Tema 2: Matrices, determinantes y sistemas de ecuacioneslineales

MatricesUna matriz con coeficientes sobre un cuerpo K (normalmente K R) consiste en una

colección de números (o escalares) del cuerpo K ordenados por filas y columnas. Si lamatriz tiene m filas y n columnas se dirá que es de orden m n.

Ejemplo: Las siguientes son matrices con coeficientes sobre R:

A 0 −1 3

3 7 6de orden 2 3 B 3 7 de orden 1 2

C

5 3 −3

0 0 0

−2 8 8

5 0.5 0

de orden 4 3 D

0

2

8

de orden 3 1

E 2 1

0 −3de orden 2 2 F

3 0 0

5 −4 0

1 −8 0

de orden 3 3

Sea A una matriz. Para indicar la fila y columna que ocupa cada elemento usaremos lanotación A aij, donde el índice i indica la fila y el índice j la columna. De este modoestamos diciendo que el elemento aij de la matriz A es el que ocupa la fila i y la columna j,considerando esto para todos los posibles i y j. Así los elementos de la matriz A aij delejemplo anterior son:

a11 0 a12 −1 a13 3 a21 3 a22 7 a23 6

Recordemos que Rn está formado por todos los vectores de n coordenadas, todas ellasnúmeros reales. Similarmente ocurre con Kn tomando esta vez escalares del cuerpo K envez de números de R.

Para una matriz A de orden m n denotaremos por Fi la fila i-ésima de la matriz, lacual puede interpretarse como un vector de Kn al que llamaremos vector-fila de A;igualmente denotaremos por Cj a la columna j-ésima de la matriz, que puede interpretarsecomo un vector de Km al que llamaremos vector-columna de A.

Una submatriz de otra es una matriz que se obtiene a partir de la inicial cogiendo unascuantas filas y unas cuantas columnas.

Se dice que una matriz es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas(como la matriz E del ejemplo anterior). En esta situación si la matriz tiene n filas y ncolumnas, podremos decir que es de orden n n ó simplemente de orden n. Se llamadiagonal principal de una matriz (generalmente cuadrada) a los elementos de la forma aii

para todo i posible, es decir, los elementos que tienen el mismo índice fila que columna. La

suma de los elementos de la diagonal principal se llama traza de la matriz (la diagonalprincipal de la matriz E del ejemplo anterior está formada por el a11 2 y el a22 −3; poreso la traza de la matriz vale −1). Una matriz cuadrada se dice que es triangular inferior(respectivamente triangular superior) cuando todo elemento que esté situado por encima(respectivamente por debajo) de la diagonal principal es nulo (la matriz E del ejemploanterior es triangular superior, mientras que la matriz F es triangular inferior). A una matrizcuadrada que es triangular tanto inferior como superior, es decir, si cumple que loselementos que no están en la diagonal principal son nulos, se le llama matriz diagonal. Lamatriz diagonal de orden n que tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales a1 se llama matriz identidad (o matriz unidad) de orden n, y la denotaremos por In, osimplemente por I si está claro el tamaño. La matriz nula es la matriz que tiene todos suscoeficientes son nulos. La matriz opuesta de una matriz A se denota por −A y consiste encambiar de signo todos sus coeficientes. La traza de una matriz cuadrada es la suma de loselementos de la diagonal principal. Veamos algunos ejemplos:

5 −3

−3 5

−5 7

es submatriz de

5 7 −3

6 −5 0

−3 8 5

−5 0 7

al coger las filas 1, 3 y 4 y las columnas 1 y 3

−3 0

0 4y

11 0 0

0 0 0

0 0 5

son matrices diagonales

1 0

0 1es la matriz identidad de orden 2 y

1 0 0

0 1 0

0 0 1

de orden 3

0 0 0

0 0 0es la matriz nula de orden 2 3

La opuesta de la matriz0 4 −3

−1 2 0es

0 −4 3

1 −2 0

La traza de la matriz

1 3 0

2 −4 −4

6 4 5

es 1 − 4 5 2

Operaciones con matricesFijados m y n, al conjunto de las matrices de orden m n con coeficientes sobre un

cuerpo K lo denotaremos por MmnK.

SumaSean A aij y B bij dos matrices del mismo orden (m n). Se define la suma de

las dos matrices como la matriz A B cij, también de orden m n, que cumple que

cij aij bij

para cada par de índices i, j. Esto se traduce en que sumamos A y B coeficiente acoeficiente. Observemos que esto sólo tiene sentido si las dos matrices son del mismoorden. Por ejemplo

0 1 3

−1 5 6

2 0 −3

2 0 4

2 1 0

1 5 10

Propiedades: Propiedad asociativa: ∀A,B,C ∈ MmnK se tiene que

A B C A B C

(Propiedad conmutativa) ∀ A,B ∈ MmnK se tiene que

A B B A

(Elemento neutro) La matriz nula 0 ∈ MmnK, cumple que dada cualquier otramatriz B ∈ MmnK se tiene que

B 0 B

(Elemento opuesto) Dada A ∈ MmnK se cumple que

A −A 0

Entonces MmnK es un grupo abeliano con la suma ””, por cumplir estaspropiedades.

Producto de una matriz por un escalarSea A aij una matriz de orden m n y ∈ R. Se define el producto del escalar por

la matriz como la matriz A dij (o simplemente A, omitiendo el símbolo demultiplicar) de orden m n, que cumple que

dij aij

para todo i, j posibles. Por ejemplo

30 1 3

−1 5 6

0 3 9

−3 15 18− 4

2 −1 3

9 0 8

−8 4 −12

−36 0 −32

Propiedades Pseudodistributivas:

1. ∀A,B ∈ MmnK,∀ ∈ K se tiene que

A B A B

2. ∀A ∈ MmnK,∀, ∈ K se tiene que

A A A

Pseudoasociativa: ∀A ∈ MmnK,∀, ∈ K se tiene que

A A

Pseudoelemento neutro: ∀A ∈ MmnK se tiene que

1 A A

(donde 1 es el neutro para la multiplicación en el cuerpo K).Observación: Como se ve en el Tema 2 el conjunto MmnK está dotado, con la suma

y el producto por escalares que aquí se han detallado, de estructura de espacio vectorial.

