castigliano ejercicio
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7/23/2019 Castigliano ejercicio
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En la siguiente viga doblemente empotrada levantar el grado dehiperestaticidad por el mtodo de Castigliano y calcular la defexin en elpunto 2 por el mtodo de castigliano y trabajo virtual.
Completando cargas y analizando por partes
M=w x
2
2
M=w x
3
3L
M=
4 w(xL2 )3
7L
-
7/23/2019 Castigliano ejercicio
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Levantar el grado de hiperestaticidad
lanteando las ecuaciones del momento para el corte a!a
Ma=V1xM1w x
2
2+
w x3
3L
4 w(xL
2)3
7L
"omando las derivadas parciales#
MaV1
=x
Ma
M1=1
$plicando el segundo teorema de Castigliano#
M M P
dx=0
ara
Ma
V1 =x
0
6L
5
Ma Ma V
1
dx=0
0
6L
5 (V1xM1w x22
+w x
3
3L
4w (xL2 )3
7L )x dx=0
0
6L
5 (V1x2M1xw x32
+w x
4
3L
4wx (xL2)3
7L )dx=0
V1(6L5)
3
3
M1(6L5)
2
2
12967
100000w L
4=0 %&'(
-
7/23/2019 Castigliano ejercicio
3/7
ara Ma M1
=1
0
6L
5
Ma Ma M
1dx=0
0
6L
5 (V1xM1w x22
+w x
3
3L
4w (xL2 )3
7L )(1)dx=0
M1( 6L5)
V1(6L5)
2
2+ 299
2000w L
3=0 %&2( x(6L
5)1
2
M1(6L5)
2
2
V1(6L5)
3
4+ 897
10000w L
4=0 %&2)(
*umando las ecuaciones &'( y &2)( tenemos#
V1=
3997
14400wL
+eemplazando V1 en &'( y despejando M1 tenemos#
M1=
1007
24000w L
2
or Est,tica
Fy=0
V1+V2=
w
2
(L
2 +
7L
10
) V
1+V
2=
3
5wL
3997
14400wL+V
2
=3
5wL
V2=
4643
14400wL
-
7/23/2019 Castigliano ejercicio
4/7
M2=0
M1+M
2+
wL
4( 6L
5
L
6)+7wL
207L
30=(6L5)V1
+eemplazando los valores de M1, V1 y resolviendo para M2 - tenemos#
M2=
391
8000w L
2
C$LCL/ 0E 0E1LE3/4E*
3( 5E"/0/ 0E C$*"36L3$4/
Calculo de la defexin en el punto 2- mtodo de Castigliano#
M=V1xM
1
w x2
2+
w x3
3L
4 w(xL2 )3
7L P(xL2 )
M
V1
=x
M
M1=1
$plicando el segundo teorema de Castigliano#
M M V
1
dx=0
0
6L
5 (V1xM1w x22
+w x
3
3L
4w (xL2 )3
7L P(xL2 ))x dx=0
V1(6L5)
3
3
M1( 6L5)
2
2
12967
100000w L
41421P L
3
6000=0 %&a(
0
6L
5 (V1xM1w x22
+w x
3
3L
4w (xL2 )3
7L P(xL2 ))(1)dx=0
-
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M1(6L5)
V1(6L5)
2
2+ 299
2000w L
3+49P L
2
200=0 % &b()
6L
5
1
2
M1(6L5)
2
2
V1(6L5)
3
4+ 897
10000w L
4+147P L
3
1000=0 %&b)(
*umando las ecuaciones &a( y &b)( tenemos#
V1=
3997
14400wL+
539P
864
+eemplazando en &b( tenemos#
M1= 100724000
w L2+ 49PL288
+eemplazando en 5#
M=( 399714400 wL+ 539P
864)x( 100724000 w L2+ 49PL
288)w x
2
2+
w x3
3L
4 w(xL2 )3
7L P(xL2 )
En el tramo ' y 2
M12=(
3997
14400wL+
539P864)x(
1007
24000w L
2+49PL288)w x
2
2+w x
3
3L
M12
P =
539x
864
49L
288
ara calcular y2
EI y2=0
L
2
(( 3997
14400 wL)x(
1007
24000 w L2
)w x
2
2 +w x
3
3L)(539x
864 49L
288)dx
0esarrollando la integral#
y2=
1.545w L4
103EI
33( 5E"/0/ 0E "+$7$8/ 93+"$L
ma
=V1xM
1
(x
L
2
)
-
7/23/2019 Castigliano ejercicio
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maV1
=x
ma
M1
=1
or el segundo teorema de Castigliano#
0
6L
5
ma ma
V1
dx=0
V
(1xM1(xL2 ))x dx=0
0
6L5
V1(6L5)
3
3
M1( 6L5)
2
2
1421L3
6000=0 %&
(
V
(1xM1(xL2 ))(
1)dx=0
0
6L
5
M1( 6L5)
V1(6L5)
2
2+49P L
2
200=0 % &
()6L
5
1
2
M1(6L5)
2
2
V1(6L5)
3
4+147P L
3
1000=0 %&
)(
+esolviendo las ecuaciones & ( y & )(
V1=
539
864
M1=49L
288
-
7/23/2019 Castigliano ejercicio
7/7
m=539
864x
49L
288(xL2 )
En el tramo ' y 2
M12=(
3997
14400wL)x(
1007
24000w L
2
)w x2
2+w x
3
3L
m12=
539
864x
49L
288
ara el c,lculo de y2
EI y2=0
L
2
M12m12dx
EI y2=
0
L
2
(( 399714400 wL)x( 100724000 w L2)w x2
2+
w x3
3L)( 539x864 49L288)dx
+esolviendo#
y2=
1.545w L4
103EI