centroides

Centro de gravedad y centroide

O BJ ETIVOS DEl CAPíTULO

• Anal izar el concepto de centro de g ravedad, centro de masa, y centroide.

• Mostrar cómo determ i nar la u bicación del centro de g ravedad y centroide para un sistema de partícu las d iscretas y u n cuerpo de

forma arb itrar ia .

• Usa r los teoremas de Pappus y G ul d i n us para encontrar el á rea y el

vol u men de una su perficie de revol ución.

• Presentar u n método para encontrar la resu ltante de una carga

genera l d istri bu ida, y mostrar cómo se apl ica cuando es necesario

determinar la resu ltante de un f lu ido.

9 . 1 Centro d e gravedad y centro d e masa para un sistema de partícu las

Centro de gravedad. El centro de gravedad G es un punto que ubica el peso resultante de un sistema de partículas. Para mostrar cómo determinar este punto, considere el sistema de n partículas fijas dentro de una región del espacio como se muestra en la figura 9-1a. Los pesos de las partículas comprenden un sistema de fuerzas paralelas' que puede ser reemplazado por un solo peso resultante (equivalente) que tenga el punto G de aplicación definido. Para encontrar las coordenadas x, )I, z de G, debemos usar los principios delineados en la sección 4.9.

*Esto no es estrictamente cierto, ya que los pesos no son paralelos entre sí; más bien son concurrentes al centro de la TIerra. Además, la aceleración g de la gravedad es realmente diferente para cada partícula ya que depende de la distancia del centro de la Tierra a la partícula. Sin embargo, para todo fin práctico, generalmente estos dos efectos pueden ser ignorados.

437

438 • CAPíTULO 9 Centro de gravedad y centroide

Z

W2 ! W,

Wn Á ! lG z _/ _�x

y

x

(a)

1 x

(b)

Fig. 9-1

y

Esto requiere que el peso resultante sea igual al peso total de todas las n partículas; es decir,

La suma de los momentos de los pesos de todas las partículas con respecto a los ejes x, y, y z es entonces igual al momento del peso de la resultante con respecto a esos ejes. Así, para determinar la coordenada x de G, podemos sumar momentos con respecto al eje y. Esto resulta en

xWR = XIWl + X2W2 + . . . + xnWn De la misma manera, sumando momentos con respecto al eje x, podemos obtener la coordenada y; es decir

yWR = YIWl + Y2W2 + . . . + YnWn Aunque los pesos no producen un momento con respecto al eje z, podemos obtener la coordenada z de G imaginando al sistema coordenado, con las partículas fijas en él, como si estuviera girado 90° con respecto al eje x (o al y), figura 9-1b. Sumando momentos con respecto al eje x, tenemos

Podemos generalizar estas fórmulas, y escribirlas simbólicamente en la forma

Aquí,

x, y, z

x, y, z

LW

(9-1)

representan las coordenadas del centro de gravedad G del sistema de partículas. representan las coordenadas de cada partícula presente en el sistema. es la suma resultante de los pesos de todas las partículas presentes en el sistema.

Estas ecuaciones son recordadas fácilmente si se tiene en mente que sólo representan un balance entre la suma de los momentos de los pesos de cada partícula del sistema y el momento del peso resultante para el sistema.

Centro de masa. Para estudiar problemas que implican el movimiento de materia bajo la influencia de una fuerza, esto es, la dinámica, es necesario localizar un punto llamado centro de masa. Si la aceleración debida a la gravedad g para cada partícula es constante, entonces W = mg. Sustituyendo en las ecuaciones 9-1 y cancelando g en el numerador y el denominador resulta

(9-2)

SECCiÓN 9.2 Centro de gravedad, centro de masa, y centroide para un cuerpo • 439

Por comparación, entonces, la ubicación del centro de gravedad coincide con la del centro de masa: S·in embargo, recuerde que las partículas tienen "peso" únicamente bajo la influencia de una atracción gravitatoria, mientras que el centro de masa es independiente de la gravedad. Por ejemplo, no tendría sentido definir el centro de gravedad de un sistema de partículas que representasen los planetas de nuestro sistema solar, mientras que el centro de masa de este sistema sí es importante.

