cepremax - aritmética semana 02 _(numeración_)

NUMERACIÓN Numeración. Parte de la aritmética que estudia la

correcta formación, lectura y escritura de los números.

Número. Es una idea o abstracción de una cantidad

observada en la realidad concreta.

Cifra (Digito). Símbolo empleado para representar

un número.

Sistema Posicional de Numeración. Es un conjunto

de principios, normas, convenios y leyes que nos permiten la correcta formación, lectura y escritura de los números. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

Orden. Toda cifra que forma parte de un numeral,

ocupa un orden determinado el cual se considera de derecha a izquierda. El lugar que ocupa una cifra se indica de izquierda a derecha. 1 2 3 4 5 6 Lugar Numeral: 2 0 1 9 7 9 5 4 3 2 1 0 Orden La Base. Todo sistema de numeración tiene una

base, que es un número entero y mayor que la unidad, el cual nos indica la cantidad de unidades necesarias y suficientes de un orden cualquiera para formar una unidad del orden inmediato superior.

Observaciones

1. A mayor numeral aparente le corresponde menor base y a menor numeral aparente le corresponde mayor base.

)()( nm CALIDADCEPREMAX =

2. Toda cifra que forma parte de un numeral es un

número entero no negativo y menor que la base.

Si: nabcd

Entonces: {a, b, c, d, n}∈ +Z ; a ≠ 0; n >1 Además: a, b, c, d < n

Principales Sistemas de Numeración

En base “n” se pueden utilizar “n” cifras diferentes, las cuales son:

0 ; 1; 2; 3; 4; 5; . . . ; (n – 1) Por convención, cuando la cifra es mayor que “9” se utiliza una letra mayúscula para su representación.

Alfa α <> (10) <> A

Betta β <> (11) <> B

Gamma γ <> (12) <> C

Delta δ <> (13) <> D

M M M M Ejemplo

)13()13()13( BA6C868)11)(10(6)12(8 =βαλ=

Valor de las Cifras

Toda cifra que forma parte de un numeral tiene 2 valores. Valor Absoluto (V.A.). Es el valor que tiene una cifra

por su apariencia o figura. Valor Relativo (V.R.). Es el valor que tiene una cifra

de acuerdo al orden que ocupa dentro de un numeral. Representación Literal de un Numeral

Cuando no se conocen las cifras de un numeral, estas se representan mediante letras teniendo en cuenta que:

CEPREMAX ¡¡¡Preparación de primer nivel!!!

INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO “MAX PLANCK”

BASE NOMBRE DEL

SISTEMAS CIFRAS QUE SE

EMPLEAN

2 Binario 0; 1

Terciario 0; 1; 2

Cuaternario 0; 1; 2; 3

Quinario 0; 1; 2; 3; 4

Senario 0; 1; 2; 3; 4; 5

Heptanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

Octanario 0; 1; 2; . . . ; 6; 7

Nonario 0; 1; 2; . . . ; 7; 8

Decimal 0; 1; 2; . . . ; 8; 9

Undecimal 0; 1; 2; . . . ; 9; 10

Duodecimal 0; 1; 2; . . . ;10;11

3

4

5

6

8

7

9

10

11

12

Cifras Significativas Cifra no

Significativa

CIFRA MÁXIMA



2 Lic. Fredy Franklin TOLEDO GUERREROS CEPREMAX - 2014

� Toda expresión entre paréntesis representa una cifra.

� La primera cifra de un numeral debe ser diferente de cero.

� Letras diferentes no necesariamente indican cifras diferentes, salvo que lo señalen.

� Para diferenciar de ser una multiplicación de factores, se coloca una raya horizontal arriba de las letras.

SISTEMASSISTEMAS ≠ Numeral Capicúa.

Son aquellos numerales cuyas cifras equidistantes son iguales, es decir tienen representación simétrica.

* aa * aba * abba * abcdcba Algunas palabras políndromas que representan al numeral capicúa.

