UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL

FACULTAD DE ODONTOLOGÍA

‘‘Centro de gravedad’ ’

Curso: Biofísica

Profesora: Isabel Toledo

Alumnos:

- Rupay Puell Orlando- Orna Reyes Jemy

Turno: Mañana

Año: 1

RESUMEN

Habitualmente el concepto de centro de gravedad se introduce de una forma teórica en las clases de física básica y se demuestran diversas relaciones matemáticas para determinar el centro de gravedad de sistemas o cuerpos con formas geométricas sencillas. Sin embargo, en una clase de física aplicada a la biomecánica será muy instructivo relacionar este concepto con el cuerpo humano, en cuyo caso los cálculos teóricos son demasiado complejos para un curso básico. Describimos aquí una sencilla práctica de laboratorio para calcular el centro de gravedad de un cuerpo humano y relacionar este concepto con la praxis de la biomecánica.

ÍNDICE

1. Introducción.2. Teoría.3. Parte experimental.4. Resultados.5. Análisis y discusión.6. Conclusiones.7. Sugerencias.8. Bibliografía.9. Anexos.

1. INTRODUCCIÓN

Debido a que un cuerpo es una distribución continua de masa, en cada una de sus partes actúa la fuerza de gravedad. El centro de gravedad o centroide es la posición donde se puede considerar actuando la fuerza de gravedad neta, es el

punto ubicado en la posición promedio donde se concentra el peso total del cuerpo. Para un objeto simétrico homogéneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro geométrico, pero no para un objeto irregular. El centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo. Un objeto está en equilibrio estable mientras su centro de gravedad quede arriba y dentro de su base original de apoyo. Cuando éste es el caso, siempre habrá un torque de restauración. No obstante, cuando el centro de gravedad cae fuera del centro de apoyo, el torque de restauración pasa sobre el cuerpo, debido a un torque gravitacional que lo hace rotar fuera de su posición de equilibrio. Los cuerpos rígidos con bases amplias y centros de gravedad bajos son, por consiguiente, más estables y menos propensos a voltearse. Esta relación es evidente en el diseño de los automóviles de carrera de alta velocidad, que tienen neumáticos anchos y centros de gravedad cercanos al suelo. También la posición del centro de gravedad del cuerpo humano tiene efectos sobre ciertas capacidades físicas

2. TEORÍA

Centro de masa (CDM) Punto de un sistema de puntos materiales o de un cuerpo físico en donde podría concentrarse toda la masa de manera que el momento de la masa concentrada respecto a un eje o plano cualquiera fuese igual al momento respecto a dicho eje o plano de la masa distribuida.Si consideramos un sistema de n puntos materiales, las distancias a los planos de coordenadas del CDM G del sistema de puntos materiales son:

M yz=m x=∑

i=1

n

mi xi o sea x=1m∑i=1

n

mi xi

M zx=m y=∑i=1

n

mi yi o sea y=1m∑i=1

n

mi y i

M xy=m z=∑i=1

n

mi zi o sea z=1m

∑i=1

n

mi zi

Donde:

Centro de gravedad (CDG)

El peso de un cuerpo es la resultante de las fuerzas másicas distribuidas que la Tierra ejerce sobre los puntos materiales que constituyen el cuerpo.

Es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas masas materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo (dicho punto no necesariamente corresponde a un punto material del cuerpo, ya que puede estar situado fuera de él. En el caso de una esfera hueca, el CG está situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo).

• El punto G del cuerpo en el que actúa el peso es el CDG del cuerpo.

M yz=m x=∑i=1

n

mi xi o sea x=1m∑i=1

n

mi xi

M zx=m y=∑i=1

n

mi yi o sea y=1m∑i=1

n

mi y i

M xy=m z=∑i=1

n

mi zi o sea z=1m

∑i=1

n

mi zi

m=∑i=1

n

mi

• El módulo de la fuerza que la Tierra ejerce sobre un punto material dado del cuerpo depende de la masa de dicho punto y de la distancia a que se encuentre del centro de la Tierra. En la práctica se supone que todos los puntosa del cuerpo experimentan la misma aceleración gravitatoria g. Además, debido al tamaño de la Tierra, las rectas soporte de las fuerzas que se ejercen sobre los distintos puntos materiales concurren en el centro de la Tierra y se pueden suponer paralelas. Estas dos hipótesis dan un centro de gravedad que coincide con el CDM ya que:

• Por ejemplo, si consideramos dos puntos materiales A y B, cuyas masas respectivas valgan m1 y m2; además los suponemos rígidamente unidos por una varilla de masa despreciable, a fin de poder considerarlos como formando parte de un cuerpo sólido. La gravedad ejerce sobre dichos puntos sendas fuerzas paralelas m1g y m2g que admiten una resultante cuyo punto de aplicación recibe el nombre de centro de gravedad o centroide.