Producto de matricesDadas dos matrices A aij y B bij de orden m n y n p, respectivamente, se

define el producto de ambas matrices como la matriz A B cij (en adelante AB, sinpunto) de orden m p que cumple que

cij k1

n

∑ aikbkj ai1b1j ai2b2j . . .ainbnj

para todo i, j posibles. Recordando que el producto escalar (euclídeo) de dos vectoresa1,a2, . . . ,an, b1,b2, . . . ,bn de Rn está dado por

a1,a2, . . . ,an b1,b2, . . . ,bn k1

n

∑ akbk a1b1 a2b2 . . .anbn

el producto matricial puede interpretarse del siguiente modo: para obtener el elemento delproducto AB que está situado en la fila i, columna j, hay que hacer el producto escalardel vector-fila Fi de A por el vector-columna Cj de B (esto vale también para matricesconsideradas sobre un cuerpo arbitrario K, no necesariamente R).

Notemos que si m ≠ p no tiene sentido hacer el producto BA. Incluso aunque m p, yentonces tenga sentido el producto en orden inverso, la matriz AB tendría orden m m y lamatriz BA sería de orden n n, luego ambas no podrían ser iguales, ya que tendrían distintoorden, si m ≠ n. Es más, aún poniéndonos en la situación en que n m p (así A,B,AB yBA son cuadradas de orden n) el producto no tiene por qué ser conmutativo, es decir, esposible que AB ≠ BA.

Dada una matriz cuadrada A se define la potencia n-ésima de A como la matriz

An

n veces A

A A . . . A

es decir, el producto de n veces A. Así A1 A, A2 A A, A3 A A A, etc.Ejemplos:

1. Dadas

A 0 −2

1 −3B

3 −1 0

4 −2 1

la matriz producto es

AB 0 −2

1 −3

3 −1 0

4 −2 1

−8 4 −2

−9 5 −3

2. Para la matriz A anterior se tiene que

A4 A A A A 0 −2

1 −3

0 −2

1 −3

0 −2

1 −3

0 −2

1 −3

−2 6

−3 7

−2 6

−3 7

−14 30

−15 31

Propiedades

1. Asociativa: Dadas matrices A de orden m n, B de orden n p y C de orden p q setiene

ABC ABC

y entonces podremos escribir simplemente ABC.2. Relación con el producto por escalares: Dadas matrices A de orden m n y B de

orden n p y dado cualquier escalar se tiene

AB AB AB

y entonces lo escribiremos de cualquiera de las formas siguientes AB AB AB.3. Distributivas:

Dadas matrices A,B de orden m n, C de orden n p y D de orden q m se tiene

A BC AC BC y DA B DA DB

4. Se tiene que

A 0 0 y 0 A 0

para cualquier matriz A, tomando la matriz nula del tamaño correspondiente en cadacaso.

5. Elemento neutro: Para cualquier matriz A se cumple que

IA A y AI A

tomando I la matriz identidad del tamaño adecuado en cada caso.6. No conmutativa: En general se tiene AB ≠ BA, para matrices A y B de órdenes m n

y n m, respectivamente.

Trasposición de matricesDada una matriz A aij de orden m n se llama matriz traspuesta de A, a la matriz

At bij de orden n m cuyos elementos son

bij aji

para cada i, j. Observemos que cualquier matriz tiene traspuesta, no necesita ser cuadrada.En la práctica para calcular la traspuesta de una matriz hay que tener en cuenta que las filasde A son las columnas de At, o equivalentemente, las columnas de A las filas de At.

A 2 0 −3

−2 1 4 At

2 −2

0 1

−3 4

Una matriz cuadrada A se dice que es simétrica si

A At

Por ejemplo, es simétrica la matriz

1 −3 0

−3 5 4

0 4 −2

Sistemas escalonados. Método de GaussEn toda la parte de Álgebra Lineal nos van a aparecer con frecuencia (en matrices,

sistemas de ecuaciones, sistemas de vectores de algunos de los espacios Rn, espacios

vectoriales....) sistemas escalonados. Estos sistemas se caracterizan porque se puede elegiruna ordenación en la que cada fila (ecuación o vector) tiene más ceros iniciales que la/elanterior, exceptuando las filas (ecuaciones o vectores) nulas que pudieran aparecer alfinal.

1 −3 0 3 7

0 0 4 5 0

0 0 0 1 −4

0 0 0 0 0

matriz escalonada

Ejemplo: El sistema de ecuaciones lineales

x1 2x2 3

− 2x2 −4

− x3 0

está escalonado, pues si representamos los coeficientes de modo matricial vemos que lamatriz de coeficientes

1 2 0

0 −2 0

0 0 −1

está escalonada. Resolver un sistema de ecuaciones escalonado es bien sencillo. Para ésteen concreto obtenemos en la última ecuación x3 0, de la segunda x2 2, y sustituyendoesto en la primera que x1 −1.

Nota: Un sistema de ecuaciones lineales se caracteriza porque las incógnitas del sistema(en este caso x1,x2 y x3) aparecen en cada una de las ecuaciones del sistema sumando,restando o multiplicadas por un número (no aparecen ni multiplicando ni dividiendo nirealizando otro tipo de operaciones diferentes de la suma, resta o multiplicación pornúmeros).

Ejemplo: El sistema de vectores de R6

v1 0,0,3,4,5,4 v2 0,2,3,4,5,−3 v3 0,0,0,0,1,−6 v4 0,0,0,0,0,2

es escalonado si se elige el orden v2,v1,v3,v4. Observemos la representación matricialcon esta ordenación de los vectores:

0 2 3 4 5 −3

0 0 3 4 5 4

0 0 0 0 1 −6

0 0 0 0 0 2

El método de triangulación o escalonación de Gauss, que utilizaremos en estostemas, se utiliza para pasar de un estado inicial (sea en forma de matriz, de sistema deecuaciones lineales, o de sistema de vectores) a otro estado que se denomina laescalonación del sistema inicial. Se hace uso de 3 tipos de transformaciones (denominadastransformaciones elementales) para la escalonación. Éstas son:

1. Cambiar el orden de las filas, ecuaciones o vectores.2. Sumarle a una fila, ecuación o vector múltiplos de otras/os.3. Multiplicar una fila, ecuación o vector por algún escalar no nulo.

Observación: Podemos utilizar las siguientes notaciones cuando realicemos algunatrasformación elemental (usaremos preferentemente notación para matrices):1. Si intercambiamos las filas Fi y Fj pondremos

Fi Fj

2. Si le añadimos a la fila Fj veces la fila Fi pondremos

Fj Fi

3. Si multiplicamos la fila Fi por pondremos

Fi

Observación: Estas transformaciones también pueden hacerse sobre las columnas, almenos para el caso de matrices, sobreentendiendo las notaciones correspondientes(cambiando la F de fila por la C de columna).

