METODO DE ESCALAMIENTO DE LA AERONAVE CESSNA 172 PARA LA DEERMINACION DE LA ESTABILIDAD ESTATICA

Carol Juliana Barajas Rosero Sergio Dario Grijalba Castro

Santiago Herrera Palacio

Ingeniero Pedro Jiménez

Universidad de San Buenaventura Facultad de Ingeniería

Dinámica de vuelo Bogotá D.C.

2013

1. INTRODUCCIÓN

El siguiente taller pretende la aplicación sobre los conceptos de estabilidad estática de un

avión contribuido por el fuselaje; aplicándolos a un avión tipo FAR 25 que es el Cessna 172

Skyhawk el cual se pide como parámetro principal su escalamiento real al de un modelo

que cumpla con la relación 1:7 en las longitudes a la vez para este procedimiento se

establece procesos de escalamiento y similitud para modelos de pruebas ya sean en

programas CFD, rendimientos y estabilidad, ensayos en túneles de viento, y estudios

supersónicos, y aeroelasticos según las leyes y modelos establecidos por varios autores

entre ellos la NASA.

2. OBJETIVOS

Objetivo General

Determinar la metodología de escalamiento de aeronaves, con el fin de evaluar el

comportamiento de la estabilidad estática de una aeronave CESSNA 172 a una escala de 1:7.

Objetivos Específicos

Realizar Análisis Crítico de las lecturas sobre los métodos de escalamiento y similitud en

una aeronave para simulación en diferentes ambientes.

Hacer el escalamiento para el modelo y la similitud de los parámetros de pruebas con

respecto a las condiciones reales del Cessna 172

Analizar la estabilidad estática del Cessna 172 que es contribuida por el fuselaje.

Determinar si el modelo cumple con las condiciones o similitudes de la aeronave real y si

hay cambios en estos, y hasta dónde puede llegar la similitud por el método del Número

de Froude.

3. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA

Una de las posibles soluciones aeronáuticas frente al análisis de aeronaves es el

escalamiento, esto se hace con el fin de analizar el comportamiento de esta sin

necesidad de construirla a escala real, estos modelos escalados son estudiados en

túneles de viento dando como resultado comportamientos análogos a su

correspondiente modelo real.

El problema a desarrollar en el siguiente informe, pretende demostrar lo mencionado

anteriormente por medio del estudio de la contribución del fuselaje de un Cessna 172,

con un escalamiento de 1:7

4. DESARROLLO DEL PROBLEMA

REVISON LITERARIA (Similitude Requirements for Forces and Moments)

De acuerdo al paper técnico de la NASA No 1435 sobre los requerimientos de similitud y relaciones

de escala aplicados a modelos de prueba. En la sección de “Similitude Requirements for Forces

and Moments” se describe los parámetros para hallar similitudes entre los modelos a escala de la

aeronave en prueba y la de tamaño real; en la cual entran desde Fuerzas, momentos y los

coeficientes y la forman de hacer la relación es por medio del método de similitud de Lord

Rayleigh en donde se determina que para las fuerzas como los momentos se estipulo que fue

expresado en términos de los coeficientes aerodinámicos, de tal forma que estos coeficientes

quedaron expresados en función de 14 parámetros de dimensión los cuales son: propiedades del

fluido, las propiedades del aeronave.

Dentro de las ecuaciones de similitud se encuentra que para en este caso se simplifican un poco ya

que lo que se quiere mirar es la relación de la estabilidad estática del fuselaje en el modelo

escalado con el real.

𝐶𝐿 = 𝐶𝐿𝑢

∆𝑢

𝑉+ 𝐶𝐿𝛼

∆𝛼 + 𝐶𝐿𝑞

𝑞𝑐̅

2𝑉+ 𝐶𝐿�̇�

�̇�𝑐̅

2𝑉+ 𝐶𝐿𝛿𝑒

𝛿𝑒 + 𝐶𝐿�̇�𝑒

�̇�𝑒𝑐̅

2𝑉

Aplicándolo a al problema la ecuación se simplifica y queda de la siguiente manera:

𝐶𝐿 = 𝐶𝐿𝑢

∆𝑢

𝑉+ 𝐶𝐿𝛼

∆𝛼 + 𝐶𝐿𝑞

𝑞𝑐̅

2𝑉

Igualmente aplica al de momentos:

𝐶𝑚 = 𝐶𝑚0+ 𝐶𝑚𝑢

∆𝑢

𝑉+ 𝐶𝑚𝑎

∆𝛼 + 𝐶𝑚𝑞

𝑞𝑐̅

2𝑉+ 𝐶𝑚�̇�

�̇�𝑐̅

2𝑉+ 𝐶𝑚𝛿𝑒

𝛿𝑒 + 𝐶𝑚�̇�𝑒

�̇�𝑒𝑐̅

2𝑉

Aplicándolo a al problema la ecuación se simplifica

𝐶𝑚 = 𝐶𝑚0+ 𝐶𝑚𝑎

∆𝛼 + 𝐶𝑚𝑞

𝑞𝑐̅

2𝑉

Desarrollando el proceso algebraico de las relaciones entre velocidades y condiciones atmosféricas

dinámicas para el modelo se determinan que hay más de tres parámetros de similitud que son;

Número de Reynolds, Número de Strouhal, Número de Mach, y la aeroelasticidad de torsión

deformación.

Numero Reynolds

El número de Reynolds es la relación de fuerzas de inercia del fluido a la fuerza viscosa

de este, en la capa límite del fluido. De tal manera que es un parámetro importante en

la determinación de la similitud dinámica de flujo alrededor de los modelos y las

aeronaves a gran escala. Cuándo los datos del modelo se obtienen en números mucho

más bajos que los encontrados; como resultado el número Reynolds en condiciones a

gran escala, se evidencia que las fuerzas de inercia del fluido en el modelo son mucho

más baja en proporción a las fuerzas viscosas que las que en el avión a gran escala.

Como consecuencia de ello, las condiciones de flujo ya no son dinámicamente similares.

A medida que aumenta el número de Reynolds, el punto de la superficie a lo largo de la

línea de flujo en la que los cambios de la capa límite de laminar a turbulento mueve

hacia adelante.

El punto preciso se ve afectada por la geometría de la superficie o el cuerpo y por la

distribución de presiones sobre él, la rugosidad superficial y ondulación resultante, y la

magnitud de las fluctuaciones de la velocidad en la corriente de aire. Es por eso que es

difícil extrapolar los resultados de pruebas de un modelo de una transición natural; en

comparación con las pruebas realizadas a gran escala.

Numero de Mach

El número de Mach relaciona la velocidad del objeto o vehículo entre la velocidad del

sonido para un fluido compresible. Este parámetro es el que asegura la similitud de un

fluido. La principal característica de un fluido incompresible es que cambia en la presión

absoluta lo cual causa la variación de la densidad en el fluido.

Lo cual para este método se requiere tener en cuenta que los efectos de

compresibilidad a altas velocidades tanto supersónica como hipersónica, a la vez dentro

de un flujo incompresible tanto la presión como la temperatura son insignificantes por

debajo de un mach de 0.20. Lo cual para el problema no se puede solucionar por el

siguiente método.

Velocidad Angular Reducida y Número de Strouhal.

El número de Strouhal o parámetro de frecuencia reducida es utilizado para establecer

similitud para flujos inestables causados por las perturbaciones oscilatorias de la

aeronave.

La utilización de este método para este caso no es aplicable ya que las condiciones de

análisis son estables, lo que se quiere ver que es lo que tanto afecta el fuselaje dentro

de la estabilidad estática del Cessna y cambios se pueden evidenciar dentro del modelo

real y el escalado a 1:7; y este método toma más en cuenta las frecuencias de respuesta

del aeroplano ante un perturbación puede ser de clase sinusoidal.

Numero de Froude

El número de Froude a comparación de las otros métodos este en vez de utilizar

parámetros de velocidades angulares, y condiciones del fluido, lo que hace es tomar

como condiciones de escalamiento y similitud del modelo la composición geométrica y

la masa de este; lo cual dependiendo de la relación de escala se puede hallar los

parámetros de densidad del fluido, Relación de Reynolds entre el modelo a escala y el

real; velocidades, altura de vuelo, etc. Lo cual facilita y tiende a ser más fácil hallar las

similitudes tiende a proveer un poco más de información sin que se requiera hacer un

análisis matemático tan complejo, y simplifica el número de variables al modelo con

respecto a los otros métodos. Para en este caso del trabajo este el mas conveniente ya

que se asume que el cuerpo es netamente rígido; por las características de rendimiento

en vuelo es subsónico y entra dentro de un Mach entre y/o menores al 0.20.