• Si se multiplican por g los dos miembros de las ecuaciones descritas para el cálculo del CDM tendremos:

dWWDonde:

W =m g

M yz=W x= x dW o sea x=1W x dW

M zx=W y= y dW o sea y=1W

y dW

M xy=W z= z dW o sea z=1W z dW

Cuando el cuerpo tenga una forma concreta, su CDG podrá determinarse considerando que el cuerpo está constituido por infinitos elementos cada uno de los cuales tenga un peso dW dado así:

donde γ es el peso específico del material (peso por unidad de volumen) y dV es el volumen del elemento. El peso total del cuerpo será:

Si se elige un sistema de coordenadas xyz tal que la recta soporte del peso W sea paralela al eje z, el momento respecto al eje y del peso dW de un elemento será

y según la definición de CDG:

así pues, la coordenada x de un punto de la recta soporte del peso W será: y análogamente:

Centro de Gravedad y Centro de masa

Para la mayoría de los objetos en las inmediaciones de nuestro planeta, puede considerarse a estos términos como equivalentes en lo que respecta a la ubicación

dW=γ dV

W=V

γ dV

dM y=x dW=x (γ dV )

M y= x W= xV γ dV=V x ( γ dV )

x =V x (γ dV )

V γ dVy =

V y (γ dV )

V γ dVy z=

V z (γ dV )

V γ dV

3. Parte experimental

Descripción:

3.1 Colocar una tabla apoyando sus extremos en los soportes afilados

de madera que descansan sobres las balanzas ajustadas a cero, de

tal modo que el cero corresponda al peso solo de la tabla.

3.2 Medir la distancia L entre los soportes, tal como se indica en la

figura Nº 1.

3.3 Cuando la persona se encuentra sobre la tabla, usted debe anotar

los pesos W1 y W2 que registran las balanzas. Mida la distancia X

dese el plano medio de la persona a la balanza. Usar la SEGUNDA

CONDICIÓN DE EQUILIBRIO para determinar la coordenada X del

centro de gravedad de la persona.

Fig. Nº 1: Persona en posición de pie sobre la tabla que descansa

sobre las balanzas.

Aplicando momentos en el C.G encontramos:

XW = (Lx X) W2 XW1

XW = Lx W2 X W2 X W1

XW = Lx W2 X (W2 + W1)

X = L x W 2 X (W 2 + W 1 ) W

3.4 Haga que la persona gire 90º ( mirando a la balanza W1) y repita el

paso anterior tomando momentos al plano frontal del cuerpo que

pasa por las articulaciones coxofemorales, tal como indica la figura

Nº 2 .

De este modo podrá determinar la coordenada Y.

Aplicando momentos en el C.G encontramos:

YW = (Ly Y) W2 YW1

YW = Ly W2 YW2 YW1

YW = Ly W2 Y(W2 + W1)

Y = L y W 2 Y(W 2 + W 1 ) W

Fig. Nº 2: Persona en posición de pie de perfil, sobre la tabla que descansa

sobre las balanzas.

3.5 Ahora haga acostar a la persona sobre la tabla en posición de

cúbito dorsal, tal como indica la figura Nº 3 y sigue el mismo

procedimiento del paso numero ‘3’ . La distancia Z se obtiene

midiendo la distancia entre la balanza de referencia y el plano

horizontal del cuerpo que pasa por el ombligo.

Para determinar la coordenada Z aplique momento sobre el C.G.

X

R AR B

X

X cg

P c

P t

X 1 X ap

ZW = (Lz Z) W2 ZW1

ZW = Lz W2 ZW2 ZW1

ZW = Lz W2 Z(W2 + W1)

Z = L z W 2 Z(W 2 + W 1 ) W

Fig. Nº 3: Persona acostada de cúbito dorsal, sobre la tabla que descansa sobre

las balanzas.

