo

constante la velocidad del fluido a 2 m/s.

85

Figura 4.20: Perfiles de concentración en función de la fracción volumétrica; d = 0,125 mm;

v = 2 m/s

Figura 4.21: Perfiles de concentración en función de la fracción volumétrica; d = 0,440 mm;

v = 2 m/s

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 10 20 30 40 50

Y/D

Cv [%]


Cv 10%

Cv 20%

Cv 30%

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 10 20 30 40 50

Y/D

Cv [%]


Cv 10%

Cv 20%

Cv 30%

seudo homogéneo

heterogéneo

heterogéneo-saltación

86

Figura 4.22: Perfiles de concentración en función de la fracción volumétrica; d = 0,125 +

0,440 mm; v = 2 m/s

La influencia del cambio de fracción volumétrica en los perfiles de concentración para

los diferentes diámetros de partículas y la mezcla de estos, tiene poco efecto en la

configuración del régimen de flujo, para condiciones de diámetro de sólidos y velocidad de

flujo establecida. El incremento de la fracción volumétrica produce un desplazamiento de la

curva del perfil de concentración, tal como se observa en las Figuras 4.20, 4.21, 4.22, donde el

régimen de flujo respectivo trata de mantenerse.

4.5.5 Efecto de la Velocidad de la Mezcla


partículas de diámetros 0.125 mm, 0.440 mm y la combinación de los dos diámetros 0.125 +

0.440 mm, respectivamente. Se observa la influencia del incremento de la velocidad del flujo

en la configuración del régimen de flujo (homogéneo, heterogéneo, saltación) manteniendo

constante la fracción volumétrica de sólidos en 20 %.

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 10 20 30 40 50

Y/D

Cv [%]


Cv 20%

Cv 30%

heterogéneo

87

Figura 4.23: Perfiles de concentración en función de la velocidad del fluido; d = 0,125 mm;

Cv = 20 %

Figura 4.24: Perfiles de concentración en función de la velocidad del fluido; d = 0,440 mm;

Cv = 20 %

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 10 20 30 40 50

Y/D

Cv [%]


V = 1[m/s]

V = 2[m/s]

V = 3[m/s]

seudo homogéneo

heterogéneo

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 10 20 30 40 50

Y/D

Cv [%]


V = 1[m/s]

V = 2[m/s]

V = 3[m/s]

lecho movil


88

Figura 4.25: Perfiles de concentración en función de la velocidad del fluido; d = 0,125 +

0,440 mm; Cv = 20 %

Como se mencionó en el Capítulo II, la velocidad del fluido es también un parámetro

muy influyente en la configuración del régimen de flujo, al igual que el diámetro de las

partículas tal como se apreció en los resultados anteriores.

Los efectos de la turbulencia en el flujo están relacionados directamente con la

velocidad, sabiendo que la turbulencia es el medio que levanta y mantiene suspendidas las

partículas en un flujo de mezcla sólido-líquido, en consecuencia, a mayor velocidad, el flujo es

dominado por régimen homogéneo, mientras que si la velocidad disminuye gradualmente el

régimen de flujo también cambia progresivamente de homogéneo a heterogéneo para

partículas finas como se ve en la Figura 4.23.

Para flujo con partículas de diámetro mediano 0.440 mm (ver Figura 4.24), donde el

flujo esta en régimen heterogéneo para velocidad máxima de 3 m/s, una disminución de la

velocidad hace que el régimen cambie a saltación, donde los sólidos se trasportan como un

lecho móvil.

Un flujo de mezcla sólido-líquido con una combinación de diámetro de partículas tal

como se observa en la Figura 4.25 a una velocidad baja (de 1 m/s) origina un régimen de flujo

en saltación con una concentración en el fondo de la tubería mayor al 50 % constituido por

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 10 20 30 40 50 60

Y/D

Cv [%]


V = 1[m/s]

V = 2[m/s]

V = 3[m/s]

Lecho movil

heterogéneo

Heterogéneo

89

partículas medianas y finas. Los esfuerzos de fricción entre estas partículas son muy altos y el

término de viscosidad friccional no es despreciable como en los casos anteriores. Se aprecia

que debido a que la velocidad aumenta progresivamente, la turbulencia va levantando y

suspendiendo las partículas localizadas en el fondo de la tubería, produciendo una disminución

de la concentración en esta zona y cambiando el régimen de flujo de saltación o lecho móvil a

heterogéneo, el cual es más conveniente para trasportar sólidos a través de medios líquidos por

tubería.

Los resultados de forma independiente o no agrupados se pueden ver en el Anexo 1,

donde se observa la comparación con los resultados experimentales del trabajo de Kausal et al.

(2005), confirmando de esta manera que el modelo numérico mencionado en este trabajo de

investigación logra predecir con gran exactitud el comportamiento del flujo sólido-líquido en

régimen heterogéneo y saltación.