Por lo tanto se dice que dentro de los tres primeros parámetros descritos anteriormente, no se

pueden o no son necesarios aplicarlos durante esta fase del trabajo para el Cessna 172 ya que:

Para el número de Reynolds el mismo informe dice que es complicado tratar de hacer la similitud

ya que este depende más de las condiciones del fluido que de la misma geometría y masa de la

aeronave lo cual su aplicación es demasiada restringida ya que para simular la condiciones es

necesario en vez de aire otro fluido menos denso lo cual el estudio lo hace más costoso y

complicado en la parte de la infraestructura requerida para la simulación y que esta cumpla con la

similitud. El número de MACH, y la Velocidad Angular Reducida y Número de Strouhal. No sirven

ya que primero el avión no alcanza tal magnitud de velocidad y altura, por otra parte en la

velocidad angular se analiza con base a movimientos oscilatorios y fenómenos aeroelasticos; que

en este caso el cuerpo del modelo se asume que es netamente rígido lo cual no va presentar

ningún fenómeno en su estructura aeroelasticos.

ESTABLECIMIENTO DE LAS CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS E INERCIALES DE LA AERONAVE

(Model Test Techniques and scale factor)

Para poder obtener los datos del modelo que supuestamente es directamente aplicable a la

aeronave; tanto las condiciones del modelo como las de prueba deben ser escaladas dentro de la

bases de la escala; para después poder llegar a los requerimientos de la similitud.

Ahora la técnica que se va a utilizar para este modelo es la parte de túnel de viento para cuerpos

rígidos en la cual provee características estáticas y dinámicas de modelo escalado de la aeronave y

es más versátil a la hora de escalar los parámetros. Para el modelo se debe tener en cuenta las

siguientes medidas de la aeronave real que son:

Span: 10.97m

Longitud máx.: 8.22m

Altura máx.: 2.68m

Área del ala: 16.1651m2

Peso TO: 2300Lb ≈ 1043.26Kg

Ahora se procede con el escalamiento de la aeronave real al del modelo que es de relación 1:7 por

medio del modelo de Número de Froude.

REGLAS DE ESCALAMIENTO ESTABLECIDAS (Scaling Laws Used for Model Testing)

Se quiere escalar un Cessna 172 a un 1/7 de la escala real de 1043.26Kg (2300Lb); tiene un área

alar de 16.1651m2 (174ft2) y se pretende modelarlo utilizando las bases de escalamiento de

Froude. Se asume que el cuerpo es netamente rígido de tal forma que se procede a escalar todas

las condiciones necesarias.

𝒍𝒎

𝒍𝑨= 𝟎. 𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕

𝒏 =𝟏

𝟕≈ 𝟎. 𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕

𝒍𝒎 = 𝟏. 𝟏𝟕𝟒𝟐𝟗𝒎

𝒍𝒎−𝑺𝒑𝒂𝒏 = 𝟏. 𝟓𝟔𝟕𝟏𝟒𝒎

𝒍𝒎−𝒉𝒆𝒊𝒈𝒉𝒕 = 𝟎. 𝟑𝟖𝟐𝟖𝟓𝟕𝒎

𝑽𝒎 = 𝑽𝑨 ∗ 𝒏

𝒏𝟏/𝟐

𝑽𝒎 = 𝟒𝟏. 𝟏𝟓𝟓𝟔𝒎/𝒔(𝟎. 𝟑𝟕𝟕𝟗𝟔𝟒)

𝑽𝒎 = 𝟏𝟓. 𝟓𝟓𝟓𝟒𝒎/𝒔

𝒎𝒎

𝒎𝑨= (

𝝆𝒇𝒎

𝝆𝒇𝑨

)

𝒏𝟑

𝝆𝒇𝒎

𝝆𝒇𝑨

= 𝟏 Las condiciones atmosféricas son las mismas al menos de que se cambie la altitud

