cepremax - trigonometria semana 03 _(razones trigonométricas_)

7/21/2019 CEPREMAX - Trigonometria Semana 03 _(Razones Trigonomtricas_)

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RAZONES TRIGONOMTRICAS

1. RAZONES TRIGONOMTRICASLas razones trigonomtricas son nmeros queresultan de dividir dos lados de un tringulorectngulo.

TRIANGULO RECTNGULO

Teorema de Pitgoras

La suma de cuadrados de los catetos es igualal cuadrado de la hipotenusa.

a2 + b2 = c2TeoremaLos ngulos agudos de un tringulo rectnguloson complementarios.

A + B = 90

2. DEFINICIN DE LAS RAZONESTRIGONOMTRICAS PARA UN NGULOAGUDO.Dado el tringulo ABC, recto en B, segn lafigura, se establecen las sgts definiciones parael ngulo agudo :

Sen = Cos

b

c

.Hip

.op.Cat========

Cos = Senba

.Hip.ady.Cat

========

Tg = tgCac

ady.Cat.op.Cat

========

Ctg = Tgca

.op.Cat.ady.Cat

========

Sec = Cscab

ady.Cat.Hip

========

Csc = Seccb

op.Cat.Hip

========

Ejemplo: En un tringulo rectngulo ABC (rectoen C), se sabe que la suma de catetos es igualk veces la hipotenusa. Calcular la suma de los

senos de los ngulos agudos del tringulo.

Resolucin:

Ntese que en el enunciado del problematenemos:

a + b = k.cNos piden calcular

c

b

c

aSenSen +=+

c

ba +=

Luego: kc

ckSenSen ==+

.

Los tres lados de un tringulo rectngulose hallan en progresin aritmtica, hallar latangente del mayor ngulo agudo de dichotringulo.

CEPREMAXPreparacin de primer nivel!!!

INSTITUTO SUPERIOR TECNOLGICO MAX PLANCK

Cateto

HipotenusaCat

eto

C

A

Ba

bc

C

A

Ba

bc

A

B

Cb

ca


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INSTITUTO SUPERIOR TECNOL GICO MAX PLANCK

2Lic. Fredy Franklin TOLEDO GUERREROSCEPREMAX - 2014

Resolucin:Ntese que dado el enunciado, los lados deltringulo estn en progresin aritmtica, de

razn r asumamos entonces:

Cateto Menor = x rCateto Mayor = xHipotenusa = x + r

Teorema de Pitgoras(x-r)2+x2=(x+r)2x2-2xr+r2+x2=x2+2xr+r2x2-2xr=2xr

x2=4xrx=4r

ImportanteA mayor cateto, se opone mayor nguloagudo. Luego, reemplazando en la figuratenemos:

Nos piden calcular Tg=3

4

3

4=

r

r

Calcular el cateto de un tringulo rectngulode 330m de permetro, si la tangente de unode sus ngulos agudos es 2,4.

Resolucin:

a) Sea un ngulo agudo del tringulo quecumpla con la condicin:

5

12

10

244,2Tg ===

Ubicamos en un tringulo rectngulo,cuya relacin de catetos guardan larelacin de 12 a 5.

La hipotenusa se calcula por pitgoras.

Tring. Rectangulo Tring RectnguloParticular General

b) El permetro del es:Segn la figura: 5k+12k+13k = 30kSegn dato del enunciado =330mLuego:

30k = 330 K =11m

a) La pregunta es calcular la longitud delmenor cateto es decir:

Cateto menor = 5k= 5.11m = 55m

3. PROPIEDADES DE LAS RAZONESTRIGONOMTRICAS

3.1 Razones Trigonomtricas Recprocas.Al comparar las seis razones trigonomtricas deun mismo ngulo agudo, notamos que tres

partes de ellas al multiplicarse nos producen launidad.

Las parejas de las R.T. recprocas sonentonces:

Sen.Csc= 1Cos.Sec= 1Tg .Ctg = 1

Ejemplos: Indicar la verdad de las siguientes

proposiciones.I. Sen20.Csc10 =1 ( )II. Tg35.Ctg50 =1 ( )III. Cos40.Sec40=1 ( )

Resolucin:Ntese que las parejas de R.T. recprocas, elproducto es 1; siempre que sean ngulosiguales.Luego:

Sen20.Csc101 ; sNoson igualesTg35.Ctg50 1 ; sNoson iguales

Cos40.Sec40=1 ; sSson iguales

x-r

xx+r

3r

5r4r

5

1312

5k

13k12k


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Resolver x agudo que verifique:Tg(3x+10+).Ctg(x+70+)=1

Resolucin:

Ntese que en la ecuacin intervienen, R.T.trigonomtricas; luego los ngulos son iguales.