CAPÍTULO V

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

5.1 Conclusiones

En el presente trabajo se presenta el modelaje vía CFD del flujo partículas-líquido,

empleando enfoque Euleriano-Euleriano y considerando las partículas como una fase

continua. Se utilizó una extensión de la Teoría Cinética Granular aplicada al transporte de

mezclas partículas-líquido presentado por Hernández et al. (2008) y Ekambara et al. (2009).

Se consideraron regímenes de flujo heterogéneo y saltación, mezcla de partículas de diferente

diámetro, y un sub-modelo friccional para describir el contacto sostenido entre partículas que

ocurre en el fondo de la tubería.

Los resultados demuestran que el modelo propuesto predijo los perfiles de

concentración de partículas en el eje vertical de la sección transversal de la tubería en la región

donde el flujo se encuentre en régimen completamente desarrollado y en condición

estacionaria.

Fueron determinados los factores que mejor ajustan el modelo para la simulación

numérica de este tipo de flujo y la predicción de los perfiles de concentración como: el modelo

de turbulencia, tratamiento de turbulencia en la pared, fuerza de sustentación, temperatura

granular en la pared y la viscosidad friccional dentro del tensor de esfuerzos de la fase sólida.

La temperatura granular como condición de pared fue considerada para dos posibles

valores: el valor por defecto y un valor tres órdenes de magnitud mayor. El valor mayor

resultó apropiado para promover el nivel de agitación suficiente en las partículas adyacentes a

la pared. De hecho, este valor establece la magnitud de las fluctuaciones de la velocidad de las

91

partículas adyacentes a la pared para el tensor de esfuerzos de la fase sólida, logrando así

resultados acordes con la data experimental.

La activación del término friccional entre los componentes de la viscosidad de la fase

sólida aplicando el método TCG, demostró que ejerce mayor influencia en soluciones con

sólidos de diferente diámetro y concentración en el fondo de la pared del tubo sobre el 50%.

Se observó que este término está muy relacionado con el aumento en el factor de

empaquetamiento debido a que las partículas pequeñas ocupan los espacios o intersticios entre

las partículas grandes aglomeradas en el fondo, produciéndose mayores esfuerzos de fricción

en comparación con los casos en donde la concentración en el fondo de la tubería es menor al

40%.

El efecto del tamaño de las partículas es bastante significativo en la determinación de

los perfiles de concentración, ya que los efectos de las fuerzas gravitacionales son

considerables con respecto a las fuerzas inerciales y de arrastre para partículas de mediano

tamaño. Esto ocasiona que para un flujo con partículas medianas (> 0.200 mm), la mayor

concentración de sólidos se encuentre por debajo del eje de la tubería, mientras que para

partículas finas el régimen de flujo homogéneo sea el que prevalezca.

La velocidad del fluido es otro factor significativo en la determinación del régimen de

flujo. Se evidenció el efecto de la turbulencia cuando aumenta la velocidad sobre un valor

crítico haciendo que las partículas se eleven, se suspendan y se transporten en el medio

líquido.

La fracción volumétrica es un factor que no influye considerablemente en la

configuración del régimen de flujo cuando la velocidad permanece constante. Sin embargo, el

aumento de este parámetro produce un desplazamiento del perfil de concentración

incrementando su valor, pero conservando en gran parte el régimen de flujo inicial.

La simulación del flujo sólido-líquido con la combinación de partículas de diferente

diámetro muestra resultados muy interesantes y favorables para el trasporte de mezclas ya que

el perfil de concentración tiende a mantenerse heterogéneo para velocidades mayores a 2 m/s,

representando un punto intermedio entre trasportar sólidos en régimen homogéneo con

partículas de 0.125 mm y sólidos en régimen heterogéneo-saltación con partículas de 0.440

mm en iguales condiciones de velocidad y concentración.

92

5.2 Recomendaciones

Para logar la continuidad de esta línea de investigación sobre transporte de sólidos en

líquidos, a continuación se elabora una lista razonada de puntos que pueden ser de interés.

Se recomienda la cuantificación del efecto de la condición de borde utilizada aguas

arriba del dominio computacional, esta recomendación se basa en el hecho de que pudiesen

estarse incorporando efectos no deseados por la imposición de un perfil uniforme de flujo a la

entrada de la tubería, que no pueda ser contrarrestado con le técnica de la aplicación de

longitudes de desarrollo colocadas artificialmente en el dominio.

Conscientes de que la turbulencia y en especial en las regiones cerca de las paredes es

un fenómeno difícil de reproducir a través de los modelos existentes en la literatura, sin

embargo, en pro de demostrar que aún con métodos de complejidad moderada se puede lograr

un entendimiento de la realidad, que a posterior permita diseñar nuevos procesos, en este

trabajo se optó por utilizar la utilización del modelo k-e en conjunción con el modelo

denominado función de pared, el cual evidentemente va a establecer un patrón de turbulencia

en estas regiones que pudiera no ser el real. En este sentido se recomienda para la realización

de futuros trabajos el estudio específico de la influencia de los modelos de turbulencia en

fenómenos de transporte de sólidos en líquidos y en particular en aquellas zonas cercanas a la

pared.