Ejemplo: Escalonemos (por filas) la matriz

2 1 −1 0

1 0 −3 1

−1 −1 −2 1

En primer lugar cambiamos de orden las dos primeras filas:

F1 F2

1 0 −3 1

2 1 −1 0

−1 −1 −2 1

Después le añadimos la primera fila a la segunda y a la tercera (a la segunda multiplicadapor −2 y la tercera por 1) y obtenemos

F2 − 2F1

F3 F1

1 0 −3 1

0 1 5 −2

0 −1 −5 2

Ahora nos fijamos únicamente en las dos últimas filas y le sumamos a la tercera la segunda.Nos da

F3 F2

1 0 −3 1

0 1 5 −2

0 0 0 0

Ya tenemos escalonada la matriz inicial.Ejemplo: Escalonar el siguiente sistema de ecuaciones lineales

x1 2x2 5x3 3

3x1 6x2 15x3 9

− 2x2 x3 −6

Matricialmente se tiene

1 2 5 3

3 6 15 9

0 −2 1 −6

Le añadimos la primera fila multiplicada por −3 a la segunda y obtenemos

F2 − 3F1

1 2 5 3

0 0 0 0

0 −2 1 −6

Cambiando las dos últimas llegamos a la matriz

F3 F2

1 2 5 3

0 −2 1 −6

0 0 0 0

que representa al sistema

x1 2x2 5x3 3

− 2x2 x3 − 6

0 0

el cual está ya escalonado.Ejemplo: Escalonemos el sistema de vectores

−1,0,1,1, 1,0,3,2, 2,1,−1,0

Para ello hagamos operaciones sobre la matriz cuyas filas son estos vectores:

−1 0 1 1

1 0 3 2

2 1 −1 0

En primer lugar le añadimos la primera fila a la segunda (multiplicada por 1) y a la tercera(multiplicada por 2),

F2 F1

F3 2F1

−1 0 1 1

0 0 4 3

0 1 1 2

Después cambiamos de orden la segunda y tercera filas y obtenemos la escalonación

F2 F3

−1 0 1 1

0 1 1 2

0 0 4 3

Entonces el sistema de vectores escalonado obtenido es

−1,0,1,1, 0,1,1,2, 0,0,4,3

Una variante del método de Gauss es el de Gauss-Jordan, que consigue, además deceros por debajo de la diagonal como lo hace el método de Gauss, también ceros porencima y unos en la misma diagonal.

Ejemplo: Escalonar el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método deGauss-Jordan:

x1 2x2 5x3 3

3x1 6x2 14x3 9

− 2x2 x3 −4

Le añadimos a la segunda −3 veces la primera y obtenemos

F2 − 3F1

x1 2x2 5x3 3

− x3 0

− 2x2 x3 −4

Cambiando de orden las dos últimas filas tenemos

F2 F3

x1 2x2 5x3 3

− 2x2 x3 −4

− x3 0

sistema que ya está escalonado. Ahora le añadimos la tercera fila a la segunda y primeramultiplicada por 1 y 5, respectivamente y tenemos

F2 F3

F1 5F3

x1 2x2 3

− 2x2 −4

− x3 0

Seguidamente le sumamos la segunda ecuación a la primera y tenemos

F1 F2

x1 −1

− 2x2 −4

− x3 0

Finalmente se multiplica la segunda ecuación por − 12 y la tercera por −1 para quedar así:

− 12 F2

−F3

x1 −1

x2 2

x3 0

RangoEl rango de una matriz A es un número que será denotado por rA ó RA. Esto

podemos calcularlo, aplicando el método de Gauss para escalonar las filas(respectivamente, las columnas) de A, teniendo en cuenta que rA es el número de filasno nulas que resultan después de escalonar la matriz. Esto se debe a que lastransformaciones elementales que se realizan a las filas o columnas de una matriz no varíansu rango.

Definición: a) Si tenemos una matriz cuyas filas son F1,F2, . . . ,Fn, se llamacombinación lineal de las filas (en adelante CL) a todo vector v que se pueda poner de laforma

v i1

n

∑ iFi 1F1 2F2 . . .nFn

para cualesquier números 1,2, . . . ,n. En esta situación se dice que v es CL deF1,F2, . . . ,Fn.

b) Se dice las filas son linealmente dependientes (en adelante LD), o que hay unarelación de dependencia lineal entre ellas, si alguna es CL de los demás. En caso contrariose dirá que son linealmente independientes (LI).

Ejemplo: En la situación de una matriz A con cuatro filas si: F2 1F1 3F3 4F4 se diría que F2 es CL de F1,F3 y F4. F1 3F2 − 2F3 F4 se diría que F1 es CL de F2,F3 y F4. F3 F2 − 7F4 (observemos que 1 0) se diría que F3 es CL de F1,F2 y F4.

En los tres ejemplos anteriores las filas son LD, porque existe una relación dedependencia lineal entre ellas.

En el proceso del cálculo del rango de una matriz mediante el método de escalonaciónde Gauss podemos, o bien dejar las filas nulas que nos vayan apareciendo al final (tal ycomo está concebido inicialmente el método de Gauss) o bien ir eliminando estas filas(pues luego éstas no cuentan para el rango). Lo mismo podemos hacer con las filas entre lasque haya alguna relación de dependencia lineal, eliminando alguna que sea combinaciónlineal de las demás.

Ejemplo: Vamos a hallar el rango de la matriz

2 2 3 2 0

1 1 2 0 −1

1 1 2 0 −1

2 2 2 1 0

En primer lugar cambiamos de orden la primera y segunda filas, para así operar mejorcon el 1 que tiene la segunda fila como primer coeficiente. Tendríamos entonces

F1 F2

1 1 2 0 −1

2 2 3 2 0

1 1 2 0 −1

2 2 2 1 0

donde añadimos la primera fila a las restantes, multiplicándola por números adecuados (a lasegunda y cuarta se la añadimos multiplicada por −2 y a la tercera por −1). Entoncestenemos

F2 − 2F1

F3 − F1

F4 − 2F1

1 1 2 0 −1

0 0 −1 2 2

0 0 0 0 0

0 0 −2 1 2

Ahora procederíamos igual con las tres últimas filas. En ellas es nulo el primer coeficiente(porque lo hemos eliminado antes) y casualmente el segundo. Empezamos pues por eltercero. Esta vez no hace falta cambiarlas de orden y lo único que tenemos que hacer esañadir un múltiplo de la segunda fila a las demás para hacer ceros. En este caso bastaañadirle a la cuarta fila −2 veces la segunda para obtener