Tg(3x+10+).Ctg(x+70+)=1

ngulos iguales

3x+10+= x+70+2x=60

x=30

Se sabe:

Sen.Cos.Tg.Ctg.Sec=73

Calcular: E=Cos.Tg.Ctg.Sec.CscResolucin:Recordar:

Cos.Sec= 1Tg.Ctg= 1

Sec.Csc= 1

Luego; reemplazando en la condicin delproblema:

Sen.Cos.Tg.Ctg.Sec=73

1

Sen=7

3....(I)

Nos piden calcular:E = Cos.Tg.Ctg.Sec.Csc

E = Csc=Sen

1,

pero de (I) tenemos:7

3Sen =

E=7

3

3.2 Razones Trigonomtricas de ngulosComplementarios.

Al comparar las seis R.T. de ngulos agudos,notamos que tres pares de ellas producen elmismo nmero, siempre que su ngulo seancomplementarios.

Nota:

Una razn trigonomtrica de un ngulo a la co-razn del ngulo complementario.

RAZN CO-RAZNSeno Coseno

Tangente Cotangente

Secante CosecanteDado: x+y=90, entonces se verificaSenx =CosyTgx = CtgySecx = Cscy

As por ejemplo: Sen20 = Cos70 (20+70=90) Tg50 = Ctg40 (50+40=90) Sec80 = Csc10 (80+10=90)

Ejemplo:

Indicar el valor de verdad segn lasproposiciones:I. Sen80 = Cos20 ( )II. Tg45 = Cgt45 ( )III. Sec(80-x) = Csc(10+x) ( )

Resolucin:Ntese que dado una razn y co-razn serniguales al elevar que sus ngulos sean iguales.

I. Sen80 Cos20 (80+2090)II. Tg45 = Cgt45 (45+45=90)III. Sec(80-x)= Csc(10+x)

(80-x+10+x=90)

Resolver el menor valor positivo de x queverifique:

Sen5x = CosxResolucin:Dada la ecuacin Sen5x=Cosx; luego losngulos deben sumar 90: 5x+x=90

6x=90x=15

Resolver x el menor positivo que verifique:Sen3x Cosy = 0

Tg2y.Ctg30 - 1 = 0Resolucin:

Ntese que el sistema planteado es equivalentea:

Sen3x=Cosy 3x+y=90 ...(I)Tg2y.Ctg30=1 2y=30 ...(II)

y=15Reemplazando II en I

3x+15 = 903x =75x = 25


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Se sabe que x e y son nguloscomplementarios, adems:

Senx = 2t + 3

Cosy = 3t + 4,1Hallar Tgx

Resolucin:Dado: x+y=90 Senx=CosyReemplazando 2t+3 = 3t+4,1 -1,1 = tConocido t calcularemos:Senx=2(-1,1)+3Senx=0,8

Senx=5

4 ..... (I)

Nota:Conocida una razn trigonomtrica, luegohallaremos las restantes; graficando lacondicin (I) en un tringulo, tenemos:

Tgx= 34

.Ady.Cat.Op.Cat =

4. RAZONES TRIGONOMTRICAS DENGULOS AGUDOS NOTABLES

4.1 Tringulos Rectngulos Notables ExactosI. 30 y 60

II. 45 y 45

4.2 Tringulos Rectngulos NotablesAproximados

I. 37 y 53

II. 16 y 74

TABLA DE LAS R.T. DE NGULOSNOTABLES

R.T.