9.2 Centro de gravedad, centro de masa, y centroide para un cuerpo

Centro de gravedad. Un cuerpo rígido está compuesto de un número infinito de partículas, y si los principios usados para determinar las ecuaciones 9-1 son aplicados al sistema de partículas que componen un cuerpo rígido, resulta necesario usar integración en vez de una suma discreta de términos. Considerando la partícula arbitraria ubicada en (x, y, z) y con peso dW, figura 9-2, las ecuaciones resultantes son

x = JXdW JdW z =

JY dW JdW

JZdW JdW (9-3) y =

Para aplicar estas ecuaciones apropiadamente, el peso diferencial dW debe ser expresado en términos de su volumen asociado dV. Si 'Y representa el peso específico del cuerpo, medido como un peso por volumen unitario, entonces dW = 'Y dV, y por tanto

x = ¡X1'dV ¡1'dV y =

¡Y1'dV ¡1'dV

z = ¡ z1'dV ¡1'dV

(9-4)

Aquí la integración debe ser efectuada a todo el volumen del cuerpo.

Centro de masa. La densidad p, o masa por volumen unitario, está relacionada mediante la ecuación 'Y = pg, donde g es la aceleración debida a la gravedad. Sustituyendo esta relación en las ecuaciones 9-4 y cancelando g en los numeradores y denominadores, se obtienen ecuaciones similares (con p reemplazando a 'Y) que se pueden usar para determinar el centro de masa del cuerpo.

*Esto es cierto si se supone que el campo gravitatorio tiene las mismas magnitud y dirección en todas partes. Esa suposición es apropiada para la mayor parte de las aplicaciones de ingeniería, ya que la gravedad no varía apreciablemente entre, por ejemplo, la base y la parte superior de un edificio.

x Fig. 9-2


z ,� Í?t ; � --=-------·d�

;}l'-------y Centroide del volumen x

x

Fig. 9-3

z

�, z I

-'dA

3i - �C

z

Centroide del área

Fig. 9-4

z

x1 dL

� y - � I n 3i -ec I

---y

t�� y Y O �troide de la l ínea x

Fig.9-5

Centroide. El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su ubicación puede ser'determinada a partir de fórmulas similares a las usadas para encontrar el centro de gravedad del cuerpo o centro de masa. En particular, si el material que compone un cuerpo es uniforme u homogéneo, la densidad o peso específico será constante en todo el cuerpo, y por tanto, este término saldrá de las integrales y se cancelará a partir de los numeradores y denominadores de las ecuaciones 9-4. Las fórmulas resultantes definen el centroide del cuerpo ya que son independientes del peso del cuerpo y dependen sólo de la geometría de éste. Consideraremos tres casos específicos.

Volumen. Si un objeto es subdividido en elementos de volumen dV, figura 9-3, la ubicación del centroide C(x, y, z) para el volumen del objeto puede ser determinada calculando los "momentos" de los elementos con respecto a cada uno de los ejes coordenados. Las fórmulas resultantes son

x = y= z= (9-5)

Área. De manera similar, el centroide del área superficial de un objeto, como una placa o un cascarón, figura 9-4, se puede encontrar subdividiendo el área en elementos dA y calculando los "momentos" de esos elementos de área con respecto a cada uno de los ejes coordenados, esto es,

x= y= z= (9-6)

Línea. Si la simetría del objeto, tal como la de una barra delgada o la de un alambre, toma la forma de una línea, figura 9-5, el equilibrio de los momentos de los elementos diferenciales dL con respecto a cada uno de los ejes coordenados resulta en

x= y= z= (9-7)


Recuerde que al aplicar las ecuaciones de la 9-4 a la 9-7 es mejor elegir un sistema coordenado que simplifique tanto como sea posible la ecuación usada para describir la frontera del objeto. Por ejemplo, las coordenadas polares generalmente son más apropiadas para áreas que tengan fronteras circulares. Los términos X, y, z en las ecuaciones se refieren a los "brazos de momento" o coordenadas del centro de gravedad o centroide del elemento diferencial usado. De ser posible, este elemento diferencial debe elegirse de manera que tenga un tamaño diferencial o espesor en sólo una dirección. Cuando se hace así, sólo es requerida una integración simple para cubrir toda la región.

