Por qu y cmo ensear fracciones?

Asuncin Lpez Carretero

Investigadora del IMIPAE y profesora de Psicologa de la Escolade Mestres de Sant Cugat (UAB).

Se exponen algunos datos sobre la construccin espontanea del concepto de fraccin porparte de los alumnos. En funcin de las conductas observadas, las dificultades y logros deeste proceso se agrupan en tres momentos. El primero se caracteriza por una prdida de laequivalencia de las partes al fraccionar la unidad. En el segundo momento, las equivalen-cias se conservan en el fraccionamiento del entero. Finalmente, en el tercero, se descubrela utilizacin de estrategias multiplicativas, en relacin entre el entero y sus partes, comoentre el conjunto de stas y las partes proporcionales del reparto. Tambin se incluyenalgunas actividades realizadas con alumnos de sexto de EGB.

sexto de EGB, Matemticas, prctica pedaggica

Qu leyes rigen la comparacin del nmero fraccionario? Qu estrategias de enseanza y aprendizajesiguen maestros y alumnos? He aqu algunos apuntes y propuestas didcticas sobre el tema. (1)

Comentaba Piaget la sorpresa de un alumno de primaria, al comprobar que su profesor un da les explicabaque 3 + 2 = 5 y al da siguiente que 4 + 1 = 5. El nio se extraaba de lo voluble que era su profesor.

En contraste con esta ancdota, describe la alegra y el placer que despierta en los nios el descubrir, ensituacin de juego libre, tras amontonar piedrecitas, colocndolas en crculo y en hilera, que, a pesar de todos estoscambios espaciales, siempre tienen 9 piedrecitas!

Estos dos ejemplos marcan la diferencia entre ensear matemticas, actividad del profesor, de la que elalumno slo comprueba el resultado, y aprender, actividad del ser humano, quin, a travs de la lgica de suspropias acciones, descubre las leyes lgico- matemticas. En este segundo caso, es preciso construir el camino quelleva a la respuesta.

El profesor, en el aprendizaje institucionalizado, intenta a menudo aproximarse al alumno, pero en muchoscasos mantiene el esquema de demostrarle los conocimientos, ms que el de estimular su actividad mental.Utiliza, en el aula, materiales, como objetos, figuras, dibujos, pero todos estos soportes se convierten en fuentes deinformacin en los que el alumno ha de traducir, no construir, los razonamientos matemticos.

En la enseanza de las fracciones, tema que nos ocupa aqu, se propone a los nios, a travs de imgenesreales o simblicas, la representacin imaginada del entero y sus partes. Pongamos un ejemplo concreto: el maes-tro presenta un objeto geomtrico (manzana, pastel etc.) y seala que se puede dividir en un cierto nmero departes iguales y que la reunin de todas ellas permite reconstruir de nuevo el objeto inicial. Resulta fcil realizaruna demostracin de este razonamiento, porque las partes, iguales, de un objeto pueden sobreponerse, para cons-tatar su igualdad. Con el simbolismo, (1/4 = 1/4 = 1/4 = 1/4), o (1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 4/4), se pretende fijar estasideas. Por el mismo procedimiento emprico de realizar materialmente la particin de objetos se introducen lasequivalencias, y, posteriormente, a travs del simbolismo, las reglas de clculo.

Un sondeo realizado con nuestros alumnos nos permiti comprobar la fragilidad de estas adquisiciones.Basta preguntar sobre estas cuestiones de forma poco habitual, o bien pedir aclaraciones de un ejercicio resueltoescolarmente, para descubrir las lagunas que se ocultan tras la seguridad del alumno. As, uno de ellos nos explica:25/50, es muy fcil de hacer, se sacan los factores comunes, VA FRACCIN. Ah! pero no puede ser un nmerotan pequeo; creo que se divide 25/2 y ya est, 12,5, as est bien.

Si les pedimos que nos representen en el papel 8 mitades, surgen multitud de desacuerdos; unos se inclinan

por dibujar 16 partidos por la mitad, otros 8 objetos en mitades, otros finalmente dibujan 4 objetos partidos por lamitad... y no llegan a un acuerdo!

Respecto a la suma de fracciones de diferente denominador, la mayora ignoran el significado del algoritmoescolar. Al pedirles cmo lo haran ellos, si no conocieran esta forma, se inclinan por soluciones ms sencillascomo sumar denominadores y numeradores sin ms.

Todas estas respuestas llevan al desnimo del profesorado, quienes afirman que las fracciones, al igual queotros contenidos de ciclo superior, son demasiado abstractos para los alumnos y estn alejados de la realidad. Porqu empearse, entonces, en ensear este concepto? Cual es su utilidad para el alumno?

La bsqueda de respuestas a stas y otras preguntas que surgen en torno al tema, nos lleva a una reflexinepistemolgica sobre la orientacin que se pretende dar a la educacin matemtica.

Cual es la significacin epistemolgica del concepto de fraccin? Qu evolucin ha seguido en el Curso dela historia del pensamiento colectivo? Cmo construye el nio este concepto?