4. RESULTADOS

COORDENADA X

X = ………cm

COORDENADA Y

Y = ………cm

COORDENADA Z

Z = ………cm

X

X

X t

X cg

L

R AR B

P c

P t

A BBáscula

Lx(cm) 235 cm Ly(cm) 235 cm Lz(cm) 235 cm

X(cm) 175.5 cm X(cm) 116 cm X(cm) 98 cm

W1(Kg) 27 Kg W1(Kg) 29 Kg W1(Kg) 31 Kg

W2(Kg) 31 Kg W2(Kg) 33 Kg W2(Kg) 25 Kg

W(Kg) 29 Kg W(Kg) 31 Kg W(Kg) 28 Kg

CENTRO DE GRAVEDAD: C.G.= (-284, 563, 387)

5. ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE LOS

RESULTADOS

• Discutimos sobre el problema que había al obtener el resultado

ya que era muy inexacto.

• También sobre el resultado distinto que habían obtenido otros

proyectos de este tipo ya que utilizaban otros métodos.

CONCLUSIONES

• La sencilla actividad experimental que proponemos servirá para afianzar los conceptos asociados al centro de gravedad y tiene especial interés en cursos básicos de física o biomecánica de titulaciones relacionadas con la educación física o la actividad deportiva.

• Durante los ocho cursos de realización de esta práctica encontramos una respuesta muy favorable de los alumnos en la medida en que esta experiencia estimula su curiosidad y fomenta su participación en el experimento debido a la implicación y exploración de su propio cuerpo. La evaluación del trabajo de los

alumnos se realiza mediante la corrección de un informe que cada estudiante debe confeccionar durante la sesión de laboratorio incluyendo las medidas tomadas, el diagrama de sólido libre del montaje experimental y los cálculos realizados.

• Esta actividad experimental puede generalizarse fácilmente a un caso bidimensional no mucho más complicado en el cálculo sin más que añadir una báscula más y utilizar una tabla de momentos con un apoyo fijo y dos apoyos sobre sendas básculas. De esta forma la determinación del centro de gravedad permite el análisis de posturas del cuerpo ya que se puede involucrar en los cálculos el eje transversal al cuerpo del sujeto experimental.

SUGERENCIAS

. Búsqueda de más fuentes de información por parte

del grupo.

. Mayor orden y un poco mas de concordancia.

BIBLIOGRAFÍA

- BEER, F. P., JOHNSTON, E. R. y EISENBERG, E. R. (2004). Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, México: McGraw-Hill.

- CHANDLER, R.F., CLAUSER, C.E., MCCONVILLE, J.T.

- REYNOLDS, H.M. y YOUNG, J.W. (1975). Investigation of inertial properties of the human body, Wright-Patterson Air Force Base, Ohio: Aerospace Medical Research Laboratories.

- GIANCOLI, D.C. (2002). Física para universitarios. México: Pearson educación.

ANEXOSDebido a que un cuerpo es una distribución continua de masa, en cada una de sus partes actúa la fuerza de gravedad. El centro de gravedad o centroide es la posición donde se puede considerar actuando la fuerza de gravedad neta, es el punto ubicado en la posición promedio donde se concentra el peso total del cuerpo. Para un objeto simétrico homogéneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro geométrico, pero no para un objeto irregular. El centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo. Un objeto está en equilibrio estable mientras su centro de gravedad quede arriba y dentro de su base original de apoyo. Cuando éste es el caso, siempre habrá un torque de restauración. No obstante, cuando el centro de gravedad cae fuera del centro de apoyo, el torque de restauración pasa sobre el cuerpo, debido a un torque gravitacional que lo hace rotar fuera de su posición de equilibrio. Los cuerpos rígidos con bases amplias y centros de gravedad bajos son, por consiguiente, más estables y menos propensos a voltearse. Esta relación es evidente en el diseño de los automóviles de carrera de alta velocidad, que tienen neumáticos anchos y centros de gravedad cercanos al suelo. También la posición del centro de gravedad del cuerpo humano tiene efectos sobre ciertas capacidades físicas

En otras palabras el centro de gravedad es:

. Es el centro de simetría de masas

• Es el punto donde se considera concentrada la masa del cuerpo • En el hombre está alrededor del 60 % de la altura, en posición anatómica, y va variando cuando realizamos un movimiento a partir de dicha posición

• El centro de gravedad en el hombre ,en posición anatómica, cae entre los 2 pies,en la parte anterior de estos, por esa razón el cuerpo tiende a irse hacia adelante,y para que el cuerpo no se caiga, los músculos gemelos y los espinales secontraen isométricamente, por esta razón a estos músculos se los denomina"antigravitatorios"