Simetría. Los centroides de algunas formas o perfiles pueden ser parcial o completamente especificados usando condiciones de simetría. En los casos donde la forma tenga un eje de simetría, el centroide de la forma se encontrará a lo largo de ese eje. Por ejemplo, el centroide e para la línea mostrada en la figura 9-6 debe encontrarse a lo largo del eje y, puesto que para toda longitud elemental dL a una distancia + x a la derecha del eje y hay un elemento idéntico a una distancia -x a la izquierda. Por tanto, el momento total para todos los elementos con respecto al eje de simetría se cancelará; esto es, Jx dL = O (Ecuación 9-7), por lo que x = O. En los casos donde una forma tenga dos o tres ejes de simetría, se infiere que el centroide se encuentra en la intersección de esos ejes, figuras 9-7 y 9-8.

y

y

----�-----------x

Fig. 9-6 Fig. 9-7

PUNTOS IMPORTANTES • El centroide representa el centro geométrico de un cuerpo. Este

punto coincide con el centro de masa o con el centro de gravedad sólo si el material que compone al cuerpo es uniforme u homogéneo.

• Las fórmulas usadas para localizar el centro de gravedad o el centroide simplemente representan un balance entre la suma de momentos de todas las partes del sistema y el momento de la "resultante" para el sistema.

• En algunos casos, el centroide se ubica en un punto fuera del objeto, como en el caso de un anillo, donde el centroide está en el centro del anillo. Además, este punto se encontrará sobre cualquier eje de simetría del cuerpo.

Para determinar la ubicación del centro de gravedad de esta meta, debe ser usada la operación de integración.

x

Fig. 9-8

442 • CAPíTULO 9 Centro de g ravedad y centroide

PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS

El centro de gravedad o centroide de un objeto o forma puede ser determinado mediante simples integraciones usando el siguiente procedimiento.

Elemento diferencial.

• Seleccione un sistema coordenado apropiado, especifique los ejes coordenados, y luego elija un elemento diferencial para la integración.

• Para líneas, el elemento dL es representado como un segmento diferencial de línea.

• Para áreas, el elemento dA es generalmente un rectángulo de longitud finita y ancho diferencial.

• Para volúmenes, el elemento dV es o un disco circular con radio finito y espesor diferencial, o bien, un cascarón con longitud y radio finitos y espesor diferencial.

• Localice el elemento en un punto arbitrario (x, y, z) sobre la curva que define la forma.

Tamaño y brazos de momento.

• Exprese la longitud dL, el área dA, o el volumen dV del elemento en términos de las coordenadas de la curva usada para definir la forma geométrica.

• Determine las coordenadas o brazos de momento X, y, z para el centroide o centro de gravedad del elemento.

Integraciones.

• Sustituya las formulaciones para X, y, z Y dL, dA , o dV en las ecuaciones apropiadas (Ecuaciones de la 9-4 a la 9-7) y efectúe las integraciones. •

• Para efectuar la integración, exprese la función en el integrando en términos de la misma variable aplicada al espesor diferencial del elemento.

• Los límites de la integral son definidos a partir de las dos ubicaciones extremas del espesor diferencial del elemento, de manera que cuando los elementos son "sumados" o la integración es efectuada, la región completa queda cubierta.

"Las fórmulas de integración están dadas en el apéndice A.

SECCIÓN 9.2 Centro de g ravedad, centro de masa, y centroide para un cuerpo • 443

Localice el centroide de la barra doblada en forma de arco parabólico y que se muestra en la figura 9-9.

Solución

y Im---l

x=i I "Yl �::-1 dLo I-� 1m

y=y

x=x Fig. 9-9

Elemento diferencial. El elemento diferencial se muestra en la figura 9-9. Está localizado sobre la curva en el punto arbitrario (x, y). Área y brazos de momento La longitud diferencial del elemento dL puede ser expresada en términos de las diferenciales dx y dy usando el teorema de Pitágoras.

dL = V(dX)2 + (dy)2 = (�; y + 1 dy Como x = l, entonces dx/dy = 2y. Por tanto, expresando dL en términos de y y dy, tenemos

dL = V(2y)2 + 1 dy El centroide está localizado en x = x, y = y.

Integraciones. Aplicando las ecuaciones 9-7 e integrando con respecto a y mediante las fórmulas del apéndice A, tenemos

y=

¡llV4l + 1 dy ¡lV4l + ldy

tyV4l + 1 dy Jo 0.8484 1 = 1.479 = 0.574 m

¡ V4y2 + 1 dy

Resp.