Comenzaremos por exponer algunos datos sobre la construccin espontnea de este concepto, por parte delos alumnos

QU PIENSAN LOS ALUMNOS?

Para averiguar cules son las ideas de los alumnos en torno a este concepto, elaboramos una serie de proble-mas prcticos de reparticin, cuya resolucin implica el recurso de la fraccin. Se les invita a trabajar con diferen-tes colecciones de objetos (caramelos, regalices, etc.); la tarea que han de realizar es la de distribuirlos en partesiguales entre un numero determinado de nios, sin que sobre ningn elemento.

Han de prever como lo harn, efectuarlo prcticamente y, posteriormente, representar simblicamente elproceso que han seguido, con la finalidad de comunicarlo a otro compaero, de modo que, viendo el papel, puedaseguir el mismo mtodo.

Esta sencilla tarea ha suscitado una variedad sorprendente de tcnicas de particin, que, como veremos,corresponden a diferentes niveles en el proceso de elaboracin del concepto de fraccin.

A los ojos del adulto, repartir en partes iguales, fraccionando la unidad y establecer equivalencias entre laspartes obtenidas, es un razonamiento muy simple.

Sin embargo, no es as para el pensamiento del alumno, quien ha de construir por s mismo estas relaciones.Ello se pone de manifiesto con la produccin de una gran riqueza de estrategias. Curiosamente, algunas de ellasrecuerdan la forma de calcular fracciones propia de los antiguos egipcios, que fueron unos de los primeros enutilizarlas.(2)

Las conductas observadas ponen derelieve las dificultades y los logros en esteproceso. Las hemos agrupado en tres mo-mentos.

Un primer momento se caracterizapor una prdida de la equivalencia de laspartes al fraccionar la unidad. Esta difi-cultad se debe a la imposibilidad de coordi-nar el n. de partes que se han de obtener decada unidad, con el nmero total de partesque se precisan para repartir. Se trata de unadoble correspondencia, entre la fraccin yel entero, y entre el n. de partes total y elque ha de dar a cada uno. Frente a este obs-tculo surgen dos actitudes.

La no equivalencia entre las partes

puede estar en el interior de cada objeto, ya que el sujeto busca el n. de partes necesario para repartir, prescindien-do del tamao de las mismas. (Figura 1.)

Para repartir 4 caramelos entre 5 nios, parte 3 caramelos por la mitad y las reparte; a continuacin, con elcaramelo y 1/2 sobrantes subdivide una unidad en 3 partes y con la otra 1/2 hace 2 partes, de tal forma que tiene5 partes aunque no equivalentes. As afirma, primero a cada nio le tocar medio caramelo y con el caramelo ymedio que sobra les dar un trozo a cada nio. Como queda claro por su respuesta, para l lo que cuenta es elnmero, no la relacin de las partes con el entero ni su equivalencia (por ello los denomina trozos).

En el interior de cada unidad las partesson equivalentes, pero no la correspondenciaentre las partes de cada uno de los nios.

En unos casos sobrarn elementos (figura2). Divide 10 caramelos entre 3 nios; la unidadque queda la subdivide en 4/4 y le sobra 1/4!El trozo que sobra lo hacemos en 4 partes. Da-mos una parte a cada nio y la otra parte sobra.En otros casos, las partes son desiguales (figura3); para distribuir 12 caramelos entre 10 nios,una vez repartidos los enteros, fracciona dos ele-mentos del resto en 1/4 y el otro lo hace corres-ponder sin fraccionarlo.

Con estas ingeniosas estrategias, los alum-nos ponen de manifiesto los obstculos que en-cuentran al intentar fraccionar el entero, conservar la igualdad de sus partes y, a la vez, operar en un contexto de

reparticin con estas dos categoras: unidad ypartes de la unidad.

En un segundo momento, las equivalenciasse conservan en el fraccionamiento del entero,pero con el uso prioritario de la fraccin unitaria.Es decir, cada entero se fracciona por separado,sin que haya relacin entre ms de una unidadfraccionada. La duplicacin es el mtodo msutilizado en la particin. Se caracteriza tambineste momento por la utilizacin de estrategiasaditivas en el reparto, en el cual una serie de par-ticiones sucesivas sustituyen a la anticipacin glo-bal del n. de partes que se necesitan. Veamos unejemplo (figura 4): para repartir 8 caramelos en-

tre 6 nios, da un caramelo a cada nio y fracciona el resto en 1/4 y los distribuye entre los 6 nios. Toma los 2/4sobrantes y hace tres partes de cada uno -3/12- y los distribuye entre los 6 nios. El sujeto explica: Del cuarto quesobraba he hecho tres partes, y las he dado a los tres nios y del otro igual (uso fraccin de numerador 1). Otroejemplo representativo de este nivel lo observamos en esta conducta de reparticin de 4 regalices entre 5 nios.(Figura 5.)

Curiosamente, hemos encontrado estrategias similares en la fraccin primitiva utilizada por los egipcios,pueblo de una economa muy desarrollada, que tiene en el clculo un instrumento primordial para administrar susbienes. En sus divisiones, cuando el dividendo no es exactamente divisible, o es menor que el divisor,