F4 − 2F2

1 1 2 0 −1

0 0 −1 2 2

0 0 0 0 0

0 0 0 −3 −2

Ahora procedemos con la tercera y cuarta filas, donde nos interesa cambiarlas de orden:

F3 F4

1 1 2 0 −1

0 0 −1 2 2

0 0 0 −3 −2

0 0 0 0 0

Ejemplo: Vamos a hallar el rango de la matriz

1 0 3 −2 0

−1 3 0 2 3

−1 1 −2 −2 1

0 1 1 0 −1

En primer lugar eliminamos la cuarta columna pues es -2 veces la primera

1 0 3 0

−1 3 0 3

−1 1 −2 1

0 1 1 −1

Ahora eliminamos la cuarta fila, pues es suma de la primera y la tercera

1 0 3 0

−1 3 0 3

−1 1 −2 1

Ahora añadimos la primera fila a las restantes. En este caso basta con sumarles a ambasla primera fila. Entonces tenemos

F2 F1

F3 F1

1 0 3 0

0 3 3 3

0 1 1 1

Ahora eliminamos la segunda fila, pues es triple de la tercera y queda la matriz escalonada

1 0 3 0

0 1 1 1

que nos indica que el rango es 2.

InversaUna matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible cuando existe otra matriz

cuadrada del mismo orden B de modo que

AB BA In

En esta situación la matriz B es única cumpliendo lo anterior, y se llamará la matriz inversade A y escribiremos

B A−1

Nota: Puede comprobarse que B es la inversa de A si y sólo si AB In si y sólo siBA In, es decir, es suficiente con que uno de los dos productos resulte la matrizidentidad.

Propiedad: Una matriz cuadrada de orden n es invertible si y sólo si tiene rango n.La inversa de una matriz invertible A puede calcularse de varias formas. Una de ellas es

directamente, planteando un sistema de ecuaciones (que se puede resolver escalonándolopor Gauss), obtenido a partir de la suposición de que los coeficientes de A−1 sonindeterminados, y hacer el producto AA−1 In (ó A−1A In). Este método no es muyadecuado, pues hay que resolver n sistemas de n ecuaciones con n incógnitas. Es mejor elmétodo de Gauss-Jordan que se explica a continuación.

Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversaEste método para el cálculo de la inversa de una matriz es en general bastante eficiente.

Supongamos que tenemos una matriz A, cuadrada de orden n, que se sabe que es invertible.Pongamos la matriz A y a continuación, a la derecha, la matriz identidad de orden n.Usualmente se ponen ambas formando una matriz de orden n 2n y se separan por unalínea vertical, quedando en la forma A|In. Aplicamos a la matriz A el método deGauss-Jordan (variante del método de Gauss), consistente en hacer operaciones por filahasta obtener la matriz identidad. El resultado de aplicarle a la matriz identidad que hay a laderecha de A esas mismas operaciones nos proporciona precisamente A−1.

Observación: Si le aplicamos el método de Gauss-Jordan a una matriz no invertibleobservaremos que es imposible obtener la matriz identidad en la parte izquierda.

Ejemplo: Hallar la inversa de la matriz

A

1 0 1

2 −1 0

3 2 6

Pondríamos entonces

1 0 1

2 −1 0

3 2 6

1 0 0

0 1 0

0 0 1

y aplicamos transformaciones, por ejemplo por fila. Añadimos a la segunda fila −2 veces laprimera y a la tercera fila −3 veces y obtenemos

F2 − 2F1

F3 − 3F1

1 0 1

0 −1 −2

0 2 3

1 0 0

−2 1 0

−3 0 1

Añadimos a la tercera fila 2 veces la segunda y llegamos a

F3 2F2

1 0 1

0 −1 −2

0 0 −1

1 0 0

−2 1 0

−7 2 1

Una vez que estamos con una matriz triangular superior se hacen operaciones para hacerladiagonal. Primero cambiamos el signo de las dos últimas filas, por lo que tenemos

−F2

−F3

1 0 1

0 1 2

0 0 1

1 0 0

2 −1 0

7 −2 −1

Ahora añadimos a la segunda fila −2 veces la tercera y se obtiene que

F2 − 2F3

1 0 1

0 1 0

0 0 1

1 0 0

−12 3 2

7 −2 −1

Finalmente a la primera fila le restamos la tercera y nos sale

F1 − F3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

−6 2 1

−12 3 2

7 −2 −1

Entonces la matriz inversa de A es

A−1

−6 2 1

−12 3 2

7 −2 −1

Ejemplo: Hallar la inversa de la matriz

B

1 1 0

−3 0 1

2 −1 −2

Pondríamos entonces

1 1 0

−3 0 1

2 −1 −2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

y aplicamos transformaciones, por ejemplo por fila. Añadimos a la segunda fila −2 veces laprimera y a la tercera fila −3 veces, y obtenemos

F2 3F1

F3 − 2F1

1 1 0

0 3 1

0 −3 −2

1 0 0

3 1 0

−2 0 1

Ahora le añadimos a la tercera fila −1 por la segunda:

F3 F2

1 1 0

0 3 1

0 0 −1

1 0 0

3 1 0

1 1 1

Una vez que estamos con una matriz triangular superior, se hacen operaciones para hacerladiagonal. Primero añadimos a la segunda fila 2 veces la tercera:

F2 2F3

1 1 0

0 3 0

0 0 −1

1 0 0

4 2 1

1 1 1

Multiplicando la segunda fila por 13 y la tercer por −1 sale:

− 13 F2

−F3

1 1 0

0 1 0

0 0 1

1 0 043

23

13

−1 −1 −1

finalmente añadimos a la primera fila −1 por la segunda:

F1 − F2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

− 13 − 2

3 − 13

43

23

13

−1 −1 −1

Entonces la matriz inversa de B es

B−1

− 13 − 2

3 − 13

43

23

13

−1 −1 −1

Recordemos los pasos que se siguen para transformar una matriz A en la matriz

identidad:1. Hacer ceros por debajo de la diagonal principal.2. Convertir los elementos de la diagonal en 1.3. Hacer ceros por encima de la diagonal principal.

Nota: Los dos últimos pasos pueden entremezclarse.

DeterminantesLa definición rigurosa del concepto de determinante requiere una serie de herramientas

matemáticas que no creemos necesario tratar. El determinante está englobado dentro de loque se denominan las aplicaciones multilineales.