30 60 45 37 53 16 74

Sen 1/2 3/2 2/2 3/5 4/5 7/25 24/25

Cos 3/2 1/2 2/2 4/5 3/5 24/25 7/25

Tg 3/3 3 1 3/4 4/3 7/24 24/7

Ctg 3 3/3 1 4/3 3/4 24/7 7/24Sec 2 3/3 2 2 5/4 5/3 25/24 25/7

Csc 2 2 3/3 2 5/3 5/4 25/7 25/24

Ejemplo:

Calcular:45Sec.237Cos.10

60Tg.330Sen.4F

+

+=

Resolucin:Segn la tabla mostrada notamos:

2

1

10

5

28

32F ==

+

+=

2.25

4.10

3.32

1.4

F

+

+=

3

5

4

x

1k

k

2k

30

60

k

k

k

45

45

3k

4k

5k

37

53

7k

24k

25k

16

74


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1. Indicar lo incorrecto:a) sen20 = cos70b) tg10 ctg10 = 1c) sec(x + 40) = csc(50 - x)d) tg(x + y) ctg(x + y) = 1e) tg20 = ctg20

2. Seale el valor de xSi: sen2x csc40 = 1a) 10 b) 5 c) 15 d) 20 e) 40

3. Sabiendo que tg5x ctg(x + 40) = 1Calcular: cos3x

a) 1 b)2

1 c)

2

2

d) 3 e)3

2

4. Hallar x Si: cos(3x12) sec(x+36) = 1a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 8

5. Determine x en:Sen(3x + 25) csc(x + 35) = 1

a) 5 b) 8 c) 10d) 15 e) 20

6. Calcular:E = (7tg10 - 2ctg80) (ctg10 + tg80)

a) 5 b) 14 c) 10 d) 12 e) 8

7. Calcular50csc

40sec3

70ctg

20tg2

80cos

10senE ++++====

a) 1 b) 2 c) 0 d) -1 e) -2

8. Si: sec7x = csc4x

Calcular:x8ctg

x3tg

x10cos

senx2E ====

a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2

9. Si: x e y son complementarios

adems: 33)tgx( y2ctg

= Calcular: y2sec

2

xsen2E ++++

====

a) 1 b) 3 c) 3/2 d) 5/2 e) 4

10. Calcular: cos(x + y)Si: sen(x 5) csc(25 - x) = 1

Sen(y + 10) = cos(y + 20)

a) 2 b)2

2 c)

2

1

d)53 e)

23

11. Simplificar:

80ctg........30ctg20ctg10ctg

80tg........30tg20tg10tgE

++++++++++++++++

++++++++++++++++====

a) 1 b) 21 c) 31

d)2

3 e)

2

2

12. Sabiendo que: tg3x tg(x + 42) = 1Calcular: E = sec25x 4tg(3x + 1)a) 1 b) -1 c) 2 d) 3 e) 0

13. Si: sen(x + 2y) = cos(2x + y)

Calcular:)yx(tg

)y3tgx3tg()y3tgx3tg( 22

++++

++++

a)334 b)

332 c)

33

d) 32 e) 34

14. Si: y verifican la igualdad:Sen4sen6= 1

Calcular:)5(ctg)4cos(

)5(tg)23(sen

++++++++

++++++++++++

a) 0 b) 1/2 c) 1 d) 2 e) 3

15. Siendo a y b complementarios queverifican la igualdad.Sen(+ sen()) = cos(- cos())

Calcular:

++++

==== 11

E

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

16. Si: tg 3x . ctg(x+40) = 1. Calcular: Cos3xa) 1 b) 1/2 c) 3

d) 3/2 e) 3/5

17. Hallar x si :cos(2x 10) sec(x + 30) = 1

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

18. Si : sen 7x sec 2x = 1. Calcular :

E = tg26x + tg(x + 42 - y) . tg(3x + y + 8)

a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 619. Determine x :

sec(2x - 8) = sen 40 csc 40 +75ctg

15tg

a) 17 b) 20 c) 28

d) 30 e) 34


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49. Del grfico calcular:seny

senxE ====

a)5

24

b)5

4

c)5

2

d) 24 e) 1

50. De la figura calcular x

a) 14

b) 8c) 12d) 16e) 20

51. Del grfico calcular: E = 3cos 4sen

a) 7/4b) 9/4c) 5/4

d) -1/4e) -7/4

52. Si: AM = MC. Calcule: sec

a) 3

b) 2

c) 32

d) 2e) 5

AUTOR:

Lic. Fredy Franklin TOLEDO GUERREROS

x y

53 45

A Cx

B

M

3745

A C

B

M

15 30

A

BO

C

D

37

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