𝒎𝒎

𝒎𝑨= (

𝝆𝒇𝒎

𝝆𝒇𝑨

)

𝒏𝟑

𝒈𝒎

𝒈𝑨= 𝟏 Las Condiciones Gravitacionales son las mismas

Por las condiciones anteriores de las relaciones de densidades y gravitacionales el peso del modelo

tendrá que igualar al de la aeronave para alcanzar la similitud de acuerdo a esto en la página 41

del paper de la NASA se avisa que es muy complicado que se logre satisfacer algún parámetro de

similitud que en este caso aplica la de la masa. O al menos de que se haya establecido en un

principio la restricción del peso del modelo lo cual cambia le radio de masa.

O al menos que se suponga lo siguiente que:

𝒎𝒎

𝒎𝑨=

𝟏

𝟕

𝒎𝒎 = 𝒎𝑨 ∗𝟏

𝟕

𝒎𝒎 = 1043.26𝐾𝑔 ∗𝟏

𝟕

𝒎𝒎 = 𝟏𝟒𝟗. 𝟎𝟑𝟕𝑲𝒈

Por consiguiente si 𝝆𝒇𝒎

𝝆𝒇𝑨

=𝟏

𝟕 entonces

El radio de la presión dinámica seria de 0.757307; lo cual se deduce que se tendría que

cambiar la densidad del fluido dentro de túnel del viento o dentro del sistema de

simulación para lograr alguna similitud.

En primer lugar se buscaron las dimensiones reales de la aeronave Cessna 172, luego,

se escalaron los planos en CATIA (escala 1:7), con esto se hallaron las dimensiones

generales del modelo.

Posteriormente se dividió el modelo en 15 secciones, y se hallaron las diferentes

longitudes , centroides y ángulos de incidencia de estas secciones.

Por otro lado, se analizó el ala de este modelo en el programa XFLR5 para determinar

valores como el aspect ratio, taper ratio, superficie alar.

Por último, con todos los datos obtenidos anteriormente, se desarrollaron las

ecuaciones dadas en clase dando como resultado la contribución dinámica del fuselaje

4.1. Revisión literaria

4.2. Características de escalamiento

4.3. Reglas de escalamiento de FROUDE

4.4. Evaluación de la estabilidad longitudinal estática del fuselaje

Datos de entrada obtenidos mediante CATIA, SOLID EDGE Y XFRL5

En primer lugar, se escaló la aeronave a 1:7, se tomó el fuselaje, y se dividió en 15 secciones, para

asi medir las distancias horizontales (∆x) y verticales (Bf) de cada sección

Después de ello, se calculó por medio del programa Solid Edge cada uno de los centroides de las

secciones y se trazo una tangente en cada un de ellas para hallar el ángulo de incidencia, como la

parte trasera del fuselaje es casi recta se asumió un solo ángulo para todas estas secciones

Luego se determinaron cada una de las distancias de los centroides hasta el borde de ataque en

las zonas delanteras y hasta el borde de fuga en las zonas traseras (Xli)

A continuacion se desea hallar el ∂Eu/∂α para poder determinar el CMα. Para hallar el valor de

∂Eu/∂α en las zonas delanteras cercanas, se calcula el Xli/Cfe, donde el Cfe es la distancia entre el

borde de fuga y el borde de ataque del ala que es igual a 0,2369m , los Xli se calcularon para cada

una de las secciones como se explicó en el punto anteriormente, con este resultado se hace una

interpolación en la gráfica respectiva, como se muestra en la figura, y se realiza una regla de tres

para conocer los valores como se explica a continuación.

0,1906 1 0,1571 x = 0,8204 para la sección 1 0,1906 1 0,8215 x = 4,2875 para la sección 7

Para hallar el ∂Eu/∂α de las zonas detrás del borde de fuga, se utiliza la siguiente formula: 1 +∂Eu

∂α=

𝑋𝑙

𝑙ℎ∗ (1 −

𝑑𝑒

𝑑∝) Para el desarrollo de esta fórmula, se calculó la relación entre la

longitud del fuselaje (Lf) sobre la altura máxima del mismo (Bfmax), lo cual dio como resultado 4,758 y este valor se interpolo en la siguiente grafica