El determinante de una matriz cuadrada A de orden n con coeficientes sobre un cuerpoK es un escalar del cuerpo. Lo vamos a denotar por |A| (reemplazando los paréntesis usadospara delimitar la matriz por líneas verticales), por detA o también por detF1,F2, . . . . ,Fn,donde se supone que F1,F2, . . . ,Fn ∈ Kn son los vectores-fila de A (igualmente se podríausar la notación detC1,C2, . . . ,C2 a partir de los vectores-columna C1,C2, . . . ,Cn ∈ Kn).Diremos indistintamente que es el determinante de la matriz o de los vectores que están enlas filas o columnas.

La definición exacta de determinante es un tanto técnica y no se va a incluir aquí(aunque puede verse en buena parte de los textos de Álgebra). Vamos a dar las fórmulaspara el cálculo de los determinantes de orden 1, 2 y 3, y a continuación enunciaremosalgunas propiedades de los determinantes que nos permiten calcular también losdeterminantes de orden superior.

Orden 1 |a| a

Orden 2 a b

c d ad − bc

Orden 3

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11a22a33 a21a32a13 a31a12a23 − a13a22a31 − a23a32a11 − a33a12a21

Esta última fórmula se hace más sencilla de recordar si tenemos en cuenta que aparecen 6sumandos, 3 de los cuales resultan de multiplicar los elementos que aparecen en la diagonalprincipal y los de cada una de las 2 diagonales ”paralelas” a ésta, y los otros tres resultan demultiplicar los elementos que aparecen en cada una de las 3 ”diagonales opuestas”. Esto seconoce como Regla de Sarrus.

Ejemplo:

2 −3 0

1 −1 4

−2 3 5

2 −1 5 1 3 0 −2 −3 4 − 0 −1 −2 − 4 3 2 − 5 −3 1

−10 0 24 − 0 − 24 15 5

Propiedades de los determinantesSea A una matriz cuadrada de orden n, y supongamos que sus filas son

F1,F2, . . . ,Fn ∈ Kn. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:1. Si Fi Fi

′ Fi′′, para ciertas filas Fi

′,Fi′′ ∈ Kn, entonces

detF1, . . . ,Fi, . . . ,Fn detF1, . . . ,Fi′, . . . ,Fn detF1, . . . ,Fi

′′, . . . ,Fn

2. Para todo ∈ K se tiene que

detF1, . . . ,Fi, . . . ,Fn detF1, . . . ,Fi, . . . ,Fn

3. Para todo i, j ∈ 1,2, . . . ,n (i ≠ j) se tiene que

detF1, . . . ,Fj, . . . ,Fi, . . . ,Fn −detF1, . . . ,Fi, . . . ,Fj, . . . ,Fn

4. Para todo i, j ∈ 1,2, . . . ,n (i ≠ j) se tiene que

detF1, . . . ,Fi Fj, . . . ,Fn detF1, . . . ,Fi, . . . ,Fn

para todo i, j ∈ 1,2, . . . ,n (i ≠ j) y todo ∈ K.5. detF1, . . . ,Fn 0 si y sólo si los vectores F1,F2, . . . ,Fn son LD. De esto se deduce

que:6. A es invertible si y sólo si detA ≠ 0. Además en esta situación

detA−1 1detA

7. Si A es una matriz triangular superior o inferior (en particular si es una matrizdiagonal) entonces detA es el producto de los elementos de la diagonal.

8. detA detAt9. detA B detA detB para

toda matriz cuadrada B de orden n.Observación: Las 5 primeras propiedades pueden enunciarse también en términos de

las columnas de la matriz.Ejemplo: Vamos a calcular el siguiente determinante

1 0 2 3

2 −3 2 5

0 2 2 −3

1 1 2 4

Vamos a hacer ceros usando el elemento a11 1. Así tenemos

F2 − 2F1

F4 − F1

1 0 2 3

0 −3 −2 −1

0 2 2 −3

0 1 0 1

(habiéndole añadido a la segunda, tercera y cuarta filas la primera multiplicada por −2, 0 y−1). Ahora cambiamos la segunda y cuarta filas para simplificar la eliminación, y queda

F2 F4 −

1 0 2 3

0 1 0 1

0 2 2 −3

0 −3 −2 −1

Le añadimos ahora la segunda fila a la tercera y cuarta, multiplicada por −2 y 3respectivamente, y llegamos a

F3 − 2F2

F4 3F2

−

1 0 2 3

0 1 0 1

0 0 2 −5

0 0 −2 2

Finalmente le sumamos la tercera fila a la cuarta y tenemos

F4 F3 −

1 0 1 3

0 1 0 1

0 0 2 −5

0 0 0 −3

con lo que el valor del determinante es −1 1 2 −3 6.En la siguiente sección veremos que no es necesario escalonar la matriz para obtener el

determinante.

Menor, menor complementario, adjuntoSe llama menor de una matriz A (no necesariamente cuadrada) al determinante de

cualquier submatriz cuadrada suya.En una matriz cuadrada A de orden n se llama menor complementario del elemento aij

al determinante de orden n − 1 de la submatriz resultante de eliminar en A la fila i y lacolumna j, que son en las que está situado el elemento. Finalmente se llama adjunto delelemento aij a su menor complementario multiplicado por −1ij, es decir, se multiplicapor 1 o por −1, dependiendo de que la suma de los índices fila y columna del elemento seapar o impar. Al adjunto del elemento aij en la matriz A lo denotaremos por Aij. En el

ejemplo anterior el adjunto de a31 3 es A31 0 −3

5 0 15 y el adjunto de

Algunos menores de la matriz A

2 0 3 −4

0 6 2 −1

−5 −6 0 7

son

2 0 −4

0 6 −1

−5 −6 7

−48 y2 −4

−5 7 −6

En la matriz

1 0 −3

1 5 0

3 −3 2

el menor complementario de a31 3 es0 −3

5 0 15 y su adjunto vale A31

0 −3

5 0 15

Y el menor complementario de a21 1 es0 −3

−3 2 −9 su adjunto vale A21 −

0 −3

−3 2 9

Cálculo del determinante desarrollando por adjuntosSea A una matriz cuadrada de orden n. Entonces se tiene