Resp.


Localice el centroide del segmento circular de alambre mostrado en la figura 9-10.

y

Fig. 9-10

Solución Usaremos coordenadas polares para resolver este problema ya que el arco es circular.

Elemento diferencial. Un elemento diferencial circular de arco se selecciona como se muestra en la figura. Este elemento interseca la curva en (R, O). Longitud y brazo de momento. La longitud diferencial del elemento es dL = R dO, y su centroide está localizado en x = R cos O Y Y' = R sen O. Integraciones. Aplicando las ecuaciones 9-7 e integrando con respecto a O, obtenemos

¡XdL x =

¡ dL

¡Y'dL y =

¡ dL

11'/2 o

. (R cos O)R dO

11'/2 R dO o

11'/2 o

(R sen O)R dO

11'/2 R dO o

11'/2 R2 o

cos O dO

11'/2 R dO o

11'12 R2 o

sen O dO

11'/2 R dO o

2R 7T

Resp.

2R 7T

Resp.


Determine la distancia Ji del eje x al centroide del área del triángulo mostrado en la figura 9-11.

y

y

L-________ ..",...... __ X

�----b------�

Fig. 9-11

Solución

Elemento diferencial. Considere un elemento rectangular con espesor dy que interseca la frontera en (x, y), figura 9-11 .

Área y brazos de momento El área del elemento e s dA = xdy = *(h - y) dy, Y su centroide está localizado a una distancia:Y = y del

eje x.

Integraciones Aplicando la segunda de las ecuaciones 9-6 e integrando con respecto a y, obtenemos

¡:Y dA ¡h b

o y¡;(h - y) dy 1bh2 6 y= ¡dA ¡hb 1bh

-(h - y) dy 2 o h

h Resp. 3


Localice el centroide para el área de un cuadrante de círculo mostrado en la figura 9-12a.

Solución I

Elemento diferencial Usaremos coordenadas polares ya que la frontera es circular. Seleccionamos el elemento en forma de triángulo, figura 9-12a. (En realidad la forma es un sector circular; sin embargo, ignorando diferenciales de orden superior, el elemento resulta triangular). El elemento interseca la curva en el punto (R, e). Área y brazos de momento El área del elemento es

y usando los resultados del ejemplo 9.3, el centroide del elemento (triangular) está ubicado en x = � R cos e, y = � R sen e. Integraciones. Aplicando las ecuaciones 9-6 e integrando con respecto a e, obtenemos

x=

y=

(2 ) {7T/2 3R Jo cos e de

17T/2 de o

4R 37T

4R 37T

Resp.

Resp.

I I I I I -, I I -t I J I

;'

I I I I

y


--�--�--�---+--------�---x

Solución 11

%= �Rcos(J 3

(a) (b)

Fig. 9-12

Elemento diferencial. El elemento diferencial se puede elegir en forma de un arco circular con espesor dr como se muestra en la figura 9-12b. El elemento interseca los ejes en los puntos (r, O) y (r, 'TT /2).

Área y brazos de momento. El área del elemento es dA = (2'TTr/4) dr. Como el centroide de un arco circular de 90° fue determinado en el ejemplo 9.2, entonces, para el elemento '.X = 2r/'TT, )í = 2r/'TT.

Integraciones. Usando las ecuaciones 9-6 e integrando con respecto a r, obtenemos

¡'.X dA ¡R�(2:r ) dr ¡Rr2dr

4R x = ¡dA ¡R 2'TTr dr ;¡Rrdr

3 'TT Resp.

o 4

¡)ídA ¡R�(2:r) dr ¡Rr2dr

4R y= ¡dA ¡R 2'TTr dr 'TT ¡Rr dr

3 'TT Resp.

o 4 2 o


y

I-----Im� x

(a)

y

T y

Localice el centroide del área mostrada en la figura 9-13a.

Solución

Elemento diferencial. Un elemento diferencial de espesor dx se muestra en la figura 9-13a. El elemento interseca la curva en el punto arbitrario (x, y), y tiene entonces una altura y. Área y brazos de momento. El área del elemento es dA = Y dx, y su centroide está en x = x, y = yj2.