* OSO * ANA * SALAS * SOMOS CAMBIOS DE BASE

En general: si “n”, “10” y “m” son las bases de un numeral equivalente, donde: n ≠ m ≠ 10. Tener en cuenta la siguiente regla:

Descomposición Polinómica

Simple:

kmydoom = mokokdkykmk 2345 +++++

Por Bloques:

kmydoom = k2

k4

k omkdokmy +⋅+⋅

Ejemplos

* Expresar 5423 a base 10.

Por descomposición polinómica:

5423 = 35254 2 +⋅+⋅

5423 = 100 + 10 + 3 = 113

Por Ruffini: 4 2 3 5 20 110

4 22 113 ∴ 5423 = 113

* Expresar 113 en base 4. Por divisiones sucesivas 113 4 1 28 4 0 7 4

3 1 ∴ 113 = 40131

Por lo tanto:

∴ 5423 = 113 = 40131

PROPIEDADES

� Numeral de Cifras Máximas

1n)1n)...(1n)(1n( kn

cifrask

−=−−−444 3444 21

� Bases Sucesivas

44 344 21O sumandosk

abc...xna1

nx1c1

b1+++++=

kana1

na1a1a1

+=O

Conteo de Cifras

Dado un entero positivo N, de “k” cifras (k∈N), la cantidad de cifras que se utiliza al escribir todos los enteros desde 1 hasta N, está dado por:

Cantidad de cifras = 43421cifras"k"

11...11111k)1N( −+

Descomposición polinómica o

RUFFINI

De Base (n)

De Base

De Base (m)

Divisiones sucesivas

“k” numerales

“k” numerales

Numeral de 8 cifras

Multiplicación de 8 factores

x




1) Un depósito tiene ab litros de aceite, se empieza a llenar con un caudal constante. Al

cabo de media hora tiene ba litros y cumplida

la primera hora )2b)(1a)(1a( −+− litros. Hallar:

a + b a) 8 b) 6 c) 9 d) 10 e) 12

2) Si a un número de 3 cifras se le agrega la suma de sus cifras se obtiene 432. Hallar la suma de la cifras del número. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

3) Hallar el mayor número de 3 cifras que al restarle 459 dé como resultado la suma de sus cifras. a) 539 b) 519 c) 499 d) 479 e) 509

4) ¿Qué sucede con un número de 3 cifras si a la primera cifra se le disminuye en 3, a la segunda se le aumenta en 8 y a la tercera se le disminuye en 2? a) Disminuya en 222 b) Aumenta en 222 c) Disminuye en 378 d) Aumenta en 378 e) Faltan datos

5) Un número de 6 cifras empieza en la cifra 1, si esta cifra se ubicará al final, el nuevo número sería el triple del original. Hallar la suma de las cifras del número. a) 20 b) 26 c) 27 d) 32 e) 31

6) Calcular la suma de las cifra de un número capicúa de tres cifras que sea igual a 23 veces la suma de sus cifras diferentes. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

7) Hallar el valor de “a”, si el número ab0ab es el producto de 4 números enteros consecutivos. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8) Hallar un número de 3 cifras que sea igual a 36 veces la suma de sus cifras. Dar la mayor de sus cifras. a) 2 b) 7 c) 3 d) 8 e) 4

9) Si un entero de dos dígitos es “k” veces la suma de sus dígitos, el número que se obtiene al intercambiarse los dígitos, es la suma de los dígitos multiplicado por: a) 9 – k b) 10 – k c) 11 – k d) k – 1 e) k + 1

10) Hallar un número comprendido entre 200 y 300 tal que leído al revés y menos uno, resulta el triple del número original. Dar la cifra de las decenas. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

11) Hallar “a” para que se cumpla: )8()7( a3711a =

a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 4

12) Si “a” , “b” y c son cifras diferentes entre sí, hallar “m + p”, si se cumple:

mpcbcabc )2()3()4( =++

a) 10 b) 11 c) 12 d) 14 e) 15

13) Calcular “a + b + c” si se cumple:

)8(abcdd56 =

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

14) Expresar 48 en base “n” y dar la suma de

sus cifras, si se cumple: 115(n) = 235(6)