detA n

j1

∑ aljAlj al1Al1 al2Al2 . . .alnAln n

i1

∑ aikAik a1kA1k a2kA2k . . .ankAnk

Lo anterior lo que nos dice es que mediante la Fl o la columna Ck podemos calcular eldeterminante de la matriz sumando los productos de los elementos de esa fila o columnapor sus respectivos adjuntos. Por ejemplo si tenemos una matriz A aij de orden 3tendríamos (fijándonos por ejemplo en la primera fila o la segunda columna)

detA a11A11 a12A12 a13A13 a12A12 a22A22 a32A32

Es muy útil esta regla a la hora de calcular determinantes grandes, sobre todo si aparecealguna fila o columna con muchos elementos nulos (si es posible todos los elementosexcepto uno). Por ejemplo si queremos calcular el determinante

|A|

3 0 −4

−2 0 1

−5 −2 4

vamos a desarrollar por los adjuntos de la segunda columna y tendremos

|A| a12A12 a22A22 a32A32 0A12 0A22 −2A32 −2A32 −2 −3 −4

−2 1 23 − 8 −

Por supuesto no siempre estaremos en esta situación de tener bastantes ceros, peroaplicando las propiedades de los determinantes podremos llegar a una matriz con muchosceros. Por ejemplo si queremos calcular ahora el determinante

|A|

4 2 −4

1 3 4

2 0 6

le añadimos a la última columna −3 veces la primera y nos queda

4 2 −16

1 3 1

2 0 0

determinante que puede calcularse ahora fácilmente desarrollando por los adjuntos de latercera fila, para obtener

|A| a31A31 a32A32 a33A33 22 −16

3 1 0A32 0A33 22 48 100

Rango de una matriz utilizando menoresEn el apéndice estará explicado con más detalle la relación entre los menores de una

matriz y su rango. Lo que nos interesa fundamentalmente es la siguiente propiedad:Propiedad: Sea A un matriz de orden m n (no necesariamente cuadrada). El rango de

A es el mayor orden para el que existen menores no nulos de ese orden dentro de A. Enparticular se tiene que si encontramos un menor de orden r no nulo, entonces rA ≥ r.

Cálculo de la inversa de una matriz medianteadjuntos

Vamos a dar otro método para calcular la inversa de una matriz. Supongamos queA aij es una matriz cuadrada invertible. Sabemos que |A| ≠ 0. Calculamos ahora lo quevamos a llamar matriz adjunta de A, y que la vamos a denotar por

AdjA bij

cuyos coeficientes son los adjuntos respectivos de los elementos de A, es decir, bij Aij

para todo i, j posible. Entonces se cumple que

A−1 1|A|

AdjAt

De este modo la matriz inversa de A resulta de hallar la traspuesta de la adjunta y dividirpor el determinante. Da lo mismo tomar la traspuesta de la adjunta que la adjunta de latraspuesta, así que también tendremos

A−1 1|A|

AdjAt

Ejemplo: Hallar la inversa de la matriz

A

1 1 3

1 2 −1

0 1 1

Como |A| 5 y

AdjA

A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33

2 −1

1 1−

1 −1

0 1

1 2

0 1

−1 3

1 1

1 3

0 1−

1 1

0 1

1 3

2 −1−

1 3

1 −1

1 1

1 2

3 −1 1

2 1 −1

−7 4 1

tenemos que

A−1 1|A|

AdjAt 15

3 2 −7

−1 1 4

1 −1 1

35

25 − 7

5

− 15

15

45

15 − 1

515

Ejemplo: Hallar la inversa de la matriz 2x2 invertible

A a b

c d

Es sencillo obtener por la fórmula anterior que

A−1 1

ad − bcd −b

−c a

Por ejemplo, la inversa de la matriz

A −3 6

−7 8es A

−1 118

8 −6

7 −3

Determinante de VandermondeEs un determinante especial que se usa en determinadas situaciones como a la hora de

hallar el polinomio interpolador de Lagrange o bien al resolver ciertas reglas de cuadraturapara aproximar numéricamente integrales. Pongamos y resolvamos el caso 3x3:

1 1 1

a b c

a2 b2 c2

Realicemos las siguientes operaciones por fila (y en ese orden):

F3 − aF2

F2 − aF1

1 1 1

0 b − a c − a

0 b2 − ba c2 − ca

1 1 1

0 b − a c − a

0 bb − a cc − a

1 1 1

0 b − a c − a

0 bb − a cc − a

b − a c − a

bb − a cc − a b − ac − a

1 1

b c c − ab − ac − b

En resumen el desarrollo del determinante de Vandermonde donde la primera fila estéformada por elementos a1, a2, . . .an es

ij

aj − ai

es decir, el producto de todas las diferencias entre los ai′s siempre que pongamos como

minuendo el que tiene el subíndice mayor.

Sistemas de ecuaciones linealesUn sistema de ecuaciones de la forma

∗

a11x1 a12x2 . . . .a1nxn b1

a21x1 a22x2 . . . .a2nxn b2

. . . . . .

am1x1 am2x2 . . . .amnxn bm

donde los aij y los bi son escalares del cuerpo K y los xj representan las incógnitas delsistema (también escalares del cuerpo K, en este caso, indeterminados), se llamará sistemade ecuaciones lineales o sistema lineal sobre el cuerpo K. Se dirá que el sistema tiene mecuaciones y n incógnitas. A los aij se les llama coeficientes del sistema, a los bi términosindependientes. Agrupando los elementos anteriores tenemos

A aij matriz de coeficientes, de orden m n

B

b1

b2

. . .

bm

vector de términos independientes, de orden m 1

X

x1

x2

. . .

xn

vector de las incógnitas, de orden n 1

Definimos la matriz ampliada A|B, de orden m n 1, como la que se formaañadiendo la columna B a la matriz A. Si ponemos el vector de términos independientes y elde las incógnitas en forma de columna obtenemos la forma matricial del sistema AX B.

Una solución del sistema de ecuaciones lineales (*) es un vectorS s1, s2, . . . , sn ∈ Kn tal que al sustituir cada incógnita xj por el correspondiente sj severifican todas las ecuaciones, o equivalentemente, si se cumple la relación matricialASt B (St denota el traspuesto del vector-fila S, es decir, lo hemos puesto en forma devector-columna).

Según el número de soluciones los sistemas pueden ser compatibles (SC), si tienenalguna solución, o incompatibles (SI), si no tienen ninguna solución. Un sistemacompatible puede tener solución única, en cuyo caso se dice que es compatibledeterminado (SCD), o tener más de una solución, en cuyo caso se dice que es compatibleindeterminado (SCI). De hecho cuando el cuerpo es infinito (como ocurre con el casoK R) los SCI no sólo tienen más de una solución sino que tienen infinitas.