0,2 4,0658 X 4,4019 = 0,21+0,6= 0,8165

Para la anterior formula, también se hallaron términos como Ka, Kh, Kλ. El Ka fue obtenido

mediante la ecuación 1

𝐴𝑅−

1

1+𝐴𝑅^1,7 donde el AR (aspect Ratio) se halló por medio de la simulación

del ala en el programa XFRL5, para hacer este modelamiento primero se determinaron las

dimensiones del modelo por medio de CATIA, luego con el XFRL5 se determinó el taper ratio (λ)

el cual fue implementado en el ecuación 𝑘𝜆 = 10 − 3𝜆/7, para la obtención del Kh, tambn se

utilizo este programa para hallar el mean aerodinamic chord (mac) del ala y del estabilizador

horizontal, a estos valores se les calculo el 25 y estos fueron ubicados en catia como los centroides

de cada una de las secciones, donde se acoto la distancia entre centroides (lH), la distancia entre el

eje horizontal y el centroide del estabilizador horizontal (hH) y la distancia entre el borde de fuga y

el centroide del estabilizador horizontal(lh). Ya con estos resultados se desarrollo la formula 𝑑𝜀

𝑑𝛼=

4,44{(𝐾𝑎 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝜆 ∗ (cosᴧ𝑐

4)

(0,5)} ^1,19 donde el flechamiento

ᴧ𝑐

4 se determino gracias al

programa ya mencionado.

Con todos los datos Anteriores, se determina el CMα con la siguiente formula

𝐶𝑚α=(𝜋

2∗𝑆∗𝐶) ∗ 𝐵𝑓2*(1+

𝜕𝐸𝑢

𝜕𝛼)*ΔX

Para el ajuste de esta grafica se utilizo el programa XRFL5 donde se determino la grafica CL vs α del

ala, a esta grafica se le determino la pendiente por medio de 2 puntos.

Pendiente= y2-y1/x2-x1= 0,2463-0,0803/(1-(-1))= 0,08298

Para hallar el Cmf, se determinó primero el Cmof y se dejo en función de α

Donde K2- K1, se halló por medio de una interpolación nombrada anteriormente, el angulo cuando

lift es cero se determinó trazando una horizontal y tomando la distancia desde esta hasta el eje

coordenado.

Por ultimo de determino del Mf

Donde la C se halló por medio del programa XFRL5, y la q, por medio del escalamiento de froude

se determinó la velocidad.

5. CONCLUSIONES

Se encontró que durante el escalamiento y similitud por medio del parámetro del número

de Froude justamente cuando se llega al de la masa se deduce como anteriormente se

Cmf=Cmof+Cmα*α

Cmof=(K2−K1)

36,5∗𝑆∗𝐶*∫ 𝐵𝑓2(

𝑙𝑓

0αow+icl,b)dx

explica que; como la condiciones del fluido son las misma; las longitudes del avión varían

pero su peso tendría que ser igual para poder llegar a tener una similitud más o menos

acorde; aun así dentro del informe de la NASA en la parte de las tablas de fórmulas para

cada parámetro de escalamiento y similitud se dice que dentro de algunos no podrá ser

posible satisfacer la similitud entre la aeronave real y el modelo a escala. Lo cual se

planteó que si se cambia la masa para que haya más o menos similitud se tendría que

variar la densidad del fluido que entrega el sistema de simulación lo que conlleva a

suposiciones como: aumentar la presión del fluido o buscar un fluido acorde a la escala o

al radio que se halló para poder cumplir la similitud.

6. REFERENCIAS

I. ANDERSON John D. Jr. Computational Fluid Dynamics. The Basics with Applications. Ed.

McGraw-Hill, Inc. 1995

II. ANDERSON, Jr. Jhon D. Aircraft Performance and Design. 1999 Mc Graw Hill. USA

III. http://www.ae.illinois.edu/m-selig/ads/coord_database.html

IV. ROSKAM Jan; Dr. Airplane 7 Volume’s. Roskam Aviation and Engineering.1986. USA

V. WOLOWICZ, Chester H. BOWMAN, James Jr. Similitude Requeriments and Scaling

Relationships as Applied To Model Testing.

VI. FLUENT Training ANSYS 12.0. Introductory Fluent Training: All Chapters.

By ANSYS Inc. 2009.