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

15) Hallar “a + b + c” si se cumple: 2bcaaaa )5( =

a) 5 b) 7 c) 8 d) 6 e) 10

16) Expresar en el sistema senario el menor número de tres cifras diferentes de la base 8.

a) 132(6) b) 150(6) c) 133(6)

d) 124(6) e) 125(6)

17) El mayor número de 3 cifras de la base “n” se representa en base 5 como 4021. Hallar: n

a) 9 b) 7 c) 8 d) 10 e) 12

18) Expresar en base 9 el menor número de la base 6 cuya suma de cifras sea 18.

a) 1185(9) b) 1285(9) c) 1153(9)

d) 1158(9) e) 1228(9)

19) Dadas las siguientes igualdades:

)n()9( b27a23 =

)n()8( 1611abc =

Hallar: m + n a) 16 b) 12 c) 10 d) 17 e) 15

20) El número 1002 de la base 4, en que base se escribe como 123.

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10




21) El menor números de 4 cifras de la base “n” se

escribe en base diez como ab5 . Hallar “a + b + n” y expresar el resultado en base 2.

a) 101(2) b) 110(2) c) 1011(2)

d) 1101(2) e) 1111(2)

22) Si se cumple: 122(n) = )8(1bca25 =

Hallar: a + b + c + n a) 18 b) 20 c) 24 d) 26 e) 30

23) Hallar “a + b + n”, si se cumple:

)7()n( ban5ab =

a) 11 b) 12 c) 14 d) 8 e) 9

24) Hallar “a + b + c + d + n”, si se cumple:

)n()3( abcd102 =

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

25) Si se cumple: )101( )n(

1312= 1312

Hallar: n a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

26) Si se cumple: )n()8( 1036abc =

Hallar: a + b + n a) 15 b) 18 c) 20 d) 24 e) 26

27) Si se cumple: )n()7( 3254abc2 =

Hallar: a + b + c + n a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

28) Hallar “a + b + c + d + e + n”, si se cumple:

211(3) = )n(abcde

a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10

29) Hallar “a + b + c”, si se cumple: 121(n) = ab8

a) 34 b) 32 c) 27 d) 21 e) 17

30) Hallar “a + b + c + d + e”, si:

cde9ababab )5( =

a) 32 b) 16 c) 20 d) 21 e) 25

31) Si se cumple:

)6()n( mmmmabb4 =

Hallar: a + b + m + n a) 8 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

32) Un número de 3 cifras del sistema de base 7, se escribe en la base 9 con las mismas cifras pero colocados en orden inverso. Expresar el número en base decimal y dar la suma de sus cifras. a) 14 b) 15 c) 12 d) 17 e) 9

33) Si se cumple: )8()ab( a0aa4 =

Además : )7(2 cde)4n)(n)(2n( =+−

Hallar : a + b + c + d + e + n a) 12 b) 14 c) 15 d) 17 e) 18

34) Un número escrito en 2 bases que se diferencian en dos unidades está representado por 413 y 231. Hallar dicho número en el sistema decimal y dar la suma de sus cifras. a) 9 b) 10 c) 12 d) 13 e) 14

35) Hallar “a + b + c”, si se cumple:

)a(abc = 2553(c) = 1611(a) = 1205(b)

a) 9 b) 10 c) 12 d) 13 e) 14

36) Si el numerador 1458(n), se expresa en base

(n + 1). ¿Cuánto suman sus cifras? a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

37) Sabiendo que: )9()7( )a2(aaa35 = . Hallar: “a”

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

38) Hallar “n” en: 20

)n(13131313

=

a) 20 b) 9 c) 7 d) 6 e) 8

39) Si: )y()x( mnabc = y los números: 36(x) y

)9(y1 están bien escritos, hallar: “ xy ”

a) 28 b) 56 c) 78 d) 42 e) 63

40) Hallar (x . y)

Si: 66yyxxyxxy )7()6()5()4( ====++++++++++++

a) 6 b) 7 c) 8 d) 4 e) 9 AUTOR: Lic. Fredy Franklin TOLEDO GUERREROS

cepremax - aritmética semana 02 _(numeración_)

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