En los SCI al conjunto de todas las soluciones se le llama solución general y éstaquedará en función de una serie de parámetros. Al menor número de parámetros que senecesitan para expresar la solución general lo llamaremos grado de indeterminación ogrados de libertad del sistema.

Diremos que un sistema AX B es homogéneo si B es el vector nulo, es decir, si todoslos términos independientes son nulos. Éstos siempre serán SC pues el vector nulo essiempre una solución (la solución que se obtiene al coger todas las incógnitas con valor 0).Entonces un sistema homogéneo es SCI si y sólo si tiene alguna solución no nula.

Al conjunto de las soluciones de un sistema homogéneo AX 0 lo denotaremos porkerA y lo llamaremos núcleo de la matriz A.

Sistemas equivalentes. Método de Gauss pararesolver sistemas lineales

Llamaremos discutir un sistema a determinar si es SI, SCD o SCI. Por discutir yresolver se entenderá que hay además que dar la solución o soluciones, si es SC. Para ellolo que podemos hacer es utilizar el método de Gauss que consiste en aplicartransformaciones elementales hasta escalonar el sistema. Recordemos las transformacioneselementales que utilizábamos sobre matrices, sistemas o vectores:

1. Cambiar de orden las ecuaciones.2. Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.3. Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.

Además, aquí es posible también:4. Cambiar de orden las incógnitas.

Estas transformaciones convierten el sistema lineal inicial en otro equivalente, es decir,con las mismas soluciones. Una vez escalonado el sistema se resuelve de forma sencilla,pues: Si al final (o en algún momento previo) nos sale un absurdo, es decir, una ecuación

que no es posible que se cumpla (como 0 1, o algo similar) entonces estamos con unSI.

Si no estamos en la situación anterior (podremos escalonar hasta el final), estaremoscon un SC y puede ocurrir que:

- Todas las incógnitas correspondan con pivotes (se llaman pivote de cada fila alprimer coeficiente no nulo que aparece. Esto es para la matriz de coeficientes. Silo miramos en el sistema se corresponden con la primera incógnita que aparece encada ecuación). En definitiva lo que ocurrirá es que, después de escalonar yeliminar las ecuaciones (o filas) nulas, tendremos igual número de ecuaciones quede incógnitas. En tal caso tenemos un SCD en el que la solución del sistema sepuede hallar despejando el valor de las incógnitas, de abajo hacia arriba.

- Haya alguna incógnita del espacio que no corresponda a ningún pivote. En estecaso tenemos un SCI, y las incógnitas que no correspondan a pivotes van a ser losparámetros del sistema. El número de parámetros (que por el método de Gauss sonya el número mínimo necesario para expresar la solución general del sistema) serálos grados de libertad del sistema.

Durante este proceso también pueden ir eliminándose ecuaciones ”triviales” de la forma0 0 (porque estas ecuaciones siempre se cumplen y no aportan nada nuevo) o bienecuaciones que sean CL de otras.

Ejemplos:1. Discutir y resolver (en su caso) el siguiente sistema lineal

x − y 3z −1

5x − 3y 10z 2

2y − 5z 3

Añadiéndole a la segunda ecuación la primera multiplicada por −5 obtenemos(observemos que como son ecuaciones y no filas, empleamos E1 y E2 en vez de F1 yF2 para referirnos a ellas)

E2 − 5E1

x − y 3z −1

2y − 5z 7

2y − 5z 3

Si ahora le restamos a la tercera la segunda se tiene

E3 − E2

x − y 3z −1

2y − 5z 7

0 −4

En este caso hemos obtenido una ecuación contradictoria (un absurdo) 0 −4, con loque deducimos que es un SI.

2. Discutir y resolver (en su caso) el siguiente sistema lineal

x − z −1

−2x y z −5

4x − y − 3z 3

Obtenemos que la matriz ampliada del sistema es

1 0 −1 −1

−2 1 1 −5

4 −1 −3 3

Le añadimos a la segunda fila la primera multiplicada por 2, y a la tercera multiplicadapor −4 y obtenemos

E2 2E1

E3 − 4E1

1 0 −1 −1

0 1 −1 −7

0 −1 1 7

Eliminando entonces la tercera ecuación (es proporcional a la segunda) llegamos a lamatriz

1 0 −1 −1

0 1 −1 −7

que representa al sistema

x − z −1

y − z −7

que es equivalente al sistema inicial. Como ya está escalonado y no nos ha aparecidoninguna ecuación contradictoria estamos con un SC. Además sólo hay 2 pivotes (loscorrespondientes a las incógnitas x e y), con lo que sobra un incógnita, z, que será elúnico parámetro en este caso, de manera que tenemos un SCI (ya que hay algúnparámetro). Así, poniendo z y despejando en las ecuaciones obtenemos quey −7 z −7 . Y en la primera ecuación tenemos que x z − 1 − 1. Así lasolución general de este SCI es

x − 1

y −7

z

con ∈ R.

3. Discutir y resolver (en su caso) el siguiente sistema lineal

x1 2x2 5x3 3

3x1 6x2 14x3 9

− 2x2 x3 −4

De nuevo le añadimos a la segunda y tercera filas un múltiplo adecuado de la primera yobtenemos

E2 − 3E1

x1 2x2 5x3 3

− x3 0

− 2x2 x3 −4

Cambiando de orden las dos últimas filas tenemos

E2 E3

x1 2x2 5x3 3

− 2x2 x3 −4

− x3 0

sistema que ya está escalonado. Como no hemos obtenido ninguna ecuación absurdaestamos con un SC. Y como las tres variables corresponden a pivotes (x1 en la primeraecuacion, x2 en la segunda y x3 en la tercera), no va a haber ningún parámetro, demodo que tenemos un SCD. El valor de las incógnitas se halla despejando de abajo aarriba las variables, o, si empleamos Gauss-Jordan transformando previamente lamatriz en una matriz ”diagonal”. Así, le añadimos la tercera fila a la segunda y primeramultiplicada por 1 y 5, respectivamente y tenemos

E2 E3

E1 5E3

x1 2x2 3

− 2x2 −4

− x3 0

Finalmente le sumamos la segunda ecuación a la primera y tenemos

E1 E2

x1 −1

− 2x2 −4

− x3 0

de donde obtenemos que x1 −1, x2 2 y x3 0.