Dentro de la complejidad del problema estudiado, se identificó que la variable

temperatura granular utilizada como condición de borde e inicial del sistema tiene un efecto

sobre el comportamiento global del lecho móvil, no obstante, las simulaciones sólo

permitieron la calibración de un valor especifico de esta variable acorde con los experimentos

utilizados como referencia. De la misma forma se presume que la intensidad de la turbulencia

utilizadas como condiciones de borde deba tener un efecto similar en el entendido que ambas

variables representan fuentes de energía “vibratorias” para las partículas, por ende se sugiere

que en próximos estudios la caracterización del proceso en función de estas variables sea

realizado.

Es importante notar dado el objetivo general de esta investigación que los resultados

mostrados y discutidos a lo largo de este trabajo, corresponden al montaje experimental

93

reportado por Kausal et al. (2005), y que para lograr su extrapolación a cualquier otro

escenario con diferentes dimensiones, velocidad o concentraciones de sólidos es necesario

desarrollar un análisis dimensional que abarque las relaciones entre los fenómenos físicos que

intervienen en este proceso. De tal manera que se determine cuales son las variables

adimensionales que rigen la extrapolación del proceso global de transporte de sólidos en

líquidos.

REFERENCIAS

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93

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[13] Ekambara K., Sanders R S.., Nandakumar K., Masliyah J. H., “Hydrodynamic Simulation of Horizontal Slurry Pipeline Flow Using ANSYS-CFX”, Department of Chemical and Materials Engineering, University of Alberta, Edmonton, AB, Canada, T6G 2G6 Ind. Eng. Chem. Res. 2009, 48, 8159–8171, 2009.

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[20] Syamlal, M., and O’Brien, T. J., 1989, “Computer Simulation of Bubbles in a Fluidized Bed”. AIChE Symp. Series, 85:22–31.

[21] Syamlal, M., Rogers, W. and O’Brien, T. J., 1993, MFIX Documentation: Volume 1, Theory Guide National Technical Information Service, Springfield, VA, DOE/METC-9411004, NTIS/DE9400087.

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[24] Johnson, P. C. and Jackson, R., 1987, “Frictional-Collisional Constitutive Relations for Granular Materials, with Application to Plane Shearing”. J. Fluid Mech., 176:67– 93.

94

[25] Ocone, R., Sundaresan, S. and Jackson, R., 1993 “Gas-particle flow in a duct of arbitrary inclination with particle-particle interaction”. AIChE J., 39:1261–1271.

[26] ANSYS FLUENT v.12.0, 2009, Theory Guide, Chap. 16.

ANEXO NO. 1VALIDACIÓN NUMÉRICO-EXPERIMENTAL DEL TRABAJO DE KAUSAL ET AL. (2005), (CASOS DE ESTUDIO NO

MOSTRADOS EN LOS RESULTADOS ANTERIORES)

Anexo 1a: Validación perfil de concentración numérico-experimental; Cv = 10 %; v = 2 m/s; dp = 0.125 mm

Anexo 1b: Validación perfil de concentración numérico-experimental;

Cv = 20 %; v = 3 m/s; dp = 0.125 mm

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 10 20 30 40

Y/D

CV [%]


Experimental Numerico

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 10 20 30 40

Y/D

Cv. [%]


Experimental Numérico

96

Anexo 1c: Validación perfil de concentración numérico-experimental;

Cv = 30 %; v = 2 m/s; dp = 0.125 mm

Anexo 1d: Validación perfil de concentración numérico-experimental;

Cv = 20 %; v = 2 m/s; dp = 0.440 mm

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 10 20 30 40

Y/D

Cv [%]



0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 10 20 30 40 50

Y/D

Cv. [%]



97

Anexo 1e: Validación perfil de concentración numérico-experimental;

Cv = 30 %; v = 2 m/s; dp = 0.440 mm

Anexo 1f: Validación perfil de concentración numérico-experimental; Cv = 20 %; v = 1 m/s; dp = 0.440 mm

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 10 20 30 40 50

Y/D

CV [%]



0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 10 20 30 40 50

Y/D

Cv. [%]

Perfil de Concentracion


98

Anexo 1g: Validación perfil de concentración numérico-experimental;

Cv = 30 %; v = 2 m/s; dp = 0.125 + 0.440 mm

Anexo 1h: Validación perfil de concentración numérico-experimental;

Cv = 20 %; v = 3 m/s; dp = 0.125 + 0.440 mm

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 10 20 30 40 50 60

Y/D

Cv [%]



0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 10 20 30 40 50 60

Y/D

Cv [%]



cfd

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