Integraciones. Aplicando las ecuaciones 9-6 e integrando con respecto a x resulta

¡x dA 1\YdX 11 x3 dx 0.250 x= ¡dA 11

y dx 1\2dX = 0.333 = 0.75 m Resp.

¡y dA 11 (yj2)y dx 11 (x2j2)x2 dx 0.100

y = 11y dx 1\2 dx

= 0.333 = 0.3 m Re�p. ¡dA

Solución 11

Elemento diftrencial. El elemento diferencial de espesor dy se muestra en la figura 9-13b. El elemento interseca la curva en el punto arbitrario (x, y) y tiene entonces una longitud (1 - x). Área y brazos de momento. El área del elemento es dA = (1 - x) dy, y su centroide está ubicado en

��--______ � ____ -L __ -L_x +O -x)-j

1------- 1 m ----l x = x + (1 - x) = 1 + x I-----x

(b)

Fig. 9-13

x=

y =

2 2 ' y = y

Integraciones. Aplicando las ecuaciones 9-6 e integrando con respecto a y, obtenemos

11 [(1 + x)j2](l - x) dy 1 t 2Jo (1 - y) dy

0.250 1 = 0.333 = 0.75 m 1\1 - x) dy 1 (1 - vY) dy

1 1Y(1 - x) dy

1 1(1 - x)dy

t (y _ y3/2) dy Jo 0.100 1 = 0.333 = 0.3 m 1 (1 - vY) dy

Resp.

Resp.

SECCIÓN 9.2 Centro de gravedad, centro de masa, y centroide para un cuerpo • 449

Localice el centroide x del área sombreada limitada por las dos cur-vas y = x y y = r-, figura 9-14. y

Solución I 1---- I pie ----11 Elemento diferencial Un elemento diferencial de espesor dx se muestra en la figura 9-14a. El elemento interseca las curvas en puntos arbitrarios (x, Yl) y (x, Y2), por lo que tiene una altura (Y2 - Yl)' Área y brazo de momento. El área del elemento es dA = (Y2 -Y1) dx, Y su centroide está ubicado en x = x. Integración. Aplicando la ecuación 9--6, tenemos

x=

Solución 11

¡\(Y2 - Yl) dx

¡l (Y2 - Yl) dx

tx(x - X2) dx l. Jo 12 05 ' 1 = T = . pIes

¡ (x - x2) dx 6

Elemento diferencial. Un elemento diferencial con espesor dy se muestra en la figura 9-14b. El elemento interseca las curvas en los puntos arbitrarios (X2, y) Y (Xl> y), por lo que tiene una longitud (Xl - X2)' Área y brazo de momento El área del elemento es dA = (Xl - X2) dy, y su centroide está ubicado en

� Xl - x2 Xl + x2 X = X2 + 2 2

Integración. Aplicando la ecuación 9--6, tenemos

cr,nl 1 pie

�----------------�-L-X

Resp.

y

(a)

(XI' y ) (X,Y)

1 pie

�----�-------------L-X

(b)

Fig. 9-14

x= ¡\(Xl + x2)/2](Xl - X2) dy

¡l (Xl _ X2) dy

¡\(VY + y)/2](VY - y) dy

¡\VY - y) dy

1¡1 2 (y - l) dy l. o 12 05 '

1 = T = . ples

¡ (VY - y) dy 6 Resp.


Localice el centroide y para el paraboloide de revolución, el cual es generado al girar el área sombreada que aparece en la figura 9-15a con respecto al eje y.

dy

x

Solución I

z

100 mm

_L-� ____ �_ y

1----100 mm ----1 Ca) Fig.9-15

Elemento diferencial. Seleccionamos un elemento con la forma de un disco delgado, figura 9-15a. El elemento tiene un espesor dy. En este método de análisis de "disco", el elemento de área plana, dA, se toma siempre perpendicular al eje de revolución. Aquí, el elemento interseca la curva generatriz en el punto arbitrario (O, y, z) y su radio es r = z.

Área y brazo de momento. El volumen del elemento es dV = (7TZ2) dy, Y su centroide está ubicado en y = y.