Teorema de Rouché-FröbeniusTeorema: Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y sólo si el rango de la

matriz de coeficientes coincide con el de la matriz ampliada. En este caso, el sistema escompatible determinado si este rango coincide con el número de incógnitas del espacio.Cuando el sistema es compatible indeterminado los grados de libertad se calculan como ladiferencia entre el número de incógnitas y el rango.

Como consecuencia del Teorema de Rouché-Fröbenius obtenemos que un sistemahomogéneo AX 0 tiene solución no nula (kerA ≠ 0) si y sólo si rA n.

Método de CramerTeorema: Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones lineales AX B con

matriz de coeficientes A cuadrada de orden n, y del que se sabe que es SCD. Entonces lasolución del sistema x1,x2, . . . ,xn cumple que xi

|Mi ||A|

para todo i, donde Mi es la matriz

obtenida a partir de A sustituyendo la columna i-ésima por la columna de términosindependientes B.

El método de Cramer también puede utilizarse para resolver un SCI del siguiente modo:Supongamos que rA rA|B k n y elegimos un menor no nulo de A de orden k.

Se dejan a la izquierda las incógnitas que forman parte del menor; el resto de incógnitas sepasarán a la derecha y serán los parámetros. Las ecuaciones que no forman parte del menorpueden eliminarse pues son CL de las restantes. La solución general del sistema puedeobtenerse por Cramer, imaginando que tenemos el SCD en el que se consideran comoincógnitas únicamente las que están a la izquierda, es decir, las que corresponden a lospivotes (la matriz de coeficientes de este sistema será de orden k k pues no formarán partede ella los coeficientes de las incógnitas que van a ser ahora parámetros, ni tampoco los delas ecuaciones que hemos eliminado).

El método de Cramer es en general poco útil en la práctica, pues cuando el orden delsistema es relativamente grande hay que hacer demasiadas operaciones para resolverlo (yacuando estamos con 3 ecuaciones y 3 incógnitas es más recomendable el de Gauss).

Ejemplo: Discutir los siguientes sistemas lineales utilizando el Teorema de Rouché yresolverlos (en su caso) por el método de Cramer:1.

x1 x2 − x3 2

3x1 − x2 2x3 2

−x1 − x2 − 3x3 −2

Como

1 1 −1

3 −1 2

−1 −1 −3

16 ≠ 0

se tiene que el rango tanto de la matriz de coeficientes como el de la matriz ampliadavalen 3. Por ello estamos con un SCD. Entonces la solución es

x1 116

2 1 −1

2 −1 2

−2 −1 −3

1616

1

x2 116

1 2 −1

3 2 2

−1 −2 −3

1616

1

x3 116

1 1 2

3 −1 2

−1 −1 −2

016

0

2.

x1 − x2 3x3 −1

2x1 x2 − x3 2

3x1 2x3 1

Es fácil comprobar que el rango tanto de la matriz de coeficientes como de la matrizampliada es 2. Por ello estamos con un SCI. Como las dos primeras filas de la matrizampliada son LI la última es necesariamente CL de ellas dos. De este modo podemoseliminar la última y quedarnos con el sistema

x1 − x2 3x3 −1

2x1 x2 − x3 2

que es equivalente al primero. Podemos quedarnos con un menor de orden dos no nulo(por ejemplo el que corresponde a las dos primeras filas y columnas) y poniendo elsistema en la forma

x1 − x2 −1 − 3x3

2x1 x2 2 x3

para el que imaginamos que tiene sólo dos ecuaciones y dos incógnitas, y cuyassoluciones podemos hallarlas en función de x3 por Cramer:

x1

−1 − 3x3 −1

2 x3 1

1 −1

2 1

1 − 2x3

3

x2

1 −1 − 3x3

2 2 x3

1 −1

2 1

4 7x3

3

Ejemplo: Discutir y resolver (en su caso) el siguiente sistema de ecuaciones lineales enfunción del parámetro a

x1 2x2 5x3 3

x1 3x2 8x3 5

− 2x2 ax3 4

Añadiéndole la primera fila a las demás obtenemos

x1 2x2 5x3 3

x2 3x3 2

− 2x2 ax3 4

Le añadimos ahora la segunda fila a la tercera y tenemos

x1 2x2 5x3 3

x2 3x3 2

a 6x3 8

Entonces la discusión se hace teniendo en cuenta que el parámetro aparece en alguno de lospivotes una vez que el sistema está escalonado. x1 y x2 son las variables que corresponden apivotes. El coeficiente a 6 puede ser nulo (si a −6) con lo que en ese caso la variable x3

no sería un pivote, es más tendríamos una ecuación de la forma 0 8. Así que en ese caso(a −6) tenemos un SI. Y cuando a ≠ −6 tendremos que la variable x3 sí que es un pivote(pues su coeficiente a 6 es no nulo) y estamos con un SC. Además al no sobrar ningunavariable, ya que todas se corresponden con pivotes, tendríamos un SCD, cuya solución(dependiente de a) se hallaría despejando como hacemos habitualmente: x3 8

a6 ,x2 2 − 3 8

a6 y x1 3 − 22 − 3 8a6 − 5 8

a6 .Otro modo de discutir este sistema es utilizando el Teorema de Rouché-Froebenius,

calculando los rangos de las matrices asociadas. Para esto puede ser útil el determinante(que en este caso tiene sentido pues la matriz de coeficientes es cuadrada; en el caso de quesea cuadrada la matriz ampliada también se puede utilizar; pero en cualquier otro caso no),hallando el de la matriz de coeficientes

|A|

1 2 5

1 3 8

0 −2 a

1 2 5

0 1 3

0 −2 a

11 3

−2 a a 6

Cuando |A| ≠ 0 (para a ≠ −6) el rango de la matriz A es 3, y como el rango de la matrizampliada no puede ser mayor (al tener 3 filas) tendríamos rA rA|B 3 número de

incógnitas. Entonces tenemos que si |A| ≠ 0 (a ≠ −6) el rango de la matriz A es 3, y comoel rango de la matriz ampliada no puede ser mayor (al tener 3 filas) tendríamosrA rA|B 3 número de incógnitas. En este caso tendríamos un SCD, cuya únicasolución, dependiente de cada valor a ≠ −6, se podrá hallar por el método anterior outilizando la fórmula de Cramer (éste es uno de los pocos casos en los que puede resultarútil este método). Y en el caso en que |A| 0 (a −6) tenemos que hacerlo de formadirecta. Pero se ve fácilmente que rA 2 y rA|B 3, con lo que tendríamos un SI.

El resultado de la discusión ha sido entonces: Si a ≠ −6 SCD y si a −6 SI.