Integración. Aplicando la segunda ecuación del conjunto de ecuaciones 9-5, e integrando con respecto a y resulta

y = 1007T 1100 l dy

--�:-:100-::--- = 66.7 mm Resp. 1007T 1 y dy

x

Solución 11

SECCiÓN 9.2 Centro de gravedad, centro de masa, y centroide para un cuerpo • 45 1

(100 - y)

mm

---'-----y

(b)

Elemento diferencial. Como se muestra en la figura 9-15b, el elemento de volumen se puede elegir en la forma de un cascarón cilíndrico delgado, donde el espesor del cascarón es dz. En este método de análisis del "cascarón" , el elemento de área plana, dA, se toma siempre paralelo al eje de revolución. Aquí, el elemento interseca la curva generatriz en el punto (O, y, z), y el radio del cascarón es r = z. Área y brazo de momento El volumen del elemento es dV = 27Tr dA = 27Tz(100 - y) dz, y su centroide está ubicado en y = y + (100 - y)j2 = (100 + y)j2.

Integraciones. Aplicando la segunda ecuación del conjunto de ecuaciones 9-5, e integrando con respecto a z resulta

)1=

tOO Jo [( 100 + y)j2]27Tz( 100 - y) dz

tOO Jo 27Tz(100 - y) dz

Resp.


(O,o,Z')

x

z

dr 1 m

��, (b)

Fig. 9-16

Determine la ubicación del centro de masa del cilindro mostrado en la figura 9-16a si su densidad varía directamente con la distancia desde su base, es decir, p = 200z kgjm3.

1m

i�1 /------w y

(a)

Solución

Por razones de simetría del material, x = y = O Resp.

Elemento diferencial. Para efectuar la integración se elije un elemento en forma de disco, con radio de 0.5 m y espesor dz, como se muestra en la figura 9-16a, ya que la densidad de todo el elemento es constante para un valor dado de z. El elemento se localiza a lo largo del eje z en el punto arbitrario (O, O, z). Volumen y brazo de momento El volumen del elemento es dV = 1T(0.5f dz, Y su centroide está ubicado en z = z. Integraciones. Usando una ecuación similar a la tercera de las ecuaciones 9-4, e integrando con respecto a z, observamos que p = 200z, tenemos

z= ¡ZP dV ¡P dV

1\(200Z)1T(0.5 )2 dz 11 (200Z)1T(0.5 )2 dz

11z2 dz 1 = 0.667 m

1 z dz Resp.

Nota: No es posible usar un elemento cascarón para efectuar la integración como se muestra en la figura 9-16b ya que la densidad del material que compone al cascarón variaría con la altura de éste, y por ello la ubicación de Z para el elemento no podría ser especificada.

P R OBL E M A S 9-1. Determine la distancia x al centro de masa de la barra homogénea doblada en la forma que se muestra. Si la barra tiene una masa por longitud unitaria de 0.5 kg/m, determine las reacciones en el soporte empotrado O.

y

f----- 1 m -----1

T 1m �_-----,-I ,

Prob. 9-1

9-2. Determine la ubicación (x, :n del centroide del alambre.

y

2 pies --!

I 4 pies

-----��-----�-- x

Prob. 9-2

PROBLEMAS 453

9-3. Localice el centro de masa de la barra homogénea doblada en forma de un arco circular.

y

---t"------H¡--- x

Prob. 9-3

*9-4. Localice el centro de gravedad x de la barra homogénea doblada en forma de un arco semicircular. La barra tiene un peso por longitud unitaria de 0.5 Ib/pie. Determine también la reacción horizontal en el soporte liso B y las componentes x y y de reacción en el pasador A.

y

x

Prob. 9-4

localice el centroide en las areas mostrtadas

454 CAPíTULO 9 Centro de gravedad y centroide

9-5. Determine la distancia x al centro de gravedad de la barra homogénea doblada en forma parabólica. Si la barra tiene un peso por longitud unitaria de 0.5 lb/pie, determine las reacciones en el soporte empotrado O.

9-6. Determine la distancia ji al centro de gravedad de la barra homogénea doblada en forma parabólica.

y

r 0.5 pies

l��_-+-x O 1------- I pie ---------1

Probs. 9-5/6

9-7. Localice el centroide del área parabólica.

y

y=ax2 -��-----+-l---x

1----b------1

Prob. 9-7

*9-8. Localice el centroide (x, ji) del área sombreada.

y

1m

��----------+-----------�--x 2m-----l

Prob. 9-8

9-9. Localice el centroide del área sombreada.

y

h

-��----------+-L---x I----b----¡

Prob. 9-9

centroides

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